Approximations of entire functions by polynomials of the best standard approximation
We find asymptotic equality for the top limits of approaching by the polynomials of best mean approximation on classes of $2\pi$--periodic functions $C^\psi_{\overline\beta,s}$, $1\leq s \leq\infty$, and $C^\psi_{\overline\beta}H_\omega$, that are set by multipliers $\psi(k)$ and by shifts forward a...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/105 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552504535810048 |
|---|---|
| author | Vojtovich, V. A. Войтович, В. А. |
| author_facet | Vojtovich, V. A. Войтович, В. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. А. Войтович",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Vojtovich, V. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | We find asymptotic equality for the top limits of approaching by the polynomials of best mean approximation on classes of $2\pi$--periodic functions $C^\psi_{\overline\beta,s}$, $1\leq s \leq\infty$, and $C^\psi_{\overline\beta}H_\omega$, that are set by multipliers $\psi(k)$ and by shifts forward an argument $\beta_k$ on condition that sequences $\psi(k)$ fall to the zero more quickly, than any geometrical progression (in this case functions from the noted classes assume regular extension upon the whole complex plane). |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 90–102
УДК 517.54 + 517.12
В.А. Войтович
(Iнститут математики НАН України, Київ)
viktorvojtovich@gmail.com
Наближення класiв цiлих функцiй
полiномами найкращого
середньоквадратичного наближення
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
Знайдено асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближень
полiномами найкращого середньоквадратичного наближення на кла-
сах 2π–перiодичних функцiй Cψ
β,s
, 1 ≤ s ≤ ∞, та Cψ
β
Hω, що задаються
мультиплiкаторами ψ(k) i зсувами по аргументу βk за умови, що по-
слiдовностi ψ(k) спадають до нуля швидше, нiж будь-яка геометрична
прогресiя (у цьому випадку функцiї iз зазначених класiв допускають
регулярне продовження на всю комплексну площину).
We find asymptotic equality for the top limits of approaching by the
polynomials of best mean approximation on classes of 2π–periodic functi-
ons Cψ
β,s
, 1 ≤ s ≤ ∞, and Cψ
β
Hω, that are set by multipliers ψ(k) and by
shifts forward an argument βk on condition that sequences ψ(k) fall to the
zero more quickly, than any geometrical progression (in this case functions
from the noted classes assume regular extension upon the whole complex
plane).
Нехай Ls, 1 6 s < ∞, — простiр сумовних на (0, 2π) в s-му степенi
2π-перiодичних функцiй f(t) з нормою ‖f‖s =
( π∫
−π
|f(t)|s dt
)1/s
, L∞ —
простiр вимiрних i iстотно обмежених 2π-перiодичних функцiй f(t) з
c© В.А. Войтович, 2017
Наближення класiв цiлих функцiй . . . 91
нормою ‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|, C — простiр неперервних 2π-перiодичних
функцiй f(t), в якому норма задається рiвнiстю ‖f‖C = max
t
|f(t)|.
Нехай f — 2π-перiодична, сумовна на [0, 2π) функцiя (f ∈ L1) i
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) =
∞∑
k=0
Ak(f ;x)
є її рядом Фур’є. Якщо послiдовностi ψ = ψ(k) i β = βk, k ∈ N, дiйсних
чисел такi, що ряд
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak cos
(
kx+
βkπ
2
)
+ bk sin
(
kx+
βkπ
2
))
є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L1, то її називають (ψ, β)–похiдною
функцiї f i позначають через fψ
β
, при цьому кажуть, що f належить
множинi Lψ
β
. Якщо f ∈ Lψ
β
i fψ
β
∈ N ⊂ L1, то вважають, що f ∈ Lψ
β
N. У
випадку, коли βk ≡ β класи Lψ
β
спiвпадають з класами Lψβ ,а класи Lψ
β
N
спiвпадають з класами LψβN вiдповiдно. Покладемо далi Cψ
β
= C
⋂
Lψ
β
i Cψ
β
N = C
⋂
Lψ
β
N.
Множини Lψ
β
N та Cψ
β
N введено О.I. Степанцем [1]. В роботi в якостi
множин N виступатимуть множини
U0
s =
{
ϕ ∈ Ls : ‖ϕ‖s ≤ 1,
∫ 2π
0
ϕ(t)dt = 0
}
, 1 ≤ s ≤ ∞,
а також
Hω = {ϕ ∈ C : ω(ϕ; t) ≤ ω(t)}, Hω1
= {ϕ ∈ L1 : ω1(ϕ; t) ≤ ω(t)},
де ω(ϕ; t) i ω1(ϕ; t) — модулi неперервностi функцiї ϕ в просторах C i L1
вiдповiдно, а ω(t) — фiксований модуль неперервностi. Для зручностi
класи Cψ
β
U0
s позначають через Cψ
β,s
.
При ψ(k) = k−r, βk ≡ r, r ∈ N, класи Cψ
β,∞ є вiдомими класами W r
∞
2π-перiодичних функцiй f , що мають абсолютно неперервнi похiднi до
(r−1)-го порядку включно i r-та похiдна яких майже скрiзь обмежена
одиницею (див. §§1.4–1.9 в [1]). У випадку, коли ψ(k) = e−αk
r
, α > 0,
92 В.А. Войтович
r > 0, класи Lψ
β̄
N i Cψ
β̄
N є класами узагальнених iнтегралiв Пуассона
i позначаються через Lα,r
β̄
N i Cα,r
β̄
N вiдповiдно
Якщо послiдовностi ψ i β такi, що ряд
∞∑
k=1
ψ(k) cos(kt+ πβk
2 ) є рядом
Фур’є деякої сумовної функцiї Dψ,β(t), то для будь-якої функцiї f з
множини Cψ
β
в кожнiй точцi x ∈ R справедлива рiвнiсть [1, c. 144]
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
fψ
β
(x+ t)Dψ,β(t)dt. (1)
Позначимо через D0 множину послiдовностей ψ(k) > 0, k ∈ N, для
яких виконується умова
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= 0. (2)
Прикладом послiдовностей, що задовольняють умову D0 є, наприклад,
послiдовностi ψ(k) = e−αk
r
, α > 0, r > 1. Вiдомо (див., наприклад,
[1, c. 139–141]), що класи Cψ
β
, якi задаються послiдовностями ψ ∈ D0,
складаються з функцiй, що допускають регулярне продовження у всю
комплексну площину, тобто з цiлих функцiй.
Нехай f ∈ C. Розглянемо рiвномiрне розбиття вiдрiзка [−π, π] си-
стемою точок xi = 2πi
N , де i = 0, 1, . . . , N − 1, де N — довiльне нату-
ральне число.
Розглянемо наступну задачу: серед всiх тригонометричних полiно-
мiв Tn−1(x) порядку не вище n− 1, знайти той, для якого сума
N∑
i=1
|f(x)− Tn−1(x)|2 (3)
мала б найменше значення, при N ≥ 2n− 1.
Величину (3) мiнiмiзує тригонометричний полiном TNn−1(f ;x), який
записується наступним чином (див., наприклад, [2]):
TNn−1(f ;x) =
aN0
2
+
n−1∑
k=1
(aNk cos kx+ bNk sin kx), (4)
Наближення класiв цiлих функцiй . . . 93
коефiцiєнти якого виражаються формулами
aNk =
2
N
N−1∑
j=0
f(xNj ) cos kxNj , k = 0, 1, ..., N − 1, (5)
bNk =
2
N
N−1∑
j=0
f(xNj ) sin kxNj , k = 1, 2, ..., N − 1. (6)
Полiном TNn−1(f ;x) називають полiномом найкращого середньоквадра-
тичного наближення функцiй f в системi точок xNi , i = 0, 1, . . . , N − 1.
При N = 2n − 1 полiном TNn−1(f ;x) стає iнтерполяцiйним триго-
нометричним полiномом n − 1–го порядку з рiвновiддаленими вузла-
ми iнтерполяцiї. Далi, при N = 2n, вiн перетворюється в полiном
найкращого рiвномiрного наближення для f(x) в системi точок νπ
n ,
ν = 1, 2, . . . , 2n. Нарештi, покладаючи N = m(2n − 1), при m → ∞ з
(4) ми одержимо суму Фур’є порядку n− 1 для функцiї f(x).
Апроксимативнi властивостi полiномiв TNn−1(f ;x) дослiджувалися
у роботах [2–5].
Для довiльної f ∈ C покладемо
ρNn (f ;x) = f(x)− TNn−1(f ;x). (7)
Для фiксованої множини N простору C, iнварiантної вiдносно зсуву
аргумента, розглянемо величини
E(N;Un;x) = sup
f∈N
|f(x)− Un(f ;x)|, (8)
E(N;Un)X = sup
f∈N
‖f(x)− Un(f ;x)‖X . (9)
де X є простором C або Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, x ∈ R, а Un — деякий лiнiйний
метод наближення.
Розглянемо задачу про знаходження асимптотичних рiвностей для
величин (8) та (9), на класах (ψ, β)–диференцiйовних функцiй, що по-
роджуються послiдовностями ψ ∈ D0, коли в ролi Un виступають по-
лiноми TNn−1(f ;x).
Надалi при оцiнюваннi (8) або (9) пiд символом O(1) будемо розу-
мiти величину, що є рiвномiрно обмеженою вiдносно усiх об’єктiв, що
стоять у дужках у лiвiй частинi (8) або (9).
94 В.А. Войтович
Як було сказано вище, iнтерполяцiйний тригонометричний полiном
з рiвновiддаленими вузлами iнтерполяцiї є частинним випадком полi-
нома TNn−1(f ;x) при N = 2n − 1. У роботi [6] було знайдено асимпто-
тичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближення iнтерполяцiйними
тригонометричними полiномами на класах Cψ
β,s
, 1 ≤ s ≤ ∞, i Cψ
β
Hω
при n→∞:
Нехай ψ ∈ D0, βk ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞ i ω(t) — довiльний модуль неперерв-
ностi. Тодi для будь–якого x ∈ R при n→∞ виконуються рiвностi
E(Cψ
β,s
; S̃n−1;x) =
2
π
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣(‖ cos t‖s′ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
,
(10)
E(Cψ
β
Hω; S̃n−1;x) =
=
4
π
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣(ψ(n)θω
π
2∫
0
ω
(2t
n
)
sin t dt+O(1)ω
( 1
n
) ∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
,
(11)
де s′ = s
s−1 , θω = θω(n) ∈ [ 2
3 , 1], причому θω = 1, якщо ω(t) — опуклий
модуль неперервностi.
Оскiльки на розглядуваних нами класах було встановлено асим-
птотичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближення iнтерполяцiй-
ними тригонометричними полiномами, тобто для полiномiв TNn−1 при
N = 2n− 1, то ми розглядатимемо лише випадок N > 2n− 1.
Метою даної роботи є знаходження асимптотичних при n→ ∞ рiв-
ностей для величин ENn (Cψ
β,s
;x), 1 ≤ s ≤ ∞, i ENn (Cψ
β
Hω;x) при n ∈ N,
N > 2n−1, а також ENn (Cψ
β,1
)Ls , 1 ≤ s ≤ ∞, i En,p(CψβHω1
)L1
при n ∈ N,
N > 2n− 1, у випадку, коли функцiональнi класи Cψ
β
N породжуються
послiдовностями ψ, якi задовольняють умову D0.
Перед тим, як перейти до основних результатiв, розглянемо допо-
мiжнi леми.
Лема 1. Нехай ak(f) i bk(f) — коефiцiєнти Фур’є функцiї f , а aNk (f)
i bNk (f) — коефiцiєнти полiнома TNn−1(x) функцiї f по системi точок
xNi , i = 0, 1, . . . , N −1. Якщо ряд Фур’є функцiї f збiгається у точках
xNi до значень f(xNi ), тодi справедливi рiвностi
aNk = ak +
∞∑
m=1
amN+k + amN−k, k = 0, 1, . . . , (12)
Наближення класiв цiлих функцiй . . . 95
bNk = bk +
∞∑
m=1
bmN+k − bmN−k, k = 1, 2, . . . (13)
Доведення. Поклавши cNk = aNk − ibNk , отримаємо
cNk =
1
N
N−1∑
j=0
f(xNj )e−kix
N
j , k = 0, 1, ..., N − 1. (14)
Оскiльки ряд Фур’є функцiї f збiгається у точках xNi до значень f(xNi ),
то в силу (14) маємо:
NcNk =
N−1∑
j=0
∞∑
ν=−∞
cνe
iνxNj e−kix
N
j =
∞∑
ν=−∞
cν
N−1∑
j=0
e(ν−k)ixNj , (15)
де ck — комплекснi коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Легко бачити, що має мiсце рiвнiсть
N−1∑
j=0
e(ν−k)ixNj =
N−1∑
j=0
e(ν−k)i 2πN j =
1− ei(ν−k)2π
1− e
i(ν−k)2π
N
=
=
{
0, (ν − k) 6= Nm,m ∈ Z,
N, (ν − k) = Nm,m ∈ Z.
(16)
З рiвностей (14 — 16) отримуємо
cNk =
∞∑
m=−∞
ck+mN . (17)
Оскiльки ck = ak − ibk та cNk = aNk − ibNk , то з рiвностi (17) випли-
вають рiвностi (12) та (13). Лему доведено.
Лема 2. Нехай ψ(k) > 0,
∞∑
k=1
ψ(k) < ∞, βk ∈ R. Тодi для довiльної
функцiї f ∈ Cψ
β
в кожнiй точцi x ∈ R справедлива рiвнiсть
f(x)− TNn−1(f ;x) =
1
π
π∫
−π
δn(t+ x)
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt+
πβk
2
)
dt−
96 В.А. Войтович
− 1
π
π∫
−π
δn(t+ x)
∞∑
m=1
mN+n−1∑
k=mN−n+1
ψ(k) cos
(
kt+mNx+
πβk
2
)
dt, (18)
де δn(τ) = fψ
β
(τ) − tn−1(τ), tn−1(τ) — довiльний тригонометричний
полiном порядку, не вищого нiж n− 1.
Доведення. Виходячи з умови
∑∞
k=1 ψ(k) <∞ та з рiвностi (1), ко-
ефiцiєнти Фур’є ak та bk функцiї f ∈ Cψ
β
задаються спiввiдношеннями
ak =
ψ(k)
π
π∫
−π
fψ
β
(t) cos
(
kt+
πβk
2
)
dt, (19)
bk =
ψ(k)
π
π∫
−π
fψ
β
(t) sin
(
kt+
πβk
2
)
dt. (20)
Об’єднавши формули (4), (12), (13) i (19), (20), отримуємо
TNn (f ;x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
fψ
β
(t+ x)
n−1∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt+
πβk
2
)
dt+
+
1
π
π∫
−π
fψ
β
(t+ x)
∞∑
m=1
mN+n−1∑
k=mN−n+1
ψ(k) cos
(
kt+ nNx+
πβk
2
)
dt. (21)
Використовуючи (1) та (21), можемо записати:
f(x)− TNn (f ;x) =
1
π
π∫
−π
fψ
β
(t+ x)
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt+
πβk
2
)
dt−
− 1
π
π∫
−π
fψ
β
(t+ x)
∞∑
m=1
mN+n−1∑
k=mN−n+1
ψ(k) cos
(
kt+mNx+
πβk
2
)
dt. (22)
Взявши до уваги, що функцiї
Φ1(t) =
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt+
πβk
2
)
Наближення класiв цiлих функцiй . . . 97
та
Φ2(t) =
∞∑
m=1
mN+n−1∑
k=mN−n+1
ψ(k) cos
(
kt+mNx+
πβk
2
)
ортогональнi будь-якому тригонометричному полiному tn−1 порядку
не вищого нiж n− 1, отримуємо (18). Лему доведено.
Теорема 1. Нехай ψ ∈ D0, βk ∈ R, k ∈ N, n,N ∈ N, N > 2n − 1,
1 ≤ s ≤ ∞, i ω(t) — довiльний модуль неперервностi. Тодi для довiль-
ного x ∈ R при n→∞ виконуються рiвностi
E(Cψ
β,s
;TNn−1;x) =
‖ cos t‖s′
π
ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k), (23)
E(Cψ
β
Hω;TNn−1;x) =
2θω
π
ψ(n)
π
2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+O(1)ω
(
1
n
) ∞∑
k=n+1
ψ(k),
(24)
де θω = θω(n) ∈ [ 2
3 , 1], причому θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль
неперервностi.
Доведення. Розглянемо другий доданок у правiй частинi рiвностi
(18). Беручи до уваги вiдому нерiвнiсть
π∫
−π
ϕ(t)K(t)dt ≤ ‖ϕ‖s‖K‖s′ , (25)
ϕ ∈ Ls, K ∈ Ls′ ,
1
s
+
1
s′
= 1, 1 ≤ s ≤ ∞,
(див., наприклад, [7, с. 391]), отримаємо наступну оцiнку:∣∣∣∣∣ 1π
π∫
−π
δn(t+ x)
∞∑
m=1
mN+n−1∑
k=mN−n+1
ψ(k) cos
(
kt+mNx+
πβk
2
)
dt
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∥∥∥∥∥δn(t+ x)
∥∥∥∥∥
s
∥∥∥∥∥
∞∑
m=1
mN+n−1∑
k=mN−n+1
ψ(k) cos
(
kt+mNx+
πβk
2
)∥∥∥∥∥
s′
≤
98 В.А. Войтович
≤ En(fψ
β
)s
∥∥∥∥∥
∞∑
m=1
mN+n−1∑
k=mN−n+1
ψ(k)
∥∥∥∥∥
s′
≤ En(fψ
β
)s(2π)1/s
∞∑
k=n+1
ψ(k)dt,
(26)
де En(τ) = inf
tn
‖τ(x)− tn(x)‖s — найкраще наближення функцiї триго-
нометричними полiномами порядку не вище за n у просторi Ls.
Згiдно з лемою 2 i оцiнкою (26) для довiльної f ∈ Cψ
β,s
, βk ∈ R,
ψ ∈ D0, у кожнiй точцi x ∈ R має мiсце рiвнiсть
ρNn (f ;x) = ρn(f ;x) +O(1)En(fψ
β
)C
∞∑
k=n+1
ψ(k), 1 ≤ s ≤ ∞, (27)
де ρn(f ;x) = f(x)− Sn−1(f ;x).
Розглянувши верхнi межi вiд модулiв обох частин рiвностi (27) по
класу Cψ
β,s
, отримуємо:
E(Cψ
β,s
;TNn−1;x) = E(Cψ
β,s
;Sn−1;x) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k), (28)
де Sn−1 — частиннi суми Фур’є функцiї f .
У роботi [8] показано, що для довiльних ψ ∈ D0, βk ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞
при n→∞ виконується асимптотична рiвнiсть
E(Cψ
β,s
;Sn−1;x) =
‖ cos t‖s′
π
ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k). (29)
Об’єднавши формули (28) та (29), одержимо (23).
Розглянувши верхнi межi вiд модулiв обох частин рiвностi (27) по
класу Cψ
β
Hω та скориставшись нерiвнiстю Джексона (див., наприклад,
[9, c. 61], отримаємо асимптотичну рiвнiсть
E(Cψ
β
Hω;TNn−1;x) = E(Cψ
β
Hω;Sn−1;x) +O(1)ω
(
1
n
) ∞∑
k=n+1
ψ(k). (30)
У роботi [1, c. 295] показано, що для довiльних ψ ∈ D0, βk ∈ R
при n→∞ виконуються рiвностi
E(Cψ
β
Hω;Sn−1;x) =
4θω
π
ψ(n)
π
2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt+O(1)ω
(
1
n
) ∞∑
k=n+1
ψ(k).
(31)
Наближення класiв цiлих функцiй . . . 99
З (30) та (31) випливає (32). Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ D0, βk ∈ R, k ∈ N, n,N ∈ N, N > 2n − 1,
1 ≤ s ≤ ∞ . Тодi при n→∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E(Cψ
β,1
;TNn−1)Ls =
‖ cos t‖s
π
ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k). (32)
Доведення. Нехай f ∈ Cψ
β,1
, де ψ ∈ D0. Тодi на пiдставi рiвностi (27)
при X = L1 та iз врахуванням вiдомої нерiвностi
∥∥∥∥
π∫
−π
ϕ(t)K(t)dt
∥∥∥∥
s
≤ ‖ϕ‖1‖K‖s, ϕ ∈ L1, K ∈ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, (33)
(див., наприклад, [7, c. 43]), отримаємо
E(Cψ
β,1
;TNn−1)Ls = E(Cψ
β,1
;Sn−1)Ls +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k). (34)
В [10] показано, що для довiльних ψ ∈ D0, βk ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞
при n→∞, виконується асимптотична рiвнiсть
E(Cψ
β,1
;Sn−1)Ls =
‖ cos t‖s
π
ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k). (35)
Об’єднавши формули (34) та (35), одержимо (32). Теорему доведено.
Теорема 3. Нехай ψ ∈ D0, βk ∈ R, k ∈ N, n,N ∈ N, N > 2n − 1,
ω(t) — довiльний фiксований модуль неперервностi. Тодi при n → ∞
виконується рiвнiсть
E(Cψ
β
Hω1
;TNn−1)L1
=
2θ
(1)
ω
π
ψ(n)
π
2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt+O(1)ω
∞∑
k=n+1
ψ(k),
(36)
де θ(1)
ω = θ
(1)
ω (n) ∈ [ 1
2 , 1], причому θ(1)
ω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль
неперервностi.
100 В.А. Войтович
Доведення. Нехай f ∈ Cψ
β
Hω1 , де ψ ∈ D0. Тодi внаслiдок (27), при
X = L1 та з урахуванням нерiвностi Джексона в просторi L1 (див.,
наприклад, [9, c. 61]), отримуємо:
E(Cψ
β
Hω1
;TNn−1)L1
= E(Cψ
β
Hω1
;Sn−1)L1
+O(1)ω
(
1
n
) ∞∑
k=n+1
ψ(k). (37)
У роботi [1, c. 295] показано, що для довiльних ψ ∈ D0, βk ∈ R
при n→∞
E(Cψ
β
Hω1
;Sn−1)Ls =
=
2θ
(1)
ω
πp
ψ(n)
π
2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt+O(1)ω
(
1
n− p+ 1
) ∞∑
k=n+1
ψ(k). (38)
З формул (37) та (38) випливає (36). Теорему доведено.
Взявши до уваги, що при ψ(k) = e−αk
r
для довiльних r > 1, α > 0
має мiсце оцiнка
∞∑
k=n+1
ψ(k) = O(1)
(
1 +
1
αr(n+ 1)r−1
)
e−α(n+1)r ,
одержуємо наслiдки з теорем 1 – 3.
Наслiдок 1. Нехай α > 0, r > 1, βk ∈ R, k ∈ N, n,N ∈ N,
N > 2n − 1, 1 ≤ s ≤ ∞, i ω(t) — довiльний модуль неперервностi.
Тодi для довiльного x ∈ R при n→∞ виконуються рiвностi
E(Cα,r
β,s
;TNn−1;x) =
= e−αn
r
(
‖ cos t‖s′
π
+O(1)
(
1 +
1
αr(n+ 1)r−1
)
e−α(n+1)r
e−αnr
)
, (39)
E(Cα,r
β
Hω;TNn−1;x) = e−αn
r
(
2θω
π
π
2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
+O(1)ω
(
1
n
)(
1 +
1
αr(n+ 1)r−1
)
e−α(n+1)r
e−αnr
)
, (40)
де θω = θω(n) ∈ [ 2
3 , 1], причому θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль
неперервностi.
Наближення класiв цiлих функцiй . . . 101
Наслiдок 2. Нехай α > 0, r > 1, βk ∈ R, k ∈ N, n,N ∈ N, N > 2n−1,
1 ≤ s ≤ ∞ . Тодi при n→∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E(Cα,r
β,1
;TNn−1)Ls =
= e−αn
r
(
‖ cos t‖s
π
+O(1)
(
1 +
1
αr(n+ 1)r−1
)
e−α(n+1)r
e−αnr
)
. (41)
Наслiдок 3. Нехай α > 0, r > 1, βk ∈ R, k ∈ N, n,N ∈ N,
N > 2n− 1, ω(t) — довiльний фiксований модуль неперервностi. Тодi
при n→∞ виконується рiвнiсть
E(Cα,r
β
Hω1
;TNn−1)L1
= e−αn
r
(
2θ
(1)
ω
π
π
2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt+
+O(1)ω
(
1
n
)(
1 +
1
αr(n+ 1)r−1
)
e−α(n+1)r
e−αnr
)
, (42)
де θ(1)
ω = θ
(1)
ω (n) ∈ [ 1
2 , 1], причому θ(1)
ω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль
неперервностi.
Лiтература
[1] Степанец А.И. Методы теории приближений. В 2-х ч. — Працi Iнсти-
туту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН України,
2002. — 40. — Ч. 1. — 468 c.
[2] Калашников М.Д. Про деякi методи наближення неперервних функцiй
тригонометричними полiномами // Доповiдi АН УРСР— 1956. — № 2. —
С. 113 – 117.
[3] Рубан П.И., Красильников К.В. Об одном методе приближения триго-
нометрическими полиномами функций, удовлетворяющих условию Ли-
пшица // Изв. высш. учебн. завед. — 1960. — 1, № 14. — С. 194 – 197.
[4] Павловский Н.М. Об одном методе приближения дифференциируемых
функций тригонометрическими многочленами // Изв. высш. учебн. за-
вед. — 1964. — 4, № 41. — С. 119 – 125.
[5] Павловский Н.М. Об одном методе приближения периодических фун-
кций тригонометрическими многочленами // Изв. высш. учебн. за-
вед. — 1966. — 4, № 53. — С. 66 – 73.
102 В.А. Войтович
[6] Сердюк А.С., Войтович В.А. Наближення на класах цiлих функцiй
iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена // Зб. праць Iн-ту ма-
тематики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН України, 2010. —
7, №1. — C. 274 – 297.
[7] Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. — М.: Нау-
ка, 1987. — 423 с.
[8] Сердюк А.С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в
рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 8. — C. 1079 —
1096.
[9] Степанец А.И. Методы теории приближений. В 2-х ч. — Працi Iнсти-
туту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН України,
2002. — 40. — Ч. 2. — 468 c.
[10] Сердюк А.С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в
метрицi простору Lp // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 10. — C. 1395 –
1408.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-105 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:29Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/37/604aee7e0b12e653e0d3ac24d511ca37.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1052018-02-13T13:58:16Z Approximations of entire functions by polynomials of the best standard approximation Наближення класів цілих функцій поліномами найкращого середньоквадратичного наближення Vojtovich, V. A. Войтович, В. А. We find asymptotic equality for the top limits of approaching by the polynomials of best mean approximation on classes of $2\pi$--periodic functions $C^\psi_{\overline\beta,s}$, $1\leq s \leq\infty$, and $C^\psi_{\overline\beta}H_\omega$, that are set by multipliers $\psi(k)$ and by shifts forward an argument $\beta_k$ on condition that sequences $\psi(k)$ fall to the zero more quickly, than any geometrical progression (in this case functions from the noted classes assume regular extension upon the whole complex plane). Знайдено асимптотичні рівності для точних верхніх меж наближень поліномами найкращого середньоквадратичного наближення на класах $2\pi$--періодичних функцій \mbox{$C^\psi_{\overline\beta,s},~1\leq s\leq \infty$,} та $C^\psi_{\overline\beta}H_\omega$, що задаються мультиплікаторами$\psi(k)$ і зсувами по аргументу $\beta_k$ за умови, що послідовності $\psi(k)$ спадають до нуля швидше, ніж будь-яка геометрична прогресія (в цьому випадку функції із зазначених класів допускають регулярне продовження на всю комплексну площину). Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/105 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 90–102 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 90–102 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 90–102 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/105/98 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Vojtovich, V. A. Войтович, В. А. Approximations of entire functions by polynomials of the best standard approximation |
| title | Approximations of entire functions by polynomials of the best standard approximation |
| title_alt | Наближення класів цілих функцій поліномами найкращого середньоквадратичного наближення |
| title_full | Approximations of entire functions by polynomials of the best standard approximation |
| title_fullStr | Approximations of entire functions by polynomials of the best standard approximation |
| title_full_unstemmed | Approximations of entire functions by polynomials of the best standard approximation |
| title_short | Approximations of entire functions by polynomials of the best standard approximation |
| title_sort | approximations of entire functions by polynomials of the best standard approximation |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/105 |
| work_keys_str_mv | AT vojtovichva approximationsofentirefunctionsbypolynomialsofthebeststandardapproximation AT vojtovičva approximationsofentirefunctionsbypolynomialsofthebeststandardapproximation AT vojtovichva nabližennâklasívcílihfunkcíjpolínomaminajkraŝogoserednʹokvadratičnogonabližennâ AT vojtovičva nabližennâklasívcílihfunkcíjpolínomaminajkraŝogoserednʹokvadratičnogonabližennâ |