Centralizers of elements in Lie algebras of derivations of fields
Let $K$ be an algebraically closed field of characteristic zero and $R$ an algebraic extension of the field of rational functions $K(x_1,.,x_n)$ in $n$ variables. We study centralizers of elements in the Lie algebra $Der_{K}R$ of all $K$-derivations of the field $R.$If $F$ is the field of constants...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/10 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552527916957696 |
|---|---|
| author | Lysenko, S. V. Petravchuk, A. P. Stepukh, V. V. Лисенко, С. В. Петравчук, A. П. Степух, В. В. |
| author_facet | Lysenko, S. V. Petravchuk, A. P. Stepukh, V. V. Лисенко, С. В. Петравчук, A. П. Степух, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. В. Лисенко",
"institution": "Київський Нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Механiко-математичний факультет"
},
{
"author": "A. П. Петравчук",
"institution": "Київський Нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Механiко-математичний факультет"
},
{
"author": "В. В. Степух",
"institution": "Київський Нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Механiко-математичний факультет"
}
] |
| author_sort | Lysenko, S. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:53:12Z |
| description | Let $K$ be an algebraically closed field of characteristic zero and $R$ an algebraic extension of the field of rational functions $K(x_1,.,x_n)$ in $n$ variables. We study centralizers of elements in the Lie algebra $Der_{K}R$ of all $K$-derivations of the field $R.$If $F$ is the field of constants of a derivation $D\in Der _{K}R$ on $R$ and $tr.deg_{K}F\leq2$ then a characterization of the centralizer $C_{Der_{K}(R)}(D)$ is given depedent on $tr.deg_{K}F.$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 1, 141–153
УДК 517.956.223
С. В. Лисенко, A. П. Петравчук,
В. В. Степух
(Київський Нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка,
Механiко-математичний факультет, вул. Володимирська, 64,
01033, Київ, Україна)
Централiзатори елементiв в алгебрах
Лi диференцiювань полiв
apetrav@gmail.com, svvhelios@gmail.com
Let K be an algebraically closed field of characteristic zero and R an
algebraic extension of the field of rational functions K(x1, ., xn) in n vari-
ables. We study centralizers of elements in the Lie algebra DerKR of all
K-derivations of the field R. If F is the field of constants of a derivati-
on D ∈ DerKR on R and tr.degKF ≤ 2 then a characterization of the
centralizer CDerK(R)(D) is given depedent on tr.degKF.
Нехай K — алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль i R –
алгебраїчне розширення поля рацiональних функцiй вiд n змiнних
K(x1, ., xn). Вивчаються централiзатори елементiв в алгебрi Лi DerKR
всiх K-диференцiювань поля R. Якщо F – поле констант диферен-
цiювання D ∈ DerKR в R i tr.degKF ≤ 2, то дано характеризацiю
централiзатора CDerK(R)(D) в залежностi вiд tr.degKF .
1. Вступ
Нехай K — алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль,
K(x1, ., xn) – поле рацiональних функцiй над K i R ⊇ K(x1, . . . , xn) —
алгебраїчне розширення поля K(x1, . . . , xn) (не обов’язково скiнченне).
Векторний K-простiр W (R) = DerKR всiх K-диференцiювань поля R
c© С. В. Лисенко, A. П. Петравчук, В. В. Степух, 2015
142 С. В. Лисенко, A. П. Петравчук, В. В. Степух
утворює алгебру Лi вiдносно операцiї комутування (нагадаємо, що K-
лiнiйне вiдображення D : R → R називається K-диференцiюванням,
якщо D(ab) = D(a)b + aD(b) для довiльних a, b ∈ R). Будова алгебр
Лi диференцiювань асоцiативно-комутативних кiлець вивчалась бага-
тьма авторами в рiзних часткових випадках (див., наприклад, [2], [6]).
Зауважимо, що з геометричної точки зору у випадку K = R або K = C
диференцiювання можна розглядати як векторнi поля на вiдповiдних
гладких многовидах. Вивчення алгебр Лi векторних полiв на многови-
дах утворюють цiлий напрямок в сучаснiй геометрiї, математичнiй фi-
зицi i алгебрi, який закладено ще в роботах С. Лi [4]. В данiй работi ви-
вчається будова централiзаторiв елементiв алгебри Лi W (R) = DerKR.
Вiдомо, що знання структури централiзаторiв елементiв алгебри Лi
дає важливу iнформацiю про саму алгебру Лi (див. наприклад, [1],
[3], [8], [5]). При деяких умовах на степiнь трансцендентностi над K
поля констант F = F (D) диференцiювання D ∈ DerKR в R отрима-
но характеризацiю централiзатора C = CW (R)(D) (нагадаємо, що поле
констант диференцiювання D – це пiдполе F = {r ∈ R | D(r) = 0} з
R). В роботi використовуються стандартнi позначення, всi алгебри Лi
розглядаються над довiльним, але фiксованим алгебраїчно замкненим
полем K характеристики нуль, якщо не вiдзначене iнше. Якщо C –
система векторiв з деякого векторного простору V над полем R, то,
як завжди, рангом rkRC системи C над R називається потужнiсть до-
вiльної максимальної лiнiйно незалежної пiдсистеми з C. Нагадаємо,
що пiдполе F поля R називається алгебраїчно замкненим в R, якщо
кожний алгебраїчний над F елемент iз R лежить в F. Якщо L пiд-
алгебра алгебри Лi W (R), то полем констант для L в R називається
пiдполе F = F (L) = {r ∈ R | D(r) = 0 для всiх D ∈ L}.
2. Допомiжнi результати
Нижче, в наступних трьох лемах наводяться добре вiдомi комутаторнi
спiввiдношення i властивостi диференцiювань.
Лема 1. Нехай D1, D2 ∈ W (R) (нагадаємо, що W (R) = DerKR). Тодi
для довiльних a, b ∈ R виконуються спiввiдношення
[aD1, bD2] = ab[D1, D2] + aD1(b)D2 − bD2(a)D1.
Нехай L – довiльна пiдалгебра алгебри Лi W (R). Позначемо через
RL множину всiх K-лiнiйних комбiнацiй елементiв виду aD, де a ∈
Централiзатори елементiв в алгебрах Лi диференцiювань полiв 143
R,D ∈ L; аналогiчно можна визначити пiдмножину FL, де F – поле
констант алгебри Лi L в R.
Лема 2. Нехай L – пiдалгебра iз W (R) i FL, RL визначенi вище. Тодi
FL i RL є пiдалгебрами алгебри Лi W (R) над полем K. Крiм того, FL
є алгеброю Лi над полем F .
Лема 3. Нехай R – алгебраїчне розширення поля K(x1, . . . , xn). Тодi
DerKR – векторний простiр над полем R розмiрностi n i диферен-
цiювання ∂
∂x1
, . . . , ∂
∂xn
, отриманi продовженням частинних похiдних
поля K(x1, . . . , xn) на R утворюють базис R-простору DerK(R).
Лема 4. Нехай D ∈ DerKR, D 6= 0 i F = KerD — поле констант для
D в R. Тодi централiзатор C = CDerKR(D) є векторним простором
над F розмiрностi 6 n.
Доведення леми 4.
Очевидно, що F = KerD є пiдполем поля R. Позначимо через k
ранг системи векторiв C над R, k = rkRC i вiзьмемо довiльний базис
{D1, . . . , Dk} системи C над R. Очевидно, FD1 + . . . + FDk ⊆ C. Вi-
зьмемо тепер довiльний елемент D ∈ C. Тодi D = a1D1 + . . . + akDk
для деяких a1, . . . , ak ∈ R. Iз рiвностi
[D,D] = 0 = D(a1)D1 + . . .+D(ak)Dk
випливає, що D(ai) = 0, i = 1 . . . , k, тобто ai ∈ F , i = 1 . . . , k. Але тодi
C = FD1 + . . . + FDk – векторний простiр над полем F розмiрностi
k = rkRC 6 n.
Лема 4 доведена.
Наслiдок 1. Якщо в умовах леми 4 F = K, то централiзатор C =
CDerKR(D) — скiнченновимiрна над K пiдалгебра iз алгебри Лi W (R)
i dimK C 6 n
Зауваження 1. В формулюваннi леми 4 векторний простiр C над
полем констант F може не бути алгеброю Лi над F , хоча C, звичайно
ж, є алгеброю Лi над полем K.
Наступне твердження, швидше за все, не є новим, але не маючи
точного посилання, ми даємо його нижче з доведенням.
Лема 5. Нехай D1, . . . , Dk – лiнiйно незалежнi над R елементи з
W (R) = DerK(R). Тодi пiдполе констант S = ∩ki=1KerDi для систе-
ми {D1, . . . , Dk} має степiнь трансцендентностi над K не вище нiж
n− k.
144 С. В. Лисенко, A. П. Петравчук, В. В. Степух
Доведення леми 5.
Нехай, навпаки, твердження леми не виконується i m = tr.degKS >
n−k. Виберемо який-небудь базис трансцендентностi {y1, . . . , ym} для
S над полем K. Доповнимо його до базиса трансцендентностi поля R
над K якими-небудь елементами ym+1, . . . , yn i розглянемо диферен-
цiювання ∂
∂y1
, . . . , ∂
∂yn
пiдполя K(y1, . . . , yn) з R. Продовжимо цi ди-
ференцiювання на R (таке продовження iснує i єдине, оскiльки R –
алгебраїчне розширення поля K(y1, . . . , yn)). Збережемо для зручно-
стi для продовжень диференцiювань тi ж самi позначення. Диферен-
цiювання ∂
∂y1
, . . . , ∂
∂ym
, D1, . . . , Dk поля R лiнiйно залежнi над R (бо
m+ k > n = dimRW (R) за нашим припущенням). Тому iснує нетривi-
альна лiнiйна комбiнацiя
α1
∂
∂y1
+ . . .+ αm
∂
∂ym
+ β1D1 + . . .+ βkDk = 0,
де αi, βi ∈ R. Оскiльки ∂
∂y1
, . . . , ∂
∂ym
лiнiйно незалежнi над R, то хоча
б один з коефiцiєнтiв βi, i = 1, . . . , k ненульовий. Розглянемо диферен-
цiювання
D = α1
∂
∂y1
+ . . .+ αm
∂
∂ym
= −β1D1 − . . .− βkDk.
Всi елементи ym+1, . . . , yn, очевидно, лежать вKerD = Ker(α1
∂
∂y1
+. . .+
αm
∂
∂ym
) i тому D = −β1D1− . . .−βkDk мiстить в своєму ядрi елементи
y1, . . . , ym, ym+1, . . . , yn. Останнє означає, що D = 0, що суперечить
вiдмiченому вище. Отримана суперечнiсть показує що m ≤ n− k.
Лема 5 доведена.
3. Централiзатори диференцiювань з мали-
ми полями констант
Лема 6. Нехай K – алгебраїчно замкнене поле характеристики 0,
R ⊇ K(x1, ..., xn) — алгебраїчне розширення K(x1, ., xn) i F – пiд-
поле з R, алгебраїчно замкнене в R, яке мiстить K. Позначимо:
N0 = {D ∈ W (R) | D(F ) = 0}, N1 = {D ∈ W (R) | D(F ) ⊆ F}.
Тодi N0 ⊆ N1, N0, N1 – пiдалгебри алгебри Лi W (R) i N0 - iде-
ал алгебри Лi N1, який є векторним простором над R розмiрностi
Централiзатори елементiв в алгебрах Лi диференцiювань полiв 145
dimRN0 = n − tr.degKF . Далi, в N1 iснує пiдалгебра M,M ' DerKF
така, що N1 =M iN0 – напiвпряма сума.
Доведення леми 6.
Якщо D1 ∈ N0, D2 ∈ N1, то для довiльного елемента f ∈ F маємо
[D1, D2](f) = D1(D2(f))−D2(D1(f)) = 0
i тому, як неважко переконатися, N0, N1 – пiдалгебри алгебри ЛiW (R)
i N0 – iдеал в N1. Якщо D ∈ N0, то для довiльного g ∈ R має мiсце
рiвнiсть gD(F ) = 0 i тому gD ∈ N0, тобто N0 – векторний простiр
над полем R. Нехай m = tr.degKF . Покажемо, що dimRN0 = n −
m. Виберемо який-небудь базис трансцендентностi {y1, . . . , ym} поля
F над K i доповнимо його якими-небудь елементами ym+1, . . . , yn до
базиса трансцендентностi поля R над K. Диференцiювання ∂
∂yi
, i =
1, . . . , n пiдполя K(y1, . . . , yn) продовжимо (не змiнюючи позначень) до
диференцiювань поля R. За умовою пiдполе F алгебраїчно замкнене
в R i тому для диференцiювань ∂
∂ym+1
, . . . , ∂
∂yn
виконуються рiвностi
∂
∂ym+1
(F ) = . . . =
∂
∂yn
(F ) = 0,
оскiльки ∂
∂yi
(yj) = 0, i = m + 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m. Тому
∂
∂ym+1
, . . . , ∂
∂yn
∈ N0 i, оскiльки данi диференцiювання лiнiйно неза-
лежнi над R, то dimRN0 ≥ n − m. Але, якби пiдалгебра N0 мiстила
бiльше нiж n−m лiнiйно незалежних надR елементiв, то степiнь транс-
цендентностi F над полем K не перевищував би n−(n−m+1) = m−1 з
огляду на лему 5, що неможливо, бо за умовою леми tr.degKF = m. То-
му dimRN0 = n−m = n−tr.degKF . ПокладемоM = F ∂
∂y1
+· · ·+F ∂
∂ym
.
Легко бачити, що це пiдалгебра з W (R). Очевидно, M(F ) ⊆ F i тому
M – пiдалгебра з N1. Неважко переконатися також, що M ' DerKF .
Також безпосередньо перевiряється, що пiдалгебра N0 має вигляд
N0 = R ∂
∂ym+1
+ · · · + R ∂
∂yn
. Нехай тепер D ∈ N1. Тодi D iндукує де-
яке диференцiювання поля F , нехай D(y1) = f1, . . . , D(ym) = fm для
деяких f1, . . . , fm ∈ F. Але тодi, як неважко переконатися,
D − (f1
∂
∂y1
+ · · ·+ fm
∂
∂ym
) ∈ N0.
Отже, N1 =M iN0, оскiльки M ∩N0 = 0.
Лема 6 доведена.
146 С. В. Лисенко, A. П. Петравчук, В. В. Степух
Зауваження 2. В формулюваннi леми, при додаткових умовах F 6=
K, F 6= R обидвi пiдалгебри N0 i M є простими алгебрами Лi (з огля-
ду на основний результат роботи [2]) i, таким чином, пiдалгебра N1
розкладається в напiвпряму суму двох простих пiдалгебр.
Лема 7. Нехай D ∈ DerKR, D 6= 0, C = CDerKR(D)– централiзатор
елемента D i F = KerD — поле констант диференцiювання D в R.
Далi, позначимо I = {T ∈ C | T (F ) = 0}. Тодi I — iдеал алгебри Лi
C(як алгебри Лi над полем K) i rkRC − rkRI 6 tr.degKF .
Доведення леми 7.
Легко бачити, що C(F ) ⊆ F (тобто для довiльного T ∈ C ви-
конується T (F ) ⊆ F ). Тому, як неважко переконатися, I — iдеал
алгебри Лi C (як алгебри Лi над K). Виберемо який-небудь базис
{D1, . . . , Dm}, m = rkRI для системи векторiв I над полем R i допов-
нимо цю систему якими-небудь елементами Dm+1, . . . , Dk до базису
{D1, . . . , Dm, Dm+1, . . . , Dk} системи векторiв C над R, де k = rkRC.
Позначимо s = tr.degKF ; тодi DerKF – векторний простiр розмiрностi
s над полем F за лемою 3. Диференцiювання Dm+1, . . . , Dk поля R iн-
дукують диференцiювання поля F (над K) i тому серед них не бiльше
нiж s лiнiйно незалежних над F елементiв. Тому,
rkR{Dm+1, ., Dk} = rkRC − rkRI 6 s = tr.degKF.
Лема 7 доведена.
Нехай тепер K[x1, . . . , xn] – алгебра многочленiв над полем K i
Wn(K) = DerK(K[x1, . . . , xn]) – алгебра Лi всiх її K-диференцiювань.
Нагадаємо, що диференцiювання D алгебри многочленiв K[x1, . . . , xn]
називається простим якщо {0} и K[x1, . . . , xn] є єдиними D-
допустимими iдеалами алгебриK[x1, . . . , xn].Наступне твердження по-
казує, що простi диференцiювання мають "невеликi"централiзатори.
Твердження 1. Нехай D ∈ Wn(K) - просте диференцiювання кiль-
ця многочленiв K[x1, . . . , xn]. Тодi централiзатор C = CWn(K)(D) є
скiнченновимiрною над K пiдалгеброю розмiрностi ≤ n з Wn(K)
Доведення твердження 1. Продовжимо D до диференцiювання по-
ля рацiональных функцiй K(x1, . . . , xn) i покажемо, що для такого про-
довження виконується рiвнiсть KerD = K. Дiйсно, нехай, навпаки, f =
u/v ∈ KerD, f 6= const, f – нескоротний дрiб (тут u, v ∈ K[x1, . . . , xn]).
Централiзатори елементiв в алгебрах Лi диференцiювань полiв 147
Iз рiвностi
D(f) = 0 =
D(u)v − uD(v)
v2
випливає, що D(u)v − uD(v) = 0 i, оскiльки u, v взаємно простi, то
u|D(u), v|D(v), тобто D(u) = λ1u,D(v) = λ2v для деяких многочленiв
λ1, λ2 ∈ K[x1, . . . , xn]. Далi, хоча б один iз головних iдеалов (u), (v)
кiльця K[x1, . . . , xn] є власним i, очевидно, iнварiантним вiдносно ди-
ференцiювання D. Але тодi диференцiювання D кiльця K[x1, . . . , xn]
непросте, що суперечить його выбору. Отримана суперечнiсть показує,
що KerD = K. Але тодi за Лемою 4 централiзатор C скiнченновимiр-
ний над полем K i має розмiрнiсть ≤ n.
Твердження 1 доведено.
Теорема 1. Нехай K – алгебраїчно замкнене поле характеристики
нуль, R – розширення поля K степеня трансцендентностi n над K
i D – K-диференцiювання R з полем констант F = KerD. Якщо
tr.degKF ≤ 2, то централiзатор C = CW (R)(D) є або алгеброй Лi
над F розмiрностi dimF C ≤ n, або C мiстить iдеал I = {T ∈ C |
T (F ) = 0}, який є алгеброй Лi над F розмiрностi rkRC − 1 за умови,
що tr.degKF = 1 або rkRC − 2 за умови, що tr.degKF = 2 i такий, що:
(1) при умовi tr.degKF = 1 фактор-алгебра C/I iзоморфна DerKK(x),
(2) при умовi tr.degKF = 2 фактор-алгебра C/I iзоморфна або пiдал-
гебрi ранга 1 з DerKF , або самiй алгебрi DerKF
Доведення теореми 1.
Якщо tr.degKF = 0, то F = K i C є алгеброю Лi над F = K роз-
мiрностi ≤ n за лемою 4. Тому будемо вважати в подальшому, що
1 ≤ tr.degKF ≤ 2. За Лемою 7 для iдеала I алгебри Лi C виконується
нерiвнiсть rkRC − rkRI ≤ tr.degKF ≤ 2. Якщо rkRC = rkRI, то як
неважко переконатися, C = I – алгебра Лi над F розмiрностi ≤ n за
лемою 4.
Нехай спочатку rkRC − rkRI = 1. Виберемо який-небудь базис
{D1, . . . , Dk−1} для I над R i доповнимо його яким–небудь елементом
Dk ∈ C до базиса C над R. Розглянемо два випадки:
Випадок 1. tr.degKF = 1. Тодi по теоремi Гордана (див., наприклад,
[9], Теорема 3) отримаємо, що F = K(θ) для деякого елемента θ ∈ R.
За означенням iдеала I маємо Di(θ) = 0, i = 1, ..., k − 1. Оскiльки
F = K(θ), то Dk(θ) = f(θ) для деякої рацiональної функцiї f(t) ∈
K(t) и f(θ) 6= 0. Замiнюючи елемент Dk на f(θ)−1Dk (нагадаємо, що
148 С. В. Лисенко, A. П. Петравчук, В. В. Степух
f(θ) ∈ F ) можна вiдразу вважати, що Dk(θ) = 1. Але тодi, як неважко
переконатися, пiдалгебра FDk алгебри Лi DerKR iзоморфна алгебрi
ЛiDerKK(x) всiх K-диференцiювань поля рацiональних функцiй K(x).
Оскiльки C = FDk i I – напiвпряма сума, то C/I ' DerKK(x).
Випадок 2. tr.degKF = 2. В цьому випадку, як i вище, C = FDk i I
– напiвпряма сума двох алгебр Лi, при цьому FDk – пiдалгебра, яка
iзоморфна пiдалгебрi рангу 1 над F iз DerKF .
Нехай тепер rkRC − rkRI = 2. Тодi за лемою 7 tr.degKF = 2. Ви-
беремо довiльним чином базиснi елементи D1, . . . , Dk−2 для I над R
i доповнимо їх якими-небудь елементами S1, S2 до базису C над по-
лем R. Позначимо через K(y1, y2) довiльне пiдполе степеня трансцен-
дентностя 2 над K з F i нехай S1(y1) = f1, S2(y1) = f2 для деяких
елементiв f1, f2 ∈ F. Тодi (f2S1 − f1S2)(y1) = 0 i тому ми можемо вiд-
разу вважати, що S2(y1) = 0. Припустимо, що ще виконується рiвнiсть
S2(y2) = 0. Оскiльки тодi S2 мiстить в своєму ядрi пiдполе K(y1, y2) з
F i поле F є алгебраїчним розширенням поля K(y1, y2), то S2(F ) = 0
i тому S2 ∈ I, що неможливо, бо за вибором D1, . . . , Dk−2, S2 лiнiйно
незалежнi над R. Тому S2(y2) = h2 6= 0 для деякого елемента h2 ∈ F.
Замiнюючи S2 на h−12 S2 можно вважати, що S2(y2) = 1. Припустимо,
тепер, що S1(y2) = h1 6= 0 для деякого елемента h1 ∈ F. Замiнюю-
чи S1 на S2 − h−11 S1 можна, не втрачаючи загальностi, вважати, що
S1(y2) = 0. Аналогiчно можна показати, що S1 можна вибрати так щоб
S1(y1) = 1.
Отже, ми можемо вибрати базис C над I iз елементiв S1, S2 таких,
що Si(yj) = δij , де δij – символ Кронекера.
Легко бачити, що [S1, S2](F ) = 0 i тому [S1, S2] ∈ I. Розглянемо
фактор-алгебру C/I. Кожний елемент алгебри Лi C/I (над полем K)
записується у виглядi суми (f1S1+I)+(f2S2+I) для деяких f1, f2 ∈ F
i S1, S2 iндукованi на F з частинних похiдних ∂
∂y1
, ∂
∂y2
пiдполя K(y1, y2)
(за побудовою елементiв S1, S2). Тому, як легко бачити, C/I ' DerKF .
Теорема 1 доведена.
4. Централiзатори диференцiювань з вели-
кими полями констант
Лема 8. Нехай R – розширення поля K степеня трансцендентностi
n над K i D ∈W (R) таке диференцiювання поля R, що поле констант
Централiзатори елементiв в алгебрах Лi диференцiювань полiв 149
F = KerD має степiнь трансцендентностi n− 1 над K. Тодi:
1) iснує базис трансцендентностi y1, . . . , yn для R над K такий,
що y1, . . . , yn−1 – базис трансцендентностi для F над K i D = h ∂
∂yn
для деякого h ∈ R;
2) централiзатор C = CW (R)(D) складається з диференцiювань
поля R вигляду D1 =
n∑
i=1
ri
∂
∂yi
, де ri ∈ R, ∂ri
∂yn
= 0, i = 1, . . . , n − 1 i
D1(h) = h ∂rn
∂yn
.
Доведення леми 8.
Виберемо довiльний базис трансцендентностi y1, . . . , yn−1 поля
F над K i доповнимо його яким-небудь елементом yn до базиса
трансцендентностi R над K. Вiзьмемо диференцiювання ∂
∂yn
пiдполя
K(y1, . . . , yn) з R i продовжимо його до диференцiювання поля R (збе-
режемо те ж саме позначення ∂
∂yn
). Тодi ∂
∂yn
(yi) = 0, i = 1, . . . , n − 1.
Оскiльки F є алгебраїчним розширенням пiдполя K(y1, . . . , yn−1), то
тодi, як легко бачити, ∂
∂yn
(F ) = 0. Далi, нехай D(yn) = h для деякого
h ∈ R. Тодi (D − h ∂
∂yn
)(yn) = 0 i, оскiльки (D − h ∂
∂yn
)(yi) = 0 при
i = 1, . . . , n− 1, то D − h ∂
∂yn
= 0 на пiдполi K(y1, . . . , yn), а, значить, i
на полi R. Останнє означає, що D = h ∂
∂yn
.
Вiзьмемо тепер довiльний елемент D1 ∈ C = CW (R)(D). За лемою
3 елемент D1 записується в виглядi D1 =
n∑
i=1
ri
∂
∂yi
, ri ∈ R. Iз умови
[D,D1] = [h
∂
∂yn
,
n∑
i=1
ri
∂
∂yi
] = 0
отримаємо, що
0 =
n−1∑
i=1
h
∂ri
∂yn
∂
∂yi
− (
n∑
i=1
ri
∂h
∂yi
)
∂
∂yn
+ h
∂rn
∂yn
∂
∂yn
.
Звiдси випливає, що ∂ri
∂yn
= 0, i = 1, . . . , n−1 i
n∑
i=1
ri
∂h
∂yi
= h ∂rn
∂yn
. Останнє
означає, що D1(h) = h ∂rn
∂yn
.
Навпаки, нехай
D1 =
n∑
i=1
ri
∂
∂yi
, де
∂ri
∂yn
= 0, i = 1, . . . , n− 1
150 С. В. Лисенко, A. П. Петравчук, В. В. Степух
i D1(h) = h ∂rn
∂yn
. Тодi
[h
∂
∂yn
, D1] = h
∂rn
∂yn
∂
∂yn
−
n∑
i=1
ri
∂h
∂yi
∂
∂yn
= 0
i D1 ∈ CW (R)(D).
Лема 8 доведена.
Лема 9. Нехай K – алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль,
R – розширення поля K, яке має степiнь трансцендентностi n над
K i F пiдполе iз R, алгебраїчно замкнене в R, яке мiстить K, сте-
пеня трансцендентностi n− 1 над K. Якщо D – K-диференцiювання
пiдполя F i z ∈ R \F, то iснує i єдине K-диференцiювання D1 поля R
таке, що D1(z) = 1, D1(F ) ⊆ F i D1|F = D.
Доведення леми 9.
Вiзьмемо який-небудь базис трансцендентностi y1, . . . , yn−1 поля F
над K. Оскiльки елемент z трансцендентний над F завдяки алгебра-
їчнiй замкненостi F в R, то y1, . . . , yn−1, z – базис трансцендентностi
поля R над K. Продовжимо K-диференцiювання ∂
∂y1
, . . . , ∂
∂yn−1
, ∂
∂z пiд-
поля K(y1, . . . , yn−1, z) на поле R (зауважимо, що R алгебраїчне над
K(y1, . . . , yn−1, z) i тому такi продовження iснують i єдинi), зберiгши
тi ж самi позначення. Тодi ∂
∂y1
, . . . , ∂
∂yn−1
, якi розглядаються як дифе-
ренцiювання поля F утворюють базис векторного простору DerKF i
тому D =
n−1∑
i=1
fi
∂
∂yi
для деяких fi ∈ F. Розглядаючи D як диференцiю-
вання поля R вiзьмемо суму D1 = D+ ∂
∂z . Тодi D1(F ) ⊆ F i D1|F = D,
оскiльки ∂
∂z (F ) = 0. При цьому, очевидно, D1(z) = 1.
Лема 9 доведена.
Зауваження 3. Диференцiювання D1 поля R, побудоване за дифе-
ренцiюванням D пiдполя F i елементом z ∈ R\F будемо називати для
зручностi продовженням диференцiювання D на R вздовж елемента
z.
Теорема 2. Нехай K – алгебраїчно замкнене поле характеристики
нуль, R – розширення поля K, яке має степiнь трансцендентностi n
над K, D ∈W (R) таке K-диференцiювання поля R, шо його поле кон-
стант F в R має степiнь трансцендентностi n−1 над K. Якщо для
Централiзатори елементiв в алгебрах Лi диференцiювань полiв 151
деякого елемента z ∈ R\F виконується D(z) ∈ F, то централiзатор
C = CW (R)(D) має ранг n над R i складається з диференцiювань ви-
гляду D2 +(f0 +D2(h)z/h)
∂
∂z , де D2 – довiльне диференцiювання поля
F, продовжене до диференцiювання поля R вздовж елемента z, i при
цьому h = D(z), а f0 ∈ F – довiльний елемент.
Доведення теореми 2.
Виберемо який-небудь базис трансцендентностi {y1, . . . , yn−1} пiд-
поля F над K. Оскiльки z ∈ R \ F, D(z) ∈ F i пiдполе F алгебраї-
чно замкнене в R (як ядро диференцiювання, див., наприклад, [7]), то
{y1, . . . , yn−1, z} – базис трансцендентностi поля R над K. За лемою 8
диференцiювання D має вигляд D = h ∂
∂z для деякого h ∈ R. Але тодi,
очевидно, h = D(z) i h ∈ F за умовою теореми. Вiзьмемо довiльний
елемент D1 ∈ CW (R)(D) i запишемо його в виглядi
D1 =
n−1∑
i=1
ri
∂
∂yi
+ r
∂
∂z
, ri, r ∈ R.
Iз умови [D,D1] = 0 отримаємо, використовуючи лему 8, що ∂ri
∂z =
0, i = 1, . . . , n − 1 i D1(h) = h ∂r
∂z . Оскiльки, як неважко переконатися,
D1(F ) ⊆ F, то iз останньої рiвностi випливає, що ∂r
∂z ∈ F. Iз спiввiдно-
шения ∂z
∂z = 1 випливає, що ∂
∂z (r−αz) = 0 для деякого α ∈ F. Але тодi
r−αz ∈ F (бо за умовою KerD = Kerh ∂
∂z = F ), тобто r = αz + f0 для
деяких α, f0 ∈ F. Звiдси отримаємо
D1 =
n−1∑
i=1
ri
∂
∂yi
+ αz
∂
∂z
+ f0
∂
∂z
.
Оскiльки
[f0
∂
∂z
,D] = [f0
∂
∂z
, h
∂
∂z
] = 0,
то елемент D′1 =
n−1∑
i=1
ri
∂
∂yi
+ αz ∂
∂z належить централiзатору C =
CW (R)(D). Тодi iз спiввiдношення [D,D′1] = 0 випливає, що
[αz
∂
∂z
,D] = [D,
n−1∑
i=1
ri
∂
∂yi
],
152 С. В. Лисенко, A. П. Петравчук, В. В. Степух
тобто
[αz
∂
∂z
, h
∂
∂z
] = [h
∂
∂z
,
n−1∑
i=1
ri
∂
∂yi
],
де α, h ∈ F. Зауважимо далi, що
[αz
∂
∂z
, h
∂
∂z
] = −αh ∂
∂z
,
[h
∂
∂z
,
n−1∑
i=1
ri
∂
∂yi
] = −(
n−1∑
i=1
ri
∂h
∂yi
)
∂
∂z
.
Звiдси отримаємо, що
n−1∑
i=1
ri
∂h
∂yi
= αh. Позначимо D2 =
n−1∑
i=1
ri
∂
∂yi
. Тодi
останнє спiввiдношення записується у виглядi D2(h) = αh. Оскiльки
D 6= 0, то h 6= 0 i звiдси знайдемо α = D2(h)/h. Тодi диференцiюва-
ння D1 iз централiзатора C (нагадаємо, що D1 вибиралось довiльно)
має вигляд D1 = D2 + (f0 + D2(h)z/h)
∂
∂z , де D2 розглядається як
диференцiювання поля R (а не тiльки F ) в базисi трансцендентностi
y1, . . . , yn−1, z поля R над K.
Навпаки, якщо ми вiзьмемо довiльне диференцiювання D2 пiдполя
F i розглянемо продовження диференцiювання D2 на R вздовж z ви-
гляду D1 = D2+(f0+D2(h)z/h)
∂
∂z , де f0 – довiльний елемент iз F, то,
як неважко переконатися, [D1, D] = 0. Теорема 2 доведена.
5. Висновки
В роботi дослiджено будову централiзаторiв диференцiювань в алгебрi
Лi всiх диференцiювань поля алгебраїчних функцiй вiд кiлькох змiн-
них, тобто алгебраїчного розширення поля рацiональних функцiй вiд
кiлькох змiнних. У випадку, коли диференцiювання має поле констант
малого степеня трансцендентностi над основним полем, або це поле
констант має степiнь трансцендентностi на одиницю меншу нiж кiль-
кiсть змiнних, дано характеризацiю централiзатора такого елемента,
зокрема вказано його ранг над полем алгебраїчних функцiй.
Централiзатори елементiв в алгебрах Лi диференцiювань полiв 153
Лiтература
[1] G.M.Benkart, I.M.Isaacs. Lie algebras with nilpotent centralizers //
Can. J. Math., v.31, no.5 (1979), 929–941.
[2] D.A. Jordan. On the ideals of a Lie algebra of derivations // J. London
Math. Soc. (2) 33 (1986), no. 1, 33–39.
[3] I.Klep, P.Moravec. Lie algebras with abelian centralizers // Algebra
Colloquim, v.17, no.4 (2010), 629–636.
[4] S. Lie. Theorie der Transformationsgruppen // Vol. 3, Leipzig, 1893.
[5] Ie.O.Makedonskiy, A.P.Petravchuk and V.V.Stepukh. On centralizers
of elements in the Lie algebraW2(K) // Науковий часопис НПУ iменi
М. П. Драгоманова, вип. 14, 2013, с. 24-30.
[6] Ie. O. Makedonskyi and A.P. Petravchuk. On nilpotent and solvable
Lie algebras of derivations // Journal of Algebra, 401 (2014), 245-257.
[7] A.Nowicki and M.Nagata. Rings of constants for k-derivations in
k[x1, . . . , xn] // J. Math. Kyoto Univ.– 1988. – v. 28, no.1, 111–118.
[8] A.P.Petravchuk, O.G.Iena. On centralizers of elements in the Lie
algebra of the special Cremona group sa(2, k) // Journal of Lie Theory,
16, (2006). no. 3, 561–567.
[9] A. Schinzel. Polynomials with Special Regard to Reducibility //
Cambridge Univ. Press, 2000.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-10 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:51Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/cc/c3d34090bb8ff4a04d00dfd421597acc.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-102018-01-23T09:53:12Z Centralizers of elements in Lie algebras of derivations of fields Централiзатори елементiв в алгебрах Лi диференцiювань полiв Lysenko, S. V. Petravchuk, A. P. Stepukh, V. V. Лисенко, С. В. Петравчук, A. П. Степух, В. В. Let $K$ be an algebraically closed field of characteristic zero and $R$ an algebraic extension of the field of rational functions $K(x_1,.,x_n)$ in $n$ variables. We study centralizers of elements in the Lie algebra $Der_{K}R$ of all $K$-derivations of the field $R.$If $F$ is the field of constants of a derivation $D\in Der _{K}R$ on $R$ and $tr.deg_{K}F\leq2$ then a characterization of the centralizer $C_{Der_{K}(R)}(D)$ is given depedent on $tr.deg_{K}F.$ Нехай $K$ - алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль і $R$ - алгебраїчне розширення поля раціональних функцій від $n$ змінних $K(x_1,.,x_n)$. Вивчаються централізатори елементів в алгебрі Лі $Der_{K}R$ всіх $K$-диференціювань поля $R.$ Якщо $F$ - поле констант диференціювання $D\in Der _{K}R$ в $R$ і $tr.deg_{K}F\leq2,$ то дано характеризацію централізатора $C_{Der_{K}(R)}(D)$ в залежності від $tr.deg_{K}F$. Інститут математики НАН України 2015-05-05 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/10 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 1 (2015): Spectral theory of operators and of collections of operators; 141-153 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 141-153 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 141-153 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/10/12 |
| spellingShingle | Lysenko, S. V. Petravchuk, A. P. Stepukh, V. V. Лисенко, С. В. Петравчук, A. П. Степух, В. В. Centralizers of elements in Lie algebras of derivations of fields |
| title | Centralizers of elements in Lie algebras of derivations of fields |
| title_alt | Централiзатори елементiв в алгебрах Лi диференцiювань полiв |
| title_full | Centralizers of elements in Lie algebras of derivations of fields |
| title_fullStr | Centralizers of elements in Lie algebras of derivations of fields |
| title_full_unstemmed | Centralizers of elements in Lie algebras of derivations of fields |
| title_short | Centralizers of elements in Lie algebras of derivations of fields |
| title_sort | centralizers of elements in lie algebras of derivations of fields |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/10 |
| work_keys_str_mv | AT lysenkosv centralizersofelementsinliealgebrasofderivationsoffields AT petravchukap centralizersofelementsinliealgebrasofderivationsoffields AT stepukhvv centralizersofelementsinliealgebrasofderivationsoffields AT lisenkosv centralizersofelementsinliealgebrasofderivationsoffields AT petravčukap centralizersofelementsinliealgebrasofderivationsoffields AT stepuhvv centralizersofelementsinliealgebrasofderivationsoffields AT lysenkosv centralizatorielementivvalgebrahlidiferenciûvanʹpoliv AT petravchukap centralizatorielementivvalgebrahlidiferenciûvanʹpoliv AT stepukhvv centralizatorielementivvalgebrahlidiferenciûvanʹpoliv AT lisenkosv centralizatorielementivvalgebrahlidiferenciûvanʹpoliv AT petravčukap centralizatorielementivvalgebrahlidiferenciûvanʹpoliv AT stepuhvv centralizatorielementivvalgebrahlidiferenciûvanʹpoliv |