An approximation of class of convolutions of periodic functions by linear methods based on their Fourier-Lagrange coefficients
We calculate the least upper bounds of pointwise and uniform approximations for classes of $2\pi$-periodic functions expressible as convolutions of an arbitrary square summable kernel with functions, which belong to the unit ball of the space $L_2$, by linear polynomial methods, constructed on the b...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/117 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552632335204352 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. С. Сердюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "І. В. Соколенко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | We calculate the least upper bounds of pointwise and uniform approximations for classes of $2\pi$-periodic functions expressible as convolutions of an arbitrary square summable kernel with functions, which belong to the unit ball of the space $L_2$, by linear polynomial methods, constructed on the basis of their Fourier-Lagrange coefficients. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 238–248
УДК 517.5
А.С. Сердюк 1, I. В. Соколенко 2
1,2(Iнститут математики НАН України, Київ)
1 serdyuk@imath.kiev.ua, 2 sokol@imath.kiev.ua
Апроксимацiя класiв згорток
перiодичних функцiй лiнiйними
методами, побудованими на основi
коефiцiєнтiв Фур’є-Лагранжа
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
Знайдено точнi верхнi межi поточкових та рiвномiрних наближень кла-
сiв 2π-перiодичних функцiй, що задаються у виглядi згортки довiль-
ного сумовного з квадратом твiрного ядра з функцiями, що належать
одиничнiй кулi простору L2, за допомогою лiнiйних полiномiальних
методiв, побудованих на основi їх коефiцiєнтiв Фур’є-Лагранжа.
We calculate the least upper bounds of pointwise and uniform approxi-
mations for classes of 2π-periodic functions expressible as convolutions of
an arbitrary square summable kernel with functions, which belong to the
unit ball of the space L2, by linear polynomial methods, constructed on
the basis of their Fourier-Lagrange coefficients.
Нехай C i Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, — простори 2π-перiодичних функцiй зi
стандартними нормами ‖ · ‖C та ‖ · ‖p, вiдповiдно.
Позначимо через Cψ
β̄,p
, 1 ≤ p ≤ ∞, множину всiх 2π-перiодичних
функцiй f , якi зображуються за допомогою згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Ψβ̄(t)dt, a0 ∈ R, ϕ ∈ B0
p , (1)
c© А.С. Сердюк, I. В. Соколенко, 2017
Апроксимацiя класiв згорток перiодичних функцiй . . . 239
B0
p = {ϕ ∈ Lp : ‖ϕ‖p ≤ 1, ϕ ⊥ 1},
iз фiксованим твiрним ядром Ψβ̄ ∈ Lp′ , 1/p + 1/p′ = 1, ряд Фур’є
якого має вигляд
Ψβ̄(t) ∼
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βkπ
2
)
,
де ψ = ψ(k) i β̄ = βk, k = 1, 2, . . . , — довiльнi послiдовностi дiйсних чи-
сел. Якщо ψ(k) 6= 0, k ∈ N, то функцiю ϕ у зображеннi (1) називають
(ψ, β̄)-похiдною функцiї f i позначають fψ
β̄
. Поняття (ψ, β̄)-похiдної
введено О. I. Степанцем (див., наприклад, [1]). Оскiльки ϕ ∈ Lp, a
Ψβ̄ ∈ Lp′ , то (див. [1, c. 144]) згортка (1) є неперервною функцiєю,
тобто Cψ
β̄,p
⊂ C.
При βk ≡ β, β ∈ R, класи Cψ
β̄,p
позначатимемо через Cψβ,p.
При ψ(k) = k−r, r > 0, класи Cψ
β̄,p
будемо позначати через W r
β̄,p
.
Якщо ψ(k) = k−r i βk ≡ r, r ∈ N, то W r
β̄,p
є вiдомими класами
r−диференцiйовних функцiй W r
p . Якщо ψ(k) = qk, 0 < q < 1, то класи
Cψ
β̄,p
будемо позначати через Cq
β̄,p
. При βk ≡ β, β ∈ R, Cq
β̄,p
є вiдоми-
ми класами iнтегралiв Пуассона Cqβ,p. Зрозумiло, що при p = 2 умова
включення Ψβ̄ ∈ L2 еквiвалентна виконанню умови
∞∑
k=1
ψ2(k) <∞. (2)
Нехай f(x) — довiльна 2π-перiодична неперервна функцiя. Через
S̃n(f ;x) будемо позначати тригонометричний полiном порядку n, що
iнтерполює f(x) у точках x
(n)
k = 2kπ/(2n+ 1), k = 0, 1, . . . , 2n, тобто
такий, що
S̃n(f ;x
(n)
k ) = f(x
(n)
k ), k = 0, 1, . . . , 2n.
Iнтерполяцiйний тригонометричний полiном S̃n(f ;x) можна запи-
сати (див., наприклад, [2, c. 128-129]) у явному виглядi наступним чи-
ном:
S̃n(f ;x) =
a
(n)
0
2
+
n∑
k=1
(a
(n)
k cos kx+ b
(n)
k sin kx), (3)
240 А.С. Сердюк, I. В. Соколенко
де
a
(n)
k =
2
2n+ 1
2n∑
i=0
f(x
(n)
i ) cos kx
(n)
i , k = 0, 1, 2, . . . ,
b
(n)
k =
2
2n+ 1
2n∑
i=0
f(x
(n)
i ) sin kx
(n)
i , k = 1, 2, . . . .
Зв’язок мiж коефiцiєнтами Фур’є ak i bk функцiї f(x) (f ∈ C) i кое-
фiцiєнтами a(n)
k i b(n)
k iнтерполяцiйного полiнома S̃n(f ;x) виражається
за допомогою рiвностей [2, c. 130]
a
(n)
k = ak +
∞∑
m=1
(am(2n+1)+k + am(2n+1)−k), k = 0, 1, 2, . . . , (4)
b
(n)
k = bk +
∞∑
m=1
(bm(2n+1)+k − bm(2n+1)−k), k = 1, 2, . . . (5)
Розглянемо лiнiйнi полiномiальнi методи наближення функцiй f з
класiв Cψ
β̄,2
, якi побудованi на основi їх коефiцiєнтiв Фур’є–Лагранжа
a
(n)
k i b(n)
k . Нехай Λ = ‖λ(n)
k ‖ i M = ‖µ(n)
k ‖, n = 0, 1, . . . , k = 0, 1, . . . , —
нескiнченнi трикутнi матрицi дiйсних чисел такi, що
λ
(n)
0 = 1, µ
(n)
0 = 0, n = 0, 1, 2, . . . ,
λ
(n)
k = 0, µ
(n)
k = 0, k = n+ 1, n+ 2, . . . ,
lim
n→∞
λ
(n)
k = 1, lim
n→∞
µ
(n)
k = 0, k = 1, 2, . . .
(6)
Позначимо через Ũn = Ũn(Λ; M) лiнiйний оператор, який кожнiй фун-
кцiї f ∈ C ставить у вiдповiднiсть тригонометричний полiном вигляду
Ũn(f ;x) = Ũn(f ; Λ; M;x) =
a
(n)
0
2
+
n∑
k=1
(
λ
(n)
k (a
(n)
k cos kx+ b
(n)
k sin kx)+
+µ
(n)
k (−b(n)
k cos kx+ a
(n)
k sin kx)
)
, (7)
де a(n)
k i b(n)
k — коефiцiєнти, що визначаються рiвностями (4) i (5).
Апроксимацiя класiв згорток перiодичних функцiй . . . 241
У данiй роботi розглядається задача про знаходження точних зна-
чень величин
Ẽn(Cψ
β̄,2
; Λ; M;x) = sup
f∈Cψ
β̄,2
|f(x)− Ũn(f ;x)|. (8)
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай послiдовнiсть дiйсних чисел ψ(k) задовольняє умо-
ву (2), а Λ = ‖λ(n)
k ‖ i M = ‖µ(n)
k ‖ — умови (6). Тодi для довiльної
послiдовностi β̄ = βk, βk ∈ R, i довiльного n ∈ N у кожнiй точцi x ∈ R
виконується рiвнiсть
Ẽn(Cψ
β̄,2
; Λ; M;x) =
1√
π
(
n∑
k=1
(
(1− λ(n)
k )2 + (µ
(n)
k )2
)
ψ2(k)+
+
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
((
cosm(2n+ 1)x− λ(n)
|k−m(2n+1)|
)2
+
+
(
sinm(2n+ 1)x+ µ
(n)
|k−m(2n+1)|
)2
)
ψ2(k)
)1/2
.
Доведення. Для довiльної функцiї f з класу Cψ
β̄,2
згiдно з (1) мають
мiсце формули
aν cos kx+ bν sin kx =
1
π
π∫
−π
ψ(ν) cos
(
ν(x− t)− (ν − k)x− βνπ
2
)
ϕ(t) dt,
(9)
−bν cos kx+aν sin kx =
1
π
π∫
−π
ψ(ν) sin
(
ν(x− t)− (ν − k)x− βνπ
2
)
ϕ(t) dt.
(10)
Об’єднуючи (1), (4)–(7), (9) та (10), для f ∈ Cψ
β̄,2
одержуємо
f(x)− Ũn(f ;x) =
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)×
242 А.С. Сердюк, I. В. Соколенко
×
(
n∑
k=1
ψ(k)
(
(1− λ(n)
k ) cos
(
kt− βkπ
2
)
− µ(n)
k sin
(
kt− βkπ
2
))
+
+
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
ν=m(2n+1)−n
ψ(ν)
(
cos
(
νt− βνπ
2
)
−
−λ(n)
|ν−m(2n+1)| cos
(
νt−m(2n+ 1)x− βνπ
2
)
−
−µ(n)
|ν−m(2n+1)| sin
(
νt−m(2n+ 1)x− βνπ
2
)))
dt =
=
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)
(
n∑
k=1
ψ(k)
(
(1− λ(n)
k ) cos
(
kt− βkπ
2
)
−
−µ(n)
k sin
(
kt− βkπ
2
))
+
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
ν=m(2n+1)−n
ψ(ν)×
×
((
cosm(2n+ 1)x− λ(n)
|ν−m(2n+1)|
)
cos
(
νt−m(2n+ 1)x− βνπ
2
)
−
−
(
sinm(2n+ 1)x+ µ
(n)
|ν−m(2n+1)|
)
sin
(
νt−m(2n+ 1)x− βνπ
2
)))
dt.
(11)
Розглядаючи точну верхню межу вiдносно функцiй f з класу Cψ
β̄,2
у
лiвiй i правiй частинi рiвностi (11) та враховуючи iнварiантнiсть мно-
жин Cψ
β̄,2
вiдносно зсуву аргументу, в кожнiй точцi x ∈ R отримуємо
Ẽn(Cψ
β̄,2
; Λ; M;x) =
1
π
sup
ϕ∈B0
2
π∫
−π
ϕ(t)×
×
(
n∑
k=1
ψ(k)
(
(1− λ(n)
k ) cos
(
kt− βkπ
2
)
− µ(n)
k sin
(
kt− βkπ
2
))
+
+
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
ν=m(2n+1)−n
ψ(ν)×
Апроксимацiя класiв згорток перiодичних функцiй . . . 243
×
((
cosm(2n+ 1)x− λ(n)
|ν−m(2n+1)|
)
cos
(
νt−m(2n+ 1)x− βνπ
2
)
−
−
(
sinm(2n+ 1)x+ µ
(n)
|ν−m(2n+1)|
)
sin
(
νt−m(2n+ 1)x− βνπ
2
)))
dt.
(12)
Застосовуючи до правої частини (12) спiввiдношення двоїстостi [3,
c. 27]
sup
ϕ∈B0
2
π∫
−π
ϕ(t)u(t)dt = inf
α∈R
‖u− α‖2, u ∈ L2,
та рiвнiсть Парсеваля, одержуємо
Ẽn(Cψ
β̄,2
; Λ; M;x) =
1
π
inf
α∈R
∥∥∥∥∥
n∑
k=1
ψ(k)
(
(1− λ(n)
k ) cos
(
kt− βkπ
2
)
−
−µ(n)
k sin
(
kt− βkπ
2
))
+
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
ν=m(2n+1)−n
ψ(ν)×
×
((
cosm(2n+ 1)x− λ(n)
|ν−m(2n+1)|
)
cos
(
νt−m(2n+ 1)x− βνπ
2
)
−
−
(
sinm(2n+ 1)x+ µ
(n)
|ν−m(2n+1)|
)
×
× sin
(
νt−m(2n+ 1)x− βνπ
2
))
− α
∥∥∥∥∥
2
=
=
1√
π
inf
α∈R
(
n∑
k=1
(
(1− λ(n)
k )2 + (µ
(n)
k )2
)
ψ2(k)+
+
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
((
cosm(2n+ 1)x− λ(n)
|k−m(2n+1)|
)2
+
+
(
sinm(2n+ 1)x+ µ
(n)
|k−m(2n+1)|
)2
)
ψ2(k) + α2
)1/2
=
244 А.С. Сердюк, I. В. Соколенко
=
1√
π
(
n∑
k=1
(
(1− λ(n)
k )2 + (µ
(n)
k )2
)
ψ2(k)+
+
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
((
cosm(2n+ 1)x− λ(n)
|k−m(2n+1)|
)2
+
+
(
sinm(2n+ 1)x+ µ
(n)
|k−m(2n+1)|
)2
)
ψ2(k)
)1/2
.
Теорему 1 доведено.
Якщо
λ
(n)
k =
{
1, 0 ≤ k ≤ n,
0, k > n,
i µ
(n)
k ≡ 0,
то згiдно з (3) i (7) тригонометричний полiном Ũn(f ; Λ; M;x) є iнтер-
поляцiйним тригонометричним полiномом S̃n(f ;x) функцiї f порядку
n, тобто Ũn(f ; Λ; M;x) = S̃n(f ;x). В цьому випадку, як випливає з те-
ореми 1, при всiх x ∈ R для величин
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) = sup
f∈Cψ
β̄,2
|f(x)− S̃n(f ;x)|, n ∈ N, (13)
виконується рiвнiсть
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) =
2√
π
∞∑
m=1
sin2 (2n+1)mx
2
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
ψ2(k)
1
2
. (14)
Рiвнiсть (14) встановлено у [4].
Поряд з E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) розглянемо величини
E(Cψ
β̄,2
; S̃n)C = sup
f∈Cψ
β̄,2
‖f(·)− S̃n(f ; ·)‖C , n ∈ N. (15)
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 2. Нехай n ∈ N, а послiдовнiсть дiйсних чисел ψ(k) задо-
вольняє умову (2) i така, що послiдовнiсть αm = m
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
ψ2(k)
Апроксимацiя класiв згорток перiодичних функцiй . . . 245
є опуклою донизу. Тодi для довiльної β̄ = βk, βk ∈ R, виконується
рiвнiсть
E(Cψ
β̄,2
; S̃n)C = E(Cψ
β̄,2
; S̃n;
π
2n+1
) =
2√
π
∞∑
l=1
(2l−1)(2n+1)+n∑
k=(2l−1)(2n+1)−n
ψ2(k)
1
2
.
Доведення. Пiдносячи до квадрату обидвi частини рiвностi (14),
отримуємо
E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) =
2
π
∞∑
m=1
(1− cos(2n+ 1)mx)
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
ψ2(k).
При кожному n ∈ N величина E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) є парною перiодичною
функцiєю вiд змiнної x з перiодом T =
2π
2n+ 1
, тому досить її розгляда-
ти на [0,
π
2n+1
]. За виконання умов теореми 2, як випливає з [5, c. 297],
похiдна
d
dx
E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) =
2(2n+ 1)
π
∞∑
m=1
m
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
ψ2(k) sin(2n+ 1)mx
є додатною на (0,
π
2n+1
) функцiєю, а, отже, максимум величини
E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) досягається в точцi x =
π
2n+1
i приймає значення
E2(Cψ
β̄,2
; S̃n)C = max
x∈R
E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) = E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;
π
2n+1
) =
=
4
π
∞∑
l=1
sin2 (2l−1)π
2
(2l−1)(2n+1)+n∑
k=(2l−1)(2n+1)−n
ψ2(k) + sin2 lπ
2l(2n+1)+n∑
k=2l(2n+1)−n
ψ2(k) =
=
4
π
∞∑
l=1
(2l−1)(2n+1)+n∑
k=(2l−1)(2n+1)−n
ψ2(k).
Теорему 2 доведено.
Зауваження. Iз означень (13) i (15) випливають очевиднi спiввiдно-
шення
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) ≤ max
x∈R
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) = E(Cψ
β̄,2
; S̃n)C .
246 А.С. Сердюк, I. В. Соколенко
Як випливає з теореми 2, опуклiсть донизу послiдовностi
αm = m
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
ψ2(k) є достатньою умовою того, що величи-
ни E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) (13) досягають значень E(Cψ
β̄,2
; S̃n)C рiвно посерединi
мiж вузлами iнтерполяцiї, тобто при x =
π
2n+1
+
2jπ
2n+1
, j ∈ Z.
Неважко переконатись, що при достатньо великих n умову опуклостi
послiдовностi αm задовольняють ψ(k) = qk, q ∈ (0, 1). Утiм, наступне
твердження показує, що для зазначених ψ(k) рiвностi
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;
π
2n+1
) = E(Cψ
β̄,2
; S̃n)C , (16)
мають мiсце при всiх n ∈ N.
Теорема 3. Нехай q ∈ (0, 1), β̄ = βk — довiльна послiдовнiсть дiй-
сних чисел i n ∈ N. Тодi
E(Cq
β̄,2
; S̃n)C = E(Cq
β̄,2
; S̃n;
π
2n+1
) =
2qn+1√
π(1− q2)(1 + q2(2n+1))
.
Доведення. Згiдно з наслiдком 1 роботи [4]
E(Cq
β̄,2
; S̃n;x) =
∣∣∣∣sin (2n+ 1)x
2
∣∣∣∣ 2qn+1√
π(1− q2)
×
×
(
1 + q2(2n+1)
1− 2q2(2n+1) cos(2n+ 1)x+ q4(2n+1)
)1/2
, x ∈ R. (17)
Рiвнiсть (17) можна записати у еквiвалентному виглядi:
E2(Cq
β̄,2
; S̃n;x) =
2q2(n+1)(1 + q2(2n+1))(1− cos(2n+ 1)x)
π(1− q2)(1− 2q2(2n+1) cos(2n+ 1)x+ q4(2n+1))
. (18)
Розглянемо функцiю
y(τ) =
1− cos τ
1− 2ρ cos τ + ρ2
, ρ ∈ (0, 1).
Оскiльки
y′(τ) =
(1− ρ)2 sin τ
(1− 2ρ cos τ + ρ2)2
,
Апроксимацiя класiв згорток перiодичних функцiй . . . 247
то максимум функцiї y(τ) досягається в точцi τ = π i приймає значення
ymax = y(π) =
2
(1 + ρ)2
.
Отже, з урахуванням (18),
E2(Cq
β̄,2
; S̃n)C = max
x∈R
E2(Cq
β̄,2
; S̃n;x) =
=
4q2(n+1)(1 + q2(2n+1))
π(1− q2)(1 + q2(2n+1))2
=
4q2(n+1)
π(1− q2)(1 + q2(2n+1))
.
Теорему 3 доведено.
Наступне твердження показує, що (16) має мiсце для ψ(k) = k−r,
r > 1/2.
Теорема 4. Нехай ψ(k) = k−r, r > 1/2, β̄ = βk — довiльна послiдов-
нiсть дiйсних чисел i n ∈ N. Тодi
E(W r
β̄,2; S̃n)C = E(Cψ
β̄,2
; S̃n;
π
2n+1
) =
=
2√
πΓ(2r)(2n+ 1)r
1∫
0
ρ−n/(2n+1) ln2r−1 ρ−1
(1− ρ1/(2n+1))(1 + ρ)
dρ
1/2
,
де Γ(x) — гамма-функцiя.
Доведення. Згiдно з наслiдком 2 роботи [4]
E(W r
β̄,2; S̃n;x) =
∣∣∣∣sin (2n+ 1)x
2
∣∣∣∣ 2√
πΓ(2r)(2n+ 1)r
×
×
1∫
0
ρ−n/(2n+1)(1 + ρ) ln2r−1 ρ−1
(1− ρ1/(2n+1))(1− 2ρ cos(2n+ 1)x+ ρ2)
dρ
1/2
, x ∈ R. (19)
Запишемо рiвнiсть (19) у наступному виглядi:
E2(W r
β̄,2; S̃n;x) =
2(1− cos(2n+ 1)x)
πΓ(2r)(2n+ 1)2r
×
248 А.С. Сердюк, I. В. Соколенко
×
1∫
0
ρ−n/(2n+1)(1 + ρ) ln2r−1 ρ−1
(1− ρ1/(2n+1))(1− 2ρ cos(2n+ 1)x+ ρ2)
dρ. (20)
З рiвностi (20) отримуємо
d
dx
E2(W r
β̄,2; S̃n;x) =
2(2n+ 1) sin(2n+ 1)x
πΓ(2r)(2n+ 1)2r
×
×
1∫
0
ρ−n/(2n+1)(1 + ρ)(1− ρ)2 ln2r−1 ρ−1
(1− ρ1/(2n+1))(1− 2ρ cos(2n+ 1)x+ ρ2)2
dρ. (21)
Оскiльки iнтеграл в правiй частинi (21) додатнiй, то максимум
E2(W r
β̄,2
; S̃n;x) досягається в точцi x =
π
2n+1
i, з урахуванням (20),
приймає значення
E2(W r
β̄,2; S̃n)C = max
x∈R
E2(W r
β̄,2; S̃n;x) =
=
4
πΓ(2r)(2n+ 1)2r
1∫
0
ρ−n/(2n+1) ln2r−1 ρ−1
(1− ρ1/(2n+1))(1 + ρ)
dρ.
Теорему 4 доведено.
Лiтература
[1] Степанец А.И. Методы теории приближений. В 2-x ч. — К.: Ин-т ма-
тематики НАН Украины, 2002. — Ч. 1. — 427 c.
[2] Степанец А.И. Методы теории приближений. В 2-x ч. — К.: Ин-т ма-
тематики НАН Украины, 2002. — Ч. 2. — 468 c.
[3] Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. — М.: Нау-
ка, 1987. — 423 с.
[4] Сердюк А.С., Соколенко I. В. Наближення класiв (ψ, β̄)−диференцiйов-
них функцiй iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України /Диференцiальнi рiвняння i су-
мiжнi питання аналiзу/. — К.: Iн-т математики НАН України, 2016. —
13, №1. — С. 289– 299.
[5] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2-х т. — М.: Мир, 1965. —
Т. 1. — 616 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-117 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:31Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f8/c5b953b788ae3e05e09e2f559ad708f8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1172018-02-13T13:58:16Z An approximation of class of convolutions of periodic functions by linear methods based on their Fourier-Lagrange coefficients Апроксимація класів згорток періодичних функцій лінійними методами, побудованими на основі коефіцієнтів Фур'є - Лагранжа Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. We calculate the least upper bounds of pointwise and uniform approximations for classes of $2\pi$-periodic functions expressible as convolutions of an arbitrary square summable kernel with functions, which belong to the unit ball of the space $L_2$, by linear polynomial methods, constructed on the basis of their Fourier-Lagrange coefficients. Знайдено точні верхні межі поточкових та рівномірних наближень класів $2\pi$-періодичних функцій, що задаються у вигляді згортки довільного сумовного з квадратом твірного ядра з функціями, що належать одиничній кулі простору $L_2$, за допомогою лінійних поліноміальних методів, побудованих на основі їх коефіцієнтів Фур'є--Лагранжа. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/117 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 238–248 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 238–248 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 238–248 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/117/106 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. An approximation of class of convolutions of periodic functions by linear methods based on their Fourier-Lagrange coefficients |
| title | An approximation of class of convolutions of periodic functions by linear methods based on their Fourier-Lagrange coefficients |
| title_alt | Апроксимація класів згорток періодичних функцій лінійними методами, побудованими на основі коефіцієнтів Фур'є - Лагранжа |
| title_full | An approximation of class of convolutions of periodic functions by linear methods based on their Fourier-Lagrange coefficients |
| title_fullStr | An approximation of class of convolutions of periodic functions by linear methods based on their Fourier-Lagrange coefficients |
| title_full_unstemmed | An approximation of class of convolutions of periodic functions by linear methods based on their Fourier-Lagrange coefficients |
| title_short | An approximation of class of convolutions of periodic functions by linear methods based on their Fourier-Lagrange coefficients |
| title_sort | approximation of class of convolutions of periodic functions by linear methods based on their fourier-lagrange coefficients |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/117 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas anapproximationofclassofconvolutionsofperiodicfunctionsbylinearmethodsbasedontheirfourierlagrangecoefficients AT sokolenkoiv anapproximationofclassofconvolutionsofperiodicfunctionsbylinearmethodsbasedontheirfourierlagrangecoefficients AT serdûkas anapproximationofclassofconvolutionsofperiodicfunctionsbylinearmethodsbasedontheirfourierlagrangecoefficients AT sokolenkoív anapproximationofclassofconvolutionsofperiodicfunctionsbylinearmethodsbasedontheirfourierlagrangecoefficients AT serdyukas aproksimacíâklasívzgortokperíodičnihfunkcíjlíníjnimimetodamipobudovaniminaosnovíkoefícíêntívfur039êlagranža AT sokolenkoiv aproksimacíâklasívzgortokperíodičnihfunkcíjlíníjnimimetodamipobudovaniminaosnovíkoefícíêntívfur039êlagranža AT serdûkas aproksimacíâklasívzgortokperíodičnihfunkcíjlíníjnimimetodamipobudovaniminaosnovíkoefícíêntívfur039êlagranža AT sokolenkoív aproksimacíâklasívzgortokperíodičnihfunkcíjlíníjnimimetodamipobudovaniminaosnovíkoefícíêntívfur039êlagranža AT serdyukas approximationofclassofconvolutionsofperiodicfunctionsbylinearmethodsbasedontheirfourierlagrangecoefficients AT sokolenkoiv approximationofclassofconvolutionsofperiodicfunctionsbylinearmethodsbasedontheirfourierlagrangecoefficients AT serdûkas approximationofclassofconvolutionsofperiodicfunctionsbylinearmethodsbasedontheirfourierlagrangecoefficients AT sokolenkoív approximationofclassofconvolutionsofperiodicfunctionsbylinearmethodsbasedontheirfourierlagrangecoefficients |