Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок

In this paper, we extend the first part of our study, devoted to the analysis of the well-posedness of the axisymmetric variational formulation of the static boundary value problem for a Timoshenko cylindrical shell and to the identification of criteria for its singular perturbation. The present con...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2026
Hauptverfasser:	Шинкаренко, Георгій, Малашняк, Павло
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2026
Schlagworte:	метод скінченних елементів
Online Zugang:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/431
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Institution

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1868385068210192384
author	Шинкаренко, Георгій Малашняк, Павло
author_facet	Шинкаренко, Георгій Малашняк, Павло
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Георгій Шинкаренко", "institution": null }, { "author": "Павло Малашняк", "institution": null } ]
author_sort	Шинкаренко, Георгій
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2026-06-18T09:17:12Z
description	In this paper, we extend the first part of our study, devoted to the analysis of the well-posedness of the axisymmetric variational formulation of the static boundary value problem for a Timoshenko cylindrical shell and to the identification of criteria for its singular perturbation. The present contribution focuses on the development of a finite element algorithm for computing piecewise linear approximations of the generalized displacement vector of the shell. To avoid computationally expensive numerical integration procedures, we derive explicit algebraic expressions for the contributions of individual finite elements to the resulting block tridiagonal system of linear algebraic equations associated with the finite element method (FEM). This representation significantly simplifies the implementation while preserving the accuracy of the method. Furthermore, an elementwise defined a posteriori error estimator (APEE) is proposed for the constructed FEM approximations. The corresponding error indicators are based on quadratic shape functions with coefficients characterizing the approximation residuals evaluated at the centers of finite elements. These coefficients are proportional to the square of the element length and include factors that emulate the values of the second derivatives of the displacement components at the element centroid. The remainder of the paper is devoted to numerical experiments for a fully clamped cylindrical shell exhibiting pronounced boundary layers in the vicinity of its ends. A detailed convergence analysis of the FEM approximations on uniformly refined meshes, performed in equivalent norms of the space of admissible displacements, demonstrates the reliability and efficiency of the proposed a posteriori error estimator, as well as its ability to reproduce the true FEM errors with high accuracy
doi_str_mv	10.15407/fmmit2026.42.035
first_indexed	2026-06-19T01:00:52Z
format	Article
fulltext	35 УДК 519.6:517.925 https://doi.org/10.15407/fmmit2026.42.035 Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок Георгій Шинкаренко1, Павло Малашняк2 1професор Львівськог онаціонального університету імені Івана Франка, Львів, 2аспірант Львівського національного університету імені Івана Франка, Львів, 1heorhiy.shynkarenko@lnu.edu.ua,2pavlo.malashnyak@lnu.edu.ua Тут ми доповнюємо першу частину цього дослідження, присвячену питанням коректності варіаційної задачі статики циліндричної оболонки Тимошенка під дією осесиметричних навантажень та критеріям її сингулярної збуреності, алгоритмом обчислення кусковолінійних апроксимацій вектора узагальнених зміщень методом скінченних елементів (МСЕ). З метою уникнення трудомісткого числового інтегрування ми подаємо алгебричні вирази внесків з кожного скінченного елемента до блочнотридіагональної системи лінійних алгебричних рівнянь цього методу. Далі ми пропонуємо поелементно визначений апостеріорний оцінювач похибок (АОП) таких наближень, індикатори якого засновані на квадратичних базисних функціях з коефіцієнтами, які описують залишки апроксимації в центрах скінченного елемента. Ці коефіцієнти пропорційні квадрату довжини скінченного елемента з множниками, які імітують значення других похідних зміщень в центрі його ваги. Решта статті містить результати числового моделювання на прикладі жорстко защемленої оболонки з примежовими шарами в околах її торців. Детальний аналіз збіжності апроксимацій на рівномірно згущуваних сітках з використанням еквівалентних норм простору допустимих зміщень демонструє надійність та ефективність АОП, здатність відтворювати істинні похибки МСЕ і з високою достовірністю. Вступ. У першій частині [1] цього дослідження було знайдено достатні умови коректності варіаційної задачі про кругову циліндричну оболонку моделі Тимошенка за осесиметричних крайових та розподілених навантажень. Встановлений там же критерій сингулярної збуреності цієї задачі сигналізує, що за певних умов у таких конструкцій можливе виникнення так званих примежових та/або внутрішніх шарів, які характеризуються локальними концентраторами їхнього напруженого стану і створюють, зокрема, загрози їхньої безпечної експлуатації. З огляду на їхні різноманітні застосування і складність математичного моделювання в останні десятиліття досягнуто значного прогресу завдяки використанню методів числового аналізу, зокрема, методу скінченних елементів, див., напр.,[2-8]. З іншого боку, згадані фактори складають труднощі і для числового аналізу характеристик таких оболонок, оскільки апроксимації їх розв’язків супроводжуються великими значеннями похибок, подолати які часто вдається надмірними обчислювальними витратами, наприклад, рівномірним згущенням https://doi.org/10.15407/fmmit2026.42.0 mailto:heorhiy.shynkarenko@lnu.edu.ua mailto:pavlo.malashnyak@lnu.edu.ua Георгій Шинкаренко, Павло Малашняк Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок 36 сіток в методі скінченних елементів чи скінченних різниць. У кожному разі за таких обставин знайдені апроксимації шуканого розв’язку вимагають ефективних і надійних оцінок якості і точності їхнього наближення до істинного розв’язку аналізованої моделі. З цією метою свого часу теорія і практика МСЕ була доповнена концепцією апостеріорного оцінювання похибок [9], яка дістала розвиток в інженерних та наукових обчисленнях, див. монографії [7,10-15] та нещодавні огляди [16-18]. У цій частині статті ми будуємо (і) обчислювальну схему МСЕ з використанням апроксимацій вектора узагальнених зміщень оболонки та (іі) доповнюємо її поелементно визначеним апостеріорним оцінювачем похибок АОП залишкового ґатунку, здатним обчислити нижню межу істинної похибки в енергетичній нормі (глобальна оцінка) і відтворити її розподіл між скінченними елементами вжитої сітки (локальні оцінки). Вже на цьому етапі дістаємо можливість, наприклад, рівномірним згущенням сітки знаходити наближені розв’язки сингулярно збурених задач із заздалегідь заданою допустимою похибкою. Щоб вияснити важливі деталі нашої методики тут використано найпростіші кусково лінійні апроксимації МСЕ і запропоновано спосіб побудови їх апостеріорних оцінювачів похибок, які дозволяють виявити наявність примежових і внутрішніх шарів та локалізувати покращення (згущення) сітки лише в цих регіонах шуканого розв’язку. У цьому зв’язку стаття організована у такий спосіб. У п. 1 ми нагадуємо формулювання варіаційної задачі про рівновагу оболонки [1]. У п. 2 ми подаємо класичну схему МСЕ з побудовою його системи лінійних алгебричних рівнянь для обчислення наближених значень вектора узагальнених зміщень у вузлах не обов’язково рівномірної сітки скінченних елементів. Особливість її формування – обчислення внесків до глобальної матриці та вільних членів з кожного скінченного елемента. Ми подаємо точні значення коефіцієнтів цих внесків, обчислені нами за допущення сталих даних задачі на скінченному елементі. У п. 3 ми також за цих допущень уникаємо числового інтегрування при побудові індикаторів апостеріорного оцінювача похибок (АОП) залишкового ґатунку для кусково лінійних апроксимацій МСЕ і наводимо аналітичний вигляд коефіцієнтів їхнього розвинення за кусково квадратичним базисом. Останні наочно демонструють, що похибки обчисленої апроксимації зміщень є величинами, пропорційними квадратам довжин скінченних елементів з лишками, спричиненими неспроможністю відтворити рівняння рівноваги оболонки кусково лінійними базисними функціями МСЕ. П. 4 доповнює теоретичні положення результатами числових експериментів і з модельною сингулярно збуреною крайовою задачею і з примежовими шарами в околах жорстко защемлених торців оболонки. Останні переконливо демонструють надійність та ефективність запропонованого способу побудови АОП для кусково лінійних апроксимацій МСЕ. Висновки підсумовують одержані результати цієї роботи. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 35-49 37 1. Формулювання варіаційної задачі Ми розглядаємо осесиметричну задачу статики однорідної ізотропної кругової циліндричної оболонки радіуса R , довжини L і товщини 1,  R t t , напружено-деформований стан якої, викликаний деякими масовими, поверхневими та торцьовими навантаженнями, може бути змодельований лінійними рівняннями теорії оболонок Тимошенка. Тут ми орієнтуємося на варіаційне формулювання такого класу задач, яке в термінах статті [1] описується таким чином: знайти вектор зміщень       0)0(:)(,,:,, 31  φφψ Hywu такий, що ,,)(  φφφψ, l (1.1) де   ,,)()()()()(:)( 000   φψψεφεψσφεφψ,φψ, dzKdzdz L TL TL (1.2)   .)()()( )(:, 1131 0 431 0     φ φσφfφ LMLyNLNdzfyff Ldzl L TL T (1.3) Тут компоненти тензора деформацій  T ,,, 1321ε та компоненти тензора напружень  TMNNN 11321 ,,,σ , обчислені на векторі зміщень   ,, yφ , пов’язуються законом Гука та співвідношеннями Коші )()( φεKφσ  такої структури                                           y Ry D B BB BB M N N N c 000 000 00 00 1 13 2 1 , (1.4) де значення коефіцієнтів матриціK визначаються згідно правил 6 5 , )1(2 , )1(12 , 1 2 2 3 2        kk Et B Et D Et B c , (1.5) Коефіцієнти )21,0(0  iE описують модулі пружності Юнга і Пуассона матеріалу оболонки відповідно, за деталями див. [1]. Нарешті, використовуючи (1.4) подамо підінтегральний вираз білінійної форми (1.2) у розгорненому вигляді    .,))(( )()()(),( 12    φψ ψσφεψφ DywB yuwvRwyRuB c T (1.6) Георгій Шинкаренко, Павло Малашняк Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок 38 У першій частині цього дослідження [10] показано, що задача (1.1)-(1.3) має єдиний розв’язок, який неперервно залежить від її даних, як у енергетичній нормі ,)(: 21   φφφ,φ (1.7) так і у еквівалентній їй нормі Соболєва  311 )(:)(  HH . Більше цього, запропонований в [1] критерій подібності L t L R N   62 1 (1.8) буде слугувати нижче основним параметром для оцінки впливу на сингулярну збуреність моделі оболонки. 2. Kусково лінійні апроксимації вектора зміщень Для обчислення наближеного розв’язку задачі (1.1)-(1.3) із заданим натуральним 𝑁 утворимо сітку вузлів Lzzz N  100 та поділ   1 021   N iih K на скінченні елементи ),,( 121   iii zzK iiii zzKh   12121 , 2121 max   iK hh hi . Сконструюємо на h кусково лінійні скалярні функції  N ii z 1 )(   , з властивостями ijji z  )( ,локальними носіями 2121supp:  iiii KK  для Ni  , і 21supp:  NNN K для Ni  . Тоді апроксимація МСЕ визначається у вигляді   ),,0()()()()( )( 0 0 0 )( 0 0 0 )( )()( 11 3,2,1, 11 Lzzzwzuz z wzu z zz i N i i N i iiiiii N i i i iii i i N i ih                                                    qNφφφ qψ (2.1) де вектор  T iiii wu  ,,q презентує наближене значення вектора узагальненого переміщення у вузлі )()(: iihii zzz ψψq  . Разом із цим розвинення (2.1) показує, що таким чином визначена апроксимація МСЕ є елементом скінченновимірного підпростору ΦΦ h , базис якого складають трійки векторів   .,,0 0 , 0 0 , 0 0: 13,2,1, 1 N iiii N ii i i h spanspan                                                         φφφ φ φ φ Φ (2.2) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 35-49 39 Процедура Рітця-Гальоркіна у цьому випадку приводить (1.1) до задачі для системи лінійних алгебричних рівнянь: знайти коефіцієнти векторів  T iiii wu  ,,q Ni ,,1 , розвинення (2.1) такі, що задовольняють системі з 3𝑁 лінійних алгебричних рівнянь                   .,,1, , , , ,,, ,,, ,,, 3, 2, 1, 1 3,3,3,2,3,1, 2,3,2,2,2,1, 1,3,1,2,1,1, Nj l l l w u j j j i i iN i jijiji jijiji jijiji                                        φ φ φ φφφφφφ φφφφφφ φφφφφφ (2.3) Внаслідок локальності носіїв скалярних функцій  N ii z 1 )(   серед матриць розмірності 33                   ,,,1,, ,,, ,,, ,,, : 3,3,3,2,3,1, 2,3,2,2,2,1, 1,3,1,2,1,1, Nji jijiji jijiji jijiji ij                φφφφφφ φφφφφφ φφφφφφ Μ (2.4) Ненульовими будуть лише ті, індекси яких задовольняють умові .1 ji Тому оптимізація трудомістких обчислень коефіцієнтів системи рівнянь МСЕ базується на використанні такої специфіки її будови: (i) структура системи рівнянь МСЕ (2.3) є блочно трьохдіагональною ,1,,2; , , 11 1111 1212111      NjNNNNNNN jjjjjjjjjj FqΜqΜ FqΜqΜqΜ FqΜqΜ (2.5) (ii) обчислення матриць jjΜ з 1 ji виконується інтегруванням лише на одному скінченному елементі, точніше, матриці 1jjΜ -на елементі 21iK та матриці 1jjΜ -на елементі 21iK ; (iii) знаходження коефіцієнтів матриць ,11,  NjjjΜ виконується інтегруванням лише на суміжних скінченних елементах зі спільним вузлом jz , точніше, на 2121  jj KK  ,     3 1, ,,,,11 ,,: 1 1             mk mjkj z zmjkj z zjjjjjj dzdz j j j j φφφφDBΜ , в той же час     3 1, ,, 3 1, ,1,11111 1 1 0 ,:,,:                      mk z z mNkNNNNN mk z z mk N N dzdz φφBΜφφDΜ ; (iv) подібний спосіб обчислення і правих частин системи рівнянь (2.3), а саме, Георгій Шинкаренко, Павло Малашняк Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок 40                                                   1 13 1 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1 3, 2, 1, :, , , , : 1 1 M N N dzdz l l l NN z z j T j T j T z z j T j T j T jj j j j j j j j j PF φf φf φf φf φf φf QP φ φ φ F ; (v) система лінійних алгебричних рівнянь ,212121   iii FqK описує з точністю до жорстких зміщень статичну рівновагу скінченного елемента ,1,K 21 Nii  а її розгорнений запис hi i i i i iiii iiii K                      21 11111 1 Q P q q DΜ ΜB (2.6) підказує (добре відомий в практиці) спосіб формування системи (2.5)послідовним додаванням до її складових внесків (2.6)з кожного скінченного елемента. В такий спосіб зменшується кількість обчислень інтегралів як на кожному скінченному елементі, так і рівнянь (2.5) в цілому. З огляду на малість довжини скінченного елемента 21iK та лінійність базисних функцій на ньому інтегрування коефіцієнтів системи рівнянь (2.6) можна виконати квадратурами невисокого порядку точності. Альтернативний варіант наближеного знаходження цих коефіцієнтів – підставити під знак інтеграла усереднені в той чи інший спосіб дані задачі та зінтегрувати поліноми найвище другого порядку аналітично. Нижче ми подаємо наш результат цього способу обчислень, який вжито нами нижче. Теорема 2.1 про систему рівнянь МСЕ для кусково лінійних апроксимацій. Нехай для обчислення наближеного розв’язку задачі (1.1)–(1.3) на елементі hiK  21 вжито лінійну апроксимацію зміщень (2.1). Тоді за допущення, що дані задачі апроксимуються значеннями в центрах скінченних елементів, система рівнянь 212121   iii FqK з (2.6) обчислюється згідно правила: Шукані значення  ,,,,,, 11121    iiiiii T wuwu i q вектор правих частин   ,,,,,, 431431212 1 21 T i T ffffffh i   F матриця коефіцієнтів , 00 00 00 00 3262 232262 22 6232 262232 22 21 22 22                            h DhBB h DhBB B R Bh h B R BvB R Bh h B R Bv R Bv h B R Bv h B h DhBB h DhBB B R Bh h B R BvB R Bh h B R Bv R Bv h B R Bv h B i cccc cccc cccc cccc K (2.7) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 35-49 41 де для скорочення запису прийнято 21:  ihh . Доведення цього твердження одержується безпосередніми обчисленнями інтегралів з (2.6). 3. Апостеріорний оцінювач похибки частинами лінійних апроксимацій Тут ми поширюємо методику статей [19] та [20] на розв’язання одновимірної задачі про циліндричну оболонку та подаємо повну характеристику наших результатів, анонсованих в [10]. Нехай на поділі   1 021   N iih K обчислено кусково лінійну апроксимацію  T iii N i ii N i ih wuzzz    ,,)()()( 11 qψ (3.1) розв’язку задачі (1.1)–(1.3). Тоді похибка знайденого наближення hψψe : визначається як розв’язок задачі про лишок:      .),(,:,),( щотаку,,похибку знайти Eφφψφφφe EΦΦEe hh h lR (3.2) З огляду на те, що ,dim E наближений розв’язок задачі (3.2) – апостеріорний оцінювач похибки (АОП) )(zhh εε  – будемо шукати дискретизацією Гальоркіна:         .,),( щотакий, похибки оцінювач знайти ;,dim, задано hhh hh hhhh R N Eφφφε Eε ΦψEEE (3.3) Щоб вибрати зручний у застосуваннях базис підпростору похибок hE , спочатку подамо довільну ланку апроксимації (3.1) у вигляді ,)()( 21212121 21 1 21 1 21            iiii i i i i ii iKh Kzzz h zz h zz z i qqqqψ  (3.4) де для скорочення запису ми вживаємо таких позначень   .:,: 21 1 2112 1 21      i ii iiii h qq qqqq  Останній рядок у (3.4) нагадує два перші члени розвинення функції за формулою Тейлора. Оскільки, у загальному випадку, МСЕ здатний точно відтворити ці перші члени розвинення, то очікувана похибка кусково лінійного наближення буде порядку залишку, тобто .)())(()()(:)( 21 2 21 2 21   iiih KzhOzzzzz ψDψψe З цих міркувань будемо конструювати локальні індикатори (АОП) у вигляді квадратичних поліномів: Георгій Шинкаренко, Павло Малашняк Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок 42                        ,1,,0,4:)( ,supp ,,,)()(:)( 21 2121 1 21 2121 21212121 NiKz h zz h zz zb Kb zbzbz i i i i i i ii T wuiiii  λε (3.5) в такому разі глобальний АОП матиме кусково квадратичну структуру  .,0)()()( 1 0 2121 1 0 21 Lzzbzz N i ii N i ih         λεε (3.6) Добре видно, що на 21iK серед векторів hE ненульовими буде трійка ортогональних векторів . )( 0 0 )(, 0 )( 0 )(, 0 0 )( )( 21 21 3212 21 1                                       i i i i Kz zb zzbz zb z bbb (3.7) Тому коефіцієнти   ,,21 wui λ індикатора )(2121 zii   εε визначаються із задачі про залишок (3.3) у деталізованому вигляді: знайти вектор 3 21 Ri λ такий, що ,3,2,1),,(,:,),( 21   mlR mhmmhmi bψbbbε (3.8) Нарешті після підставлення (3.5) до системи рівнянь (3.8) прийдемо до такого результату. Теорема 3.1 про коефіцієнти індикатора АОП Нехай знайдено апроксимацію hψ і для контролю її похибки hi z ψψe  )(21 на елементі hiK  21 використано індикатор 21iε , визначений виразами (3.5). Тоді розв’язок системи алгебричних рівнянь (3.8)    ,,21 wuiλ обчислюється згідно таких правил: ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 35-49 43       . 2 8 1 , , , 2 1 8 1 , , , 8 1 , , 2 2110 1 1 21 1 2 21 33 3 2 21 2 10 1 21 1 21 11 2 21 22 2 21 11 2 21 11 1                                                       iC ii i ii C i iC i ii c i iiii w iw i ii u iu hBD h ww Bf h R hBRB h B h uu v ww RR B f h R B h ww BvRf h R        bb b bb b bb b (3.9) Тут   ,,,),(,1,),(,, 21   wupzffiimzwu ippmh T mmmm ψq тощо. Зауваження 3.1. Підставимо до (3.9) замість ),( mhm zψq  ,1,  iim розвинення розв’язку ,1,),(  iimzmψ за формулою Тейлора в точці 21 izz , знехтуємо в знаменниках величинами порядку )( 2 21ihO і вище; тоді, скориставшись рівняннями рівноваги, спростимо (3.9) до вигляду ).( 8 1 ),( 8 1 ),( 8 1 21 2 2121 2 2121 2 21    iiiiwiiu zhzwhzuh (3.10) Отже, коефіцієнти індикатора )(21 zi допускають таку інтерпретацію: вони є значеннями похідних другого порядку зміщень в центрі скінченного елемента (які анулює кусково лінійна апроксимація МСЕ!) з однаковими вагами 2 218 1 ih . Останні підтверджують, що індикатори похибок відтворюють точкові порядки збіжності кусково лінійних наближень з показниками, які передбачає теорія апріорних оцінок похибок МСЕ. Поряд із цим, для обчислення енергетичних норм індикаторів та самого АОП одержуємо вирази:   ,, 321 2 33 2 22 2 112121 2 21     wuwuiii εεε (3.11) . 1 0 2 21 2       N i ih εε (3.12) Знайдений в (3.11) розподіл наближених значень норм похибок демонструє можливість їх ефективного обчислення на рівні кожного скінченого елемента сітки, в той же час (3.12) характеризує глобальне значення норми АОП в цілому. Ці фактори в сукупності створюють серйозні підстави для створення успішної системи керування похибками апроксимацій МСЕ. 4. Апостеріорні оцінки збіжності Тут ми аналізуємо властивості похибок апроксимацій МСЕ, обчислених на деякій послідовності вкладених (не обов’язково рівномірних) сіток   1,  nnn Георгій Шинкаренко, Павло Малашняк Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок 44 , які породжують послідовність вкладених просторів апроксимацій  ,n ,,1,0,1   nnn . Отже, нехай послідовність наближень  nψ утворена із розв’язків задач: знайти  nnψ такий, що ,,1,0,,),(  nl nn φφφψ (4.1) які одночасно є розв’язками відповідних задач мінімізації квадратичних функціоналів знайти nn ψ такий, що ,,1,0,,2),()()(  nlJJ nn φφφφφψ (4.2) Скориставшись еквівалентністю цих задач обчислимо 22 )()(   ψψψψ JJ nn , (4.3) ,,1,0, 2 1 22 1   nnnnn ψψψψ (4.4) .,,0 22 1 2 Nmnnmn m i inin    ψψψψ (4.5) Тут ψ – розв’язок задачі (1.1). З (4.3)–(4.5) випливає, що послідовність норм апроксимацій   R nn   0 ψ обмежена і неспадна, а, отже, збіжна: .lim 22   ψψnn Тепер, розглядаючи задачу мінімізації на просторі  mn із (4.4) одержуємо, що 0 222   nmnnmn ψψψψ разом з .n Отже, послідовність апроксимацій    0nnψ фундаментальна у цьому просторі і внаслідок його повноти збіжна в ньому до розв’язку (1.1): 0 222   nn ψψψψ разом з .n (4.6) Підсумовуючи ці міркування на підставі (4.4) і (4.6) приходимо до висновку, що нерівність ,,1,0, 22 1 22 1   nnnnn ψψψψψψ (4.7) цілком придатна для оцінки нижньої межі похибок послідовності обчислених апроксимацій. Цим важливим фактом для аналізу похибок МСЕ ми скористаємося в п. 5. 5. Апостеріорні оцінки збіжності: числові експерименти Доповнимо наші теоретичні результати даними числових експериментів з моделлю циліндричної оболонки товщини мt 0025.0 , радіусом серединної поверхні мR 5.0 , довжиною мL 1 під дією зовнішнього поверхневого навантаження .0,1000,0  fПаff wu  Mодуль пружності матеріалу ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 35-49 45 оболонки ПаE 910 і коефіцієнт Пуассона ,0v її торці 0z і Lz  жорстко закріплені. За цих умов критерій подібності (1.8) набуває значення ,0005.0 62 1  L t L R v N що сигналізує про сингулярну збуреність її напружено деформованого стану в околах торців оболонки. Наша мета –проаналізувати показники ефективності та надійності АОП кусково лінійних апроксимацій МСЕ, які обчислювалися на послідовності рівномірно згущуваних сіток скінченних елементів до досягнення такого критерію точності %.1%100:    tol n n n ψ ε (5.1) Одержані результати обчислювальних експериментів внесені до табл. 5.1 та 5.2, дані яких різняться лише використанням енергетичної норми   і еквівалентної їй норми Соболєва   .)()( 21 0 222        φφφφ L dzzz Таблиця 5.1 Збіжність послідовності кусково лінійних апроксимацій та глобальних показників апостеріорних оцінювачів їхніх похибок в термінах енергетичної норми n nN nψ nε %n %n %nr np 0 20 0.863292 0.187177 21.5 22.9 36.8 - 1 40 0.886798 0.158672 17.7 18.7 27.5 0.24 2 80 0.902692 0.129850 14.2 14.6 19.4 0.29 3 160 0.912607 0.097620 10.6 10.2 12.5 0.41 4 320 0.917484 0.062670 6.8 6.1 7.1 0.64 5 640 0.919212 0.034663 3.7 3.2 3.8 0.85 6 1280 0.919691 0.017861 1.9 1.6 1.9 0.96 7 2560 0.919810 0.009001 1.0 - 1.0 0.99 Тут використано такі характеристики наближених розв’язків задачі (1.1): %,100 lnln lnln : %,100:%,100: 1 1 1 1 1 nn nn n n n n n nn n NN p r               εε ψ ψψ ψ ψψ (5.2) де ψ - розв’язок задачі (1.1)-(1.3), обчислений за допомогою Mathematica. Показники покращення апроксимацій МСЕ зі згущенням сітки демонструють монотонний характер збіжності усіх складових, причому порядок збіжності АОП зростає до одиниці, що добре узгоджується з апріорними оцінками. Відзначимо, що послідовність апроксимацій    0nnψ складається з найкращих наближень до розв’язку ψ в кожному з просторів n , тому правило (4.4) може надійно відтворювати глобальні значення похибок. Георгій Шинкаренко, Павло Малашняк Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок 46 Зауважимо, що на відшукання наближення з толерантністю до похибки %1tol витрачено 7 кроків її уточнення, які в сукупності вимагали обчислення та розв’язання 3001531005  лінійних алгебричних рівнянь. Такі ж результати обчислень з використанням норми простору допустимих функцій   подано в табл. 5.2. Таблиця 5.2 Збіжність послідовності кусково лінійних апроксимацій та глобальних показників апостеріорних оцінювачів їхніх похибок в термінах норми простору допустимих функцій   . n nN nψ nε %n %n %nr np 0 20 0.004522 0.027587 33.0 100.0 610.0 - 1 40 0.007730 0.024827 23.1 81.1 321.2 0.15 2 80 0.012678 0.019498 16.2 79.3 153.8 0.35 3 160 0.019053 0.011820 11.0 74.7 62.0 0.72 4 320 0.024475 0.005050 6.9 62.8 20.6 1.23 5 640 0.027424 0.001758 3.8 45.1 6.4 1.52 6 1280 0.027013 0.000665 2.0 18.6 2.4 1.40 7 2560 0.028132 0.000316 1.00 12.4 1.1 1.07 Проте дані цієї таблиці показують неточність оцінок похибок, обчислених за правилом (4.4) в нормі   . Порядки збіжності np норм   nε та їхніх відносних значень  n на початкових кроках уточнення характеризуються монотонним зростанням до показника 5.15 p , після чого ці показники опускаються до очікуваного рівня одиниці. Відсутність монотонності порядків збіжності скоріш за все пояснюється втратою апроксимацій МСЕ в цій нормі статусу найкращих наближень. Нижче на рис. 5.1-5.4 ми подаємо результати обчислень, одержані на останньому кроці нашого уточнення апроксимацій МСЕ на сітці з 25607 N скінченних елементів. Рис. 5.1. Розподіл зусилля )(1 zN вздовж меридіана оболонки Рис. 5.2. Розподіл зусилля )(2 zN вздовж меридіана оболонки ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 35-49 47 Рис. 5.3. Розподіл зусилля )(13 zN вздовж меридіана оболонки Рис. 5.4. Розподіл моменту )(13 zM вздовж меридіана оболонки Внаслідок сингулярно збуреності розглядуваної задачі всі наведені характеристики напружено деформованого стану оболонки демонструють величезні зміни їхніх значень (особливо похідних) в околах защемлених торців, які можна відтворити із використанням сіток з високою роздільною здатністю. Хоча на цій стадії обчислення виконані з відносною похибкою 1%n , проте така інтегральна характеристика знайденої апроксимації, як показують дефекти (осциляції) наближень на рис. 5.1 і рис.5.3, все ж не гарантує якісного відтворення локальних змін наближень в околах примежових шарів навіть за таких високих обчислювальних витрат. Один із підсумків нашого аналізу наштовхує на думку в актуальності розробки надійної технології ідентифікації примежових шарів та локального згущення сітки скінченних елементів в цих регіонах області визначення шуканого розв’язку. Якщо інструмент для ідентифікації примежових шарів вже створено у цій частині нашого дослідження, то розробці стратегії локального покращення сіток МСЕ буде присвячено його заключна частина. Висновки. Для наближеного розв’язання задачі статики циліндричної оболонки Тимошенка в даній статті розглянуто таку числову методику: (і) аналіз коректності варіаційного формулювання крайової задачі про осесиметричне поверхневе і об’ємне навантаження та критерії її сингулярної збуреності, див. частину І [1]; (іі) конструювання алгоритму та програмну реалізацію методу скінченних елементів з використанням кусково лінійних апроксимацій вектора узагальнених зміщень; (ііі) розроблення апостеріорних оцінок похибок знайденого наближення, які дозволяють надійно та ефективно контролювати розподіл їх значень між скінченними елементами сітки як в енергетичній нормі задачі, так і еквівалентній нормі простору допустимих зміщень (простору векторних функцій Соболєва першого порядку). З метою оптимізації комп’ютерних витрат запропонований алгоритм МСЕ засновано на збиранні дискретних рівнянь з аналітично обчислених (за допущення сталих даних задачі або їх апроксимації значеннями у центрі скінченного елемента) внесків кожного скінченного елемента сітки. Нарешті, щоб оцінити рівень похибки знайденого наближення запропоновано кусково квадратичний апостеріорний оцінювач залишкового Георгій Шинкаренко, Павло Малашняк Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок 48 ґатунку, поелементне обчислення його значень (індикаторів) вимагає формування і розв’язання трьох алгебричних рівнянь, розв’язки яких презентують наближені значення похідних зміщень другого порядку з вагами, пропорційними квадратам діаметрів скінченних елементів. Теоретичну характеристику запропонованої методики числового моделювання доповнено результатами обчислювальних експериментів з рівномірно навантаженою тонкою оболонкою, сингулярна збуреність якої є наслідком жорсткого защемлення її торців. Аналіз збіжності послідовності апроксимацій МСЕ на рівномірно згущуваних сітках та оцінка їхньої якості пропонованим оцінювачем похибок продемонстрував здатність останнього надійно обчислювати нижню межу істинної похибки наближення у повній відповідності показникам добре відомих апріорних оцінок збіжності. Література 1. Шинкаренко Г., Малашняк П. Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: І. Коректність осесиметричного варіаційного формулювання // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. 2025, вип. 40: 27-36. 2. Бернакевич І.Є,. Вагін П.П., Шинкаренко Г.А. Математична модель акустичної взаємодії оболонок з рідиною. ІІ. Проекційно-сіткові апроксимації та їх збіжність. Мат. методи та фіз.- мех. поля. 2004; 47(3): 37-44. 3. Вагін П.П., Іванова Н.В., Шинкаренко Г.А. Постановка, розв’язуваність та апроксимація варіаційних задач статики зсувнихоболонок. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 1999; 42(2): 53-61. 4. Григоренко Я.М., Савула Я.Г, Муха И.С. Линейные и нелинейные задачи упругого деформирования оболочек сложной формы и методы их численного решения. Приклад. механика. 2000; 36(8): 3–27. 5. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А., Вовк В.Н. Некоторые приложения метода конечных элементов. Львов: Изд-воЛьвов. ун-та; 1981. 6. Савула Я.Г., Флейшман Н.П. Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями Львов: Вищашкола; 1989. 7. Трушевський В.М., Шинкаренко Г.А., Щербина Н.М. Метод скінченних елементів і штучні нейронні мережі. Теоретичні аспекти і застосування. Львів, Вид. центр ЛНУ ім. ІванаФранка, 2014 – 396 с. 8. M. Radwańska, A. Stankiewicz, A. Wosatko, J. Pamin. Plate and Shell Structures. Selected Analytical and Finite Element Solutions. John Wiley & Sons, 2017. 9. Babuška I., Rheinboldt W. Error estimates for adaptive finite element computations // SIAM J. Numer. Analysis, 1978, 15: 736–754. 10. Шинкаренко Г., Малашняк П. Аналіз h-адаптивних апроксимацій МСЕ в задачах статики циліндричних оболонок. 11-а Міжнар. наук. конф. Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: Збірник наукових праць. Львів: ІППММ ім. Я. Підстригача НАНУ; 2024; 6: 41-42. 11. Ainsworth M., Oden J. T. A posteriori error estimation in finite element analysis. John Wiley & Sons, 2000. 12. Babuška I., and T. Strouboulis. The finite element method and its reliability. Oxford University Press, 2001. 13. Babuška I., Whiteman J.R., Strouboulis T. Finite Elements: An Introduction to the Method and Error Estimation. Oxford University Press, 2011. 316 p. 14. Verfürth R. A Review of A Posteriori Error Estimates and Adaptive Mesh-Refinement Techniques. Wiley-Teubner, 1996. 15. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L, Zhu J. The finite element method: its basis and fundamentals (7th Edition). Oxford, UK: Elsevier, 2015. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 35-49 49 16. Chamoin L., Legoll F. An Introductory Review on A Posteriori Error Estimation in Finite Element Computations // SIAM Review 2023, vol. 65, iss. 4: 917-1197. 17. Segeth K. A review of some a posteriori error estimates for adaptive finite element methods // Math. Comput. Simul. 2010, 80: 1589–1600. 18. Verfürth R. A Posteriori Error Estimation Techniques for Finite Element Methods. Oxford University Press, 2013. – 416 p. 19. Абрамов Є., Ліпіна О., Шинкаренко Г., Ямелинець А. Кусково-лінійні апроксимації h- адаптивного методу скінченних елементів для одновимірних крайових задач // Вісник Львів. ун-ту. Сер. приклад. матем. інформ. 2006. Вип. 11: 3-189. 20. Квасниця Г., Малашняк П., Шинкаренко Г. Порівняння h-адаптивних схем МСЕ різних порядків для одновимірних крайових задач // Вісник Львів. ун-ту. Сер. приклад. матем. інформ. 2022. Вип. 30: 45-59. Analysis of the h-Adaptive Finite Element Method in Static Problems of Cylindrical Shells: II. Piecewise Linear Approximations and an A Posteriori Error Estimator Heorhiy Shynkarenko1, Pavlo Malashnyak2 In this paper, we extend the first part of our study, devoted to the analysis of the well-posedness of the axisymmetric variational formulation of the static boundary value problem for a Timoshenko cylindrical shell and to the identification of criteria for its singular perturbation. The present contribution focuses on the development of a finite element algorithm for computing piecewise linear approximations of the generalized displacement vector of the shell. To avoid computationally expensive numerical integration procedures, we derive explicit algebraic expressions for the contributions of individual finite elements to the resulting block tridiagonal system of linear algebraic equations associated with the finite element method (FEM). This representation significantly simplifies the implementation while preserving the accuracy of the method. Furthermore, an elementwise defined a posteriori error estimator (APEE) is proposed for the constructed FEM approximations. The corresponding error indicators are based on quadratic shape functions with coefficients characterizing the approximation residuals evaluated at the centers of finite elements. These coefficients are proportional to the square of the element length and include factors that emulate the values of the second derivatives of the displacement components at the element centroid. The remainder of the paper is devoted to numerical experiments for a fully clamped cylindrical shell exhibiting pronounced boundary layers in the vicinity of its ends. A detailed convergence analysis of the FEM approximations on uniformly refined meshes, performed in equivalent norms of the space of admissible displacements, demonstrates the reliability and efficiency of the proposed a posteriori error estimator, as well as its ability to reproduce the true FEM errors with high accuracy. Отримано 12 02 2026
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-431
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-19T01:00:52Z
publishDate	2026
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/60/18a994edc2ce9216aaed652e1e39a960.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-4312026-06-18T09:17:12Z Analysis of the h-Adaptive Finite Element Method in Static Problems of Cylindrical Shells: II. Piecewise Linear Approximations and an A Posteriori Error Estimator Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок Шинкаренко, Георгій Малашняк, Павло метод скінченних елементів In this paper, we extend the first part of our study, devoted to the analysis of the well-posedness of the axisymmetric variational formulation of the static boundary value problem for a Timoshenko cylindrical shell and to the identification of criteria for its singular perturbation. The present contribution focuses on the development of a finite element algorithm for computing piecewise linear approximations of the generalized displacement vector of the shell. To avoid computationally expensive numerical integration procedures, we derive explicit algebraic expressions for the contributions of individual finite elements to the resulting block tridiagonal system of linear algebraic equations associated with the finite element method (FEM). This representation significantly simplifies the implementation while preserving the accuracy of the method. Furthermore, an elementwise defined a posteriori error estimator (APEE) is proposed for the constructed FEM approximations. The corresponding error indicators are based on quadratic shape functions with coefficients characterizing the approximation residuals evaluated at the centers of finite elements. These coefficients are proportional to the square of the element length and include factors that emulate the values of the second derivatives of the displacement components at the element centroid. The remainder of the paper is devoted to numerical experiments for a fully clamped cylindrical shell exhibiting pronounced boundary layers in the vicinity of its ends. A detailed convergence analysis of the FEM approximations on uniformly refined meshes, performed in equivalent norms of the space of admissible displacements, demonstrates the reliability and efficiency of the proposed a posteriori error estimator, as well as its ability to reproduce the true FEM errors with high accuracy Тут ми доповнюємо першу частину цього дослідження, присвячену питанням коректності варіаційної задачі статики циліндричної оболонки Тимошенка під дією осесиметричних навантажень та критеріям її сингулярної збуреності, алгоритмом обчислення кусковолінійних апроксимацій вектора узагальнених зміщень методом скінченних елементів (МСЕ). З метою уникнення трудомісткого числового інтегрування ми подаємо алгебричні вирази внесків з кожного скінченного елемента до блочнотридіагональної системи лінійних алгебричних рівнянь цього методу. Далі ми пропонуємо поелементно визначений апостеріорний оцінювач похибок (АОП) таких наближень, індикатори якого засновані на квадратичних базисних функціях з коефіцієнтами, які описують залишки апроксимації в центрах скінченного елемента. Ці коефіцієнти пропорційні квадрату довжини скінченного елемента з множниками, які імітують значення других похідних зміщень в центрі його ваги. Решта статті містить результати числового моделювання на прикладі жорстко защемленої оболонки з примежовими шарами в околах її торців. Детальний аналіз збіжності апроксимацій на рівномірно згущуваних сітках з використанням еквівалентних норм простору допустимих зміщень демонструє надійність та ефективність АОП, здатність відтворювати істинні похибки МСЕ і з високою достовірністю. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2026-06-18 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/431 10.15407/fmmit2026.42.035 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 42 (2026): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 35-49 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 42 (2026): ФІЗИКО- МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 35-49 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2026.42 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/431/355 Авторське право (c) 2026 Георгій Шинкаренко, Павло Малашняк (Автор) http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
spellingShingle	метод скінченних елементів Шинкаренко, Георгій Малашняк, Павло Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок
title	Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок
title_alt	Analysis of the h-Adaptive Finite Element Method in Static Problems of Cylindrical Shells: II. Piecewise Linear Approximations and an A Posteriori Error Estimator
title_full	Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок
title_fullStr	Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок
title_full_unstemmed	Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок
title_short	Аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: ІІ. Кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок
title_sort	аналіз h-адаптивного методу скінченних елементів в задачі статики циліндричних оболонок: іі. кусково лінійні апроксимації та апостеріорний оцінювач їхніх похибок
topic	метод скінченних елементів
topic_facet	метод скінченних елементів
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/431
work_keys_str_mv	AT šinkarenkogeorgíj analysisofthehadaptivefiniteelementmethodinstaticproblemsofcylindricalshellsiipiecewiselinearapproximationsandanaposteriorierrorestimator AT malašnâkpavlo analysisofthehadaptivefiniteelementmethodinstaticproblemsofcylindricalshellsiipiecewiselinearapproximationsandanaposteriorierrorestimator AT šinkarenkogeorgíj analízhadaptivnogometoduskínčennihelementívvzadačístatikicilíndričnihobolonokííkuskovolíníjníaproksimacíítaaposteríornijocínûvačíhníhpohibok AT malašnâkpavlo analízhadaptivnogometoduskínčennihelementívvzadačístatikicilíndričnihobolonokííkuskovolíníjníaproksimacíítaaposteríornijocínûvačíhníhpohibok

Institution

Ähnliche Einträge