The convergence rate of the group $\ varphi $ -deviations in the class of analytic functions $ H ^ \ psi_ \ infty $
We obtain estimates of convergence for groups $\varphi$-deviations and $\varphi$-averages of $\lambda$-methods toTaylor's series summation of functions from the class $H_\infty^\psi$, where the sequence $\psi$ satisfies conditions of theSidon--Telyakovskii.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/100 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552504898617344 |
|---|---|
| author | Veremij, M. A. Gaevskii, M. V. Веремій, М. А. Гаєвський, М. В. |
| author_facet | Veremij, M. A. Gaevskii, M. V. Веремій, М. А. Гаєвський, М. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. А. Веремій",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
},
{
"author": "М. В. Гаєвський",
"institution": "Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка"
}
] |
| author_sort | Veremij, M. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | We obtain estimates of convergence for groups $\varphi$-deviations and $\varphi$-averages of $\lambda$-methods toTaylor's series summation of functions from the class $H_\infty^\psi$, where the sequence $\psi$ satisfies conditions of theSidon--Telyakovskii. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 52–60
УДК 517.5
М.А. Веремiй 1, М.В. Гаєвський 2
1(Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет
iменi Лесi Українки, Луцьк)
2(Кiровоградський державний педагогiчний унiверситет
iменi Володимира Винниченка, Кропивницький)
1 koliaveremii@gmail.com
Швидкiсть збiжностi групи
ϕ-вiдхилень на класi аналiтичних
функцiй Hψ
∞
Присвяченo 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
Отримано оцiнки збiжностi груп ϕ-вiдхилень та ϕ-середнiх для λ-
методiв пiдсумовування рядiв Тейлора функцiй з класу Hψ
∞, де по-
слiдовнiсть ψ задовольняє умови Сiдона–Теляковського.
We obtain estimates of convergence for groups ϕ-deviations and ϕ-averages
of λ-methods to Taylor’s series summation of functions from the class Hψ
∞,
where the sequence ψ satisfies conditions of the Sidon–Telyakovskii.
Нехай D = {z ∈ C : |z| < 1}, T = {z ∈ C : |z| = 1};
f(z) =
∞∑
k=0
akz
k, z ∈ D, (1)
є розкладом у ряд Тейлора–Маклорена аналiтичної у крузi D функцiї
f(z); Sn(f, z) =
∑n
k=0 akz
k, z ∈ D, є частинною сумою ряду Тейлора
функцiї f .
c© М.А. Веремiй, М.В. Гаєвський, 2017
Швидкiсть збiжностi групи . . . 53
Через H∞ позначимо простiр аналiтичних в одиничному крузi фун-
кцiй з нормою: ‖f‖ = ‖f‖H∞ = ‖f‖∞ = supz∈D |f(z)| <∞.
Нехай Pn — множина алгебраїчних многочленiв степеня не вище n;
En(f) := En(f)∞ = infpn∈Pn ‖f(z)− pn(z)‖∞ — найкраще наближення
аналiтичної функцiї алгебраїчними многочленами порядку не вище n,
ρn(f, z) := f(z)− Sn(f, z).
Означимо клас функцiй Hψ
∞. Розглянемо послiдовнiсть компле-
ксних чисел ψ = {ψ(k)}∞k=0 таку, що |ψ(k)| 6= 0, k ∈ N := {1, 2, . . . }
i lim
k→∞
ψ(k) = 0. Очевидно, що для функцiї f ∈ H∞ з рядом Тейлора
(1), сума ряду fψ =
∑∞
k=1
1
ψ(k)akz
k, z ∈ D, є аналiтичною функцiєю i
‖fψ‖ ≤ 1. Тодi Hψ
∞ := {f ∈ H∞ : ‖fψ‖ ≤ 1}.
Позначимо через Φ множину неспадних i неперервних на (0,∞)
функцiй ϕ таких, що ϕ(0) = 0, ϕ(u) > 0, ϕ(u) ≤ ebu, при деякому
b > 0 та для u ∈ [0, 1] справджується нерiвнiсть ϕ(2u) ≤ aϕ(u), де
число a = a(ϕ) > 0. Природними елементами множини Φ є, наприклад,
ϕ(u) = up, p > 0, ϕ(u) = eu − 1.
В данiй роботi дослiджуються такi величини
Hϕ
n (f ; z) =
1
n
2n−1∑
k=n
ϕ(|ρk(f ; z)|), (2)
Hϕ
n (f ;λ; z) =
∞∑
k=n
λkϕ(|ρk(f ; z)|), (3)
де ϕ ∈ Φ, а λ = {λk} — задана послiдовнiсть додатних чисел.
Зазначимо, що величини типу (2), коли ϕ(u) = u, у просторi не-
перервних функцiй вперше були розглянутi у роботi угорських мате-
матикiв Г. Алєксiча та Д. Кралiка [1]. Згодом почали дослiджувати
функцiонали типу (3). Дослiдження наведених функцiоналiв вiдiграє
провiдну роль у теорiї сильного пiдсумовування рядiв (див. бiблiогра-
фiю та результати в [2]).
Множина функцiй Φ вперше була введена В. Тотiком [3], а саме для
величини (2) ним встановлено таке твердження [4]:
Теорема A. Для довiльної 2π-перiодичної неперервної функцiї f ,
x ∈ [−π, π], нерiвнiсть
Hϕ
n (f ; z) ≤ Kϕ(En(f))
виконується тодi i тiльки тодi, коли iснує така стала A, що
ϕ(t) ≤ eAt, t ∈ (0,∞), та ϕ(2t) ≤ Aϕ(t), t ∈ (0, 1).
54 М.А. Веремiй, М.В. Гаєвський
Зараз i далi, пiд символом K будемо розумiти деякi абсолютнi сталi,
можливо, неоднаковi у рiзних формулах.
Зокрема, на множинi функцiй Hψ
∞ при рiзних умовах на послiдов-
нiсть ψ величини (2) та (3) дослiджувалися у роботах [5, 6].
Кажуть, що послiдовнiсть γk є квазiопуклою, якщо∑∞
k=0(k + 1)|42γk| < ∞, 42γk := γk − 2γk+1 + γk+2, при кожно-
му k ∈ N ∪ {0}. В [6] отримано такi твердження для квазiопуклих
послiдовностей ψ:
Теорема B. Нехай ϕ ∈ Φ, ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), причому {ψi(k)},
i = 1, 2, є квазiопуклими, спадними до нуля послiдовностями. Тодi
для довiльної функцiї f ∈ Hψ
∞ та будь-якого n ∈ N справджується
нерiвнiсть
Hϕ
n (f ; z) ≤ Kϕ(Rn(ψ)En(fψ)),
де Rn(ψ) =
∑∞
k=n+1(k + 1)|42ψ(k)|, K = K(ϕ) — деяка величина,
рiвномiрно обмежена за n, z та f .
Теорема C. Нехай ϕ ∈ Φ, ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), причому
{ψi(k)}, i = 1, 2, є квазiопуклими, спадними до нуля послiдовностями,
λ = {λk} — незростаюча послiдовнiсть додатних чисел. Тодi для до-
вiльної функцiї f ∈ Hψ
∞ та будь-якого n ∈ N справджується нерiв-
нiсть
Hϕ
n (f ;λ; z) ≤ K
(
nλnϕ(Rn(ψ)En(fψ)) +
∞∑
k=n
λkϕ(Rk(ψ)Ek(fψ))
)
,
де K = K(ϕ) — деяка величина, рiвномiрно обмежена за n, z та f .
Метою даної роботи є послаблення умов на послiдовнiсть ψ, а саме:
будемо вважати, що вона задовольняє умови Сiдона–Теляковського [7].
Кажуть, що послiдовнiсть ψ задовольняє умови Сiдона–
Теляковського, якщо виконуються наступнi умови:
1. lim
k→∞
ψ(k) = 0;
2. iснують числа Ak, k ∈ N∪{0}, такi, що послiдовнiсть Ak монотон-
но спадає до нуля,
∞∑
k=0
Ak <∞ та |4ψ(k)| := |ψ(k)−ψ(k+1)| ≤ Ak.
Зокрема, у якостi Ak можна взяти Ak := supm≥k |4ψ(m)| (див. [7]).
Швидкiсть збiжностi групи . . . 55
Розглянемо допомiжну лему, яка буде широко використовуватися
надалi.
Лема 1. Нехай послiдовнiсть комплексних чисел {ψ(k) = ψ1(k) +
+iψ2(k)}, де ψ1(k) та ψ2(k) задовольняють умови Сiдона-
Теляковського та kj , j = 1, . . . , r, — деяка пiдпослiдовнiсть на-
туральних чисел таких, що n < k1 . . . < kj < kj+1 ≤ . . . < 2n − 1,
1 ≤ j ≤ r ≤ n. Тодi для довiльної функцiї f ∈ Hψ
∞ та будь-якого
0 < p <∞ справедлива нерiвнiсть
hpn,r(f, z) := sup
z∈D
1
r
r∑
j=1
|ρkj (f ; z)|p
1
p
≤
≤ KVn(ψ)En(fψ)
(
ln
2n
r
+Kp
)
,
де Vn(ψ) =
∑∞
k=nAk, Kp — деяка стала, що залежить лише вiд p.
Доведення. Розглянемо спочатку випадок p ≥ 2. Позначимо
∆n(f, θ, t) := ∆n(fψ, pn, θ, t) = fψ(ei(t+θ)) − pn(ei(t+θ)), де pn(eiθ) —
полiном найкращого наближення порядку не вище n функцiї fψ(eiθ).
Оскiльки функцiя hpn,r(f, z) є субгармонiчною, тому за принципом
максимуму модуля [8, c. 39] вона прийматиме максимальне значення
на колi T. В силу можливостi зображення функцiї f ∈ Hψ
∞ у виглядi
згортки [9, с. 210], можемо записати
hpn,r(f, z) = sup
z∈D
1
r
r∑
j=1
|ρkj (f ; z)|p
1
p
=
= vraisupθ
1
r
r∑
j=1
| 1
π
∫ π
−π
∆n(f, θ, t)
∞∑
ν=kj+1
ψ(ν) cos νt dt|p
1
p
.
Застосувавши до суми пiд знаком iнтегралу перетворення Абеля та
використавши нерiвностi, |a + b|p ≤ 2p(|a|p + |b|p), p ≥ 1 та |a + b|p ≤
≤
(
|a|p + |b|p
)
, p ≤ 1, отримаємо
hpn,r(f, z) = sup
z∈D
1
r
r∑
j=1
|ρkj (f ; z)|p
1
p
=
56 М.А. Веремiй, М.В. Гаєвський
= vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
∣∣∣ 1
π
∫ π
−π
∆n(f, θ, t)×
×
( ∞∑
ν=kj+1
4ψ(ν)Dν(t)− ψ(kj + 1)Dkj (t)
)
dt
∣∣∣p) 1
p
≤
≤ Kvraisupθ
1
r
r∑
j=1
∣∣∣ψ(kj + 1)
π
∫ π
−π
∆n(f, θ, t)Dkj (t)dt
∣∣∣p
1
p
+
+Kvraisupθ
1
r
r∑
j=1
∣∣∣ 1
π
∫ π
−π
∆n(f, θ, t)
∞∑
ν=kj+1
4ψ(ν)Dν(t)dt
∣∣∣p
1
p
:=
:= K(I1 + I2),
де Dk(t) — ядро Дiрiхле.
Враховуючи, що для ядра Дiрiхле
Dk(t) =
sin(k + 1
2 )t
2 sin t
2
= cos
t
2
sin kt
2 sin t
2
+
cos kt
2
справедлива нерiвнiсть
|Dk(t)| ≤
{
k + 1
2 , коли |t| ≤ π
k ,
π
|t| , коли π
k < |t| ≤ π,
величину I1 оцiнюємо наступним чином:
I1 := K vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
∣∣∣ψ(kj + 1)
π
×
×
{∫
|t|≤π/kj
+
∫
π/kj<|t|≤π/r
+
∫
π/r≤|t|≤π
}
∆n(f, θ, t)Dkj (t)dt
∣∣∣p) 1
p
≤
≤ K
(1
r
r∑
j=1
|ψ(kj + 1)|pEpn(fψ)
) 1
p
+
Швидкiсть збiжностi групи . . . 57
+K
(1
r
r∑
j=1
|ψ(kj + 1)|pEpn(fψ)
∫
π/kj<|t|≤π/r
dt
|t|p
) 1
p
+
+K
(1
r
r∑
j=1
∣∣∣ψ(kj + 1)
π
∫
π/r≤|t|≤π
∆n(f, θ, t)
(
cos
t
2
· sin kt
2 sin t
2
+
cos kt
2
)
dt
∣∣∣p) 1
p ≤
≤ K
(
max
n≤k≤2n
|ψ(k)|En(fψ) + max
n≤k≤2n
|ψ(k)|En(fψ) ln
2n
r
)
+
+K
(1
r
r∑
j=1
∣∣∣ψ(kj + 1)
π
∫
π/r≤|t|≤π
cos
t
2
∆n(f, θ, t)
2 sin t
2
sin kjt dt
∣∣∣p) 1
p
.
Для оцiнки останнього iнтегралу розглянемо функцiю
ϕn(t =
{
∆n(f,θ,t)
2 sin t
2
cos t2 , коли π
r ≤ |t| ≤ π,
0, в iншому випадку ,
тодi через αk = αk(ϕ) позначимо синус-коефiцiєнти. Використовуючи
теорему Хаусдорфа–Юнга [10, с. 211], отримуємо
vraisupθ
(1
r
r∑
j=1
∣∣∣ψ(kj + 1)
π
∫
π/r≤|t|≤π
cos
t
2
∆n(f, θ, t)
2 sin t
2
sin kjtdt
∣∣∣p) 1
p
=
= vraisupθ
(1
r
r∑
j=1
|ψ(kj + 1)αkj |p
) 1
p ≤
≤ max
n≤k≤2n
|ψ(k)|vraisupθ
(1
r
r∑
j=1
|αkj |p
) 1
p ≤
≤ K
(1
r
) 1
p
max
n≤k≤2n
|ψ(k)|vraisupθ‖ϕ‖q,
де ‖ϕ‖q =
( ∫ π
−π |ϕ(t)|qdt
) 1
q
, 1
q + 1
p = 1.
Отже,
vraisupθ‖ϕ‖q = vraisupθ
(∫
π
r<|t|≤π
|∆n(f, θ, t)
2 sin t
2
cos
t
2
|qdt
) 1
q ≤
58 М.А. Веремiй, М.В. Гаєвський
≤ KpEn(fψ)
(∫ π
π
r
dt
tq
) 1
q
= Kpr
q−1
q En(fψ).
Остаточно маємо таку оцiнку величини I1:
I1 ≤ K max
n≤k≤2n
|ψ(k)|En(fψ)
(
ln
2n
r
+Kp
)
.
Перейдемо до оцiнювання величини I2:
I2 := vraisupθ
1
r
r∑
j=1
∣∣∣ 1
π
∫ π
−π
∆n(f, θ, t)
∞∑
ν=kj+1
4ψ(ν)Dν(t)dt
∣∣∣p
1
p
≤
≤ En(fψ)
1
r
r∑
j=1
(
1
π
∫ π
−π
∣∣∣ ∞∑
ν=kj+1
4ψ(ν)Dν(t)
∣∣∣dt)p
1
p
.
Оцiнюємо iнтеграл пiд знаком суми за схемою роботи [7]:∫ π
−π
∣∣∣ ∞∑
ν=kj+1
4ψ(ν)Dν(t)
∣∣∣ dt =
∫ π
−π
∣∣∣ ∞∑
ν=kj+1
Aν
4ψ(ν)
Aν
Dν(t)
∣∣∣ dt.
Покладемо
Σν :=
ν∑
l=0
4ψ(ν)
Aν
Dν(t)
i виконаємо перетворення Абеля в сумi пiд iнтегралом:∑∞
ν=kj+1Aν
4ψ(ν)
Aν
Dν(t) =
∑∞
ν=kj+1Aν(Σν − Σν−1) =
∑∞
ν=kj+1AνΣν−
−
∑∞
ν=kj+1AνΣν−1 =
∑∞
ν=kj+1AνΣν −
∑∞
ν=kj
Aν+1Σν =
=
∑∞
ν=kj+1(Aν −Aν+1)Σν −Akj+1Σkj .
Використавши Лему 1 з [7], отримаємо
π∫
−π
∣∣∣ ∞∑
ν=kj+1
4ψ(ν)Dν(t)
∣∣∣ dt =
π∫
−π
∣∣∣ ∞∑
ν=kj+1
(Aν −Aν+1)Σν −Akj+1Σkj
∣∣∣ dt ≤
≤ K
∞∑
ν=kj+1
(ν + 1)(Aν −Aν+1) + (kj + 1)Akj+1 ≤ K(Vn(ψ) + nAn),
Швидкiсть збiжностi групи . . . 59
звiдки: I2 ≤ K(Vn(ψ) + nAn)En(fψ).
Остаточно з використанням нерiвностi
ψ(n) =
∣∣∣ ∞∑
ν=n
4ψ(ν)
∣∣∣ ≤ ∞∑
ν=n
|4ψ(ν)| ≤ Vn(ψ),
отримуємо
hpn,r(f, z) = K(Vn(ψ) + nAn)En(fψ)
(
ln
2n
r
+Kp
)
.
Твердження леми у випадку 0 < p < 2 слiдує з доведеного, для
цього слiд використати наслiдок з нерiвностi Гельдера [11, с. 41], тобто(
1
n
∑2n−1
k=n |ρk(f ;x)|p
) 1
p ≤
(
1
n
∑2n−1
k=n |ρk(f ;x)|s
) 1
s
, 0 < p ≤ s.
Лема доведена.
Перейдемо тепер до формування основних результатiв.
Теорема 1. Нехай ϕ ∈ Φ, ψ(k) = ψ1(k)+iψ2(k), причому ψi(k), i =
1, 2 задовольняють умови Сiдона–Теляковського. Тодi для довiльної
функцiї f ∈ Hψ
∞ та будь-якого n ∈ N справджується нерiвнiсть
Hϕ
n (f ; z) ≤ Kϕ((Vn(ψ) + nAn)En(fψ)),
де K = K(ϕ) — деяка величина рiвномiрно обмежена по n, z та f.
Теорема 2. Нехай ϕ ∈ Φ, ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), причому ψi(k),
i = 1, 2, задовольняють умови Сiдона–Теляковського, {λk}∞k=1 — не-
зростаюча послiдовнiсть додатних чисел. Тодi для довiльної функцiї
f ∈ Hψ
∞ та будь-якого n ∈ N справджується нерiвнiсть
Hϕ
n (f ;λ; z) ≤ K
(
nλnϕ((Vn(ψ) + nAn)(ψ)En(fψ))+
+
∞∑
k=n
λkϕ((Vk(ψ) + kAk))Ek(fψ))
)
,
де K = K(ϕ) — деяка рiвномiрно обмежена величина за n, z та f .
Доведення теорем 1 та 2 повнiстю спiвпадає iз схемою доведення
аналогiчних результатiв роботи [6].
Наслiдок 1. Нехай f ∈ Hψ
∞ та ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), причому ψi(k),
i = 1, 2, задовольняють умови Сiдона–Теляковського, тодi має мiсце спiв-
вiдношення
n∑
k=0
|ρk(f ; z)|p ≤ Kp
n∑
k=0
Epk(f
ψ).
60 М.А. Веремiй, М.В. Гаєвський
Наслiдок 2. Нехай f ∈ Hψ
∞ та ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), причому ψi(k),
i = 1, 2, задовольняють умови Сiдона–Теляковського, тодi має мiсце спiв-
вiдношення
E2n(f) ≤ K(Vn(ψ) + nAn)En(f
ψ).
Лiтература
[1] Alexits G., Kralik D. Über die Approximation mit starken de la Vallee-
Poussinschen Mitteln // Acta Math. Hungar. — 1965. — 16, № 1-2. —
P. 43 – 49.
[2] Ласурия Р.А. Сильная суммируемость рядов Фурье и аппроксимация
функций — Сухум: АГУ, 2010. –– 260 с.
[3] Totik V. On the strong approximation of Fourier series // Acta Math. Acad.
Sci. Hungar. — 1980. — 35, № 1-2. — P. 151 – 172.
[4] Totik V. Notes on Fourier series: strong approximation // J. of Approx.
Theory. — 1985. — 43, № 2. — P. 105 – 111.
[5] Ласурия Р.А. Оценки группы ϕ-отклонений и сильная суммируемость
рядов Тейлора функций классов AψH∞(D) // Мат. заметки. — 2008. —
83, № 5. — С. 696 – 704.
[6] Гаєвський М.В., Задерей П.В. Оцiнки групи ϕ-вiдхилень аналiтичних
функцiй // Зб. праць Iн-ту математики НАН України /Теорiя наближе-
ння функцiй та сумiжнi питання/. — К.: Iн-т математики НАН України,
2015. — 12, №4. — C. 156 – 166.
[7] Теляковский С. А. Об одном достаточном условии Сидона интегриру-
емости тригонометрических рядов // Матем. заметки. — 1973. — 14,
№ 3. — C. 317 – 328.
[8] Привалов И.И. Субгармонические функции. — М.: ОНТИ, 1937. —
201 с.
[9] Савчук В.В., Савчук М.В., Чайченко С.О. Наближення аналiтичних
функцiй сумами Валле Пуссена // Мат. студiї. — 2010. — 34, № 2. —
С. 207 – 219.
[10] Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — М.: ФМЛ, 1961. — 936 с.
[11] Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948. — 456 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-100 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:30Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b5/660b68d8a72816a47723d37e1e54e4b5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1002018-02-13T13:58:16Z The convergence rate of the group $\ varphi $ -deviations in the class of analytic functions $ H ^ \ psi_ \ infty $ Швидкість збіжності групи $\varphi$-відхилень на класі аналітичних функцій $H^\psi_\infty$ Veremij, M. A. Gaevskii, M. V. Веремій, М. А. Гаєвський, М. В. We obtain estimates of convergence for groups $\varphi$-deviations and $\varphi$-averages of $\lambda$-methods toTaylor's series summation of functions from the class $H_\infty^\psi$, where the sequence $\psi$ satisfies conditions of theSidon--Telyakovskii. Отримано оцінки збіжності груп $\varphi$-відхилень та $\varphi$-середніх для $\lambda$-методів підсумовування рядів Тейлора функцій з класу $H_\infty^\psi$, де послідовність $\psi$ задовольняє умови Сідона–Теляковського. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/100 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 52-60 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 52-60 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 52-60 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/100/91 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Veremij, M. A. Gaevskii, M. V. Веремій, М. А. Гаєвський, М. В. The convergence rate of the group $\ varphi $ -deviations in the class of analytic functions $ H ^ \ psi_ \ infty $ |
| title | The convergence rate of the group $\ varphi $ -deviations in the class of analytic functions $ H ^ \ psi_ \ infty $ |
| title_alt | Швидкість збіжності групи $\varphi$-відхилень на класі аналітичних функцій $H^\psi_\infty$ |
| title_full | The convergence rate of the group $\ varphi $ -deviations in the class of analytic functions $ H ^ \ psi_ \ infty $ |
| title_fullStr | The convergence rate of the group $\ varphi $ -deviations in the class of analytic functions $ H ^ \ psi_ \ infty $ |
| title_full_unstemmed | The convergence rate of the group $\ varphi $ -deviations in the class of analytic functions $ H ^ \ psi_ \ infty $ |
| title_short | The convergence rate of the group $\ varphi $ -deviations in the class of analytic functions $ H ^ \ psi_ \ infty $ |
| title_sort | convergence rate of the group $\ varphi $ -deviations in the class of analytic functions $ h ^ \ psi_ \ infty $ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/100 |
| work_keys_str_mv | AT veremijma theconvergencerateofthegroupvarphideviationsintheclassofanalyticfunctionshpsiinfty AT gaevskiimv theconvergencerateofthegroupvarphideviationsintheclassofanalyticfunctionshpsiinfty AT veremíjma theconvergencerateofthegroupvarphideviationsintheclassofanalyticfunctionshpsiinfty AT gaêvsʹkijmv theconvergencerateofthegroupvarphideviationsintheclassofanalyticfunctionshpsiinfty AT veremijma švidkístʹzbížnostígrupivarphivídhilenʹnaklasíanalítičnihfunkcíjhpsiinfty AT gaevskiimv švidkístʹzbížnostígrupivarphivídhilenʹnaklasíanalítičnihfunkcíjhpsiinfty AT veremíjma švidkístʹzbížnostígrupivarphivídhilenʹnaklasíanalítičnihfunkcíjhpsiinfty AT gaêvsʹkijmv švidkístʹzbížnostígrupivarphivídhilenʹnaklasíanalítičnihfunkcíjhpsiinfty AT veremijma convergencerateofthegroupvarphideviationsintheclassofanalyticfunctionshpsiinfty AT gaevskiimv convergencerateofthegroupvarphideviationsintheclassofanalyticfunctionshpsiinfty AT veremíjma convergencerateofthegroupvarphideviationsintheclassofanalyticfunctionshpsiinfty AT gaêvsʹkijmv convergencerateofthegroupvarphideviationsintheclassofanalyticfunctionshpsiinfty |