Estimates of approximation of elements of Hilbert space
Sharp estimation of approximation of the elements of a Hilbert space by arbitrary linear approximation methods operating to the subspace of whole vectors of exponential type are obtained
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/109 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552510402592768 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Savela, S. V. Бабенко, В. Ф. Савела, С. В. |
| author_facet | Babenko, V. F. Savela, S. V. Бабенко, В. Ф. Савела, С. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Днипровский национальный университетимени Олеся Гончара"
},
{
"author": "",
"institution": "Днипровский национальный университетимени Олеся Гончара"
}
] |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | Sharp estimation of approximation of the elements of a Hilbert space by arbitrary linear approximation methods operating to the subspace of whole vectors of exponential type are obtained |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 18�27
ÓÄÊ 517.5
Â.Ô. Áàáåíêî, Ñ.Â. Ñàâåëà (Äíåïðîïåòðîâñêèé íàöèîíàëüíûé óíè-
âåðñèòåò èì. Î. Ãîí÷àðà, Äíåïðîïåòðîâñê)
ÎÖÅÍÊÈ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ÝËÅÌÅÍÒÎÂ
ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÀ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
Sharp estimation of approximation of the elements of a Hilbert space by
arbitrary linear approximation methods operating to the subspace of whole
vectors of exponential type are obtained.
Îäåðæàíi òî÷íi îöiíêè àïïðîêñèìàöi¨ ýëåìåíòiâ ãèëüáåðòîâîãî ïðîñòð-
ðó äîâiëüíèì ëiíiéíèì ìåòîäîì íàáëèæåííÿ, ùî äi¹ â ïiäïðîñòið öiëèõ
âåêòîðiâ åêñïîíåíöiàëüíîãî òèïó.
Ïîëó÷åíû òî÷íûå îöåíêè àïïðîêñèìàöèè ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòîâà ïðî-
ñòðàíñòâà ïðîèçâîëüíûì ëèíåéíûì ìåòîäîì ïðèáëèæåíèÿ, äåéñòâóþ-
ùèì â ïîäïðîñòðàíñòâî öåëûõ âåêòîðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà.
Ïåðâûå òî÷íûå íåðàâåíñòâà òèïà Äæåêñîíà äëÿ íàèëó÷øèõ ïðè-
áëèæåíèé ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíîìà-
ìè â ïðîñòðàíñòâå L2 áûëè ïîëó÷åíû â 1967 ãîäó Í. È. ×åðíûõ [1, 2].
Òàê â [1] èì áûëî äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f èç L2, êîòî-
ðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæåñòâà ìåðû íóëü),
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
En (f)L2
<
1√
2
ω
(
f,
π
n
)
L2
n = 1, 2, ... , (1)
ïðè÷åì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ôèêñèðîâàííîãî n êîíñòàíòà 1√
2
íåóëó÷-
øàåìà.
 äàëüíåéøåì òî÷íûå íåðàâåíñòâà òèïà Äæåêñîíà èçó÷àëèñü
ìíîãèìè àâòîðàìè. Àíàëîãè ðåçóëüòàòîâ Í.È. ×åðíûõ äëÿ íàèëó÷-
øèõ L2(R) ôóíêöèé f ∈ L2(R) öåëûìè ôóíêöèÿìè ýêñïîíåíöèàëü-
íîãî òèïà σ áûëè ïîëó÷åíû È.È. Èáðàãèìîâûì è Ô.Ã. Íàñèáîâûì
[3] è íåçàâèñèìî Â.Þ. Ïîïîâûì [4].  ðàáîòå [5] òî÷íûå íåðàâåíñòâà
òàêîãî òèïà áûëè ïîëó÷åíû äëÿ äëÿ íàèëó÷øèõ L2(R)-ïðèáëèæåíèé
c© Â.Ô. Áàáåíêî, Ñ.Â. Ñàâåëà, 2013
Îöåíêè àïïðîêñèìàöèè ýëåìåíòîâ . . . 19
ôóíêöèé f ∈ L2(R) ÷àñòíûìè ñóììàìè ðÿäîâ Ôóðüå ïî ñèñòåìå âåé-
âëåò Øåííîíà � Êîòåëüíèêîâà è Ìåéåðà. Îáçîðû ìíîãèõ ïîëó÷åí-
íûõ â ýòîì íàïðàâëåíèè ðåçóëüòàòîâ è äàëüíåéøèå ññûëêè ìîæíî
íàéòè â ìîíîãðàôèÿõ [6 � 8].
 êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íîãî ðåçóëüòàòà â [1] áûëî ïîëó÷åíî òàêæå
òî÷íîå íåðàâåíñòâî
E2
n (f)L2
≤ n
4
π/n∫
0
ω2(f, t)L2 sin(nt)dt, (2)
ïðåäñòàâëÿþùåå è ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ.  äàëüíåéøåì òî÷íûå
íåðàâåíñòâà âèäà
En(f)2L2
≤ K
δ∫
0
ω2(f, t)L2v(t)dt
äëÿ ðàçëè÷íûõ âåñîâûõ ôóíêöèé v(t) áûëè ïîëó÷åíû â ðÿäå ðàáîò
Ë.Â. Òàéêîâà (ñì., íàïðèìåð, [9]) è äðóãèõ àâòîðîâ. Èçó÷àëèñü òàêæå
òî÷íûå íåðàâåíñòâà òèïà Äæåêñîíà äëÿ àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé èç
L2 ëèíåéíûìè ìåòîäàìè ïðèáëèæåíèÿ, îòëè÷íûìè îò ñóìì Ôóðüå
[10, 11] â ïðîñòðàíñòâå L2.
 ðÿäå ðàáîò (ñì., íàïðèìåð, [12, 13]) áûëè, â ÷àñòíîñòè, ïî-
ëó÷åíû íåðàâåíñòâà òèïà Äæåêñîíà äëÿ íàèëó÷øèõ ïðèáëèæåíèé
ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà öåëûìè âåêòîðàìè ýêñïîíåí-
öèàëüíîãî òèïà íåêîòîðîãî îïåðàòîðà. Îäíàêî óòâåðæäåíèé î òî÷-
íîñòè êîíñòàíò â ïîëó÷åííûõ íåðàâåíñòâàõ â óïîìÿíóòûõ ðàáîòàõ
íåò. Òî÷íûå íåðàâåíñòâà òèïà (1) è (2) â ñëó÷àå ïðèáëèæåíèÿ ýëå-
ìåíòîâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ïîäïðîñòðàíñòâàìè, ïîðîæäåííû-
ìè çàäàííûì ðàçëîæåíèåì åäèíèöû, è óñëîâèÿ èõ òî÷íîñòè ïîëó÷å-
íû àâòîðàìè â ðàáîòå [14].  äàííîé ðàáîòå ìû ïîëó÷èì ðÿä òî÷íûõ
íåðàâåíñòâ òèïà Äæåêñîíà äëÿ àïïðîêñèìàöèè ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòî-
âà ïðîñòðàíñòâà äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíûì ëèíåéíûì ìåòîäîì ïðè-
áëèæåíèÿ, äåéñòâóþùèì â ïîäïðîñòðàíñòâî öåëûõ âåêòîðîâ ýêñïî-
íåíöèàëüíîãî òèïà. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå èíôîðìàöèè îá îòêëîíåíèè
àïïðîêñèìèðóþùåãî ýëåìåíòà îò àïïðîêñèìèðóåìîãî ìû áóäåì èñ-
ïîëüçîâàòü çíà÷åíèå íà èõ ðàçíîñòè ôèêñèðîâàííîãî ôóíêöèîíàëà.
20 Â.Ô. Áàáåíêî, Ñ.Â. Ñàâåëà
Ìû ïîëó÷èì òàêèì îáðàçîì íåðàâåíñòâà áîëåå òîíêèå ïî ñðàâíåíèþ
ñ íåðàâåíñòâàìè äëÿ íîðì ðàçíîñòåé è ïîêàæåì, ÷òî íåðàâåíñòâà
òèïà Äæåêñîíà â êëàññè÷åñêîé ôîðìå ëåãêî ñëåäóþò èç íàøèõ íåðà-
âåíñòâ.
Ïóñòü H � êîìïëåêñíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿð-
íûì ïðîèçâåäåíèåì (·, ·) è íîðìîé ‖ · ‖ =
√
(·, ·), â êîòîðîì çàäàíî
ðàçëîæåíèå åäèíèöû [15], òî åñòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî
ïðîåêòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ Et : H → H, çàäàííûõ íà ïðîìåæóòêå
(−∞,+∞) òàêîå, ÷òî:
a) EuEv = Es ∀u, v ∈ (−∞,+∞), ãäå s = min{u, v};
b) â ñìûñëå ñèëüíîé ñõîäèìîñòè
∀t Et−0 = Et (−∞ < t < +∞) ;
c) E−∞ = lim
t→−∞
Et = 0, E+∞ = lim
t→+∞
= I ( Ix = x ∀x ∈ H).
Oïðåäåëåííàÿ äëÿ ëþáîãî x ∈ H ôóíêöèÿ
(Etx, x) , −∞ < t <∞,
ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ñëåâà è èìååò îãðàíè÷åííóþ âàðèàöèþ,
E−∞(x, x) = 0, E+∞(x, x) = (x, x).
Çàäàííîå ðàçëîæåíèå åäèíèöû ïîðîæäàåò ãðóïïó óíèòàðíûõ îïå-
ðàòîðîâ
Utx =
+∞∫
−∞
eistdEsx, (0 ≤ t <∞)
(èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè - ýòî îïåðàòîðíûé èíòåãðàë Ñòèëòüåñà,
íóæíûå íàì ñâîéñòâà êîòîðîãî ìîæíî íàéòè â [16]).
Äëÿ t ∈ R è x ∈ H ïîëîæèì
∆tx = x− Utx
Îöåíêè àïïðîêñèìàöèè ýëåìåíòîâ . . . 21
è îïðåäåëèì ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè ýëåìåíòà x ∈ H, ïîëàãàÿ
ω (x, δ) = sup
|t|≤δ
‖x− Utx‖ .
Îòìåòèì, ÷òî
‖∆tx‖2 = ‖x− Utx‖2 =
∞∫
−∞
ψ(ts)d(Esx, x),
ãäå ïîëîæåíî
ψ(ts) =
∣∣1− eist
∣∣2 .
Îïðåäåëèì íåêîòîðûé ëèíåéíûé ìåòîä ïðèáëèæåíèÿ
Λx =
σ∫
−σ
λ(t)dEtx,
ãäå λ(t) - íåïðåðûâíàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ. ßñíî, ÷òî
x− Λx =
∫
|t|<σ
(1− λ(t)) dEtx+
∫
|t|≥σ
dEtx =
∞∫
−∞
θ(t)dEtx,
ãäå θ(t) = 1− λ(t), åñëè |t| < σ, è θ(t) = 1, åñëè |t| ≥ σ.
Ïóñòü T = [0, δ] ⊂ [0, 2π], δ > 0, ïóñòü òàêæå v(t) � âåñ, ò.å. çà-
äàííàÿ íà T èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, ïîëîæèòåëüíàÿ íà ìíîæåñòâå
ïîëíîé ìåðû. Ââåäåì åùå ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå
Γ(v; t) =
∫
T
ψ(ts)v(s)ds.
Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ H òàêîãî, ÷òî x 6= Utx äëÿ íåêîòîðîãî t,
ðàññìîòðèì çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà f ∈ H∗ = H íà ðàçíîñòè x−Λx.
Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè � Áóíÿêîâñêîãî, áóäåì èìåòü
|(x− Λx, f)| =
∣∣∣∣∣∣
∞∫
−∞
θ(t)d (Etx, f)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
∞∫
−∞
θ(t)
Γ(v; t)
1
2
Γ(v; t)
1
2 d (Etx, f)
∣∣∣∣∣∣ ≤
22 Â.Ô. Áàáåíêî, Ñ.Â. Ñàâåëà
≤
∞∫
−∞
|θ(t)|2d(Etf, f)
Γ(v; t)
1
2
∞∫
−∞
Γ(v; t)d(Etx, x)
1
2
=
= Kσ
∫
T
v(s)
∞∫
−∞
ψ(ts)d(Etx, x)ds
1
2
= Kσ
∫
T
‖∆sx‖2v(s)ds
1
2
,
ãäå
Kσ =
∞∫
−∞
|θ(t)|2d(Etf, f)
Γ(v; t)
1
2
.
Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷åíî íåðàâåíñòâî
|(x− Λx, f)| ≤ Kσ
∫
T
‖∆sx‖2v(s)ds
1
2
.
Ïîêàæåì, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì. Ïîëîæèì
x∗ =
∞∫
−∞
θ(t)
Γ(v; t)
dEtf.
Ñ îäíîé ñòîðîíû, êàê ëåãêî âèäåòü,
|(x∗ − Λx∗, f)| =
∞∫
−∞
|θ(t)|2d(Etf, f)
Γ(v; t)
= K2
σ.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
x∗ − Utx
∗ =
∞∫
−∞
(1− eits)dEsx
∗ =
=
∞∫
−∞
(1− eits)dEs
∞∫
−∞
θ(u)
Γ(v;u)
dEuf =
Îöåíêè àïïðîêñèìàöèè ýëåìåíòîâ . . . 23
=
∞∫
−∞
θ(u)
Γ(v;u)
dEu
∞∫
−∞
(1− eits)dEsf =
∞∫
−∞
θ(s)
Γ(v; s)
(1− eits)dEsf.
Ñëåäîâàòåëüíî,
‖∆tx
∗‖2 =
∞∫
−∞
|θ(s)|2
Γ2(v; s)
ψ(ts)d(Esf, f)
è ∫
T
v(t)‖∆tx
∗‖2dt =
∫
T
v(t)
∞∫
−∞
|θ(s)|2
Γ2(v; s)
ψ(ts)d(Esf, f)dt =
=
∞∫
−∞
Γ(v; s)
|θ(s)|2
Γ2(v; s)
d(Esf, f) = K2
σ.
Òàêèì îáðàçîì,
|(x∗ − Λx∗, f)| = K2
σ = Kσ ·Kσ = Kσ
∫
T
v(t)‖∆tx
∗‖2dt
1
2
.
Èòàê, íàìè äîêàçàíà
Òåîðåìà 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåïðåðûâíîé êîìïëåêñíîçíà÷íîé
ôóíêöèè λ(t), ëèíåéíîãî ìåòîäà ïðèáëèæåíèÿ Λx =
σ∫
−σ
λ(t)dEtx,
ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ H òàêîãî, ÷òî x 6= Utx äëÿ íåêîòîðîãî t,
ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ H è ëþáîãî ïî÷òè âñþäó ïîëîæèòåëüíîãî íà
T = [0, δ] âåñà v(t) èìååò ìåñòî òî÷íîå íåðàâåíñòâî
|(x− Λx, f)| ≤ Kσ
∫
T
‖∆sx‖2v(s)ds
1
2
. (3)
Ñëåäñòâèå 1. Ïðè λ(t) ≡ 1 äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ H òàêîãî,
24 Â.Ô. Áàáåíêî, Ñ.Â. Ñàâåëà
÷òî x 6= Utx ïðè íåêîòîðîì t, ñïðàâåäëèâî òî÷íîå íåðàâåíñòâî
∣∣∣∣∣∣
x− σ∫
−σ
dEtx, f
∣∣∣∣∣∣ ≤
∫
|t|≥σ
d(Etf, f)
Γ(v; t)
1
2 ∫
T
‖∆tx‖2v(t)dt
1
2
.
Èç íåðàâåíñòâà (3), ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå äëÿ êîíñòàíòû Kσ âû-
âîäèì
‖x− Λx‖2 ≤ sup
‖f‖=1
∞∫
−∞
|θ(t)|2d(Etf, f)
Γ(v; t)
∫
T
‖∆sx‖2v(s)ds.
Ïîëîæèì
ϕ(t) =
|θ(t)|
Γ(v; t)
1
2
è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(A) îò ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A, ïî-
ðîæäåííîãî ðàçëîæåíèåì åäèíèöû Et:
ϕ(A) =
∞∫
−∞
ϕ(t)dEt.
Êàê èçâåñòíî,
sup
‖f‖=1
∞∫
−∞
|θ(t)|2d(Etf, f)
Γ(v; t)
= ‖ϕ(A)‖2
è ìû ïîëó÷àåì, ÷òî èìååò ìåñòî
Òåîðåìà 2. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ H òàêîãî, ÷òî x 6= Utx
ïðè íåêîòîðîì t, ñïðàâåäëèâî òî÷íîå íåðàâåíñòâî
‖x− Λx‖ ≤ ‖ϕ(A)‖
∫
T
‖∆sx‖2v(s)ds
1
2
.
Îöåíêè àïïðîêñèìàöèè ýëåìåíòîâ . . . 25
Îöåíèì ‖ϕ(A)‖. Èìååì
‖ϕ(A)‖2 = sup
‖f‖=1
∞∫
−∞
|θ(t)|2d(Etf, f)
Γ(v; t)
≤
≤ sup
‖f‖=1
sup
|t|<σ
|1− λ(t)|2
Γ(v; t)
∫
|t|<σ
d(Etf, f) + sup
|t|≥σ
1
Γ(v; t)
∫
|t|≥σ
d(Etf, f)
=
= max
{
sup
|t|<σ
|1− λ(t)|2
Γ(v; t)
, sup
|t|≥σ
1
Γ(v; t)
}
.
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà
Òåîðåìà 3. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ H òàêîãî, ÷òî x 6= Utx
ïðè íåêîòîðîì t, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
‖x− Λx‖2 ≤ max
{
sup
|t|<σ
|1− λ(t)|2
Γ(v; t)
, sup
|t|≥σ
1
Γ(v; t)
}∫
T
‖∆sx‖2v(s)ds.
Åñëè ðàçëîæåíèå åäèíèöû òàêîâî, ÷òî Et+ε − Et 6= 0 äëÿ ïðîèç-
âîëüíûõ t ∈ R è ε > 0, òî íåðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì.
Ïóñòü òåïåðü λ(t) ≡ 1, δ = π/σ è v(t) = sinσt. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ψ(ts) = |1− eits|2 = 2(1− cos ts) è òîò ôàêò, ÷òî
π
σ∫
0
cos ts sinσtdt ≤ 0
äëÿ s ≥ σ, ïîëó÷èì
sup
|t|≥σ
1
Γ(v; t)
=
σ
4
.
Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ H òàêîãî, ÷òî x 6= Utx
ïðè íåêîòîðîì t, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî∥∥∥∥∥∥x−
σ∫
−σ
dEtx
∥∥∥∥∥∥
2
≤ σ
4
π
σ∫
0
‖∆tx‖2 sinσtdt.
26 Â.Ô. Áàáåíêî, Ñ.Â. Ñàâåëà
Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî
‖∆tx‖ ≤ ω
(
x,
π
σ
)
t ∈
[
0,
π
σ
]
,
ïîëó÷àåì (ñì. [12 � 14])∥∥∥∥∥∥x−
σ∫
−σ
dEtx
∥∥∥∥∥∥ ≤ 1√
2
ω
(
x,
π
σ
)
.
1. ×åðíûõ Í.È. Î íåðàâåíñòâå Äæåêñîíà â L2 // Òðóäû ÌÈÀÍ. � 1967. �
88. � Ñ. 71 � 74.
2. ×åðíûõ Í.È. Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè ïåðèîäè÷åñêèõ Ôóíêöèé òðèãî-
íîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè â L2 // Ìàòåì. çàìåòêè. � 1967. � 2, � 5.
� Ñ. 513 � 522.
3. Èáðàãèìîâ È.È., Íàñèáîâ Ô.Ã. Îá îöåíêå íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ñóì-
ìèðóåìîé ôóíêöèè íà âåùåñòâåííîé îñè ïîñðåäñòâîì öåëûõ ôóíêöèé êî-
íå÷íîé ñòåïåíè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. � 1970. � 194, � 5. � Ñ. 1013 � 1016.
4. Ïîïîâ Â.Þ. Î íàèëó÷øèõ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèÿõ öåëûìè
ôóíêöèÿìè ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà // Èçâåñòèÿ ÂÓÇîâ. Ìàòåìàòèêà. �
1972. � 121, � 6. � Ñ. 65 � 73.
5. Áàáåíêî Â.Ô., Æèãàíîâà Ã.Ñ., Íîâèêîâà Ë.Ñ. Î íåðàâåíñòâàõ òèïà Äæåê-
ñîíà äëÿ íàèëó÷øèõ L2-ïðèáëèæåíèé ïðè ïîìîùè âåéâëåò // Âiñíèê Äíi-
ïðîïåòð. óí-òó. Ìàòåìàòèêà. � 2006. � 11. � Ñ. 3 � 8.
6. Ëèãóí À.À., Êàïóñòÿí Â.Å., Âîëêîâ Þ.È. Ñïåöèàëüíûå âîïðîñû òåîðèè
ïðèáëèæåíèé è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ðàñïðåäåëåííûìè ñèñòåìàìè. �
Êèåâ, 1990. � 211 ñ.
7. Èâàíîâ Â.È., Ñìèðíîâ Î.È. Êîíñòàíòû Äæåêñîíà è êîíñòàíòû Þíãà â
ïðîñòðàíñòâàõ Lp. � Òóëà, 1995. � 192 ñ.
8. Ãîðáà÷åâ Ä.Â. Èçáðàííûå çàäà÷è òåîðèè ôóíêöèé è òåîðèè ïðèáëèæåíèÿ.
� Òóëà, 2004. � 153 ñ.
9. Òàéêîâ Ë.Â. Íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé â
ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà L2 // Ìàò. çàìåòêè. � 1977. � 22, � 4. �
Ñ. 535 � 542.
10. Áîæóõà Ë.Í. Î íåðàâåíñòâå Äæåêñîíà ïðè ïðèáëèæåíèè ôóêíöèè ëè-
íåéíûìè ìåòîäàìè ñóììèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå L2 // Óêð. ìàò. æóðí.
� 2003. � 55, � 4. � Ñ. 537 � 545.
Îöåíêè àïïðîêñèìàöèè ýëåìåíòîâ . . . 27
11. Áàáåíêî Â.Ô., Äîðîíèí Â.Ã., Ëèãóí À.À., Øóìåéêî À.À. Î íåðàâåíñòâàõ
òèïà Äæåêñîíà äëÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ñôåðå // Óêð. ìàò. æóðí. �
2005. � 57, � 3. � Ñ. 291 � 304.
12. Ãîðáà÷óê Ì.Ë., Ãðóøêà ß.I., Òîðáà Ñ.Ì. Ïðÿìi i îáåðíåíi òåîðåìè â òåî-
ði¨ íàáëèæåíü ìåòîäîì Ðiòöà // Óêð. ìàò. æóðí. � 2005. � 57, � 5. �
Ñ. 633 � 643.
13. Òîðáà Ñ.Ì. Îïåðàòîðíèé ïiäõiä äî ïðÿìèõ i îáåðíåíèõ òåîðåì òåîði¨ íàá-
ëèæåíü: Àâòîðåô. íà çäîáóòòÿ íàóê. ñòóïåíÿ êàíä. ôiç.-ìàò. íàóê. � 2007.
� 20 c.
14. Áàáåíêî Â.Ô., Ñàâåëà Ñ.Â. Îöåíêè àïïðîêñèìàöèè ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòîâà
ïðîñòðàíñòâà ïîäïðîñòðàíñòâàìè, ïîðîæäåííûìè çàäàííûì ðàçëîæåíèåì
åäèíèöû // Âiñíèê ÄÍÓ. Ìàòåìàòèêà. � 2010. � 18, � 6/1. � Ñ. 49 � 58.
15. Àõèåçåð Í.È., Ãëàçìàí È.Ì. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå. � Ì.: Íàóêà, 1966. � 544 ñ.
16. Áåðåçàíñêèé Þ.Ì., Óñ Ã.Ô., Øåôòåëü Ç.Ã. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç.
Êóðñ ëåêöèé. � Êèåâ, 1990. � 600 ñ.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-109 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:35Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/3e/2233d06af9ba92f0f55fed2a0be5573e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1092018-01-29T14:44:27Z Estimates of approximation of elements of Hilbert space Оценки аппроксимации элементов Гильбертова пространства Оценки аппроксимации элементов Гильбертова пространства Babenko, V. F. Savela, S. V. Бабенко, В. Ф. Савела, С. В. Sharp estimation of approximation of the&nbsp;elements of a Hilbert space by arbitrary linear approximation&nbsp;methods operating to the subspace of whole vectors of exponential type are obtained Получены точные оценки аппроксимации элементов&nbsp;гильбертова пространства произвольным линейным методом приближения, действующим в подпространство целых векторов экспоненциального типа Одержані точні оцінки аппроксимації элементів&nbsp;гильбертового прострру довільним лінійним методом наближення, що&nbsp;діє в підпростір цілих векторів експоненціального типу Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/109 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 18-27 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 18-27 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 18-27 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/109/112 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Savela, S. V. Бабенко, В. Ф. Савела, С. В. Estimates of approximation of elements of Hilbert space |
| title | Estimates of approximation of elements of Hilbert space |
| title_alt | Оценки аппроксимации элементов Гильбертова пространства Оценки аппроксимации элементов Гильбертова пространства |
| title_full | Estimates of approximation of elements of Hilbert space |
| title_fullStr | Estimates of approximation of elements of Hilbert space |
| title_full_unstemmed | Estimates of approximation of elements of Hilbert space |
| title_short | Estimates of approximation of elements of Hilbert space |
| title_sort | estimates of approximation of elements of hilbert space |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/109 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf estimatesofapproximationofelementsofhilbertspace AT savelasv estimatesofapproximationofelementsofhilbertspace AT babenkovf estimatesofapproximationofelementsofhilbertspace AT savelasv estimatesofapproximationofelementsofhilbertspace AT babenkovf ocenkiapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva AT savelasv ocenkiapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva AT babenkovf ocenkiapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva AT savelasv ocenkiapproksimaciiélementovgilʹbertovaprostranstva |