Gaar’s conditions and trigonometric polynomials
We introduced the concept of the weak Haar sequence. Using its terms we found out the new results about the relationship between separately andjointly polinomiality of generalized polynomials. As a result, we obtained that separately trigonometric polynomials are trigonometric polynomialson the join...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Author Affiliations: |
|
| Keywords: | keywords |
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/107 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552510573510656 |
|---|---|
| author | Voloshin, G. A. Kosovan, V. M. Maslychenko, V. K. Волошин, Г. А. Косован, В. М. Маслюченко, В. К. |
| author_facet | Voloshin, G. A. Kosovan, V. M. Maslychenko, V. K. Волошин, Г. А. Косован, В. М. Маслюченко, В. К. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. А. Волошин",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
},
{
"author": "В. М. Косован",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
},
{
"author": "В. К. Маслюченко",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
}
] |
| author_sort | Voloshin, G. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | We introduced the concept of the weak Haar sequence. Using its terms we found out the new results about the relationship between separately andjointly polinomiality of generalized polynomials. As a result, we obtained that separately trigonometric polynomials are trigonometric polynomialson the joint of variables. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 103–115
УДК 517.5
Г.А. Волошин 1, В.М. Косован 2,
В.К. Маслюченко 3
1,2,3(Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi
Юрiя Федьковича, Чернiвцi)
1 galja.vlshin@gmail.com, 2 Kreuzwahler@outlook.com
3 vmaslyuchenko@gmail.com
Умова Гаара i тригонометричнi
полiноми
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
Введено поняття слабкої послiдовностi Гаара. У його термiнах вста-
новлено новi результати про зв’язки мiж нарiзною i сукупною полi-
номiальнiстю узагальнених многочленiв. Як наслiдок, отримано, що
нарiзно тригонометричнi полiноми будуть i тригонометричними полi-
номами за сукупнiстю змiнних.
We introduced the concept of the weak Haar sequence. Using its terms we
found out the new results about the relationship between separately and
jointly polinomiality of generalized polynomials. As a result, we obtained
that separately trigonometric polynomials are trigonometric polynomials
on the joint of variables.
1. Вступ. Кажуть, що система функцiй fk : X −→ R, k = 1, . . . , n,
задовольняє умову Гаара, якщо для кожної множини рiзних точок
x1, . . . , xn з X визначник
∆ = det (fk (xj))
n
j,k=1
не дорiвнює нулю. Ця умова, що була введена А. Гааром [1], є не-
обхiдною i достатньою для того, щоб кожна неперервна функцiя
c© Г.А. Волошин, В. М. Косован, В.К. Маслюченко, 2017
104 Г.А. Волошин, В.М. Косован, В.К. Маслюченко
f : X −→ R на компактному просторi X мала єдиний многочлен
g =
n∑
k=1
λkfk найкращого рiвномiрного наближення, де fk — неперерв-
нi функцiї. Узагальнення цiєї теореми Гаара подано у працях [2, 3], а
iнше доведення у [4, c. 79].
У працi [5] умова Гаара була застосована до узагальнення тео-
реми про сукупну полiномiальнiсть нарiзно полiномiальних функцiй
f : Kn −→ K, де K — це довiльне поле [6–8], її основний результат
при n = 2 був анонсований у [9]. У ньому для систем функцiй
F = {fn : n ∈ N} ⊆ KX i G = {gn : n ∈ N} ⊆ KY розглядалися
F -полiноми
n∑
j=1
λjfj , G-полiноми
n∑
k=1
µkgk i F ⊗ G-полiноми
N∑
j,k=1
αj,kfj ⊗ gk, де (ϕ⊗ ψ) (x, y) = ϕ (x)ψ (y) на X × Y для довiльних
функцiй ϕ : X −→ K, ψ : Y −→ K. При цьому було встановлено, що
коли обидвi множини X i Y нескiнченнi, а одна з них незлiченна i будь-
якi скiнченнi системи f1, . . . , fn i g1, . . . , gn задовольняють умову Гаара
на X чи Y вiдповiдно, то кожна функцiя h : X × Y −→ K, у якої всi
x-розрiзи hx = h (x, ·) : Y −→ K i всi y-розрiзи hy = h (·, y) : X −→ K
є G-полiномами чи F -полiномами вiдповiдно, сама є F ⊗G-полiномом.
У [5] цей результат був поширений i на випадок функцiй вiд n
змiнних.
Послiдовнiсть функцiй fn : X −→ K, у якої кожна скiн-
ченна послiдовнiсть f1, . . . , fn задовольняє умову Гаара, ми на-
зиваємо послiдовнiстю Гаара. Типовим прикладом послiдовностi
Гаара є послiдовнiсть степеневих функцiй 1, x, x2, . . . , xn, . . . , де
x пробiгає пiдмножину X довiльного поля K. Iншим прикла-
дом служить послiдовнiсть 1, x, x−1, x2, x−2, . . . , xm, x−m, . . . , де
x ∈ X ⊆ K∗ = K\ {0}. Послiдовнiсть тригонометричних функцiй
{1, cosx, sinx, . . . , cosnx, sinnx, . . . } не є послiдовнiстю Гаара, i тому
узагальнення з [5] не можна застосовувати до тригонометричних мно-
гочленiв. У цiй статтi ми вводимо поняття слабкої послiдовностi Гаара i
переносимо на такi послiдовностi основний результат з [5]. З отримано-
го узагальнення, зокрема, випливає, що будь-яка функцiя h : R2 −→ R,
у якої всi x-розрiзи hx : R −→ R i y-розрiзи hy : R −→ R є тригономе-
тричними полiномами, сама є тригонометричним полiномом вiд двох
змiнних.
2. Слабкi послiдовностi Гаара. Нехай K — довiльне поле,
Умова Гаара i тригонометричнi полiноми 105
X — довiльна множина. Послiдовнiсть (fn)
∞
n=1 функцiй fn : X −→ K
ми називатимемо слабкою послiдовнiстю Гаара, якщо iснує така строго
зростаюча послiдовнiсть номерiв (nk)
∞
k=1, що для кожного k система
функцiй f1, . . . , fnk
задовольняє умову Гаара.
Теорема 1. Тригонометрична система функцiй
{1, cosx, sinx, . . . , cosnx, sinnx, . . .}
є слабкою послiдовнiстю Гаара на промiжку X = [0, 2π).
Доведення. За формулами Ейлера
cosnx =
einx + e−inx
2
i sinnx =
einx − e−inx
2i
для кожного n = 0, 1, 2, . . .. Замiною z = eix тригонометрична система
функцiй переходить у систему функцiй
1,
z + z−1
2
,
z − z−1
2i
, . . . ,
zn + z−n
2
,
zn − z−n
2i
, . . . (∗)
на колi S = {z ∈ C : |z| = 1}. Оскiльки вiдображення ϕ : [0, 2π) −→ S,
ϕ (x) = eix, є бiєкцiєю, то перевiрка того, що тригонометрична система
функцiй є слабкою послiдовнiстю Гаара на [0, 2π), зводиться до того,
що система (∗) є такою на S.
Розглянемо систему функцiй {1, z, z−1, . . . , zn, z−n, . . .} на колi S. Не-
хай z0, z1, z2, . . . , z2n−1, z2n — рiзнi точки з кола S. Розглянемо визна-
чник
∆2n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 . . . 1 1
z0 z1 z2 . . . z2n−1 z2n
z−1
0 z−1
1 z−1
2 . . . z−1
2n−1 z−1
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
zn0 zn1 zn2 . . . zn2n−1 zn2n
z−n0 z−n1 z−n2 . . . z−n2n−1 z−n2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Легко зрозумiти, що пiсля переставлення рядкiв визначник ∆2n+1 зво-
106 Г.А. Волошин, В.М. Косован, В.К. Маслюченко
диться до визначника
∆2n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
z−n0 z−n1 z−n2 . . . z−n2n−1 z−n2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
z−1
0 z−1
1 z−1
2 . . . z−1
2n−1 z−1
2n
1 1 1 . . . 1 1
z0 z1 z2 . . . z2n−1 z2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
zn0 zn1 zn2 . . . zn2n−1 zn2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Виносячи з кожного стовпчика z−nk , ми зводимо цей визначник до вi-
домого визначника Вандермонда ( [10, c.114] або [11, c.50]).
∆2n+1 = z−n0 z−n1 z−n2 . . . z−n2n−1z
−n
2n
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 . . . 1 1
z0 z1 z2 . . . z2n−1 z2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
z2n
0 z2n
1 z2n
2 . . . z2n
2n−1 z2n
2n
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= z−n0 . . . z−n2n
∏
0≤k<j≤2n
(zj − zk) .
Оскiльки zj 6= zk при k 6= j, то ∆2n+1 6= 0. Так само можна перевiрити,
що i ∆2n 6= 0, тобто система функцiй {1, z, z−1, . . . , zn, z−n, . . .} утворює
послiдовнiсть Гаара на колi S, але нам потрiбна лише умова ∆2n+1 6= 0.
Розглянемо тепер поряд з матрицею
A =
1 1 1 . . . 1 1
z0 z1 z2 . . . z2n−1 z2n
z−1
0 z−1
1 z−1
2 . . . z−1
2n−1 z−1
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
zn0 zn1 zn2 . . . zn2n−1 zn2n
z−n0 z−n1 z−n2 . . . z−n2n−1 z−n2n
i матрицi
B =
1 1 1 . . . 1 1
z0+z−1
0
2
z1+z−1
1
2
z2+z−1
2
2 . . .
z2n−1+z−1
2n−1
2
z2n+z−1
2n
2
z0−z−1
0
2i
z1−z−1
1
2i
z2−z−1
2
2i . . .
z2n−1−z−1
2n−1
2i
z2n−z−1
2n
2i
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
zn0 +z−n
0
2
zn1 +z−n
1
2
zn2 +z−n
2
2 . . .
zn2n−1+z−n
2n−1
2
zn2n+z−n
2n
2
zn0−z
−n
0
2i
zn1−z
−n
1
2i
zn2−z
−n
2
2i . . .
zn2n−1−z
−n
2n−1
2i
zn2n−z
−n
2n
2i
Умова Гаара i тригонометричнi полiноми 107
та
C =
1 0 0 0 . . . 0 0 0
0 1
2
1
2 0 . . . 0 0 0
0 1
2i − 1
2i 0 . . . 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 0 1
2
1
2
0 0 0 0 . . . 0 1
2i − 1
2i
.
Ясно, що B = CA. Тому
detB = detC detA.
Але detA = ∆2n+1 6= 0 i detC =
∣∣∣∣ 1
2
1
2
− 1
2i − 1
2i
∣∣∣∣n =
(
− 1
2i
)n
= in
2n 6= 0.
Тому i detB 6= 0, а це i показує, що система (*) є слабкою послiдовнi-
стю Гаара на S, а з нею такою послiдовнiстю буде i тригонометрична
система функцiй на [0, 2π).
3. Теорема єдиностi. Нам буде потрiбний один результат,
який доведений у [5] для послiдовностей Гаара. Виявляється, вiн спра-
ведливий i для слабких послiдовностей Гаара.
Нехай X — множина i K — довiльне поле. Для пiдмножини F про-
стору KX всiх функцiй f : X −→ K розглянемо її лiнiйну оболонку
spF =
{
n∑
k=1
λkfk : n ∈ N, f1, . . . , fn ∈ F, λ1, . . . , λn ∈ K
}
.
Її елементи f =
n∑
k=1
λkfk називаються F -полiномами.
Якщо (fn)
∞
n=1 — деяка послiдовнiсть функцiй fn : X −→ K i
F = {fn : n ∈ N}, то для F -полiнома f його степенем deg f ми назива-
ємо найменше з чисел n, таких, що f =
n∑
k=1
λkfk для деяких елементiв
λk ∈ K.
Теорема 2. Нехай (fn)
∞
n=1 — слабка послiдовнiсть Гаара на множинi
X, F = {fn : n ∈ N}, A — нескiнченна пiдмножина X i f та g — F -
полiноми, такi, що f |A = g|A. Тодi f = g.
Доведення. Розглянемо F -полiном h = f−g. Для нього h (x) = 0 на
A. Iснує така строго зростаюча послiдовнiсть номерiв nk, що система
108 Г.А. Волошин, В.М. Косован, В.К. Маслюченко
f1, . . . , fnk
задовольняє умову Гаара на X для кожного k. Оскiльки
nk →∞ при k →∞, то iснує такий номер k, що nk ≥ deg h. Покладемо
n = nk. Зрозумiло, що iснують такi елементи α1, . . . , αn з K, що
h =
n∑
s=1
αsfs.
В нескiнченнiй множинi A можна вибрати n рiзних елементiв
x1, . . . , xn. За побудовою
n∑
s=1
αsfs (xt) = h (xt) = 0
при t = 1, . . . , n, адже xt ∈ A. Але визначник
∆ = det (fs (xt))
n
t,s=1 6= 0,
бо система функцiй f1, . . . , fn задовольняє умову Гаара на X. Оскiль-
ки однорiдна система рiвнянь з ненульовим визначником має тiльки
нульовий розв’язок, то αs = 0 при s = 1, . . . , n, отже, i h = 0, а значить,
f = g.
4. F ⊗ G-полiномiальнiсть (F,G)-полiномiальних
функцiй. Нехай K — довiльне поле, X i Y — множини i
F ⊆ KX , а G ⊆ KY . Функцiю f : X × Y −→ K ми називаємо (F,G)-
полiномiальною, якщо для кожного x ∈ X її вертикальний x-розрiз
fx = f (x, ·) : Y −→ K — це G-полiном i для кожного y ∈ Y її горизон-
тальний y-розрiз fy = f (·, y) : X −→ K — це F -полiном.
Для функцiй f : X −→ K i g : Y −→ K визначимо їх тензорний
добуток f ⊗ g : X × Y −→ K формулою
(f ⊗ g) (x, y) = f (x) g (y) .
Для множин F i G покладемо
F ⊗G = {f ⊗ g : f ∈ F, g ∈ G} .
Теорема 3. Нехай X i Y — нескiнченнi множини, одна з яких
незлiченна, (fn)
∞
n=1 i (gn)
∞
n=1 — слабкi послiдовностi Гаара на X i
Y вiдповiдно, F = {fn : n ∈ N}, G = {gn : n ∈ N} i h : X × Y −→ K —
(F,G)-полiномiальна функцiя. Тодi h — це F ⊗G-полiном.
Умова Гаара i тригонометричнi полiноми 109
Доведення. Для певностi будемо вважати, що множина X незлiчен-
на. Оскiльки (gn)
∞
n=1 — це слабка послiдовнiсть Гаара на Y , то iснує
така строго зростаюча послiдовнiсть номерiв mj , що для кожного j
система функцiй g1, . . . , gmj
задовольняє умову Гаара на Y .
Введемо у розгляд множини
Aj = {x ∈ X : deg hx ≤ mj} .
Оскiльки mj → ∞ при j → ∞ i для кожного x ∈ X функцiя
hx : Y −→ K — це G-полiном певного степеня deg hx, то
∞⋃
j=1
Aj = X. З
незлiченностi множини X випливає, що iснує такий номер j, що мно-
жина A = Aj незлiченна, адже об’єднання послiдовностi не бiльш, нiж
злiченних множин залишається не бiльш, нiж злiченною множиною.
Зрозумiло, що множина A, будучи незлiченною, є i нескiнченною. У
нескiнченнiй множинi Y виберемо m = mj рiзних елементiв y1, . . . , ym.
Нехай x ∈ A. За означенням множини A iснують такi елементи
b1 (x) , . . . , bm (x) з K, що
h (x, y) = hx (y) =
m∑
s=1
bs (x) gs (y)
для кожного y ∈ Y . Для кожного t = 1, . . . ,m будемо мати
m∑
s=1
bs (x) gs (yt) = h (x, yt) = hyt (x) . (∗∗)
За умовою визначник
∆ = det (gs (yt))
m
t,s=1 6= 0.
За правилом Крамера з рiвностi (∗∗) випливає, що
bs (x) =
∆s
∆
,
де
∆s =
∣∣∣∣∣∣
g1 (y1) . . . gs−1 (y1) hy1 (x) gs+1 (y1) . . . gm (y1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g1 (ym) . . . gs−1 (ym) hym (x) gs+1 (ym) . . . gm (ym)
∣∣∣∣∣∣ .
110 Г.А. Волошин, В.М. Косован, В.К. Маслюченко
Розкладаючи цей визначник за елементами s-го стовпчика, ми отри-
маємо, що
∆s =
m∑
t=1
αs,thyt (x) ,
де αs,t — вiдповiднi алгебраїчнi доповнення елементiв hyt (x). Тому
bs (x) =
m∑
t=1
βs,thyt (x) ,
де елементи βs,t =
αs,t
∆ поля K не залежать вiд x.
Функцiї hytпри t = 1, . . . ,m — це F -полiноми, а значить, F -
полiномом буде i їх лiнiйна комбiнацiя
ϕs =
m∑
t=1
βs,thyt
для кожного s = 1, . . . ,m. Оскiльки s набуває скiнченне число значень,
то iснує такий номер n i елементи λs,u з K, що
ϕs =
n∑
u=1
λs,ufu
для s = 1, . . . ,m. Введемо в розгляд функцiю p : X × Y −→ K, покла-
даючи
p (x, y) =
m∑
s=1
ϕs (x) gs (y) =
m∑
s=1
(
n∑
u=1
λs,ufu (x)
)
gs (y) =
=
n∑
u=1
m∑
s=1
λs,ufu (x) gs (y) =
n∑
u=1
m∑
s=1
(fu ⊗ gs) (x, y)
для довiльної пари (x, y) ∈ X × Y . Ясно, що p — це F ⊗ G-полiном.
Оскiльки ϕs (x) = bs (x) на A, то
h (x, y) = p (x, y)
на добутку A× Y .
Зафiксуємо y ∈ Y . Функцiї hy i py — це F -полiноми, причому hy|A =
py|A. Але множина A нескiнченна i f1, f2 . . . — це слабка послiдовнiсть
Умова Гаара i тригонометричнi полiноми 111
Гаара на X. Тому за теоремою 2 будемо мати, що hy = py. Оскiльки
ця рiвнiсть справджується для довiльного y ∈ Y , то h = p, отже, h —
це F ⊗G-полiном.
5. F1⊗. . .⊗Fn-полiномiальнi функцiї.НехайX1, . . . , Xn —
довiльнi множини i X = X1 × . . .×Xn — їхнiй добуток. Для функцiй
fk : Xk −→ K, k = 1, . . . , n, зi значеннями у довiльному полi K i точки
x = (x1, . . . , xn) ∈ X покладемо
(f1 ⊗ . . .⊗ fn) (x1, . . . , xn) = f1 (x1) . . . fn (xn) .
Функцiя f = f1 ⊗ . . . ⊗ fn : X −→ K називається тензорним добу-
тком функцiй f1, . . . , fn. Для пiдмножин Fk ⊆ KXk , де k = 1, . . . , n,
покладемо
F1 ⊗ . . .⊗ Fn = {f1 ⊗ . . .⊗ fn : fk ∈ Fk, k = 1, . . . , n} ,
Для F1 ⊗ . . . ⊗ Fn-полiнома f : X1 × . . . × Xn −→ K ми пишемо, що
deg f ≤ m, якщо
f =
m∑
k1,...,kn=1
αk1,...,knf1,k1 ⊗.... ⊗fn,kn .
Для точки a = (a1, . . . , an) ∈ X i номера k = 1, . . . , n покладаємо
âk = (a1, . . . , ak−1, ak+1, . . . an) i X̂k = X1× . . .×Xk−1×Xk+1× . . .×Xn.
Для функцiї f : X −→ K i точки a введемо функцiю fâk : Xk −→ K,
покладаючи
fâk (xk) = f (a1, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , an) .
Функцiю f : X −→ K ми називаємо (F1, . . . , Fn)-полiномiальною, якщо
для кожної точки a = (a1, . . . , an) ∈ X i довiльного k = 1, . . . , n фун-
кцiя fâk : Xk −→ K є Fk-полiномом.
6. Зв’язок мiж (F1, . . . , Fn)-полiномiальними та
(F1 ⊗ . . .⊗ Fn)-полiномiальними функцiями. Тут ми уза-
гальнимо Tеорему 3 на випадок функцiї багатьох змiнних.
Теорема 4. Нехай K−довiльне поле, X1, . . . , Xn−1 — незлiченнi мно-
жини, Xn — нескiнченна множина, для кожного k = 1, . . . , n задано
злiченну множину Fk = {fk,j : j ∈ N} функцiй fk,j : Xk −→ K, для
112 Г.А. Волошин, В.М. Косован, В.К. Маслюченко
якої (fk,j)
∞
j=1 — це слабка послiдовнiсть Гаара на Xk при k = 1, . . . , n,
F = F1⊗ . . .⊗Fn i f = X1× . . .×Xn −→ K−(F1, . . . , Fn)-полiномiальна
функцiя. Тодi F — це F -полiном.
Доведення. Застосуємо iндукцiю вiдносно n. При n = 1 тверджен-
ня тривiальне. Припустимо, що n > 1 i наше твердження справедливе,
коли кiлькiсть множин дорiвнює n− 1. Доведемо, що воно справджу-
ється i для n множин, як у формулюваннi теореми.
Для кожного x1 ∈ X1 розглянемо функцiю fx1
: X̂1 −→ K,
fx1
(x2, . . . , xn) = f (x1, x2, . . . , xn). За iндуктивним припущенням фун-
кцiя fx1
буде F2 ⊗ . . .⊗ Fn-полiномом на X̂1.
Введемо у розгляд множини
Am = {x1 ∈ X1 : deg fx1
≤ m} .
Ясно, що
∞⋃
m=1
Am = X1. Оскiльки множина X1 незлiченна, то iснує
такий номер m, що множина A = Am незлiченна, а значить i нескiн-
ченна.
Покладемо Ã = A × X2 × . . . Xn−1. Зафiксуємо точку x̂n =
(x1, . . . , xn−1) ∈ Ã. Функцiя fx̂n
: Xn −→ K−це Fn-полiном, причому
deg fx̂n
≤ m, адже x1 ∈ A. Оскiльки (fn,j)
∞
j=1 — це слабка послiдов-
нiсть Гаара, то iснує така строго зростаюча послiдовнiсть номерiв js,
що для кожного s = 1, 2, . . . функцiї fn,1, . . . , fn,js задовольняють умо-
ву Гаара на Xn. Ясно, що iснує такий номер s, що js ≥ m. Покладемо
js = p. Оскiльки deg fx̂n
≤ p, то
fx̂n
(xn) =
p∑
j=1
aj (x̂n) fn,j (xn)
для деяких функцiй aj : Ã −→ K. Оскiльки множина Xn нескiнченна,
то з неї можна вибрати p рiзних точок xn,1, . . . , xn,p. Для кожного
q = 1, . . . , p маємо, що
p∑
j=1
aj (x̂n,q) fn,j (xn,q) = f (x1, . . . , xn−1, xn,q) .
Оскiльки det (fn,j (xn,q))
p
j,q=1 6= 0, то за правилом Крамера iснують
Умова Гаара i тригонометричнi полiноми 113
такi елементи µj,q ∈ K, що
aj (x1, . . . , xn−1) =
p∑
q=1
µj,qf (x1, . . . , xn−1, xn,q)
для довiльного набору (x1, . . . , xn−1) з Ã.
За iндуктивним припущенням кожна функцiя fxn,q
: X̂n −→ K,
fxn,q
(x1, . . . , xn−1) = f (x1, . . . , xn−1, xn,q)− це F1⊗ . . .⊗Fn−1-полiном.
Тому i коефiцiєнти aj−це F1 ⊗ . . . ⊗ Fn−1-полiномiальнi функцiї на
множинi Ã.
Розглянемо функцiю
g (x1, . . . , xn) =
p∑
j=1
p∑
q=1
µj,qf (x1, . . . , xn−1, xn,q) fn,j (xn) ,
яка є, очевидно, F -полiномом на X. При цьому ясно, що g|Ã×Xn
=
= f |Ã×Xn
.
Зафiксуємо x̂1 = (x2, . . . , xn) ∈ X̂1. З попередньої рiвностi випли-
ває, що fx̂1 |A = gx̂1 |A. Оскiльки fx̂1 i gx̂1 — це F1-полiноми i множина
A нескiнченна, то за теоремою єдностi fx̂1 = gx̂1 , а значить, для до-
вiльних точок x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn
f (x1, . . . , xn) = g (x1, . . . , xn) ,
тобто f = g на X. Це доводить, що f є F -полiномом.
7. Тригонометричнi полiноми. Розглянемо тригонометри-
чну систему функцiй
1, cosx, sinx, . . . , cosnx, sinnx, . . . , (∗ ∗ ∗)
яку ми позначимо символом T . У Tеоремi 1 ми встановили, що послi-
довнiсть (∗ ∗ ∗) — це слабка послiдовнiсть Гаара на множинi [0, 2π).
Тому до неї можна застосовувати результати Теорем 3 i 4. В ролi поля
K тут виступатиме поле R всiх дiйсних чисел. T -полiноми називаю-
ться тригонометричними полiномами вiд однiєї змiнної, вони мають
вигляд
f (x) = a0 +
n∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) .
114 Г.А. Волошин, В.М. Косован, В.К. Маслюченко
Система T ⊗ T складається з функцiй
1, cosx, sinx, cos y, sin y, cosx cos y, cosx sin y, sinx sin y, sinx cos y, . . . .
T⊗T -полiноми — це тригонометричнi многочлени чи полiноми вiд двох
змiнних. Загальнiше, T ⊗ . . .⊗ T︸ ︷︷ ︸
n
-полiноми — це тригонометричнi мно-
гочлени чи полiноми вiд n змiнних. Застосуємо отриманi результати
до тригонометричних многочленiв.
Теорема 5. Нехай f : R2 −→ R — це (T, T )-полiномiальна функцiя.
Тодi f — це тригонометричний полiном вiд двох змiнних.
Доведення. Нехай X = Y = [0, 2π). З теорем 1 i 3 негайно випливає,
що функцiя f — це тригонометричний полiном вiд двох змiнних на
множинi X×Y = [0, 2π)
2. Тобто iснує такий T⊗T -полiном g : R2 −→ R,
що h (x, y) = g (x, y) на [0, 2π)
2.
Зафiксуємо y з [0, 2π). Функцiї fy : R −→ R i gx : R −→ R є 2π-
перiодичними, адже вони є тригонометричними полiномами вiд однiєї
змiнної. Крiм того, fy (x) = f (x, y) = g (x, y) = gy (x), якщо x ∈ [0, 2π).
Тому fy (x) = gy (x) i для всiх x ∈ R, отже, f (x, y) = g (x, y) на
[0, 2π)× R.
Зафiксуємо тепер x ∈ R. Функцiї fx : R −→ R i gx : R −→ R теж є
тригонометричними полiномами, а значить, 2π-переiодичними функцi-
ями. Крiм того, fx (y) = gx (y) на [0, 2π), а тому fx (y) = gx (y) i на R.
Таким чином, f (x, y) = g (x, y) на R2, отже, F — це тригонометричний
полiном вiд двох змiнних.
Так само з Теорем 1 i 4 виводиться загальнiша
Теорема 6. Нехай f : Rn −→ R — це (T, . . . , T )︸ ︷︷ ︸
n
-полiном. Тодi F — це
тригонометричний полiном вiд n змiнних.
Лiтература
[1] Haar A. Die Minkowskische Geometrie und die Annäherung an stetige
Funktionen// Math. Annalen. — 1918. — 78. — S. 294 – 311.
[2] Колмогоров А.Н. Замечание но поводу многочленов П.Л. Чебышева,
наименее уклоняющихся от заданной функции // Успехи мат. наук. —
1948. — 3, №1. — C. 216 – 221.
Умова Гаара i тригонометричнi полiноми 115
[3] Зуховицкий С.И., Крейн М.Г. Замечание об одном возможном обоб-
щении теорем А. Хаара и А.Н. Колмогорова // Успехи мат. наук. —
1950. — 5, №1. — С. 217 – 229.
[4] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965. —
408 с.
[5] Волошин Г.А., Косован В.М., Маслюченко В.К. Умова Гаара та су-
купна полiномiальнiсть нарiзно полiномiальних функцiй // Укр. мат.
журн. — 2017. — 69, №1. — С. 17 – 27.
[6] Mazur S., Orlicz W. Grundlegende Eigenschaften der polynomischen
Operationen. Erste Mitteilung // Stud. Math. — 1934. — 5, №1. — S. 50 –
68.
[7] Bochnak J., Siciak J. Polynomials and multilinear mapping in topological
vector spaces // Stud. Math. — 1971. — 39. — P. 59 – 76.
[8] Косован В.М., Маслюченко В.К. Нарiзно полiномiальнi функцiї // На-
ук. вiсн. Чернiвецького ун-ту, В. Математика. — Чернiвцi: Рута, 2008. —
374. — С. 66 – 74.
[9] Волошин Г.А., Косован В.М., Маслюченко В.К. Узагальненi нарiзно
полiномiальнi функцiї та умова Гаара // Мат. Друг. Всеук. наук. конф.,
присв. 55-рiччю каф. вищ. мат. Iв.-Франк. нац. тех. ун. нафти i га-
зу, Iвано-Франкiвськ, 13-15 жовтня, 2016. — Iвано-Франкiвськ, 2016. —
С. 33 – 34.
[10] Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1971. — 432 с.
[11] Чарiн В.С. Лiнiйна алгебра. — К.: Технiка, 2004. — 416 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-107 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:35Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a8/ab3140e154b23a971ff9add1d2f40aa8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1072018-02-13T13:58:16Z Gaar’s conditions and trigonometric polynomials Умова Гаара і тригонометричні поліноми Voloshin, G. A. Kosovan, V. M. Maslychenko, V. K. Волошин, Г. А. Косован, В. М. Маслюченко, В. К. We introduced the concept of the weak Haar sequence. Using its terms we found out the new results about the relationship between separately andjointly polinomiality of generalized polynomials. As a result, we obtained that separately trigonometric polynomials are trigonometric polynomialson the joint of variables. Введено поняття слабкої послідовності Гаара. У його термінах встановлено нові результати про зв'язки між нарізною і сукупною поліноміальністю узагальнених многочленів. Як наслідок, отримано, що нарізно тригонометричні поліноми будуть і тригонометричними поліномами за сукупністю змінних. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/107 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 103-115 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 103-115 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 103-115 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/107/95 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Voloshin, G. A. Kosovan, V. M. Maslychenko, V. K. Волошин, Г. А. Косован, В. М. Маслюченко, В. К. Gaar’s conditions and trigonometric polynomials |
| title | Gaar’s conditions and trigonometric polynomials |
| title_alt | Умова Гаара і тригонометричні поліноми |
| title_full | Gaar’s conditions and trigonometric polynomials |
| title_fullStr | Gaar’s conditions and trigonometric polynomials |
| title_full_unstemmed | Gaar’s conditions and trigonometric polynomials |
| title_short | Gaar’s conditions and trigonometric polynomials |
| title_sort | gaar’s conditions and trigonometric polynomials |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/107 |
| work_keys_str_mv | AT voloshinga gaarsconditionsandtrigonometricpolynomials AT kosovanvm gaarsconditionsandtrigonometricpolynomials AT maslychenkovk gaarsconditionsandtrigonometricpolynomials AT vološinga gaarsconditionsandtrigonometricpolynomials AT kosovanvm gaarsconditionsandtrigonometricpolynomials AT maslûčenkovk gaarsconditionsandtrigonometricpolynomials AT voloshinga umovagaaraítrigonometričnípolínomi AT kosovanvm umovagaaraítrigonometričnípolínomi AT maslychenkovk umovagaaraítrigonometričnípolínomi AT vološinga umovagaaraítrigonometričnípolínomi AT kosovanvm umovagaaraítrigonometričnípolínomi AT maslûčenkovk umovagaaraítrigonometričnípolínomi |