Rational approximants of Pad\'e type of some class of double power series
Two--dimensional Pad\'e type approximants are constructed and studied for some special power series using method of generalized momentrepresentations.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/102 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552510831460352 |
|---|---|
| author | Veselovska, G. M. Golub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. |
| author_facet | Veselovska, G. M. Golub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. М. Веселовська",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "А. П. Голуб",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Veselovska, G. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | Two--dimensional Pad\'e type approximants are constructed and studied for some special power series using method of generalized momentrepresentations. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 61–81
УДК 517.54 + 517.12
Г.М. Веселовська 1, А.П. Голуб 2
1,2(Iнститут математики НАН України, Київ)
1 anaweseka@gmail.com, 2 apholub@gmail.com
Рацiональнi апроксиманти типу Паде
одного класу подвiйних
степеневих рядiв
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
С помощью метода обобщенных моментных представлений построены
и изучены двумерные аппроксиманты типа Паде для некоторых спе-
циальных степенных рядов.
Two–dimensional Padé type approximants are constructed and studied for
some special power series using method of generalized moment representati-
ons.
Метод двовимiрних узагальнених моментних зображень [1], що є
поширенням методу, запропонованого В.К. Дзядиком [2], дозволяє бу-
дувати двовимiрнi апроксиманти типу Паде для рiзних класiв фун-
кцiй, зокрема для деяких гiпергеометричних рядiв двох змiнних. Низ-
ку апроксимант зазначеного типу було побудовано в [1, 3–6].
Означення 1 ( [1] ). Узагальненим моментним зображенням двови-
мiрної числової послiдовностi {sk,m}k,m∈Z+
на добутку лiнiйних про-
сторiв X × Y називається сукупнiсть рiвностей
sk+j,m+n = 〈xk,m, yj,n〉, k, j,m, n ∈ Z+, (1)
де {xk,m}k,m∈Z+ ⊂ X , {yj,n}j,n∈Z+ ⊂ Y, a 〈·, ·〉 — бiлiнiйна форма
на X × Y.
c© Г.М. Веселовська, А. П. Голуб, 2017
62 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
Поставимо у вiдповiднiсть двовимiрнiй числовiй послiдовно-
стi {sk,m}∞k,m=0 формальний степеневий ряд двох змiнних:
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
sk,mz
kwm. (2)
Головним засобом побудови рацiональних апроксимант для фун-
кцiй, що можуть бути записанi у виглядi (2), з допомогою методу уза-
гальнених моментних зображень, є наступний результат.
Теорема 1 ( [1] ). Нехай для коефiцiєнтiв формального степене-
вого ряду двох змiнних (2) має мiсце узагальнене моментне зобра-
ження (1) на добутку лiнiйних просторiв X × Y за бiлiнiйною фор-
мою 〈·, ·〉. Тодi, якщо при деяких N1, N2 ∈ Z+ iснує узагальнений по-
лiном
XN1,N2
=
N1∑
k=0
N2∑
m=0
c
(N1,N2)
k,m xk,m
з вiдмiнним вiд нуля старшим коефiцiєнтом c
(N1,N2)
N1,N2
, для якого вико-
нуються умови бiортогональностi
〈XN1,N2
, yj,n〉 = 0
при (k,m) ∈ [0, N1]× [0, N2]\{(N1, N2)}, то рацiональна функцiя
[N/D]f (z, w) =
PN (z, w)
QD(z, w)
,
де
QD(z, w) =
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nz
jwn,
i
PN (z, w) =
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nsk−j,m−n+
+zN1
N1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n+
Апроксимацiї типу Паде . . . 63
+wN2
N1−1∑
k=0
N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n,
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти
якого спiвпадатимуть з коефiцiєнтами ряду (2) для
всiх (k,m) ∈ E = [0, 2N1]× [0, 2N2]\{(2N1, 2N2)}.
Нехай X та Y — банаховi простори, i у просторi X iснують обмеженi
лiнiйнi оператори A1, A2 : X −→ X , якi комутують мiж собою, i такi,
що
A1xk,m = xk+1,m,
A2xk,m = xk,m+1,
для всiх k,m ∈ Z+, а у просторi Y iснують лiнiйнi обмеженi оператори
A∗1, A
∗
2 : Y −→ Y, спряженi до операторiв A1 та A2 вiдповiдно вiдносно
бiлiнiйної форми 〈·, ·〉, в тому сенсi, що
〈Alx, y〉 = 〈x,A∗l y〉, l = 1, 2,
для ∀x ∈ X ,∀y ∈ Y. Тодi зображення (1) можна записати наступним
чином:
sk,m = 〈Ak1Am2 x0,0, y0,0〉, k,m ∈ Z+. (3)
Це дає змогу подати функцiї f , зображуванi степеневими рядами
вигляду (2), таким чином:
f(z, w) = 〈Rz(A1)Rw(A2)x0,0, y0,0〉, (4)
де резольвентна функцiя Rw оператора A визначається рiвнi-
стю Rw(A) = (I − wA)
−1.
Нехай тепер за даних умов для обмеженого оператора A : X −→ X
та деяких елементiв x̃0 ∈ X та ỹ0 ∈ Y системи елементiв
{x̃k = Akx̃0}k∈Z+ ⊂ X
та
{ỹj = A∗kỹ0}j∈Z+
⊂ Y
є лiнiйно незалежними та допускають невироджену бiортогоналiзацiю
вiдносно бiлiнiйної форми 〈·, ·〉 так, що при цьому iснують системи
64 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
узагальнених полiномiв {X̃N}N∈Z+ , {ỸM}M∈Z+ , для яких виконуються
умови
X̃N =
N∑
k=0
c̃
(N)
k x̃k, c̃
(N)
N 6= 0, N ∈ Z+, (5)
ỸM =
M∑
j=0
d̃
(M)
j ỹj , d̃
(M)
M 6= 0,M ∈ Z+, (6)
〈X̃N , Ỹm〉 = δM,N =
{
1, M = N
0 M 6= N
, M,N ∈ Z+. (7)
Також позначимо
s̃k = 〈Akx̃0, ỹ0〉, k ∈ Z+. (8)
Як вiдомо (див., наприклад, [7]), для того, щоб була можливою
невироджена бiортогоналiзацiя вигляду (7), необхiдно i достатньо, щоб
визначники Ганкеля
H̃N = det ‖s̃k+j‖Nk,j=0 6= 0, ∀N ∈ Z+.
Також в [7] показано, що за цих умов будуть також iснувати неви-
родженi апроксиманти Паде [N − 1/N ]f , N ∈ N, степеневого ряду
f̃(z) =
∞∑
k=0
s̃kz
k. (9)
За цих умов ряд (9) буде збiгатися до аналiтичної в околi початку
координат функцiї, а сама функцiя f̃ матиме зображення
f̃(z) = 〈Rz(A)x̃0, ỹ0〉.
Тепер означимо оператори A1 та A2 наступним чином:
A1 = A2, A2 = A3, (10)
та припустимо, що для двовимiрної числової послiдовно-
стi {sk,m}k,m∈Z+
має мiсце узагальнене моментне зображення
вигляду (1), для якого послiдовностi {xk,m}k,m∈Z+ та {yj,n}j,n∈Z+
визначаються рiвностями
xk,m = Ak1A
m
2 x̃0 = A2k+3mx̃0, k,m ∈ Z+, (11)
Апроксимацiї типу Паде . . . 65
yj,n = A∗k1 A∗m2 ỹ0 = A∗2k+3mỹ0, j, n ∈ Z+. (12)
Розглянемо у такому випадку ряд за двома змiнними
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
sk,mz
kwm =
∞∑
k,m=0
s̃2k+3mz
kwm. (13)
Щоб отримати запис функцiї f у виглядi (4), розглянемо таке до-
помiжне твердження.
Лема 1. Нехай X — лiнiйний нормований простiр, A : X −→ X —
обмежений лiнiйний оператор. Тодi в усiх точках регулярностi ре-
зольвентних функцiй Rz(A2) та Rw(A3) справджується рiвнiсть
Rz(A2)Rw(A3) =
1
w2 − z3
(
−(z3 + wz2A)Rz(A2)+
+
(
w2 + wz2A+ zw2A2
)
Rw(A3)
)
. (14)
Доведення. Застосуємо до обох частин рiвностi (14) оператор
(w2 − z3)(I − zA2)(I − wA3).
Тодi отримаємо:
w2 − z3 =
= (I − wA3)(z3 + wz2A) + (I − zA2)
(
w2 + wz2A+ zw2A2
)
=
= w2 − z3.
Оскiльки отримана рiвнiсть є очевидною, а z та w є регулярними то-
чками вiдповiдних резольвентних функцiй, то звiдси отримуємо поча-
ткову рiвнiсть (14).
Далi, скориставшись представленням резольвентної функцiї вигля-
ду Rz(Ap), p ≥ 2, через резольвентнi функцiї оператора A (див. [5]) та
лемою 1, отримаємо, що
Rz(A2)Rw(A3) =
1
w2 − z3
(
−(z3 + wz2A)
1∑
r=0
R(−1)rz1/2(A)+
+
(
w2 + wz2A+ zw2A2
) 2∑
r=0
R
w1/3ξ
(3)
r
(A)
)
, (15)
66 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
де ξ(3)
r , r = 0, 2, — коренi 3-го степеня з одиницi, тобто,
ξ
(3)
0 = 1, ξ
(3)
1 = −1
2
+
√
3
2
i, ξ
(3)
2 = −1
2
−
√
3
2
i.
Тодi, вiдповiдно з рiвностями (4) та (15), функцiя f матиме зобра-
ження
f(z, w) =
1
w2 − z3
(
−
〈
(z3 + wz2A)
1∑
r=0
R(−1)rz1/2(A)x̃0, ỹ0
〉
+
+
〈 (
w2 + wz2A+ zw2A2
) 2∑
r=0
R
w1/3ξ
(3)
r
(A)x̃0, ỹ0
〉)
. (16)
Згiдно з теоремою 1 для того, щоб побудувати апроксиманти Паде
для функцiї f , потрiбно побудувати бiортогональнi полiноми
XN1,N2
=
N1∑
k=0
N2∑
m=0
c
(N1,N2)
k,m xk,m, (17)
такi, що
〈XN1,N2 , yj,n〉 = 0, (18)
при (j, n) ∈ [0, N1]× [0, N2]\{(N1, N2)}.
Очевидно, що полiном XN1,N2
може бути зображений у виглядi
XN1,N2
=
2N1+3N2∑
p=0,p6=1,2N1+3N2−1
ĉ(N1,N2)
p x̃p. (19)
Але лiнiйна оболонка системи функцiй {x̃p}2N1+3N2
p=0 спiвпадає з лiнiй-
ною оболонкою системи функцiй {X̃M}2N1+3N2
M=0 , а також з лiнiйною
оболонкою системи функцiй {X̃(2)
M }
2N1+3N2
M=0 , де X̃(2)
M — узагальненi по-
лiноми вигляду
X̃
(2)
M =
M∑
k=0
č(M)
p x̃k, č
(M)
M 6= 0,M ∈ Z+, (20)
такi, що
〈X̃(2)
M , ỹj〉 = 0, j = 2,M + 1. (21)
Апроксимацiї типу Паде . . . 67
Зауваження 1. Для iснування полiномiв X̃
(2)
M треба, замiсть умови
H̃N 6= 0,∀N ∈ Z+, вимагати виконання умови
H̃N,2 = det ‖s̃k+j+2‖Nk,j=0 6= 0,∀N ∈ Z+.
Тому, без обмежень загальностi, полiноми XN1,N2 можна записати
у виглядi лiнiйної комбiнацiї полiномiв X̃(2)
p
XN1,N2 =
2N1+3N2∑
p=0
γ(N1,N2)
p X̃(2)
p .
Коефiцiєнти γ
(N1,N2)
p , p = 0, 2N1 + 3N2, мають визначатися з умов
бiортогональностi
〈XN1,N2
, yj,n〉 = 0,
де
yj,n = A∗(2j+3n)ỹ0, при (j, n) ∈ [0, N1] × [0, N2]\{(N1, N2)},
або ж
〈XN1,N2
, ỹj〉 = 0, при j = 0, 2, 3, . . . , 2N1 + 3N2 − 2.
Послiдовно пiдставляючи у другу рiвнiсть значення
j = 2, 3 . . . , 2N1 + 3N2 − 2, отримуємо
γ
(N1,N2)
0 = γ
(N1,N2)
1 = γ
(N1,N2)
2 = · · · = γ
(N1,N2)
2N1+3N2−4 = 0.
Отже,
XN1,N2
=
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p X̃(2)
p . (22)
Решту коефiцiєнтiв визначаємо з умов ортогональностi XN1,N2
до
y
(N1,N2)
0,0 та вiдсутностi в XN1,N2
коефiцiєнтiв при x̃1 та x̃2N1+3N2−1.
Отримуємо
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p
p∑
k=0
č
(p)
k 〈x̃k, ỹ0〉 =
=
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p
p∑
k=0
č
(p)
k s̃k = 0,
68 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
та
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p č
(p)
1 = 0,
а також
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−1
γ(N1,N2)
p č
(p)
2N1+3N2−1 = 0
Тобто для визначення коефiцiєнтiв γ
(N1,N2)
p ,
при p = 2N2 + 3N2 − 3, 2N2 + 3N2, одержано однорiдну систему
3-х лiнiйних рiвнянь з 4-ма невiдомими.
Далi, для зручностi запису, будемо використовувати такi позначе-
ння:
N = 2N1 + 3N2 та ap =
p∑
k=0
č
(p)
k s̃k.
Тодi матриця отриманої системи матиме вигляд č
(N−3)
1 č
(N−2)
1 č
(N−1)
1 č
(N)
1
0 0 č
(N−1)
N−1 č
(N)
N−1
aN−3 aN−2 aN−1 aN
.
Зафiксувавши старшi коефiцiєнти γ
(N1,N2)
N , звiдси можемо визна-
чити iншi коефiцiєнти γ(N1,N2)
p , p = N − 3, N − 2, N − 1, при умовi що
детермiнант матрицi не дорiвнює нулевi. Розв’язки системи мають ви-
гляд
γ
(N1,N2)
N−1 = −č(N)
N−1
γ
(N1,N2)
N
c
(N−1)
N−1
;
γ
(N1,N2)
N−2 =
γ
(N1,N2)
N
č
(N−1)
N−1
[
aN−3
č
(N−3)
1
(
č
(N)
N−1č
(N−1)
1 − č(N)
1 č
(N−1)
N−1
)
−
−aN−1č
(N)
N−1 + aN č
(N−1)
N−1
]
×
[
č
(N−2)
1
(
aN−3
č
(N−3)
1
− aN−2
č
(N−2)
1
)]−1
;
γ
(N1,N2)
N−3 =
γ
(N1,N2)
N
č
(N−1)
N−1
[
aN−2
č
(N−2)
1
(
č
(N)
N−1č
(N−1)
1 − č(N)
1 č
(N−1)
N−1
)
+
+aN−1č
(N)
N−1 + aN č
(N−1)
N−1
]
×
[
č
(N−3)
1
(
aN−2
č
(N−2)
1
− aN−3
č
(N−3)
1
)]−1
.
(23)
Апроксимацiї типу Паде . . . 69
А це дає можливiсть виразити коефiцiєнти c̃
(N1,N2)
p ,
для p = 0, 2, . . . , N − 2, N в зображеннi (20) через коефiцiєнти
полiномiв X̃(2)
p наступним чином
ĉ
(N1,N2)
q =
N∑
p=N−3
γ
(N1,N2)
p č
(p)
q , q = 0, N − 3;
ĉ
(N1,N2)
N−2 =
N∑
p=N−2
γ
(N1,N2)
p č
(p)
N−2;
ĉ
(N1,N2)
N = γ
(N1,N2)
N č
(N)
N .
(24)
За цими коефiцiєнтами, в свою чергу, можемо визначити коефiцi-
єнти c
(N1,N2)
k,m при (k,m) ∈ [0, N1] × [0, N2] для того, щоб можна було
записати полiноми XN1,N2
у виглядi (19).
Для визначення c
(N1,N2)
k,m квадрат цiлочисельної сi-
тки [0, N1]× [0, N2] можна звузити, наприклад, до множини (див.
Мал. 1):
ΓN1,N2
=
(
[0, N1]× [0, 1]
)
∪
(
[N1 − 2, N1]× [2, N2]
)
. (25)
Мал. 1: Множина ΓN1,N2
Функцiя λ(k,m) = 2k + 3m вiдображає взаєм-
но однозначно множину ΓN1,N2
на множину
Γ̃N1,N2
= {p ∈ [0, 2N1 + 3N2] : p 6= 1, p 6= 2N1 + 3N2 − 1}. Тому iснує
обернене вiдображення до вiдображення λ :
70 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
• при p = 0 ⇒ k = 0,m = 0;
• при p ∈ [2, 2N1 + 1] ⇒
k =
{ p
2 , якщо p− парне,m = 0,
p−3
2 , якщо p− непарне,m = 1;
• при p ∈ [2N1 + 2, 2N1 + 3N2 − 2] ⇒
m =
p−2N1
3 , якщо p− 2N1 − дiлиться на 3, k = N1,
p−2N1+2
3 , якщо p− 2N1 + 2− дiлиться на 3, k = N1 − 1,
p−2N1+4
3 , якщо p− 2N1 + 4− дiлиться на 3, k = N1 − 2;
• при p = 2N1 + 3N2 ⇒ k = N1,m = N2.
Звiдси, для c(N1,N2)
k,m , при (k,m) ∈ ΓN1,N2
, отримуємо наступнi спiв-
вiдношення:
c
(N1,N2)
k,m =
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ
(N1,N2)
p č
(p)
2k+3m,
при (k,m) ∈ ΓN1,N2\{(N1 − 1, N2), (N1, N2)};
c
(N1,N2)
N1−1,N2
=
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ
(N1,N2)
p č
(p)
2k+3m;
c
(N1,N2)
N1,N2
= γ
(N1,N2)
2N1+3N2
č
(2N1+3N2)
2N1+3N2
.
(26)
Теорема 2. Для функцiй f , що мають вигляд
f(z, w) =
1
w2 − z3
(
−
〈
(z3 + wz2A)
1∑
r=0
R(−1)rz1/2(A)x̃0, ỹ0
〉
+
+
〈 (
w2 + wz2A+ zw2A2
) 2∑
r=0
R
w1/3ξ
(3)
r
(A)x̃0, ỹ0
〉)
,
рацiональнi функцiї
[N/D]f (z, w) =
PN (z, w)
QD(z, w)
,
Апроксимацiї типу Паде . . . 71
де
QD(z, w) =
N1∑
j=0
N2∑
n=1
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p č
(p)
2(N1−j)+3(N2−n)z
jwn+
+
N1∑
j=2
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p č
(p)
2(N1−j)+3N2
zj+
+ z
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ(N1,N2)
p č
(p)
2N1+3N2−1 + γ
(N1,N2)
2N1+3N2
č
(2N1+3N2)
2N1+3N2
i
PN (z, w) =
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=1
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=1
×
×
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p č
(p)
2(N1−j)+3(N2−n)sk−j,m−n+
+
N1−1∑
k=2
zk
k∑
j=2
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p č
(p)
2(N1−j)+3N2
sk−j,0+
+ z
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ(N1,N2)
p č
(p)
2N1+3N2−2s0,0+
γ
(N1,N2)
2N1+3N2
č
(2N1+3N2)
2N1+3N2
s1,0
)
+ γ
(N1,N2)
2N1+3N2
č
(2N1+3N2)
2N1+3N2
s0,0+
+ zN1
N1∑
k=0
N2−1∑
m=1
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=1
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p č
(p)
2j+3(N2−n)×
× sk+j,m−n + zN1
N1−2∑
k=0
zk
N1∑
j=0
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p č
(p)
2j+3N2
sk+j,0+
+ zN1
N1∑
k=0
zk
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ(N1,N2)
p č
(p)
2N1+3N2−2sk+N1−1,0+
+γ
(N1,N2)
2N1+3N2
č
(2N1+3N2)
2N1+3N2
sk+N1,0
)
+ wN2
N1−1∑
k=0
N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2−1∑
n=0
×
72 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
×
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p č
(p)
2(N1−j)+3nsk−j,m+n+
+ wN2
N1−1∑
k=2
N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=2
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p č
(p)
2(N1−j)+3N2
sk−j,m+N2
+
+ zwN2
N2∑
m=0
wm
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ(N1,N2)
p č
(p)
2N1+3N2−2s0,m+N2
+ γ
(N1,N2)
2N1+3N2
×
×č(2N1+3N2)
2N1+3N2
s1,m+N2
)
+ wN2
N2∑
m=0
wmγ
(N1,N2)
2N1+3N2
č
(2N1+3N2)
2N1+3N2
s0,m+N2 ,
матимуть розвинення у степеневi ряди, коефiцiєнти яких
спiвпадатимуть вiдповiдно з коефiцiєнтами рядiв (13) для
всiх (k,m) ∈ E = [0, 2N1]× [0, 2N2]\{(2N1, 2N2)}.
Розглянемо далi в якостi просторiв X та Y простори L2([0, 1], dµ) —
функцiй, сумовних з квадратом за мiрою dµ, де µ — це неспадна фун-
кцiя, що має нескiнченну кiлькiсть точок зростання на [0,1]; бiлiнiйну
форму для довiльних функцiй ϕ,ψ з простору L2([0, 1], dµ) означимо
таким чином:
〈ϕ,ψ〉 =
∫ 1
0
ϕ(t)ψ(t)dµ(t), ϕ, ψ ∈ L2([0, 1], dµ).
Нехай оператор A — це оператор множення на незалежну змiнну
(Aϕ)(t) = tϕ(t), ϕ ∈ L2([0, 1], dµ),
a початковi функцiї x̃0 та ỹ0 покладемо тотожно рiвними одиницi
x̃0(t) = ỹ0(t) ≡ 1.
У такому випадку будуть виконуватися усi умови Теореми 2, i, от-
же, за цiєю теоремою ми можемо будувати апроксимати типу Паде
Апроксимацiї типу Паде . . . 73
функцiй вигляду
f(z, w) =
1
w2 − z3
(
− z3
2
∫ 1
0
dµ(t)
1− zt2
+
z2w
2
∫ 1
0
tdµ(t)
1− zt2
+
+ w2
3∑
r=0
∫ 1
0
dµ(t)
1− z1/3ξ
(3)
r t
+
+ zw2
3∑
r=0
∫ 1
0
tdµ(t)
1− z1/3ξ
(3)
r t
+ z2w
3∑
r=0
∫ 1
0
t2dµ(t)
1− z1/3ξ
(3)
r t
)
. (27)
Зокрема, для класичної мiри
dµ(t) = tν(1− t)σdt, σ, ν ∈ [0, 1),
полiноми X
(2)
N будуть системами алгебраїчних многочленiв, ортого-
нальних з вагою t2+ν(1− t)σdt.
Тому коефiцiєнти таких полiномiв X(2)
N визначаються наступними
формулами (див. [8, c. 581]):
č
(N)
k = (−1)N−k
(
N
k
)
Γ(σ + ν + 3 +N + k)
Γ(σ + k + 1)
. (28)
Нехай
γ
(N1,N2)
N =
1
N
,
тодi, пiдставивши в систему (26) значення č
(N)
k , отримуємо наступнi
формули для коефiцiєнтiв γ(N1,N2)
p :
γ
(N1,N2)
N = 1
N ;
γ
(N1,N2)
N−1 = σ + ν + 2N + 1;
γ
(N1,N2)
N−2 = 1
N−2
[
θN
aN−3
N−3 −
aN
N − aN−1(σ + ν + 2N + 1)
]
×
×
[
aN−3
N−3 (ν + σ +N + 1) + aN−2
N−2
]−1
;
γ
(N1,N2)
N−3 = 1
N−3
[
θN
aN−2
N−2 −
{
aN
N + aN−1(σ + ν + 2N + 1)
}
×
×(σ + ν +N + 1)] ·
[
aN−2
N−2 + aN−3
N−3 (ν + σ +N + 1)
]−1
,
(29)
74 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
де
θN = (N − 1)(σ + ν + 2N + 1)(σ + ν +N + 1)2 − (σ + ν +N + 1)3.
Для визначення в цiй системi чисел ap, зафiксуємо деяке M ∈ Z+
та розглянемо iнтеграл∫ 1
0
X
(2)
M (t)dµ(t) =
∫ 1
0
X
(2)
M (t)tν(1− t)σdt. (30)
Далi скористаємося формулою Родрiга [8, c. 579], згiдно з якою
X
(2)
M (t) = αM
1
t2+ν(1− t)σ
dM
dtM
(
tM+2+ν(1− t)M+σ
)
. (31)
Тодi iнтеграл (30) можна записати таким чином∫ 1
0
X
(2)
M (t)tν(1− t)σdt =
=
∫ 1
0
αM
1
t2+ν(1− t)σ
dM
dtM
(
tM+2+ν(1− t)M+σ
)
tν(1− t)σdt.
Iнтегруюючи за частинами дане спiввiдношення декiлька разiв,
знаходимо∫ 1
0
X
(2)
M (t)tν(1− t)σdt = αM
∫ 1
0
1
t2
dM
dtM
(
tM+2+ν(1− t)M+σ
)
dt =
= αM
(
1
t2
dM−1
dtM−1
(
tM+2+ν(1− t)M+σ
)∣∣∣1
0
+
+
∫ 1
0
2
t3
dM−1
dtM−1
(
tM+2+ν(1− t)M+σ
)
dt
)
=
= αM
∫ 1
0
2
t3
dM−1
dtM−1
(
tM+2+ν(1− t)M+σ
)
dt = · · · =
= αM
∫ 1
0
(j + 1)!
tj+2
dM−j
dtM−j
(
tM+2+ν(1− t)M+σ
)
dt = · · · =
= αM
∫ 1
0
(M + 1)!
tM+2
tM+2+ν(1− t)M+σdt =
= αM (M + 1)!
Γ(ν + 1)Γ(M + σ + 1)
Γ(M + σ + ν + 2)
, ∀M ∈ Z+.
Апроксимацiї типу Паде . . . 75
Оскiльки полiноми X(2)
N вже визначенi ранiше з допомогою коефi-
цiєнтiв (28), то це єдиним чином буде визначати коефiцiєнти αM .
Тому для початку запишемо вираз пiд знаком диференцiала у фор-
мулi Родрiга (31) наступним чином:
X
(2)
M (t) = αM ·
1
t2+ν(1− t)σ
· d
M
dtM
( M∑
j=0
(
M
j
)
(−1)jtM+jt2+ν(1−t)σ
)
(32)
та обчислимо M -ту похiдну в цьому виразi
dM
dtM
( M∑
j=0
(
M
j
)
(−1)jtM+jt2+ν(1− t)σ
)
=
=
M∑
j=0
(
M
j
)
(−1)j
M∑
k=0
(
M
k
)(
tM+j
)(k)(
t2+ν(1− t)σ
)(M−k)
.
Як бачимо, старший коефiцiєнт X(2)
M у формулi (32) буде при доданку
зi значенням iндексiв сумування k = j = M . Тому для č(M)
M є справе-
дливим спiввiдношення
č
(M)
M = (−1)MαM ,
i, вiдповiдно,
αM = (−1)M
Γ(σ + ν +M + 3)
Γ(σ +M + 1)
,
та
aM =
∫ 1
0
X
(2)
M (t)tν(1− t)σdt = (−1)M (M + σ + ν + 2)M+1.
Тодi система (23) набуде наступного вигляду:
γ
(N1,N2)
N = 1
N ;
γ
(N1,N2)
N−1 = σ + ν + 2N + 1;
γ
(N1,N2)
N−2 = 1
N−2
[
θN
(N+σ+ν−1)N−2
N−3 + (N+σ+ν+2)N+1
N −
−(N + σ + ν + 1)N (σ + ν + 2N + 1)]×
×
[
(N+σ+ν−1)N−2
N−3 (ν + σ +N + 1) + (N+σ+ν)N−1
N−2
]−1
;
γ
(N1,N2)
N−3 = 1
N−3
[
θN
(N+σ+ν)N−1
N−2 −
{
(N+σ+ν+2)N+1
N −
−(N + σ + ν + 1)N (σ + ν + 2N + 1)
}
· (σ + ν +N + 1)
]
×
×
[
(N+σ+ν)N−1
N−2 + (N+σ+ν−1)N−2
N−3 (ν + σ +N + 1)
]−1
.
(33)
76 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
Для вищеозначеної мiри dµ та оператора A члени послiдовно-
стi {sk,m}k,m∈Z+ визначатимуться формулами
sk,m =
∫ 1
0
t2k+3m+ν(1− t)σdt =
Γ(2k + 3m+ ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(2k + 3m+ σ + 2)
. (34)
А степеневий ряд функцiї (16), вiдповiдно, матиме вигляд
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
Γ(2k + 3m+ ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(2k + 3m+ σ + 2)
zkwm. (35)
Слiд зауважити, що ряд (35), згiдно з означенням Горна [9, c. 219],
є гiпергеометричною функцiєю четвертого порядку.
Маємо наступний результат.
Теорема 3. Для гiпергеометричної функцiї f вигляду (35) рацiональ-
на функцiя
[N/D]f (z, w) =
PN (z, w)
QD(z, w)
,
де
QD(z, w) =
N1∑
j=0
N2∑
n=1
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p (−1)p−2(N1−j)−3(N2−n)×
×
(
p
2(N1 − j) + 3(N2 − n)
)
×
Γ(σ + ν + p+ 3 + 2(N1 − j) + 3(N2 − n))
Γ(σ + 1 + 2(N1 − j) + 3(N2 − n))
zjwn
+
N1∑
j=2
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p (−1)p−2(N1−j)−3N2×
×
(
p
2(N1 − j) + 3N2
)
Γ(σ + ν + p+ 3 + 2(N1 − j) + 3N2)
Γ(σ + 1 + 2(N1 − j) + 3N2)
+
+ z
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ(N1,N2)
p (−1)p+2−2N1−3N2
(
p
2N1 + 3N2 − 2
)
×
×Γ(σ + ν + p+ 1 + 2N1 + 3N2)
Γ(σ + 2N1 + 3N2 − 1)
+γ
(N1,N2)
2N1+3N2
Γ(σ + ν + 3 + 2(2N1 + 3N2))
Γ(σ + 2N1 + 3N2 + 1)
Апроксимацiї типу Паде . . . 77
та
PN (z, w) =
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=1
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=1
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p ×
× (−1)p−2(N1−j)−3(N2−n)
(
p
2(N1 − j) + 3(N2 − n)
)
×
× Γ(σ + ν + p+ 3 + 2N1 + 3N2 − (2j + 3n))
(σ + 1)2N1+3N2−(2j+3n)
×
× Γ(2(k − j) + 3(m− n) + ν + 1)
Γ(2(k − j) + 3(m− n) + σ + 2)
+
+
N1−1∑
k=2
zk
k∑
j=2
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p (−1)p+2j−(2N1+3N2)×
×
(
p
2N1 + 3N2 − 2j
)
× Γ(σ + ν + p+ 3 + 2(N1 − j) + 3N2)
(σ + 1)2(N1−j)+3N2
×
× Γ(2(k − j) + ν + 1)
Γ(2(k − j) + σ + 2)
+ z
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ(N1,N2)
p (−1)p+2−2N1−3N2×
×
(
p
2N1 + 3N2 − 2
)
Γ(σ + ν + p+ 3 + 2(N1 − 1) + 3N2)
(σ + 1)2N1+3N2−2
×
× Γ(ν + 1)
Γ(σ + 2)
+ γ
(N1,N2)
2N1+3N2
Γ(σ + ν + 3 + 2(2N1 + 3N2))
(σ + 1)2N1+3N2
· Γ(ν + 2)
Γ(σ + 4)
)
+
+ γ
(N1,N2)
2N1+3N2
Γ(σ + ν + 3 + 2(2N1 + 3N2))
(σ + 1)2N1+3N2
· Γ(ν + 1)
Γ(σ + 2)
+
+ zN1
N1∑
k=0
N2−1∑
m=1
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=1
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p (−1)p−2j−3(N2−n)×
×
(
p
2j + 3(N2 − n)
)
Γ(σ + ν + p+ 3 + 2j + 3(N2 − n))
(σ + 1)2j+3(N2−n)
×
× Γ(2(k + j) + 3(m− n) + ν + 1)
Γ(2(k + j) + 3(m− n) + σ + 2)
+
+ zN1
N1−2∑
k=0
zk
N1∑
j=0
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p (−1)p−2j−3N2×
×
(
p
2j + 3N2
)
Γ(σ + ν + p+ 3 + 2j + 3N2)
(σ + 1)2j+3N2
· Γ(2(k + j) + ν + 1)
Γ(2(k − j) + σ + 2)
+
78 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
+ zN1
N1∑
k=0
zk
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ(N1,N2)
p (−1)p+2−2N1−3N2×
×
(
p
2N1 + 3N2 − 2
)
Γ(σ + ν + p+ 2N1 + 3N2 + 1)
(σ + 1)2N1+3N2−2
×
× Γ(2(k +N1) + ν + 1)
Γ(2(k +N1) + σ + 2)
+
+ γ
(N1,N2)
2N1+3N2
Γ(σ + ν + 3 + 2(2N1 + 3N2))
(σ + 1)2N1+3N2
×
×Γ(2(k +N1) + ν + 1)
Γ(2(k +N1) + σ + 2)
)
+ wN2
N1−1∑
k=0
N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2−1∑
n=0
×
×
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p (−1)p−2(N1−j)−3n
(
p
2(N1 − j) + 3n
)
× Γ(σ + ν + p+ 3 + 2(N1 − j) + 3n)
(σ + 1)2(N1−j)+3n
· Γ(2(k − j) + 3(m+ n) + ν + 1)
Γ(2(k − j) + 3(m+ n) + σ + 2)
+
+ wN2
N1−1∑
k=2
N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=2
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−3
γ(N1,N2)
p (−1)p−2(N1−j)−3N2×
×
(
p
2(N1 − j) + 3N2
)
× Γ(σ + ν + p+ 3 + 2(N1 − j) + 3N2)
(σ + 1)2(N1−j)+3N2
×
× Γ(2(k − j) + 3(m+N2) + ν + 1)
Γ(2(k − j) + 3(m+N2) + σ + 2)
+
+ zwN2
N2∑
m=0
wm
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ(N1,N2)
p (−1)p+2−2N1−3N2×
×
(
p
2(N1 − 1) + 3N2
)
Γ(σ + ν + p+ 2N1 + 3N2 + 1)
(σ + 1)2N1+3N2−2
×
× Γ(3(m+N2) + ν + 1)
Γ(3(m+N2) + σ + 2)
+ γ
(N1,N2)
2N1+3N2
Γ(σ + ν + 3 + 2(2N1 + 3N2))
(σ + 1)2N1+3N2
×
×Γ(3(m+N2) + ν + 3)
Γ(3(m+N2) + σ + 4)
)
+ wN2
N2∑
m=0
wmγ
(N1,N2)
2N1+3N2
×
× Γ(σ + ν + 3 + 2(2N1 + 3N2))
(σ + 1)2N1+3N2
· Γ(3(m+N2) + ν + 1)
Γ(3(m+N2) + σ + 2)
Апроксимацiї типу Паде . . . 79
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти яко-
го спiвпадатимуть з коефiцiєнтами ряду (35) для
всiх (k,m) ∈ E = [0, 2N1]× [0, 2N2]\{(2N1, 2N2)}.
Зауваження 2. Доданок
zwN2
N2∑
m=0
wm
2N1+3N2∑
p=2N1+3N2−2
γ(N1,N2)
p (−1)p+2−2N1−3N2×
×
(
p
2(N1 − 1) + 3N2
)
Γ(σ + ν + p+ 2N1 + 3N2 + 1)
(σ + 1)2N1+3N2−2
×
× Γ(3(m+N2) + ν + 1)
Γ(3(m+N2) + σ + 2)
+ γ
(N1,N2)
2N1+3N2
×
×Γ(σ + ν + 3 + 2(2N1 + 3N2))
(σ + 1)2N1+3N2
· Γ(3(m+N2) + ν + 3)
Γ(3(m+N2) + σ + 4)
)
формули чисельника PN у Теоремi 3 буде присутнiй при умовi,
що N1 > 1. Якщо ж N1 = 1, то тодi, як випливає з Теореми 1, цьо-
го доданка у записi чисельника не буде.
Для того, щоб проiлюструвати одержанi результати, розглянемо
частинний випадок Теореми 3 при ν = σ = 0 та N1 = N2 = 1.
За таких умов функцiя f має вигляд
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
zkwm
2k + 3m+ 1
, (36)
а її рацiональна апроксиманта визначається формулою
[N/D]f (z, w) =
(
798.336 + 33.8688 · z + 82.2528z2 − 285.1155 · w−
−7.126863 · w2
)
× (798.336− 232.2432 · z−
−484.6995 · w − 20.24034zw)
−1
. (37)
Порiвняємо значення наближуваної функцiї (36), побудованої нами
апроксиманти (37) та частинної суми степеневого ряду
S2,2(z, w) =
2∑
k=0
2∑
m=0
zkwm
2k + 3m+ 1
(38)
у точках квадрата [0; 0.8]× [0; 0.8] з допомогою значень в Таблицi 1 та
80 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
w/z 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.0
1 1.056661 1.132197 1.243053 1.442685
1 1.056504 1.130189 1.230898 1.377776
1 1.05 1.1 1.15 1.2
0.2
1.076022 1.141799 1.23011 1.360898 1.599489
1.075161 1.148216 1.245916 1.384019 1.595354
1.066667 1.123333 1.18 1.236667 1.293333
0.4
1.178736 1.257814 1.364985 1.525654 1.823948
1.169547 1.265055 1.396476 1.589728 1.903555
1.133333 1.196667 1.26 1.323333 1.386667
0.6
1.331943 1.432856 1.571493 1.78308 2.186344
1.287225 1.413384 1.592781 1.869392 2.354031
1.2 1.27 1.34 1.41 1.48
0.8
1.614013 1.760785 1.967192 2.29223 2.941847
1.433491 1.60192 1.850836 2.257768 3.046902
1.266667 1.343333 1.42 1.496667 1.573333
Табл. 1: Таблиця значень функцiї (36), апроксиманти (37) та
частинної суми (38).
Мал. 2: Графiк функцiї (36),
апроксиманти (37),
частинної суми (38).
Апроксимацiї типу Паде . . . 81
графiкiв на Мал. 2.
Отриманi результати показують, що апроксиманта, побудована ме-
тодом узагальнених моментних зображень, наближає функцiю значно
краще, нiж частинна сума її степеневого ряду, з тiєю ж самою кiлькi-
стю коефiцiєнтiв.
Лiтература
[1] Голуб А.П., Чернецька Л.О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зобра-
ження та рацiональнi апроксимацiї функцiй двох змiнних // Укр. мат.
журн. — 2013. — 65, №8. — С. 1035 – 1058.
[2] Дзядик В.К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. —
1981. — 6. — С. 8–12.
[3] Голуб А.П., Чернецька Л.О. Побудова апроксимант Паде для деяких
гiпергеометричних рядiв Аппеля за допомогою методу узагальнених мо-
ментних зображень // Зб. праць Iн-ту математики НАН України /Те-
орiя наближення функцiй та сумiжнi питання/. — К.: Iн-т математики
НАН України, 2013. — 10, №1. — С. 69 – 94.
[4] Голуб А.П., Чернецька Л.О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображе-
ння та апроксимацiї Паде деяких рядiв Гумберта // Укр. мат. журн. —
2013. — 65, №10. — С. 1315 – 1331.
[5] Голуб А.П., Веселовська Г.М. Апроксиманти типу Паде для деяких
спецiальних рядiв двох змiнних // Зб. праць Iн-ту математики НАН
України /Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання/. — К.: Iн-т
математики НАН України, 2015. — 12, №4. — С. 92 – 110.
[6] Чернецька Л.О. Побудова двовимiрних апроксимант Паде деяких ана-
лiтичних функцiй двох змiнних за допомогою методу узагальнених мо-
ментних зображень // Мат. студiї. — 2014. — 11, №2. — С. 201 – 213.
[7] Голуб А.П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. —
К.: Iн-т математики НАН України, 2002. — 222 с.
[8] Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица,
И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.
[9] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергео-
метрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. — 648 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-102 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:35Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a2/f5fe7c242fed097055c45d072a2563a2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1022018-02-13T13:58:16Z Rational approximants of Pad\'e type of some class of double power series Раціональні апроксиманти типу Паде одного класу подвійних степеневих рядів Veselovska, G. M. Golub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. Two--dimensional Pad\'e type approximants are constructed and studied for some special power series using method of generalized momentrepresentations. З допомогою методу узагальнено моментних представлень побудовані і вивчені двовимірні апроксиманти типу Паде для деяких спеціальних степеневих рядів. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/102 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 61-81 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 61-81 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 61-81 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/102/94 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Veselovska, G. M. Golub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. Rational approximants of Pad\'e type of some class of double power series |
| title | Rational approximants of Pad\'e type of some class of double power series |
| title_alt | Раціональні апроксиманти типу Паде одного класу подвійних степеневих рядів |
| title_full | Rational approximants of Pad\'e type of some class of double power series |
| title_fullStr | Rational approximants of Pad\'e type of some class of double power series |
| title_full_unstemmed | Rational approximants of Pad\'e type of some class of double power series |
| title_short | Rational approximants of Pad\'e type of some class of double power series |
| title_sort | rational approximants of pad\'e type of some class of double power series |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/102 |
| work_keys_str_mv | AT veselovskagm rationalapproximantsofpad039etypeofsomeclassofdoublepowerseries AT golubap rationalapproximantsofpad039etypeofsomeclassofdoublepowerseries AT veselovsʹkagm rationalapproximantsofpad039etypeofsomeclassofdoublepowerseries AT golubap rationalapproximantsofpad039etypeofsomeclassofdoublepowerseries AT veselovskagm racíonalʹníaproksimantitipupadeodnogoklasupodvíjnihstepenevihrâdív AT golubap racíonalʹníaproksimantitipupadeodnogoklasupodvíjnihstepenevihrâdív AT veselovsʹkagm racíonalʹníaproksimantitipupadeodnogoklasupodvíjnihstepenevihrâdív AT golubap racíonalʹníaproksimantitipupadeodnogoklasupodvíjnihstepenevihrâdív |