Three- dimensional Lie algebras for a one class of wave equations
We have completely solved the problem of description of quasi-linear hyperbolic-type differential equations in two independent variables that areinvariant under one-dimensional, two-dimensional, three-dimensional split solvable Lie algebras.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/113 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552529867309056 |
|---|---|
| author | Magda, O. V. Магда, О. В. |
| author_facet | Magda, O. V. Магда, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. В. Магда",
"institution": "Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана"
}
] |
| author_sort | Magda, O. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | We have completely solved the problem of description of quasi-linear hyperbolic-type differential equations in two independent variables that areinvariant under one-dimensional, two-dimensional, three-dimensional split solvable Lie algebras. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 186–209
УДК 517.9
О.В. Магда
(Київський нацiональний економiчний унiверситет
iменi Вадима Гетьмана, Київ)
olena.magda@yahoo.com
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу
хвильових рiвнянь
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
Повнiстю розв’язано задачу класифiкацiї квазiлiнiних рiвнянь гiпербо-
лiчного типу з двома незалежними змiнними, якi iнварiантнi вiдносно
одновимiрних, двовимiрних та тривимiрних розкладних розв’язних ал-
гебр Лi.
We have completely solved the problem of description of quasi-linear hy-
perbolic-type differential equations in two independent variables that are
invariant under one-dimensional, two-dimensional, three-dimensional split
solvable Lie algebras.
1. Вступ. Диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними гi-
перболiчного типу займають важливе мiсце серед фундаментальних
рiвнянь математичної фiзики. До них, зокрема, приводять задачi (на-
ближеного) опису процесiв коливань рiзноманiтної природи в термiнах
диференцiальних рiвнянь. При цьому, як правило, обмежуються пер-
шим наближенням, одержуючи лiнiйнi рiвняння.
Ця ситуацiя суттєво змiнюється, якщо вiдповiднi нелiнiйнi дифе-
ренцiальнi рiвняння мають нетривiальнi симетрiйнi властивостi. Дiй-
сно, за цiєї умови для їх аналiзу можна застосувати потужнi методи
теорiї груп та алгебр Лi (див., наприклад, [1–4]). У зв’язку iз цим акту-
альною є задача виокремлення iз заданого класу нелiнiйних рiвнянь
c© О.В. Магда, 2017
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 187
тих, якi допускають нетривiальнi групи симетрiї. Вiдзначимо, що за-
дача класифiкацiї рiвнянь за їх групами симетрiї є центральною про-
блемою класичного групового аналiзу диференцiальних рiвнянь [1].
Вiдповiдна процедура називається груповою класифiкацiєю диферен-
цiальних рiвнянь.
Дана стаття присвячена груповiй класифiкацiї квазiлiнiйних дифе-
ренцiальних рiвнянь гiперболiчного типу
utt = uxx + F (t, x, u, ux). (1)
Тут i далi, u = u(t, x), ut = ∂u
∂x , ux = ∂u
∂x i т.п., F — довiльна гладка
функцiя.
Проблему групової класифiкацiї лiнiйних рiвнянь другого порядку
з двома незалежними змiнними вивчав ще С. Лi. Вiн, зокрема, довiв
теoрему, яка стверджує, що лiнiйне диференцiальне рiвняння другого
порядку з двoма незалежними змiнними допускає не бiльш нiж три-
параметричну групу нетривiальних перетворень [5]. Повний розв’язок
задачi групової класифiкацiї лiнiйних рiвнянь вигляду (1) було одер-
жано Л.В. Овсяннiковим [6] (див., такoж, [1]). Також вiдзначимо ро-
боту [7], де було проведено групову класифiкацiю лiнiйних хвильових
рiвнянь
utt = f2(x)uxx.
Наскiльки нам вiдомо, задача групової класифiкацiї нелiнiйних рiв-
нянь загального вигляду (1) не розглядалася. Зауважимо, що частин-
ний випадок цього рiвняння, який одержується за умови F = F (u),
дослiджував С. Лi [8]. Зокрема, вiн повнiстю дослiдив симетрiю рiвня-
ння Бонне utx = expu.
Також слiд вiдзначити роботи, де одержано (повний або частковий)
розв’язок задачi групової класифiкацiї таких одновимiрних нелiнiйних
188 Магда О.В.
хвильових рiвнянь:
utt = uxx + F (t, x, u), [3, 9],
utt = −λuxx + F (u, ux), [10],
utt = [f(u)ux]x, [11, 12],
utt = f(ux)uxx, [13],
utt = [f(x, u)ux]x, [14],
utt = [f(u)ux + g(x, u)]x, [15],
utt = f(x, ux)uxx + g(x, ux)x, [16].
Тут ми розглядаємо задачу групової класифiкaцiї нелiнiйних рiв-
нянь вигляду (1) вiдносно розкладних розв’язних алгебр Лi операторiв
симетрiї за умови
Fuxux 6≡ 0. (2)
Метод класифiкацiї є модифiкацiєю пiдходу до розв’язування задач
групової класифiкацiї диференцiальних рiвнянь з двома незалежни-
ми змiнними, запропонованого нами в [17]. В рамках цього пiдходу
здiйснено повну групову класифiкaцiю рiвнянь теплопровiдностi з не-
лiнiйним джерелом
ut = uxx + F (t, x, u, ux),
тобто явно вказанi всi можливi функцiї F , для яких цi рiвняння допу-
скають нетривiальну групу симетрiї.
Загальний опис пiдходу та ряд допомiжних тверджень про загальну
структуру груп симетрiї рiвнянь вигляду (1), (2) подано в другiй ча-
стинi роботи. Третя частина присвячена класифiкацiї нелiнiйних рiв-
нянь (1), (2), якi допускають тривимiрнi розкладнi розв’язнi алгебри
Лi операторiв симетрiї.
2. Метод класифiкацiї та деякi попереднi резуль-
тати. Основною перевагою запропонованого у [8] пiдходу до групової
класифiкацiї диференцiальних рiвнянь над традицiйним методом пе-
ретворень еквiвалентностi є те, що вiн дозволяє ефективно класифiку-
вати рiвняння, якi мiстять довiльнi функцiї вже двох, трьох i бiльше
змiнних. Тобто клас рiвнянь, груповi властивостi яких можуть бути
систематично вивченi, суттєво розширюється.
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 189
Стосовно класу рiвнянь (1) алгоритм методу групової класифiкацiї,
розробленого в [8], передбачає виконання наступних крокiв.
I. Iз використанням iнфiнiтезимального методу Лi знаходимо си-
стему визначальних рiвнянь для коефiцiєнтiв iнфiнiтезимального
оператора, що генерує групу симетрiї рiвняння (1). Визначальнi
рiвняння, якi явно залежать вiд функцiї F та її похiдних, назива-
ються класифiкуючими. Iнтегруючи тi з визначальних рiвнянь,
якi не залежать вiд F , одержуємо найбiльш загальний вигляд
iнфiнiтезимального оператора, що допускається рiвняннями ви-
гляду (1). Окрiм цього, iз використанням iнфiнiтезимального ме-
тоду (або прямими обчисленнями) будуємо групу еквiвалентностi
E дослiджуваного рiвняння.
II. Другий крок передбачає побудову реалiзацiй алгебр Лi An роз-
мiрностi n ≤ 3 в класi отриманих на першому кроцi iнфiнiтези-
мальних операторiв з точнiстю до еквiвалентностi, яка визнача-
ється перетвореннями iз групи E . Пiдставляючи одержанi опера-
тори в класифiкуючi рiвняння, видiляємо тi реалiзацiї, якi є ал-
гебрами симетрiї диференцiального рiвняння (1). Поступове роз-
ширення розмiрностi алгебр iнварiантностi призводить до змен-
шення ступеню довiльностi в невiдомiй функцiї F .
III. Третiй крок передбачає завершення групової класифiкацiї до-
слiджуваного рiвняння. Для цього можна використовувати як
традицiйнi методи (якщо “довiльнi елементи” в дослiджуваному
рiвняннi є функцiями одного аргументу), так i подальшe роз-
ширення вже вiдомих реалiзацiй алгебр Лi до реалiзацiй алгебр
симетрiї рiвняння (1) наступної розмiрностi.
Результатом виконання цього алгоритму є перелiк рiвнянь, якi на-
лежать до класу (1) разом з їх алгебрами симетрiї. Задачa групової
класифiкацiї вважається повнiстю розв’язаною, якщо доведено, що
1) побудованi алгебри Лi є максимальними алгебрами симетрiї вiд-
повiдних рiвнянь,
2) в рамках сформульованої задачi отриманий перелiк мiстить лише
нееквiвалентнi рiвняння (тобто, такi рiвняння, якi перетворення-
ми iз групи E не зводяться одне в iнше).
Перший та, частково, другий кроки алгоритму в рамках задачi гру-
пової класифiкацiї нелiнiйних рiвнянь вигляду (1), (2) було здiйснено
в [19]. Зупинимося на отриманих там результатах.
190 Магда О.В.
Згiдно з методом Лi, iнфiнiтезiмальний оператор групи симетрiї
рiвняння (1) шукаємо у виглядi
X = τ(t, x, u)∂t + ξ(t, x, u)∂x + η(t, x, u)∂u,
де τ , ξ, η — деякi гладкi функцiї, визначенi у вiдкритiй областi Ω про-
стору V = R2 × R1 незалежних t, x та залежної u = u(t, x) змiнних. З
використанням iнфiнiтезимального методу Лi доведено, що найбiльш
загальний iнфiнiтезимальний оператор групи симетрiї (1), (2) має ви-
гляд
X = (λt+ λ1)∂t + (λx+ λ2)∂x + [h(x)u+ r(t, x)]∂u. (3)
При цьому, дiйснi сталi λ, λ1, λ2 та функцiї h = h(x), r = r(t, x),
F = F (t, x, u, ux) задовольняють класифiкуюче рiвняння
rtt − rxx −
d2h
dx2
u− 2
dh
dx
ux + (h− 2λ)F−
−(λt+ λ1)Ft − (λx− λ2)Fx − (hu+ r)Fu
−
(
rx +
dh
dx
u+ (h− λ)ux
)
Fux = 0.
(4)
Групу еквiвалентностi E рiвняння (1), (2) складають невиродженi
перетворення постору V
t = α(t, x, u), x = β(t, x, u), v = U(t, x, u),
D(t, x, v)
D(t, x, u)
6= 0,
якi залишають клас рiвнянь (1), (2) iнварiантним. Iнакше кажучи,
якщо в (1), (2) перейти до нових змiнних t, x, v, то одержується рiв-
няння того ж самого вигляду:
vtt = vxx + F̃ (t, x, v, vx), F̃vxvx 6= 0.
В результатi безпосереднiх обчислень ми довели, що групу E скла-
дають перетворення
t = γt+ γ1, x = εγx+ γ2, v = ρ(x)u+ θ(t, x), (5)
де {γ, γ1, γ2} ⊂ R, γ 6= 0, ε = ±1, ρ 6= 0.
При виконаннi другого кроку алгоритму суттєво використовується
таке твердження [19].
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 191
Теорема 1. Iснують перетворення (5), якi зводять оператор (3) до
одного iз таких сeми операторiв:
Q1 = k(t∂t + x∂x) (k 6= 0), Q2 = ∂t + k∂x (k 6= 0),
Q3 = ∂x, Q4 = ∂t, Q5 = ∂t + f(x)u∂u (f 6= 0),
Q6 = f(x)u∂u (f 6= 0), Q7 = f(t, x)∂u (f 6= 0).
Iз теореми 1 випливає, що iснують сiм нееквiвалентних нелiнiйних
рiвнянь вигляду (1), (2), якi допускають алгебри симетрiї розмiрностi
не нижчої за 1. Нижче подано перелiк одновимiрних алгебр Лi симетрiї
та вiдповiднi їм значення функцiй F в iнварiантних рiвняннях.
A1
1 = 〈t∂t + x∂x〉 : F = t−2G(ξ, u, ω), ξ = tx−1, ω = xux,
A2
1 = 〈∂t + k∂x〉, (k > 0) : F = G(η, u, ux), η = x− kt,
A3
1 = 〈∂x〉 : F = G(t, u, ux),
A4
1 = 〈∂t〉 : F = G(x, u, ux),
A5
1 = 〈∂t + f(x)u∂u〉, (f 6= 0) : F = −tf ′′u+ t2(f ′)2u−
− 2tf ′ux + etfG(x, v, ω), v = e−tfu,
ω = u−1ux − f ′f−1 ln |u|,
A6
1 = 〈f(x)u∂u〉, (f 6= 0) : F = −f−1f ′′u ln |u|−
− 2f−1f ′ux ln |u|+ f−2(f ′)2u ln2 |u|+ uG(t, x, ω),
ω = u−1ux − f ′f−1 ln |u|; ,
A7
1 = 〈f(t, x)∂u〉, (f 6= 0) : F = f−1(ftt − fxx)u+
+G(t, x, ω), ω = ux − f−1fxu.
Тут G довiльна гладка функцiя, символом ()′ позначається похiдна за
вiдповiдною змiнною.
Далi, як доведено в [19], справедливе таке твердження.
Теорема 2. В класi операторiв (3) не iснують реалiзацiї алгебр so(3)
та sl(2,R).
Iз теореми 2 випливають два важливих наслiдки.
Наслiдок 1. В класi операторiв (3) не iснують реалiзацiї напiвпро-
стих дiйсних алгебр Лi.
Наслiдок 2. Не iснують нелiнiйнi рiвняння вигляду (1), (2), алге-
бри iнварiантностi яких iзоморфнi напiвпростим алгебрам Лi або мi-
стять їх як пiдалгебри.
192 Магда О.В.
Пiдсумовуючи сказане вище, робимо висновок, що без втрати за-
гальностi можна обмежитися розглядом реалiзацiй розв’язних алгебр
Лi. У вiдповiдностi iз цим у [19] було проведено класифiкацiю нелi-
нiйних рiвнянь (1), (2), алгебри iнварiантностi яких є двохвимiрними
розв’язними алгебрами Лi.
Добре вiдомо (див., наприклад, [20]), що з точнiстю до iзоморфiзму
iснують двi дiйснi розв’язнi двохвимiрнi алгебри Лi: A2.i = 〈e1, e2〉,
(i = 1, 2):
A2.1 : [e1, e2] = 0;
A2.2 : [e1, e2] = e2.
Розгляд реалiзацiй цих алгебр в класi операторiв (3) i перевiрка для
них умови (4) показали, що iснують 16 нееквiвалентних рiвнянь дослi-
джуваного класу, алгебри симетрiї яких є реалiзацiями алгебри A2.1.
Аналогiчно, iснують 15 рiвнянь вигляду (1), (2), алгебри симетрiї яких
являються реалiзацiями алгебри A2.2. Нижче ми подаємо перелiки ба-
зисних операторiв реалiзацiй двохвимiрних алгебр Лi та вiдповiднi їм
значення функцiй F в iнварiантних рiвняннях (1), (2).
A2.1-iнварiантнi рiвняння
A1
2.1 = 〈t∂t + x∂x, u∂u〉 : F = x−2uG(ω, v),
ω = tx−1, v = u−1xux;
A2
2.1 = 〈t∂t + x∂x, σ(ξ)∂u〉, (σ 6= 0, ξ = tx−1) :
F = x−2[σ−1((1− ξ2)σ′′ − 2ξσ′)u+G(ξ, ω)],
ω = ξσ′u+ σxux;
A3
2.1 = 〈∂t + k∂x, u∂u〉, (k > 0) : F = uG(η, ω),
η = x− kt, ω = u−1ux;
A4
2.1 = 〈∂t + k∂x, ϕ(η)∂u〉, (k > 0, η = x− kt, ϕ 6= 0) :
F = (k2 − 1)ϕ′′ϕ−1u+G(η, ω), ω = ϕux − ϕ′u;
A5
2.1 = 〈∂t + k∂x, ∂x +mu∂u〉, (k > 0, m 6= 0) :
F = emη G(ω, v), η = x− kt, ω = ue−mη, v = u−1ux;
A6
2.1 = 〈∂t, ∂x〉 : F = G(u, ux);
A7
2.1 = 〈∂x, ∂t + ku∂u〉, (k > 0) :
F = ektG(ω, v), ω = e−ktu, v = u−1ux;
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 193
A8
2.1 = 〈∂x, u∂u〉 : F = uG(t, ω), ω = u−1ux;
A9
2.1 = 〈∂x, ϕ(t)∂u〉, (ϕ 6= 0) : F = ϕ−1ϕ′′u+G(t, ux);
A10
2.1 = 〈∂t, ∂u〉 : F = G(x, ux);
A11
2.1 = 〈∂t, f(x)u∂u〉, (f 6= 0) :
F = −f−1f ′′u ln |u| − 2f−1f ′ux ln |u|+
+ f−2(f ′)2u ln2 |u|+ uG(x, ω);
ω = u−1ux − f ′f−1 ln |u|;
A12
2.1 = 〈∂t + f(x)u∂u, g(x)u∂u〉, (δ = f−1f ′ − g−1g′ 6= 0) :
F = −g−1g′′u ln |u| − 2g−1g′ux ln |u|+
+ g−2(g′)2u ln2 |u| − 2fδtux + 2fδg′g−1tu ln |u|+
+ f2δ2t2u+ f(g−1g′′ − f−1f ′′)tu+ uG(x, ω),
ω = u−1ux − g′g−1 ln |u| − tfδ;
A13
2.1 = 〈∂t + f(x)u∂u, e
tf∂u〉, (f 6= 0) :
F = [f2 − tf ′′ + t2(f ′)2]u− 2tf ′ux + etfG(x, ω),
ω = e−tf (ux − tf ′u);
A14
2.1 = 〈f(x)u∂u, g(x)u∂u〉, (δ = f ′g − g′f 6= 0) :
F = −u−1u2x − δ−1δ′ux+
+ δ−1[f ′′g′ − g′′f ′]u ln |u|+ uG(t, x);
A15
2.1 = 〈ϕ(t)∂u, ψ(t)∂u〉, (ϕ′ψ − ϕψ′ 6= 0) :
F = ϕ−1ϕ′′u+G(t, x, ux), ϕ′′ψ − ϕψ′′ = 0.
A2.2-iнварiантнi рiвняння
A1
2.2 = 〈t∂t + x∂x, xu∂u〉 : F = x−2u ln2 |u|−
− 2x−1ux ln |u|+ t−2uG(ξ, ω), ξ = tx−1;
ω = xu−1ux − ln |u|;
A2
2.2 = 〈t∂t + x∂x, tϕ(ξ)∂u〉, (ϕ 6= 0, ξ = tx−1) :
F = t−2(1− ξ2)ϕ−1ξ(2ϕ′ + ξϕ′′)u+ t−2G(ξ, ω),
ω = xϕux + ξϕ′u;
194 Магда О.В.
A3
2.2 = 〈∂t + k∂x, e
k−1xu∂u〉, (k > 0) :
F = k−2u ln2 |u| − 2k−1ux ln |u| − k−2u ln |u|+
+ uG(η, ω), η = x− kt, ω = u−1ux − k−1 ln |u|;
A4
2.2 = 〈∂t + k∂x, e
tϕ(η)∂u〉, (η = x− kt, k > 0, ϕ 6= 0) :
F =
(
(k2 − 1)ϕ′′ϕ−1 − 2kϕ′ϕ−1 + 1
)
u+G(η, ω),
ω = ϕux − ϕ′u, ϕ′ = dϕ/dη;
A5
2.2 = 〈−t∂t − x∂x, ∂t + k∂x〉, (k > 0) :
F = η−2G(u, ω), η = x− kt, ω = uxη;
A6
2.2 = 〈−t∂t − x∂x +mu∂u, ∂t + k∂x〉, (k > 0, m 6= 0) :
F = |η|−2−mG(v, ω), η = x− kt,
ω = u|η|m, v = ux|η|m+1;
A7
2.2 = 〈∂x, exu∂u〉 : F = u ln2 |u| − u ln |u| − 2ux ln |u|+
+ uG(t, ω), ω = u−1ux − ln |u|;
A8
2.2 = 〈∂x, exϕ(t)∂u〉, (ϕ 6= 0) :
F = (ϕ−1ϕ′′ − 1)u+G(t, ω), ω = ux − u;
A9
2.2 = 〈−t∂t − x∂x, ∂x〉 : F = t−2G(u, tux);
A10
2.2 = 〈−t∂t − x∂x + ku∂u, ∂x〉, (k 6= 0) :
F = |t|−2−kG(v, ω), v = |t|ku, ω = |t|k+1ux;
A11
2.2 = 〈∂t, et∂u〉 : F = u+G(x, ux);
A12
2.2 = 〈−t∂t − x∂x, ∂t〉 : F = x−2G(u, ω), ω = xux;
A13
2.2 = 〈∂t + f(x)u∂u, e
(1+f)t∂u〉, (f 6= 0) :
F = −
(
tf ′′ − t2(f ′)2 − (1 + f)2
)
u− 2tf ′ux+
+ etfG(x, ω), ω = e−tf
(
ux − f ′(t+ f−1)u
)
;
A14
2.2 = 〈−t∂t − x∂x, ∂t + kx−1u∂u〉, (k > 0);
F = −2ktx−3u+ k2t2x−4u+ 2ktx−2ux+
+ x−2ektx
−1
G(v, ω), v = e−kx
−1tu,
ω = xu−1ux + ln |u|;
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 195
A15
2.2 = 〈k(t∂t + x∂x), |x|k−1
u∂u〉, (k 6= 0, 1) :
F = −k−2(1− k)x−2u ln |u| − 2k−1x−1ux ln |u|+
+ k−2x−2u ln2 |u|+ x−2uG(v, ω),
v = tx−1, ω = xu−1ux − k−1 ln |u|;
A16
2.2 = 〈k(t∂t + x∂x), |t|k−1
ϕ(ξ)∂u〉, (k 6= 0, 1, ϕ 6= 0, ξ = tx−1) :
F = [k−1(k−1 − 1) + 2ξ(k−1 − ξ2)ϕ−1ϕ′+
+ ξ2(1− ξ)2ϕ−1ϕ′′]t−2u+ t−2G(ξ, ω),
ω = xϕux + ξϕ′u.
Тут G довiльна гладка функцiя, символом ()′ позначається похiдна за
вiдповiдною змiнною.
3. Класифiкацiя рiвнянь (2), iнварiантних вiдно-
сно тривимiрних pозкладних розв’язних алгебр Лi.
Нагадаємо, що серед рiвнянь дослiджуваного вигляду немає таких,
алгебри iнварiантностi яких iзоморфнi напiвпростим алгебрам Лi або
мiстять їх як пiдалгебри. Тому без втрати загальностi розгляду, доста-
тньо обмежитись розглядом розв’язних алгебр Лi.
Нехай A3 = 〈e1, e2, e3〉. З точнiстю до iзоморфiзму розрiзняють
дев’ять тривимiрних розв’язних дiйсних алгебр Лi (нижче наведено
значенння лише ненульових комутацiйних спiввiдношень мiж базисни-
ми елементами цих алгебр):
A3.1 = A1 ⊕A1 ⊕A1 = 3A1,
A3.2 = A2.2 ⊕A1, [e1, e2] = e2;
A3.3 : [e2, e3] = e1;
A3.4 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = e1 + e2;
A3.5 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = e2;
A3.6 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = −e2;
A3.7 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = qe2, (0 < |q| < 1);
A3.8 : [e1, e3] = −e2, [e2, e3] = e1;
A3.9 : [e1, e3] = qe1 − e2, [e2, e3] = e1 + qe2, (q > 0).
Вiдзначимо, що алгебри A3.1, A3.2 розкладаються в пряму суму
алгебр Лi нижчої розмiрностi, i у подальшому ми називаємо їх роз-
кладними розв’язними алгебрами Лi. Решта тривимiрних алгебр Лi є
196 Магда О.В.
нерозкладними. Також зауважимо, що алгебра A3.3 (вiдома у лiтера-
турi як алгебра Вейля) є нiльпотентною.
Наявнiсть у розв’язної алгебри Лi композицiйного ряду дозволяє
використовувати вже вiдомi результати класифiкацiї для двохвимiр-
них алгебр Лi для побудови реалiзацiй тривимiрних алгебр Лi. Тому
для вивчення реалiзацiй алгебр A3.1 та A3.2 достатньо провести розши-
рення вiдомих реалiзацiй вiдповiдно алгебр A2.1 та A2.2, доповнивши
їх ще одним базисним оператором вигляду (3). При цьому, для спро-
щення вигляду цього оператора можна використовувати лише тi з пе-
ретворень (5), якi не змiнюють вигляд базисних операторiв вiдповiдної
реалiзацiї двохвимiрної алгебри Лi.
Розглянемо два характерних приклади розширення реалiзацiй ал-
гебри A2.1 до реалiзацiй алгебри A3.1.
Нехай має мiсце реалiзацiя A1
2.1. Доповнивши її оператором e3 ви-
гляду (3) i перевiривши комутацiйнi спiввiдношення, бачимо, що для
коефiцiєнтiв оператора e3 виконуються спiввiдношення
λ1 = λ2 = r(t, x) = 0, h = p = const.
Тобто, оператор e3 = λe1 + pe2 є лiнiйною комбiнацiєю перших двох
базисних операторiв реалiзацiї A1
2.1. Звiдси випливає, що реалiзацiя
A1
2.1 не допускає розширення до реалiзацiї алгебри A3.1.
Нехай, тепер, має мiсце реалiзацiя A2
2.1. Доповнивши її оператором
e3 вигляду (3) i перевiривши комутацiйнi спiввiдношення, бачимо, що
має мiсце така реалiзацiя алгебри A3.1:
〈t∂t + x∂x, σ(ξ)∂u, γ(ξ)∂u〉, ξ = tx−1,
де γ′σ−γσ′ 6= 0. Але, як показує безпосередня перевiрка, за цiєї умови
вiдповiдне iнварiантне рiвняння є лiнiйним.
Нехай, нарештi, має мiсце реалiзацiя A3
2.1. Безпосереднi обрахунки
показують, що i у цьому випадкoвi iснує єдине розширення до реалi-
зацiї алгебри A3.1
〈∂t, ∂x, u∂u〉,
a вiдповiдне iнварiантне рiвняння
utt = uxx + uG(ω), ω = u−1ux,
задовольняє сформульовану задачу за умови Gωω 6= 0.
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 197
Провiвши аналогiчний аналiз реалiзацiй Ai2.1 (i = 4, 5, . . . , 13, 15),
ми отримали ще шiсть нееквiвалентних реалiзацiй алгебри A3.1, таких,
що вiдповiднi iнварiантнi рiвняння задовольняють умову (2). Повний
перелiк значень функцiй F в A3.1-iнварiантних рiвняннях наведено в
таблицi 1, де використано такi позначення:
A1
3.1 = 〈∂t, ∂x, u∂u〉;
A2
3.1 = 〈∂t, ∂x, ∂u〉;
A3
3.1 = 〈∂t + β∂x, e
kη∂u, ∂x + ku∂u〉, β > 0, k > 0, η = x− βt;
A4
3.1 = 〈∂x, ∂t + ku∂u, e
kt∂u〉, k > 0;
A5
3.1 = 〈∂x, ϕ(t)∂u, ψ(t)∂u〉, σ = ψ′ϕ− ψϕ′ 6= 0, σ′ = 0;
A6
3.1 = 〈∂x, f(x)u∂u, ϕ(x)u∂u〉,
σ = f ′ϕ− fϕ′ 6= 0, ρ = ϕ′f ′′ − ϕ′′f ′;
A7
3.1 = 〈f(x)u∂u, ϕ(x)u∂u, ∂t + ψ(x)u∂u〉, σ = f ′ϕ− ϕ′f 6= 0,
ρ = f ′′ϕ′ − ϕ′′f ′, f ′ψ − fψ′ 6= 0, ϕ′ψ − ϕψ′ 6= 0.
Таблиця 1. A3.1-iнварiантнi рiвняння (1), (2)
№ Функцiя F Реалiзацiя A3.1
1 uG(ω), ω = u−1ux A1
3.1
2 G(ux) A2
3.1
3 k2(β2 − 1)u+ ekηG(ω), A3
3.1
η = x− βt, ω = e−kη(ux − ku)
4 k2u+ ektG(ω), ω = e−ktux A4
3.1
5 ϕ−1ϕ′′u+G(t, ux), ϕ = ϕ(t) A5
3.1
6 −u−1u2x − σ−1σ′ux + σ−1ρu ln |u|, A6
3.1
σ = σ(x), ρ = ρ(x)
7 −u−1u2x − σ−1σ′ux + σ−1ρu ln |u|+
+tσ−1[σ′ψ′ − ψρ− σψ′′]u, σ = σ(x), A7
3.1
ρ = ρ(x), ψ = ψ(x)
Безпосередньою перевiркою встановлюємо, що для першого, п’ято-
го, шостого i сьомого рiвнянь iз таблицi 1 вiдповiднi реалiзацiї алгебри
A3.1 є максимальними алгебрами iнварiантностi. Для решти рiвнянь
198 Магда О.В.
максимальними алгебрами iнварiантностi є такi чотиривимiрнi алге-
бри Лi:
A2
3.1 +⊃ 〈t∂u〉 для другого рiвняння,
A3
3.1 ⊂+ 〈ek(x+βt)∂u〉 для третього рiвняння,
A4
3.1 ⊂+ 〈e−kt∂u〉 для четвертого рiвняння.
Тут k > 0, β > 0.
Для повного опису A3.1-iнварiантних рiвнянь необхiдно проаналiзу-
вати розширення реалiзацiї A14
2.1 до реалiзацiй алгебри A3.1. Для цього
ми розглянемо бiльш загальне рiвняння
utt = uxx − u−1u2x +A(x)ux +B(x)u ln |u|+ uD(t, x), (6)
яке, очевидно, мiстить як частиннi випадки A14
2.1-iнварiантне рiвняння,
та шосте i сьоме рiвняння iз таблицi 1. В наступнiй лемi подано повний
опис рiвнянь вигляду (6), максимальна алгебра iнварiантностi, яких
має розмiрнiсть не вищу за 3.
Лема 1. Якщо функцiї A, B, D є довiльними, то максимальною ал-
геброю iнварiантностi рiвняння (6) є двовимiрна алгебра Лi, еквiва-
лентна реалiзацiї A14
2.1, i (6) зводиться до A14
2.1-iнварiантного рiвнян-
ня. За умови, що максимальна алгебра iнварiантностi рiвняння (6)
є тривимiрною (ми позначаємо її A3), мають мiсце такi випадки:
I. A3 ∼ A6
3.1, функцiї A,B,D зводяться до вiдповiдних функцiй в
A6
3.1-iнварiантному рiвняннi;
II. A3 ∼ A7
3.1, функцiї A,B,D зводяться до вiдповiдних функцiй в
A7
3.1-iнварiантному рiвняннi;
III. D = x−2G(ξ), ξ = tx−1, G 6= 0 :
1) A3 ∼ A3.2, A3 = 〈t∂t + x∂x, u∂u, |x|1−nu∂u〉,
A = nx−1 (n 6= 1), B = 0;
2) A3 ∼ A3.3, A3 =〈t∂t + x∂x, u∂u, u ln |x|∂u〉, A = x−1, B = 0;
3) A3 ∼ A3.4, A3 = 〈t∂t + x∂x,
√
|x|u∂u,
√
|x| ln |x|u∂u〉,
A = 0, B = 1
4x
−2;
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 199
4) A3 ∼ A3.9, A3 = 〈t∂t + x∂x,
√
|x| cos( 1
2β ln |x|)u∂u,√
|x| sin( 1
2β ln |x|)u∂u〉, A = 0, B = mx−2,
m > 1
4 , β =
√
4m− 1;
5) A3 ∼ A3.7, A3 = 〈t∂t + x∂x, (
√
|x|)1+βu∂u, (
√
|x|)1−βu∂u〉,
A = 0, B = mx−2, m < 1
4 , m 6= 0, β =
√
1− 4m;
6) A3 ∼ A3.8, A3 = 〈t∂t + x∂x, cos(
√
m ln |x|)u∂u,
sin(
√
m ln |x|)u∂u〉, A = x−1, B = mx−2, m > 0;
7) A3 ∼ A3.6, A3 = 〈t∂t + x∂x, |x|
√
|m|u∂u, |x|−
√
|m|u∂u〉,
A = x−1, B = mx−2, m < 0;
8) A3 ∼ A3.4, A3 = 〈t∂t + x∂x, (
√
|x|)1−nu∂u, (
√
|x|)1−n×
× ln |x|u∂u〉, A = nx−1 (n 6= 0, 1), B = 1
4 (n− 1)2x−2;
9) A3 ∼ A3.9, A3 = 〈t∂t + x∂x, (
√
|x|)1−n cos( 1
2β ln |x|)u∂u,
(
√
|x|)1−n sin( 1
2β ln |x|)u∂u〉, A = nx−1 (n 6= 0, 1),
B = mx−2 (m > 1
4 (n− 1)2), β =
√
4m− (n− 1)2;
10) A3 ∼ A3.7, A3 = 〈t∂t + x∂x, (
√
|x|)1−β−nu∂u,
(
√
|x|)1−n+βu∂u〉, A = nx−1 (n 6= 0, 1), B = mx−2
(m < 1
4 (n− 1)2, m 6= 0), β =
√
(n− 1)2 − 4m.
IV. D = G(t),
1) A3 ∼ A3.3, A3 = 〈∂x, u∂u, xu∂u〉, A = B = 0;
2) A3 = A3.2, A3 = 〈∂x, u∂u, exu∂u〉, A = −1, B = 0;
3) A3 ∼ A3.8, A3 = 〈∂x, cos (x)u∂u, sin (x)u∂u〉, A = 0, B = 1;
4) A3 ∼ A3.6, A3 = 〈∂x, exu∂u, e−xu∂u〉, A = 0, B = −1;
5) A3 ∼ A3.4, A3 = 〈∂x, e
1
2xu∂u, e
1
2xxu∂u〉, A = −1, B = 1
4 ;
6) A3 ∼ A3.7, A3 = 〈∂x, e
1
2 (1+β)xu∂u, e
1
2 (1−β)xu∂u〉,
A = −1, B = m (m < 1
4 ), m 6= 0, β =
√
1− 4m;
7) A3 ∼ A3.9, A3 = 〈∂x, e
1
2x cos( 1
2βx)u∂u, e
1
2x sin( 1
2βx)u∂u〉,
A = −1, B = m (m > 1
4 ), β =
√
4m− 1;
V. D = G(η), η = x− kt, k > 0,
1) A3 ∼ A3.3, A3 = 〈∂t + k∂x, u∂u, xu∂u〉, A = B = 0;
2) A3 = A3.2, A3 = 〈∂t + k∂x, u∂u, e
xu∂u〉, A = −1, B = 0;
200 Магда О.В.
3) A3 ∼ A3.8, A3 = 〈∂t + k∂x, cos (x)u∂u, sin (x)u∂u〉,
A = 0, B = 1;
4) A3 ∼ A3.6, A3 = 〈∂t + k∂x, e
xu∂u, e
−xu∂u〉, A = n, B = −1;
5) A3 ∼ A3.4, A3 = 〈∂t + k∂x, e
1
2xu∂u, e
1
2xxu∂u〉,
A = −1, B = 1
4 ;
6) A3 ∼ A3.7, A3 = 〈∂t + k∂x, e
1
2 (1+β)xu∂u, e
1
2 (1−β)xu∂u〉,
A = −1, B = m (m < 1
4 ), m 6= 0, β =
√
1− 4m;
7) A3 ∼ A3.9, A3 = 〈∂t + k∂x, e
1
2x cos( 1
2βx)u∂u,
e
1
2x sin( 1
2βx)u∂u〉, A = −1, B = m (m > 1
4 ) β =
√
4m− 1.
Доведення. Пiдставивши в класифiкуючe рiвняння (4) вираз
F = −u−1u2x +A(x)ux +B(x)u ln |u|+ uD(t, x),
одержуємо таку систему визначальних рiвнянь для функцiй h(x),
r(t, x) та сталих λ, λ1, λ2 в операторовi симетрiї (3):
r = 0,
(λx+ λ2)A′ + λA = 0,
(λx+ λ2)B′ + 2λB = 0,
h′′ +Ah′ +Bh = −(λt+ λ1)Dt − (λx+ λ2)Dx − 2λD.
(7)
Спочатку зупинимось на доведеннi першої частини леми, вважа-
ючи функцiї A, B, D довiльними. Лiва частина четвертого рiвняння
системи (7) залежить лише вiд змiнної x. Крiм того, оскiльки D —
довiльна функцiя своїх аргументiв, то, взагалi кажучи, Dt 6= 0. Звiдси
випливає, що сталi λ, λ1, λ2 з необхiднiстю дорiвнюють нулю. Тому че-
тверте рiвняння зводиться до лiнiйного звичайного диференцiального
рiвняння другого порядку для функцiї h(x)
h′′ +Ah′ +Bh = 0. (8)
Загальний розв’язок цього рiвняння можна подати у виглядi
h = C1f(x) + C2ϕ(x), C1, C2 ∈ R,
де функцiї f(x) i ϕ(x) складають фундаментальну систему розв’язкiв
рiвняння
y′′ +Ay′ +By = 0, y = y(x). (9)
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 201
Далi, пiдставивши вираз для h у (8), маємо
A = −σ−1σ′, B = σ−1(ϕ′f ′′ − f ′, ϕ′′),
де σ = ϕf ′ − ϕ′f 6= 0. Першу частину твердження доведено.
Припустимо тепер, що D = 0. Тодi, якщо хоча б одна iз функцiй
A або B є довiльною функцiєю вiд x, то λ = λ2 = 0, а функцiя h
задовольняє рiвняння (8). Має мiсце перший випадок другої частини
твердження.
Далi, якщо функцiї A i B не є довiльними, то згiдно iз другим та
третiм рiвняннями системи (7) вони, з точнiстю до еквiвалентностi,
набувають одного iз таких значень:
1) A = B = 0;
2) A = n, B = m, m, n ∈ R, |n|+ |m| 6= 0;
3) A = nx−1, B = mx−2,m, n ∈ R, |n|+ |m| 6= 0.
(10)
За цих умов, максимальна алгебра iнварiантностi вiдповiдних рiвнянь
(6) має розмiрнiсть вищу за 3.
Таким чином, без втрати загальностi розгляду, можна вважати, що
D 6= 0. Iнтегруючи рiвняння
(λt+ λ1)Dt + (λx+ λ2)Dx + 2λD = H(x)
за умови D 6= 0, одержуємо з точнiстю до еквiвалентностi такi вирази
для функцiї D(t, x):
D = x−2G(ξ) + x−2
∫
xH(x) dx, ξ = tx−1;
D = G(η) + k−1
∫
H(x) dx, η = x− kt, k > 0;
D = G(t) +
∫
H(x) dx,
D = tH(x) + H̃(x).
(11)
Неважко перевiрити, що iснують замiни змiнних вигляду
t = t, x = x, u = θ(x)v(t, x), θ 6= 0, (12)
де θ — розв’язок рiвняння
θ−1θ′′ − θ−2(θ′)2 +Aθ−1θ′ +B ln |θ|+ Λ(x) = 0,
202 Магда О.В.
якi залишають вигляд рiвняння (6) незмiнним, а значення (11) функцiї
D зводять до таких:
D = x−2G(ξ), ξ = tx−1;
D = G(η), η = x− kt, k > 0;
D = G(t),
D = tH(x).
(13)
Для перших трьох значень функцiї D виконується рiвнiсть H(x) ≡ 0.
Тому функцiя h задовольняє рiвняння (8). За умови, що D = tH(x)
маємо:
h′′ +Ah′ +Bh = −λ1H, (λx+ λ2)H ′ + 3λH = 0.
Таким чином, максимальна алгебра iнварiантностi вiдповiдного рiвня-
ння (8) є тривимiрною тодi i тiльки тодi, коли λ = λ2 = 0,що вiдповiдає
другому випадковi iз другої частини твердження леми.
Нехай, тепер, D = x−2G(ξ), ξ = tx−1. Тодi функцiя G 6= 0 задоволь-
няє рiвняння
(λ2ξ − λ1)G′ + 2λ2G = 0. (14)
Якщо G є довiльною функцiєю, то λ1 = λ2 = 0 i, крiм того, λ 6= 0
(iнакше максимальна алгебра iнварiантностi буде двохвимiрною). То-
му виконуються рiвностi
xA′ + a = 0, xB′ + 2B = 0.
Звiдси випливає, що функцiї A та B можуть набувати лише першого
та третього значень iз (10). Аналiзуючи цi значення, одержуємо десять
випадкiв пункту III другої частини твердження.
Якщо ж функцiя G не являється довiльною, то, iнтегруючи (14),
маємо
G = p, p ∈ R, p 6= 0;
G = p(ξ − q)−2, p 6= 0, q ∈ R.
За умови G = p, параметр λ2 дорiвнює нулю. Тому з вимоги того,
щоб максимальна алгебра iнварiантностi була тривимiрною, випливає,
що λ також дорiвнює нулю. Це вiдповiдає випадковi, коли A i B в
(6) є довiльними функцiями (перший випадок iз другої частини твер-
дження). Якщо ж G = p(ξ − q)−2, p 6= 0, то маємо λ1 = λ2q. Звiдси
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 203
випливає, що максимальна алгебра iнварiантностi вiдповiдного рiвня-
ння (6) є тривимiрною тодi i тiльки тодi, коли функцiї A, B задаються
формулами 3) iз (10) (при цьому λ1 = λ2 = 0, а тому мають мiсце
випадки, якi мiстяться в третьому пунктовi другої частини тверджен-
ня), або коли функцiї A, B задаються формулами 2) iз (10) (при цьому
λ = 0, D = p(t − qx)−2 i з точнiстю до позначення сталих маємо ви-
падки четвертого (q = 0) або п’ятого (q 6= 0) пунктiв другої частини
твердження).
Нехай, тепер, D = G(η), η = x− kt, k > 0. Тодi має мiсце рiвнiсть
λ(ηG′ + 2G) + (λ2 − kλ1)G′ = 0.
Звiдси випливає, що коли G — довiльна функцiя змiнної η, то λ = 0,
λ2 = kλ1. Тому максимальна алгебра iнварiантностi рiвняння (6) буде
тривимiрною тодi, коли A = B = 0 або A, B задаються формулами 2)
iз (10). Таким чином, одержуємо всi випадки iз п’ятого пункту другої
частини твердження.
Припустимо тепер, що G = p (p 6= 0) або G = pη−2 (p 6= 0). Тодi ви-
мога того, щоб максимальна алгебра iнварiантностi рiвняння (6) була
тривимiрною, приводить нас до випадкiв, одержаних вище.
Нехай, нарештi, D = G(t), тодi справедлива рiвнiсть
(λt+ λ1)G′ + 2λG = 0.
Звiдси випливає, що коли G — довiльна функцiя, то λ = λ1 = 0 i ма-
ксимальна алгебра iнварiантностi рiвняння (6) буде тривимiрною тодi,
коли функцiї A, B задаються формулою 2) iз (10). Таким чином, одер-
жуємо всi випадки iз четвертого пункту другої частини твердження.
Якщо ж G = p (p 6= 0) aбо G = pt−2 (p 6= 0), то вимога того, щоб
максимальна алгебра iнварiантностi рiвняння (6) була тривимiрною,
приводить нас до випадкiв, одержаних вище. Лему доведено.
Iз доведеної леми, зокрема, випливає, що розширення реалiзацiї
A14
2.1 до реалiзацiй алгебри A3.1 приводить до вже вiдомих реалiза-
цiй A5
3.1, A
6
3.1. Отже, A3.1-iнварiантнi рiвняння (1), (2) з точнiстю до
еквiвалентностi вичерпуються рiвняннями, значення функцiї F в яких
наведенi в таблицi 1.
Також, серед рiвнянь (6) є ще три рiвняння, максимальними алге-
брами iнварiантностi яких є тривимiрнi алгебри Лi iзоморфнi алгебрi
A3.2. Решта ж тривимiрних алгебр iнварiантностi рiвнянь вигляду (6)
є реалiзацiями нерозкладних розв’язних тривимiрних алгебр Лi.
204 Магда О.В.
Далi ми проводимо класифiкацiю нелiнiйних диференцiальних рiв-
нянь (1), (2), алгебрами iнварiантностi яких є реалiзацiї алгебри A3.2.
Оскiльки A3.2 = A2.2⊕A1, то для побудови реалiзацiй алгебри A3.2 до-
статньо проаналiзувати розширення вiдомих реалiзацiй алгебри A2.2
ще одним оператором вигляду (3), який комутує з базисними операто-
рами реалiзацiйAi2.2 (i = 1, . . . , 16). Розглянемо, наприклад, реалiзацiю
A1
2.2, для якої e1 = t∂t + x∂x, e2 = xu∂u. Поклавши e3 рiвним опера-
торовi (3) i перевiривши комутацiйнi спiввiдношення, якi визначають
алгебру A3.2, одержуємо реалiзацiю
〈t∂t + x∂x, xu∂u, u∂u〉,
яка є алгеброю iнварiантностi рiвняння
utt = uxx − u−1u2x + x2uG(ξ), ξ = tx−1.
Це рiвняння належить до класу рiвнянь (6) (перший випадок iз тре-
тього пункту другої частини твердження леми при n = 0).
Провiвши аналогiчний аналiз решти п’ятнадцяти реалiзацiй алге-
бри A2.2, ми отримали ще двадцять A3.2-iнварiантних рiвнянь вигляду
(1), (2). Повний перелiк значень функцiй F , якi визначають цi рiвня-
ння, наведено в таблицi 2, де використано такi позначення:
A1
3.2 = 〈k(t∂t + x∂x), |x|k−1
u∂u, u∂u〉, k 6= 0;
A2
3.2 = 〈∂t, ∂x, exu∂u〉;
A3
3.2 = 〈∂t + k∂x, e
k−1xu∂u, u∂u〉, k > 0;
A4
3.2 = 〈∂t + k∂x, e
k−1xu∂u, ∂t +mu∂u〉, k > 0, m 6= 0;
A5
3.2 = 〈−t∂t − x∂x, ∂t + k∂x, u∂u〉, k ≥ 0;
A6
3.2 = 〈−t∂t − x∂x +mu∂u, ∂t + k∂x, |η|−m∂u〉,
η = x− kt, k = m = 0 або k > 0, m ∈ R;
A7
3.2 = 〈∂x, exu∂u, u∂u〉;
A8
3.2 = 〈∂x, exu∂u, ∂t +mu∂u〉, m > 0;
A9
3.2 = 〈−t∂t − x∂x, ∂x, u∂u〉;
A10
3.2 = 〈−t∂t − x∂x + ku∂u, ∂x, |t|−k∂u, 〉, k ∈ R;
A11
3.2 = 〈∂t + ku∂u, e
(1+k)t∂u, ∂x〉, k ∈ R;
A12
3.2 = 〈∂t + ku∂u, e
(1+k)t∂u, ∂x +m(∂t + (1 + k)u∂u)〉,
k ∈ R, m > 0;
A13
3.2 = 〈∂t + k(cos x)u∂u, e
(1+k cos x)t∂u, e
kt cos x cos x∂u〉, k 6= 0;
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 205
A14
3.2 = 〈−t∂t − x∂x, ∂t + kx−1u∂u, u∂u〉, k > 0;
A15
3.2 = 〈−t∂t − x∂x, ∂t + kx−1u∂u, e
ktx−1
∂u〉, k > 0;
A16
3.2 = 〈k(t∂t + x∂x), |t|k−1 |ξ| k−1
2k ∂u, |ξ|
k−1
2k ∂u〉,
k 6= 0, 1, ξ = tx−1;
A17
3.2 = 〈∂x, ex+(m−k)t∂u, ∂t + k∂x +mu∂u〉, m, k ∈ R;
A18
3.2 = 〈∂t + k∂x, e
1
2k
−1(x+kt)∂u, e
1
2k
−1η∂u〉,
k > 0, η = x− kt;
A19
3.2 = 〈∂t + k∂x, e
t+mη∂u, ∂x +mu∂u〉,
k > 0, m 6= 0, η = x− kt;
A20
3.2 = 〈∂t + k∂x, e
t+(k−β)−1η∂u, ∂t + β∂x〉,
k > 0, k 6= 1, β ∈ R, β 6= k, η = x− kt;
A21
3.2 = 〈∂t + k∂x, e
t+ 1−m
k−β η∂u, ∂t + β∂x +mu∂u〉;
k > 0, β ∈ R, k 6= β, m ∈ R.
Таблиця 2. A3.2-iнварiантнi рiвняння (1), (2)
№ Функцiя F Реалiзацiя
A3.2
1 −u−1u2x − k−1(1− k)x−1ux + x−2uG(ξ), A1
3.2
ξ = tx−1
2 u ln2 |u| − u ln |u| − 2ux ln |u|+ uG(ω), A2
3.2
ω = u−1ux − ln |u|
3 −u−1u2x − k−1ux + uG(η), η = x− kt A3
3.2
4 −u−1u2x − k−1ux + uG(ω), A4
3.2
ω = k2u−1ux − k ln |u| −m(x− kt)
5 uη−2G(ω), η = x− kt, ω = ηuxu
−1 A5
3.2
6 m(k2 − 1)(m+ 1)η−2u+ |η|−2−mG(ω), A6
3.2
η = x− kt, ω = |η|m(mu+ ηux)
7 −u−1u2x − ux + uG(t) A7
3.2
8 −u−1u2x − ux + uG(ω), A8
3.2
ω = u−1ux − ln |u|+mt
9 ut−2G(ω), ω = tu−1ux A9
3.2
10 k(k + 1)t−2u+ |t|−2−kG(ω), ω |t|k+1ux A10
3.2
206 Магда О.В.
Продовження таблицi 2.
п/п Функцiя F Реалiзацiя
A3.2
11 (1 + k)2u+ etkG(ω), ω = e−ktux A11
3.2
12 (1 + k)2u+ ekt+mxG(ω), A12
3.2
ω = e−kt−mxux
13 [k2t2 sin2 x+ kt cos x+ k2 cos2 x+ 2k cos x+
+1]u+ 2kt(sin x)ux + ekt cos xG(ω) A13
3.2
ω = e−kt cos x[ux + (tan x+ kt sin x)u]
14 2ktx−2ux − 2ktx−3u+ k2t2x−4u+ x−2uG(ω), A14
3.2
ω = xu−1ux + ktx−1
15 2ktx−2ux + (k2t2x−4 − 2ktx−3 + k2x−2)u+ A15
3.2
+x−2ektx
−1
G(ω), ω = e−ktx
−1
(xux + ktx−1u)
16
[
1−k
k ξ2 + 1−k2
4k2 (1− ξ2)
]
t−2u+ t−2G(ξ, ω), A16
3.2
ω = |ξ| k−1
2k
[
xux + k−1
2k u
]
, ξ = tx−1
17 [(m− k)2 − 1]u+ emtG(ω), ω = e−mt(ux − u) A17
3.2
18 1
4k
−2(k2 − 1)u+G(η, ω), η = x− kt, A18
3.2
ω = e
1
2k
−1η(ux − 1
2k
−1u)
19 [(km− 1)2 −m2]u+ emηG(ω), A19
3.2
η = x− kt, ω = e−mη(ux −mu)
20 [(k(k − β)−1 − 1)2 − (k − β)−2]u+G(ω), A20
3.2
ω = ux − (k − β)−1u
21
[
(k2−1)(1−m)2
(k−β)2 − 2k(1−m)
k−β + 1
]
u+
+e(β−k)
−1ηG(ω), η = x− kt, A21
3.2
ω = em(k−β)−1η
(
ux − 1−m
k−β u
)
4. Заключнi зауваження. Одним iз основних висновкiв, якi
можна зробити на основi проведених дослiджень, є те, що задача пов-
ної групової класифiкацiї iнварiантних рiвнянь (1) — дуже нетривi-
альна математична проблема, розв’язання якої потребує нетрадицiй-
них методiв i пiдходiв. Саме цей факт пояснює ту дивну обставину,
що для такого класичного рiвняння, як нелiнiйне хвильове рiвняння
(1), задачу групової класифiкацiї до цих пiр не розв’язано у повному
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 207
обсязi.
В рядi робiт (короткий огляд яких подано у вступi) одержано час-
тковий розв’язок задачi групової класифiкацiї рiвнянь вигляду (1). В
цих роботах або вивчаються груповi властивостi рiвнянь дослiджува-
ного вигляду при спецiальному виборi функцiї F , або фiксується a
priori вигляд шуканих операторiв симетрiї. Очевидно, що обидва пiд-
ходи ведуть до втрати, як iнварiантних рiвнянь, так i нетривiальних
алгебр iнварiантностi, якi допускаються такими рiвняннями.
Запропонований в [17] метод групової класифiкацiї диференцiаль-
них рiвнянь малої розмiрностi дозволяє в багатьох випадках одержати
вичерпний опис iнварiнтних рiвнянь, якi належать до деякого наперед
заданого класу диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. В
данiй роботi повнiстю розв’язано задачу класифiкацiї рiвнянь (1), (2),
якi допускають двовимiрнi та тривимiрнi розкладнi розв’язнi алгебри
Лi. Оскiльки не iснує рiвнянь дослiджуваного вигляду, алгебри iнварi-
антностi яких були б напiвпростими або мiстили напiвпростi алгебри,
як пiдалгебри, то для повного розв’язання задачi групової класифiка-
цiї рiвнянь (1), (2) необхiдно дослiдити випадки тривимiрних нероз-
кладних розв’язних алгебр Лi та розширень тривимiрних розв’язних
алгебр Лi до розв’язних алгебр Лi розмiрностi n > 3.
Iншим важливим застосуванням нашого пiдходу є групова класифi-
кацiя систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь гiперболiчного типу
з двома незалежними змiнними. Є серйознi пiдстави вважати, що для
таких рiвнянь також можливо одержати повний розв’язок задачi гру-
пової класифiкацiї.
Лiтература
[1] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. —
М.: Наука, 1978 (English transl.: Academic Press, New York, 1982).
[2] Olver P. J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. — New-
York: Springer-Verlag, 1986.
[3] Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и
точные решения нелинейных уравнений математической физики. —
К.: Наукова думка, 1989 (English transl.: Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, 1993).
[4] Fushchych W. I., Zhdanov R. Z. Symmetries and exact solutions of nonlinear
Dirac equations. — K.: Mathematical Ukraina Publishers, 1997.
208 Магда О.В.
[5] Lie S. Über die Integration durch bestimmte Inegrale von einer Klasse
linearer partiallen Differentialgleichungen // Arch. Math. — 1881. — 6,
№ 3. — S. 328 – 368.
[6] Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений С.А. Чаплыгина //
Журн. прикл. мех. и техн.физ. — 1960, № 3. — P. 126 – 145.
[7] Bluman G.W., Kumei S. On invariance properties of the wave equation //
J. Math. Phys. — 1987. — 28, № 2. — P. 307 – 318.
[8] Lie S. Discussion der differential Gleichung d2z/dxdy = F (z) // Arch.
Math. — 1881. — 8, № 1. — S. 112 – 125.
[9] Pucci E., Salvatori M.C. Group properties of a class of semilinear
hyperbolic equations // Int. J. Non. Mech. — 1986. — 21, № 2. — P. 147 –
152.
[10] Pucci E. Group analysis of the equation utt +λuxx = g(u, ux) // Riv. Mat.
Univ. Parma. — 1987. — 12, № 4. — P. 71 – 87.
[11] Ames W.F., Adams E., Lohner R. J. Group properties of utt = [f(u)ux]x //
Int. J. Non. Mech. — 1981. — 16, № 5-6. — P. 439 –447.
[12] Oron A., Rosenau Ph. Some symmetries of the nonlinear heat and wave
equations // Phys. Lett. A. — 1986. — 118, № 4. — P. 172 – 176.
[13] Suhubi E. S., Bakkaloǧlu A. Group poperties and similarity solutions for a
quasi-linear wave equation in the plane // Int. J. Non. Mech. — 1991. —
26, № 5. — P. 567 – 584.
[14] Torrisi M., Valenti A. Group properties and invariant solutions for infi-
nitesimal transformations of a nonlinear wave equation // Int. J. Non.
Mech. — 1985. — 20, № 3 — P. 135 – 144.
[15] Torrisi M., Valenti A. Group analysis and some solutions of a nonlinear
wave equation // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. — 1990. — 38, № 2. —
P. 445 – 458.
[16] Ibragimov N.H., Torrisi M., Valenti A. Preliminary group classification of
equations vtt = f(x, vx)vxx + g(x, vx) // J. Math. Phys. — 1991. — 32,
№ 11. — P. 2988 – 2995.
[17] Zhdanov R. Z., Lahno V. I. Group classification of heat conductivity equati-
ons with a nonlinear source // J. Phys. A: Math. Gen. — 1999. — 32. —
7405 – 7418.
[18] Aхатов Н.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симме-
трии. Эвристический подход // Итоги науки и техники. Современные
проблемы математики. Новейшие достижения. — 1989. — 34. — C. 3 –
83.
Тривимiрнi алгебри Лi одного класу хвильових рiвнянь 209
[19] Magda O. The group classification of nonlinear wave equations invari-
ant under two–dimensional Lie algebras // Proceeding of Institute of
Mathematics of he NAS of Ukraine. — 2000. — 30, Part 1. — P. 165 – 169.
[20] Barut A.O., Raczka R. Theory of group representations and applications. —
Warszawa: PWN-Polish Scientific, 1977.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-113 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:53Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/5f/9b8b8c0ab643adc1950e1eae93888a5f.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1132018-02-13T13:58:16Z Three- dimensional Lie algebras for a one class of wave equations Тривимірні алгебри Лі одного класу хвильових рівнянь Magda, O. V. Магда, О. В. We have completely solved the problem of description of quasi-linear hyperbolic-type differential equations in two independent variables that areinvariant under one-dimensional, two-dimensional, three-dimensional split solvable Lie algebras. Повністю розв'язано задачу класифікації квазілінійних рівнянь гіперболічного типу з двома незалежними змінними, які інваріантні відносно одновимірних, двовимірних, тривимірних розкладних розв'язних алгебр Лі. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/113 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 186–209 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 186–209 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 186–209 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/113/102 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Magda, O. V. Магда, О. В. Three- dimensional Lie algebras for a one class of wave equations |
| title | Three- dimensional Lie algebras for a one class of wave equations |
| title_alt | Тривимірні алгебри Лі одного класу хвильових рівнянь |
| title_full | Three- dimensional Lie algebras for a one class of wave equations |
| title_fullStr | Three- dimensional Lie algebras for a one class of wave equations |
| title_full_unstemmed | Three- dimensional Lie algebras for a one class of wave equations |
| title_short | Three- dimensional Lie algebras for a one class of wave equations |
| title_sort | three- dimensional lie algebras for a one class of wave equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/113 |
| work_keys_str_mv | AT magdaov threedimensionalliealgebrasforaoneclassofwaveequations AT magdaov threedimensionalliealgebrasforaoneclassofwaveequations AT magdaov trivimírníalgebrilíodnogoklasuhvilʹovihrívnânʹ AT magdaov trivimírníalgebrilíodnogoklasuhvilʹovihrívnânʹ |