Ridge approximation of some classes of harmonic functions
Sharp values of ridge approximation of classes of functions harmonic inside unit disk and ring, which have boundary values from rather arbitrary classes of convolutions, are obtained
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/106 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552510757011456 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Levchenko, D. A. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. |
| author_facet | Babenko, V. F. Levchenko, D. A. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Днипровский национальный университетимени Олеся Гончара"
},
{
"author": "",
"institution": "Днипровский национальный университетимени Олеся Гончара"
}
] |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | Sharp values of ridge approximation of classes of functions harmonic inside unit disk and ring, which have boundary values from rather arbitrary classes of convolutions, are obtained |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 7�17
ÓÄÊ 517.5
Â.Ô. Áàáåíêî, Ä.À. Ëåâ÷åíêî (Äíiïðîïåòðîâñüêèé íàöiîíàëüíèé
óíiâåðñèòåò iì. Îëåñÿ Ãîí÷àðà)
ÐÅËÜÅÔÍÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ
ÊËÀÑÑΠÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Sharp values of ridge approximation of classes of functions harmonic inside
unit disk and ring, which have boundary values from rather arbitrary classes
of convolutions, are obtained.
Çíàéäåíi íîâi òî÷íi îöiíêè ðiâíîðîçïîäiëåíî¨ ðåëü¹ôíî¨ àïðîêñèìàöi¨
êëàñiâ ãàðìîíi÷íèõ â îäèíè÷íîìó êðóçi òà êiëüöi ôóíêöié, ùî íà ìåæàõ
öèõ îáëàñòåé íàëåæàòü äîñèòü äîâiëüíèì êëàñàì çãîðòîê.
Íàéäåíû òî÷íûå îöåíêè ðàâíîðàñïðåäåëåííîé ðåëüåôíîé àïïðîêñèìàöèè
êëàññîâ ãàðìîíè÷åñêèõ â åäèíè÷íîì êðóãå è êîëüöå ôóíêöèé, êîòîðûå íà
ãðàíèöàõ ýòèõ îáëàñòåé ïðèíàäëåæàò äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíûì êëàñ-
ñàì ñâåðòîê.
 äàííîé ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è ðàâíîðàñïðåäåëåííîé
ðåëüåôíîé àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ åäèíè÷íîãî
êðóãà è êîëüöà â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå.
Ïðèâåäåì íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ.
Ïóñòü T � åäèíè÷íàÿ îêðóæíîñòü íà ïëîñêîñòè R2 ðåàëèçîâàííàÿ
êàê îòðåçîê [0, 2π] ñ îòîæäåñòâëåííûìè êîíöàìè, B � åäèíè÷íûé
êðóã B = {x = (x1, x2) ∈ R2 : |x| =
√
x2
1 + x2
2 < 1}, à D = {x =
(x1, x2) ∈ R2 : r <
√
x2
1 + x2
2 < R} � êîëüöî (0 < r < R). Äëÿ
ìíîæåñòâà G ∈ {T, B,D} ÷åðåç C(G) è Lp(G)(1 ≤ p ≤ ∞) áóäåì
îáîçíà÷àòü ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé f : G → R ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
íîðìàìè ‖ · ‖C(G) è ‖ · ‖Lp(G).
Ââåäåì êëàññû ôóíêöèé. Êàê îáû÷íî, ñâåðòêó K ∗ ϕ ôóíêöèé
K, ϕ ∈ L1(T) (K � ÿäðî ñâåðòêè) îïðåäåëèì ðàâåíñòâîì
(K ∗ ϕ)(x) =
2π∫
0
K(x− t)ϕ(t)dt.
c© Â.Ô. Áàáåíêî, Ä.À. Ëåâ÷åíêî, 2013
8 Â.Ô. Áàáåíêî, Ä.À. Ëåâ÷åíêî
Ïîëîæèì
µ(K) =
{
1, K ⊥ 1,
0, K 6⊥ 1.
Äëÿ çàäàííîãî ÿäðà K è ìíîæåñòâà F ⊂ L1(T) îáîçíà÷èì ÷åðåç K∗F
ìíîæåñòâî ôóíêöèé, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå
f(x) = aµ(K) + (K ∗ ϕ)(x), a ∈ R, ϕ ∈ F, ϕ⊥µ(K).
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó Äèðèõëå â åäèíè÷íîì êðóãå è êîëü-
öå. Çàäà÷à Äèðèõëå â åäèíè÷íîì êðóãå � ýòî çàäà÷à î íàõîæäåíèè
ãàðìîíè÷åñêîé â B è íåïðåðûâíîé â çàìûêàíèè B îáëàñòè B ôóíê-
öèè u(·, ·) òàêîé, ÷òî
4u = 0, u(cos t, sin t) = f(t), (1)
ãëå f � çàäàííàÿ 2π-ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.
Çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ êîëüöà � ýòî çàäà÷à î íàõîæäåíèè ãàðìîíè-
÷åñêîé â D è íåïðåðûâíîé â çàìûêàíèè D îáëàñòè D ôóíêöèè u(·, ·)
òàêîé, ÷òî
4u = 0, u(R cos t, R sin t) = f1(t), u(r cos t, r sin t) = f2(t), (2)
ãäå f1, f2 � çàäàííûå 2π-ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè.
Äëÿ çàäàííûõ ÿäåð K0,K1,K2 ÷åðåç (K0 ∗ F )H(B) è (K1,2 ∗
F1,2)H(D) áóäåì îáçíà÷àòü ìíîæåñòâà ðåøåíèé çàäà÷ (1) è (2) ñî-
îòâåòñâåííî ñ f ∈ K0 ∗ F, f1 ∈ K1 ∗ F1, f2 ∈ K2 ∗ F2.
Ïóñòü ω(t) � çàäàííûé ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè. ×åðåç Hω áó-
äåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ 2π-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíê-
öèé, èìåþùèõ çàäàííóþ ìàæîðàíòó ω(t) ìîäóëåé íåïðåðûâíîñòè.
Íèæå â êà÷åñòâ ìíîæåñòâ F, F1, F2 áóäåì ðàññìàòðèâàòü åäèíè÷-
íûé øàð Fp â ïðîñòðàíñòâå L∞(T) èëè êëàññû òèïà Hω.
Åñëè X åñòü C(G) èëè Lp(G) è H � ïîäïðîñòðàíñòâî X, òî äëÿ
ôóíêöèè f ∈ X âåëè÷èíà
E(f,H)X = inf
u∈H
‖f − u‖X
íàçûâàåòñÿ íàèëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì ïîäïðîñòðàíñòâîì H â ìåò-
ðèêå ïðîñòðàíñòâà X. Çàäà÷à íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ êëàññà
Ðåëüåôíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ . . . 9
M ⊂ X ïîäïðîñòðàíñòâîì H çàêëþ÷àåòñÿ â îòûñêàíèè âåëè÷èíû
E(M,H)X = sup
f∈M
E(f,H)X .
Äëÿ ôóíêöèé çàäàííûõ íà T â êà÷åòâå àïïðîêñèìèðóþùåãî ïîä-
ïðîñòðàíñòâà áóäåì ðàññìàòðèâàòü FT
2n−1, n = 1, 2, . . . , � ïîäïðî-
ñòðàíñòâî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ ïîðÿäêà íå âûøå n − 1.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Hn
p (T) êëàññ òåõ ôóíêöèé èç Fp, êîòîðûå îðòîãî-
íàëüíû ïîäïðîñòðàíñòâó FT
2n−1. Äëÿ ôóíêöèé çàäàííûõ íà B èëè D
â êà÷åñòâå àïïðîêñèìèðóþùèõ áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîäïðîñòðàí-
ñòâà P2
n àëãåáðàè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ âèäà
P (x) =
∑
k,l≥0,
k+l≤n
aklx
k
1xl
2,
à òàêæå ìíîæåñòâî W eq
n ðåëüåôíûõ ôóíêöèé ñ n ðàâíîðàñïðåäåëåí-
íûìè íàïðàâëåíèÿìè, ò.å. ìíîæåñòâî ôóíêöèé âèäà
R(x) =
n∑
j=1
Wj(x · θj),
ãäå Wj : R → R � íåïðåðûâíûå ôóíêöèè îäíîé äåéñòâèòåëüíîé
ïåðåìåííîé (âîëíîâûå ïðîôèëè), x · θj = x1 cos πj
n + x2 sin πj
n . Äëÿ
ïîäïðîñòðàíñòâà FT
2n−1 áóäåì èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíûå ñîêðàùå-
íèÿ E(f, FT
2n−1)X = En(f)X è E(M, FT
2n−1)X = En(M)X .
Êàê õîðîøî èçâåñòíî,
P2
n−1 ⊆ W eq
n .
Íåêîòîðûå èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû ïî ðåëüåôíîé àïïðîêñèìàöèè
êëàññîâ ôóíêöèé ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [1 � 5].
Öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå òî÷íûõ îöåíîê ðå-
ëüåôíîé àïïðîêñèìàöèè íåêîòîðûõ êëàññîâ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíê-
öèé. Ìû, âî-ïåðâûõ, ïîëó÷èì âåñüìà øèðîêîå îáîáùåíèå ðåçóëüòà-
òîâ ðàáîòû [5], è, âî-âòîðûõ, èõ àíàëîãè äëÿ êëàññîâ ôóíêöèé, çà-
äàííûõ â êîëüöå.
Íèæå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÿäðà ñâåðòîê óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùå-
ìó óñëîâèþ (ñì., íàïðèìåð, [6, c. 309]).
10 Â.Ô. Áàáåíêî, Ä.À. Ëåâ÷åíêî
Óñëîâèå N∗
n. Ñóùåñòâóåò ïîëèíîì T ∗n,j ∈ FT
2n−1 è ïî ìåíüøåé
ìåðå îäíà òî÷êà ξj
0 ∈ [0, π
n ] òàêèå, ÷òî ðàçíîñòü Kj(x)−T ∗n,j(x) ìåíÿåò
çíàê íà T â òî÷êàõ xj
k = ξj
0 + kπ
n , n = 0, 1, . . . , 2n − 1, j = 0, 1, 2, è
òîëüêî â íèõ.
Óñëîâèå N∗
n áûëî ââåäåíî Ñ.Ì. Íèêîëüñêèì [7], ïðè ðàññìîòðå-
íèè çàäà÷ íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ êëàññîâ ñâåðòîê. Ýòî óñëîâèå
ïîçâîëÿåò íàéòè íàèëó÷øèå L1-ïðèáëèæåíèÿ ÿäðà K òðèãîíîìåò-
ðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè.
Óñëîâèþ N∗
n óäîâëåòâîðÿþò ïðàêòè÷åñêè âñå âàæíûå äëÿ òåîðèè
ïðèáëèæåíèÿ ÿäðà. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïðèìåðû ÿäåð, óäîâëåòâî-
ðÿþùèõ ýòîìó óñëîâèþ.
1. ßäðà Áåðíóëëè (cì., íàïðèìåð, [8 � 10])
Br(t) =
1
π
∞∑
k=1
cos(kt− πr
2 )
kr
, r ∈ N.
2. ßäðà Br,θ
Br,θ(t) =
1
π
∞∑
k=1
cos(kt− πθ
2 )
kr
, r > 0, θ ∈ R.
Ïî ïîâîäó èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ î íàèëó÷øèõ L1-ïðèáëèæåíèÿõ
ÿäåð Br,θ è áîëåå îáùèõ ÿäåð, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ïåðèîäè÷åñêèõ
èíòåãðàëîâ îò àáñîëþòíî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé ñì. ðàáîòû [11 � 13].
3. ßäðà Íàäÿ (cì., íàïðèìåð, [14]).
a)
K(t) =
∞∑
k=n
′
µk cos kt, n = 0, 1, 2, . . . ,
(çäåñü
∞∑
k=n
′
îçíà÷àò, ÷òî åñëè n = 0, òî ïåðâûé ÷ëåí íóæíî ðàç-
äåëèòü íà 2) ãäå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà µk, µk+1, . . . îáðàçóþò ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê íóëþ è òðè ðàçà ìîíîòîííóþ:
∆k = µk − µk+1 ≥ 0, ∆2
k = ∆k −∆k+1 ≥ 0, ∆3
k = ∆2
k −∆2
k+1 ≥ 0 (k =
n, n + 1, . . .).
Ðåëüåôíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ . . . 11
b)
K(t) =
∞∑
k=n
νk sin kt, n = 1, 2, . . . ,
ãäå
∞∑
k=n
νk
k < ∞ è ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà νk, νk+1, . . . îáðàçóþò ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê íóëþ è äâà ðàçà ìîíîòîííóþ.
4. CV D-ÿäðà (cì., íàïðèìåð, [15], [16]). Íåïðåðûâíîå íà T è
íå ÿâëÿþùååñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ïîëèíîìîì ÿäðî K íàçûâàåòñÿ
CV D-ÿäðîì, åñëè ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà íà ïåðèîäå ôóíêöèè aµ+K∗ϕ
íå áîëüøå ÷åì êîëè÷åñòâî ïåðåìåí çíàêà íà ïåðèîäå ôóíêöèè ϕ äëÿ
ëþáûõ ϕ ∈ C(T), ϕ⊥µ(K), a ∈ R. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî CV D-ÿäðà
ñàìè îáðàçóþò âåñüìà øèðîêóþ è âàæíóþ äëÿ òåîðèè àïïðîêñèìà-
öèè ñîâîêóïíîñòü ÿäåð.
5. Åñëè íåïðåðûâíîå íà (0, 2π) ÿäðî K îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì,
÷òî äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà T ∈ FT
2n−1 ðàçíîñòü K−T èìååò íà ïåðèîäå
íå áîëåå 2n ïåðåìåí çíàêà, òî ÿäðî K óäîâëåòâîðÿå óñëîâèþ N∗
n.
Òåïåðü ïåðåéäåì ê ôîðìóëèðîâêå è äîêàçàòåëüñòâó îñíîâíûõ ðå-
çóëüòàòîâ ýòîãî ðàçäåëà.
Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáûõ ñóììèðóåìûõ ÿäåð K0(t),K1(t),K2(t),
óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ N∗
n, ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
E
(
(K0 ∗ F∞)H(B),W eq
n
)
C(B)
= E
(
(K0 ∗ F∞)H(B),P2
n−1
)
C(B)
=
= En(K0)L1(T) = ‖K0 ∗ ϕn‖C(T), (3)
E
(
(K1,2 ∗ F∞)H(D),W eq
n
)
C(D)
= E
(
(K1,2 ∗ F∞)H(D),P2
n−1
)
C(D)
=
= max
{
En(K1)L1(T), En(K2)L1(T)
}
=
= max
{
‖K1 ∗ ϕn‖C(T), ‖K2 ∗ ϕn‖C(T)
}
, (4)
ãäå ϕn(t) = sign sinnt.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ðàáîòå [5] ïðè ïîëó÷åíèè îöåíêè ñâåðõó âåëè-
÷èíû E(W r
∞,W eq
n )C(B) = E(Br ∗ F∞,W eq
n )C(B) èñïîëüçîâàëèñü ñëå-
äóþùàÿ öåïî÷êà íåðàâåíñòâ. Ïóñòü A2
n ìíîæåñòâî ãàðìîíè÷åñêèõ
ìíîãî÷ëåíîâ èç P2
n. Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè u, ÿâëÿþùåéñÿ ðåøå-
íèåì çàäà÷è (1) ñ íåïðåðûâíîé ãðàíè÷íîé ôóíêöèåé f , ñïðàâåäëèâû
12 Â.Ô. Áàáåíêî, Ä.À. Ëåâ÷åíêî
ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà
E (u, W eq
n )C(B) ≤ E
(
u,P2
n−1
)
C(B)
≤ E
(
u,A2
n−1
)
C(B)
= En(f)C(T).
(5)
Àíàëîãè÷íóþ îöåíêó ìîæíî ïîëó÷èòü è äëÿ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè
u, ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (2) ñ ãðàíè÷íûìè ôóíêöèÿìè f1, f2.
Î÷åâèäíî, ÷òî
E (u, W eq
n )C(D) ≤ E
(
u,P2
n−1
)
C(D)
≤ E
(
u,A2
n−1
)
C(D)
. (6)
Äàëåå, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî ñóæåíèé íà îêðóæíîñòü ãàðìîíè÷åñêèõ
ìíîãî÷ëåíîâ ñîâïàäàåò ñ ïîäïðîñòðàíñòâîì FT
2n−1, à òàêæå â ñèëó
ïðèíöèïà ìàêñèìóìà äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëó÷èì,
E
(
u,A2
n−1
)
C(D)
= max
{
En(f1)C(T), En(f2)C(T)
}
,
÷òî âìåñòå ñ (6) äàåò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ
E (u, W eq
n )C(D) ≤ E
(
u,P2
n−1
)
C(D)
≤ E
(
u,A2
n−1
)
C(D)
=
= max
{
En(f1)C(T), En(f2)C(T)
}
. (7)
Åùå îäíèì ñóùåñòâåííûì ôàêòîì äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ñâåðõó ÿâ-
ëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå (ñì., íàïðèìåð, [6, c. 79]). Äëÿ ëþáî-
ãî ñóììèðóåìîãî ÿäðà K(t), óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ N∗
n è ôóíê-
öèè f = K ∗ ϕ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
sup
‖ϕ‖L∞(T)≤1
En(f)C(T) = En(K)L1(T) = ‖K ∗ ϕn‖C(T). (8)
Èç (5), (7) è (8) î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî
E
(
(K0 ∗ F∞)H(B),W eq
n
)
C(B)
≤ E
(
(K0 ∗ F∞)H(B),P2
n−1
)
C(B)
≤
≤ En(K0)L1(T) = ‖K0 ∗ ϕn‖C(T) (9)
è
E
(
(K1,2 ∗ F∞)H(D),W eq
n
)
C(D)
≤ E
(
(K1,2 ∗ F∞)H(D),P2
n−1
)
C(D)
≤
Ðåëüåôíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ . . . 13
≤ max
{
En(K1)L1(T), En(K2)L1(T)
}
=
= max
{
‖K1 ∗ ϕn‖C(T), ‖K2 ∗ ϕn‖C(T)
}
. (10)
Íóæíûå îöåíêè ñâåðõó ïîëó÷åíû.
Ïðè ïîëó÷åíèè îöåíîê ñíèçó áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèå
äâîéñòâåííîñòè äëÿ íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì
(ñì., íàïðèìåð, [6, c. 34]). Â [5] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèîíàë
Φ(u) =
1
2n
2n∑
k=1
(−1)ku(cos γk, sin γk), γk =
(2k + 1)π
2n
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Φ ∈ C(B)∗, ‖Φ‖ ≤ 1 è Φ ⊥ W eq
n . Îòñþäà
è èç óïîìÿíóòîé òåîðåìû äâîéñòâåííîñòè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé
ôóíêöèè u ∈ (K0 ∗ F∞)H ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå
E(u, W eq
n )C(B2) ≥ Φ(u).
Ïîëîæèì
f∗0 (x) = (K ∗ ϕn)(x− τ0),
ãäå τ0 âûáðàíî òàê, ÷òîáû äëÿ k = 0,±1,±2, . . . áûëî
f∗0
(
2kπ
n
)
= ‖K0 ∗ ϕn‖C(T),
è
f∗0
(
(2k + 1)π
n
)
= −‖K0 ∗ ϕn‖C(T)
(ÿñíî, ÷òî òàêîå τ0 ñóùåñòâóåò).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç u∗ ðåøåíèå çàäà÷è (1) ñ ãðàíè÷íîé ôóíêöèåé
f∗0
(
t− π
2n
)
. Ïîñêîëüêó
u∗(cos γk, sin γk) = f∗0
(
γk −
π
2n
)
= (−1)k‖K0 ∗ ϕn‖L∞(T),
òî
Φ(u∗) =
1
2n
2n∑
k=1
(−1)ku∗(cos γk, sin γk) = ‖K0 ∗ ϕn‖L∞(T).
14 Â.Ô. Áàáåíêî, Ä.À. Ëåâ÷åíêî
Ñëåäîâàòåëüíî
E(u∗,W eq
n )C(B2) ≥ ‖K0 ∗ ϕn‖L∞(T),
÷òî âìåñòå ñ (9) äàåò (3).
Äîêàæåì òåïåðü ðàâåíñòâî (4). Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî
ñäåëàíî â [5] äëÿ ôóíêöèîíàëà Φ, íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèî-
íàë
Φρ(u) =
1
2n
2n∑
k=1
(−1)ku(ρ cos γk, ρ sin γk)
γk = (2k+1)π
2n , ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì ρ > 0 óäîâëåòâîðÿåò ñîîò-
íîøåíèÿì Φρ ∈ C(D)∗, ‖Φρ‖ ≤ 1 è Φρ ⊥ W eq
n .
Ââåäåì äâå ôóíêöèè
f∗1 (x) = (K1 ∗ ϕn)(x− τ1)
è
f∗2 (x) = (K2 ∗ ϕn)(x− τ2),
ãäå τi, i = 1, 2 âûáðàíû òàê, ÷òîáû äëÿ k = 0,±1,±2, . . . áûëî
f∗i
(
2kπ
n
)
= ‖Ki ∗ ϕn‖C(T),
è
f∗i
(
(2k + 1)π
n
)
= −‖Ki ∗ ϕn‖C(T)
(ÿñíî, ÷òî òàêèå τi ñóùåñòâóþò).
Ôóíêöèè f∗1 è f∗2 ïðèíàäëåæàò K1 ∗F∞ è K2 ∗F∞ ñîîòâåòñòâåííî.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç u∗∗ ðåøåíèå çàäà÷è (2) ñ ãðàíè÷íûìè ôóíêöèÿìè
f∗1
(
t− π
2n
)
è f∗2
(
t− π
2n
)
. Áóäåì èìåòü
u∗∗(R cos γk, R sin γk) = f∗1
(
γk −
π
2n
)
= (−1)k‖K1 ∗ ϕn‖C(T),
u∗∗(r cos γk, r sin γk) = f∗2
(
γk −
π
2n
)
= (−1)k‖K2 ∗ ϕn‖C(T).
Ðåëüåôíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ . . . 15
Ñëåäîâàòåëüíî,
ΦR(u∗∗) =
1
2n
2n∑
k=1
(−1)ku∗∗(R cos γk, R sin γk) = ‖K1 ∗ ϕn‖C(T),
Φr(u∗∗) =
1
2n
2n∑
k=1
(−1)ku∗∗(r cos γk, r sin γk) = ‖K2 ∗ ϕn‖C(T),
÷òî âìåñòå ñ óæå óïîìèíàâøåéñÿ òåîðåìîé äâîéñòâåííîñòè äàåò
E
(
(K1,2 ∗ F∞)H(D),W eq
n
)
C(D)
≥
≥ max {ΦR(u∗∗), Φr(u∗∗)} ≥
≥ max
{
‖K1 ∗ ϕn‖C(T), ‖K2 ∗ ϕn‖C(T)
}
.
Îòñþäà è èç (10) ñëåäóåò (4). Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê ðåëüåôíîé àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèé çàäà÷è
Äèðèõëå äëÿ êðóãà â ñëó÷àå, êîãäà ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëå-
æèò êëàññó K ∗ Hω è çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ êîëüöà â ñëó÷àå, êîãäà
ãðàíè÷íûå ôóíêöèè ïðèíàäëåæàò êëàññàì K1 ∗Hω1 è K2 ∗Hω2 .
 ðàáîòå Í. Ï. Êîðíåé÷óêà [17] äëÿ êëàññîâ Br ∗Hω ñ âûïóêëûì
ââåðõ ω áûëè íàéäåíû òî÷íûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí En(Br ∗ Hω)C(T).
 ðàáîòå [18] ïåðâûì èç àâòîðîâ ýòè ðåçóëüòàòû áûëè îáîáùåíû íà
ñëó÷àé êëàññîâ ñâåðòîê ïðîèçâîëüíîãî CV D-ÿäðà ñ ôóíêöèÿìè èç
Hω. Ñôîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå â [18] ðåçóëüòàòû.
Îïðåäåëèì ôóíêöèþ fn, ω ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì äëÿ
x ∈ [0, π/(2n)]
fn, ω(x) =
1
2
ω(2x).
Äëÿ x ∈ [π/(2n), π/n] ïîëîæèì
fn, ω(x) =
1
2
ω(2(π/n− x)).
Äëÿ x ∈ [−π/n, 0] ïîëîæèì fn, ω(x) = fn, ω(−x), à çàòåì ïðîäîëæèì
ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ ñ ïåðèîäîì 2π/n íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü.
16 Â.Ô. Áàáåíêî, Ä.À. Ëåâ÷åíêî
 [17] äëÿ K = Br è â [18] äëÿ ïðîèçâîëüíîãî CV D-ÿäðà äîêàçà-
íî, ÷òî åñëè ω � âûïóêëûé ââåðõ ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè, òî
En(K ∗Hω)C(T) = ‖K ∗ fn,ω‖C(T).
Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê áûëà äîêàçà-
íà òåîðåìà 1, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ñïðàâåäëèâà (íèæå ÷åðåç (K1,2 ∗
(Hω1 ,Hω1))H(D) îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäà÷è (2) ñ f1 ∈
K1 ∗Hω1 è f2 ∈ K2 ∗Hω2)
Òåîðåìà 2. Äëÿ ëþáûõ CV D-ÿäåð K0(t),K1(t),K2(t) è ëþáûõ
âûïóêëûõ ââåðõ ìîäóëåé íåïðåðûâíîñòè ω0, ω1, ω2 ñïðàâåäëèâû ñî-
îòíîøåíèÿ
E
(
(K0 ∗Hω0)H(B),W eq
n
)
C(B)
= E
(
(K0 ∗Hω0)H(B),P2
n−1
)
C(B)
=
= ‖K0 ∗ fn, ω0‖C(T),
E
(
(K1,2 ∗ (Hω1 ,Hω2))H(D),W eq
n
)
C(D)
=
= E
(
(K1,2 ∗ (Hω1 ,Hω2))H(D),P2
n−1
)
C(D)
=
= max
{
‖K1 ∗ fn, ω1‖C(T), ‖K2 ∗ fn, ω2‖C(T)
}
.
1. Îñêîëêîâ Ê.È.Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå ìåòîäû ðåëüåôíîé àïïðîêñèìàöèè
(Ìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ ôóíêöèé è ñìåæíûå âîïðîñû àíàëèçà). � Ì.: ÀÔÖ,
1999. � Ñ. 165 � 195.
2. Davison M.E., Grunbaum F.A. Tomographic reconstruction with arbitrary
directions // Comm. Pure Appl. Math. � 1981. � 34. � P. 77 � 120.
3. Majorov V.E. On best approximation by ridge functions // Preprint.
Department of Mathematics, Technion, Haifa, Israel, 1997.
4. Majorov V.E. On best approximation by ridge functions // Preprint.
Department of Mathematics, Technion, Haifa, Israel, January 4,1998.
5. Áàáåíêî Â.Ô., Ëåâ÷åíêî Ä.À. Ðàâíîðàñïðåäåëåííàÿ ðåëüåôíàÿ àïïðîêñè-
ìàöèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé // Óêð. ìàò. æóðí. �
2012. � 64, �10. � C. 1427 � 1432.
6. Êîðíåé÷óê Í.Ï. Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è òåîðèè ïðèáëèæåíèÿ. � Ì., 1976.
� 320 ñ.
Ðåëüåôíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ . . . 17
7. Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíî-
ìàìè â ñðåäíåì // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. � 1946. � 10, �3. �
Ñ. 207 � 256.
8. Àõèåçåð Í.È., Êðåéí Ì.Ã. Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè òðèãîíîìåòðè÷å-
ñêèìè ñóììàìè äèôôåðåíöèðóåìûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé // Äîêë. ÀÍ
ÑÑÑÐ. � 1937. � 15. � Ñ. 107 � 112.
9. Favàrd J. Application de la formule sommatoire d'Eulerala demonstration
de quelques proprietes des integrates des fonctions periodqiues ou presque-
periodiques // Matematisk Tidskrift, Kobenhavn. Â. Í. � 1936. � 4. � P. 81 �
94.
10. Favard J. Sur ies meilleurs procedes d'approximation de certains classes de
fonctions par des polynomes trigonometriques // Bull. deSci. Math. � 1937.
� 61, � 1. � P. 209 � 224, 243 � 256.
11. Äçÿäûê Â. Ê. Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè íà êëàññå ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíê-
öèé, èìåþùèõ îãðàíè÷åííóþ s-þ ïðîèçâîäíóþ (0 < s < 1) // Èçâ. ÀÍ
ÑÑÑÐ, Ñåð. ìàòåì. � 1953. � 17. � Ñ. 135 � 162.
12. Äçÿäûê Â. Ê.Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè íà êëàññàõ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíê-
öèé, îïðåäåëÿåìûõ ÿäðàìè, ÿâëÿþùèìèñÿ èíòåãðàëàìè îò àáñîëþòíî ìî-
íîòîííûõ ôóíêöèé // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, Ñåð. ìàòåì. � 1959. � 23. � Ñ. 933 �
950.
13. Äçÿäûê Â.Ê. Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè íà êëàññàõ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíê-
öèé, îïðåäåëÿåìûõ èíòåãðàëàìè îò ëèíåéíîé êîìáèíàöèè àáñîëþòíî ìî-
íîòîííûõ ÿäåð // Ìàòåì. çàìåòêè. � 1974. � 16, �5. � Ñ. 691 � 701.
14. Nagó Â. Uber gewisse Extermalfragen bei transformierten trigonometrischen
Entwicklungen // I. Periodiescher Fall, Berichte der math.- phys. Kl. Akademie
d. Wiss. zu Leipzig. � 1938. � 90. � P. 103 � 134.
15. Áàáåíêî Â.Ô. Ïðèáëèæåíèå êëàññîâ ñâåðòîê // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷å-
ñêèé æóðíàë. � 1987. � 28, �5. � Ñ. 6 � 21.
16. Pinkus A. On n-widths on periodic functions // J. Anal. Math. � 1979. � 35.
� P. 209 � 235.
17. Êîðíåé÷óê Í.Ï. Ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëîâ è íàèëó÷øåå
ïðèáëèæåíèå íà êëàññàõ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. �
1971. � 35, �1. � Ñ. 93 � 124.
18. Áàáåíêî Â.Ô. Íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ êëàññîâ ôóíêöèé, çàäàâàåìûõ ñ
ïîìîùüþ ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè // Óêð. ìàò. æóðí. � 1992. � 44, �5. �
Ñ. 579 � 589.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-106 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:35Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e1/77857350d034272ec871470970d6a6e1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1062018-01-29T14:44:27Z Ridge approximation of some classes of harmonic functions Рельефная аппроксимация некоторых классов гармонических функций Рельефная аппроксимация некоторых классов гармонических функций Babenko, V. F. Levchenko, D. A. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. Sharp values of ridge approximation of classes&nbsp;of functions harmonic inside unit disk and ring, which have boundary values from rather arbitrary classes of convolutions, are obtained Найдены точные оценки равнораспределенной рельефной аппроксимации классов гармонических в единичном круге и кольце функций, которые на границах этих областей принадлежат достаточно произвольным классам сверток Знайдені нові точні оцінки рівнорозподіленої рельєфної апроксимації класів гармонічних в одиничному крузі та кільці функцій, що на межах цих областей належать досить довільним класам згорток Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/106 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 7-17 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 7-17 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 7-17 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/106/96 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Levchenko, D. A. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. Ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title | Ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_alt | Рельефная аппроксимация некоторых классов гармонических функций Рельефная аппроксимация некоторых классов гармонических функций |
| title_full | Ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_fullStr | Ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_full_unstemmed | Ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_short | Ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_sort | ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/106 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf ridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT levchenkoda ridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT babenkovf ridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT levčenkoda ridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT babenkovf relʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij AT levchenkoda relʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij AT babenkovf relʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij AT levčenkoda relʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij |