On functions of the first Baire class with the Darboux property
The Baire class one functions with the Darboux property and a set of countable levels of the second category are researched on closed interval.We proved that there exists a dense open set on this interval such that nowhere constant function is strictly monotonic and continuous on eachsubinterval of...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/115 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552533441904640 |
|---|---|
| author | Safonov, V. M. Сафонов, В. М. |
| author_facet | Safonov, V. M. Сафонов, В. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Сафонов",
"institution": "Національний університет харчових технологій"
}
] |
| author_sort | Safonov, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | The Baire class one functions with the Darboux property and a set of countable levels of the second category are researched on closed interval.We proved that there exists a dense open set on this interval such that nowhere constant function is strictly monotonic and continuous on eachsubinterval of the set. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 222–229
УДК 517.51
В.М. Сафонов
(Нацiональний унiверситет харчових технологiй, Київ)
safonov_v_m@ukr.net
Про функцiї першого класу Бера з
властивiстю Дарбу
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
Дослiджуються на вiдрiзку функцiї першого класу Бера з властивiстю
Дарбу, що мають скрiзь множину злiченних рiвнiв другої категорiї.
Доведено, що iснує щiльна на вiдрiзку вiдкрита множина, у кожному
iнтервалi якої нiде не стала функцiя строго монотонна i неперервна.
The Baire class one functions with the Darboux property and a set of
countable levels of the second category are researched on closed interval.
We proved that there exists a dense open set on this interval such that
nowhere constant function is strictly monotonic and continuous on each
subinterval of the set.
Якщо на вiдрiзку задана функцiя f : [a, b] −→ R, то множину
f−1(y) = {x : f(x) = y, x ∈ [a, b]} називають рiвнем функцiї f , що
вiдповiдає значенню y, infx∈[a,b] f(x) ≤ y ≤ supx∈[a,b] f(x). Рiвнi не-
перервної функцiї являють собою замкненi множини в [a, b], скiнченнi
або нескiнченнi. Приклади показують, що iснують неперервнi функцiї,
у яких всi рiвнi не тiльки нескiнченнi, але i незлiченнi. Бiльш того,
iснують функцiї, у яких всi рiвнi навiть не мiстять iзольованих то-
чок. Знання багатьох властивостей множини всiх рiвнiв функцiї часто
дають змогу охарактеризувати її особливостi.
Особливу увагу привертають злiченнократнi вiдображення. Вiдома
теорема [1, стор. 523] стверджує, що кожне злiченнократне вiдображе-
ння f : D → Rn1 , D ⊂ Rn має скрiзь щiльну множину точок локально-
го гомеоморфiзму. Виявляється, що злiченну кратнiсть вiдображення
c© В.М. Сафонов, 2017
Про функцiї першого класу Бера з властивiстю Дарбу 223
можна припустити лише на деякiй множинi скрiзь другої категорiї на
f(D) [2, стор. 527].
Що стосується одновимiрного випадку, то висновок з цiєї теореми
для нульвимiрного неперервного вiдображення зводиться до iснуван-
ня скрiзь щiльної на заданому вiдрiзку скiнченної або злiченної по-
слiдовностi iнтервалiв попарно без спiльних точок, в кожному з яких
вiдображення є строго монотонним.
У цiй роботi переконаємось, що умови наведеної теореми можна по-
слабити. Твердження теореми в одновимiрному випадку залишається
справедливим для такого класу функцiй як функцiї першого класу
Бера з властивiстю Дарбу.
Тепер сформулюємо i доведемо основну теорему.
Теорема 1. Нехай f : [a, b] −→ R — нiде не стала функцiя першого
класу Бера з властивiстю Дарбу, яка має множину злiченних рiв-
нiв E скрiзь другої категорiї. Тодi iснує вiдкрита щiльна множина
G = ∪iGi ⊂ [a, b], в кожнiй компонентi Gi якої функцiя f строго
монотонна i неперервна.
Виберемо прямокутну систему координат у двовимiрному евклiдо-
вому просторi R2 i позначимо її осi через R1 i R2. При доведеннi те-
ореми скористаємось таким. Оскiльки функцiя f на вiдрiзку [a, b] за-
довольняє властивiсть Дарбу i не має жодного iнтервалу сталостi, то
образ f([α, β]) ⊆ R = R2 довiльного вiдрiзка [α, β] ⊆ [a, b] ⊂ R1 є зв’я-
зною множиною — деяким промiжком, скiнченним або нескiнченним
на осi R2.
Доведення основної теореми опирається на такi твердження.
Лема 1. Нехай функцiя першого класу Бера f(x), x ∈ [a, b] за-
довольняє властивiсть Дарбу. Якщо довiльна зв’язна пiдмножи-
на ∆ ⊂ f([a, b]) мiстить двi точки y1 i y2 такi, що об’єднання
f−1(y1) ∪ f−1(y2) є щонайбiльше злiченною множиною, то iснує iн-
тервал δ ⊂ [a, b], на якому повний прообраз f−1(∆) всюди щiльний (i
бiльш того, другої категорiї).
Доведення. Для доведення леми досить показати, що повний про-
образ f−1((y1, y2)) iнтервала (y1, y2) ⊂ ∆ ⊂ R2 є щiльною множиною на
деякому iнтервалi δ ⊂ [a, b] ⊂ R1. Доведення проведемо вiд супротив-
ного. Припустимо, що за умови злiченностi множини f−1(y1)∪f−1(y2)
повний прообраз ε = f−1((y1, y2)) ⊂ [a, b] нiде не щiльний.
224 В.М. Сафонов
Повний прообраз f−1([y1, y2]) вiдрiзка [y1, y2] ⊆ ∆ є незлiченною
Gδ-множиною на [a, b] (див. [3, с. 382]). Оскiльки f−1(y1) ∪ f−1(y2) —
злiченна множина, то множина ε є (абсолютною) Gδ-множиною. При
цьому множина ε не мiстить iзольованих точок. Справдi, для деякої
iзольованої точки x′ ∈ ε знайдеться вiдрiзок σ ⊂ [a, b] такий, що σ∩ε =
= {x′}. Тодi, приймаючи до уваги властивiсть Дарбу, дiстанемо
f(σ)∩ ((y1, y2)\{f(x′)}) 6= ∅, що суперечить рiвностi σ∩ (ε\{x′}) = ∅.
Вiзьмемо замикання ε ⊂ [a, b] множини ε. Множина ε другої кате-
горiї на ε. Оскiльки f -функцiя першого класу на досконалiй множинi
ε, то iснує множина Q ⊂ ε скрiзь другої категорiї на ε точок непе-
рервностi звуження f |ε функцiї f на множину ε. Звiдси випливає, що
перетин ε ∩ Q 6= ∅ (множина ε ∩ Q навiть незлiченна, як множиною
другої категорiї на ε). Отже, знайдеться точка x0 ∈ ε ∩Q, причому її
образ y0 = f(x0) ∈ (y1, y2). Тодi, внаслiдок попереднього, для деякого
околу V (y0), V (y0) ⊂ (y1, y2) образа y0 точки x0 iснує окiл цiєї точки
U(x0) ⊂ [a, b] такий, що для всiх x ∈ U(x0) ∩ ε маємо f(x) ∈ V (y0).
Виберемо вiдрiзок τ ⊂ U(x0), для якого τ ∩ ε 6= ∅. Множина ε
нiде не щiльна на вiдрiзку τ , тому виконується τ \ ε 6= ∅. Врахо-
вуючи те, що функцiя f задовольняє властивiсть Дарбу, дiстанемо
f(τ) ∩ ((y1, y2) \ V (y0)) 6= ∅, всупереч включенню τ ∩ ε ⊂ U(x0).
Таким чином, iснує iнтервал δ ⊂ [a, b], на якому Gδ-множина δ ∩ ε
скрiзь щiльна i тому другої категорiї. Лема доведена.
Лема 2. Нехай f(x), x ∈ [a, b] — функцiя першого класу з властивi-
стю Дарбу, причому множина її злiченних рiвнiв E скрiзь щiльна.
Якщо пiдмножина A ⊂ [a, b] щiльна, то її образ f(A) є щiльним на
множинi f([a, b]).
Доведення. Припустимо супротивне. Тодi iснує щiльна пiдмножина
A0 ⊂ [a, b] така, що її образ f(A0) не є скрiзь щiльним на множи-
нi f([a, b]). Враховуючи те, що множина злiченних рiвнiв E функцiї
f щiльна на f([a, b]), знайдемо вiдрiзок [y1, y2] ⊂ f([a, b]) \ f(A0), де
y1, y2 ∈ E.
Згiдно з лемою 1, iснує iнтервал δ ⊂ [a, b], на якому повний про-
образ f−1([y1, y2]) скрiзь щiльний. Зважаючи на те, що множина A0
щiльна на [a, b] i функцiя f задовольняє властивiсть Дарбу, маємо
щiльну на iнтервалi δ злiченну множину f−1(y1) ∪ f−1(y2). Оскiльки
будь-який рiвень функцiї першого класу є Gδ-множиною, то множина
f−1(y1)∪ f−1(y2) другої категорiї на δ i, отже, вона незлiченна. Отри-
мана суперечнiсть доводить лему 2.
Про функцiї першого класу Бера з властивiстю Дарбу 225
Розглянемо тепер нiде не сталу функцiю f(x) на вiдрiзку [a, b], яка
задовольняє умови леми 2. ЯкщоD ⊂ f([a, b]) — нiде не щiльна пiдмно-
жина, то її повний прообраз f−1(D) нiде не щiльний на [a, b]. Справдi,
припускаючи супротивне, знайдемо замкнений iнтервал δ ⊂ [a, b] та-
кий, що множина A = δ ∩ f−1(D) щiльна на δ. Оскiльки функцiя f не
має iнтервалiв сталостi, то згiдно з лемою 2, образ f(A) ⊂ D множини
A щiльний на (зв’язнiй) множинi f(δ) ⊂ f([a, b]). Але це суперечить
тому, що множина D нiде не щiльна на f(δ).
Пiдмножина першої категорiї R ⊂ f([a, b]) може бути зображеною у
виглядi об’єднання R = ∪iDi злiченної множини нiде не щiльних мно-
жин Di ⊂ f([a, b]), i = 1, 2, . . . . Тодi, внаслiдок попереднього, кожний
повний прообраз f−1(Di), i = 1, 2, . . . , є нiде не щiльною множиною на
вiдрiзку [a, b]. При цьому маємо
f−1(R) = ∪i f−1(Di)
i, отже, f−1(R) — множина першої категорiї на [a, b].
Враховуючи те, що у повних метричних просторах доповнення до
будь-якої множини першої категорiї є множиною скрiзь другої катего-
рiї, приходимо до такого твердження.
Лема 3. Нехай f(x), x ∈ [a, b] — нiде не стала функцiя, для якої
виконуються умови леми 2 i M ⊂ f([a, b]) ⊆ R2. Якщо множина M
має одну з властивостей:
• є нiде не щiльною множиною,
• множиною першої категорiї,
• множиною другої категорiї,
то її повний прообраз f−1(M) ⊂ [a, b] ⊂ R1 має вiдповiдну власти-
вiсть.
З леми 3 випливає твердження.
Лема 4. Якщо для нiде не сталої функцiї f(x) на вiдрiзку [a, b] вико-
нуються умови леми 2 i A ⊂ [a, b] — пiдмножина скрiзь другої кате-
горiї, то її образ f(A) — множина не першої категорiї на f([a, b]).
Враховуючи усi доведенi вище леми, приходимо до наступного твер-
дження.
226 В.М. Сафонов
Лема 5. Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi образ f(C) мно-
жини C ⊂ [a, b] точок неперервностi функцiї f є множиною всюди
другої категорiї на f([a, b]).
Доведення. За умовою теореми множина злiченних рiвнiв E фун-
кцiї f другої категорiї на f([a, b]). Тодi, згiдно з лемою 3, її повний
прообраз f−1(E) є множиною другої категорiї на [a, b]. З iншого боку,
оскiльки f є функцiєю першого класу Бера, то множина C ⊂ [a, b] її
точок неперервностi всюди другої категорiї. Тому перетин C ∩ f−1(E)
мiстить Gδ-множину H другої категорiї на iнтервалi (a, b). При цьому
звуження f |H функцiї f на множину H є злiченнократним i неперерв-
ним.
Вiзьмемо довiльний iнтервал e ⊂ f([a, b]). Оскiльки за лемою 2 мно-
жина f(H) скрiзь щiльна на f([a, b]), то e ∩ f(H) 6= ∅. Нехай маємо
y0 ∈ e ∩ f(H). Виберемо точку x0 ∈ H ∩ f−1(y0) ⊂ (a, b) та iнтервал
δ ⊂ [a, b] такi, що x0 ∈ δ i f(δ) ⊂ e.
Беручи до уваги попереднє, маємо Gδ-множину H ∩ δ другої кате-
горiї на замкненому iнтервалi δ, причому функцiя f на цiй множинi є
злiченнократною i неперервною. Тому образ f(H∩δ) — борельова мно-
жина [3, с. 508-509], яка, згiдно з лемою 4, не першої категорiї на f(δ)
i, отже, другої категорiї на деякому iнтервалi e′ ⊂ f(δ) ⊂ e ⊂ f([a, b]).
Внаслiдок довiльностi вибору iнтервала e ⊂ f([a, b]), iснує щiльна
на f([a, b]) вiдкрита множина V = ∪i Vi ⊂ f([a, b]), в кожнiй компонентi
Vi якої множина f(H) другої категорiї. Звiдси випливає, що f(C) —
множина другої категорiї на f([a, b]).
Лема 5 доведена.
Зауваження 1. Очевидно, що твердження леми 5 залишається
справедливим для будь-якої пiдмножини C ′ ⊂ C другої категорiї на
вiдрiзку [a, b].
Зараз ми вже спроможнi довести основну Теорему 1.
Доведення теореми 1. Нехай, як у лемi 5, C — множина точок
неперервностi функцiї f i H ⊆ C ∩ f−1(E) — Gδ-множина (другої
категорiї) на вiдрiзку [a, b]. При цьому на множинi H функцiя f є
неперервною i злiченнократною.
Нехтуючи рацiональними точками, вiзьмемо на осях системи коор-
динат множини iррацiональних точок N1 ⊂ R1 i N2 ⊂ R2. Розглянемо
на площинi R2 графiк B(f) звуження f |H функцiї f на множину H.
Про функцiї першого класу Бера з властивiстю Дарбу 227
Внаслiдок гомеоморфностi множин H i B(f) [3, с. 148], остання з них
є незлiченною Gδ-множиною у просторi R2.
Кожнiй точцi проекцiї множини B(f) на вiсь R2 вiдповiдає не
бiльше, нiж злiченна множина точок графiка функцiї f |H . Отже,
Gδ-множину B = (N1 × N2) ∩ B(f) можна зобразити у виглядi об’єд-
нання B = ∪k Bk скiнченної або злiченної множини попарно без спiль-
них точок i однозначних вiдносно осi R2 борельових множин Bk, k =
1, 2, . . . (див. [4, с. 244]). Позначимо через H ′k проекцiю множини Bk,
k = 1, 2, . . . на вiсь R1. З попереднього випливає, що H ′ = ∪kH ′k ⊂ H є
Gδ-множиною другої категорiї на [a, b] , причому H ′k∩H ′l = ∅ при k 6= l
i функцiя f на кожнiй борельовiй множинi H ′k, k = 1, 2, . . . , неперервна
i взаємно однозначна.
Нехай λ ⊂ [a, b] — довiльний iнтервал. Оскiльки перетин λ ∩ H ′ є
Gδ-множиною другої категорiї на iнтервалi λ, то iснує (очевидно, боре-
льова) множина H ′k, яка не першої категорiї на λ i тому за властивiстю
Бера вона другої категорiї на деякому iнтервалi λ′ ⊂ λ. Внаслiдок до-
вiльностi iнтервала λ знайдеться щiльна на [a, b] вiдкрита множина
G = ∪iGi ⊂ [a, b], в кожнiй компонентi Gi якої одна множина з систе-
ми множин {H ′1, H ′2, . . . ,H ′k, . . . } має скрiзь другу категорiю.
Таким чином, iснують пiдмножини Hi ⊂ Gi ∩H ′ ⊂ Gi, i = 1, 2, . . .,
всi другої категорiї (на вiдповiдних множинах Gi), на кожнiй з яких
звуження функцiї f |Hi
є неперервним i взаємно однозначним.
Переконаємось в тому, що функцiя f на кожнiй множинi Gi,
i = 1, 2, . . ., є строго монотонною. При цьому зрозумiло, що характер
монотонностi на множинах G1, G2, . . . , Gi, . . . , може бути рiзним.
Припустимо, що насправдi це не так. Тодi iснують деякий iнтервал
δ ⊂ Gi i точки x1 < x2 < x3, {x1, x2, x3} ⊂ δ такi, що f(x1) < f(x2) i
f(x2) > f(x3) або f(x1) > f(x2) i f(x2) < f(x3).
Вiзьмемо вiдрiзки [x1, x2] ∪ [x2, x3] ⊂ δ та їхнi образи f([x1, x2]) i
f([x2, x3]). Враховуючи властивiсть Дарбу, знайдемо за припущенням
iнтервал ∆ ⊂ f([x1, x2])∩f([x2, x3])\{f(x2)} 6= ∅. Оскiльки пiдмножи-
ни Hi ∩ [x1, x2] ⊂ [x1, x2] i Hi ∩ [x2, x3] ⊂ [x2, x3] всюди другої категорiї
на вiдповiдних вiдрiзках, то, згiдно з зауваженням 1 до леми 5, їхнi
образи f(Hi∩ [x1, x2]), f(Hi∩ [x2, x3]) другої категорiї на ∆. Звiдси ма-
ємо f(Hi ∩ (x1, x2)) ∩ f(Hi ∩ (x2, x3)) 6= ∅, всупереч тому, що функцiя
f |Hi
є взаємно однозначною.
Приймаючи до уваги властивiсть Дарбу i те, що будь-яка моно-
тонна функцiя має лише точки розриву першого роду (множина цих
228 В.М. Сафонов
точок щонайбiльше злiченна), дiстанемо неперервнiсть функцiї f на
кожнiй множинi Gi, i = 1, 2, . . . .
Теорема доведена.
Вiдомо [5, с. 139], що точна похiдна — функцiя першого класу Бера
з властивiстю Дарбу. Функцiя, яка має монотонну похiдну на iнтер-
валi, є опуклою (вниз або вгору) на цьому iнтервалi. Нехай функцiя
f(x) диференцiйовна на вiдрiзку [a, b], причому її похiдна f ′(x) має
множину злiченних рiвнiв скрiзь другої категорiї. Тодi, враховуючи
iнтервали сталостi похiдної функцiї f ′(x), скористаємось теоремою 1
на кожному вiдрiзку з [a, b], де f ′(x) є нiде не сталою. Звiдси вiдразу
дiстанемо доведення твердження, що дозволяє встановити опуклiсть
диференцiйовної функцiї.
Теорема 2. Якщо функцiя f(x) диференцiйовна на вiдрiзку [a, b]
i множина злiченних рiвнiв її похiдної f ′(x) скрiзь другої катего-
рiї, то iснує щiльна на [a, b] послiдовнiсть неперетинних iнтервалiв
{(ai, bi)}, на кожному з яких f(x) є опуклою.
З теоремою 1 тiсно пов’язане таке твердження.
Теорема 3. Нехай функцiя першого класу Бера f(x), x ∈ [a, b] задо-
вольняє властивiсть Дарбу. Якщо один з рiвнiв функцiї f(x) — скрiзь
щiльна множина на вiдрiзку [a, b], то всi її рiвнi f−1(y), y ∈ Intf([a, b])
є незлiченними.
Доведення. Нехай для деякої точки y0 ∈ f([a, b]) її повний прообраз
f−1(y0) — множина скрiзь щiльна на вiдрiзку [a, b]. Тодi, будучи рiвнем
функцiї першого класу, множина f−1(y0) є Gδ-множиною i тому вона
скрiзь другої категорiї на [a, b].
Припустимо, що iснують вiдрiзок [y1, y2] ⊂ f([a, b]) та точка
y∗ ∈ (y1, y2) такi, що y0 /∈ [y1, y2] i f−1(y∗) — злiченна множина. Для
визначеностi обмежимось випадком y0 < y∗. У разi, коли y0 > y∗,
доведення аналогiчне.
Вiзьмемо вiдрiзок [y∗, y2]. Оскiльки f — функцiя першого класу
Бера, то його повний прообраз f−1([y∗, y2]) є Gδ-множиною. Вилу-
чивши злiченну множину f−1(y∗), розглянемо Gδ-множину ε таку, що
ε = f−1((y∗, y2]). Тодi, запровадивши в точностi таку саму схему мiр-
кувань, як при доведеннi леми 1, не важко впевнитись в тому, що
знайдеться iнтервал δ ⊂ [a, b], на якому множина ε скрiзь другої кате-
горiї. Але це не може трапитись. Бо тодi маємо δ ⊃ f−1(y0) ∩ ε 6= ∅,
Про функцiї першого класу Бера з властивiстю Дарбу 229
всупереч тому, що y0 /∈ [y∗, y2]. Теорема доведена.
Лiтература
[1] Трохимчук Ю.Ю. Дифференцирование, внутренние отображения и кри-
терии аналитичности // Працi Iн-ту математики НАН України. — К.:
Iнститут математики НАН України, 2008. — 70. — 539 с.
[2] Трохимчук Ю.Ю., Сафонов В.М. О множестве второй категории сче-
тных уровней непрерывных отображений // Зб. праць Iн-ту математи-
ки НАН України / Комплексний аналiз, теорiя потенцiалу i застосуван-
ня /. — К.: Iн-т математики НАН України, 2013.— 10, №4-5. — С. 526 –
531.
[3] Куратовский К. Топология. В 2-х т. — М.: Мир, 1966. — Т. 1. — 595 с.
[4] Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях. —
М.: ГИТТЛ, 1953. — 360 с.
[5] Куратовский К. Топология. В 2-х т. — М.: Мир, 1969. — Т. 2. — 624 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-115 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:57Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/26/fcf45e7dae78fc14ecdfb5e553824226.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1152018-02-13T13:58:16Z On functions of the first Baire class with the Darboux property Про функції першого класу Бера з властивістю Дарбу Safonov, V. M. Сафонов, В. М. The Baire class one functions with the Darboux property and a set of countable levels of the second category are researched on closed interval.We proved that there exists a dense open set on this interval such that nowhere constant function is strictly monotonic and continuous on eachsubinterval of the set. Досліджуються на відрізку функції першого класу Бера&nbsp;з властивістю Дарбу, що мають скрізь множину зліченних рівнів другої категорії. Доведено,&nbsp;що існує щільна на відрізку відкрита множина,&nbsp; у кожному інтервалі якої ніде не стала функція строго монотонна і неперервна. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/115 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 222–229 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 222–229 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 222–229 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/115/104 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Safonov, V. M. Сафонов, В. М. On functions of the first Baire class with the Darboux property |
| title | On functions of the first Baire class with the Darboux property |
| title_alt | Про функції першого класу Бера з властивістю Дарбу |
| title_full | On functions of the first Baire class with the Darboux property |
| title_fullStr | On functions of the first Baire class with the Darboux property |
| title_full_unstemmed | On functions of the first Baire class with the Darboux property |
| title_short | On functions of the first Baire class with the Darboux property |
| title_sort | on functions of the first baire class with the darboux property |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/115 |
| work_keys_str_mv | AT safonovvm onfunctionsofthefirstbaireclasswiththedarbouxproperty AT safonovvm onfunctionsofthefirstbaireclasswiththedarbouxproperty AT safonovvm profunkcííperšogoklasuberazvlastivístûdarbu AT safonovvm profunkcííperšogoklasuberazvlastivístûdarbu |