Математичне моделювання розподілу густини струму в електродах електрохірургічних інструментів з прямокутною робочою поверхнею
This study investigates the influence of the skin effect on electromagnetic processes occurring in the rectangular electrodes of electrosurgical instruments during alternating current flow. The mathematical modeling was performed by solving partial differential equations using the numerical finite e...
Saved in:
| Date: | 2026 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
PE "Politekhperiodika", Book and Journal Publishers
2026
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://www.tkea.com.ua/index.php/journal/article/view/TKEA2026.1.70 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Technology and design in electronic equipment |
| Download file: |  |
Institution
Technology and design in electronic equipment| _version_ | 1872552523303223296 |
|---|---|
| author | Dubko, Andriі Romanenko, Oleksandr Rymar, Serhii |
| author_facet | Dubko, Andriі Romanenko, Oleksandr Rymar, Serhii |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Andriі Dubko",
"institution": "E.O. Paton Electric Welding Institute of the NAS of Ukraine, Igor Sikorskyi Kyiv Polytechnic Institute, Kyiv, Ukraine"
},
{
"author": "Oleksandr Romanenko",
"institution": "E.O. Paton Electric Welding Institute of the NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine"
},
{
"author": "Serhii Rymar",
"institution": "E.O. Paton Electric Welding Institute of the NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine"
}
] |
| author_sort | Dubko, Andriі |
| baseUrl_str | https://www.tkea.com.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-08-03T16:40:38Z |
| description | This study investigates the influence of the skin effect on electromagnetic processes occurring in the rectangular electrodes of electrosurgical instruments during alternating current flow. The mathematical modeling was performed by solving partial differential equations using the numerical finite element method. The simulation results demonstrate an uneven current density distribution along the perimeter of the rectangular electrode. The current is highly concentrated in the corners of the electrode and is practically absent in its center. The active resistance of a copper rectangular electrode (with a cross-section of  3 х 15 mm and a length 3 mm) was analyzed within the frequency range of  22 to 880 kHz. It was established that increasing the current frequency leads to higher joule heating losses in the electrodes due to a reduction in the effective cross-sectional area caused by the skin effect. Modifying the electrode geometry by rounding its corners allows for equalizing the current density distribution and reducing the total resistance. |
| doi_str_mv | 10.15222/TKEA2026.1.70 |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Технологія та конструювання в електронній апаратурі, 2026, № 170 ISSN 3083-6530 (Print)
ISSN 3083-6549 (Online)
70
БІОМЕДИЧНА ЕЛЕКТРОНІКА
УДК 615.47:621.791
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РОЗПОДІЛУ ГУСТИНИ
СТРУМУ В ЕЛЕКТРОДАХ ЕЛЕКТРОХІРУРГІЧНИХ
ІНСТРУМЕНТІВ З ПРЯМОКУТНОЮ РОБОЧОЮ ПОВЕРХНЕЮ
Дослідження скін-ефекту під час проходження
струму в електродах є важливим завданням, оскіль-
ки він значною мірою визначає концентрацію стру-
му на окремих ділянках їхніх робочих поверхонь.
Особливо гостро це питання постає у високочастот-
ній електрохірургії, де використання струмів мегагер-
цового діапазону значно посилює поверхневий ефект.
Скін-ефект спричиняє зміщення струму до зовніш-
ньої поверхні провідника, що зумовлює нерівномір-
ний розподіл густини струму в його поперечному пе-
рерізі, призводить до збільшення активного опору та
додаткових втрат потужності [1] – [3]. Внаслідок та-
кого теплового виділення через джоулеві втрати ви-
никає локальний перегрів біологічних тканин та са-
мого інструмента [4] – [6]. Це може викликати такі
несприятливі явища, як термічний некроз тканин,
погіршення якості контакту між електродом і біома-
теріалом, а також руйнування ізоляції інструмента.
З іншого боку, характеристики електромагніт-
них хвиль тісно пов’язані з частотою генерато-
ра. Електрохірургічні джерела енергії працюють
у високочастотному діапазоні — від 200 кГц до
3,3 МГц, оскільки це дозволяє уникнути небажаної
нервово-м’язової стимуляції [7] біологічних тканин
в процесі операції.
Отже, для мінімізації негативних наслідків скін-
ефекту за умови збереження безпечної робочої ча-
стоти необхідно точно спрогнозувати розподіл стру-
му ще на етапі проєктування хірургічних інструментів.
На рис. 1 показано розподіл густини струму J час-
тотою 48,391 кГц у круглому мідному провіднику.
Максимальна концентрація густини струму, що зо-
Досліджено вплив скін-ефекту на електромагнітні процеси, що відбуваються в прямокутних електродах
електрохірургічних інструментів під час протікання через них змінного струму. Математичне моделювання
виконувалось за допомогою диференційних рівнянь в частинних похідних чисельним методом скінчених елементів.
Показано, що густина струму нерівномірно розподіляється по периметру електрода: струм концентрується в
кутах прямокутного перетину, а в центрі він практично відсутній. Аналіз опору мідного прямокутного електрода
в частотному діапазоні від 22 до 880 кГц показав, що зі збільшенням частоти збільшуються джоулеві втрати,
що супроводжується додатковим нагріванням електрода і, відповідно, локальним нагріванням біологічних тканин.
Модифікація форми робочої поверхні електрода скругленням його кутів призвела до згладження розподілу густини
струму та зменшення опору на всіх частотах.
Ключові слова: математичне моделювання, електромагнітні процеси, прямокутні електрохірургічні електроди,
частота струму, скін-ефект, розподіл густини струму.
середжується рівномірно на його зовнішній поверх-
ні, свідчить про наявність скін-ефекту.
У квадратному мідному провіднику, як це показа-
но на рис. 2, густина струму розподіляється по площі
перерізу майже рівномірно на частоті 50 Гц, тоді як
при 500 Гц більша густина сконцентрована в кутах.
Тобто на високих частотах збільшуються електричні
втрати і, як наслідок, зростає опір змінному струму.
Практична реалізація електрохірургічних мето-
дів тісно пов’язана з нормативним регулюванням
робочих частот. В табл. 1 наведено розподіл радіо-
частот, дозволених для використання в Україні, що
відповідає Резолюції № 63 Регламенту радіозв’язку
Міжнародного союзу електрозв’язку [10]. З ура-
хуванням цих вимог в ІЕЗ ім. Є. О. Патона роз-
DOI: 10.15222/TKEA2026.1.70
Андрій ДУБКО1, 2, Олександр РОМАНЕНКО1, Сергій РИМАР1
Україна, м. Київ, 1Інститут електрозварювання ім. Є. О. Патона НАН України;
2КПІ ім. Ігоря Сікорського
Рис. 1. Розподіл густини струму частотою 48,391 кГц
у круглому мідному провіднику радіусом 0,511 мм [8]
J, А/м2
Технологія та конструювання в електронній апаратурі, 2026, № 1 71ISSN 3083-6530 (Print)
ISSN 3083-6549 (Online)
71
БІОМЕДИЧНА ЕЛЕКТРОНІКА
роблено електро хірургічний генератор ЕКВЗ-300
«ПАТОНМЕД», який працює на дозволеній часто-
ті 440 кГц [11]. Науковці Інституту спільно з фа-
хівцями медичної галузі впроваджують в хірургіч-
ну практику нові технології високочастотного зва-
рювання [12] – [16], де застосовуються біполярні та
монополярні інструменти з різною формою робо-
чих поверхонь.
Ефективність таких технологій суттєво залежить
від геометричних і силових параметрів інструмента.
Зокрема, розроблений спеціальний біполярний затис-
кач з робочою поверхнею електродів 3 × 15 мм, при-
значений для заварювання артерій діаметром 3 – 8 мм,
забезпечує стискання тканин в межах 1,9 ± 0,2 МПа.
В процесі гідравлічних випробувань зварний шов ар-
терії свині діаметром 7 мм витримав тиск рідини не
менше ніж 500 мм рт. ст. (67 кПа) [17]. Проте опти-
мізація геометричних параметрів таких електродів
вимагає детального аналізу електромагнітних про-
цесів у зоні контакту.
Аналітичні розрахунки дозволяють лише набли-
жено оцінити характеристики електромагнітних про-
цесів системи «зварювальні електроди — біологічна
тканина». Числове ж математичне моделювання з ви-
соким ступенем точності відображає процеси в цій
системі і є важливим етапом у створенні нових ефек-
тивних конструкцій електрохірургічних інструментів.
Метою цієї роботи є проведення чисельного ма-
тематичного моделювання розподілу густини стру-
му в електродах електрохірургічних інструментів з
прямокутними робочими поверхнями залежно від
частоти струму.
Математична постановка задачі, геометрія
та крайові умови моделі
Розподіл густини струму в прямокутних електро-
дах можна визначити розв’язанням системи диферен-
ціальних рівнянь Максвелла [18], [19] з відповідними
граничними умовами. Ця система має такий вигляд:
;
;
σ ω ;
– – ω ;
0,
j
V j
´ =
=´
= +
=
ìïïïïïïïíïïïïïïïî ⋅ =
H J
B A
J E D
E A
J
(1)
де ∇ — оператор набла;
H — вектор напруженості магнітного поля;
J — вектор густини електричного струму;
B — вектор магнітної індукції;
A — вектор магнітного потенціалу;
E — вектор напруженості електричного поля;
D — вектор електричної індукції;
σ — питома електрична провідність середовища;
j — уявна одиниця;
ω — кутова частота струму, ω = 2πf;
Рис. 2. Розподіл густини струму в квадратному провід-
нику розміром 20 × 20 мм на частоті струму 50 Гц (а)
та 500 Гц (б) [9]
а)
Y, м
0,02
0,01
0
–0,01
J, А/м2
400
300
200
100
0
–0,01 0 0,01 0,02 0,03
X, м
б)
Y, м
0,02
0,01
0
–0,01
J, А/м2
150
100
50
0
–0,01 0 0,01 0,02 0,03
X, м
Таблиця 1
Розподіл дозволених для використання в Україні
радіочастот [10]
Номінальне
значення частоти
і допустиме
відхилення
Смуга
частот,
кГц
Дозволено
використання
в пристроях*
18 кГц ± 7,5% 16,7 – 19,4 П
22 кГц ± 7,5% 20,4 – 23,7 П, Н, М
44 кГц ± 10% 40 – 48 П, Н, М
66 кГц +12%, –10% 59 – 74 П, Н, М
440 кГц ± 2,5% 429 – 451 П, Н, М
880 кГц ± 1,0% 871 – 889 П, Н, М
1760 кГц ± 2,5% 1720 – 1800 П, Н, М
2640 кГц ± 1,0% 2610 – 2670 П, М
5280 кГц ± 2,5% 5150 – 5410 П, Н, М
*П — промислові;
Н — наукові;
М — медичні радіовипромінювальні пристрої
Технологія та конструювання в електронній апаратурі, 2026, № 172 ISSN 3083-6530 (Print)
ISSN 3083-6549 (Online)
72
БІОМЕДИЧНА ЕЛЕКТРОНІКА
f — частота струму;
V — скалярний електричний потенціал.
Для оцінювання електричних і магнітних власти-
востей середовища система доповнюється рівняння-
ми зв’язку напруженості магнітного поля з магнітною
індукцією і напруженості електричного поля з елек-
тричною індукцією:
B = μ0 μr H;
D = ε0 εr E, (2)
де μ0, ε0 — магнітна та електрична сталі;
μr, εr — відносні магнітна та електрична проникності
середовища.
Поєднання закону Ампера та принципу збережен-
ня заряду дозволяє отримати розрахункове рівняння:
∇×(μ0
–1μr
–1∇×А) + σ∇V + (jωσ – ω2ε0εr)A = 0. (3)
Розв’язати таку задачу можна, застосувавши чи-
сельний метод скінчених елементів в пакеті COMSOL
Multiphysics.
Математичне моделювання проводилося для змін-
ного струму силою 2 А частотою 22, 66, 440 і 880 кГц.
Об’єкт дослідження — мідний електрод 1 прямокут-
ного перерізу розмірами 3 × 15 мм (периметр 36 мм),
який розміщується в центрі розрахункової області —
повітряного прямокутника 2 з попереч ним перерізом
18 × 45 мм, як це показано на рис. 3. Граничні умови
визначають обмеження поширення електромагніт-
ного поля зовнішніми границями області 2, на яких
n×A = 0 та n·J = 0, де n — вектор нормалі.
Для забезпечення достатньої точності розв’язання
задачі використано скінченно-елементну сітку, яка
має загущення в області електрода (рис. 4), що до-
зволяє мінімізувати похибку розрахунків у зонах ви-
сокого градієнта поля.
Результати моделювання та їх обговорення
Результати моделювання розподілу густини змін-
ного струму для частот 66 і 440 кГц у вигляді дво-
мірних функціонально забарвлених полів, пред-
ставлено на рис. 5, а об’ємний розподіл для частоти
440 кГц — на рис. 6. Візуалізація полів свідчить про
виражену нерівномірність розподілу струму по пери-
метру електрода з концентрацією його максимальних
значень у кутових зонах прямокутника.
Рис. 4. Скінченно-елементна сітка моделі
Рис. 3. Розрахункова область моделі:
1 — електрод; 2 — повітря
1
2
а)
Y, мм
4
2
0
–2
–4
J, А/мм2
0,58
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
–0,03
–6 –4 –2 0 2 4 X, мм
б)
Y, мм
4
2
0
–2
–4
J, А/мм2
1,96
1,8
1,4
1,0
0,6
0,2
0
–0,09
–6 –4 –2 0 2 4 X, мм
Рис. 5. Розподіл густини змінного струму в мідному пря-
мокутному електроді на частоті 66 кГц (а) та 440 кГц (б)
Рис. 6. Тривімірна поверхня розподілу густини струму
в мідному прямокутному електроді на частоті 440 кГц
J, А/мм2
1,96
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,09
Технологія та конструювання в електронній апаратурі, 2026, № 1 73ISSN 3083-6530 (Print)
ISSN 3083-6549 (Online)
73
БІОМЕДИЧНА ЕЛЕКТРОНІКА
Для більш детальної оцінки отримано також графі-
ки розподілу густини струму J уздовж більшої сторо-
ни перерізу для всіх досліджуваних частот. Як вид но
на рис. 7, у центральній частині електрода для всіх
частот струм практично відсутній, а його максимуми
зміщуються до країв, що є прямим наслідком прояву
скін-ефекту. При цьому слід зазначити, що зі збіль-
шенням частоти зростають і максимальні значення J.
У табл. 2 наведено розраховані значення опору
мідного електрода з прямокутним поперечним перері-
зом 3 × 15 мм висотою 3 мм залежно від частоти. Тут
видно, що з підвищенням частоти струму збільшуєть-
ся активний опір електрода, що пояснюється змен-
шенням ефективної площі поверхні електрода через
скін-ефект. Відповідно, зростають джоулеві втрати,
що супроводжується додатковим нагріванням елек-
трода і локальним нагріванням біологічних тканин
вздовж периметра електрода, особливо в його кутах.
З метою згладжування густини струму в прямо-
кутних електродах було запропоновано модифіка-
цію форми його робочої поверхні скругленням ку-
тів з радіусом 1 мм. Периметр такого перерізу змен-
шився до 34,28 мм.
Розподіл густини струму в електроді оптимізо-
ваної геометрії на частоті 440 кГц представлено на
рис. 8, а частотна залежність його опору — в табл. 2.
Порівняльний аналіз результатів вказує на те, що
скруглення кутів призвело до згладжування розпо-
ділу густини струму та зменшення опору електрода
на всіх частотах.
Висновки
Проведене в широкому частотному діапазоні мате-
матичне моделювання показало нерівномірність роз-
поділу густини змінного струму в мідному прямокут-
ному електроді: струм концентрується переважно на
периферії, особливо в кутових зонах, тоді як у центрі
він практично відсутній. При цьому, нерівномірність
збільшується зі зростанням частоти. Підвищення час-
тоти призводить також до зростання активного опору
електрода через зменшення ефективної площі проті-
кання струму внаслідок скін-ефекту. Це своєю чер-
гою зумовлює інтенсивніше локальне нагрівання пе-
риферійних ділянок.
Модифікація геометрії робочої поверхні інстру-
мента скругленням кутів робочої поверхні дозволи-
ла суттєво згладити розподіл гу стини струму та зни-
зити загальний опір електрода. Отримані результа-
ти доцільно враховувати на етапі проєктування но-
вих конструкцій високочастотних електрохірургіч-
них інструментів.
У подальших дослідженнях планується прове-
дення чисельного моделювання розподілу густини
струму у системі «електрод — біологічна тканина»
з урахуванням скін-ефекту й ефекту близькості за
наявності паралельних провідників у складній кон-
струкції електродів.
J,
А/мм2
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 2 4 6 8 10 12 X, мм
Рис. 7. Розподіл густини струму по робочій поверхні уздовж
більшої сторони перерізу прямокутного електрода (по його
осі симетрії) на різних частотах
880 кГц
440 кГц
66 кГц
22 кГц
Таблиця 2
Частотна залежність опору мідного електрода “кла-
сичного” прямокутного перерізу та зі скругленими кутами
Частота,
кГц
Опір електрода, Омꞏ10–6
класичного скругленого
22 4,1124 4,0097
66 6,9906 6,7487
440 17,8940 17,0620
880 25,3990 24,1580
а)
Y, мм
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
J, А/мм2
1,07
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,06
–6 –4 –2 0 2 4 X, мм
Рис. 8. Дво- (а) та тривимірна (б) моделі розподілу густи-
ни змінного струму в мідному прямокутному електроді із
скругленими кутами на частоті 440 кГц
J, А/мм2
1,07
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,06
б)
Технологія та конструювання в електронній апаратурі, 2026, № 174 ISSN 3083-6530 (Print)
ISSN 3083-6549 (Online)
74
БІОМЕДИЧНА ЕЛЕКТРОНІКА
ВИКОРИСТАНІ ДЖЕРЕЛА
[1] В. М. Сидорець та А. Г. Дубко, “Розподіл струму в елек-
тродах електрохірургічних інструментів при зварюванні біоло-
гічних тканин,” Східно-Європейський журнал передових техно-
логій, no. 3, pp. 24 – 28, 2015. doi: 10.15587/1729-4061.2015.43372.
[2] J. A. Pearce, “FEM numerical model study of electrosurgical
dispersive electrode design parameters,” in Proc. 37th Annu. Int.
Conf. IEEE Eng. Med. Biol. Soc. (EMBC), 2015, pp. 2559 – 2562. doi:
10.1109/EMBC.2015.7318914.
[3] N. H. Nessler and W. Reischer, “Mesuring device for
neutral electrodes in electrosurgery,” Measurement, vol. 33, no. 2,
pp. 197 – 203, 2003. doi: 10.1016/S0263-2241(02)00063-5.
[4] D. Messenger, F. Carter, E. Noble, and N. Francis,
“Electrosurgery and energized dissection,” Surgery (Oxford), vol. 38,
no. 3, pp. 133 – 138, 2020. doi: 10.1016/j.mpsur.2020.01.006.
[5] M. Zareba, T. Szczegielniak, and P. Jabłonski, “Influence
of the Skin and Proximity Effects on the Thermal Field in a System
of Two Parallel Round Conductors,” Energies, vol. 16, no. 17, art.
no. 6341, pp. 1 – 20, 2023. doi: 10.3390/en16176341.
[6] V. T. Morgan, “The current distribution, resistance and internal
inductance of linear power system conductors—A review of explicit
equations,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 28, no. 3, pp. 1252 – 1262,
Jul. 2013. doi: 10.1109/TPWRD.2013.2250314.
[7] О. Н. Войцеховський, Н. Л. Дон, та О. О. Демченко,
“Дослідження поверхневого ефекту та ефекту близькості двопро-
відної лінії,” Вісник ХНТУ, no. 4 (67), pp. 31–35, 2018. Available:
http://nbuv.gov.ua/UJRN/Vkhntu_2018_4_7.
[8] J. R. Gonzalez-Teodoro, V. Kindl, E. Romero-Cadaval, and R.
Asensi, “Analysis of Skin Effect in Single Wire Resistance by Finite
Element Methods,” in Proc. IEEE 14th Int. Conf. Compatibility, Power
Electron. Power Eng. (CPE-POWERENG), 2020, pp. 19 – 23. doi:
10.1109/CPE-POWERENG48600.2020.9161540.
[9] B. Tabei, A. M. Gole, and B. Kordi, “Skin and Proximity Effect
Calculation of a System of Rectangular Conductors Using the Proper
Generalized Decomposition Technique,” Energies, vol. 17, no. 12, art.
no. 2828, pp. 1 – 22, 2024. doi: 10.3390/en17122828.
[10] О. П. Яненко, С. М. Перегудов, та К. Л. Шевченко,
Радіометричні мікрохвильові методи та засоби вимірювання фі-
зичних величин. Київ, Україна: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2021.
Available: https://ela.kpi.ua/handle/123456789/41470.
[11] Г. С. Марінський та ін., “Високочастотне обладнання для
зварювання живих тканин (Огляд),” Автоматичне зварювання,
no. 1, pp. 29 – 37, 2023. doi: 10.37434/as2023.01.05.
[12] O. Linchevskyy, A. Makarov, and V. Getman, “Lung sealing
using the tissue-welding technology in spontaneous pneumothorax,”
Eur. J. Cardiothorac. Surg., vol. 37, no. 5, pp. 1126 – 1128, 2010.
[13] N. Umanets, N. V. Pasyechnikova, V. A. Naumenko, P. B.
Henrich, and A. Cuschieri, “High-frequency electric welding: A novel
method for improved immediate chorioretinal adhesion in vitreoretinal
surgery,” Graefe’s Arch. Clin. Exp. Ophthalmol., vol. 252, no. 10,
pp. 1697 – 1703, 2014.
[14] V. Y. Molotkovets et al., “Restoration of the Integrity of a
Transected Peripheral Nerve with the Use of an Electric Welding
Technology,” Neurophysiology, vol. 52, no. 1, pp. 31 – 42, 2020.
[15] М. Ю. Болгов та ін., Атлас безлігатурних операцій на
щитоподібній залозі. Київ, Україна: КІМ, 2024.
[16] S. V. Tkachenko, O. V. Romanenko, N. A. Chvertko, and
A. G. Dubko, “Current state and prospects for development in
welding of biological tissues,” in Welding and Related Technologies:
Proceedings of the VIIth International Conference on Welding and
Related Technologies (WRT 2024), I. Krivtsun et al., Eds. London, UK:
CRC Press, 2025, pp. 143 – 148. doi: 10.1201/9781003518518143-148.
[17] Б. Е. Патон та О. Н. Иванова, Тканесохраняющая
высокочастотная электросварочная хирургия. Киев, Украина:
Наукова думка, 2009.
[18] В. О. Москалюк та Т. А. Саурова, Теорія поля. Київ,
Україна: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2018.
[19] Z. Popovic та B. Popovic, Introductory Engineering
Electromagnetics. Upper Saddle River, NJ, USA: Prentice Hall, 1999.
Надійшла до редакції 3.05.2026
Прийнято до друку 12.06.2026
Andriі DUBKO1,2, Oleksandr ROMANENKO1,
Serhii RYMAR1
Ukraine, Kyiv, 1E. O. Paton Electric Welding Institute
of the NAS of Ukraine;
2Igor Sikorskyi Kyiv Polytechnic Institute
MATHEMATICAL MODELING OF CURRENT DENSITY DISTRIBUTION
IN ELECTRODES OF ELECTROSURGICAL INSTRUMENTS
WITH RECTANGULAR WORKING SURFACES
This study investigates the influence of the skin effect on electromagnetic processes occurring in the rectangular electrodes
of electrosurgical instruments during alternating current flow. The mathematical modeling was performed by solving partial
differential equations using the numerical finite element method. The simulation results demonstrate that the current density is
unevenly distributed along the perimeter of the electrode: the current is concentrated in the corners of the rectangular cross-
section and is practically absent in its center. Analysis of the resistance of a copper rectangular electrode within the frequency
range of 22 to 880 kHz showed that increasing the frequency leads to higher Joule losses, accompanied by additional heating
of the electrode and, consequently, local heating of biological tissues. Modifying the shape of the electrode’s working surface
by rounding its corners resulted in a more uniform current density distribution and a reduction in its resistance across all
frequencies.
Keywords: mathematical modeling, electromagnetic processes, rectangular electrosurgical electrodes, current frequency, skin
effect, current density distribution.
DOI: 10.15222/TKEA2026.1.70
UDC 615.47:621.791
Технологія та конструювання в електронній апаратурі, 2026, № 1 75ISSN 3083-6530 (Print)
ISSN 3083-6549 (Online)
75
БІОМЕДИЧНА ЕЛЕКТРОНІКА
Copyright: © 2026, The author(s). Licensee: Politekhperiodika, Odesa, Ukraine. This article is an open access
article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution (CC BY) license
(https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).
Відомості про авторів
Андрій Дубко, канд. техн. наук, ст. наук. співроб., Інститут
електрозварювання ім. Є. О. Патона НАН України;
доцент, КПІ ім. Ігоря Сікорського, Київ, Україна;
е-mail: andreyies17@gmail.com;
ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6070-3945
Олександр Романенко, канд. техн. наук, зав. відділу,
Інститут електрозварювання ім. Є. О. Патона НАН
України, Київ, Україна;
е-mail: romann125@gmail.com;
ORCID: https://orcid.org/0009-0005-7426-0635
Сергій Римар, докт. техн. наук, провідний науковий
співробітник, Інститут електрозварювання ім. Є. О.
Патона НАН України, Київ, Україна;
е-mail: elmag@paton.kiev.ua;
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0490-4608
About the authors
Andriі Dubko, Ph.D., Senior Research Fellow, E.O. Paton
Electric Welding Institute of the NAS of Ukraine;
Associate Professor, Igor Sikorskyi Kyiv Polytechnic
Institute, Kyiv, Ukraine;
е-mail: andreyies17@gmail.com;
ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6070-3945
Oleksandr Romanenko, Head of the Department, E.O.
Paton Electric Welding Institute of the NAS of Ukraine,
Kyiv, Ukraine;
е-mail: romann125@gmail.com;
ORCID: https://orcid.org/0009-0005-7426-0635
Serhii Rymar, Dr. Sc., Leading Researcher, E.O. Paton
Electric Welding Institute of the NAS of Ukraine, Kyiv,
Ukraine;
е-mail: elmag@paton.kiev.ua;
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0490-4608
REFERENCES
[1] V. M. Sydorets and A. G. Dubko, “Current distribution in the
electrodes of electrosurgical instruments during welding of biological
tissues (in Ukrainian),” East Eur. J. Adv. Technol., no. 3, pp. 24 – 28,
2015. doi: 10.15587/1729-4061.2015.43372.
[2] J. A. Pearce, “FEM numerical model study of electrosurgi-
cal dispersive electrode design parameters,” in Proc. 37th Annu. Int.
Conf. IEEE Eng. Med. Biol. Soc. (EMBC), 2015, pp. 2559 – 2562. doi:
10.1109/EMBC.2015.7318914.
[3] N. H. Nessler and W. Reischer, “Mesuring device for neu-
tral electrodes in electrosurgery,” Measurement, vol. 33, no. 2,
pp. 197 – 203, 2003. doi: 10.1016/S0263-2241(02)00063-5.
[4] D. Messenger, F. Carter, E. Noble, and N. Francis,
“Electrosurgery and energized dissection,” Surgery (Oxford), vol. 38,
no. 3, pp. 133 – 138, 2020. doi: 10.1016/j.mpsur.2020.01.006.
[5] M. Zareba, T. Szczegielniak, and P. Jabłonski, “Influence of the
Skin and Proximity Effects on the Thermal Field in a System of Two
Parallel Round Conductors,” Energies, vol. 16, no. 17, art. no. 6341,
pp. 1–20, 2023. doi: 10.3390/en16176341.
[6] V. T. Morgan, “The current distribution, resistance and internal
inductance of linear power system conductors—A review of explicit
equations,” IEEE Trans. Power Deliv., vol. 28, no. 3, pp. 1252 – 1262,
Jul. 2013. doi: 10.1109/TPWRD.2013.2250314.
[7] O. N. Voitsekhovskyi, N. L. Don, and O. O. Demchenko,
“Investigation of the surface effect and proximity effect of a two-
wire line (in Ukrainian),” Bull. KhNTU, no. 4 (67), pp. 31 – 35, 2018.
Available: http://nbuv.gov.ua/UJRN/Vkhntu_2018_4_7.
[8] J. R. Gonzalez-Teodoro, V. Kindl, E. Romero-Cadaval, and
R. Asensi, “Analysis of Skin Effect in Single Wire Resistance by Finite
Element Methods,” in Proc. IEEE 14th Int. Conf. Compatibility, Power
Electron. Power Eng. (CPE-POWERENG), 2020, pp. 19 – 23. doi:
10.1109/CPE-POWERENG48600.2020.9161540.
[9] B. Tabei, A. M. Gole, and B. Kordi, “Skin and Proximity Effect
Calculation of a System of Rectangular Conductors Using the Proper
Generalized Decomposition Technique,” Energies, vol. 17, no. 12,
art. no. 2828, pp. 1 – 22, 2024. doi: 10.3390/en17122828.
[10] O. P. Yanenko, S. M. Peregudov, and K. L. Shevchenko,
Radiometric Microwave Methods and Means of Measuring
Physical Quantities (in Ukrainian). Kyiv, Ukraine: Igor Sikorsky
Kyiv Polytechnic Institute, 2021. Available: https://ela.kpi.ua/
handle/123456789/41470.
[11] G. S. Marinsky et al., “High-frequency equipment for welding
living tissues (Review) (in Ukrainian),” Autom. Welding, no. 1, pp.
29 – 37, 2023. doi: 10.37434/as2023.01.05.
[12] O. Linchevskyy, A. Makarov, and V. Getman, “Lung sealing
using the tissue-welding technology in spontaneous pneumothorax,”
Eur. J. Cardiothorac. Surg., vol. 37, no. 5, pp. 1126 – 1128, 2010.
[13] N. Umanets, N. V. Pasyechnikova, V. A. Naumenko, P. B.
Henrich, and A. Cuschieri, “High-frequency electric welding: A novel
method for improved immediate chorioretinal adhesion in vitreoretinal
surgery,” Graefe’s Arch. Clin. Exp. Ophthalmol., vol. 252, no. 10,
pp. 1697 – 1703, 2014.
[14] V. Y. Molotkovets et al., “Restoration of the Integrity of a
Transected Peripheral Nerve with the Use of an Electric Welding
Technology,” Neurophysiology, vol. 52, no. 1, pp. 31 – 42, 2020.
[15] M. Y. Bolgov et al., Atlas of Ligature-Free Operations on the
Thyroid Gland (in Ukrainian). Kyiv, Ukraine: KIM, 2024.
[16] S. V. Tkachenko, O. V. Romanenko, N. A. Chvertko, and
A. G. Dubko, “Current state and prospects for development in weld-
ing of biological tissues,” in Welding and Related Technologies:
Proceedings of the VIIth International Conference on Welding and
Related Technologies (WRT 2024), I. Krivtsun et al., Eds. London, UK:
CRC Press, 2025, pp. 143 – 148. doi: 10.1201/9781003518518143-148.
[17] B. E. Paton and O. N. Ivanova, Tissue-Protecting High-
Frequency Electric Welding Surgery (in Russian). Kyiv, Ukraine:
Naukova Dumka, 2009.
[18] V. O. Moskalyuk and T. A. Saurova, Field Theory (in
Ukrainian). Kyiv, Ukraine: Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute,
2018.
[19] Z. Popovic and B. Popovic, Introductory Engineering
Electromagnetics. Upper Saddle River, NJ, USA: Prentice Hall, 1999.
|
| id | oai:tkea.com.ua:article-1329 |
| institution | Technology and design in electronic equipment |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:47Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | PE "Politekhperiodika", Book and Journal Publishers |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | wwwtkeacomua/cb/987a6525067e12e477787f9d9eb151cb.pdf |
| spelling | oai:tkea.com.ua:article-13292026-08-03T16:40:38Z Mathematical modeling of current density distribution in electrodes of electrosurgical instruments with rectangular working surfaces Математичне моделювання розподілу густини струму в електродах електрохірургічних інструментів з прямокутною робочою поверхнею Dubko, Andriі Romanenko, Oleksandr Rymar, Serhii mathematical modeling electromagnetic processes rectangular electrosurgical electrodes current frequency skin effect current density distribution математичне моделювання електромагнітні процеси прямокутні електрохірургічні електроди частота струму скін-ефект розподіл густини струму This study investigates the influence of the skin effect on electromagnetic processes occurring in the rectangular electrodes of electrosurgical instruments during alternating current flow. The mathematical modeling was performed by solving partial differential equations using the numerical finite element method. The simulation results demonstrate an uneven current density distribution along the perimeter of the rectangular electrode. The current is highly concentrated in the corners of the electrode and is practically absent in its center. The active resistance of a copper rectangular electrode (with a cross-section of  3 х 15 mm and a length 3 mm) was analyzed within the frequency range of  22 to 880 kHz. It was established that increasing the current frequency leads to higher joule heating losses in the electrodes due to a reduction in the effective cross-sectional area caused by the skin effect. Modifying the electrode geometry by rounding its corners allows for equalizing the current density distribution and reducing the total resistance. Досліджено вплив скін-ефекту на електромагнітні процеси, що відбуваються в прямокутних електродах електрохірургічних інструментів під час протікання через них змінного струму. Математичне моделювання виконувалось за допомогою диференційних рівнянь в частинних похідних чисельним методом скінчених елементів. Показано, що густина струму нерівномірно розподілена по периметру електрода: струм сконцентровано в кутах прямокутного перетину, а в центрі він відсутній. Аналіз опору мідного прямокутного електрода в частотному діапазоні від 22 до 880 кГц показав, що зі збільшенням частоти збільшуються втрати на нагрівання електродів через зменшення ефективної площі його робочої поверхні. Вирівняти густину струму та зменшити опір електрода дозволяє скруглення кутів прямокутного перетину. PE "Politekhperiodika", Book and Journal Publishers 2026-06-30 Article Article Peer-reviewed Article application/pdf https://www.tkea.com.ua/index.php/journal/article/view/TKEA2026.1.70 10.15222/TKEA2026.1.70 Technology and design in electronic equipment; No. 1 (2026): Technology and design in electronic equipment; 70-75 Технологія та конструювання в електронній апаратурі; № 1 (2026): Технологія та конструювання в електронній апаратурі; 70-75 3083-6549 3083-6530 10.15222/TKEA2026.1 uk https://www.tkea.com.ua/index.php/journal/article/view/TKEA2026.1.70/1232 Copyright (c) 2026 Andriі Dubko, Oleksandr Romanenko, Serhii Rymar http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ |
| spellingShingle | математичне моделювання електромагнітні процеси прямокутні електрохірургічні електроди частота струму скін-ефект розподіл густини струму Dubko, Andriі Romanenko, Oleksandr Rymar, Serhii Математичне моделювання розподілу густини струму в електродах електрохірургічних інструментів з прямокутною робочою поверхнею |
| title | Математичне моделювання розподілу густини струму в електродах електрохірургічних інструментів з прямокутною робочою поверхнею |
| title_alt | Mathematical modeling of current density distribution in electrodes of electrosurgical instruments with rectangular working surfaces |
| title_full | Математичне моделювання розподілу густини струму в електродах електрохірургічних інструментів з прямокутною робочою поверхнею |
| title_fullStr | Математичне моделювання розподілу густини струму в електродах електрохірургічних інструментів з прямокутною робочою поверхнею |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання розподілу густини струму в електродах електрохірургічних інструментів з прямокутною робочою поверхнею |
| title_short | Математичне моделювання розподілу густини струму в електродах електрохірургічних інструментів з прямокутною робочою поверхнею |
| title_sort | математичне моделювання розподілу густини струму в електродах електрохірургічних інструментів з прямокутною робочою поверхнею |
| topic | математичне моделювання електромагнітні процеси прямокутні електрохірургічні електроди частота струму скін-ефект розподіл густини струму |
| topic_facet | mathematical modeling electromagnetic processes rectangular electrosurgical electrodes current frequency skin effect current density distribution математичне моделювання електромагнітні процеси прямокутні електрохірургічні електроди частота струму скін-ефект розподіл густини струму |
| url | https://www.tkea.com.ua/index.php/journal/article/view/TKEA2026.1.70 |
| work_keys_str_mv | AT dubkoandrií mathematicalmodelingofcurrentdensitydistributioninelectrodesofelectrosurgicalinstrumentswithrectangularworkingsurfaces AT romanenkooleksandr mathematicalmodelingofcurrentdensitydistributioninelectrodesofelectrosurgicalinstrumentswithrectangularworkingsurfaces AT rymarserhii mathematicalmodelingofcurrentdensitydistributioninelectrodesofelectrosurgicalinstrumentswithrectangularworkingsurfaces AT dubkoandrií matematičnemodelûvannârozpodílugustinistrumuvelektrodahelektrohírurgíčnihínstrumentívzprâmokutnoûrobočoûpoverhneû AT romanenkooleksandr matematičnemodelûvannârozpodílugustinistrumuvelektrodahelektrohírurgíčnihínstrumentívzprâmokutnoûrobočoûpoverhneû AT rymarserhii matematičnemodelûvannârozpodílugustinistrumuvelektrodahelektrohírurgíčnihínstrumentívzprâmokutnoûrobočoûpoverhneû |