A problem about parametric resonance in system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface
The generalized Faraday problem about development of parametric resonance in mechanical system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface” is investigated. Here the suspension point performs motion in vertical plane according to given harmonic law. Investigation is done on the ba...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/112 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552523215142912 |
|---|---|
| author | Konstantinov, O. V. Lumarchenko, O. S. Константінов, О. В. Лимарченко, О. С. |
| author_facet | Konstantinov, O. V. Lumarchenko, O. S. Константінов, О. В. Лимарченко, О. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. В. Константінов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. С. Лимарченко",
"institution": "Київський національний університет імені Тараса Шевченка"
}
] |
| author_sort | Konstantinov, O. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | The generalized Faraday problem about development of parametric resonance in mechanical system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface” is investigated. Here the suspension point performs motion in vertical plane according to given harmonic law. Investigation is done on the basis of the efficient nonlinear multimodal mathematicalmodel describing combined inclination motion of reservoir and oscillations of liquid with free surfaces. It was shown that considering of new factors in comparison with the classical Faraday problem can considerably affects the qualitative picture of development of parametric resonance in the system. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 171–185
УДК 539.595
О.В. Константiнов 1, О. С. Лимарченко 2
1(Iнститут математики НАН України, Київ),
2(Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка,
Київ)
1 akonst@mail.ru, 2 olelim2010@yahoo.com
Задача про параметричний резонанс
у системi резервуар – рiдина з
вiльною поверхнею
Присвячена 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
В работе рассмотрено обобщение классической задачи Фарадея о ра-
звитии параметрического резонанса в механической системе “резервуар
на маятниковом подвесе – жидкость со свободной поверхностью“. При
этом точка подвеса движется в вертикальной плоскости по заданному
гармоническому закону. Исследование выполнено на основе эффектив-
ной нелинейной многомодовой математической модели, учитывающей
совместные наклонные движения резервуара и колебания жидкости со
свободной поверхностью. Показано, что учет новых факторов по срав-
нению с классической задачей Фарадея может существенно повлиять
на качественную картину развития параметрического резонанса в си-
стеме.
The generalized Faraday problem about development of parametric
resonance in mechanical system “reservoir on pendulum suspension – liquid
with a free surface” is investigated. Here the suspension point performs
motion in vertical plane according to given harmonic law. Investigation
is done on the basis of the efficient nonlinear multimodal mathematical
model describing combined inclination motion of reservoir and oscillations
of liquid with free surfaces. It was shown that considering of new factors in
comparison with the classical Faraday problem can considerably affects the
qualitative picture of development of parametric resonance in the system.
c© О.В. Константiнов, О.С. Лимарченко, 2017
172 О.В. Константiнов, О.С. Лимарченко
Вступ. Параметричний резонанс в механiчнiй системi “резерву-
ар – рiдина з вiльною поверхнею” вперше експериментально дослiджу-
вав Фарадей у 1831 роцi. Цилiндричний резервуар, частково заповне-
ний водою, був встановлений на спецiальному лабораторному устатку-
ваннi i мав можливiсть рухатись у вертикальнiй площинi за заданим
гармонiчним законом. Результатом експерименту було встановлення
Фарадеєм того факту, що перша резонансна частота вiльної поверхнi
рiдини дорiвнює половинi частотi збурення резервуару. Цей результат
вiдомий в iсторiї механiки як класична задача Фарадея (Рис. 1а).
З моменту вiдкриття теоретичним та прикладним аспектам задачi
Фарадея присвячено дуже багато дослiджень. Найбiльш повний огляд
цих робiт, опублiкованих до 2005 року, наведено в монографiї [1]. З
останнiх робiт найбiльш повним дослiдженням, присвяченiй класичнiй
задачi Фарадея, є робота [2]. В нiй наведенi як теоретичнi результати,
присвяченi дослiдженню умов виникнення резонансу на основi методу
Ван дер Поля, так i експериментальнi, присвяченi дослiдженню розви-
тку процесiв коливань, якi характеризуються проявом амплiтудної або
фазової модуляцiї, а також виходом на режим хаотичних коливань.
а) б) в)
Рис. 1. Механiчна модель задачi Фарадея
Оскiльки в класичнiй задачi Фарадея резервуар рухається тiльки вер-
тикально за заданим законом, коливання рiдини нiяк не впливають на
характер його руху. Фактично це означає, що резервуар рухається у
Задача про параметричний резонанс . . . 173
вертикальному каналi або має нескiнченно велику масу. Однак у бiль-
шостi практичних застосувань (качка судна на хвилях, полiт ракети-
носiя i т.п.) конструкцiя з рiдиною може здiйснювати поступальнi та
кутовi рухи у рiзних площинах як за рахунок коливань вiльної поверх-
нi рiдини, так i за рахунок наявностi зовнiшнiх силових або моментних
збурень. При цьому маса рiдини може суттєво перевищувати масу ре-
зервуару, а тому врахування сумiсного руху резервуару та рiдини з
вiльною поверхнею та їх взаємодiї є визначальним фактором. Таким
чином, для наближення до практичних застосувань класичну задачу
Фарадея пропонується узагальнити за рахунок внесення в систему “ре-
зервуар – рiдина з вiльною поверхнею” додаткового ступеня вiльностi
резервуару: можливостi поступального руху в горизонтальнiй площинi
(Рис. 1 б) та можливостi здiйснення кутових коливань на маятниково-
му пiдвiсi (Рис. 1 в).
В данiй роботi теоретично дослiджується узагальнення задачi Фа-
радея для випадку, коли резервуар рухається вертикально за заданим
гармонiчним законом та може здiйснювати кутовi коливання на ма-
ятниковому пiдвiсi (Рис. 1 в). При цьому для забезпечення повноти
постановки задачi використаний наступний пiдхiд: вiдмова вiд гiпо-
тези про можливiсть нехтування коливаннями на власних частотах
системи (врахування коливань вiльної поверхнi рiдини на власних та
комбiнацiйних частотах є визначальним) [3, 4], дослiдження динамiки
системи на основi нелiнiйної математичної багатомодової моделi (12
форм коливань), врахування сумiсного руху резервуару та рiдини [5].
1. Математична модель узагальненої задачi. Розгля-
немо цилiндричний резервуар з абсолютно твердими стiнками, час-
тково заповнений рiдиною. Рiдину вважаємо iдеальною, нестисливою,
однорiдною, а її початковий рух безвихровим. Дослiдження особли-
востей параметричного резонансу в узагальненiй задачi Фарадея буде
проведено на основi математичної моделi, отриманiй в роботi [5].
Введемо умовно нерухому систему координат O1X1X2X3, систему
координат Oxyz, незмiнно зв’язану з резервуаром та систему OY1Y2Y3
з початком в точцi O, осi якої вiдповiдно паралельнi вiсям системи
O1X1X2X3 (Рис. 2). Точка O обрана в центрi незбуреної вiльної по-
верхнi рiдини, а вiсь Oz спрямована в бiк зовнiшньої нормалi до не-
збуреної вiльної поверхнi рiдини. Рух точки O в системi O1X1X2X3
заданий радiусом-вектором ~ε(t), а обертальний рух системи Oxyz вiд-
носно O1X1X2X3 заданий трьома кутами повороту α1, α2, α3. При цьо-
174 О.В. Константiнов, О.С. Лимарченко
му кут α1 визначений як кут повороту системи Oxyz вiдносно осi OY1,
кут α2 — кут повороту системи вiдносно нового положення OY2, а α3 —
кут повороту системи вiдносно нового положення OY3.
Рис. 2. Системи координат для опису руху об’єкта
Введемо до розгляду орти ~y01 , ~y02 , ~y03 системи координат OY1Y2Y3, ор-
ти ~x0, ~y0, ~z0 =~i1,~i2,~i3 системи координат Oxyz, таким чином матрицю
переходу можна представити у наступному виглядi
~y0i = eij~ij ,
де
e11 = cosα1α cosα3, e12 = − cosα2 sinα3, e13 = cosα1,
e21 = cosα1 sinα3 + sinα1 sinα2 cosα3,
e22 = cosα1 cosα3 − sinα1 sinα2 sinα3,
e23 = − sinα1 cosα2,
e31 = sinα1 sinα3 − cosα1 sinα2 cosα3,
e32 = sinα1 cosα3 − cosα1 sinα2 sinα3,
e33 = cosα1 cosα2.
Вираз для компонент кутової швидкостi ~ω у зв’язанiй системi ко-
ординат буде таким (точка над змiнною означає похiдну за часом t)
ωx = ω1 = α̇1 cosα2 cosα3 + α̇2 sinα3,
ωy = ω2 = −α̇1 cosα2 sinα3 + α̇3 cosα3,
Задача про параметричний резонанс . . . 175
ωz = ω3 = α̇1 sinα2 + α̇3.
Таким чином, сукупнiсть параметрiв εi и αi повнiстю характеризує
рух резервуару в умовно нерухомiй системi координат O1X1X2X3.
Вiдповiдно до методики роботи [5] математична модель системи
“резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” будується на основi варiа-
цiйного принципу Гамiльтона-Остроградського
δI = 0, где I =
t2∫
t1
Ldt,
при цьому функцiя Лагранжа задається в класичному виглядi
Гамiльтона-Остроградського як рiзниця мiж кiнетичною та потенцi-
альною енергiями системи
L =
1
2
ρ
∫
τ
(~∇ϕ+ ~∇(~ω · ~Ω) + ~̇ε)2dτ +
1
2
MT (~̇ε)2+
+
1
2
Iijtankωiωj − (MT +MF )gεz−
−ρg(cosα1 sinα2 cosα3 − sinα1 sinα3)
∫
S0
r cos θ(ξ +H)dS−
−ρg(sinα1 cosα3 + cosα1 sinα2 sinα3)
∫
S0
r sin θ(ξ +H)dS−
−1
2
ρg cosα1 cosα2
∫
S0
ξ2dS − (MThT +MFhF )g(1− cosα1 cosα2)+
+~F · ~ε+ ~M · ~χ,
де ρ – густина рiдини; τ – область, яку займає рiдина; dτ = rdrdθdz –
цилiндричнi координати, при цьому ось Oz має напрямок, протиле-
жний напрямку вектора прискорення вiльного падiння ~g, а система ко-
ординат зв’язана з нерухомим резервуаром; ϕ – потенцiал швидкостей
рiдини; ~Ω – функцiя, яка описує коливання вiльної поверхнi рiдини в
залежностi вiд кутового руху резервуару; ξ – збурення вiльної поверх-
нi рiдини; S – поперечний перерiз цилiндричного резервуару; Iijtank –
176 О.В. Константiнов, О.С. Лимарченко
тензор iнерцiї резервуару з рiдиною, визначений вiдносно точки ; MT
та MF – маса резервуару та рiдини вiдповiдно; hT та hF – змiщення
центрiв мас резервуару та рiдини вiдносно площини незбуреної вiльної
поверхнi рiдини S0; ~ε = (εx, εy, εz) – вектор перемiщення резервуару у
поступальному русi; ~χ = α1, α2, α3 – умовне представлення кутiв пово-
роту резервуару вiдносно умовно нерухомої системи координат; ~F та
~M – головний вектор та головний момент зовнiшнiх сил, якi дiють на
резервуар; вiдносно точки O.
Вiдповiдно до [5] для ефективного застосування варiацiйного прин-
ципу Гамiльтона-Остроградського необхiдно побудувати розклади не-
вiдомих змiнних ξ, ϕ та ~Ω, якi наперед задовольняють кiнематичнi
граничнi умови. Як запропоновано в [5], приймемо наступнi розклади
для шуканих змiнних
ξ =
∑
n
an(t)ψn(x, y), ϕ =
∑
n
bn(t)ψn(x, y)
coshκn(z +H)
κn sinhκnH
,
~Ω = ~Ω0 +
∑
n
~qn(t)ψn(x, y)
coshκn(z +H)
κn sinhκnH
.
Тут ψn(x, y) – повна ортогональна система функцiй в областi S0, яку
можна знайти з розв’язку крайової задачi Неймана з параметром κn
∆ψn + κ2nψn = 0 на S0,
∂ψn
∂n
= 0 на Σ,
де друге рiвняння є умовою неперетiкання рiдини через стiнку ре-
зервуару Σ. Вектор-функцiя ~Ω0 представляє собою потенцiал Стокса-
Жуковського, який є розв’язком крайової задачi Неймана для рiвня-
ння Лапласа
∆~Ω0 = 0,
∂~Ω0
∂n
= ~r × ~n на S0 + Σ,
де ~n – вектор зовнiшньої нормалi до стiнки резервуару Σ та незбуреної
вiльної поверхнi рiдини S0.
Оскiльки рiдина є iдеальною, однорiдною, нестисливою, а її рух є
безвихровим, то з вiдповiдної теореми Лагранжа випливає, що рух об’-
єму рiдини можна повнiстю описати рухом її границь. Це означає, що
змiннi ξ, ~ε та ~χ можна вважати незалежними, а змiннi ϕ та Ω є зале-
жними. Таким чином, сукупнiсть амплiтудних параметрiв an розкладу
Задача про параметричний резонанс . . . 177
вiльної поверхнi рiдини в ряд по формах вiльних коливань ϕn(x, y) роз-
глядається як незалежнi, а параметри bn та ~qn розкладiв змiнних ϕ та
~Ω розглядаються як залежнi вiд параметрiв an.
Вiдповiдно до [5], запишемо систему нелiнiйних звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь вiдносно незалежних параметрiв: ai – коефiцiєн-
тiв розкладу в ряд збурення вiльної поверхнi рiдини ξ за формами
коливань ψi, ~ε = {εx, εy, εz} – перемiщення резервуару у поступаль-
ному русi та {α1, α2, α3} – кутiв повороту резервуару вiдносно умовно
нерухомої системи координат:
∑
i
äi ·
{
δir +
∑
j
ajA
3
rij +
∑
j,k
ajakA
4
rijk
}
+ (1)
+ε̈ · 1
αvr
{
~B1
r +
∑
i
ai ~B
2
ri +
∑
i,j
aiaj ~B
3
rij +
∑
i,j,k
aiajak ~B
4
rijk
}
+
+
1
2αvr
3∑
s=1
α̈s
{ 3∑
p=1
∂ωp
∂α̇s
[
E1∗
pr +
∑
i
aiE
2∗
pri +
∑
i,j
aiajE
3∗
prij
]}
=
=
∑
i,j
ȧiȧjC
3
ijr +
∑
i,j,k
ȧiȧjakC
4
ijkr+
+
1
2αvr
3∑
p=1
ωp
[∑
i
ȧi(E
2∗
pir − E2∗
pri)+
+
∑
i,j
ȧiaj(E
3∗
pijr + E3∗
pirj − E3∗
prij − E3∗
prji)
]
+
+
1
2αvr
3∑
p,s=1
ωpωs
[
E2
psr +
∑
i
ai(E
3
psir + E3
psri)
]
+
1
2αvr
3∑
p=1
ω(k)
p
[
E1∗
pr +
∑
i
aiE
2∗
pri +
∑
i,j
aiajE
3∗
prij
]
+
+
1
2αvr
~̇ε ·
3∑
p=1
ωp
[
~F 2
pr +
∑
i
ai(~F
3
pir + ~F 3
pri)+
178 О.В. Константiнов, О.С. Лимарченко
+
∑
i,j
aiaj(~F
4
pijr + ~F 4
pirj + ~F 4
prij)
]
+ ~̇ε ·
[∑
i
ai ~D
2
ir+
+
∑
i,j
ȧiaj ~D
3
ijr +
∑
i,j,k
ȧiajak ~D
4
ijkr
]
− gNr
αvr
cosα1 cosα2ar+
+g
αcr
αvr
(cosα1 sinα2 cosα3 − sinα1 sinα3)+
+g
αsr
αvr
(sinα1 cosα3 + cosα1 sinα2 sinα3),
ρ
MT +MF
∑
i
äi
[
~B1
i +
∑
i,j
aj ~B
2
ij +
∑
i,j,k
ajak ~B
3
ijk
]
+ ~̈ε+ (2)
+
ρ
MT +MF
3∑
s=1
α̈s
[ 3∑
p=1
∂ωp
∂α̇s
(
~F 1
p +
∑
i
ai ~F
2
pi +
∑
i,j
aiaj ~F
3
pij
)]
=
=
~F
MT +MF
− ~g · ~z0 − ρ
MT +MF
[∑
i,j
ȧiȧj ~B
2
ij+
+2
∑
i,j,k
ȧiȧjak ~B
3
ijk +
3∑
p=1
ωp
(∑
i
ȧi ~F
2
pi +
∑
i,j
ȧiaj(~F
3
pij + ~F 3
pji)
)]
−
− ρ
MT +MF
3∑
p=1
ω(k)
p
[
~F 1
p +
∑
i
ai ~F
2
pi +
∑
i,j
aiaj ~F
3
pij
]
,
∑
i
äi
[ 3∑
p=1
∂ωp
∂α̇r
(
E1∗
pi +
∑
j
ajE
2∗
pij +
∑
j,k
ajakE
3∗
pijk
)]
+ (3)
+2~̈ε ·
3∑
p=1
∂ωp
∂α̇r
[
~F 1
p +
∑
i
ai ~F
2
pi+
+
∑
i,j
aiaj ~F
3
pij +
∑
i,j,k
aiajak ~F
4
pijk
]
+
+
3∑
n=1
α̈n
[
2
3∑
p,s=1
∂ωp
∂α̇r
∂ωp
∂α̇n
(
1
ρ
Jpstank +A2
ps+
Задача про параметричний резонанс . . . 179
+
∑
i
aiE
2
psi +
∑
i,j
aiajE
3
psij
)]
=
= 2
3∑
p,s=1
(
ω∗
p,rωs + ω(k)
p
∂ωs
∂α̇r
)(
1
ρ
Jpstank +A2
ps+
+
∑
i
aiE
2
psi +
∑
i,j
aiajE
3
psij
)
+
+
3∑
p=1
ω∗
p,r
(∑
i
ȧiE
1∗
pi +
∑
i,j
ȧiajE
2∗
pij +
∑
i,j,k
ȧiajakE
3∗
pijk
)
−
−2~̇ε ·
3∑
p=1
ω∗
p,r
(
~F 1
p +
∑
i
ai ~F
2
pi +
∑
i,j
aiaj ~F
3
pij
)
−
−2
3∑
p,s=1
∂ωp
∂α̇r
ωs
(∑
i
ȧiE
2
psi + 2
∑
i,j
ȧiajE
3
psij
)
−
−
3∑
p=1
∂ωp
∂α̇r
(∑
i,j
ȧiȧjE
2∗
pij + 2
∑
i,j,k
ȧiȧjakE
3∗
pijk
)
−
−2~̇ε ·
3∑
p=1
∂ωp
∂α̇r
(∑
i
ȧi ~F
2
pi + 2
∑
i,j
ȧiaj ~F
3
pij
)
+
+
2g
ρ
(MThT +MFhF )
∂
∂αr
(cosα1 cosα2)+
2g
∂
∂αr
[
(cosα1 sinα2 cosα3 − sinα1 sinα3)(
∑
i
aiα
c
i +Hlc)
]
+
+2g
∂
∂αr
[
(cosα1 sinα2 sinα3 + sinα1 cosα3)(
∑
i
aiα
s
i +Hls)
]
,
де
ω(k)
p = −
3∑
n=1
α̇n
∂ωp
∂αn
, ω∗
p,k =
∂ωp
∂αk
− d
dt
(
∂ωp
∂α̇k
)
.
Система рiвнянь (1) – (3) повнiстю описує нелiнiйну динамiку сумi-
сного руху резервуару та рiдини, що його частково заповнює, пiд дiєю
180 О.В. Константiнов, О.С. Лимарченко
заданих сил та моментiв. Система (1) – (3) складається з N + 6 рiв-
нянь другого порядку, де N — кiлькiсть утриманих в розглядi форм
коливань вiльної поверхнi рiдини. При цьому рiвняння (1) описують
коливання вiльної поверхнi рiдини, рiвняння (2) — поступальний рух
резервуару, а рiвняння (3) — кутовi рухи резервуару, враховуючи вза-
ємодiю коливань вiльної поверхнi рiдини та поступального i кутового
руху резервуару.
2. Дослiдження стiйкостi параметричних коли-
вань в околi резонансу. Для побудови зон параметричного ре-
зонансу в узагальненiй задачi Фарадея (Рис. 1в) з можливiстю ку-
тових коливань резервуару, який висить на маятниковому пiдвiсi,
(εx = εy = 0; εz = Hz cos pt; αi = 0, i = 2, 3) лiнеаризуємо рiвняння
(1), (2) та запишемо їх тiльки для a1 першої антисиметричної форми
ψ1 з можливiстю кутових коливань по координатi α1 у виглядi
ä+ λF α̈F + ω2
F (1− νHzp
2 cos pt)a = 0, (4)
λT ä+ α̈+ ω2
Tα = 0, (5)
де ν =
B2z
11
N1g
. Зони нестiйкостi по першому резонансу обмеженi перiоди-
чними рiшеннями з частотою p
2 , тому перiодичнi розв’язки для системи
(4) – (5) представляємо у виглядi
a = A1 cos
(
pt
2
)
+B1 sin
(
pt
2
)
, α = A2 cos
(
pt
2
)
+B2 sin
(
pt
2
)
,
i з використанням методу Гальоркiна, отримаємо характеристичнi рiв-
няння для визначення зон нестiйкостi по першому параметричному
резонансу
(1 + 2ω2
F νHz − λ1λ2)p4+
+(−4(ω2
R + ω2
F )− 8ω2
Fω
2
RνHz)p
2 + 16ω2
Fω
2
R = 0,
(1− 2ω2
F νHz − λ1λ2)p4+
+(−4(ω2
R + ω2
F ) + 8ω2
Fω
2
RνHz)p
2 + 16ω2
Fω
2
R = 0,
розв’язки яких мають вигляд
p1 =
√
2
λTλF − 1− 2νHzω2
F
(
−ω2
T − ω2
F (1 + 2νHzω
2
T )+
Задача про параметричний резонанс . . . 181
+
√
ω4
T + ω4
F (1− 2νHzω2
T )2 + 2ω2
Tω
2
F (−1 + 2λTλF + 2νHzω2
T )
) 1
2
,
p2 =
√
2
1 + 2νHzω2
F − λTλF
(
−ω2
T − ω2
F (1 + 2νHzω
2
T )−
−
√
ω4
T + ω4
F (1− 2νHzω2
T )2 + 2ω2
Tω
2
F (−1 + 2λTλF + 2νHzω2
T )
) 1
2
,
p3 =
√
2
−1 + 2νHzω2
F + λTλF
(
−ω2
T − ω2
F (1 + 2νHzω
2
T )−
−
√
ω4
T + ω4
F (1 + 2νHzω2
T )2 − 2ω2
Tω
2
F (1− 2λTλF + 2νHzω2
T )
) 1
2
,
p4 =
√
2
−1 + 2νHzω2
F + λTλF
(
−ω2
T − ω2
F (1 + 2νHzω
2
T )+
+
√
ω4
T + ω4
F (1 + 2νHzω2
T )2 − 2ω2
Tω
2
F (1− 2λTλF + 2νHzω2
T )
) 1
2
.
На Рис. 3 в площинi “ частота зовнiшнього збудження p – амплiту-
да збудження Hz” побудованi областi нестiйкостi для першої та другої
власних частот вiдповiдно для рiзних довжин маятникового пiдвiсу
(1 – l = 100 м, 2 – l = 10 м, 3 – l = 1 м). Областi нестiйкостi обмеже-
нi кривими з однаковими номерами. Як видно з графiкiв, збiльшення
довжини маятникового пiдвiсу сприяє змiщенню областей нестiйкостi
в область низьких частот, що є характерним для поступального ру-
ху. Крiм того, збiльшення довжини пiдвiсу звужує областi нестiйкостi
для обох власних частот. Розташування областей нестiйкостi для дру-
гої власної частоти бiльш суттєво залежить вiд довжини пiдвiсу, нiж
для першої, — їх перетин буде вiдбуватися тiльки в дiапазонi великих
182 О.В. Константiнов, О.С. Лимарченко
амплiтуд зовнiшнього впливу.
а) перша власна частота б) друга власна частота
Рис. 3. Зони резонансу узагальненої задачi Фарадея.
3. Перехiднi процеси при входженнi системи в ре-
жим параметричних коливань. Розглядається круговий ци-
лiндричний резервуар, що закрiплений на маятниковому пiдвiсi, з вер-
тикальною поздовжньою вiссю Oz, при цьому точка пiдвiсу резер-
вуару здiйснює вертикальнi рухи за заданим гармонiчним законом
εz = Hz cos pt. Резервуар радiусу R = 1 м та масиMT = 0, 1MF частко-
во заповнений водою з масою MF до глибини H = R. Довжина мая-
тникового пiдвiсу l = R. Для збудження коливань в системi в нульовий
момент часу задається або початкове збурення вiльної поверхнi рiдини
a1(0) = 0, 01R або початкове вiдхилення резервуару α1(0) = 1o. Часто-
та p та амплiтуда Hz зовнiшнього параметричного збурення пiдiбранi
таким чином, щоб викликати резонанс в системi вiдповiдно до зон ре-
зонансу першої та другої власної частоти системи, тобто p = 5, 83 Гц
та Hz = 0, 0015R для збудження параметричного резонансу вiдносно
першої власної частоти i p = 16, 12 Гц та Hz = 0, 007R для збудження
параметричного резонансу вiдносно другої власної частоти системи.
Система рiвнянь (1) – (2) зводиться чисельно до нормальної фор-
ми Кошi, а потiм чисельно iнтегрується за допомогою стандартного
методу Рунге-Кутта. При дослiдженнi динамiки системи резервуар —
рiдина в розкладах утримувалося n1 = n2 = 12 координатних функцiй
з точнiстю до квадратiв амплiтуд i n3 = 6 з точнiстю до кубiчних чле-
нiв. Координатнi функцiї розмiщено в порядку зростання вiдповiдних
Задача про параметричний резонанс . . . 183
їм власних частот за винятком ψ6 — другої осесиметричної форми.
Крок чисельного iнтегрування обирався ∆t = 0,1π
ω12
с, де ω12 – найви-
ща парцiальна частота в системi. При аналiзi результатiв та побудовi
графiкiв амплiтуди приводилися до безрозмiрного вигляду вiдносно
характерного розмiру системи — радiуса R резервуару, а час — вiдно-
сно перiоду коливань першої антисиметричної форми ψ1. При цьому
графiки 1 та 2 вiдповiдають випадкам параметричного збудження си-
стеми на частотах, якi розташованi у резонансних зонах вiдповiдно
для першої та другої власної частоти.
Рис. 4. Збурення вiльної поверхнi рiдини на стiнцi резервуару при
початковому збуреннi вiльної поверхнi a1(0) = 0, 01R
Як видно з графiкiв збурення вiльної поверхнi рiдини (Рис. 4), ре-
зонанс спостерiгається на обох власних частотах, при цьому амплiтуди
збурення вiльної поверхнi рiдини бiльше для випадку резонансу в околi
першої власної частоти. I початкове збурення вiльної поверхнi рiдини,
i початкове вiдхилення маятнику-резервуару забезпечують вихiд си-
стеми в режим резонансу, якщо частота зовнiшнього збурення лежить
в зонi нестiйкостi. При збiльшеннi частоти або амплiтуди зовнiшнього
збурення система теж виходить у режим резонансу, але в цьому разi
184 О.В. Константiнов, О.С. Лимарченко
працює сумiсний механiзм параметричного резонансу та вимушених
коливань.
Як видно з Рис. 5, частотний спектр мiстить гармонiки, характернi
як для механiзму параметричного резонансу, так i для механiзму ви-
мушених коливань — тобто на частотах, якi дорiвнюють частотi зов-
нiшнього збурення або кратнi їй, на власних та кратних їм частотах,
а також на комбiнацiйних частотах.
Рис. 5. Частотний спектр збурення вiльної поверхнi рiдини на стiнцi
резервуару
Висновки. Розроблено модель дослiдження узагальненої задачi
Фарадея, в якiй в порiвняннi з класичною постановкою задачi Фарадея
додатково внесено ступенi вiльностi, що вiдповiдають кутовим i посту-
пальним рухам резервуара, а також розглядається задача в сумiснiй
постановцi. Побудовано областi стiйкостi параметричних коливань для
такої узагальненої задачi. Показано, що при сумiснiй постановцi задачi
спостерiгається одночасний прояв як механiзму параметричного збу-
дження коливань, так i механiзму вимушених коливань, що суттєво
вiдрiзняє узагальнену задачу Фарадея вiд її класичного варiанту.
Вихiд на режим параметричного резонансу спостерiгається, якщо
частота зовнiшнього збурення лежить в зонi нестiйкостi, а початковим
Задача про параметричний резонанс . . . 185
збуренням в системi може бути як мале збурення вiльної поверхнi рi-
дини, так i мале вiдхилення резервуару-маятника вiд вертикального
положення. Збiльшення частоти або амплiтуди зовнiшнього збурення
призводить до виходу системи на режим резонансу, навiть якщо цi зов-
нiшнi параметри належать до областi стiйкостi. При цьому частотний
спектр мiстить гармонiки, характернi як для механiзму параметрично-
го резонансу, так i для механiзму вимушеного резонансу — тобто на
частотах, якi дорiвнюють частотi зовнiшнього збурення або кратнi їй,
на власних та кратних їм частотах, а також на комбiнацiйних частотах.
Лiтература
[1] Ibrahim R.A. Liquid sloshing dynamics: theory and applications. — Cambri-
dge: Cambridge University Press, 2005. — 950 p.
[2] Takashi I., Murakami S. Autoparametric resonances in a structure/fluid
interaction system carrying a cylindrical liquid tank // Journal of Sound
and Vibration. — 2005. — 285. — P. 517 – 546.
[3] Faltinsen O.M., Rognebakke O.M., Timokha A.N. Transient and steady-
state amplitudes of resonant three-dimensional sloshing in a square base
tank with a finite fluid depth // Physics of fluids. — 2006. — 1, No. 18. —
P. 1 – 14.
[4] Pal P. Sloshing of liquid in partially filled container – an experimental
study // International Journal of Recent Trends in Engineering. — 2009. —
1, No. 6. — P. 1 – 5.
[5] Лимарченко О.С. Нелинейная динамика конструкций с жидкостью. —
К.: НТТУ “КПИ”, 1997. — 338 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-112 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:47Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/92/a656da96962417019ea87099c152ee92.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1122018-02-13T13:58:16Z A problem about parametric resonance in system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface Задача про параметричний резонанс у системі резервуар-рідина з вільною поверхнею Konstantinov, O. V. Lumarchenko, O. S. Константінов, О. В. Лимарченко, О. С. The generalized Faraday problem about development of parametric resonance in mechanical system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface” is investigated. Here the suspension point performs motion in vertical plane according to given harmonic law. Investigation is done on the basis of the efficient nonlinear multimodal mathematicalmodel describing combined inclination motion of reservoir and oscillations of liquid with free surfaces. It was shown that considering of new factors in comparison with the classical Faraday problem can considerably affects the qualitative picture of development of parametric resonance in the system. В работе рассмотрено обобщение классической задача Фарадея о развитии параметрического резонанса в механической системе «резервуар на маятниковом подвесе - жидкость со свободной поверхностью». При этом точка подвеса движется в вертикальной плоскости по заданному гармоническому закону. Исследование проводится на основе эффективной нелинейной многомодовой математической модели, описывающей комбинированное наклонное движение резервуара и колебания жидкости со свободными поверхностями. Показано, что учет новых факторов по сравнению с классической задачей Фарадея может существенно повлиять на качественную картину развития параметрического резонанса в системе. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/112 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 171–185 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 171–185 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 171–185 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/112/101 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Konstantinov, O. V. Lumarchenko, O. S. Константінов, О. В. Лимарченко, О. С. A problem about parametric resonance in system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface |
| title | A problem about parametric resonance in system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface |
| title_alt | Задача про параметричний резонанс у системі резервуар-рідина з вільною поверхнею |
| title_full | A problem about parametric resonance in system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface |
| title_fullStr | A problem about parametric resonance in system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface |
| title_full_unstemmed | A problem about parametric resonance in system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface |
| title_short | A problem about parametric resonance in system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface |
| title_sort | problem about parametric resonance in system “reservoir on pendulum suspension – liquid with a free surface |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/112 |
| work_keys_str_mv | AT konstantinovov aproblemaboutparametricresonanceinsystemreservoironpendulumsuspensionliquidwithafreesurface AT lumarchenkoos aproblemaboutparametricresonanceinsystemreservoironpendulumsuspensionliquidwithafreesurface AT konstantínovov aproblemaboutparametricresonanceinsystemreservoironpendulumsuspensionliquidwithafreesurface AT limarčenkoos aproblemaboutparametricresonanceinsystemreservoironpendulumsuspensionliquidwithafreesurface AT konstantinovov zadačaproparametričnijrezonansusistemírezervuarrídinazvílʹnoûpoverhneû AT lumarchenkoos zadačaproparametričnijrezonansusistemírezervuarrídinazvílʹnoûpoverhneû AT konstantínovov zadačaproparametričnijrezonansusistemírezervuarrídinazvílʹnoûpoverhneû AT limarčenkoos zadačaproparametričnijrezonansusistemírezervuarrídinazvílʹnoûpoverhneû AT konstantinovov problemaboutparametricresonanceinsystemreservoironpendulumsuspensionliquidwithafreesurface AT lumarchenkoos problemaboutparametricresonanceinsystemreservoironpendulumsuspensionliquidwithafreesurface AT konstantínovov problemaboutparametricresonanceinsystemreservoironpendulumsuspensionliquidwithafreesurface AT limarčenkoos problemaboutparametricresonanceinsystemreservoironpendulumsuspensionliquidwithafreesurface |