Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки

A physical-mathematical model for determining the temperature field in a non-ferromagnetic panel is considered. This model consists of two stages.In the first stage, Maxwell’s equations are used to determine the transient electromagnetic field and Joule heating caused by an external transient electr...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2026
Автори:	Мусій, Роман, Кунинець, Андрій, Гнатів, Юрій, Пелех, Роман, Хапко, Оксана
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2026
Теми:	алюмінієва панель квазіусталене електромагнітне поле температура приповерхневий та суцільний нагрів температурні режими.
Онлайн доступ:	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/435
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Physico-mathematical modeling and informational technologies
Завантажити файл:

Репозитарії

Physico-mathematical modeling and informational technologies

_version_	1868928622161559552
author	Мусій, Роман Кунинець, Андрій Гнатів, Юрій Пелех, Роман Хапко, Оксана
author_facet	Мусій, Роман Кунинець, Андрій Гнатів, Юрій Пелех, Роман Хапко, Оксана
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Роман Мусій", "institution": null }, { "author": "Андрій Кунинець", "institution": null }, { "author": "Юрій Гнатів", "institution": null }, { "author": "Роман Пелех", "institution": null }, { "author": "Оксана Хапко", "institution": null } ]
author_sort	Мусій, Роман
baseUrl_str	http://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/oai
collection	OJS
datestamp_date	2026-06-24T12:10:25Z
description	A physical-mathematical model for determining the temperature field in a non-ferromagnetic panel is considered. This model consists of two stages.In the first stage, Maxwell’s equations are used to determine the transient electromagnetic field and Joule heating caused by an external transient electromagnetic field. In the second stage, the transient temperature field is determined from the heat conduction equation, in which Joule heating is taken as the heat source. The panel is referenced to a Cartesian coordinate system. Its cross-section is a rectangle. Two-dimensional initial-boundary value problems in electrodynamics and heat conduction have been formulated for the panel under consideration. The determinant functions selected are the component of the magnetic field stress vector tangent to the panel’s bases and the temperature.The solution to these problems is obtained using a cubic approximation of the determinant functions with respect to the panel’s thickness coordinate. The coefficients of the cubic approximation polynomials are expressed as linear combinations of the integral characteristics of the sought functions—integrated over the thickness coordinate—and their boundary values at the panel edges. The corresponding one-dimensional boundary value problems were formulated to determine the integral characteristics. The solutions to these problems are obtained using a finite integral transform with respect to the transverse coordinate of the panel’s cross-section and a Laplace integral transform with respect to time.
doi_str_mv	10.15407/fmmit2026.42.071
first_indexed	2026-06-24T01:00:25Z
format	Article
fulltext	71 УДК 536.2, 537.8 УДК 539.4 https://doi.org/10.15407/fmmit2026.42.071 Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки Роман Мусій1,Андрій Кунинець2,Юрій Гнатів3, Роман Пелех4, Оксана Хапко5 1д. ф.-м. н., професор, Національний університет „Львівська політехніка”, вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013, e-mail: roman.s.musij@lpnu.ua 2к. ф.-м. н., доцент, Національний університет „Львівська політехніка”, вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013, e-mail: andrii.v.kunynets@lpnu.ua 3 к. ф.-м. н., доцент, Національний університет „Львівська політехніка”, вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013, e-mail: yurii.m.hnativ@lpnu.ua 4аспірант, Національний університет „Львівська політехніка”, вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013, e-mail: roman.y.pelekh@lpnu.ua 5асистент, Національний університет „Львівська політехніка”, вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013, e-mail: oksana.b.khapko@lpnu.ua Розглянуто фізико-математичну модель для визначення температурного поля у неферомагнітній панелі. Дана модель складається з двох етапів. На першому етапі з співвідношень Максвелла визначається нестаціонарне електромагнітне поле та тепло Джоуля, зумовлені зовнішньою нестаціонарною електромагнітною дією. На другому етапі з рівняння теплопровідності у якому за джерело тепла приймаються тепло Джоуля, знаходиться нестаціонарне температурне поле. Панель віднесена до декартової системи координат. Її поперечний переріз є прямокутник. Сформульовано двовимірні початково- крайові задачі електродинаміки і теплопровідності для розглядуваної панелі. За визначальні функції вибрано дотичну до основ панелі компоненту вектора напруженості магнітного поля і температуру. Для знаходження розв’язку сформульованих задач використано кубічну апроксимацію визначальних функцій по товщинній координаті панелі. Коефіцієнти апроксимаційних кубічних поліномів подаються у вигляді лінійних комбінацій інтегральних за товщинною координатою характеристик шуканих функцій та їх граничних значень на основах панелі. Для визначення інтегральних характеристик отримано відповідні одновимірні початково-крайові задачі. Розв’язки цих задач отримуються з використанням скінченого інтегрального перетворення за поперечною координатою прямокутника перерізу панелі та інтегрального перетворення Лапласа за часом. Проведено числовий аналіз температурного поля у алюмінієвій панелі для двох характерних випадків її приповерхневого та суцільного індукційного нагріву квазіусталеним електромагнітним полем. Проаналізовано зміну в часі температури на перехідному режимі та її розподіл по поперечному перерізу панелі після виходу електромагнітного поля на усталений режим. Ключові слова:алюмінієва панель, квазіусталене електромагнітне поле, температура, приповерхневий та суцільний нагрів, температурні режими. Вступ. Алюмінієві панелі часто використовують як конструктивні елементи у відповідних пристроях енергетики, машино- та авіабудування. Для технологічної термообробки таких панелей використовують індукційний нагрів з використанням квазіусталеного електромагнітного поля (КЕМП). Це дає змогу при відповідних https://doi.org/10.15407/fmmit2026.42.0 mailto:musij@lpnu.ua mailto:andrii.v.kunynets@lpnu.ua mailto:yurii.m.hnativ@lpnu.ua mailto:roman.y.pelekh@lpnu.ua mailto:oksana.b.khapko@lpnu.ua Роман Мусій, Андрій Кунинець, Юрій Гнатів, Роман Пелех, Оксана Хапко Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки 72 параметрах такого ЕМП забезпечувати технологічні процеси за приповерхневого та суцільного індукційного нагріву з врахуванням перехідних режимів, що описують моменти включення ЕМП, які мають характер синусоїдально змінних в часі. Для підвищення надійності та довготривалості експлуатації таких електротехнічних та автомобіле- і авіапристроїв, що містять алюмінієві панелі, необхідно розраховувати їх температурні режими з метою прогнозування їх роботоздатності. Для підвищення точності відповідних інженерних розрахунків необхідно використовувати відповідні двовимірні фізико-математичні моделі. У монографіях [1-4] приведено математичні моделі, чисельно-аналітичні та експериментальні підходи для опису та дослідження теплових і температурних режимів пластинчастих елементів конструкцій зазначених вище пристроїв. У переважній більшості праць розглядаються одновимірні задачі індукційного нагріву електропровідних тіл канонічної форми усталеним ЕМП. За останні роки розроблено низку одновимірних математичних моделей стосовно теплових і температурних процесів, зумовлених індукційним нагрівом усталеним ЕМП. На основі таких моделей детально вивчено процеси нагріву під дією усталеного ЕМП. Дослідження температурних полів у тонких електропровідних плитах і панелях за індукційного нагріву високочастотним електромагнітним полем розглянуто в роботах [5-7]. У сучасних технологіях електромагнітної термообробки електропровідних пластинчастих елементів використовують короткочасний індукційний нагрів з допомогою КЕМП та неусталених ЕМП [8-9]. У роботі [10] досліджено закономірності тепла Джоуля у алюмінієвій панелі за індукційного нагріву КЕМП. Однак, не досліджено температурні режими алюмінієвих панелей, які широко використовуються як конструктивні елементи у автомобіле- та авіапромисловості, а також в енергетичних пристроях, при їх індукційній термообробці КЕМП. Метою даної роботи є: побудова двовимірної фізико-математичної моделі для визначення і комп’ютерного аналізу температурних режимів електропровідної панелі при її індукційній термообробці з допомогою КЕМП; розробка методики побудови розв’язків відповідних двовимірних початково-крайових задач електродинаміки та теплопровідності для визначення параметрів КЕМП, тепла Джоуля і температури; дослідження температурних режимів алюмінієвої панелі для двох характерних типів її приповерхневого та суцільного індукційного нагріву. 1. Двовимірна фізико-математична модель У Декартовій системі координат 1 2 3OX X X розглядається електропровідна панель товщиною 2h і шириною 2d (рис.1). Початок системи координат точка О співпадає з центром симетрії прямокутника її поперечного перерізу. Декартові координати 1 3,X X віднесемо до пів товщини h панелі. Надалі будемо розглядати ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 71-82 73 безрозмірні координати 1 1x X h , 3 3x X h і ширину панелі d d h . Панель безмежно довга по осі 2Ox . Ширина панелі відкладається вздовж 1Ox , а товщина – вздовж осі 3Ox . Рис. 1 Електропровідна панель Панель виготовлена з однорідного, ізотропного і неферомагнітного матеріалу. Електро- і теплофізичні параметри матеріалу вважаються сталими і рівними їх середнім значенням на відповідних інтервалах нагріву. Індукційний нагрів панелі здійснюється зовнішнім однорідним КЕМП. Внаслідок протікання індукційних струмів у панелі виникає тепло Джоуля Q , яке створює відповідне температурне поле T . Для встановлення закономірностей температурних режимів у панелі за відповідних параметрів індукційного нагріву запропоновано двовимірну фізико-математичну модель. Дана модель складається з двох етапів. На першому етапі зі співвідношень Максвелла визначаємо розподіл ЕМП та питому густину тепла Джоуля у панелі. На другому етапі з рівняння теплопровідності, у якому джерелом тепла є тепло Джоуля, знаходимо розподіл температурного поля T . 2. Визначення електромагнітного поля. Приймаємо, що вектор напруженості магнітного поля у панелі має вигляд     1 3 2 1 3, , 0; , , ; 0H x x t H x x t . Компонента  2 1 3, ,H x x t паралельна до основ панелі 3 1x   та до її торцевих перетинів 1x d  . Тут t - час. Для визначення компоненти  2 1 3, ,H x x  у розглядуваній панелі отримуємо рівняння: 2 2 2 22 2 1 3 0 H H x x               . (1) Роман Мусій, Андрій Кунинець, Юрій Гнатів, Роман Пелех, Оксана Хапко Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки 74 Тут  2t h  - безрозмірний час, характерний для дифузії магнітного поля через пів товщину h панелі;  – коефіцієнт електропровідності,  – магнітна проникливість матеріалу панелі. Дії зовнішнього КЕМП задається значеннями компоненти  2 1 3, ,H x x t на всіх зовнішніх поверхнях панелі. Відповідно цьому граничні умови для розв’язування рівняння (1) записуються у вигляді:       0 2 1 12, 1, ,H x H x     (2)       0 * 2 3 32, , ,H d x H x     . Тут     0 12 ,H x   і     0 * 32 ,H x   задані вирази функції  2 1 3, ,H x x  на поверхнях панелі 3 1x   , 1x d  . Якщо у початковий момент часу 0  ЕМП у панелі відсутнє, то початкова умова на функцію  2 1 3, ,H x x  має вигляд:  2 1 3, , 0 0H x x  (3) У кутових точках поперечного перерізу панелі повинні також виконуватись умови узгодження функцій  0 2H  і  0 * 2H  , а саме:         0 0 * 2 2, 1,H d H     ,         0 0 * 2 2, 1,H d H      , (4)         0 0 * 2 2, 1,H d H      ,         0 0 * 2 2, 1,H d H       . Вектор напруженості електричного поля у панелі визначаємо з співвідношення   1 rotE H   . (5) Дві відмінні від нуля компоненти вектора напруженості електричного поля  1 3, ,E x x       1 1 3 3 1 3, , ; 0; , ,E x x E x x  описуються виразами:  2 1 3 1 3 , ,1 H x x E x      ,  2 1 3 3 1 , ,1 H x x E x      . (6) Питому густину тепла Джоуля знаходимо за формулою Q E E (7) тобто з врахуванням скалярного добутку маємо вираз 2 2 1 3 1 Q E E       . (8) Через функцію  2 1 3, ,H x x  тепло Джоуля записується формулою ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 71-82 75 22 2 2 1 3 1 H H Q x x                   . (9) 3. Визначення температурного поля Температурне поле  1 3, ,T x x t у панелі, яке зумовлене теплом Джоуля  1 3, ,Q x x t , знаходимо з рівняння теплопровідності 2 2 2 2 1 3 . T T T Q Fox x           (10) Тут 2 t Fo h   –безрозмірний час Фур’є; ,  – коефіцієнти температуро- і теплопровідності матеріалу панелі. Рівняння (10) розв’язуємо за умов конвективного теплообміну 1 0 T Bi T x     (11) на поверхнях 3 1x   та умов * 3 0 T Bi T x     (12) на поверхнях 1 ,x d  панелі та при нульовій умові  1 3, ,0 0T x x  (13) в початковий момент часу Фур’є 0Fo  .Тут Bi і Bi – значення критерію Біо на поверхнях 3 1x   і 1x d  . 4. Побудова розв’язку задачі електродинаміки Для знаходження розв’язку рівняння (1) використовуємо апроксимацію компоненти  2 1 3, ,H x x  вектора H по товщинній змінній 3x кубічним поліномом 4 1 2 1 3 2( 1) 1 3 1 ( , , ) ( , ) . j j j H x x a x x      (14) Коефіцієнти 2( 1) 1( , )ja x  полінома (14) подаємо через інтегральні характеристики 1 1 2 1 2 3 3 3 1 2 1 ( , ) ( , , ) 2 s s l s H x H x x x dx       ( 1, 2)s  (15) Роман Мусій, Андрій Кунинець, Юрій Гнатів, Роман Пелех, Оксана Хапко Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки 76 компоненти 2H вектора напруженості магнітного поля і задані граничні значення (0) 12 ( , )H x  компоненти 2 1 3( , , )H x x  на поверхнях 3x h  . Рівняння для визначення інтегральних характеристик 2sH отримуємо множенням рівняння (1) на 1 3 sx  та їх інтегруванням по змінній 3x з врахуванням формул (14), (15). Система вихідних рівнянь для інтегральних характеристик 2 ( 1, 2)sH s  , компоненти 2H записується             2 0 0 21 1 21 1 12 22 1 3 , 3 , , , 2 lH x H x H x H x x                       , (16)             2 0 0 22 1 22 1 1 12 22 1 15 , 15 , , , 2 H x H x H x H x x                      . Відповідно початкові умови на функції 2 ( 1, 2)sH s  будуть:     1 21 1 2 1 3 3 1 1 ,0 , ,0 , 2 H x H x x dx        1 22 1 2 1 3 3 3 1 3 ,0 , ,0 , 2 H x H x x x dx    (17) Коефіцієнти апроксимаційного кубічного полінома (14) виражаються через інтегральні характеристики 2sH і задані граничні значення функції 2H на поверхнях 3 1x   формулами 20 21 1 3 1 2 4 H q   , 21 22 2 5 3 2 4 H q   , (18) 22 1 21 3 3 4 2 q H   , 23 2 22 5 5 4 2 q H   , де (0) (0) 1 2 2q H H     , (0) (0) 2 2 2q H H     . Систему рівнянь (16) на інтегральні характеристики 2 ( 1, 2)sH s  розв’язуємо за граничних умов 1 1 (0) (0) 21 3 3 22 3 3 32 2 1 1 1 3 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) 2 2 H d H x dx H d H x x dx              . (19) Тут (0) 2H   - відомі функції (задані на поверхнях 1x d  значення функції 2H ). Враховуючи неоднорідні граничні умови (19) на функції 2 ( 1,2)sH s  подаємо розв'язок системи рівнянь (16) у вигляді 2 2 2 .s s sH H H   (20) Доданки 2sH в силу граничних умов (19) будуть 1 2 2 2 2 2 1 ( ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) . 2 s s s s s x H H d H d H d H d d                (21) При цьому, на основі системи рівнянь (16) для функції 2 ( 1,2)sH s  , доданки 2sH задовольняють рівнянням ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 71-82 77   2 (0) (0) 21 212 22 1 3 3 3 2 d d d H H H H d ddx                        , (22)   2 (0) (0) 22 212 22 1 15 15 3 2 d d d H H H H d ddx                        при однорідних граничних і початкових умовах: 2 1 2 1 2 1( ,0) ( ,0) ( ,0)s s sH x H x H x   (23) Для розв'язування задачі (22), (23) використовуємо скінчене інтегральне перетворення по координаті 1x з ядром    1 1 1 , sink kK x x d d    , (24) де , 2 k k k N d     . Відповідно маємо пряме і обернене скінчені інтегральні перетворення: 2 2 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) d sk k s k d H H x K x dx        , (25) 2 1 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ).s sk k k k H x H K x         (26) Застосуємо до системи (22) скінченне інтегральне перетворення (25). Застосовуючи перетворення Лапласа за часом до перетворених рівнянь системи (22), з урахуванням початкових умов (23) для функцій 2sH і потім, застосовуючи до системи (22) обернене скінченне інтегральне перетворення (26), отримуємо вирази 2( 3) 21 1 21 21 21 1 1 ( , ) ( , ) ( ,0) ( ,0) ( , )k k k k k k k k k H x e H K x                    , (27) 2( 15) 22 1 22 22 22 1 1 ( , ) ( , ) ( ,0) ( ,0) ( , ).k k k k k k k k k H x e H K x                    Тут 2( 3) (0) (0) 21 2 2 21 21 3 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 3 ( 1) ( ) ( ) , k k k k k k k e H H d H H d dd                                          Роман Мусій, Андрій Кунинець, Юрій Гнатів, Роман Пелех, Оксана Хапко Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки 78 2( 15) (0) (0) 22 2 2 22 22 15 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 15 ( 1) ( ) ( ) . k k k k k k k e H H d H H d dd                                          Після знаходження інтегральних характеристиках 2sH функція 2 1 3( , , )H x x  має вигляд        2 3 2 3 2 1 3 21 3 22 3 3 1 3 2 3 3 3 5 1 1 ( , , ) 1 1 3 3 5 2 2 4 4 H x x H x H x x q x q x x         . (28) За знайденою функцією 2 1 3( , , )H x x  вектор напруженості електричного поля визначається таким чином        2 1 3 2 1 3 1 3 1 3 3 1 , , , ,1 1 , , ; 0; ; 0; H x x H x x E x x E E x x                  (29) Запишемо вирази складових 1E і 3E вектора напруженості електричного поля через інтегральні характеристики 2sH функції 2 1 3( , , )H x x  :    2 2 1 21 3 3 22 3 1 2 3 1 5 3 3 3 1 3 1 5 2 2 4 E H x x H x q q x              , (30)        2 2 2 321 22 1 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 5 1 1 1 1 3 3 5 2 2 4 4 dH dH dq dq E x x x x x x dx dx dx dx              . Далі за формулою (8) обчислюємо питому густину тепла Джоуля Q . 5. Побудова розв’язку задачі теплопровідності Для знаходження розв’язку рівняння теплопровідності (10) використовуємо апроксимацію температури  1 3, ,T x x Fo по товщинній змінній 3x кубічним поліномом 4 1 1 3 2( 1) 1 3 1 ( , , ) ( , ) . j j j T x x Fo b x Fo x     (31) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 71-82 79 Коефіцієнти 2( 1) 1( , )jb x Fo полінома (31) подаємо через інтегральні характеристики температури 1 1 1 3 3 3 1 2 1 ( , ) ( , , ) 2 s s l s T x Fo T x x Fo x dx     ( 1, 2)s  (32) та її граничні значення 1( , )T x Fo на поверхнях 3 1x   . Рівняння для визначення інтегральних характеристик  1,sT x Fo отримуємо множенням рівняння (10) на 1 3 sx  та їх інтегруванням по змінній 3x з врахуванням формул (31), (32). Система вихідних рівнянь для інтегральних характеристик ( 1, 2)sT s  , температури T записується       12 1 1 1 2 2 1 3 32 1 1 , , , , ,lT x Fo d T x Fo d Q x x Fo dx Fox             (33)       12 3 1 1 2 1 4 1 3 3 32 1 1 , , , ,d T x Fo T x Fo d Q x x Fo x dx Fox             . Тут числові коефіцієнти 1 4d d визначаються через теплофізичні характеристики матеріалу панелі та значення критерію Біо на відповідних поверхнях панелі. Відповідно до нульової початкової умови (13) на температуру отримуємо також нульові початкові умови на інтегральні характеристики ( 1, 2)sT s  температури. Систему рівнянь (33) на інтегральні характеристики ( 1, 2)sT s  температури розв’язуємо із використанням скінченного інтегрального перетворення за змінною 1x з врахуванням граничних умов (11) і (12) конвективного теплообміну на зовнішніх поверхнях панелі. Ядро такого скінченого інтегрального перетворення приведено в роботі [11]. Після цього, до перетвореної системи (33) застосовуємо інтегральне перетворення Лапласа за часом Фур’є. Виконуючи обернені інтегральні перетворення скінчене і Лапласа, записуємо вирази інтегральних характеристик ( 1, 2)sT s  температури, через які подаються коефіцієнти апроксимаційного полінома (31). 6. Комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за індукційної термообробки квазіусталеним електромагнітним полем Розглядаємо індукційний нагрів електропровідної панелі однорідним КЕМП. Значення компоненти  2 1 3, ,H x x  вектора напруженості магнітного поля H на основах 3 1x   і торцевих площинах 1x d  панелі задаються виразами: Роман Мусій, Андрій Кунинець, Юрій Гнатів, Роман Пелех, Оксана Хапко Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки 80    2 1 0, 1, ibH x H e     ,    2 3 0, , ibH d x H e     . (34) При цьому умови (4) узгодження значень функцій  0 2H  і  0 2H  у кутових точках поперечного перерізу панелі виконуються тотожно. У виразах (34) функція    має вигляд:   1 e    . (35) Тут 1i   ;  2 01 2b  ;   1 2 2 0 2 h    - параметр, що визначає відносну до пів товщини панелі h глибину проникання індукційних струмів частоти  ; ln   ;  - безрозмірний час, що відповідає виходу електромагнітних коливань частоти  на усталений режим з амплітудою 0H ; 0.001  . Підставляючи вирази (34) у відповідні формули пункту 4, отримуємо вираз компоненти  2 1 3, ,H x x  вектора напруженості магнітного поля H та тепла Джоуля у розглядуваній панелі. Підставляючи знайдений вираз тепла Джоуля у систему (33) та використовуючи відповідні перетворення знаходимо вираз температури даної панелі за умов конвективного теплообміну на її поверхнях. Числовий експеримент виконано для електропровідної панелі, виготовленої з алюмінію [12]. Товщина панелі 2 2h mm , ширина 2 80d mm (відносна півширина панелі 40d  ). Розрахунки проведено для двох значень параметра 0 відносної до пів товщини панелі h глибини проникання індукційних струмів: 1) 0 0.1  - приповерхневий нагрів; 2) 0 1  - суцільний нагрів панелі. Рис. 2. Зміна в часі Фур’є Fo температури 2 0T H за приповерхневого ( 0 0.1  ) індукційного нагріву КЕМП і значення критерію Біо 1Bi  у характерних точках 1 (0.25 , 0.25)M d , 2 (0.5 , 0.5)M d , 3 (0.9 , 0.9)M d поперечного перерізу алюмінієвої панелі Приповерхневому нагріву розглядуваної панелі відповідає кругова частота електромагнітних коливань 6 1 1.09574 10 1 s   , а суцільному нагріву - кругова ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 71-82 81 частота електромагнітних коливань 4 2 1.09574 10 1 s   . Частота 1 належить до радіочастотному діапазону ЕМП, а частота 2 є поза околом цього діапазону. На рис. 2, 3 показано зміну в часі Фур’є Fo температури 2 0T H за приповерхневого та суцільного індукційного нагріву панелі з допомогою КЕМП за значення критерію Біо 1Bi  . Обчислення проведено у характерних точках 1 (0.25 , 0.25)M d , 2 (0.5 , 0.5)M d , 3 (0.9 , 0.9)M d поперечного перерізу алюмінієвої панелі. На рисунках синя лінія відповідає точці 1M , оранжева – точці 2M , зелена – точці 3M . Рис. 3. Зміна в часі Фур’є Fo температури 2 0T H за суцільного ( 0 1  ) індукційного нагріву КЕМПі значення критерію Біо 1Bi  у характерних точках 1 (0.25 , 0.25)M d , 2 (0.5 , 0.5)M d , 3 (0.9 , 0.9)M d поперечного перерізу алюмінієвої панелі Рис. 4. Розподіл по поперечному перерізу алюмінієвої панелі температури 2 0T H за приповерхневого ( 0 0.1  ) індукційного нагріву КЕМП і значення критерію Біо 1Bi  в момент часу 4Fo  Роман Мусій, Андрій Кунинець, Юрій Гнатів, Роман Пелех, Оксана Хапко Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки 82 Рис. 5. Розподіл по поперечному перерізу алюмінієвої панелі температури 2 0T H за суцільного ( 0 1  ) індукційного нагріву КЕМП і значення критерію Біо 1Bi  в момент часу 4Fo  На основі аналізу залежностей, приведених на рис. 2 і рис. 3, встановлено, що вихід на усталений температурний режим розглядуваної алюмінієвоїпанеліпри індукційному нагріві КЕМП(досягнення максимальних значень температури) відбувається в обох випадках приповерхневого та суцільного нагріву за значення критерію Біо 1Bi  в моменти безрозмірного часу Фур’є 4Fo  . На рис. 4 і рис. 5 зображено 3d-графіки розподілу температури 2 0T H по площі поперечного перерізу алюмінієвої панелі в момент часу 4Fo  в обох випадках приповерхневого ( 0 0.1  ) та суцільного( 0 1  ) індукційного нагріву за значення критерію Біо 1Bi  . З аналізу рис. 4, 5 випливає, що розподіл температури 2 0T H по площі поперечного перерізу алюмінієвої панелі в обох випадках приповерхневого і суцільного індукційного нагріву в усталеному режимі має однаковий якісний характер. Числові значення температури 2 0T H панелі за її приповерхневого нагріву приблизно у 40 разів більші за такі ж значення за суцільного нагріву. Висновки У результаті проведеного комп’ютерного аналізу температури отримано такі закономірності: 1)значення температури 2 0T H для обох розглядуваних випадків приповерхневого і суцільного нагріву зростають по мірі наближення до ребер панелі (до кутових точок прямокутника поперечного перерізу); ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2026, вип. 42, 71-82 83 2) безрозмірний час Фур’є Fo виходу значень температури 2 0T H на її максимальні значення, що відповідають усталеному режиму індукційного нагріву при значенні критерію Біо 1Bi  , дорівнює * 4Fo  . 3) значення безрозмірного часу Фур’є Fo залежить від значення безрозмірного критерію Біо Bi . Зі зменшенням значення критерію Bi на порядок час Fo зростає на порядок, і навпаки, зі збільшенням значення критерію Bi на порядок час *Fo зменшується на порядок. 4) у випадку суцільного нагріву ( 0 1  ) максимальні значення температури 2 0T H за значення критерію 1Bi  менші приблизно у 40 разів порівняно з такими самими значеннями для приповерхневого нагріву ( 0 0.1  ); 5) зі збільшенням величини 0H , що відповідає амплітуді усталених електромагнітних коливань в обох розглядуваних випадках приповерхневого і суцільного індукційного нагріву максимальні значення температури T зростають за квадратичним законом. Проведений у даній роботі комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панеліза індукційного нагріву КЕМП має важливе теоретичне і прикладне значення для розрахунків оптимальних режимів індукційної термообробки алюмінієвих пластинчастих елементів та прогнозування роботоздатності алюмінієвих панелей, які зазнають дії зовнішнього квазіусталеного електромагнітного поля. Література 1. Lupi, S. Fundamentals of Electroheat, Electrical Technologies for Process Heating; Springer: Cham, Switzerland, 2017. https://doi.org/10.1007/978-3-319-46015-4 2. Bobart, G.F. Inductionheating. AccessScience. 2020. Availableonline: https://www.accessscience.com/content/article/a341500 3. Rudnev, V.; Loveless, D.; Cook, R. Handbook of Induction Heating; CRC Press: London, UK; Taylor and Francis Group: Abingdon, UK, 2018. 4. Asai S. Electromagnetic Processing of Materials. Springer, Netherlands (2012). 5. Milošević-Mitić, V., Maneski T., Temperature loading of a thinmetallic plate subjecte transversal tolaw- frequency electromagnetic field, FME TRANSACTIONS, 2010, Vol. 38, no. 2, 95 – 102 6. Shen, H., Yao, Z.Q., Shi, Y.J. andHu, J. Study on temperature fieldin high frequency induction heating, Acta Metallurgica Sinica (Englis hLetters), Vol. 19, No. 3, pp. 190-196, 2006. https://doi.org/10.1016/S1006-7191(06)60043-4 7. Гачкевич, О. Р., Дробенко, Б. Д., Ванкевич, П. I., Яковлев, М. Ю. Оптимізація режимів високотемпературної індукційної обробки нелінійних електропровідних тіл// Проблеми міцності, 2017, № 3. С. 98-104. 8. Musii, R.; Pukach, P.; Kohut, I.; Vovk, M.; Šlahor, Ľ. Determination and Analysi of Joule’s Heatand Temperature in an Electrically Conductive Plate Element Subject to Short-Term Induction Heating by a Non-Stationary Electromagnetic Field// Energies 2022, 15, 5250. https://doi.org/10.3390/en15145250 9. Musii R., Pukach P., Melnyk N., Vovk M., Šlahor L. Modeling of the temperature regimes in a layered bimetallic plateunde rshort-terminduction heating // Energies. – 2023. – Vol. 16, iss. 13. 10. Мусій, Р., Кунинець, А., Гошко, Л., Пелех, Р. Аналіз теплових режимів алюмінієвої пластини за дії квазіусталеного електромагнітногополя. Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології, (41), pp. 15-26, 2025. https://doi.org/10.15407/fmmit2025.41.015 11. Галіцин А.С., Жуковський А.Н. Інтегральні перетворення і спеціальні функції в задачах https://www.doaj.org/toc/2406-128X https://doi.org/10.1016/S1006-7191(06)60043-4 https://doi.org/10.3390/en15145250 https://doi.org/10.15407/fmmit2025.41.015 Роман Мусій, Андрій Кунинець, Юрій Гнатів, Роман Пелех, Оксана Хапко Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки 84 теплопровідності. – Київ: Наукова думка, 1976. – 283 с. 12. Thompson, M. Base Metals Handbook; Woodhead Publishing, Cambridge, UK,2006. https://doi.org/10.1016/B978-1-84569-154-7.50009-8 Modeling and computer analysis of temperature profiles in an aluminum panel during induction heat treatment Roman Musii, Andrii Kunynets, Yuriy Hnativ, Roman Pelekh, Oksana Khapko A physical-mathematical model for determining the temperature field in a non-ferromagnetic panel is considered. This model consists of two stages.In the first stage, Maxwell’s equations are used to determine the transient electromagnetic field and Joule heating caused by an external transient electromagnetic field. In the second stage, the transient temperature field is determined from the heat conduction equation, in which Joule heating is taken as the heat source. The panel is referenced to a Cartesian coordinate system. Its cross-section is a rectangle. Two-dimensional initial-boundary value problems in electrodynamics and heat conduction have been formulated for the panel under consideration. The determinant functions selected are the component of the magnetic field stress vector tangent to the panel’s bases and the temperature.The solution to these problems is obtained using a cubic approximation of the determinant functions with respect to the panel’s thickness coordinate. The coefficients of the cubic approximation polynomials are expressed as linear combinations of the integral characteristics of the sought functions— integrated over the thickness coordinate—and their boundary values at the panel edges. The corresponding one-dimensional boundary value problems were formulated to determine the integral characteristics. The solutions to these problems are obtained using a finite integral transform with respect to the transverse coordinate of the panel’s cross-section and a Laplace integral transform with respect to time. We carried out a numerical analysis of the temperature field in an aluminum panel for two typical cases: near-surface and through-heating by a quasi-steady electromagnetic field. The time-dependent temperature variation during the transient regime and its distribution across the cross-section of the panel after the electromagnetic field reaches steady state are analyzed. Отримано 09 04 2026 https://doi.org/10.1016/B978-1-84569-154-7.50009-8
id	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-435
institution	Physico-mathematical modeling and informational technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-25T01:00:26Z
publishDate	2026
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	wwwfmmitlvivua/d8/454a698e9cb5aff41ef1957ca1909ed8.pdf
spelling	oai:ojs2.www.fmmit.lviv.ua:article-4352026-06-24T12:10:25Z Modeling and computer analysis of temperature profiles in an aluminum panel during induction heat treatment Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки Мусій, Роман Кунинець, Андрій Гнатів, Юрій Пелех, Роман Хапко, Оксана алюмінієва панель, квазіусталене електромагнітне поле, температура, приповерхневий та суцільний нагрів, температурні режими. A physical-mathematical model for determining the temperature field in a non-ferromagnetic panel is considered. This model consists of two stages.In the first stage, Maxwell’s equations are used to determine the transient electromagnetic field and Joule heating caused by an external transient electromagnetic field. In the second stage, the transient temperature field is determined from the heat conduction equation, in which Joule heating is taken as the heat source. The panel is referenced to a Cartesian coordinate system. Its cross-section is a rectangle. Two-dimensional initial-boundary value problems in electrodynamics and heat conduction have been formulated for the panel under consideration. The determinant functions selected are the component of the magnetic field stress vector tangent to the panel’s bases and the temperature.The solution to these problems is obtained using a cubic approximation of the determinant functions with respect to the panel’s thickness coordinate. The coefficients of the cubic approximation polynomials are expressed as linear combinations of the integral characteristics of the sought functions—integrated over the thickness coordinate—and their boundary values at the panel edges. The corresponding one-dimensional boundary value problems were formulated to determine the integral characteristics. The solutions to these problems are obtained using a finite integral transform with respect to the transverse coordinate of the panel’s cross-section and a Laplace integral transform with respect to time. Розглянуто фізико-математичну модель для визначення температурного поля у неферомагнітній панелі. Дана модель складається з двох етапів. На першому етапі з співвідношень Максвелла визначається нестаціонарне електромагнітне поле та тепло Джоуля, зумовлені зовнішньою нестаціонарною електромагнітною дією. На другому етапі з рівняння теплопровідності у якому за джерело тепла приймаються тепло Джоуля, знаходиться нестаціонарне температурне поле. Панель віднесена до декартової системи координат. Її поперечний переріз є прямокутник. Сформульовано двовимірні початково-крайові задачі електродинаміки і теплопровідності для розглядуваної панелі. За визначальні функції вибрано дотичну до основ панелі компоненту вектора напруженості магнітного поля і температуру. Для знаходження розв’язку сформульованих задач використано кубічну апроксимацію визначальних функцій по товщинній координаті панелі. Коефіцієнти апроксимаційних кубічних поліномів подаються у вигляді лінійних комбінацій інтегральних за товщинною координатою характеристик шуканих функцій та їх граничних значень на основах панелі. Для визначення інтегральних характеристик отримано відповідні одновимірні початково-крайові задачі. Розв’язки цих задач отримуються з використанням скінченого інтегрального перетворення за поперечною координатою прямокутника перерізу панелі та інтегрального перетворення Лапласа за часом. Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України 2026-06-25 Article Article application/pdf https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/435 10.15407/fmmit2026.42.071 PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; No. 42 (2026): PHYSICO-MATHEMATICAL MODELLING AND INFORMATIONAL TECHNOLOGIES; 71-84 ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; № 42 (2026): ФІЗИКО- МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ; 71-84 2617-5258 1816-1545 10.15407/fmmit2026.42 uk https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/435/375 Авторське право (c) 2026 Роман Мусій, Андрій Кунинець, Юрій Гнатів, Роман Пелех, Оксана Хапко (Автор) http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
spellingShingle	алюмінієва панель квазіусталене електромагнітне поле температура приповерхневий та суцільний нагрів температурні режими. Мусій, Роман Кунинець, Андрій Гнатів, Юрій Пелех, Роман Хапко, Оксана Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки
title	Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки
title_alt	Modeling and computer analysis of temperature profiles in an aluminum panel during induction heat treatment
title_full	Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки
title_fullStr	Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки
title_full_unstemmed	Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки
title_short	Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки
title_sort	моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки
topic	алюмінієва панель квазіусталене електромагнітне поле температура приповерхневий та суцільний нагрів температурні режими.
topic_facet	алюмінієва панель квазіусталене електромагнітне поле температура приповерхневий та суцільний нагрів температурні режими.
url	https://www.fmmit.lviv.ua/index.php/fmmit/article/view/435
work_keys_str_mv	AT musíjroman modelingandcomputeranalysisoftemperatureprofilesinanaluminumpanelduringinductionheattreatment AT kuninecʹandríj modelingandcomputeranalysisoftemperatureprofilesinanaluminumpanelduringinductionheattreatment AT gnatívûríj modelingandcomputeranalysisoftemperatureprofilesinanaluminumpanelduringinductionheattreatment AT pelehroman modelingandcomputeranalysisoftemperatureprofilesinanaluminumpanelduringinductionheattreatment AT hapkooksana modelingandcomputeranalysisoftemperatureprofilesinanaluminumpanelduringinductionheattreatment AT musíjroman modelûvannâtakompûternijanalíztemperaturnihrežimívalûmíníêvoípanelízaíííndukcíjnoítermoobrobki AT kuninecʹandríj modelûvannâtakompûternijanalíztemperaturnihrežimívalûmíníêvoípanelízaíííndukcíjnoítermoobrobki AT gnatívûríj modelûvannâtakompûternijanalíztemperaturnihrežimívalûmíníêvoípanelízaíííndukcíjnoítermoobrobki AT pelehroman modelûvannâtakompûternijanalíztemperaturnihrežimívalûmíníêvoípanelízaíííndukcíjnoítermoobrobki AT hapkooksana modelûvannâtakompûternijanalíztemperaturnihrežimívalûmíníêvoípanelízaíííndukcíjnoítermoobrobki

Моделювання та комп’ютерний аналіз температурних режимів алюмінієвої панелі за її індукційної термообробки

Репозитарії

Схожі ресурси