Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами

This paper proposes a hybrid method for determining the coefficients of a polynomial whosepower coefficients are real numbers using a genetic algorithm (GA). The input is a set of discretevalues of the function arguments. The main focus of our approach is to approximate functionsusing real polynomia...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2023
Автори:	Козак, Олег, Самотий, Володимир, Павельчак, Андрій
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023
Теми:	поліном з дійсними степенями апроксимація функцій неперіодичні сигнали генетичні алгоритми алгоритми оптимізації параметрична оптимізація.
Онлайн доступ:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/347
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Репозитарії

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1867479713826471936
author	Козак, Олег Самотий, Володимир Павельчак, Андрій
author_facet	Козак, Олег Самотий, Володимир Павельчак, Андрій
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Олег Козак", "institution": null }, { "author": "Володимир Самотий", "institution": null }, { "author": "Андрій Павельчак", "institution": null } ]
author_sort	Козак, Олег
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2024-10-19T19:01:15Z
description	This paper proposes a hybrid method for determining the coefficients of a polynomial whosepower coefficients are real numbers using a genetic algorithm (GA). The input is a set of discretevalues of the function arguments. The main focus of our approach is to approximate functionsusing real polynomials, which provide more flexibility compared to cubic polynomials. Ourapproach involves a two-step optimization process. In the first step, the power coefficients of thepolynomial are equal to cubic polynomial powers. Then approximation coefficients of the cubicpolynomial are calculated using GA. In the second step, instead of cubic polynomial is introducedpolynomial with real powers. In this step the approximation coefficients of polynomial are set asconstant and power coefficients of polynomial are calculated using GA to refine the solution. Thismakes it possible to quickly and accurately approximate a given function with a polynomial whosepowers are real numbers. The evolutionary nature of the method ensures adaptability and theability to overcome functional obstacles, thus achieving better overall approximationperformance. Research has shown that, compared to conventional polynomials, significantlyhigher approximation accuracy has been achieved.
doi_str_mv	10.15407/fmmit2023.38.147
first_indexed	2026-06-09T01:10:39Z
format	Article
fulltext	147 УДК519.688 DOI10.15407/fmmit2023.38.147 Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами КозакО.В.1, Самотий В. В.2,3, Павельчак А. Г.4 1 магістр, аспірант, кафедра КСА, Національний університет «Львівська політехніка», вул. С.Бандери 12, 79013, Львів, e-mail:oleh.v.kozak@lpnu.ua 2 д.т.н., професор, кафедра КСА, Національний університет «Львівська політехніка», вул. С.Бандери 12, 79013, Львів, e-mail: volodymyr.v.samotyi@lpnu.ua 3 dr hab. inż., profesor, katedra Automatyki i Informatyki, Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki, ul. Warszawska 24, 31155, Kraków, e-mail: vsamotyy@pk.edu.pl 4 к.т.н., доцент, кафедра КСА, Національний університет «Львівська політехніка», вул. С.Бандери 12, 79013, Львів, e-mail: andrii.h.pavelchak@lpnu.ua В даній роботі запропоновано гібридний метод визначення коефіцієнтів полінома, степені якого є дійсними числами з використанням генетичного алгоритму (ГА). Вхідною інформацією є набір дискретних значень аргументу і функції. Основний фокус нашого підходу полягає в апроксимації функцій за допомогою дійсних поліномів, які надають більшу гнучкість у різних сценаріях. Наш підхід передбачає двокроковий процес оптимізації. У першому кроці в якості початкового наближення вибираються коефіцієнти полінома з цілими степенями, які обчислені за допомогою ГА. Наступним кроком є знаходження дійсних степенів полінома і уточнення коефіцієнтів апроксимації, що також відбувається за допомогою ГА. Це дало можливість швидко і достатньо точно апроксимувати задану функцію поліномом, степені якого є дійсними числами. Еволюційний характер нашого методу забезпечує адаптивність і здатність долати функціональні перепони, таким чином досягаючи кращої загальної продуктивності апроксимації. Дослідження показали, що у порівнянні зі звичайними поліномами була досягнута значно вища точність апроксимації. Ключові слова: поліном з дійсними степенями, апроксимація функцій, неперіодичні сигнали, генетичні алгоритми, алгоритми оптимізації, параметрична оптимізація. Вступ.Існує два способи розв’язування задачі параметричної оптимізації. З математичної точки зору перший спосіб – це аналіз параметричної чутливості [1- 3], який характеризує вплив на розв’язок відносно малих збурень параметрів. А другий спосіб це параметрична оптимізація для мінімізації функції розбіжності між отриманим результатом і бажаним [4-5]. Метою параметричної оптимізації є знаходження оптимальних значень змінних розв’язку. Змінні розв’язку повинні бути вибрані таким чином, щоб вони мали значний вплив на продуктивність системи та могли бути змінені в межах заданого діапазону [6]. Важливість змінних розв’язку полягає в тому, що вони є фундаментальними будівельними блоками процесу оптимізації. Правильний вибір і маніпулювання змінними розв’язку може призвести до значних покращень у продуктивності системи [7-8]. mailto:oleh.v.kozak@lpnu.ua mailto:volodymyr.v.samotyi@lpnu.ua mailto:vsamotyy@pk.edu.pl mailto:andrii.h.pavelchak@lpnu.ua Козак О.В., Самотий В. В., Павельчак А. Г. Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами 148 Дослідження розв’язків коефіцієнтів полінома і раніше викликало інтерес у дослідників, тому було запропоновано різні вирішення цієї задачі [9-15]. Всі вони підходять для випадків коли графік містить поліном степені якого є цілими числами, але не у випадках коли степені можуть бути дійсними числами. 1. Параметрична оптимізація за допомогою еволюційних алгоритмів Еволюційні алгоритми (EA) — це клас алгоритмів оптимізації, що відтворює процес природного відбору. Вони використовуються для вирішення складних задач оптимізації, які важко розв’язати традиційними методами. EA довели свою високу ефективність у вирішенні складних задач оптимізації в різних областях. Однією з ключових переваг EA є їх здатність досліджувати великі простори пошуку та знаходити близькі до оптимальних розв’язки для задач із великим простором пошуку та нелінійністю [16]. Також було показано, що EA стійкі до шуму та невизначеності цільової функції, що робить їх придатними для застосування в реальних задачах [17]. Найбільш широко використовувані EA включають ГА, еволюційні стратегії і метод рою часток. Кожен із цих алгоритмів має свої сильні та слабкі сторони, а вибір алгоритму залежить від розв’язуваної задачі [18]. Однією з ключових проблем у використанні EA є вибір параметрів алгоритму, таких як розмір популяції, тиск відбору та частота мутації. Продуктивність ЕА може бути дуже чутливою до значень його параметрів, і пошук хороших значень параметрів може бути важким і трудомістким процесом. Для вирішення цієї проблеми було запропоновано кілька методів, наприклад налаштування параметрів і адаптивні оператори [19]. 2. Порівняння еволюційних алгоритмів з іншими техніками оптимізації Незважаючи на те, що EA показали вражаючі результати в багатьох реальних програмах, важливо порівняти їх продуктивність з іншими методами оптимізації, щоб краще зрозуміти їхні переваги та обмеження. Одним із найпоширеніших методів оптимізації є градієнтний метод. Цей підхід дуже ефективний, коли цільова функція є гладкою та неперервною, але він часто не може знайти глобальний оптимум у дуже нелінійних, мультимодальних та розривних просторах задач [20]. Крім того, він вимагає аналітичного обчислення похідних цільової функції, що може бути дорогим для обчислення і іноді нездійсненним. Натомість обчислення похідних числовими методами завжди приводить до значних похибок, що робить неможливим їх використання. Іншим широко використовуваним методом оптимізації є метод локального пошуку. Цей підхід шукає найкращий розв’язок шляхом ітеративного вдосконалення даних початкових умов за допомогою пошуку сусідства [21]. Хоча методи локального пошуку можуть бути дуже ефективними у пошуку глобального оптимуму в певних задачах, але вони можуть легко залипнути в локальних оптимумах, що призведе до неоптимальних рішень. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип.38, 145-153 149 Порівняно з цими методами оптимізації EA мають кілька переваг, які роблять їх придатними для широкого кола проблем. По-перше, EA — це алгоритми на основі популяції, які підтримують різноманітний набір варіантів рішень, що дає можливість їм досліджувати простір пошуку ефективніше, ніж методи локального пошуку [22]. По-друге, EA не вимагають жодних попередніх знань про цільову функцію чи її похідні, що робить їх придатними до широкого спектру проблем, у тому числі тих, які включають функції чорної скриньки або зашумлені дані. По-третє, EA можуть легко обробляти багатоцільові проблеми оптимізації, де цільова функція має кілька конфліктуючих критеріїв, які потрібно оптимізувати одночасно [23]. 3. Постановка задачі В якості прикладу розглянуто згасаючу синусоїду 𝑦 = exp(−𝑥) cos(π𝑥). (1) графік якої наведено на рисунку 1. Необхідно знайти значення коефіцієнтів поліному, які максимально наближено відтворюють зображений графік. Рис. 1. Згасаюча синусоїда Розглянемо кубічний поліном 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎3𝑥 3. (2) для апроксимації залежності (1) на інтервалі 𝑥 ∈ [0, 2]. Це рівняння вносить певні обмеження і фактично не гарантує, що можливо знайти такі коефіцієнти 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 та 𝑎3 які би дозволили знайти рішення наближене до шуканого. Тому було вирішено змінити рівняння полінома для того, щоб можна було компенсувати цей недолік: 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎3𝑥 3. (3) Козак О.В., Самотий В. В., Павельчак А. Г. Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами 150 У формулі (3) замінено фіксовані степені 1, 2 та 3 на 𝑛1 , 𝑛2 та 𝑛3 відповідно. Після цієї заміни степені перестають бути лише цілими числами, а й можуть бути дійсними. Відповідно задача зводиться тепер не тільки до пошуку коефіцієнтів 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 та 𝑎3, а і до пошуку степенів 𝑛1 , 𝑛2 та 𝑛3, які б дали можливість знайти максимально наближений розв’язок. 4. Покрокова реалізація генетичного алгоритму ГА — це клас алгоритмів оптимізації, які імітують процес природного відбору та еволюції [24]. Нижче наведено загальні кроки виконання ГА [25]: 1. Ініціалізація: створення початкової популяції. 2. Оцінка пристосованості: оцінка придатності кожної особи в популяції на основі того, наскільки добре вона вирішує проблему. 3. Відбір: вибір найпридатніших особин із популяції, які будуть батьками для наступного покоління. 4. Схрещування: об’єднання генетичного матеріалу двох батьків для створення нових рішень для нащадків. 5. Мутація: внесення випадкових змін у генетичний матеріал нащадків для збільшення різноманітності популяції. 6. Заміна: заміна найменш придатних особин у поточній популяції новими нащадками. 7. Зупинка алгоритму: зупинка алгоритму, коли буде знайдено задовільне рішення або досягнуто максимальної кількості поколінь. Однак потрібно враховувати, що на швидкодію ГА впливає вибір параметрів, таких як розмір популяції, шанс мутації, типи відбору та схрещування [16]. 5. Використання генетичних алгоритмів для апроксимації неперіодичних сигналів Для тестування обрано поліном з цілими степенями (2). Необхідно виконати апроксимацію функції (1) формулою (2). Вибрано чотири значення з функції (1) – перше значення (𝑥1 = 0, 𝑦1 = 1), останнє значення (𝑥4 = 2, 𝑦4 = 0.13534) і два екстремуми ( 𝑥2 = 0.902, 𝑦2 = −0.38668 ), ( 𝑥3 = 1.902, 𝑦3 = 0.14225 ). В результаті отримано систему чотирьох лінійних, алгебричних рівнянь { 𝑦1 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥1 2 + 𝑎3𝑥1 3 𝑦2 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥2 + 𝑎2𝑥2 2 + 𝑎3𝑥2 3 𝑦3 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥3 + 𝑎2𝑥3 2 + 𝑎3𝑥3 3 𝑦4 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥4 + 𝑎2𝑥4 2 + 𝑎3𝑥4 3 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип.38, 145-153 151 Розв’язком цієї системи рівнянь методом Гауса є значення коефіцієнтів: 𝑎0=1, 𝑎1=-3.917, 𝑎2=3.376 та 𝑎3=-0.816. Тому поліном (2) для даного випадку набуде вигляду 𝑦 = 1 − 3.917𝑥 + 3.376𝑥2 − 0.816𝑥3 (4) Вираз (4) вибрано тестовою задачею для ГА. В подальшому приймаємо 𝑎0 = 1 , щоб забезпечити збіг першої точки (𝑥1 = 0, 𝑦1 = 1 ). Для проведення дослідження використано python бібліотеку pygad, яка містить реалізацію ГА. Далі у виразі (4)𝑥2 та 𝑥3 замінюємо на 𝑥𝑛2 та 𝑥𝑛3 відповідно 𝑦 = 1 − 3.917𝑥 + 3.376𝑥𝑛2 − 0.816𝑥𝑛3 (5) Завдання ГА полягає у тому, щоб знайти степені 𝑛2 та 𝑛3, які є невідомими у формулі (5). Як очікуване значення до якого ГА буде наближатися є кубічний поліном із формули (4), тому очікуваними значеннями є 𝑛2 =2 та 𝑛3 =3. Для оцінки придатності особи в популяції потрібно створити фітнес функцію на основі якої ГА коригуватиме наступні покоління. Запишемо фітнес функцію, яка оцінює придатність особи згідно апроксимаційної дельти між розрахованим для конкретної особи популяції та очікуваним розв’язком 𝑓𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 = ∑\|𝑦𝑖 − 𝑧𝑖\| 𝑖 (6) де 𝑦𝑖– розраховане значення на кроці i(4); 𝑧𝑖 – розраховане значеннядля особина кроці i(5). Вибрано інтервали пошуку 𝑛2 ∈ [1, 3] і 𝑛3 ∈ [2, 4]. В обох випадках використовувалися дійсні числа. Найкраще рішення, яке знайшов ГА для розв’язку рівняння вказаного у формулі (5), є 𝑛2 =2.002 та 𝑛3 =3.005, проти очікуваних 2 та 3 відповідно.Значення фітнес функції склало 𝑓𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 = 0.132.Обчислено відносну похибку, де кількість точок складає 200 і максимальне значення по 𝑦 = 1, яка склала 𝛿 = 0.066% для розрахованого значення. 𝛿 = ∑ \|𝑦𝑖 − 𝑧𝑖\|𝑖 200 Відомо, що ГА імітують процес природного відбору і еволюції з певною похибкою, тому що цей процес є доволі випадковим. Беручи до уваги отримані результати, тестування ГА вважається успішним, що дає підстави перейти до вирішення основної задачі. 6. Вирішення задачі Апроксимація функції поліномом з дійсними степенями полягає у обчисленні коефіцієнтів полінома, які максимально точно відтворюватимуть функцію (1).Спочатку застосовано загальний підхід в якому всі коефіцієнти апроксимації 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 та дійсні степені поліному 𝑛1 , 𝑛2, 𝑛3 обчислювалися за допомогою ГА. Принагідно зазначимо, що 𝑎0 = 1. Для всіх коефіцієнтів задано однакові інтервали [-5, 5], а налаштування фітнес функції (6) були такими ж як і на етапі тестування. В результаті обчислено коефіцієнти апроксимації𝑎1 = −1.682,𝑎2 = Козак О.В., Самотий В. В., Павельчак А. Г. Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами 152 2.603 , 𝑎3 = −2.312 та дійсні степені поліному 𝑛1 = 3.743 , 𝑛2 = 3.323 , 𝑛3 = 0.927. Отримана залежність наведена на рисунку 2. Відносна похибка склала 𝛿 = 5.76% , а значення фітнес функції склало 𝑓𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 = 11.533 . Для розв’язку системи рівнянь отриманого в (4) відносна похибка склала 𝛿 = 9.02% , а значення фітнес функції 𝑓𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 = 18.054 . Таким чином розв’язок знайдений генетичним алгоритмом є кращим ніж отриманий розв’язок системи рівнянь.Однак як можна побачити на рисунку 2, найкраще рішення яке вдалося отримати таким способом має місце для покращення. Знайдене рішення на початку має дуже велике відхилення від згасаючої синусоїди. Основна проблема в тому, що для ГА в цьому випадку важко знайти одночасно всі типи коефіцієнтів, які би добре підходили під вирішення задачі, через дуже велику варіативність, враховуючи що навіть невеликі коливання степені може доволі сильно вплинути на результат. Рис. 2. Результати пошуку коефіцієнтів за допомогою ГА Так як такий підхід не зміг досягнути бажаного результату, підхід до вирішення задачі було змінено на комбінований, який складається з двох кроків. Перший крок передбачає пошук 𝑎1, 𝑎2 та 𝑎3 коефіцієнтів з формули (2), а другий крок передбачає пошук коефіцієнтів степенів 𝑛1, 𝑛2 та 𝑛3 з формули (3). Отже переходимо до першого кроку. Для пошуку коефіцієнтів використано такі ж налаштування ГА і фітнес як і під час тестування. Для коефіцієнтів 𝑎1, 𝑎2 та 𝑎3 інтервал був заданий у межах [-5, 5]. Після виконання програми отримано наступний результат: 𝑦 = 1 − 3.782𝑥 + 3.239𝑥2 − 0.782𝑥3 (7) У формулі (5) записано знайдене рішення за допомогою розрахунку системи рівнянь методом Гауса і у формулі (7) за допомогою ГА. Для того, щоб вирішити, яке рішення обрати для проведення другого кроку було визначено ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип.38, 145-153 153 відносну похибку обох рішень, вона склала 9.02% і 8.12% відповідно. Так як рішення яке знайшов ГА отримало меншу похибку було обрано його. Тепер переходимо до другої частини підходу. Коли коефіцієнти 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 та 𝑎3 відомі, завдання зводиться до того, щоб знайти коефіцієнти степенів 𝑛1, 𝑛2 та 𝑛3 з формули (3). Для цього потрібно провести наступну ітерацію пошуку. Для коефіцієнтів степенів задано наступні інтервали 𝑛1 ∈ [0.5, 1.5], 𝑛2 ∈ [1.5, 2.5] і 𝑛3 ∈ [3, 4]. Якщо подивитися на ці інтервали тоді виникає запитання, чому у 𝑛3 інтервал не відповідає [2.5, 3.5], так як це би узгоджувалося з іншими інтервалами коефіцієнтів степенів. Причина у тому, що під час пошуку рішень було визначено, що найкращі рішення 𝑛3 досягали верхньої межі для 𝑛3 коефіцієнта степені, тому межі для цього коефіцієнта було змінено, щоб покращити рішення і це спрацювало. В результаті ми отримали наступні коефіцієнти𝑎0 = 1, 𝑎1 = −3.782,𝑎2 = 3.239 , 𝑎3 = −0.782 і коефіцієнти степенів 𝑛1 = 1.335 , 𝑛2 = 2.459 , 𝑛3 = 3.546 . На рисунку 3 зображено результат проведеної оптимізації за допомогою ГА, чорним кольором позначено згасаючу синусоїду і зеленим рішення знайдене за допомогою ГА. Як бачимо після проведення оптимізації графік став плавнішим у порівнянні із минулими результатами. В результаті отримано фінальне вирішення задачі для якого відносна похибка становить 𝛿 = 3.01% та значення фітнес функції склало 𝑓𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 = 6.037: Рис. 3. Порівняння оптимізованого за допомогою ГА і очікуваного рішень Висновки. В роботі реалізовано новий метод апроксимації нелінійних алгебричних функцій поліномами з дійсними степенями. Для обчислення коефіцієнтів апроксимації і степенів полінома використано ГА.Дослідження показали, що доцільно почергово виконувати обчислення,так як досягається більша точність у порівнянні із одночасним пошуком коефіцієнтів апроксимації і Козак О.В., Самотий В. В., Павельчак А. Г. Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами 154 степенів полінома. На першому кроці задаємо степені, що відповідають кубічному поліному. Далі з допомогою ГА визначаємо коефіцієнти апроксимації кубічного поліному. На другому кроці знайдені коефіцієнти апроксимації вважаємо сталими. Далі застосовуючи ГА обчислюємо степені поліному як дійсні числа. Цей алгоритм можна повторити, а саме степені поліному знайдені на попередньому кроці вважаємо сталими і, застосовуючи ГА уточнюємо коефіцієнти апроксимації. Таке розпаралелення обчислень покращує збіжність ГА і підвищує точність апроксимації. Тим не менш, в подальшому потрібно врахувати наступні шляхи удосконалення:  Впровадження гібридизованих еволюційних алгоритмів задля покращення якості знайдених рішень та оптимізації продуктивності ЕА [26-27].  Модифікація функції фітнесу задля зменшення кількості обчислень, що в загальному також впливає на продуктивність.  Оптимізація налаштувань ГА, таких як: кількість популяції, кількість генерацій та критерію зупинки алгоритму у випадку якщо значення фітнесу не змінюється протягом певної кількості генерацій. Література [1] Chemmangat K., Ferranti F., Knockaert L., Dhaene T. (2011). Parametric Macromodeling for Sensitivity Responses From Tabulated Data. IEEE Microwave and Wireless Components Letters. vol. 21, no. 8, pp. 397-399. [2] Gu Y., Wang X., Gao P., Li X. (2021). Mechanical Parametric Sensitivity Analysis of High-Speed Permanent Magnet Synchronous Machine. IEEE Transactions on Applied Superconductivity. vol. 31, no. 8, pp. 1-4. [3] Chen H.and Lee C. H. T. (2019). Parametric Sensitivity Analysis and Design Optimization of an Interior Permanent Magnet Synchronous Motor. IEEE Access. vol. 7, pp. 159918-159929. [4] Grancharova A., Johansen T.A. (2012). Explicit Nonlinear Model Predictive Control. Springer Berlin, Heidelberg, pp. 301. [5] Pahner U., Hameyer K. and Belmans R. (1999). A parallel implementation of a parametric optimization environment-numerical optimization of an inductor for traction drive systems. IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 14, no. 4, pp. 1329-1334. [6] Rao S. S. (2019). Engineering Optimization Theory and Practice. John Wiley & Sons, Inc, pp. 798. [7] Arora J. S. (2016). Introduction to Optimum Design. (Fourth Edition), Elsevier, pp. 968. [8] Deb K. (2012). Optimization For Engineering Design: Algorithms And Examples. (Second Edition), Phi, pp. 421. [9] Blinn J.F. (2006). How to solve a cubic equation. Part 1. The shape of the discriminant. IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 26, no. 3, pp. 84-93. [10] Blinn J.F. (2006). How to Solve a Cubic Equation, Part 2: The 11 Case. IEEE Computer Graphics and Applications vol. 26, no. 4, pp. 90-100. [11] Blinn J.F. (2006). How to Solve a Cubic Equation, Part 3: General Depression and a New Covariant. IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 26, no. 6, pp. 92-102. [12] Blinn J.F. (2007). How to Solve a Cubic Equation, Part 4: The 111 Case. IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 27, no. 1, pp. 100-103. [13] Blinn J.F. (2007). How to Solve a Cubic Equation, Part 5: Back to Numerics. IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 27, no. 3, pp. 78-89. [14] Strobach P. (2011). Solving cubics by polynomial fitting. Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 235, no. 9, pp. 3033-3052. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2023, вип.38, 145-153 155 [15] Flocke N. (2015). Algorithm 954: An Accurate and Efficient Cubic and Quartic Equation Solver for Physical Applications. ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 41, no. 4, no. 30, pp. 1- 24. [16] Deb K. (2009). Multi-objective optimization using evolutionary algorithms. John Wiley & Sons, pp. 544. [17] Yang X. S. (2020). Nature-Inspired Optimization Algorithms. (Second Edition), Elsevier, pp. 310. [18] Mirjalili S., A. Lewis. A. (2016). The Whale Optimization Algorithm. Advances in Engineering Software, vol. 95, pp. 51-67. [19] Jin Y. (2011). Surrogate-assisted evolutionary computation: Recent advances and future challenges. Swarm and Evolutionary Computation, vol. 1, no. 2, pp. 61-70. [20] Nocedal J., Wright S. J. (2006). Numerical optimization. (Second Edition), Springer Science & Business Media, pp. 664. [21] Glover F., Laguna M. (1998). Tabu search. Springer Science & Business Media, pp. 382. [22] Eiben A. E., and Smith J. E. (2015). From evolutionary computation to the evolution of things. Nature, vol. 521, 476-482. [23] Deb K., Pratap A., Agarwal S., Meyarivan T. (2002). A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, vol. 6, no. 2, pp. 182-197. [24] Holland J. H. (1992). Adaptation in natural and artificial systems: An introductory analysis with applications to biology, control, and artificial intelligence. The MIT press, pp. 232. [25] Simon D. (2013). Evolutionary optimization algorithms. John Wiley & Sons, Inc, pp. 784. [26] Fister I., Mernik M., Brest J. (2013). Hybridization of Evolutionary Algorithms. In: Kita E (ed) Evolutionary algorithms, InTech, pp 3–26. [27] Grosan C. and Abraham A. (2007). Hybrid Evolutionary Algorithms: Methodologies, Architectures, and Reviews. Hybrid Evolutionary Algorithms, Studies in Computational Intelligence, Springer, vol. 75. pp. 1-17. Evolutionary method of functions approximation by real polynomials Oleh Kozak, Volodymyr Samotyi, Andriy Pavelchak This paper proposes a hybrid method for determining the coefficients of a polynomial whose power coefficients are real numbers using a genetic algorithm (GA). The input is a set of discrete values of the function arguments. The main focus of our approach is to approximate functions using real polynomials, which provide more flexibility compared to cubic polynomials. Our approach involves a two-step optimization process. In the first step, the power coefficients of the polynomial are equal to cubic polynomial powers. Then approximation coefficients of the cubic polynomial are calculated using GA. In the second step, instead of cubic polynomial is introduced polynomial with real powers. In this step the approximation coefficients of polynomial are set as constant and power coefficients of polynomial are calculated using GA to refine the solution. This makes it possible to quickly and accurately approximate a given function with a polynomial whose powers are real numbers. The evolutionary nature of the method ensures adaptability and the ability to overcome functional obstacles, thus achieving better overall approximation performance. Research has shown that, compared to conventional polynomials, significantly higher approximation accuracy has been achieved. Keywords: polynomial with real powers, approximation of functions, non-periodic signals, genetic algorithms, optimization algorithms, parametric optimization. Отримано 16.12.23
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-347
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:10:39Z
publishDate	2023
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/be/18808aedc4cd3129053a5887c70213be.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-3472024-10-19T19:01:15Z Evolutionary method of functions approximation by real polynomials Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами Козак, Олег Самотий, Володимир Павельчак, Андрій поліном з дійсними степенями, апроксимація функцій, неперіодичні сигнали, генетичні алгоритми, алгоритми оптимізації, параметрична оптимізація. укр This paper proposes a hybrid method for determining the coefficients of a polynomial whosepower coefficients are real numbers using a genetic algorithm (GA). The input is a set of discretevalues of the function arguments. The main focus of our approach is to approximate functionsusing real polynomials, which provide more flexibility compared to cubic polynomials. Ourapproach involves a two-step optimization process. In the first step, the power coefficients of thepolynomial are equal to cubic polynomial powers. Then approximation coefficients of the cubicpolynomial are calculated using GA. In the second step, instead of cubic polynomial is introducedpolynomial with real powers. In this step the approximation coefficients of polynomial are set asconstant and power coefficients of polynomial are calculated using GA to refine the solution. Thismakes it possible to quickly and accurately approximate a given function with a polynomial whosepowers are real numbers. The evolutionary nature of the method ensures adaptability and theability to overcome functional obstacles, thus achieving better overall approximationperformance. Research has shown that, compared to conventional polynomials, significantlyhigher approximation accuracy has been achieved. В даній роботі запропоновано гібридний метод визначення коефіцієнтів полінома, степені якого є дійсними числами з використанням генетичного алгоритму (ГА). Вхідною інформацією є набір дискретних значень аргументу і функції. Основний фокус нашого підходу полягає в апроксимації функцій за допомогою дійсних поліномів, які надають більшу гнучкість у різних сценаріях. Наш підхід передбачає двокроковий процес оптимізації. У першому кроці в якості початкового наближення вибираються коефіцієнти полінома з цілими степенями, які обчислені за допомогою ГА. Наступним кроком є знаходження дійсних степенів полінома і уточнення коефіцієнтів апроксимації, що також відбувається за допомогою ГА. Це дало можливість швидко і достатньо точно апроксимувати задану функцію поліномом, степені якого є дійсними числами. Еволюційний характер нашого методу забезпечує адаптивність і здатність долати функціональні перепони, таким чином досягаючи кращої загальної продуктивності апроксимації. Дослідження показали, що у порівнянні зі звичайними поліномами була досягнута значно вища точність апроксимації. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2023-12-25 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/347 10.15407/fmmit2023.38.147 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 38 (2023): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 147-155 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 38 (2023): ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 147-155 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2023.38 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/347/307 Авторське право (c) 2023 Олег Козак, Володимир Самотий, Андрій Павельчак (Автор)
spellingShingle	поліном з дійсними степенями апроксимація функцій неперіодичні сигнали генетичні алгоритми алгоритми оптимізації параметрична оптимізація. Козак, Олег Самотий, Володимир Павельчак, Андрій Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами
title	Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами
title_alt	Evolutionary method of functions approximation by real polynomials
title_full	Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами
title_fullStr	Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами
title_full_unstemmed	Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами
title_short	Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами
title_sort	еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами
topic	поліном з дійсними степенями апроксимація функцій неперіодичні сигнали генетичні алгоритми алгоритми оптимізації параметрична оптимізація.
topic_facet	поліном з дійсними степенями апроксимація функцій неперіодичні сигнали генетичні алгоритми алгоритми оптимізації параметрична оптимізація. укр
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/347
work_keys_str_mv	AT kozakoleg evolutionarymethodoffunctionsapproximationbyrealpolynomials AT samotijvolodimir evolutionarymethodoffunctionsapproximationbyrealpolynomials AT pavelʹčakandríj evolutionarymethodoffunctionsapproximationbyrealpolynomials AT kozakoleg evolûcíjnijmetodaproksimacíífunkcíjdíjsnimipolínomami AT samotijvolodimir evolûcíjnijmetodaproksimacíífunkcíjdíjsnimipolínomami AT pavelʹčakandríj evolûcíjnijmetodaproksimacíífunkcíjdíjsnimipolínomami

Еволюційний метод апроксимації функцій дійсними поліномами

Репозитарії

Схожі ресурси