On existence and construction of orthoscalar collections of subspaces
This paper is devoted to the studu of orthoscalar tuples of subspaces in a complex Hilbert space, i.e. such that their orthoprojections sums up to a scalar operator. Such objects also known as tight fusion frames. They have a particularly usefulness in signal p...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/11 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552535308369920 |
|---|---|
| author | Ostrovskyi, V. L. Yakymenko, D. Yu. Островський, В. Л. Якименко, Д. Ю. |
| author_facet | Ostrovskyi, V. L. Yakymenko, D. Yu. Островський, В. Л. Якименко, Д. Ю. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. Л. Островський",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Д. Ю. Якименко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Ostrovskyi, V. L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:53:12Z |
| description | This paper is devoted to the studu of orthoscalar tuples of subspaces in a complex Hilbert space, i.e. such that their orthoprojections sums up to a scalar operator. Such objects also known as tight fusion frames. They have a particularly usefulness in signal processing [3, 7, 8] and were studied in a number of works. For example, in [1] the question about possible values of the corresponding scalar was resolved. In [2] authors gave a criterion for existence of equal-rank tight fusion frames and presented a method for their construction, the so-called ’Spectral Tetris’. In this paper we present an explicit and simpler version of that criterion and supply it with a different proof. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 1, 154–165
УДК 517.9
В.Л. Островський
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Д.Ю. Якименко
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Про iснування та побудову
ортоскалярних наборiв пiдпросторiв.
vo@imath.kiev.ua, dandan@imath.kiev.ua
This paper is devoted to the studu of orthoscalar tuples of subspaces in a
complex Hilbert space, i.e. such that their orthoprojections sums up to a
scalar operator. Such objects also known as tight fusion frames. They have
a particularly usefulness in signal processing [3, 7, 8] and were studied in
a number of works. For example, in [1] the question about possible values
of the corresponding scalar was resolved. In [2] authors gave a criterion for
existence of equal-rank tight fusion frames and presented a method for their
construction, the so-called ’Spectral Tetris’. In this paper we present an
explicit and simpler version of that criterion and supply it with a different
proof.
Дану роботу присвячено ортоскалярним наборам пiдпросторiв компле-
ксного гiльбертового простору, тобто таким, для яких сума вiдповiд-
них ортопроекторiв є скалярним оператором. В англомовнiй лiтерату-
рi такi об‘єкти вiдомi як tight fusion frames. Вони мають застосування,
зокрема, в обробцi сигналiв [3, 7, 8] i неодноразово вивчались. Напри-
клад, в роботi [1] було дослiджено питання про можливi значення вiд-
повiдного скалярного оператору. У роботi [2] автори привели критерiй
iснування ортоскалярного набору у випадку, коли ранги ортопроекто-
рiв спiвпадають та описали метод побудови таких наборiв, так званий
“Спектральний тетрiс”. В данiй статтi ми наводимо явну та спрощену
версiю цього критерiю, а також iнший метод доведення.
c© В.Л. Островський, Д.Ю. Якименко, 2015
Про iснування та побудову ортоскалярних наборiв пiдпросторiв 155
1. Вступ
Нехай H це комплексний гiльбертiв простiр (скiнченновимiрний або
сепарабельний). Набiр пiдпросторiв будемо називати ортоскалярним,
якщо вiдповiднi ортопроектори P1, . . . , Pn в сумi дають скалярний опе-
ратор, тобто
P1 + P2 + ...+ Pn = λI,
λ ∈ C, P 2
i = P ∗i = Pi.
В англомовнiй лiтературi такi об‘єкти також вiдомi як tight fusi-
on frames. Вони мають застосування, наприклад, в обробцi сигналiв i
використовуються в алгоритмах комунiкацiї в розподiлених сенсорних
мережах [3, 7, 8].
В роботi [2] автори привели алгоритмiчний критерiй iснування ор-
тоскалярного набору у випадку, коли ранги ортопроекторiв спiвпада-
ють. Тобто їх критерiй для трiйки чисел (K,L,N) визначає, чи мо-
жливо побудувати ортоскалярний набiр з K ортопроекторiв рангу L у
N -вимiрному гiльбертовому просторi. Вони також навели метод побу-
дови таких наборiв, так званий “Спектральний тетрiс”. Нажаль, згада-
ним авторам були невiдомi подiбнi дослiдження таких об’єктiв. Так, в
роботi [1] було отримано опис множини ΣK можливих значень λI для
ортоскалярного набору з K ортопроекторiв (не обов’язково однаково-
го рангу). Використовуючи цей результат та властивостi нерiвностей
Хорна, в роздiлi 2 даної роботи ми виводимо бiльш явну та спроще-
ну версiю критерiю iснування ортоскалярного набору типу (K,L,N).
В роздiлi 3 ми також покажемо, як можна спростити процедуру побу-
дови таких ортоскалярних наборiв у порiвняннi з наведеною у [2].
Зауважимо, що в текстi статтi ми не будемо вiдрiзняти ортоскаляр-
ний набiр пiдпросторiв вiд набору ортопроекторiв, оскiльки у гiльбер-
товому просторi iснує однозначна вiдповiднiсть (див., напр, [6]).
2. Критерiй iснування ортоскалярного на-
бору типу (K,L,N)
Перед тим, як сформулювати основний результат цього роздiлу, наве-
демо у виглядi теореми 1 результати, отриманi у [1], про опис множини
156 В.Л. Островський, Д.Ю. Якименко
ΣK можливих значень λI для ортоскалярного набору з K ортопрое-
кторiв, якi не обов’язково є однакового рангу:
Теорема 1. Позначимо φK(λ) = 1 + 1
K−1−λ .
1) Для K ≤ 3:
Σ1 = {0, 1},Σ2 = {0, 1, 2},Σ3 = {0, 1, 3
2
, 2, 3}
2) Для K ≥ 4 множина ΣK має наступний опис:
ΣK = Λ1
K ∪ Λ2
K ∪
[K−√K2−4K
2
,
K+
√
K2−4K
2
]
∪K−Λ1
K ∪K−Λ2
K ,
Λ1
K = {φiK(0)}i∈N0 = {0, 1 +
1
K − 1
, 1 +
1
K − 2− 1
K−1
, . . . },
Λ2
K = {φiK(1)}i∈N0
= {1, 1 +
1
K − 2
, 1 +
1
K − 2− 1
K−2
, . . . }
Зауважимо, що об’єднання в цьому описi диз’юнктне.
3) Множина ΣfinK можливих значень λ для скiнченновимiрного ор-
тоскалярного набору з K ортопроекторiв має наступний опис:
ΣfinK = ΣK ∩Q
Легко бачити, що ця теорема дає необхiдну умову на трiйку чисел
(K,L,N) для iснування ортоскалярного набору вiдповiдного типу:
KL
N
∈ ΣK .
Виявляється, що ця умова є також i достатньою. Наступна теорема
є основним результатом даної статтi:
Теорема 2. Для трiйки чисел (K,L,N) ортоскалярний набiр вiдпо-
вiдного типу iснує тодi й тiльки тодi, коли
KL
N
∈ ΣK .
Ця форма критерiю може бути перевiрена безпосередньо, викори-
стовуючи критерiй з [2]. Але ми наводимо iнше, неконструктивне до-
ведення, елементи якого можуть бути кориснi i цiкавi самi по собi.
Про iснування та побудову ортоскалярних наборiв пiдпросторiв 157
Iдея доведення теореми полягає у наступному. Припустимо,
що iснує ортоскалярний набiр у розмiрностi (N ; d1, . . . , dK), тобто
dimH = N , dimPi = di. Тодi також iснує ортоскалярний набiр у роз-
мiрностi (MN ;Md1, . . . ,MdK) для M ∈ N — ми просто можемо взяти
пряму суму M копiй початкового набору. Виявляється, що це вiрно i
в обернену сторону:
Твердження 1. Нехай iснує ортоскалярний набiр у розмiрностi
(N ; d1, . . . , dK) та натуральне число M дiлить усi di та N . Тодi iснує
ортоскалярний набiр у розмiрностi (NM ; d1M , . . . , dKM ).
Перед тим, як довести твердження 1, покажемо, як з нього випли-
ває теорема 2.
Доведення теореми 2: Оскiльки необхiднiсть умови KL
N ∈ ΣK
очевидна, нам потрiбно довести лише достатнiсть. Позначимо λ =
KL
N i нехай λ ∈ ΣK . З теореми 1 ми знаємо, що iснує ортоска-
лярний набiр у якiйсь розмiрностi (d; d1, . . . , dK) з даним λ. З рiв-
ностi слiду випливає λ = 1
d
∑K
i=1 di. Вiзьмемо тепер пряму су-
му K копiй цього набору, але i-ту копiю циклiчно зсунемо на
i − 1. Тобто, i-тий доданок це ортоскалярний набiр у розмiрностi
(d; di, di+1, . . . , dK , d1, . . . , di−1). Отримана пряма сума є ортоскаляр-
ним набором у розмiрностi (Kd;
∑K
i=1 di, ...,
∑K
i=1 di). За тверджен-
ням 1 iснує деякий редукований ортоскалярний набiр у розмiрностi
(N ′;L′, ..., L′) з тим самим λ = KL′
N ′ = KL
N i такий, що L′ та N ′ взаємно
простi числа. Звiдси N = mN ′, L = mL′ для деякого m ∈ N. А отже,
ортоскалярний набiр у розмiрностi (N ;L, . . . , L) може бути побудова-
ний як пряма сума m копiй редукованого набору.
Для доведення твердження 1 ми будемо використовувати нерiвностi
Хорна. Насправдi, з їх допомогою ми доведемо бiльш загальне твер-
дження — теорему 3.
Через N -кортеж будемо позначати впорядкований набiр з N
дiйсних чисел. Нехай ми маємо K + 1 N -кортежiв. Тобто, λ(i) =
{λ1(i), . . . , λN (i)}, i = 0, . . . ,K. Визначимо N -кортеж в степенi на-
турального числа m як mN -кортеж, що складається з m копiй дано-
го N -кортежу: λm = {λ1, . . . , λ1, λ2, . . . , λ2, . . . , λN , . . . , λN}. Визначи-
мо добуток N -кортежу на число m просто як поелементне множення
mλ = {mλ1, . . . ,mλN}.
158 В.Л. Островський, Д.Ю. Якименко
Теорема 3. Нехай для (K + 1)-го N -кортежу λ(i) та числа m ∈ N
iснує K + 1 комплексних ермiтових матриць Ai у розмiрностi mN
таких, що спектр σ(Ai) = λ(i)m та
A1 + · · ·+AK = A0.
Тодi iснують комплекснi ермiтовi матрицi Bi у розмiрностi N
такi, що спектр σ(Bi) = λ(i) та
B1 + · · ·+BK = B0.
Вiдмiтимо, що в обернену сторону ця теорема очевидна — матрицi
Ai можна взяти як пряму суму m копiй матриць Bi.
Надалi будемо вважати, що всi розглядуванi нами кортежi впоряд-
кованi за спаданням елементiв, якщо не вказано протилежне. Впо-
рядкований набiр з (K + 1) кортежiв будемо називати валiдним то-
дi й тiльки тодi, коли iснують ермiтовi матрицi A0, . . . , AK такi, що
A0 = A1 + · · · + AK , а спектр кожної матрицi спiвпадає з вiдповiд-
ним кортежем. Для r-елементної пiдмножини I = {i1, i2, . . . , ir} ⊂
{1, . . . , N}, i1 < i2 < · · · < ir, визначимо функцiю µ
µ(I) = (ir − r, . . . , i2 − 2, i1 − 1)
— r-кортеж цiлих чисел впорядкованих за спаданням. Валiднiсть на-
бору кортежiв визначається нерiвностями Хорна. Вони мають довгу i
цiкаву iсторiю, яку можна подивитись у класичному оглядi [4].
Нам буде зручно використовувати рекурсивну версiю критерiю для
визначення валiдностi набору кортежiв. Для трьох матриць це теоре-
ма 2 з [4], а її узагальнення для довiльної кiлькостi матриць по сутi
доведено у [5], роздiл 7.
Теорема 4. Набiр з (K + 1)-го N -кортежу λ(i), i = 0, . . . ,K є валi-
дним тодi й тiльки тодi, коли
∀r < N ∀I0, . . . , IK :
∑
i∈I0
λi(0) ≤
∑
i∈I1
λi(1) +
∑
i∈I2
λi(2) + · · ·+
∑
i∈IK
λi(K),
де
Ij ⊂ {1, . . . , N}, |Ij | = r, j = 0, . . . ,K,
Про iснування та побудову ортоскалярних наборiв пiдпросторiв 159
причому Ij такi, що
(µ(I0), . . . , µ(IK))
є валiдний набiр r-кортежiв.
Доведення теореми 3. Для доведення теореми 3 нам потрiбно по-
казати, що {λ(i), i = 0, . . . ,K} є валiдним, якщо {λm(i), i = 0, . . . ,K}
валiдний. Iдея доведення зрозумiла — валiднiсть набору “великих” кор-
тежiв дає нам нерiвностi, з яких ми виводимо iншi нерiвностi, якi в
свою чергу означають валiднiсть набору “маленьких” кортежiв.
Означимо пiдкортежем λ|I кортежу λ наступний кортеж:
λ|I = (λi1 , . . . , λir ).
Для впорядкованої пiдмножини I = {i1, i2, . . . , ir} ⊂ {1, . . . , N}, i1 <
i2 < · · · < ir, визначимо градацiю I∧m за числом m як впорядковану
пiдмножину множини {1, . . . ,mN}:
I∧m = {1 + (i1 − 1)m, 2 + (i1 − 1)m, . . . ,m+ (i1 − 1)m,
1 + (i2 − 1)m, 2 + (i2 − 1)m, . . . ,m+ (i2 − 1)m,
. . . ,
1 + (ir − 1)m, 2 + (ir − 1)m, ...,m+ (ir − 1)m}.
Наступнi леми перевiряються безпосередньо.
Лема 1. λm|I∧m = (λ|I)m.
Лема 2. µ(I∧m) = m(µ(I))m.
Тепер ми можемо завершити доведення теореми 3. Нехай набiр
пiдмножин I0, . . . , IK множини {1, . . . , N} такий, що µ(I0), . . . , µ(IK)
— валiдний. Тодi m(µ(I0))m, . . . ,m(µ(IK))m також валiдний за
вiдомою конструкцiєю прямої суми. Звiдси по лемi 2 має-
мо, що µ(I∧m0 ), . . . , µ(I∧mK ) валiдний. Оскiльки за припущенням
λ(0)m, . . . , λ(K)m є валiдним, то за теоремою 4 наступна нерiвнiсть
має виконуватись:∑
i∈I∧m
0
(λ(0)m)i ≤
∑
i∈I∧m
1
(λ(1)m)i + · · ·+
∑
i∈I∧m
K
(λ(K)m)i.
За лемою 1 маємо∑
i∈I∧m
j
(λ(j)m)i = m
∑
i∈Ij
(λ(j))i = m
∑
i∈Ij
λi(j),
160 В.Л. Островський, Д.Ю. Якименко
а отже ми отримуємо нерiвнiсть∑
i∈I0
λi(0) ≤
∑
i∈I1
λi(1) + · · ·+
∑
i∈IK
λi(K)
яка й була необхiдна для доведення валiдностi λ(0), . . . , λ(K) за тео-
ремою 4.
Таким чином, ми показали, що нерiвностi Хорна для “маленьких”
кортежiв виводяться з нерiвностей Хорна для “великих” кортежiв.
3. Побудова ортоскалярних наборiв типу
(K,L,N)
В статтi [2] окрiм критерiю iснування також був наведений метод
побудови ортоскалярних наборiв типу (K,L,N) у випадку, коли
це можливо. Цей метод побудови складається з трьох етапiв, якi
можна умовно позначати як “модифiкацiя функторами Кокстера”,
“Спектральний тетрiс” та “модуляцiя по типу фрейму Габора”. В
цьому роздiлi ми опишемо iнший, дещо спрощений метод побудови
таких наборiв, який не використовує модуляцiю по типу фрейму
Габора.
Модифiкацiя ортоскалярного набору функторами Коксте-
ра (або spatial та Naimark complements).
Нехай S = (P1, P2, . . . , Pn) деякий ортоскалярний набiр ортопрое-
кторiв у розмiрностi d = (d0; d1, d2, . . . , dn), тобто
P1 + P2 + · · ·+ Pn = λIH ,
де dimH = d0, rankPi = di.
Неважко бачити, що набiр (IH − P1, IH − P2, . . . , IH − Pn) також є
ортоскалярним, але у розмiрностi d′ = (d0; d0 − d1, d0 − d2, . . . , d0 − dn)
та з iншим λ′ = n− λ.
Тож ми можемо визначити функтор Φlin, який ортоскалярному на-
бору S = (IH ;P1, P2, .., Pn) ставить у вiдповiднiсть ортоскалярний на-
бiр Φlin(S) = (IH ; IH − P1, IH − P2, . . . , IH − Pn). Такий функтор ми
будемо називати функтором лiнiйного вiдбиття. Виявляється, що мо-
жна визначити аналогiчний функтор гiперболiчного вiдбиття Φhyp
так, що будуть виконуватись наступнi властивостi:
Про iснування та побудову ортоскалярних наборiв пiдпросторiв 161
Твердження 2. Для невироджених ортоскалярних наборiв S вико-
нується:
Φ2
lin = Id, dim Φlin(S) = φlin(d) = (d0; d0 − d1, d0 − d2, . . . , d0 − dn),
φlin(λ) = n− λ,
Φ2
hyp = Id, dim Φhyp(S) = φhyp(d) = (
n∑
i=1
di − d0; d1, d2, . . . , dn),
φhyp(λ) =
λ
λ− 1
,
де набiр S називається невиродженим, якщо d0 > 0, di ≤ d0 ≤∑n
i=1 di.
Такi функтори є узагальненнями функторiв Кокстера, введених у
[9], якi дiють на зображеннях колчанiв у лiнiйних просторах.
Ми не будемо детально наводити конструкцiю функтору Φhyp.
Бiльш детально про цi функтори та їх властивостi для ортоскалярних
наборiв можна подивитись, наприклад, у [1] або у [2] де вони вiдомi як
spatial та Naimark complements.
Очевидно, що починаючи з якогось набору почерговим застосува-
нням функторiв ΦlinΦhypΦlinΦhyp, . . . , ми можемо або прийти до ви-
родженого набору або отримати нескiнченную послiдовнiсть ортоска-
лярних невироджених наборiв.
Для спрощення запису через Φ∗ будемо позначати Φlin або Φhyp ко-
ли нам не важливо їх вiдрiзняти, а записи Φm∗lin, Φm∗hyp будуть означати
почергове застосування m вiдбиттiв починаючи вiдповiдно з Φlin або
Φhyp.
Зауважимо, що пiд дiєю вiдбиттiв вiдповiдне λ буде залежати ли-
ше вiд K, початкового λ та кiлькостi крокiв i не буде залежати вiд
розмiрностi початкового набору.
Ортоскалярнi набори S0 = (IH ; 0, 0, . . . , 0) та Si =
(IH ; 0, . . . , 0, IH , 0, . . . , 0), де dimH = 1, ми будемо називати най-
простiшими.
Запишемо у виглядi наступної теореми необхiднi нам надалi твер-
дження, отриманi у [1]. Цi твердження описують динамiку значення λ
при застосуваннi вiдбиттiв.
Теорема 5. Позначимо ΣdiscrK = ΣK при K ≤ 3, та при K ≥ 4
ΣdiscrK = Λ1
K ∪ Λ2
K ∪ K − Λ1
K ∪ K − Λ2
K ,
162 В.Л. Островський, Д.Ю. Якименко
Λ1
K = {φiK(0)}i∈N0
= {0, 1 +
1
K − 1
, 1 +
1
K − 2− 1
K−1
, . . . },
Λ2
K = {φiK(1)}i∈N0
= {1, 1 +
1
K − 2
, 1 +
1
K − 2− 1
K−2
, . . . },
Також позначимо ΣcontK = [K−
√
K2−4K
2 , K+
√
K2−4K
2 ] при K ≥ 4, тобто
ΣK = ΣdiscrK ∪ ΣcontK .
Тодi
1. Застосуванням вiдбиттiв Φlin,Φhyp вiд найпростiших можна
отримати лише набори з λ ∈ ΣdiscrK .
2. Будь-який незвiдний ортоскалярний набiр з λ ∈ ΣdiscrK можна
отримати вiд найпростiших застовуванням вiдбиттiв.
3. Для будь-якого ортоскалярного набору з λ ∈ ΣcontK при послi-
довному застосуваннi вiдбиттiв множина вiдповiдних λ буде мати
непорожнiй перетин з [2, K2 ] та буде мати рiвно 2 граничнi точки
{K−
√
K2−4K
2 , K+
√
K2−4K
2 }.
Таким чином, для побудови ортоскалярного набору з λ ∈ ΣdiscrK
достатньо застосувати до найпростiших наборiв функтори вiдбиттiв
вiдповiдну кiлькiсть разiв. Але для λ ∈ ΣcontK , взагалi кажучи, таких
функторiв вже недостатньо, хоча достатньо вмiти будувати набори для
λ з промiжку [2, K2 ].
Спектральний тетрiс
У роботi [2] наведено процедуру, так званий ’Спектральний тетрiс’,
яка дозволяє будувати одновимiрнi ортоскалярнi набори з додаковими
гарними властивостями, що вiдображено в наступнiй теоремi:
Теорема 6. Для будь-яких чисел N,M ∈ N таких, що λ = M
N ≥ 2,
iснує ортоскалярний набiр S = (IH ;P1, .., PM ) типу (M, 1, N) i такий,
що Pi⊥Pj при |i− j| ≥ bλc+ 3.
Зауважимо, що маючи ортоскалярний набiр, в якому деякi ортопро-
ектори ортогональнi мiж собою, перестановкою та додаванням попар-
но ортогональних проекторiв можна отримати iнший ортоскалярний
набiр, з меншим числом проекторiв але зi збiльшеними розмiрностя-
ми. Наприклад, з ортоскалярного набору (P1, P2, P3, P4, P5), в якому
P2⊥P4, можна отримати набiр (P2 + P4, P1, P3, P5). Такий метод отри-
мання нових наборiв ми будемо називати ортокомпозицiєю.
Наступна теорема є основним результатом даного роздiлу.
Про iснування та побудову ортоскалярних наборiв пiдпросторiв 163
Теорема 7. Нехай трiйка чисел (K,L,N) задовольняє критерiю з те-
ореми 2. Тодi ортоскалярний набiр вiдповiдного типу можна побуду-
вати використовуючи лише спектральний тетрiс, ортокомпозицiю
та деяку кiлькiсть функторiв вiдбиттiв у визначенiй послiдовностi.
Доведення. Процедура побудови є наступною. По-перше будемо
вважати, що (N,L) взаємно простi. Iнакше ми застосуємо цю ж те-
орему для (K, L
gcd(L,N) ,
N
gcd(L,N) ), а потiм вiзьмемо пряму суму копiй
отриманого набору gcd(L,N) разiв.
Можливi наступнi випадки.
1. Нехай λ = KL
N ∈ ΣdiscrK . Це означає, що можливi наступнi випад-
ки: для деякого m ∈ N або φm∗lin(0) = λ або φm∗lin(1) = λ. При цьому
шуканий набiр S є наступним:
φm∗lin(0) = λ : S = Φm∗lin(S0),
φm∗lin(1) = λ : S = Φm∗lin(S1 ⊕ S2 ⊕ ..⊕ SK).
Набiр S єдиний з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi.
2. Нехай λ = KL
N ∈ ΣcontK , тож K ≥ 4. При K = 4 маємо Σcont4 = {2},
тобто λ = 2, N = 2, L = 1. Тодi теорема 6 дає необхiдну конструкцiю
набору типу (4, 1, 2). Але насправдi в цiй ситуацiї є повний опис орто-
скалярних наборiв типу (4, 1, 2), див., наприклад, [10].
Отже, нехай тепер K ≥ 5. За теоремою 5 починаючи вiд набору
з λ ∈ ΣcontK за скiнченну кiлькiсть застосувань вiдбиттiв ми можемо
прийти до ортоскалярного набору типу (K,L′, N ′) з λ′ ∈ [2, K2 ]. Тобто
iснує m ∈ N що або λ′ = φm∗lin(λ) ∈ [2, K2 ] або λ′ = φm∗hyp(λ) ∈ [2, K2 ].
Зрозумiло, що побудувавши набiр з такими L′, N ′, λ′ ми можемо отри-
мати набiр типу (K,L,N) просто крокуючи назад вiдбиттями вiдповiд-
ну кiлькiсть разiв. Тож насправдi нам досить вмiти будувати набори
лише з λ ∈ [2, K2 ].
Але якщо λ ∈ [2, K2 ], то ми можемо застосувати теорему 6 для
M = KL,N = N i отримати ортоскалярний набiр типу (KL, 1, N) з
властивiстю Pi⊥Pj при |i − j| ≥ bλc + 3, 1 ≤ i, j ≤ KL. Оскiльки
K ≥ 5 та λ ≤ K
2 , то bλc + 3 ≤ K. Звiдси Pi⊥Pj при |i − j| ≥ K. А
отже, ми можемо застосувати ортокомпозицiю, щоб отримати набiр
164 В.Л. Островський, Д.Ю. Якименко
типу (K,L,N):
(P1 + PK+1 + · · ·+ P(L−1)K+1,
P2 + PK+2 + · · ·+ P(L−1)K+2,
. . . , PK + P2K + · · ·+ PLK)
Вiдмiтимо, що цю теорему можна розглядати як iнше, конструктив-
не доведення достатностi для критерiю з теореми 2.
Автори щиро вдячнi академiку Ю.С. Самойленку за обговорення
та слушнi зауваження.
Лiтература
[1] С. А. Кругляк, В. И. Рабанович, Ю. С. Самойленко. О суммах
проекторов // Функц. Анал. Прилож., 2002, т. 36 в. 3, c. 20-35.
[2] P. G. Casazza, M. Fickus, D. Mixon, Y. Wang, and Z. Zhou.
Constructing tight fusion frames // Appl. Comput. Harmon. Anal.,
30 (2011), 175-187.
[3] B. G. Bodmann. Optimal linear transmission by loss-insensitive
packet encoding // Appl. Comput. Harmon. Anal., 22 (2007), 274-
285.
[4] W. Fulton. Eigenvalues, invariant factors, highest weights, and
Schubert calculus // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 37 (3) (2000),
pp. 209–249.
[5] A. Knutson, T. Tao, C. Woodward. The honeycomb model of
GLn(C) tensor products. II. Puzzles determine facets of the Li-
ttlewood–Richardson cone // J. Amer. Math. Soc., 17 (1) (2004),
pp. 19–48.
[6] Yu. S. Samoilenko, D. Yu. Yakymenko. On n-tuples of subspaces in
linear and unitary spaces // Meth. Funct. Anal. Topol., 15, No. 1,
383–396 (2009).
[7] P.G. Casazza, G. Kutyniok, S. Li. Fusion frames and distributed
processing // Appl. Comput. Harmon. Anal. 25 (2008) 114–132.
Про iснування та побудову ортоскалярних наборiв пiдпросторiв 165
[8] P.G. Casazza, G. Kutyniok, S. Li, C.J. Rozell. Modeling sensor
networks with fusion frames // Proc. SPIE 6701 (2007) 67011M-1–11.
[9] Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Пономарев В. А.. Функторы
Кокстера и теорема Габриеля // Успехи Мат. Наук, 28:2 (1973),
19–33.
[10] С. А. Кругляк, Л. А. Назарова, А. В. Ройтер. Ортоскалярные
представления колчанов в категории гильбертовых пространств
// Зап. научн. сем. ПОМИ, 338 (2006), 180–201.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-11 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:59Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/6f/6f6ec912412862bdafdcc91a821aa16f.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-112018-01-23T09:53:12Z On existence and construction of orthoscalar collections of subspaces Про iснування та побудову ортоскалярних наборiв пiдпросторiв Ostrovskyi, V. L. Yakymenko, D. Yu. Островський, В. Л. Якименко, Д. Ю. This paper is devoted to the studu of orthoscalar tuples of subspaces in a&nbsp;complex Hilbert space, i.e. such that their orthoprojections sums up to a&nbsp;scalar operator. Such objects also known as tight fusion frames. They have&nbsp;a particularly usefulness in signal processing [3, 7, 8] and were studied in&nbsp;a number of works. For example, in [1] the question about possible values&nbsp;of the corresponding scalar was resolved. In [2] authors gave a criterion for&nbsp;existence of equal-rank tight fusion frames and presented a method for their&nbsp;construction, the so-called ’Spectral Tetris’. In this paper we present an&nbsp;explicit and simpler version of that criterion and supply it with a different&nbsp;proof. Дану роботу присвячено ортоскалярним наборам пiдпросторiв комплексного гiльбертового простору, тобто таким, для яких сума вiдповiдних ортопроекторiв є скалярним оператором. В англомовнiй лiтературi такi об‘єкти вiдомi як tight fusion frames. Вони мають застосування,&nbsp;зокрема, в обробцi сигналiв [3, 7, 8] i неодноразово вивчались. Наприклад, в роботi [1] було дослiджено питання про можливi значення вiдповiдного скалярного оператору. У роботi [2] автори привели критерiй&nbsp;iснування ортоскалярного набору у випадку, коли ранги ортопроекторiв спiвпадають та описали метод побудови таких наборiв, так званий “Спектральний тетрiс”. В данiй статтi ми наводимо явну та спрощену&nbsp;версiю цього критерiю, а також iнший метод доведення. Інститут математики НАН України 2017-11-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/11 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 1 (2015): Spectral theory of operators and of collections of operators; 154-165 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 154-165 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 154-165 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/11/11 |
| spellingShingle | Ostrovskyi, V. L. Yakymenko, D. Yu. Островський, В. Л. Якименко, Д. Ю. On existence and construction of orthoscalar collections of subspaces |
| title | On existence and construction of orthoscalar collections of subspaces |
| title_alt | Про iснування та побудову ортоскалярних наборiв пiдпросторiв |
| title_full | On existence and construction of orthoscalar collections of subspaces |
| title_fullStr | On existence and construction of orthoscalar collections of subspaces |
| title_full_unstemmed | On existence and construction of orthoscalar collections of subspaces |
| title_short | On existence and construction of orthoscalar collections of subspaces |
| title_sort | on existence and construction of orthoscalar collections of subspaces |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/11 |
| work_keys_str_mv | AT ostrovskyivl onexistenceandconstructionoforthoscalarcollectionsofsubspaces AT yakymenkodyu onexistenceandconstructionoforthoscalarcollectionsofsubspaces AT ostrovsʹkijvl onexistenceandconstructionoforthoscalarcollectionsofsubspaces AT âkimenkodû onexistenceandconstructionoforthoscalarcollectionsofsubspaces AT ostrovskyivl proisnuvannâtapobudovuortoskalârnihnaborivpidprostoriv AT yakymenkodyu proisnuvannâtapobudovuortoskalârnihnaborivpidprostoriv AT ostrovsʹkijvl proisnuvannâtapobudovuortoskalârnihnaborivpidprostoriv AT âkimenkodû proisnuvannâtapobudovuortoskalârnihnaborivpidprostoriv |