On systems of subspaces of a Hilbert space related to an unicyclic graph
The paper studies systems of subspaces related to unicyclic graphs. We have found a criterion that allows to reduce a question of description of all irreducible systems related to some unicyclic graph to the question of description of corresponding systems rela...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/12 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552529618796544 |
|---|---|
| author | Popova, N. D. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Стрiлець, О. В. |
| author_facet | Popova, N. D. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Стрiлець, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. Д. Попова",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. В. Стрiлець",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Popova, N. D. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:53:12Z |
| description | The paper studies systems of subspaces related to unicyclic graphs. We have found a criterion that allows to reduce a question of description of all irreducible systems related to some unicyclic graph to the question of description of corresponding systems related to cycle. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 1, 166–177
УДК 512.552.4
Попова Н.Д., Стрiлець О.В.
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Про системи пiдпросторiв
гiльбертового простору, що пов’язанi
з унiциклiчним графом
popova@imath.kiev.ua, alexander.strelets@gmail.com
В роботi дослiджуються системи пiдпросторiв, що пов’язанi з унiциклi-
чними графами. Отримано критерiй, який дозволяє питання про опис
усiх незвiдних систем, пов’язаних з певним унiциклiчним графом, зве-
сти до питання про опис вiдповiдних систем, пов’язаних з циклом.
The paper studies systems of subspaces related to unicyclic graphs. We
have found a criterion that allows to reduce a question of description of
all irreducible systems related to some unicyclic graph to the question of
description of corresponding systems related to cycle.
1. Вступ
1. Дослiдження систем L = (V ;V1, . . . , Vn) пiдпросторiв V1, . . . , Vn скiн-
ченовимiрного лiнiйного простору V , n ∈ N, зокрема, опис нерозкла-
дних четвiрок пiдпросторiв у V [1], опис нерозкладних зображень у
просторi V скiнчених частково впорядкованих множин (див., напри-
клад, [2]), та таке iнше, є класичними задачами алгебри.
Нехай H є комплексним гiльбертовим простором, Hk, 1 6 k 6
n, — набiр його пiдпросторiв. Вивчення систем пiдпросторiв S =
(H;H1, . . . ,Hn) гiльбертового простору H (або, що є тим самим, набо-
рiв вiдповiдних ортопроекторiв P1, . . . , Pn) є важливою задачею фун-
кцiонального аналiзу, якiй присвячено чисельнi публiкацiї (див., на-
приклад, бiблiографiю в [3]).
c© Н. Д. Попова, О. В. Стрiлець, 2015
Про простi системи пiдпросторiв гiльбертового простору. . . 167
2. В роботi [3] вивчалися системи пiдпросторiв (n-ки пiдпросторiв),
що є ∗-зображеннями ∗-алгебр
TLΓ,τ,⊥ = C〈 p1, . . . , pn | p2
i = p∗i = pi, i ∈ V ;
pipjpi = τ2
ijpi, pjpipj = τ2
ijpj , якщо γij ∈ E;
pipj = pjpi = 0, iнакше 〉,
де
• Γ = (V,E) є скiнченним неорiєнтованим зв’язним графом без
кратних ребер та петель: V = {1, . . . , n} є множиною вершин
графу, а E = {γij = γji}—множиною його ребер;
• τ —функцiя, означена на ребрах графу,
τ : E → (0, 1) : γij 7→ τij .
Такi системи пiдпросторiв автори роботи називали «простими».
Зокрема, в роботi було показано, що у найпростiшому випад-
ку, коли Γ є деревом, питання про опис всiх незвiдних ∗-зображень
∗-алгебри TLΓ,τ,⊥ зводиться до питання про невiд’ємну визначенiсть
матрицi BΓ,τ = (bij), де
bkj =
1, k = j, k ∈ V,
−τkj , k 6= j, γkj ∈ E,
0, k 6= j, γkj 6∈ E.
А саме, має мiсце наступна теорема ([3, Теорема 12], також див. [4])
Теорема 1. Нехай Γ є деревом. Ненульова незвiдна проста n-ка пiд-
просторiв S, що вiдповiдає парi (Γ, τ), iснує тодi i тiльки тодi, коли
матриця BΓ,τ є невiд’ємно визначеною. В цьому випадку, така n-ка
пiдпросторiв є єдиною, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi, i
для її узагальненої розмiрностi є вiрною рiвнiсть
dimS = (n′; 1, 1, . . . , 1),
де n′ = n, якщо матриця BΓ,τ є додатно визначеною, i n′ = n − 1,
iнакше.
168 Н. Д. Попова, О. В. Стрiлець
Нагадаємо, що узагальненою розмiрнiстю системи пiдпросторiв
S = (H;H1, . . . ,Hn) називають набiр розмiрностей
dimS = (dimH; dimH1, . . . ,dimHn).
3. Наступним по складностi є випадок, коли Γ є унiциклiчним гра-
фом. Для унiциклiчного графа зручно користуватися наступними по-
значеннями
Γ = (C; Γ1,Γ2, . . . ,Γm),
де C = (V0, E0), V0 = {1, . . . ,m}, є циклом з m вершин, 2 < m 6 n, а
Γk = (Vk, Ek), k = 1, . . . ,m, є деревами такими, що їх множини вершин
попарно не перетинаються, i вершина k ∈ Vk, k = 1, . . . ,m. Отже,
множина вершин графа є V1 ∪ · · · ∪ Vm, а множина ребер, вiдповiдно,
E0 ∪ E1 ∪ · · · ∪ Em.
В цьому випадку питання про опис всiх незвiдних ∗-зображень
∗-алгебри TLΓ,τ,⊥ зводиться до питання: при яких ϕ ∈ (0, 2π] матри-
ця BΓ,τ,ϕ = (bij), де
bkj =
1, k = j, k ∈ V,
−τkj , k 6= j, γkj ∈ E \ {γ1m},
−eiϕτ1m, k = 1, j = m,
−e−iϕτ1m, k = m, j = 1,
0, k 6= j, γkj 6∈ E,
є невiд’ємно визначеною? А саме, має мiсце наступна теорема ([3, Те-
орема 16], також див. [5]).
Теорема 2. Нехай Γ є унiциклiчним графом, Φτ є множиною усiх
чисел ϕ ∈ [0, 2π), таких, що матриця BΓ,τ,ϕ є невiд’ємно визначеною.
Тодi незвiдна проста n-ка пiдпросторiв, що вiдповiдає парi (Γ, τ),
iснує тодi i тiльки тодi, коли множина Φτ не є порожньою, при
цьому, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi, для кожного пара-
метра ϕ ∈ Φτ iснує єдина ненульова незвiдна проста n-ка пiдпросто-
рiв Sτ,ϕ i всi вони не є еквiвалентними мiж собою.
Для узагальненої розмiрностi системи пiдпросторiв Sτ,ϕ викону-
ється рiвнiсть
dimSτ,ϕ = (n′; 1, 1, . . . , 1),
де n′ = n, якщо матриця BΓ,τ,ϕ є додатно визначеною, та n′ = n− 1
або n′ = n− 2, iнакше.
Про простi системи пiдпросторiв гiльбертового простору. . . 169
Зауважимо, що в деяких подальших роботах у термiн «проста» си-
стема вкладається трохи вужчий змiст: «простими» називають систе-
ми одновимiрних пiдпросторiв (про системи одновимiрних пiдпросто-
рiв див., наприклад, [6]).
4. Задача визначення множини Φτ = ΦΓ,τ для певного унiциклi-
чного графа Γ та функцiї τ не є тривiальною. В роздiлi 2 ми наведемо
критерiй, який показує, що або множина ΦΓ,τ є порожньою, або iснує
функцiя µ = µ(Γ, τ), визначена на ребрах циклу C, µ : E0 → (0, 1),
така, що ΦΓ,τ = ΦC,µ. В роздiлi 3 ми розглянемо деякi приклади унi-
циклiчних графiв та вiдповiдних систем пiдпросторiв, коли функцiя τ
є константною, i застосуємо отриманий критерiй до їх дослiдження.
2. Редукцiя унiциклiчного графу до циклу
1. Для того, щоб сформулювати основну теорему нашої роботи, нам
знадобляться наступнi означення.
Для довiльної вершини i ∈ Vk, k ∈ V0, iснує єдиний шлях l(i) в де-
ревi Γk з вершини i у вершину k. Означимо вiдстань d(i) вiд вершини i
до циклу C як довжину цього шляху. Для довiльної вершини i, що не
лежить на циклi, однозначно визначена «попередня» вершина j = p(i),
а саме то є вершина, що належить шляху l(i), така, що d(j) = d(i)− 1.
Навпаки, для кожної вершини j визначено множину «наступних» вер-
шин у графi Γ (можливо порожню):
Vj = VΓ,j = {i ∈ V | p(i) = j}, j ∈ V.
Множину всiх вершин V можно роздiлити на шари
Lr = LΓ,r = {i ∈ V | d(i) = r}, r ∈ N ∪ {0},
що не перетинаються. При цьому L0 = V0, i, починаючи з деякого r,
всi Lr є порожнiми множинами. Зауважимо, що виконуються рiвностi
Lr =
⊔
j∈Lr−1
Vj , r ∈ N.
Теорема 3. Нехай Γ є унiциклiчним графом.
Матриця BΓ,τ,ϕ невiд’ємно визначена тодi i тiльки тодi, коли ви-
конуються наступнi умови:
170 Н. Д. Попова, О. В. Стрiлець
(i) для всiх вершин j ∈ V числа
νj = 1−
∑
i∈Vj
τ2
ij
νi
(1)
є додатнiми;
(ii) матриця BC,µ,ϕ, де µ визначено на ребрах E0 циклу C рiвнiстю
µij =
τij√
νiνj
,
є невiд’ємно визначеною.
Зауважимо, що формула (1) коректно визначає числа νj . Дiй-
сно, зважаючи на те, що множини Vj є порожнiми, якщо j ∈ Ld,
d = max{r | Lr 6= ∅}, за формулою (1) отримуємо νj = 1 для вер-
шин шару Ld. Далi за цiєю формулою визначаємо νj для вершин ша-
ру Ld−1, потiм для вершин шару Ld−2 i так далi. Пiдрахувати νj для
кожного наступного шару є можливим, якщо всi νj , що отриманi для
попереднього шару, є додатнiми.
2. Доведення теореми базується на двох наступних лемах. Перша
з них дозволяє перейти вiд унiциклiчного графа Γ до графа, що мо-
жна отримати з Γ, якщо прибрати декiлька вершин, що належать до
зовнiшнього шару, тобто до множини Ld.
Лема 4. Нехай iснують непорожня пiдмножина вершин V i верши-
на k, що не належить множинi V, такi, що кожну вершину i ∈ V
з’єднано ребром з вершиною k, i тiльки з нею.
За таких умов матриця BΓ,τ,ϕ невiд’ємно визначена тодi i тiльки
тодi, коли одночасно виконуються наступнi двi умови:
(i) ν = 1−
∑
i∈V
τ2
ik > 0
(ii) матриця BΓ′,τ ′,ϕ,
Γ′ = (V ′, E′), V ′ = V \ V, E′ = E \ {γik}i∈V
τ ′ij =
τij , i, j ∈ V ′ \ {k},
ν−1/2τij , i = k, j ∈ V ′ \ {k},
ν−1/2τij , j = k, i ∈ V ′ \ {k},
невiд’ємно визначена.
Про простi системи пiдпросторiв гiльбертового простору. . . 171
Доведення. (A) Припустимо, що матриця BΓ,τ,ϕ є невiд’ємно визначе-
ною. Покажемо, що в цьому випадку ν > 0.
Враховуючи, що граф Γ є зв’язним, iснує хоча б одна вершина j ∈
V \ V, j 6= k, така, що γkj ∈ E. Розглянемо дерево Γ̂ = (V̂ , Ê): V̂ =
V ∪ {k, j}, Ê = {γik}i∈V∪{j}. Тодi за Теоремою 1 матриця BΓ̂,τ̂ , де τ̂
є звуженням τ на Ê, є невiд’ємно визначеною. Отже detBΓ̂,τ̂ > 0. З
iншої сторони, detBΓ̂,τ̂ = ν − τ2
k,j , отже ν > 0.
(B) Нехай ν > 0. Покажемо, що для довiльного вектора x = (xi)i∈V
виконується рiвнiсть
〈BΓ,τ,ϕ x, x 〉 = 〈BΓ′,τ ′,ϕx
′, x′ 〉+
∑
i∈V
|xi − τikxk|2, (2)
де вектор x′ = (x′i)i∈V ′ визначено рiвнiстю
x′i =
{
xi, i ∈ V ′ \ {k};
ν1/2xi, i = k.
Для зручностi запису, позначимо ∆γij = 〈 bijxj , xi 〉 + 〈 bjixi, xj 〉.
Безпосередньо перевiряється, що для довiльного ребра γij ∈ E′ ви-
конується рiвнiсть 〈 bijxj , xi 〉 = 〈 b′ijx′j , x′i 〉, отже ∆γij = 〈 b′ijx′j , x′i 〉 +
〈 b′jix′i, x′j 〉, якщо γij ∈ E′. Враховуючи, що
|x′k|2 = ν|xk|2 = |xk|2 −
∑
i∈V
τ2
ik|xk|2,
отримуємо рiвностi
〈BΓ,τ,ϕ x, x 〉 − 〈BΓ′,τ ′,ϕ x
′, x′ 〉
=
∑
i∈V
|xi|2 +
∑
γij∈E
∆γij
−
∑
i∈V ′
|x′i|2 +
∑
γij∈E′
∆γij
= |xk|2 − |x′k|2 +
∑
i∈V
|xi|2 +
∑
i∈V
∆γik
=
∑
i∈V
(
|τikxk|2 − 2 Re 〈 τikxk, xi 〉+ |xi|2
)
=
∑
i∈V
|xi − τikxk|2.
172 Н. Д. Попова, О. В. Стрiлець
(C) Нехай ν > 0 i матриця BΓ′,τ ′,ϕ невiд’ємно визначена, тодi для
довiльного вектора x права частина рiвностi (2) невiд’ємна, а отже
матриця BΓ,τ,ϕ є невiд’ємно визначеною.
Навпаки, нехай матриця BΓ,τ,ϕ є невiд’ємно визначеною. Ми вже
показали в (A), що в цьому випадку ν > 0. Розглянемо довiльний
вектор x′ i визначимо вектор x формулою
xi =
x′i, i ∈ V ′ \ {k},
ν−1/2x′k, i = k,
τikxk, i ∈ V.
Тодi, вiдповiдно до доказаної в пунктi (B) рiвностi, маємо
〈BΓ′,τ ′,ϕx
′, x′ 〉 = 〈BΓ,τ,ϕ x, x 〉 > 0,
отже матриця BΓ′,τ ′,ϕ є невiд’ємно визначеною.
3. Друга лема є безпосереднiм наслiдком щойно доведеної. Вона
дозволяє перейти вiд унiциклiчного графа Γ до такого, що отримаємо,
якщо прибрати зовнiшнiй шар графа Γ цiлком.
Лема 5. Нехай
d = d(Γ) = max
i∈V
d(i) > 0.
Тодi матриця BΓ,τ,ϕ невiд’ємно визначена тодi i тiльки тодi, коли
виконуються наступнi умови:
(i) числа
νj = 1−
∑
i∈Vj
τ2
ij , j ∈ Ld−1,
є додатнiми;
(ii) невiд’ємно визначеною є матриця BΓ′,τ ′,ϕ, де граф Γ′ = (V ′, E′)
отримуємо з графа Γ видаленням всiх вершин шару Ld i вiдпо-
вiдних ребер, а τ ′ визначено на рештi ребер рiвнiстю
τ ′ij =
τij , i, j 6∈ Ld−1,
ν
−1/2
j τij , i 6∈ Ld−1, j ∈ Ld−1,
ν
−1/2
i τij , j 6∈ Ld−1, i ∈ Ld−1,
ν
−1/2
i ν
−1/2
j τij , i, j ∈ Ld−1.
Про простi системи пiдпросторiв гiльбертового простору. . . 173
Доведення. Зауважимо, що νj = 1 у випадку, коли Vj є порожньою
множиною. Отже, твердження леми отримаємо, якщо для кожної вер-
шини j ∈ Ld−1 такої, що множина Vj не є порожньою, по черзi (не
важливо в якому порядку) застосуємо лему 4 (V = Vj , k = j).
4. Тепер ми готовi довести основну теорему.
Доведення Теореми 3. Випадок, коли граф Γ спiвпадає з циклом C, є
тривiальним, бо для всiх j ∈ V виконується рiвнiсть νj = 1 i BΓ,τ,ϕ =
BC,µ,ϕ.
Отже, далi розглядаємо випадок d = max
i∈V
d(i) > 0.
Доведемо твердження теореми iндукцiєю по d.
(A) Базис iндукцiї. d = 1. Твердження теореми є безпосереднiм
наслiдком леми 5.
(B) Крок iндукцiї. Нехай теорема є вiрною для довiльного графа Γ,
такого, що d(Γ) = d− 1 > 0.
За лемою 5 матриця BΓ,τ,ϕ невiд’ємно визначена тодi i тiльки тодi,
коли виконуються наступнi умови:
(i) числа
νj = 1−
∑
i∈VΓ,j
τ2
ij = 1−
∑
i∈VΓ,j
τ2
ij
νi
, j ∈ Ld−1,
є додатнiми;
(ii) невiд’ємно визначеною є матриця BΓ′,τ ′,ϕ, де граф Γ′ = (V ′, E′)
отримуємо з графа Γ видаленням всiх вершин шару Ld i вiдпо-
вiдних ребер, а τ ′ визначено на рештi ребер рiвнiстю
τ ′ij =
τij , i, j 6∈ Ld−1,
τij√
νj
i 6∈ Ld−1, j ∈ Ld−1,
τij√
νi
i ∈ Ld−1, j 6∈ Ld−1.
З iншого боку, за iндуктивним припущенням матриця BΓ′,τ ′,ϕ є не-
вiд’ємно визначеною тодi i тiльки тодi, коли виконуються наступнi
умови:
174 Н. Д. Попова, О. В. Стрiлець
(i) для всiх вершин j ∈ V ′ числа
ν′j = 1−
∑
i∈VΓ′,j
τ ′
2
ij
ν′i
є додатнiми;
(ii) матриця BC,µ′,ϕ, де µ′ визначено на ребрах E0 рiвнiстю
µ′ij =
τ ′ij√
ν′iν
′
j
,
є невiд’ємно визначеною.
Для вершин j з шару Ld−1 множини VΓ′,j є порожнiми, таким чином
ν′j = 1. Тодi для j ∈ Ld−2 маємо
ν′j = 1−
∑
i∈VΓ′,j
τ ′
2
ij = 1−
∑
i∈VΓ,j
τ2
ij
νi
= νj ,
а для вершин j ∈ Ld−3 ∪ · · · ∪ L0 рекурентно отримаємо
ν′j = 1−
∑
i∈VΓ′,j
τ ′
2
ij
ν′i
= 1−
∑
i∈VΓ,j
τ2
ij
νi
= νj .
Тодi
µ′ij =
τ ′ij√
ν′iν
′
j
=
τij√
νiνj
= µij
i теорему доведено.
3. Приклади
1. Розглянемо декiлька прикладiв систем, що пов’язанi з унiциклiчни-
ми графами, такими, що параметри τij є однаковими для всiх ребер
графу, тобто τij = τ .
Нагадаємо опис з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi всiх незвi-
дних систем, що пов’язанi з циклом C, таких що всi параметри τij є
однаковими (див. [5], а також [3, роздiл 3.4]).
Про простi системи пiдпросторiв гiльбертового простору. . . 175
1. Якщо 0 < τ 6 1
2 , то для довiльного ϕ ∈ [0, 2π) iснує проста
система пiдпросторiв Sτ,ϕ.
2. Якщо 1
2 < τ < 1
2 cos πn
, то система пiдпросторiв Sτ,ϕ iснує для
всiх ϕ ∈ [nα, 2π − nα], де α є рiшенням рiвняння
τ =
1
2 cosα
(3)
на iнтервалi (0, πn ).
3. Якщо τ = 1
2 cos πn
, то система пiдпросторiв Sτ,ϕ iснує тiльки для
ϕ = π.
4. При τ > 1
2 cos πn
жодної нетривiальної системи Sτ,ϕ не iснує.
2. Далi розглянемо такi унiциклiчнi графи, коли для кожної пари
вершин циклу, k1, k2 ∈ V0, iснує iзоморфiзм f : Vk1
→ Vk2
дерев Γk1
та Γk2 , такий, що f(k1) = k2. Зважаючи на те, що всi параметри τij
є однаковими для всiх ребер, то числа νi по формулi (1) достатньо
пiдрахувати тiльки для вершин одного з дерев, бо νf(i) та νi спiвпа-
дають, або не визначенi одночасно, i ∈ Vk1
. Отже, для всiх вершин
циклу k ∈ V0 або всi числа νk не визначенi, або вони спiвпадають мiж
собою, тобто νk = ν. Якщо ν > 0, то для довiльного ребра
µij =
τij√
νiνj
=
τ
ν(τ)
= µ(τ).
Таким чином, за умов, що νi(τ) > 0, i ∈ V1, знайдемо значення τ , для
яких виконується одна з наступних двох нерiвностей
0 < µ(τ) 6
1
2
,
1
2
< µ(τ) 6
1
2 cos π
m
.
Це дає опис всiх незвiдних ∗−зображень вихiдної алгебри TLΓ,τ,⊥.
Приклад 1. Нехай кожний граф Γk є деревом, що складається з
двох вершин та одного ребра. Тодi d = 1 i ν(τ) = 1− τ2 є визначеним
i додатнiм для довiльного τ ∈ (0, 1). Отже:
176 Н. Д. Попова, О. В. Стрiлець
1. система Sτ,ϕ iснує для кожного ϕ ∈ [0, 2π), якщо
0 < µ(τ) =
τ
1− τ2
6
1
2
, тобто τ ∈
(
0,
1√
2 + 1
]
;
2. система Sτ,ϕ iснує для кожного ϕ ∈ [nα, 2π − nα], якщо
1
2
< µ(τ) =
τ
1− τ2
6
1
2 cos π
m
,
тобто
τ ∈
(
1√
2 + 1
,
1√
1 + cos2 π
m + cos π
m
]
.
Приклад 2. Нехай кожний граф Γk є деревом, що складається з
s+ 1 вершин та s ребер, таким, що кожне ребро Γk з’єднує вершину k
з якоюсь iншою вершиною дерева Γk. Тодi d = 1 i ν(τ) = 1 − sτ2 є
визначеним i додатнiм для τ ∈ (0, 1√
s
). Отже:
1. система Sτ,ϕ iснує для кожного ϕ ∈ [0, 2π), якщо
0 < µ(τ) =
τ
1− sτ2
6
1
2
, тобто τ ∈
(
0,
1√
s+ 1 + 1
]
;
2. система Sτ,ϕ iснує для кожного ϕ ∈ [nα, 2π − nα], якщо
1
2
< µ(τ) =
τ
1− τ2
6
1
2 cos π
m
,
тобто
τ ∈
(
1√
s+ 1 + 1
,
1√
s+ cos2 π
m + cos π
m
]
.
Зауважимо, що умова τ < 1√
s
виконується автоматично, якщо
τ 6
1√
1 + cos2 π
m + cos π
m
.
Про простi системи пiдпросторiв гiльбертового простору. . . 177
Лiтература
[1] Gelfand I. M., Ponomarev V. A. Problems of linear algebra and classifi-
cation of quadruples of subspaces in a finite-dimensional vector space //
Hilbert space operators and operator algebras (Proc. Internat. Conf.,
Tihany, 1970). — Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 5, North-Holland,
Amsterdam, 1972. — Pp. 163 –237.
[2] Назарова Л. А., Ройтер А. В. Представления частично упорядо-
ченных множеств // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. — 1972. —
Т. 28. — С. 5 –—31.
[3] Самойленко Ю. С., Стрелець А. В. О простых n-ках под-
пространств гильбертова пространства // Укр. мат. журнал. —
2009. — Т. 61, № 12. — С. 1668–1703.
[4] Власенко М. А., Попова Н. Д. О конфигурациях подпространств
гильбертова пространства с фиксированными углами между ни-
ми // Укр. мат. журнал. — 2004. — Т. 56, № 5. — С. 606 –615.
[5] Popova N. D. On finite-dimensional representations of one algebra
of Temperley–Lieb type // Methods of Funct. Anal. and Topology. —
2001. — Vol. 7, no. 3. — Pp. 80 ––92.
[6] Grushevoy R. V., Samoilenko Y. S. Systems of one-dimensional
subspaces of a Hilbert space // Methods of Funct. Anal. and Topo-
logy. — 2010. — Vol. 16, no. 2. — Pp. 131-139.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-12 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:53Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2d/26cbfbd4ede093561d1793c1c49a372d.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-122018-01-23T09:53:12Z On systems of subspaces of a Hilbert space related to an unicyclic graph Про системи пiдпросторiв гiльбертового простору, що пов’язанi з унiциклiчним графом Popova, N. D. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Стрiлець, О. В. The paper studies systems of subspaces related to unicyclic graphs. We&nbsp;have found a criterion that allows to reduce a question of description of&nbsp;all irreducible systems related to some unicyclic graph to the question of&nbsp;description of corresponding systems related to cycle. В роботi дослiджуються системи пiдпросторiв, що пов’язанi з унiциклiчними графами. Отримано критерiй, який дозволяє питання про опис&nbsp;усiх незвiдних систем, пов’язаних з певним унiциклiчним графом, звести до питання про опис вiдповiдних систем, пов’язаних з циклом. Інститут математики НАН України 2017-11-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/12 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 1 (2015): Spectral theory of operators and of collections of operators; 166-177 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 166-177 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 166-177 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/12/9 |
| spellingShingle | Popova, N. D. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Стрiлець, О. В. On systems of subspaces of a Hilbert space related to an unicyclic graph |
| title | On systems of subspaces of a Hilbert space related to an unicyclic graph |
| title_alt | Про системи пiдпросторiв гiльбертового простору, що пов’язанi з унiциклiчним графом |
| title_full | On systems of subspaces of a Hilbert space related to an unicyclic graph |
| title_fullStr | On systems of subspaces of a Hilbert space related to an unicyclic graph |
| title_full_unstemmed | On systems of subspaces of a Hilbert space related to an unicyclic graph |
| title_short | On systems of subspaces of a Hilbert space related to an unicyclic graph |
| title_sort | on systems of subspaces of a hilbert space related to an unicyclic graph |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/12 |
| work_keys_str_mv | AT popovand onsystemsofsubspacesofahilbertspacerelatedtoanunicyclicgraph AT striletsov onsystemsofsubspacesofahilbertspacerelatedtoanunicyclicgraph AT popovand onsystemsofsubspacesofahilbertspacerelatedtoanunicyclicgraph AT strilecʹov onsystemsofsubspacesofahilbertspacerelatedtoanunicyclicgraph AT popovand prosistemipidprostorivgilʹbertovogoprostoruŝopovâzanizunicikličnimgrafom AT striletsov prosistemipidprostorivgilʹbertovogoprostoruŝopovâzanizunicikličnimgrafom AT popovand prosistemipidprostorivgilʹbertovogoprostoruŝopovâzanizunicikličnimgrafom AT strilecʹov prosistemipidprostorivgilʹbertovogoprostoruŝopovâzanizunicikličnimgrafom |