Гиперкомплексные функции и точные решения одного уравнения гидродинамики
It is known that in some commutative associative algebras the exponential function is a solution of linear partial differential equations with constant coefficients. In the present paper we propose a procedure allowing us to find all components of the exponent in a special N-dimensional commutative...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/118 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552636938452992 |
|---|---|
| author | Shpakivskyi, V. S. Шпаковский, В. С. |
| author_facet | Shpakivskyi, V. S. Шпаковский, В. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Shpakivskyi, V. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | It is known that in some commutative associative algebras the exponential function is a solution of linear partial differential equations with constant coefficients. In the present paper we propose a procedure allowing us to find all components of the exponent in a special N-dimensional commutative algebra, where N is an arbitrary fixed natural number. This allows us to construct solutions of one hydrodynamic equation of the third order. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 262–274
УДК 517.5
В.С. Шпаковский
(Институт математики НАН Украины, Киев)
shpakivskyi86@gmail.com
Гиперкомплексные функции и
точные решения одного уравнения
гидродинамики
Посвящается 70-летию профессора Юрия Борисовича Зелинского
Известно, что в некоторых коммутативных ассоциативных алгебрах
экспоненциальная функция при определенном выборе базисных векто-
ров алгебры является решением линейного дифференциального урав-
нения в частных производных с постоянными коэффициентами. В дан-
ной работе предложена процедура, позволяющая выписать все компо-
ненты экспоненты в специальной коммутативной алгебре произволь-
ной, наперед заданной размерности. Это позволяет находить решения
одного уравнения гидродинамики третьего порядка.
It is known that in some commutative associative algebras the exponential
function is a solution of linear partial differential equations with constant
coefficients. In the present paper we propose a procedure allowing us to find
all components of the exponent in a special N -dimensional commutative
algebra, where N is an arbitrary fixed natural number. This allows us to
construct solutions of one hydrodynamic equation of the third order.
1. Введение. Пусть A — N -мерная коммутативная ассоциа-
тивная банахова алгебра над полем комплексных чисел C и пусть
e1, e2, . . . , en, где n ≤ N , — набор линейно независимых векторов в
c© В.С. Шпаковский, 2017
Гиперкомплексные функции и точные решения . . . 263
A. Обозначим ζ := xe1 + xe2 + · · ·+ xnen, где x1, x2, . . . , xn ∈ R и опре-
делим в алгебре A экспоненциальную функцию exp ζ в виде суммы
абсолютно сходящегося ряда
exp ζ :=
∞∑
r=0
ζr
r!
. (1)
Производная от функции Φ(ζ) = exp ζ понимается как формаль-
ная производная ряда (1). Следовательно, ∂
∂xk
exp ζ = ek exp ζ,
k = 1, 2, . . . , n.
Пусть k ∈ {0, 1, 2 . . . } =: Z+. Набор α := (α1, α2, . . . , αn), αk ∈ Z+,
k = 1, 2, . . . , n, таков, что |α| := α1 +α2 · · ·+αn = k. Рассмотрим общее
линейное уравнение с постоянными коэффициентами
E(u) := E0(u) + E1(u) + · · ·+ Ep(u) = 0, (2)
где
Ek(u) :=
∑
α:|α|=k
Ckα1,α2,...,αn
∂ku
∂xα1
1 ∂xα2
2 · · · ∂x
αn
n
.
Вследствие равенства
E(u) = (E∗0 + E∗1 + · · ·+ E∗p) exp ζ,
где
E∗k :=
∑
α:|α|=k
Ckα1,α2,...,αn
eα1
1 eα2
2 · · · eαn
n ,
функция exp ζ удовлетворяет уравнению (2), если векторы e1, e2, . . . , en
удовлетворяют характеристическому уравнению
E∗0 + E∗1 + · · ·+ E∗p = 0. (3)
Поскольку уравнение (2) линейное, то все комплекснозначные ком-
поненты разложения функции exp ζ по базису алгебры A также явля-
ются его решениями.
Итак, имеем две задачи. Первая — описать все наборы векторов
e1, e2, . . . , en, удовлетворяющие характеристическому уравнению (3),
а вторая — описать все компоненты фунции exp ζ. В конечномерной
264 В.С. Шпаковский
алгебре разложение экспоненты exp ζ по базису алгебры несложно вы-
писать. Но, вместе с тем, понятно, что в конечномерной алгебре разло-
жение экспоненты по базису алгебры имеет конечное количество ком-
понент, а поэтому порождает конечное число решений дифференци-
ального уравнения. В то время, как в бесконечномерной алгебре экспо-
нента порождает бесконечное множество решений данного линейного
дифференциального уравнения в частных производных. Но бесконеч-
номерность алгебры существенно затрудняет нахождение компонент
экспоненты.
В данной работе предложена процедура построения всех компонент
экспоненты в специальнойN -мерной алгебре для любого натурального
N . Кроме того, приведенные выше две задачи полностью решены и
применены для построения решений одного уравнения гидродинимики
третьего порядка.
2. Модельное уравнение. Рассмотрим следующую систему
уравнений гидродинамики в лагранжевых координатах
Vt(t, x)− ux(t, x) = 0, ut(t, x) + px(t, x) = 0, (4)
p(t, x) = a− bV (t, x)− τpt(t, x) , a, b > 0, (5)
где V (t, x), u(t, x), p(t, x) — объем, скорость и давление, соответствен-
но, τ — время релаксации, и приняты обозначения Vt(t, x) := ∂V/∂t
и т. д. Уравнения (4) являются, соответственно, законами сохранения
массы и импульса и имеют достаточно общий характер. Система урав-
нений движения (4) замыкается уравнением состояния среды (5), несу-
щим информацию о конкретной модели гидродинамики, о свойствах
среды.
Следует отметить, что динамическое уравнение состояния (5) яв-
ляется частным случаем модели Кельвина – Фойгта [1, c. 31] линейной
вязкоупругой среды и используется при описании волновых процессов
в грунтах и горных породах при малых нагрузках.
Уравнение состояния, подобное уравнению (5), рассматривалось
также в работе [2], где изучались автомодельные решения одной общей
системы уравнений гидродинамики.
Отметим, что система уравнений (4),(5) при достаточной диффе-
ренцируемости функций V , u, p сводится к уравнению
D[V ](t, x) := Vttt(t, x) + αVtt(t, x)− βVxx(t, x) = 0, (6)
Гиперкомплексные функции и точные решения . . . 265
где α := 1/τ > 0, β := b/τ > 0.
В работе [3] с помощью коммутативной алгебры, изоморфной ал-
гебре двойных чисел, описаны все полиномиальные и аналитические
решения уравнения (6). В этой работе с помощью экспоненты в N -
мерной коммутативной алгебре строится бесконечное множество ре-
шений уравнения (6) вида Vn(t, x) = Pn(t, x)eat+bx, где Pn — полином
степени n и a, b ∈ C; приведены простейшие свойства этих решений.
3. Векторы e1, e2. Пусть An+1 — (n + 1)-мерная коммутатив-
ная ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел C с базисом
{1, ρ, ρ2, . . . , ρn}, где ρn+1 = 0 и n ≥ 1. При n = 1 получим бигармони-
ческую алгебру (см., напр., [4–6]). Алгебра A3 — объект исследования
работ [6–8]. При любом фиксированном n ≥ 3 рассмотрена An в [9].
В алгебре An+1 рассмотрим пару векторов
e1 =
n∑
r=0
kr ρ
r, e2 =
n∑
r=0
mr ρ
r , kr ,mr ∈ C. (7)
Пусть ζ := te1 + xe2 при t, x ∈ R. В силу равенства
D[Φ](ζ) = e31Φ′′′(ζ) + αe21Φ′′(ζ)− βe22Φ′′(ζ) = (e31 + αe21 − βe22) exp ζ,
функция Φ(ζ) = exp ζ удовлетворяет уравнению (6), если векторы
e1, e2 удовлетворяют соотношению
e31 + αe21 − βe22 = 0. (8)
Произвольным образом зафиксируем натуральное n. В этом пунк-
те опишем все пары векторов e1, e2 алгебры An+1, удовлетворяющие
соотношению (8).
Итак, из равенств (7) и таблицы умножения алгебры An+1 вытека-
ют равенства
e21 = k20 + k21ρ
2 + k22ρ
4 + · · ·+ k2[n/2]ρ
2[n/2]+
+2
(
k0k1ρ+ k0k2ρ
2 + k0k3ρ
3 + · · ·+ k0knρ
n
)
+
+2
(
k1k2ρ
3 + k1k3ρ
4 + k1k4ρ
5 + · · ·+ k1kn−1ρ
n
)
+
+2
(
k2k3ρ
5 + k2k4ρ
6 + k2k5ρ
7 + · · ·+ k2kn−2ρ
n
)
+ · · ·
· · ·+ 2k[(n−1)/2]k[(n−1)/2]+1ρ
2[(n−1)/2]+1,
266 В.С. Шпаковский
где [k] — целая часть числа k. Вводя обозначение e21 :=
∑n
r=0Brρ
r,
имеем
B0 = k20 , B1 = 2k0k1 , B2 = k21 + 2k0k2 , (9)
и в общем случае
Br(k0, k1, . . . , kr) =
k2r/2 + 2
(
k0kr + k1kr−1 + · · ·+ k r
2−1k
r
2+1
)
при r парном,
2
(
k0kr + k1kr−1 + · · ·+ k r−1
2
k r+1
2
)
при r непарном.
(10)
Обозначая e22 :=
∑n
r=0 Crρ
r, очевидно, что коэффициенты Cr опре-
деляются соотношениями
Cr(m0,m1, . . . ,mr) ≡ Br(m0,m1, . . . ,mr). (11)
Пусть e31 :=
∑n
r=0Drρ
r. Из равенства
e31 = e1e
2
1 =
n∑
r=0
krρ
r
n∑
r=0
Brρ
r =
n∑
r=0
Drρ
r
вытекают равенства
D0 = k30 , D1 = 3k20k1 , D2 = k0B2 + k1B1 + k3B0 , (12)
и в общем случае
Dr = k0Br + k1Br−1 + · · ·+ krB0 , r = 0, 1, 2, . . . , n. (13)
Таким образом, принимая во внимание все принятые обозначения,
характеристическое уравнение (8) равносильно системе уравнений
Dr + αBr − βCr = 0 , r = 0, 1, 2, . . . , n. (14)
При этом, при каждом r = 0, 1, 2, . . . , n r-е уравнение системы (14)
содержит 2(r + 1) неизвестных — это k0, k1, . . . , kr,m0,m1, . . . ,mr. То
есть, система из n+ 1 уравнений содержит 2(n+ 1) неизвестных. Для
определенности, будем считать kr, при всех r = 0, 1, 2, . . . , n, произ-
вольными комплексными числами и выразим через них все mr. Для
Гиперкомплексные функции и точные решения . . . 267
этого отметим, что в уравнении (14) от m с разными индексами зави-
сит только Cr. Более того, Cr = Cr(m0,m1, . . . ,mr). Таким образом,
из нулевого уравнения системы (14) мы можем найти m0, из первого
уравнения системы (14) находим m1 и т. д., из r-го уравнения системы
(14) находим mr.
Итак, из соотношений (10), (11), имеем
mr =
=
1
2m0
(
Cr −m2
r/2 − 2
(
m1mr−1 +m2mr−2 + . . .+m r
2−1m
r
2+1
))
при r парном,
1
2m0
(
Cr − 2
(
m1mr−1 +m2mr−2 + . . .+m r−1
2
m r+1
2
))
при r непарном.
Подставляя значение Cr из условия (14), получаем
mr =
1
2βm0
(
Dr + αBr − β
(
m2
r
2
+ 2m1mr−1 + 2m2mr−2 + · · ·
· · ·+ 2m r
2−1m
r
2+1
))
при r парном,
1
2βm0
(
Dr + αBr − β
(
2m1mr−1 + 2m2mr−2 + · · ·
· · ·+ 2m r−1
2
m r+1
2
))
при r непарном.
(15)
Используя соотношения (9), (12), из равенства (14) выпишем началь-
ные значения m0, m1:
m0 := ±
√
k30 + αk20
β
, m1 :=
3k20k1 + 2αk0k1
2βm0
. (16)
268 В.С. Шпаковский
Таким образом, равенства (15) и (16) позволяют рекуррентной про-
цедурой выписать значение mr при всех r = 0, 1, 2, . . . , n.
4. Разложение экспоненты. Известно (см., например, [10,
с. 182]), что определение функции exp ζ в виде суммы абсолютно сходя-
щегося ряда (1) равносильно ее определению в виде главного продол-
жения голоморфной функции комплексной переменной ez в алгебру
An+1:
exp ζ :=
1
2πi
∫
γ
ez(z − ζ)−1dz, (17)
где γ — спрямляемая кривая в комплексной плоскости, охватывающая
точку ξ0 := k0t+m0x.
Для того, чтобы выписать разложение экспоненты в алгебре An+1
по формуле (17) необходимо сначала получить разложение резольвен-
ты (z − ζ)−1.
Лемма 1. Разложение резольвенты имеет вид
(z − ζ)−1 =
n∑
r=0
ar ρ
r ∀ z ∈ C : z 6= k0t+m0x, (18)
где коэффициенты ar определяются следующими рекуррентными со-
отношениями
ar = − 1
z − ξ0
(
ξra0 + ξr−1a1 + . . .+ ξ1ar−1
)
, r = 1, 2, . . . , n, (19)
при
a0 :=
1
z − ξ0
и ξs := kst+msx, s = 0, 1, . . . , n.
Доказательство. Пусть (z − ζ)−1 имеет вид (18). Для определе-
ния коэффициентов ar заметим, что елемент z − ζ в базисе алгебры
{1, ρ, . . . , ρn} представляется в виде
z − ζ = (z − tk0 − xm0)−
n∑
r=1
(tkr + xmr)ρ
r = (z − ξ0)−
n∑
r=1
ξr ρ
r.
Следствием равенства (z − ζ)(z − ζ)−1 = 1 являются равенства
(z− ξ0)a0 = 1, (z− ξ0)a1 + ξ1a0 = 0, (z− ξ0)a2 + ξ1a1 + ξ2a0 = 0,
Гиперкомплексные функции и точные решения . . . 269
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(z − ξ0)an + ξ1an−1 + ξ2an−2 + · · ·+ ξna0 = 0,
из которых вытекают соотношения (19). Лемма доказана.
Очевидно, что ar = ar
(
(z − ξ0)s, ξ1, . . . , ξr
)
, где s = {2, 3, . . . , r + 1}.
Введем некоторые определения. Пусть ϕ(z − ξ0, ξ1, . . . , ξr) — про-
извольная комплексная функция от (r+ 1) комплексных переменных.
Определим линейный оператор P , который каждой функции ϕ ставит
в соответствие функцию от r переменных по правилу
Pϕ
(
(z−ξ0)s, ξ1, . . . , ξr
)
= ϕ
(
(s−1)! , ξ1, . . . , ξr
)
∀ s ∈ {2, 3, . . . , r+1}.
Так, например,
P
(
− ξ3
(z − ξ0)2
+ 2
ξ1ξ2
(z − ξ0)3
− ξ31
(z − ξ0)4
)
= −ξ3 + ξ1ξ2 −
ξ31
3!
.
Теперь определим функции
A0 := 1, Ar(ξ1, ξ2, . . . , ξr) := P ar
(
(z − ξ0)s, ξ1, . . . , ξr
)
(20)
∀ s ∈ {2, 3, . . . , r + 1}, r = 1, 2, . . . , n.
Лемма 2. Справедливо равенство
exp ζ = eξ0
n∑
r=0
Ar ρ
r, (21)
где коэффициенты Ar определены рекуррентными соотношениями
(20).
Доказательство. Пусть exp ζ имеет вид (21). Определим коэффи-
циенты Ar. Следствием соотношений (19) является равенства
ar =
r∑
s=0
Qs,r
(z − ξ0)s+1
, (22)
где Qs,r = Qs,r(ξ1, ξ2, . . . , ξr) — некоторые полиномы (ср. с леммой
1 [11]). Из определения (17), с использованием соотношений (18) и
(22), имеем
exp ζ =
1
2πi
∫
γ
ez(z − ζ)−1dz =
n∑
r=0
ρr
1
2πi
∫
γ
r∑
s=0
Qs,r e
z
(z − ξ0)s+1
dz =
270 В.С. Шпаковский
=
n∑
r=0
ρr
r∑
s=0
Qs,r e
ξ0
s!
= eξ0
n∑
r=0
Ar ρ
r,
т. е.,
Ar =
r∑
s=0
Qs,r
s!
. (23)
Сравнивая равенства (23) и (22), приходим к выводу, что Ar опре-
деляются соотношениями (20). Лемма доказана.
Замечание 1. С использованием представления (23) может быть
доказано следующее рекуррентное соотношение
Ar = −ξrA0 −
r − 1
r
ξr−1A1 −
r − 2
r
ξr−2A2 − · · · −
1
r
ξ1Ar−1 .
Выпишем несколько первых членов разложения экспоненты:
exp ζ = eξ0
[
1− ξ1 ρ+
(
−ξ2 +
ξ21
2!
)
ρ2 +
(
−ξ3 + ξ1ξ2 −
ξ31
3!
)
ρ3+
+
(
− ξ4 +
2ξ1ξ3 + ξ22
2!
− 3ξ21ξ2
3!
+
ξ41
4!
)
ρ4+
+
(
− ξ5 + ξ1ξ4 + ξ2ξ3 −
ξ1ξ
2
2 + ξ21ξ3
2!
+
ξ31ξ2
3!
− ξ51
5!
)
ρ5 + · · ·
]
.
Поскольку функция exp ζ удовлетворяет уравнению (6), то ее ком-
плексные компоненты Vr(t, x) разложения экспоненты по базису ал-
гебры
exp ζ =
n∑
r=0
Vr(t, x) ρr (24)
также удовлетворяет уравнению (6). Сформулируем это в следующем
виде.
Теорема 1. Уравнению (6) удовлетворяют комплексные функции
Vr(t, x) = Ar(t, x)eξ0(t,x) при всех r = 0, 1, . . . , n, (25)
где функции Ar определяются равенствами (20), при этом ξr(t, x) :=
:= krt+mrx, r = 0, 1, . . . , n, где kr — произвольные комплексные числа,
а коэффициенты mr определяются рекуррентными соотношениями
(15) с начальными значениями (16).
Гиперкомплексные функции и точные решения . . . 271
Замечание 2. Для того, чтобы выписать решение Vp уравнения
(6), необходимо выписать функции A0, A1, . . . , Ap, а для этого нужно
иметь значения m0,m1, . . . ,mp. Для последнего, очевидно, нужно пре-
одолеть три шага: 1) по явным формулам (10) выписать B0, B1, . . . , Bp;
2) по явным формулам (13) выписать D0, D1, . . . , Dp; 3) по рекуррент-
ным соотношениям (15) выписать значения m0,m1, . . . ,mp.
Имея значения m0,m1,m2, можем выписать первые три комплекс-
ные решения уравнения (6). Таким образом, имеем
V0(t, x) = exp
k0t± x
√
k30 + αk20
β
, (26)
V1(t, x) =
(
tk1 ± x
3k0k1 + 2αk1
2
√
β(k0 + α)
)
exp
k0t± x
√
k30 + αk20
β
,
V2(t, x) =
[
tk2 ± x
3k21k0 + 4αk21 + 20αk0k2 + 12k20k2 + 8α2k2
8
√
β(k0 + α)3/2
+
+
1
2
(
tk1 ± x
3k0k1 + 2αk1
2
√
β(k0 + α)
)2]
exp
k0t± x
√
k30 + αk20
β
,
где среди знаков ± выбираются одновременно либо верхние либо ниж-
ние знаки, а k0, k1, k2 — произвольные комплексные числа.
Увеличивая n, можно выписать сколь угодно много точных реше-
ний уравнения (6).
Замечание 3. Выделяя в комплексном решении Vr действитель-
ную и мнимую части, получаем два действительных решения ви-
да Vr,1 = Ur(t, x)eλ(t,x) cosµ(t, x) та Vr,2 = Rr(t, x)eλ(t,x) sinµ(t, x),
где Ur , Rr — некоторые полиномы степени r, а λ(t, x) := Re ξ0,
µ(t, x) := Im ξ0.
Замечание 4. Формула (21) позволяет получить бесконечное мно-
жество точных решений уравнения (2). Для этого лишь нужно в алгеб-
ре An+1 выписать векторы e1, e2, . . . , en, удовлетворяющие характери-
стическому уравнению (3). Подобного рода замечание сделано в моно-
графии [13, c. 189–190]. Кроме того, отметим работу [14], где экспонен-
та использовалась в разных конечномерных алгебрах для построения
272 В.С. Шпаковский
решений соответствующих дифференциальных уравнений в частных
производных.
5. Свойства решений. Одним из традиционных методов ре-
шения линейных дифференциальных уравнений в частных производ-
ных является метод разделения переменных или метод Фурье, соглас-
но которому решение уравнения (6) ищем в виде
VF (t, x) = W (t)R(x). (27)
Подставляя выражение (27) в (6), приходим к системе уравнений
W ′′′(t) + αW ′′(t)
βW (t)
=
R′′(x)
R(x)
= λ2,
где λ — некоторая комплексная постоянная. Таким образом, приходим
к общему решению вида (27):
VF (t, x) =
3∑
s=1
bse
µst
(
d1e
λx + d2e
−λx) , (28)
где bs , dr — произвольные комплексные постоянные, а µs — корни
уравнения
µ3 + αµ2 − βλ2 = 0. (29)
В следующей теореме устанавливается связь между решениями ви-
да (25), полученными гиперкомплексным методом, и решением вида
(28).
Теорема 2. Решение уравнения (6), порожденное функцией (26), сов-
падает с решением VF (t, x).
Доказательство. Вводя обозначение
√
k30+αk
2
0
β = λ, получаем
V0(t, x) = ek0t±λx, где λ и k0 связаны соотношением
k30 + αk20 − βλ2 = 0. (30)
Поскольку уравнение (6) линейное, то функция V0(t, x) порождает сле-
дующее его решение
Ṽ0(t, x) =
3∑
s=1
bse
k0,st(d1e
λx + d2e
−λx),
Гиперкомплексные функции и точные решения . . . 273
где k0,s, s = 1, 2, 3, — корни уравнения (30). Очевидно, что
Ṽ0(t, x) ≡ VF (t, x) при k0,s = µs. Теорема доказана.
То есть, лишь нулевое решение V0(t, x) по существу совпадает с
решением, полученным методом Фурье, а все остальные решения вида
(25) имеют более общий вид.
Теорема 3. Для решений (25) уравнения (6) справедливы равенства∑
r+s=n
∫
γ
Vr(t, x)
(
ks dt+ms dx
)
= 0 ∀ n = 0, 1, 2, . . . , (31)
где γ — произвольная замкнутая жорданова спрямляемая кривая на
плоскости tOx, ks — произвольные комплексные числа, а ms — опре-
делены равенствами (15), при s = 1, 2, 3.
Доказательство. Согласно аналогу теоремы Коши (см. Теорему 3
работы [12]), справедливо равенство
∫
γ
eζ dζ = 0. Учитывая обозначе-
ния (7) и (24), получаем равенства∫
γ
eζdζ =
∫
γ
n∑
r=0
Vr(t, x) ρr
n∑
s=0
dξs ρ
s =
∫
γ
∑
0≤r+s≤n
Vr(t, x) dξs ρ
r+s = 0.
Приравнивая к нулю коэффициенты при ρr+s, получаем равенство
(31). Теорема доказана.
Работа выполнена при частичной поддержке гранта Министерства
образования и науки Украины (проект № 0116U001528).
Список литературы
[1] Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. —
М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. — 288 с.
[2] Danylenko V.A., Sorokina V.V., Vladimirov V.A. On the governing
equations in relaxing media models and self-similar quasiperiodic
solutions // J. Phys. A: Math. Gen. — 1993. — 26. — P. 7125 – 7135.
[3] Шпаковский В.С. Гиперкомплексное представление аналитических ре-
шений одного уравнения гидродинамики // Труды ИПММ НАН Укра-
ины. — 2017 (подана к печати).
274 В.С. Шпаковский
[4] Ковалев В.Ф., Мельниченко И.П. Бигармонические функции на бигар-
монической плоскости // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1981. — № 8. —
C. 25 — 27.
[5] Грищук С.В., Плакса С.А. Моногенные функции в бигармонической
алгебре // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 12. — C. 1587–1596.
[6] Plaksa S.A. Commutative algebras associated with classic equations
of mathematical physics // Advances in Applied Analysis, Trends in
Mathematics. — Basel: Springer, 2012. — P. 177 – 223.
[7] Мельниченко И.П., Плакса С.А. Коммутативные алгебры и простран-
ственные потенциальные поля. — К.: Ин-т математики НАН Украины,
2008. — 230 с.
[8] Plaksa S.A. and Shpakovskii V. S. Constructive description of monogenic
functions in a harmonic algebra of the third rank // Ukr. Math. J. — 2011. —
62, No. 8. — P. 1251 – 1266.
[9] Plaksa S.A., Shpakivskyi V. S. Monogenic functions in a finite-dimensional
algebra with unit and radical of maximal dimensionality // J. Algerian
Math. Soc. — 2014. — 1. — P. 1 – 13.
[10] Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.:
Изд-во иностр. лит., 1962. — 829 с.
[11] Shpakivskyi V. S. Monogenic functions in finite-dimensional commutative
associative algebras // Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr. — 2015. — 12, No. 3. —
P. 251 – 268.
[12] Shpakivskyi V. S. Integral theorems for monogenic functions in commutative
algebras // Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr. — 2015. — 12, No. 4. — P. 313 –
328.
[13] Roşculeţ M.N. Funcţii monogene pe algebre comutative. — Bucuresti, Acad.
Rep. Soc. Romania, 1975. — 339 p.
[14] Pogorui A., Rodriguez-Dagnino R.M. Solutions of some partial differential
equations with variable coefficients by properties of monogenic functions //
J. Math. Sci. — 2017. — 220, No. 5. — P. 624 – 632.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-118 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:35Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d4/3c65f8330a971eca46cebb7cb1cd77d4.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1182018-02-13T13:58:16Z Гиперкомплексные функции и точные решения одного уравнения гидродинамики Hypercomplex functions and accurate solutions of one equation of hydrodynamics Shpakivskyi, V. S. Шпаковский, В. С. It is known that in some commutative associative algebras the exponential function is a solution of linear partial differential equations with constant coefficients. In the present paper we propose a procedure allowing us to find all components of the exponent in a special N-dimensional commutative algebra, where N is an arbitrary fixed natural number. This allows us to construct solutions of one hydrodynamic equation of the third order. Известно, что в некоторых коммутативных ассоциативных алгебрах экспоненциальная функция при определенном выборе базисных векторов алгебры является решением линейного дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами. В настоящей статье мы предлагаем процедуру, позволяющую выписать все компоненты экспоненты в специальной коммутативной  алгебре произвольной, наперед заданной размерности.  Это позволяет находить решения одного уравнения гидродинамики  третьего порядка. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/118 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 262–274 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 262–274 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 262–274 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/118/107 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Shpakivskyi, V. S. Шпаковский, В. С. Гиперкомплексные функции и точные решения одного уравнения гидродинамики |
| title | Гиперкомплексные функции и точные решения одного уравнения гидродинамики |
| title_alt | Hypercomplex functions and accurate solutions of one equation of hydrodynamics |
| title_full | Гиперкомплексные функции и точные решения одного уравнения гидродинамики |
| title_fullStr | Гиперкомплексные функции и точные решения одного уравнения гидродинамики |
| title_full_unstemmed | Гиперкомплексные функции и точные решения одного уравнения гидродинамики |
| title_short | Гиперкомплексные функции и точные решения одного уравнения гидродинамики |
| title_sort | гиперкомплексные функции и точные решения одного уравнения гидродинамики |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/118 |
| work_keys_str_mv | AT shpakivskyivs giperkompleksnyefunkciiitočnyerešeniâodnogouravneniâgidrodinamiki AT špakovskijvs giperkompleksnyefunkciiitočnyerešeniâodnogouravneniâgidrodinamiki AT shpakivskyivs hypercomplexfunctionsandaccuratesolutionsofoneequationofhydrodynamics AT špakovskijvs hypercomplexfunctionsandaccuratesolutionsofoneequationofhydrodynamics |