One-dimensionality of the kernel of the system of Fredholm integral equations for a homogeneous biharmonic problem
A condition (doing a generalization of [Theorem 7.11, Gryshchuk S. V., Plaksa S. A. Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. 39(11): 2939 – 2952]) under which a dimension of the linear space of solutions for a system of the Fredholm integral equati...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/110 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552523582144512 |
|---|---|
| author | Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. |
| author_facet | Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. В. Грищук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Gryshchuk, S. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | A condition (doing a generalization of [Theorem 7.11, Gryshchuk S. V., Plaksa S. A. Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. 39(11): 2939 – 2952]) under which a dimension of the linear space of solutions for a system of the Fredholm integral equations (associated with the homogeneous biharmonic boundary value problem) equals one is found. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 128–139
УДК 517.5 + 517.95
C.В. Грищук
(Iнститут математики НАН України, Київ)
gryshchuk@imath.kiev.ua, serhii.gryshchuk@gmail.com
Одновимiрнiсть ядра системи
iнтегральних рiвнянь Фредгольма
для однорiдної бiгармонiчної задачi
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
Встановлено достатню умову (що узагальнює попереднi спiльнi резуль-
тати автора та проф. С.А. Плакси), при виконаннi якої розмiрнiсть лi-
нiйного простору розв’язкiв системи iнтегральних рiвнянь Фредгольма
для однорiдної бiгармонiчної крайової задачi дорiвнює одиницi.
A condition (doing a generalization of [Theorem 7.11, Gryshchuk S.V.,
Plaksa S.A. Monogenic functions in the biharmonic boundary value
problem // Math. Meth. Appl. Sci. — 2016. — 39(11): 2939 – 2952]) under
which a dimension of the linear space of solutions for a system of the
Fredholm integral equations (associated with the homogeneous biharmonic
boundary value problem) equals one is found.
1. Моногеннi функцiї зi значеннями у бiгармонi-
чнiй алгебрi. Асоцiативну комутативну над полем комплексних
чисел C алгебру другого рангу з одиницею, згiдно з роботою [1], бу-
демо називати бiгармонiчною, якщо вона мiстить базис {e1, e2}, що
задовольняє вимоги
(e2
1 + e2
2)2 = 0, e2
1 + e2
2 6= 0, (1)
який також будемо називати бiгармонiчним.
c© С.В. Грищук, 2017
Одновимiрнiсть ядра системи iнтегральних рiвнянь . . . 129
Ця алгебра єдина [1] i асоцiйована з плоским бiгармонiчним рiв-
нянням. Обмежимось надалi розглядом бiгармонiчного базису {e1, e2}
(див. [2]) з наступною таблицею множення:
e2
1 = e1, e2e1 = e2, e2
2 = e1 + 2ie2,
де i — уявна комплексна одиниця.
Позначимо через C = C ∪ {∞} розширену комплексну площи-
ну; Re z i Im z — дiйсну та уявну частини для z = Re z + i Im z ≡
≡ x + iy ∈ C, вiдповiдно. Розглянемо µ := {ζ = x e1 + y e2 :
z = x + iy ∈ C}. Нескiнченно вiддалена точка ζ = ∞ ∈ µ: вiдпо-
вiдна їй z = ∞ ∈ C. Пiд G розумiємо замикання довiльної областi G,
що належить µ або декартовiй площинi xOy.
Областi D декартової площини xOy поставимо у вiдповiднiсть кон-
груентну їй область Dζ := {ζ = xe1 + ye2 : (x, y) ∈ D} ⊂ µ.
Надалi вважаємо, що ζ = xe1 + ye2 ∈ Dζ , (x, y) ∈ D, z = x+ iy ∈ C.
Введемо у розгляд евклiдову норму:
‖A‖ =
√
|z1|2 + |z2|2, A = z1e1 + z2e2 ∈ B, zk ∈ C, k = 1, 2.
Функцiю Φ: Dζ −→ B будемо називати моногенною в областi Dζ ,
якщо в кожнiй точцi ζ ∈ Dζ iснує похiдна
Φ′(ζ) := lim
h→0, h∈µ
(
Φ(ζ + h)− Φ(ζ)
)
h−1,
де h−1 — обернений елемент до h.
Кожна функцiя Φ: Dζ −→ B має вигляд
Φ(ζ) = U1(x, y) e1 + U2(x, y) ie1 + U3(x, y) e2 + U4(x, y) ie2, (2)
де Uk : D −→ R, k = 1, 4
Введемо позначення: Uk [Φ(ζ)] := Uk(x, y), k = 1, 4.
Критерiй моногенностi ( [2] ):
Функцiя (2) є моногенною в областi Dζ , тодi i тiльки тодi, коли
її компоненти Uk [Φ(ζ)] , k = 1, 4, диференцiйовнi в D i виконується
наступний аналог умов Кошi–Рiмана:
∂Φ(ζ)
∂y
e1 =
∂Φ(ζ)
∂x
e2 ≡ Φ′(ζ)e2 ∀ζ ∈ Dζ . (3)
130 С.В. Грищук
У [3] встановлено, що моногенна функцiя Φ: Dζ −→ B має непе-
рервнi похiднi будь-якого порядку в областi Dζ . Тому в силу рiвностi
∆2Φ :=
∂4Φ(ζ)
∂x4
+ 2
∂4Φ(ζ)
∂x2∂y2
+
∂4Φ(ζ)
∂y4
= Φ(4)(ζ)(e2
1 + e2
2)2
i умови (1) кожна з її компонент Uk(x, y), k = 1, 4, є бiгармонi-
чною функцiєю, тобто задовольняє в областi D бiгармонiчне рiвняння:
∆2U(x, y) = 0, де ∆ := ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 — лапласiан.
Доведено (див. [3–5]), що кожна бiгармонiчна функцiя в однозв’я-
знiй областi є першою компонентою деякої моногенної функцiї, при
цьому усi такi моногеннi функцiї знайдено у явному виглядi.
2. Крайова (k-m)-задача для моногенних функцiй.
Розглянемо крайову задачу типу задачi Шварца для моногенних фун-
кцiй Φ : Dζ −→ B в областi Dζ , яка полягає у знаходженнi моногенної
в Dζ функцiї Φ за заданими граничними значеннями
Uj(x, y) := Uj
[
lim
τ→ζ∈∂Dζ ,τ∈Dζ
Φ(τ)
]
компонент Uj , j = {k,m}, 1 ≤ k < m ≤ 4, з розкладу (2):
Uk(x, y) = uk(ζ) , Um(x, y) = um(ζ) ∀ ζ ∈ ∂Dζ , (4)
де uk та um — фiксованi дiйснозначнi функцiї межi ∂Dζ областi Dζ
(див. [6]).
В роботах [7, 8] доведено, що задача про знаходження пружньої
рiвноваги iзотропного тiла D за заданими граничними значеннями ча-
стинних похiдних ∂u
∂x ,
∂v
∂y вiд змiщень u, v на межi ∂D еквiвалентна
(1-4)-задачi з вiдповiдними крайовими умовами.
3. Редукцiя бiгармонiчної крайової задачi до
(1-3)-задачi. Нехай тут i надалi D — обмежена однозв’язна область
площини xOy.
Розглянемо функцiї вигляду W : D −→ R, кожна з яких є непе-
рервною разом з частинними похiдними першого порядку ∂W
∂x i ∂W∂y у
D, а, у свою чергу, кожна з функцiй W , ∂W∂x i ∂W∂y неперервно продов-
жується на межу ∂D областi D. Основна бiгармонiчна задача (див.,
наприклад, [9, с. 13]) полягає у знаходженнi бiгармонiчної функцiї
Одновимiрнiсть ядра системи iнтегральних рiвнянь . . . 131
W : D −→ R, коли її значення i значення її нормальної похiдної за-
данi на межi ∂D:
W (x0, y0) = ω1(s),
∂W
∂n
(x0, y0) = ω2(s) ∀ (x0, y0) ∈ ∂D , (5)
де s — дугова координата точки (x0, y0) ∈ ∂D.
У випадку, коли ω1 є неперервно диференцiйовною функцiєю,
основна бiгармонiчна задача “еквiвалентна” наступнiй бiгармонiчнiй
задачi (термiн вживається, наприклад, у [9, с. 13]):
знайти бiгармонiчну функцiю V : D −→ R, яка задовольняє наступнi
крайовi умови
lim
(x,y)→(x0,y0), (x,y)∈D
∂V (x, y)
∂x
= ω3(s) ,
lim
(x,y)→(x0,y0), (x,y)∈D
∂V (x, y)
∂y
= ω4(s) ∀ (x0, y0) ∈ ∂D ,
∫
∂D
(
ω3(s) cos∠(s, x) + ω4(s) cos∠(s, y)
)
ds = 0 ,
(6)
де функцiї ω3, ω4 зв’язанi з функцiями ω1, ω2 задачi (5) спiввiдноше-
ннями (див. [10, c. 577]):
ω3(s) = ω′1(s) cos∠(s, x) + ω2(s) cos∠(n, x) ,
ω4(s) = ω′1(s) cos∠(s, y) + ω2(s) cos∠(n, y) ,
в яких s i n — вiдповiдно одиничнi вектори дотичної i зовнiшньої нор-
малi до межi ∂D, а через ∠(·, ·) позначено кут мiж вiдповiдним ве-
ктором (s або n) i додатнiм напрямком координатної осi (x або y),
зазначеними у дужках. Розв’язки задач (5) i (6) зв’язанi рiвнiстю
V (x, y) = W (x, y) + c , де c ∈ R .
Бiгармонiчна задача (6) редукується до (1-3)-задачi для моногенної
в Dζ функцiї Φ = Φ′1, такої, що V = U1 [Φ1] (див. [6, 11,12]).
4. Редукцiя (1-3)-задачi до iнтегральних рiвнянь
Фредгольма. У [12] дослiджено розв’язнiсть (1-3)-задачi у формi
гiперкомплексного iнтеграла типу Кошi
Φ(ζ) = B [ϕ] (ζ) :=
1
2πi
∫
∂Dζ
ϕ(τ)(τ − ζ)−1 dτ ∀ ζ ∈ Dζ , (7)
132 С.В. Грищук
де ϕ(τ) := ϕ1(τ)e1 + ϕ3(τ)e2, τ ∈ ∂Dζ , а функцiї ϕ1 : ∂Dζ −→ R i
ϕ3 : ∂Dζ −→ R (а отже i ϕ) задовольняють умову типу Дiнi
1∫
0
ω(ϕ, η)
η
d η <∞ (8)
для модуля неперервностi
ω(ϕ, ε) := sup
τ1,τ2∈∂Dζ , ‖τ1−τ2‖≤ε
‖ϕ(τ1)− ϕ(τ2)‖.
Для розв’язання (1-3)-задачi використовується конформне вiдображе-
ння z = τ(t) верхньої напiвплощини {t ∈ C : Im t > 0} на область
Dz := {z = x + iy : xe1 + ye2 ∈ Dζ}. Позначимо τ1(t) := Re τ(t),
τ2(t) := Im τ(t).
Оскiльки вказане конформне вiдображення неперервно продовжу-
ється до гомеоморфiзма замикань вiдповiдних областей, то функцiя
τ̃(s), що визначається рiвнiстю
τ̃(s) := τ1(s)e1 + τ2(s)e2 ∀ s ∈ R, (9)
здiйснює гомеоморфне вiдображення розширеної дiйсної осi
R := R ∪ {∞} на криву ∂Dζ .
Умови на межу областi Dζ формулюються в термiнах конформного
вiдображення σ(T ) одиничного круга {T ∈ C : |T | < 1} на область Dz,
такого, що τ(t) = σ
(
t−i
t+i
)
для всiх t ∈ {t ∈ C : Im t > 0}.
За умов, що конформне вiдображення σ(T ) має вiдмiнну вiд нуля
контурну похiдну σ′(T ) на одиничному колi Γ := {T ∈ C : |T | = 1} i ї ї
модуль неперервностi
ωΓ(σ′, ε) := sup
T1,T2∈Γ, |T1−T2|≤ε
|σ′(T1)− σ′(T2)|
задовольняє умову
2∫
0
ωΓ(σ′, η)
η
ln
3
η
dη <∞, (10)
в [12] доведено, що розв’язнiсть (1-3)-задачi у формi (7) еквiвалентна
Одновимiрнiсть ядра системи iнтегральних рiвнянь . . . 133
розв’язностi наступної системи iнтегральних рiвнянь Фредгольма:
1
2
g1(t) +
1
2π
∞∫
−∞
g1(s)
(
Im k1(t, s) + 2Re k2(t, s)
)
ds−
− 1
π
∞∫
−∞
g3(s)Im k2(t, s) ds = ũ1(t),
1
2
g3(t) +
1
2π
∞∫
−∞
g3(s)
(
Im k1(t, s)− 2Re k2(t, s)
)
ds−
− 1
π
∞∫
−∞
g1(s)Im k2(t, s) ds = ũ3(t) ∀ t ∈ R ,
(11)
де gj(s) := ϕj (τ̃(s)) i ũj(t) := uj
(
τ̃(t)
)
при j ∈ {1, 3},
k1(t, s) :=
τ ′(s)
τ(s)− τ(t)
− 1 + st
(s− t)(s2 + 1)
,
k2(t, s) :=
τ ′(s)
(
τ2(s)− τ2(t)
)
2
(
τ(s)− τ(t)
)2 − τ ′2(s)
2
(
τ(s)− τ(t)
) .
Доведено також, що умова∫
∂Dζ
u1(xe1 + ye2) dx+ u3(xe1 + ye2) dy = 0 (12)
є необхiдною для розв’язностi системи (11).
5. Достатнi умови одновимiрностi ядра систе-
ми iнтегральних рiвнянь Фредгольма, асоцiйованої
з однорiдними (1-3)- та бiгармонiчною задачами.
Позначимо D+
ζ := Dζ i D−ζ := µ \Dζ .
Зауваження 1. Аналогiчно доведенню властивостей комплексно-
го iнтеграла типу Кошi встановлюємо, що B [ϕ] (ζ) є моногенною
функцiєю в D±ζ , а
B [ϕ] (∞) = 0, (13)
за умови, що ϕ є iнтегровною на ∂Dζ .
134 С.В. Грищук
Якщо ϕ має iнтегровну контурну похiдну ϕ′, то виконується рiв-
нiсть
∂
∂ζ
(B [ϕ] (ζ)) = B [ϕ′] (ζ) ∀ζ ∈ µ \ ∂Dζ . (14)
Якщо ϕ задовольняє умову типу Дiнi (8), то iснують граничнi
значення
B± [ϕ] (ζ) := lim
τ→ζ,τ∈D±
ζ
B [ϕ] (τ)
у кожнiй точцi ζ ∈ ∂Dζ i справедлива формула (див. Теорему 4.2
з [12]):
B+ [ϕ] (ζ)−B− [ϕ] (ζ) = ϕ(ζ) ∀ζ ∈ ∂Dζ . (15)
Будемо казати, що iнтеграл B [ϕ] з (7) визначений у D+
ζ i D−ζ , якщо
|Uk [B [ϕ] (ζ)]| < +∞, k = 1, 4,
при усiх ζ ∈ D+
ζ i ζ ∈ D−ζ вiдповiдно. Або, iншими словами, при ко-
жному ζ ∈ D±ζ має мiсце включення: B [ϕ] (ζ) ∈ B.
В наступнiй теоремi мiстяться природнi умови, за яких рiвнiсть (12)
є також достатньою для розв’язностi системи iнтегральних рiвнянь
(11) у декартовому просторi
(
C( R )
)2
:= C( R )× C( R ), де C( R ) є
банаховим простором неперервних на розширенiй дiйснiй осi функцiй,
а однорiдна система (11) (при ũj ≡ 0, j = {1, 3}) має одновимiрне ядро.
Теорема 1 ( [12]). Нехай конформне вiдображення σ(T ) має вiдмiнну
вiд нуля контурну похiдну σ′(T ) на колi Γ i її модуль неперервностi
задовольняє умову (10).
Нехай усi розв’язки (g1, g3) ∈
(
C( R )
)2
однорiдної системи рiвнянь
(11) є диференцiйовними на R i мають мiсце умови:
(a) iнтеграл B [ϕ′] (ζ) визначений у D+
ζ i D−ζ ,
(b) функцiї
Ψ± [ϕ] (ζ) := B [ϕ′] (ζ) ∀ζ ∈ D±ζ
є обмеженими для кожної
ϕ(τ) := g1(s)e1 + g3(s)e2, τ = τ̃(s)∀s ∈ R,
де пiд ϕ′ розумiється контурна похiдна функцiї ϕ (τ̃(s)).
Тодi справедливi наступнi твердження:
Одновимiрнiсть ядра системи iнтегральних рiвнянь . . . 135
(i) число лiнiйно незалежних розв’язкiв однорiдної системи рiвнянь
(11) дорiвнює 1;
(ii) неоднорiдна система рiвнянь (11) є розв’язною, тодi i тiльки
тодi, коли виконується умова (12).
Зауваження 2. Формулювання Теореми 1 аналогiчне формулю-
ванню Теореми 7.11 роботи [12], де вiдсутня умова (a). Це пов’язано
з тим, що при Ψ± [ϕ] (ζ) := B [ϕ′] (ζ), ζ ∈ D±ζ , з умови (b) випливає
умова (a).
Подiл на пункти (a) i (b) у формулюваннi Теореми 1 здiйснено
для зручностi формулювання наступної теореми, що узагальнює Те-
орему 1, мiстячи послаблення умови (b).
Теорема 2. Нехай конформне вiдображення σ(T ) має вiдмiнну вiд
нуля контурну похiдну σ′(T ) на колi Γ i її модуль неперервностi за-
довольняє умову (10).
Нехай усi розв’язки (g1, g3) ∈
(
C( R )
)2
однорiдної системи рiвнянь
(11) є диференцiйовними на R i мають мiсце умови:
(a) iнтеграл B [ϕ′] (ζ) визначений у D+
ζ i D−ζ ,
(b) функцiї
Ψ+ [ϕ] (ζ) := U1 [B [ϕ′] (ζ)]−U4 [B [ϕ′] (ζ)] ∀ζ ∈ D+
ζ , (16)
Ψ− [ϕ] (ζ) := U2 [B [ϕ′] (ζ)] + U3 [B [ϕ′] (ζ)] ∀ζ ∈ D−ζ , (17)
є обмеженими для кожної
ϕ(τ) := g1(s) e1 + g3(s) e2, τ = τ̃(s), ∀s ∈ R, (18)
а
ϕ′(τ) := g′1(s) e1 + g′3(s) e2 ∀τ = τ̃(s).∀s ∈ R, (19)
Тодi справедливi твердження (i) та (ii) Теореми 1.
Доведення. Як i при доведеннi Теореми 7.11 роботи [12], встанов-
люємо, що iснує щонайменше один розв’язок (g0
1 , g
0
3) ∈
(
C( R )
)2
одно-
рiдної системи рiвнянь для (11). Тодi функцiя
Φ0(ζ) := B [ϕ0] (ζ)∀ζ ∈ Dζ , (20)
136 С.В. Грищук
де ϕ := ϕ0 визначається з (18) при gk := g0
k, k ∈ {1, 3}, є розв’язком
однорiдної (1-3)-задачi, причому в силу Теореми 7.2 з [12] функцiя
ϕ0(τ) задовольняє умову виду (8). З диференцiйовностi функцiй g0
1 , g0
3
на R випливає, що функцiя ϕ0(τ) має контурну похiдну ϕ′0 для кожної
τ ∈ ∂Dζ , яка визначається рiвнiстю (19) при ϕ := ϕ0. З огляду на
Зауваження 1, встановлюємо, що
Φ′0(ζ) ≡ ∂
∂ζ
(B [ϕ0] (ζ)) = B [ϕ′0] (ζ) ∀ζ ∈ µ \ ∂Dζ . (21)
Нехай Φ1 є моногенною функцiєю в Dζ , такою, що Φ′1(ζ) = Φ0(ζ)
при всiх ζ ∈ Dζ . Тому V (x, y) := U1 [Φ1(ζ)] є розв’язком однорiдної
бiгармонiчної задачi (6) з ω3 = ω4 ≡ 0, причому
∂V (x, y)
∂x
= U1 [B [ϕ0] (ζ)] ,
∂V (x, y)
∂y
= U3 [B [ϕ0] (ζ)] ∀ζ ∈ Dζ . (22)
Враховуючи Зауваження 1, рiвностi (22), (21) i (3), одержуємо насту-
пний ланцюжок рiвностей для лапласiана ∆V в точках (x, y) ∈ D:
∆V (x, y) =
∂
∂x
(U1 [B [ϕ0] (ζ)]) +
∂
∂y
(U3 [B [ϕ0] (ζ)]) =
= U1
[
∂
∂x
(B [ϕ0] (ζ))
]
+ U3
[
∂
∂y
(B [ϕ0] (ζ))
]
=
= U1
[
∂
∂x
(B [ϕ0] (ζ))
]
+ U3
[
e2
∂
∂x
(B [ϕ0] (ζ))
]
=
= U1
[
∂
∂ζ
(B [ϕ0] (ζ))
]
+ U3
[
e2
∂
∂ζ
(B [ϕ0] (ζ))
]
=
= U1 [Φ′0(ζ)] + U3 [e2Φ′0(ζ)] . (23)
Оскiльки U3 [e2A] = U1 [A] − 2U4 [A] при кожному A ∈ B, то рiвнiсть
(23) набуває вигляду
∆V (x, y) = 2 (U1 [B [ϕ′0] (ζ)]−U4 [B [ϕ′0] (ζ)]) ≡
≡ 2Ψ+ [ϕ0] (ζ) ∀ζ ∈ Dζ . (24)
Тому обмеженiсть Ψ+ [ϕ0] в Dζ приводить до обмеженостi лапласiа-
на ∆V вD. Тепер, в силу роботи [13], довiльний розв’язок V однорiдної
Одновимiрнiсть ядра системи iнтегральних рiвнянь . . . 137
бiгармонiчної задачi для областi D, що має обмежений лапласiан ∆V ,
має вигляд: V = const. Oдже, в силу (22), маємо рiвностi
U1 [Φ0(ζ)] = U3 [Φ0(ζ)] ≡ 0 ∀ζ ∈ Dζ .
Тому, вибираючи з [3, формула (24)] тi моногеннi функцiї, у яких
i третя дiйсна компонента тотожна нулевi, приходимо до формули
B [ϕ0] (ζ) = ikζ + i (n1e1 + n2e2) при всiх ζ ∈ Dζ , де n1, n1, k — до-
вiльнi дiйснi числа
Усi мiркування, що були проведенi для ϕ0(τ) i Φ0(ζ), зберiгаються
i для довiльної ϕ(τ) з (18) i Φ(ζ) := B [ϕ] (ζ). Зокрема, функцiя ϕ(τ)
задовольняє умову виду (8), а функцiя Φ(ζ) є розв’язком однорiдної
(1-3)-задачi в областi Dζ , i має мiсце формула
B [ϕ] (ζ) = ikζ + i (n1e1 + n2e2) ∀ζ ∈ Dζ , (25)
де n1, n1, k — довiльнi дiйснi числа
Умова обмеженостi функцiї (17) виникає, при доведеннi вiд супро-
тивного того, що k 6= 0 у (25). Дiйсно, припускаючи, що k = 0 у данiй
формулi, приходимо в силу (15) до рiвностей
B− [ϕ] (ζ) = −ϕ(ζ) + B+ [ϕ] (ζ) = −ϕ(ζ) + i (n1e1 + n2e2) ∀ζ ∈ ∂D−ζ .
Тому, для кожної ϕ з (18), функцiя Φ(ζ) = B [ϕ] (ζ), ζ ∈ D−ζ , є розв’яз-
ком (2-4)-задачi для D−ζ з граничними умовами в (4) з u2(ζ) := n1,
u4(ζ) := n2.
Аналогiчно, як i для (1-3)-задачi, (2-4)-задача для моногенної фун-
кцiї Φ(ζ) = Φ′1(ζ), U2 [Φ1(ζ)] = V (x, y), асоцiйована з бiгармонiчною
задачею для функцiї V , в силу рiвностей
U2 [Φ′1(ζ)] =
∂V (x, y)
∂x
, U4 [Φ′1(ζ)] =
∂V (x, y)
∂y
, (26)
якi слiдують з умови (3) для Φ := Φ1. Далi, дiючи аналогiчно доведен-
ню (23), з використанням спiввiдношення
U2 [A] + U4 [e2A] = 2 (U2 [A] + U3 [A]) ∀A ∈ B,
приходимо до рiвностi
∆V (x, y) = 2 (U2 [B [ϕ′] (ζ)] + U3 [B [ϕ′] (ζ)]) ≡
138 С.В. Грищук
≡ 2Ψ− [ϕ] (ζ).∀ζ ∈ D−ζ , (27)
Рiвнiсть (27) та обмеженiсть кожної функцiї з (17) приводять, в силу
роботи [13], аналогiчно встановленню подiбного факту i для однорi-
дної (1-3)-задачi у D+
ζ i вiдповiдної однорiдної бiгармонiчної задачi
у областi D, спочатку до формули загального розв’язку, V = const,
однорiдної бiгармонiчної задачi для необмеженої областi з межею ∂D,
а далi — до факту про те, що загальний розв’язок V бiгармонiчної за-
дачi у данiй областi з крайовими умовами ω3 := n1, ω4 := n2 подається
формулою: V (x, y) = n1x+ n2y + const.
Тому в силу (26), одержуємо рiвностi
U2 [B [ϕ] (ζ)] = n1,U4 [B [ϕ] (ζ)] = n2 ∀ζ ∈ D−ζ .
Оскiльки для кожної Φ вигляду (2) виконуються спiввiдношення
U2[Φ] = U1[−iΦ], U4[Φ] = U3[−iΦ], функцiя Φ(ζ) := i (n1e1 + n2e2)
визначає частковий розв’язок згаданої (2-4)-задачi для D−ζ , загальний
розв’язок однорiдної (2-4)-задачi дляD−ζ одержується множенням пра-
вої частини рiвностi вигляду (25), що розглядається у D−ζ , на i
3, отже,
одержуємо рiвнiсть
B [ϕ] (ζ) = k1ζ +m1e1 +m2e2 + i (n1e1 + n2e2) ∀ζ ∈ D−ζ , (28)
де k1, m1, m2 — довiльнi дiйснi числа.
Застосовуючи (13) до (28), одеpжуємо: k1 = m1 = m2 = n1 =
= n2 = 0, Далi, формула (15), з урахуванням (25) при k = 0, при-
водить до тотожностi: ϕ ≡ 0. Але, за доведеним, iснує ϕ := ϕ0, яка не
є тотожною нулевi. Тому припущення про те, що k = 0 в (25) є хибним.
Далi, завершення доведення теореми, зокрема, той факт, що розв’я-
зок однорiдної системи для (11), а, отже, i розв’язок однорiдної (1-3)-
задачi вигляду (7) iснує лише при ϕ = αϕ0 (параметр α ∈ R), iденти-
чне мiркуванням Теореми 7.11 з [12] (пiсля формули (7.14)). Теорему
доведено.
Робота виконана за часткової пiдтримки гранта
Мiнiстерства освiти i науки України (проект № 0116U001528).
Лiтература
[1] Мельниченко И.П. Бигармонические базисы в алгебрах второго ран-
га // Укр. мат. журн. — 1986. — 38, № 2. — C. 252 – 254.
Одновимiрнiсть ядра системи iнтегральних рiвнянь . . . 139
[2] Ковалев В.Ф., Мельниченко И.П. Бигармонические функции на бигар-
монической плоскости // Докл. АН УССР, Сер. А. — 1981. — № 8. —
C. 25 – 27.
[3] Грищук С.В., Плакса С.А. Моногенные функции в бигармонической
алгебре // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 12. — C. 1587 – 1596.
[4] Plaksa S.A., Gryshchuk S.V., Shpakivskyi V. S. Commutative algebras
of monogenic functions associated with classic equations of mathematical
physic // in “Complex Analysis and Dynamical Systems IV”, Contemporary
Mathematics. — 2011. — 553. — Providence, RI: Amer. Math. Soc. —
P. 245 – 258
[5] Gryshchuk S.V., Plaksa S.A. Basic Properties of Monogenic Functions in
a Biharmonic Plane // in: “Complex Analysis and Dynamical Systems V”,
Contemporary Mathematics. — 2013. — 591. — Providence, RI: Amer.
Math. Soc. — P. 127 – 134
[6] Ковалев В.Ф. Бигармоническая задача Шварца. — К.: ИМ АН УССР,
1986. — 19 с. — (Препр. / АН УССР, Ин-т математики; 86.16).
[7] Gryshchuk S.V. B-valued monogenic functions and their applications to
boundary value problems in displacements of 2-D Elasticity // ArXiv
preprint. — 2016. — 12 p. — (ArXiv preprint / arXiv:1601.01626v1
[math.AP]).
[8] Gryshchuk S.V. B-valued monogenic functions and their applications
to boundary value problems in displacements of 2-D Elasticity // in:
“Analytic Methods of Analysis and Differential Equations: AMADE 2015”,
S.V. Rogosin and M.V. Dubatovskaya, Belarusian State University, Mi-
nsk, Belarus (Eds.), Cambridge Scientic Publishers Ltd, 45 Margett
Street, Cottenham, Cambridge CB24 8QY, UK (2016) (to appear), ISBN
(paperback) 978-1-908106-56-8, P. 37 – 47.
[9] Михлин С. Г. Плоская задача теории упругости // Труды Сейсм. ин-та
АН СССР. — 1935. — № 65. — М.–Л.: Изд-во АН СССР. — 82 c.
[10] Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего ана-
лиза. — M.: ГИФМЛ. — 1962. — 708 c.
[11] Gryshchuk S.V., Plaksa S.A. Schwartz-type integrals in a biharmonic
plane // Inter. J. of Pure and Appl. Math. — 2013. — 83, No. 1.— P. 193 –
211.
[12] Gryshchuk S.V., Plaksa S.A. Monogenic functions in the biharmonic
boundary value problem // Math. Meth. Appl. Sci. — 2016. — 39, No. 11. —
P. 2939 – 2952 / DOI: 10.1002/mma.3741 /.
[13] Михлин С. Г. Теорема единственности для основной бигармонической
проблемы // Матем. сб. — 1934. — 41, № 2. — С. 284 – 291.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-110 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:47Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/4c/97c8dc3c4e9d98dbb467b454c215214c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1102018-02-13T13:58:16Z One-dimensionality of the kernel of the system of Fredholm integral equations for a homogeneous biharmonic problem Одновимірність ядра системи інтегральних рівнянь Фредгольма для однорідної бігармонічної задачі Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. A condition (doing a generalization of [Theorem 7.11, Gryshchuk S. V., Plaksa S. A. Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. 39(11): 2939 – 2952]) under which a dimension of the linear space of solutions for a system of the Fredholm integral equations (associated with the homogeneous biharmonic boundary value problem) equals one is found. Встановлено достатню умову (що узагальнює попередні спільні результати автора та проф. С.А. Плакси), при виконанні якої розмірність лінійного простору розв'язків системи інтегральних рівнянь Фредгольма для однорідної бігармонічної крайової задачі дорівнює одиниці. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/110 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 128–139 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 128–139 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 128–139 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/110/99 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. One-dimensionality of the kernel of the system of Fredholm integral equations for a homogeneous biharmonic problem |
| title | One-dimensionality of the kernel of the system of Fredholm integral equations for a homogeneous biharmonic problem |
| title_alt | Одновимірність ядра системи інтегральних рівнянь Фредгольма для однорідної бігармонічної задачі |
| title_full | One-dimensionality of the kernel of the system of Fredholm integral equations for a homogeneous biharmonic problem |
| title_fullStr | One-dimensionality of the kernel of the system of Fredholm integral equations for a homogeneous biharmonic problem |
| title_full_unstemmed | One-dimensionality of the kernel of the system of Fredholm integral equations for a homogeneous biharmonic problem |
| title_short | One-dimensionality of the kernel of the system of Fredholm integral equations for a homogeneous biharmonic problem |
| title_sort | one-dimensionality of the kernel of the system of fredholm integral equations for a homogeneous biharmonic problem |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/110 |
| work_keys_str_mv | AT gryshchuksv onedimensionalityofthekernelofthesystemoffredholmintegralequationsforahomogeneousbiharmonicproblem AT griŝuksv onedimensionalityofthekernelofthesystemoffredholmintegralequationsforahomogeneousbiharmonicproblem AT gryshchuksv odnovimírnístʹâdrasistemiíntegralʹnihrívnânʹfredgolʹmadlâodnorídnoíbígarmoníčnoízadačí AT griŝuksv odnovimírnístʹâdrasistemiíntegralʹnihrívnânʹfredgolʹmadlâodnorídnoíbígarmoníčnoízadačí |