Contour- solid properties of holomorphic functions in domain of multi-dimensional complex space
We solve the problem on relation between the contour and solid moduli of continuity for holomorphic functions defined in convex domains of multivariate complex space.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/119 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552636066037760 |
|---|---|
| author | Schekhorskiy, A. J. Gerus, O. F. Щехорський, А. Й. Герус, О. Ф. |
| author_facet | Schekhorskiy, A. J. Gerus, O. F. Щехорський, А. Й. Герус, О. Ф. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Й. Щехорський",
"institution": "Житомирський державний університет імені Івана Франка"
},
{
"author": "О. Ф. Герус",
"institution": "Житомирський державний університет імені Івана Франка"
}
] |
| author_sort | Schekhorskiy, A. J. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | We solve the problem on relation between the contour and solid moduli of continuity for holomorphic functions defined in convex domains of multivariate complex space. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 275–285
УДК 517.53
А.Й. Щехорський 1, О.Ф. Герус 2
1,2(Житомирський державний унiверситет iменi Iвана Франка,
Житомир)
1 shai.anatolij@yandex.ru
2 ogerus@zu.edu.ua
Контурно-тiлеснi властивостi
голоморфних функцiй в опуклих
областях багатовимiрного
комплексного простору
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
Для опуклих областей багатовимiрного комплексного простору розв’я-
зується питання про спiввiдношення мiж контурним та тiлесним моду-
лями неперервностi голоморфних функцiй.
We solve the problem on relation between the contour and solid moduli of
continuity for holomorphic functions defined in convex domains of multi-
variate complex space.
У данiй роботi розв’язується питання про спiввiдношення мiж кон-
турним та тiлесним модулями неперервностi голоморфних функцiй,
визначених в опуклих областях багатовимiрного комплексного про-
стору Cn, n ≥ 2, що є багатовимiрним аналогом вiдомого контурно-
тiлесного результату для голоморфних функцiй комплексної змiнної.
Нехай G — обмежена область в Cn, G — її замикання в Cn, ∂G —
її межа, ∆G — її межа Шилова, H(G) — алгебра всiх голоморфних
i обмежених в G функцiй, A(G) — алгебра всiх голоморфних в G i
неперервних на G функцiй, µ(δ) — нормальна мажоранта [1, 2].
c© А.Й. Щехорський, О. Ф. Герус, 2017
276 А.Й. Щехорський, О.Ф. Герус
Для комплексної функцiї f , заданої i неперервної на G, визначе-
нi вiдповiдно контурний i тiлесний модулi неперервностi ω(∆G, f, δ),
ω(G, f, δ), а для довiльної фiксованої точки z0 ∈ ∂G — локальнi
вiдповiдно контурний i тiлесний модулi неперервностi ω(∆G, f, z0, δ),
ω(G, f, z0, δ).
У роботi [3] поставлена наступна проблема. Нехай G — обмежена
область в Cn, µ — функцiя типу модуля неперервностi. Знайти замкне-
нi пiдмножини S множини G, для яких iснує стала C > 0, залежна ли-
ше вiд G i S, така, що для довiльної функцiї f ∈ A(G) спiввiдношення
ω(S, f, δ) 6 µ(δ), δ > 0, тягне за собою нерiвнiсть ω(G, f, δ) 6 Cµ(δ),
δ > 0. Там же ця проблема була розв’язана у випадку, коли G —
область Вейля, а S = ∆G — її межа Шилова, та наведенi приклади
областей G i голоморфних в них функцiй, для яких модуль неперерв-
ностi на межi Шилова ∆G є нескiнченно малою вищого порядку, нiж
модуль неперервностi на G.
В данiй роботi ця проблема розв’язана для опуклих областей в Cn,
для яких доповнення ∂G \∆G задовольняє певну умову конусностi.
Наслiдуючи [4,5], межову точку опуклої областi G ⊂ Cn називати-
мемо комплексною, якщо вона є точкою плоскої областi, яка мiститься
на якiйсь комплекснiй прямiй i є пiдмножиною межi областi G.
Теорема 1 ( [4] ). Межова точка обмеженої опуклої областi G ⊂ Cn
не належить її межi Шилова тодi i тiльки тодi, коли iснує окiл
U ⊂ ∂G цiєї точки, який складається лише з комплексних точок.
Межа Шилова обмеженої опуклої областi G ⊂ C2 допускає про-
сте геометричне тлумачення: її доповнення ∂G \ ∆G складається з
точок, в околi яких межа ∂G розшаровується на комплекснi прямi, па-
ралельнi мiж собою. Нехай a — комплексний вектор, в напрямi якого
вiдбувається вказане розшарування, z — комплексна точка на ∂G. Че-
рез Ca,z позначимо комплексну пряму з напрямним вектором a, яка
проходить через точку z. Оскiльки G — опукла область, то множина
Ga,z := ∂G ∩ Ca,z — опукла область на прямiй Ca,z.
Для z = (z1, z2, . . . , zn) поряд з евклiдовою нормою ‖z‖ розгляда-
тимемо норму |‖z‖| := max
16q6n
|zq|.
Нехай ϑz0,z — вектор в Cn, колiнеарний комплекснiй прямiй, що
проходить через точки z0 та z. Через (ϑ1, ϑ2) позначатимемо скалярний
добуток векторiв ϑ1, ϑ2 в Cn.
Для довiльної дiйсної функцiї r(ζ), визначеної в обмеженiй областi
Контурно-тiлеснi властивостi голоморфних функцiй . . . 277
G ⊂ Cn, введемо на ∂G функцiю [1,2]
B [z, r(ζ)] := lim
G3ζ→z
r(ζ), z ∈ ∂G.
Теорема 2. Нехай G — обмежена опукла область в Cn, f ∈ H(G),
z0 — довiльна фiксована точка на ∆G, µ(δ) — нормальна мажоранта.
Нехай при деякому β ∈ (0, 1) для точки z ∈ ∂G \∆G i комплексного
вектора a ∈ Cn виконуються умови Ga,z 6= ∅, z0 6∈ Ga,z, ∂Ga,z ⊂ ∆G,∣∣Re (ϑz0,p, ϑz0,w)∣∣ 6 β, {p;w} ⊂ ∂Ga,z. (1)
Тодi :
а) якщо
B [z, |f(ζ)|] 6 µ
(
‖z − z0‖
)
, z ∈ ∆G \ {z0}, (2)
то
|f(ζ)| 6 Cµ
(
‖ζ − z0‖
)
, ζ ∈ G,
де C > 0 залежить лише вiд мажоранти µ, β та розмiрностi про-
стору n;
б) якщо α(δ) — неспадна мажоранта, |f(ζ)| 6 1 (ζ ∈ G) i
B [z, |f(ζ)|] 6 µ
(
‖z − z0‖
)
α
(
‖z − z0‖
)
, z ∈ ∆G \ {z0},
то
|f(ζ)| 6 C ′µ
(
‖ζ − z0‖
)
Aα,µ
(
‖ζ − z0‖
)
, ζ ∈ G,
де C ′ > 0 залежить лише вiд β, розмiрностi простору n та мажо-
рант α, µ, а Aα,µ — опукла нормальна мажоранта, побудована за α
та µ в [2].
Доведення проведемо спочатку в C2 для функцiй f ∈ A(G). У цьому
випадку B [z, |f(ζ)|] = |f(z)|, z ∈ ∂G i нерiвнiсть 2 набуває вигляду
|f(z)| 6 µ
(
‖z − z0‖
)
, z ∈ ∆G \ {z0}. (3)
Оцiнку (3) розповсюдимо на множину ∂G \∆G з пiдходящою ста-
лою. Потiм з оцiнки (3) на всiй межi ∂G за результатами роботи [6]
випливатиме оцiнка (2).
Для довiльної точки w ∈ ∂G\∆G iснує комплексний напрям a ∈ C2,
такий, що Ga,w = ∂G ∩ Ca,w — область в Ca,w, причому (див. [4])
∂Ga,w ⊂ ∆G. Тому з нерiвностi (3) випливає оцiнка
|f(z)| 6 µ
(
‖z − z0‖
)
, z ∈ ∂Ga,w \ {z0}.
278 А.Й. Щехорський, О.Ф. Герус
Множина Ga,w — аналiтичний диск в C2 виду
λ
L−→ (L1(λ), L2(λ)) ∈ Ga,w, λ ∈ D, де D — опукла область в C,
L1 i L2 — комплекснi лiнiйнi перетворення в C. На цьому аналiтично-
му диску функцiя f ∈ A(G) — аналiтична. Аналiтичнiсть функцiї f в
довiльнiй точцi W0 ∈ Ga,w, що вiдповiдає параметру λ0, доводиться
наступним чином. Оскiльки G — опукла область, то iснують послi-
довностi z1n i z2n, число r > 0, такi, що z1n → 0, z2n → 0 при n→∞ i ∀n
∀λ : |λ − λ0| < r,
(
L1(λ) + z1n, L2(λ) + z2n
)
∈ G. Функцiя f ∈ A(G) на
Ga,w отримується як границя аналiтичної функцiї
F (λ) := f1 (L1(λ), L2(λ)) = lim
n→∞
f
(
L1(λ) + z1n, L2(λ) + z2n
)
.
За теоремою Вейєрштраса функцiя F (λ) — аналiтична в крузi
|λ − λ0| < r. Оскiльки f — однозначна на G, то f — аналiтична в
Ga,w.
Коли z0 ∈ ∂Ga,w, то завдяки умовi (1) можна за допомогою ортого-
нального перетворення з центром в точцi z0 простору C2 помiстити всi
диски Ga,w в деякий конус |z1 − z01 | 6 K|z2 − z02 |, K > 0 i застосувати
результати роботи [7]. В результатi отримаємо оцiнку з деякою сталою
C ′ > 0, залежною лише вiд µ та β. Оскiльки G — опукла область, то з
( [6]) випливає, що |f(ζ)| 6 C ′ψ(54)µ
(
‖ζ − z01‖
)
, ζ ∈ G.
Перейдемо до доведення теореми 2 для опуклих областей довiльної
розмiрностi. Розповсюдимо оцiнку (3) на множину ∂G \∆G.
Коли n > 2, то не можна стверджувати, що для довiльної компле-
ксної точки z ∈ ∂G i деякого вектора a ∈ Cn справедливо ∂Ga,z ⊂ ∆G.
НехайW — довiльна комплексна точка множини ∂G\∆G. Тодi iснує
комплексна гiперплощина πk, опорна до ∂G в точцi W , максимальної
розмiрностi k, така, що πk ∩ ∂G — область в Ck.
Доведемо, що ∂
(
π1 ∩ ∂G
)
⊂ ∆G. Нехай ∂
(
π1 6⊂ ∂G
)
⊂ ∆G, тодi
на множинi ∂
(
π1 ∩ ∂G
)
iснує комплексна точка z (кожна точка ∂G
(див. [4]) — дiйсна або комплексна, а всi дiйснi точки належать ∆G).
Вона знаходиться в якiйсь областi комплексної прямої Ca,z 6= π1. До-
вiвши, що прямi Ca,z i π1 належать деякiй комплекснiй площинi πm,
m > 1, опорнiй до G в точцiW , причому πm∩∂G — область в Cm, отри-
маємо протирiччя з тим, що π1 — опорна гiперплощина максимальної
розмiрностi.
Нехай Ca,z i π1 не мiстяться в жоднiй опорнiй комплекснiй площинi.
Тодi вони не мiстяться одночасно в жоднiй опорнiй дiйснiй гiперпло-
щинi (в протилежному випадку комплексна лiнiйна оболонка прямих
Контурно-тiлеснi властивостi голоморфних функцiй . . . 279
Ca,z i π1 мiстилася б в опорнiй дiйснiй гiперплощинi, тобто площина
π1 не мала б максимальної розмiрностi).
Через π1 проведемо дiйсну опорну гiперплощину Λ в G. Оскiльки
точка z мiститься в Ca,z i Ca,z 6⊂ Λ, z ∈ Λ, то в Ca,z знайдуться двi
точки, якi лежать по рiзнi боки гiперплощини λ, а це протирiчить тому,
що λ — дiйсна опорна гiперплощина до G.
Таким чином, прямi Ca,z i π1 належать якiйсь комплекснiй опорнiй
площинi πm (в комплекснiй оболонцi Ca,z i π1). Комплексна лiнiйна
оболонка двох опуклих множин ∂G ∩ π1 i Ca,z належить, з одного
боку, замиканню G опуклої областi G, а з другого боку — площинi πm.
Отже, πm ∩ ∂G — область в Cm.
Нарештi, оскiльки ∂
(
π1 ∩ ∂G
)
⊂ ∆G, то оцiнку (3) у випадку k = 1
можна розповсюдити на множину π1 ∩G з деякою константою анало-
гiчно тому, як це робилось в C2.
У випадку k = 2 доведення того, що f ∈ Λ
(
π2 ∩ ∂G
)
, здiйснює-
ться наступним чином. Нехай C2 = π2 i W — довiльна точка опуклої
областi π2 ∩ ∂G в C2. Голоморфнiсть функцiї f в точцi W по змiнних
z1, z2 доводиться аналогiчно тому, як це зроблено вище. За теоремою
Гартогса [8] вона голоморфна по сукупностi змiнних в областi π2∩∂G.
Доведемо, що ∆
(
π2 ∩ ∂G
)
⊂ ∆G. Для цього досить довести, що
кожна дiйсна точка вiдносно ∂2G = ∂
(
π2 ∩ ∂G
)
— дiйсна i вiдносно ∂G.
Коли z — деяка точка, дiйсна вiдносно ∂2G i комплексна вiдносно ∂G,
то iснує комплексна пряма Ca,z 6⊂ π2, така, що z — внутрiшня для Ca,z.
Аналогiчно, як i у випадку k = 1, доводиться, що iснує комплексна
опорна площина πm в точцi z (m > k), така, що πm ∩ ∂G — область в
Cm. Отримано протирiччя з тим, що гiперплощина π2 — максимальної
розмiрностi.
Оскiльки ∆
(
π2 ∩ ∂G
)
⊂ ∆G, то iз (1) випливає, що для довiльного
комплексного вектора a ∈ C2 i довiльного z ∈ ∆
(
π2 ∩ ∂G
)
, таких, що
Ca,z 6= ∅, z0 6∈ Ga,z, ∂Ca,z ⊂ ∆∂2G,∣∣Re (Vz0,p, Vz0,w)∣∣ 6 β, {p;w} ⊂ ∂Ca,z.
Теорема 2 в C2 вже доведена. Тому iснує C ′ > 0, таке, що
|f(z)| 6 C ′ψ(54)µ
(
‖z − z0‖
)
, z ∈ π2 ∩ ∂G, (4)
звiдки
|f(z)| 6 C ′ψ(54)µ
(
‖z − z0‖
)
, z ∈ ∂G.
280 А.Й. Щехорський, О.Ф. Герус
Оскiльки G — опукла область, то з (3) випливає оцiнка
|f(ζ)| 6 C ′ψ(54)µ
(
‖ζ − z0‖
)
, ζ ∈ G. (5)
За iндукцiєю оцiнка виду (4) справедлива для довiльного
k ∈ [1;n− 1], тобто
|f(z)| 6 C ′ψk−1(54)µ
(
‖z − z0‖
)
, z ∈ G.
Твердження а) Теореми 2 доведене. Твердження б) виводиться з
твердження а) аналогiчно тому, як в [1, с. 72] iз твердження а) тео-
реми 2.1.1 виводилось її твердження б). Зауважимо, що в загальному
випадку, коли f ∈ H(G), доведення не зазнає iстотних змiн.
Iз теореми 2 випливає аналогiчне твердження для локальних моду-
лiв неперервностi.
Теорема 3. Нехай G — обмежена опукла область в Cn, f ∈ A(G),
z0 — довiльна фiксована точка на ∆G, µ(δ) — нормальна мажоран-
та i при деякому β ∈ (0; 1) комплексний вектор a ∈ Cn i точка
z ∈ ∂G \∆G задовольняють умови Ga,z 6= ∅, z0 6∈ Ga,z, ∂Ga,z ⊂ ∆G,∣∣Re
(
Vz0,p, Vz0,w
)∣∣ 6 β, {p;w} ⊂ ∂Ga,z. (6)
Тодi:
а) якщо ω(∆G, f, z0, δ) 6 µ(δ), δ > 0, то ω(G, f, z0, δ) 6 Cµ(δ),
δ > 0, де C > 0 залежить лише вiд мажорант µ, β та розмiрно-
стi простору n;
б) якщо α(δ) — неспадна мажоранта, |f(ζ)| 6 1 в G i
має мiсце нерiвнiсть ω(∆G, f, z0, δ) 6 µ(δ)α(δ), δ > 0, то
ω(G, f, z0, δ) 6 C ′µ(δ)Aα,µ(δ), δ > 0, де C ′ > 0 залежить лише вiд
мажорант µ, α, β та розмiрностi простору n.
Вiд умови (6) в Tеоремi 3 вiдмовитись не можна. Це перекон-
ливо доводить приклад, наведений в роботi [3]. Нехай B — одини-
чна куля в C2, Ω =
{
(z1, z2) ∈ C2 : |Imz1| < |1 + Rez1|
}
. Покладемо
G = B ∩ Ω, z0 = (−1; 0). Очевидно, G — опукла область в C2. В [3]
показано, що для функцiї f(z1, z2) = (1 + z1)α, α ∈ (0; 1), вибра-
на та вiтка, яка додатна при додатному 1 + z1 i виконується умова
ω(G, f, z0, δ) 6 Cδα, δ > 0, а вздовж межi Шилова ∂B ∩ Ω модуль не-
перервностi “вдвiчi кращий”, тобто ω(∆G, f, z0, δ) 6 C ′δ2α. Тут множи-
на ∂G \∆G розшаровується на паралельнi плоскi диски z2 → (z1, z2),
Контурно-тiлеснi властивостi голоморфних функцiй . . . 281
|z2| <
√
1− |z1|2
(
z1 ∈ Ω, |z1| < 1
)
з межами в ∆G. Проте цi диски не
мiстяться в жодному конусi. Наприклад, диски з центром (−1 + δ, 0)
(δ — мале) знаходяться на вiддалi δ вiд точки z0 i мають радiус по-
рядку
√
δ.
Для бiлогарифмiчно опуклих мажорант µ(δ) теореми 2 i 3 справе-
дливi в метрицi |‖ • ‖| з константою C = 1.
Теорема 4. Нехай G — обмежена опукла область в Cn, f ∈ H(G),
z0 — довiльна фiксована точка на ∆G, µ(δ) — бiлогарифмiчно опукла
мажоранта, для довiльних z ∈ ∂G\∆G, a ∈ Cn, таких, що Ga,z 6= ∅,
z0 6∈ Ga,z, ∂Ga,z ⊂ ∆G, справедливе спiввiдношення
0 < Re
(
Vz0,p, Vz0,w
)
, {p;w} ⊂ ∂Ga,z.
Тодi якщо
B [z, |f(ζ)|] 6 µ
(
|‖z − z0‖|
)
, z ∈ ∆G \ {z0}, (7)
то |f(ζ)| 6 µ
(
|‖ζ − z0‖|
)
, ζ ∈ G.
Доведення проведемо в C2 для функцiй f ∈ A(G). Нехай W —
довiльна точка множини ∂G\∆G, a — комплексний вектор в C2, такi,
що Ga,w = ∅, z0 6∈ Ga,w, ∂Ga,w ⊂ ∆G. Розповсюдимо оцiнку (7) на
множину ∂G \∆G, тобто доведемо її в точцi W .
Виходячи з умови (1), дiйсний конус, в якому мiститься множина
∂Ga,w, можна за допомогою деякого ортогонального перетворення C2 з
центром в точцi z0 перевести в конус K =
{
(z1, z2) : |z1 − z2| 6 |z02 |
}
. У
цьому випадку пряма Ca,w паралельна осi z1, а область Ga,w мiститься
у площинi комплексної змiнної z1.
Якщо µ — бiлогарифмiчно опукла нормальна мажоранта, то за те-
оремою 2 iснує стала C > 0, така, що
|f(z)| 6 Cµ
(
|‖z − z0‖|
)
, z ∈ Ga,w. (8)
Якщо µ(δ) не є нормальною мажорантою, то, як вiдомо, довiль-
на бiлогарифмiчно опукла мажоранта є нижньою огинаючою деякого
сiмейства бiлогарифмiчно опуклих нормальних мажорант (див. [9]).
Тому оцiнка (8) справедлива i для бiлогарифмiчно опуклих мажорант.
За означенням норми |‖z − z0‖| = max
{∣∣z1 − z01∣∣ , ∣∣z2 − z02∣∣}. Оскiль-
ки Ga,w ⊂ K, то |‖z − z0‖| = |z02 |, z ∈ Ga,w. Тому нерiвнiсть (7) для
f ∈ A(G) набуває вигляду
|f(z)| 6 µ
(
|z02 |
)
, z ∈ ∂Ga,w.
282 А.Й. Щехорський, О.Ф. Герус
Функцiя |f(z1, z2)| — субгармонiчна за z1 в областi Ga,w ⊂ C. Вра-
ховуючи нерiвнiсть (8), вона обмежена зверху в Ga,w. Згiдно з прин-
ципом максимуму для субгармонiчних функцiй |f(z1, z2)| 6 µ
(
|z02 |
)
,
(z1, z2) ∈ Ga,w або |f(z1, z2)| 6 µ
(
|‖z − z0‖|
)
, z ∈ Ga,w. Таким чином
доведено, що |f(z)| 6 µ
(
|‖z − z0‖|
)
, z ∈ ∂Ga,w \ {z0}. Метод однови-
мiрних комплексних перерiзiв дозволяє отримати аналогiчну оцiнку на
всiй областi G.
В загальному випадку f ∈ H(G), G ⊂ Cn доведення Теореми 4
залишається без iстотних змiн.
Зауважимо, що в метрицi ‖ • ‖ оцiнка |f(ζ)| 6 µ
(
|‖ζ − z0‖|
)
,
ζ ∈ ∂Ga,w \{ζ0}, справедлива з константою, залежною вiд розмiрностi
простору Cn (C = ψ(
√
n)).
З Tеореми 4 очевидним чином випливають наступнi твердження.
Теорема 5. Нехай G — обмежена опукла область в Cn, f ∈ A(G),
µ — бiлогарифмiчно опукла мажоранта, для довiльного z ∈ ∂G \∆G
i довiльного комплексного вектора a ∈ Cn, таких, що Ga,z 6= ∅,
z0 6∈ Ga,z, ∂Ga,z ⊂ ∆G виконується нерiвнiсть
0 < Re
(
Vz0,p, Vz0,w
)
, {p;w} ∈ ∂Ga,z.
Тодi з оцiнки (7) випливає оцiнка ω
(
G, f, z0, δ
)
6 µ(δ), δ > 0.
Для доведення глобальних контурно-тiлесних оцiнок (Tеореми 6 —
8) необхiдний принцип максимуму для модуля неперервностi функцiї
f ∈ A(G) (див., напр., [2]).
Теорема 6. Нехай G — обмежена опукла область в Cn. Тодi для
довiльної функцiї f ∈ A(G) i довiльного δ > 0 iснує точка z0 ∈ ∆G,
така, що ω
(
G, f, δ
)
= ω
(
G, f, z0, δ
)
, δ > 0.
Доведення. Розглянемо спочатку випадок простору C2. Згiдно з
принципом максимуму для модуля неперервностi (див. [2]) для до-
вiльного δ > 0 iснує z0 ∈ ∂G, таке, що ω
(
G, f, δ
)
= ω
(
G, f, z0, δ
)
.
Зафiксуємо довiльне δ > 0. Нехай ζ0 ∈ G — точка, для якої
|f(ζ0)− f(z0)| = ω
(
G, f, z0, δ
)
> 0, ‖ζ0 − z0‖ 6 δ.
Доведемо, що в якостi точок z0, ζ0 можна взяти точку на ∆G. Припу-
стимо, що точки z0, ζ0 не лежать в ∆G. Тодi можливi випадки:
Контурно-тiлеснi властивостi голоморфних функцiй . . . 283
1) точки z0, ζ0 належать однiй зв’язнiй компонентi множини
∂G \ ∆G. З результатiв роботи [5] випливає, що iснує такий вектор
a ∈ C2, що z0 ∈ Ga,z0 , ζ0 ∈ Ga,ζ0 . Оскiльки точки z0, ζ0 — вну-
трiшнi для цих областей, то iснує таке найбiльше r > 0, що фун-
кцiя ϕ(λ) = f(z01 + λ, z02 + λ) − f(ζ01 + λ, ζ02 + λ) — аналiтична у
крузi {λ ∈ C : |λ| < r}. Її модуль (ϕ(λ) 6= const) не може прийма-
ти найбiльше значення у внутрiшнiх точках круга. Таким чином або
(z01 + λ, z02 + λ) ∈ ∂Ga,z0 , або (ζ01 + λ, ζ02 + λ) ∈ ∂Ga,ζ0 ;
2) точки z0, ζ0 належать рiзним зв’язним компонентам множини
∂G \∆G. Нехай a i b — вектори в C2, такi, що z0 ∈ Ga,z0 , ζ0 ∈ Ga,ζ0 .
При a = b мiркування такi ж, як у випадку 1). Тому вважатиме-
мо a 6= b. За допомогою невиродженого голоморфного вiдображе-
ння A простору C2 в себе можна досягти того, що опуклi множи-
ни Ga,z0 i Ga,ζ0 лежатимуть на координатних осях z1 i z2. Образом
областi G при цьому перетвореннi z → z′ буде деяка (взагалi ка-
жучи, неопукла) область G′, функцiя f ∈ A(G) — в деяку функцiю
f(A−1z′) = ϕ(z′) ∈ A(G′), а межа Шилова ∆G — в деяку межу Шило-
ва ∆G′.
Зафiксуємо довiльне δ > 0. Функцiя ϕ(ζ ′) − ϕ(z′) — голоморфна
в областi
(
G′b,ζ0 ×G′a,z0
)
∩
{
(ζ, z) : ‖ζ ′ − z′‖ < δ
‖A−1‖
}
i неперервна в
її замиканнi. Тому максимум її модуля досягається на межi Шилова,
яка мiститься у множинi(
∂G′b,ζ0 ×G′a,z0
)
∪
(
G′b,ζ0 × ∂G′a,z0
)
∩
{
(ζ, z) : ‖ζ ′ − z′‖ < δ
‖A−1‖
}
,
тобто iснує точка W ∈ G′a,z0 i точка p ∈ G′b,ζ0 ,
для яких або W ∈ G′a,z0 , p ∈ ∂G′b,ζ0 , або
W ′ ∈ ∂G′a,z0 , p′ ∈ G′b,ζ0 , а функцiя |ϕ(ζ ′) − ϕ(z′)| приймає в
цих точках максимум. Оскiльки
W ′ = A−1W, p′ = A−1p, ϕ(W ′) = f(W ), ϕ(p′) = f(p),
‖W ′−p′‖ < δ
‖A−1‖
, δ > ‖W ′−p′‖ ‖A−1‖ > ‖A−1−(W ′−p′)‖ = ‖W−p‖,
то max ‖f(ζ)−f(z)‖ = ‖f(W )−f(p)‖. Отже одна з точок ζ,W належить
∆G, тобто вони не можуть бути одночасно внутрiшнiми для ∂G \∆G.
Враховуючи, що в околi кожної точки множина ∂G \∆G розшаро-
вується на паралельнi комплекснi гiперплощини (див. [6]), доведення
теореми 6 в довiльному Cn iстотно не вiдрiзняється вiд випадку C2.
284 А.Й. Щехорський, О.Ф. Герус
На основi вищезгаданого принципу максимуму iз Tеорем 3, 5 виво-
дяться наступнi глобальнi контурно-тiлеснi теореми.
Теорема 7. Нехай G — обмежена опукла область в Cn, f ∈ A(G),
µ(δ) — нормальна мажоранта i для всiх z ∈ ∆G справедливе спiввiд-
ношення (1). Тодi якщо
ω(∆G, f, δ) 6 µ(δ), δ > 0, (9)
то ω(G, f, δ) 6 Cµ(δ), δ > 0, де C > 0 залежить лише вiд µ, β i
розмiрностi простору n.
Теорема 8. Нехай G — обмежена опукла область в Cn, f ∈ A(G),
µ — бiлогарифмiчно опукла мажоранта, для всiх z ∈ ∆G виконується
умова (9). Тодi з оцiнки (9) випливає оцiнка
ω(G, f, δ) 6 µ(δ), δ > 0.
Лiтература
[1] Тамразов П.М. Гладкости и полиномиальные приближения. — К.: На-
укова думка, 1975. — 272 с.
[2] Тамразов П.М. Контурные и телесные структурные свойства голо-
морфных функций комплексного переменного // Успехи мат. наук. —
1973. — 28, № 1. — С. 131 – 161.
[3] Ерике Б. Соотношение телесного модуля непрерывности и модуля не-
прерывности вдоль границы Шилова для аналитических функций не-
скольких переменных // Мат. сборник. — 1983. — 122, № 4. — С. 515 –
526.
[4] Бычков С.Н. О геометрических свойствах границы области голомор-
фности // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1980. — 44, № 1. — С. 46 – 62.
[5] Белошапка В.К., Бычков С.Н. Об одном свойстве выпуклых гиперпо-
верхностей // Мат. заметки. — 1986. — 40, № 5. — С. 621 – 626.
[6] Щехорский А.И. Контурно-телесные теоремы голоморфных функций
в Cn // Укр. мат. журн. — 1979. — 31, № 1. — С. 107 – 109.
[7] Щехорский А.И. Мажорантные свойства некоторых комплексных фун-
кций в Cn // Сб. работ Ин-та математики АН УССР /Современные
вопросы вещественного и комплексного анализа/. — К.: Ин-т матема-
тики АН УССР, 1984. — C. 137 – 144.
Контурно-тiлеснi властивостi голоморфних функцiй . . . 285
[8] Щехорский А.И. Об одной локальной теореме в Cn // Сб. работ Ин-та
математики АН УССР /Теория приближений и смежные вопросы ана-
лиза и топологии/. — К.: Ин-т математики АН УССР, 1987. — C. 107 –
112.
[9] Чирка Е.М. Аналитическое представление CR функций // Мат. сбор-
ник. — 1975. — 98, № 4. — С. 591 – 623.
[10] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1985. —
464 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-119 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:35Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/39/c70d4560f6e67d389a5a6186b1edfd39.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1192018-02-13T13:58:16Z Contour- solid properties of holomorphic functions in domain of multi-dimensional complex space Контурно-тілесні властивості голоморфних функцій в опуклих областях багатовимірного комплексного простору Schekhorskiy, A. J. Gerus, O. F. Щехорський, А. Й. Герус, О. Ф. We solve the problem on relation between the contour and solid moduli of continuity for holomorphic functions defined in convex domains of multivariate complex space. Для опуклих областей багатовимірного комплексного простору розв'язується питання про співвідношення між контурним та тілесним модулями неперервності голоморфних функцій. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/119 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 275–285 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 275–285 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 275–285 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/119/108 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Schekhorskiy, A. J. Gerus, O. F. Щехорський, А. Й. Герус, О. Ф. Contour- solid properties of holomorphic functions in domain of multi-dimensional complex space |
| title | Contour- solid properties of holomorphic functions in domain of multi-dimensional complex space |
| title_alt | Контурно-тілесні властивості голоморфних функцій в опуклих областях багатовимірного комплексного простору |
| title_full | Contour- solid properties of holomorphic functions in domain of multi-dimensional complex space |
| title_fullStr | Contour- solid properties of holomorphic functions in domain of multi-dimensional complex space |
| title_full_unstemmed | Contour- solid properties of holomorphic functions in domain of multi-dimensional complex space |
| title_short | Contour- solid properties of holomorphic functions in domain of multi-dimensional complex space |
| title_sort | contour- solid properties of holomorphic functions in domain of multi-dimensional complex space |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/119 |
| work_keys_str_mv | AT schekhorskiyaj contoursolidpropertiesofholomorphicfunctionsindomainofmultidimensionalcomplexspace AT gerusof contoursolidpropertiesofholomorphicfunctionsindomainofmultidimensionalcomplexspace AT ŝehorsʹkijaj contoursolidpropertiesofholomorphicfunctionsindomainofmultidimensionalcomplexspace AT gerusof contoursolidpropertiesofholomorphicfunctionsindomainofmultidimensionalcomplexspace AT schekhorskiyaj konturnotílesnívlastivostígolomorfnihfunkcíjvopuklihoblastâhbagatovimírnogokompleksnogoprostoru AT gerusof konturnotílesnívlastivostígolomorfnihfunkcíjvopuklihoblastâhbagatovimírnogokompleksnogoprostoru AT ŝehorsʹkijaj konturnotílesnívlastivostígolomorfnihfunkcíjvopuklihoblastâhbagatovimírnogokompleksnogoprostoru AT gerusof konturnotílesnívlastivostígolomorfnihfunkcíjvopuklihoblastâhbagatovimírnogokompleksnogoprostoru |