On oscillation of solutions of linear dynamical equations on the time scales
The question of the oscillation of solutions of linear differential equations of the second order on the time scales is investigated. The theorems of the oscillation and comparison are prooved, which makes it possible to use the classic theorems of the differential equastions oscillation theory and...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/122 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552638859444224 |
|---|---|
| author | Balyunov, O. O. Балюнов, О. О. |
| author_facet | Balyunov, O. O. Балюнов, О. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. О. Балюнов",
"institution": "Чернігівський національний технологічний університет"
}
] |
| author_sort | Balyunov, O. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-27T23:52:34Z |
| description | The question of the oscillation of solutions of linear differential equations of the second order on the time scales is investigated. The theorems of the oscillation and comparison are prooved, which makes it possible to use the classic theorems of the differential equastions oscillation theory and apply them on the time scales. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 65–73
УДК 517.956
О. О. Балюнов
(Чернiгiвський нацiональний технологiчний унiверситет,
Чернiгiв)
Про коливнiсть розв’язкiв лiнiйних
динамiчних рiвнянь на часових
шкалах
abalyunov@gmail.com
The question of the oscillation of solutions of linear differential equati-
ons of the second order on the time scales is investigated. The
theorems of the oscillation and comparison are prooved, which makes
it possible to use the classic theorems of the differential equastions
oscillation theory and apply them on the time scales.
Дослiджується питання коливностi розв’язкiв диференцiальних
рiвнянь другого порядку на часових шкалах. Доведенi теореми
про неколивнiсть i порiвняння, що дає можливiсть користуватись
класичними теоремами з теорiї коливностi розв’язкiв диференцi-
альних рiвнянь i застосовувати їх для часових шкал.
1. Вступ
Побудова математичних моделей, що описують поведiнку об’є-
ктiв як неперервних явищ, так i в дискретнi моменти часу, ба-
зується на диференцiальних (динамiчних) рiвняннях на часових
шкалах.
c© О. О. Балюнов, 2015
66 О. О. Балюнов
Основи теорiї рiвнянь на часових шкалах викладенi в робо-
тi Стефана Хiльгера [1], який ввiв поняття похiдної на часових
шкалах.
Розвитку теорiї коливностi на часових шкалах присвячено ба-
гато робiт. Так, в роботi [2] вивчається коливнiсть розв’язкiв лi-
нiйних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами на часових шкалах. Пи-
тання осциляцiї розв’язкiв лiнiйних рiвнянь зi змiнними коефiцi-
єнтами, а також деяких класiв нелiнiйних рiвнянь розглянутi у
монографiї [3]. Робота [4] присвячена широкому колу питань, по-
в’язаних iз осциляцiєю розв’язкiв дискретних систем. В роботi [5]
вивчалась коливнiсть розв’язкiв нелiнiйних динамiчних рiвнянь
першого порядку.
Однак, вiдзначимо, що в цитованих працях розглянуто пи-
тання коливностi розв’язкiв на нескiнченних iнтервалах (аналог
пiвосi). Виявилось, що там добре працюють методи, використанi
при отриманнi аналогiчних результатiв для звичайних диферен-
цiальних рiвнянь.
Зовсiм iнша ситуацiя має мiсце при вивченнi коливностi на
скiнченних промiжках. Тут класичнi методи для звичайних ди-
ференцiальних рiвнянь не працюють. Причина полягає у вiдмiн-
ностi поняття нуля розв’язку. Отриманню аналогiв класичної те-
орiї коливностi Штурма i присвячена дана робота.
В данiй роботi вивчається питання коливностi розв’язкiв лi-
нiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку на часових
шкалах. Доведенi теореми про неколивнiсть i порiвняння для
лiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку на часових
шкалах, що дає можливiсть користуватися класичними теоре-
мами з теорiї коливностi розв’язкiв диференцiальних рiвнянь i
застосовувати їх для часових шкал.
2. Часовi шкали
Приведемо деякi поняття та означення, пов’язанi з часовими
шкалами. Нехай T -часова шкала, тобто довiльна непорожня за-
Про коливнiсть розв’язкiв лiнiйних динамiчних рiвнянь... 67
мкнена пiдмножина в R1. Для кожної пiдмножини A iз R1 ми
позначатимемо AT = A
⋂
T.
Для характеристики часових шкал вводяться два оператори
оберненого i прямого стрибкiв - ρ, σ : T → T вiдпоiдно. Прямий
оператор стрибка визначається як σ(t) := inf{s ∈ T : s > t},
а обернений ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} для всiх t ∈ T, де
ρ(minT) = minT, коли T обмежена знизу i σ(maxT) = maxT,
коли T обмежена зверху. Якщо σ(t) > t, то кажемо, що точка
t ∈ T iзольована справа, якщо ж ρ(t) < t, то iзольована злiва.
Точки, якi є одночасно iзольованими справа i злiва, називаються
iзольованими. Також, якщо t < maxT i σ(t) = t, то точка t ∈ T
називається граничною справа, якщо ж t > minT i ρ(t) = t, то
називається граничною злiва. Функцiя дрiбнення µ : T → R1
t
визначнється як µ(t) = σ(t)− t для t ∈ T.
Введемо тепер найважливiше поняття ∆ -похiдної на часовiй
шкалi. Позначимо через Tk = T\{maxT}, якщо T має iзольовану
точку злiва i Tk = T - в протилежному випадку.
Означення 1 ([2]) Функцiя g : T → R1 ∆ - диференцiйована
у точцi t ∈ Tk, якщо iснує скiнченна границя
g∆(t) = lim
s→t,s∈T
gσ(t)− g(s)
σ(t)− s
,
де gσ = g(σ(t)) = g ◦ σ.
Зазначимо, що якщо t ∈ Tk є правою граничною точкою, то
g є ∆-диференцiйованою в t тодi i тiльки тодi, коли границя
g(t)−g(s)
t−s , s → t, s ∈ T iснує; в цьому випадку g∆(t) рiвна данiй
границi. Якщо ж t ∈ Tk є правою iзольованою точкою, то g є ∆-
диференцiйованою i g∆(t) = g(t)−g(s)
µ(t) [3].
Якщо функцiї φ, ψ : T → R1 є ∆ - диференцiйованими в t ∈
Tk, то їх добуток також є ∆ - диференцiйованим i справедлива
формула:
(φψ̇)∆(t) = φ(t)ψ∆(t) + φ∆(t)ψ(σ(t)) = φ∆(t)ψ(t) + φ(σ(t))ψ∆(t),
[2, теорема 1.20].
68 О. О. Балюнов
На часових шкалах, аналогiчно випадку T → R1, будується
iнтеграл Рiмана [3], який називається ∆ - iнтегралом Рiмана.
Вiн має всi тi властивостi, що i звичайний iнтеграл.
3. Постановка задачi
Будемо дослiджувати коливнiсть розв’язкiв динамiчного рiвня-
ння другого порядку при t ∈ [a, b]T:
x∆∆(t) + q(t)xσ(t) = 0, (1)
де q ∈ Crd([a, b]T, R), тобто функцiя q : [a, b]T → R- неперерв-
на справа в граничних точках часової шкали T, x∆(t) - дельта-
похiдна функцiї x в точцi t ∈ Tk.
Означення 2. Розв’язок x(t) рiвняння (1) має узагальнений
нуль в t ∈ [a, b]T, якщо x(t) = 0, або якщо t є iзольованою злiва
i x(t)x(ρ(t)) < 0.
Означення 3. Розв’язок x(t) рiвняння (1) називається ко-
ливним на iнтервалi [a, b]T, якщо вiн має не менше двох уза-
гальнених нулiв на [a, b]T. Розв’язок, який має не бiльш як один
узагальнений нуль на [a, b]T, називається неколивним.
В подальшому буде використано лему.
Лема (класична тотожнiсть Пiкона) [6]. Розглянемо два лi-
нiйнi диференцiальнi рiвняння
(p1(t)x′(t))′ + q1(t)x(t) = 0; (p2(t)y′(t))′ + q2(t)y(t) = 0
Нехай u(t) - розв’язок першого рiвняння, а v(t) - розв’язок дру-
гого рiвняння. Тодi для всiх v(t) 6= 0 має мiсце наступна рiвнiсть:(u
v
(p1u
′v − p2uv
′)
)′
= (q2 − q1)u2 + (p1 − p2)u′2 + p2
(
u′ − v′u
v
)2
.
4. Основнi результати
Теорема 1. (про неколивнiсть). Якщо q(t) ≤ 0 на [a, b]T, то всi
нетривiальнi розв’язки рiвняння (1) неколивнi на [a, b]T.
Про коливнiсть розв’язкiв лiнiйних динамiчних рiвнянь... 69
Доведення. Скористаємося методом доведення вiд супротив-
ного. Припустимо, що деякий розв’язок x(t) рiвряння (1) має
принаймi два узагальненi нулi на [a, b]T. Нехай є два узагальненi
нулi σ(c), σ(d) такi, що a ≤ c ≤ σ(c) < d ≤ σ(d) ≤ b i на про-
мiжку (σ(c), σ(d)) немає iнших узагальнених нулiв. Розглянемо
можливi типи нулiв в точках σ(c) i σ(d).
Випадок перший. Нехай x(σ(c)) = 0. Оскiльки x(t) є непе-
рервною на T, то вона зберiгає знак на (σ(c), σ(d)). Можна вва-
жати, що x(t) > 0 на (σ(c), σ(d)) (в противному випадку подаль-
шi мiркування стосувалися б розв’язку −x(t)). Iз цього припу-
щення випливає, що x∆(σ(c)) > 0. Справдi, x∆(σ(c)) 6= 0, бо
x∆(t) — нетривiальний розв’язок, а випадок x∆(σ(c)) < 0 немо-
жливий з урахуванням додатностi x(t) на (σ(c), σ(d)). Оскiль-
ки за умовою теореми q(t) ≤ 0, то з рiвняння (1) випливає,
що x∆∆(t) ≥ 0, ∀t ∈ [c, ρ(d)]. Отже, x∆(t) зростаюча справа на
[c, ρ(d)], i тодi x∆(t) ≥ x∆(σ(c)) > 0. Отримали суперечнiсть.
Нехай точки d i σ(d) iзольованi злiва, тобто ρ(d) 6= d 6= σ(d),
x(d)xσ(d) ≤ 0, x(d) > 0, xσ(d) < 0. Тодi x∆(d) = xσ(d)−x(d)
µ(d) < 0,
i x∆∆(ρ(d)) = x∆(d)−x∆(ρ(d))
µ(ρ(d)) < 0. Але x∆∆(ρ(d)) < 0. Дiйшли до
суперечностi.
Нехай σ(d) гранична злiва, а d iзольована злiва, тобто d =
σ(d), d 6= ρ(d), x(d) = 0. Тодi x∆(ρ(d)) = x(d)−x(ρ(d))
µ(ρ(d)) < 0, але
x∆(t) > 0 на [c, ρ(d)]. Дiйшли до суперечностi.
Нехай точки d i σ(d) граничнi злiва, тобто ρ(d) = d = σ(d),
x(d) = 0. Тодi з неперервностi функцiї x(t) i з того, що x(t) є
зростаючою справа, випливає, що x(d) > 0, що суперечить при-
пущенню про те, що d є нулем розв’язку x(t).
Випадок другий. Нехай x(σ(c)) 6= 0, тодi x(c)x(σ(c)) < 0. При-
пустимо, що x(σ(c)) > x(c). Оскiльки x(t) є неперервною на T, то
вона зберiгає знак на (σ(c), σ(d)). Можна вважати, що x(t) > 0
на [σ(c), σ(d)] (в противному разi подальшi мiркування стосу-
валися б розв’язку −x(t)). Iз цього припущення випливає, що
x∆(c) > 0. Справдi, x∆(c) = xσ(c)−x(c)
µ(c) > 0. Оскiльки за умовою
70 О. О. Балюнов
теореми q(t) ≤ 0, то з рiвняння (1) випливає, що x∆∆(t) ≥ 0,
∀t ∈ [c, ρ(d)]. Отже, x∆(t) зростаюча справа на [c, ρ(d)], i тодi
x∆(t) ≥ x∆(c) > 0.
Подальшi мiркування аналогiчнi попередньому випадку i при-
водять до суперечностi з припущенням про те, що σ(d) є уза-
гальненим нулем розв’язку x(t) рiвняння (1). Отже, при умовi
q(t) ≤ 0 всi розв’язки рiвняння (1) неколивнi на [a, b]. Теорему
доведено.
Розглянемо тепер два рiвняння
x∆∆(t) + q(t)xσ(t) = 0, (2)
y∆∆(t) +Q(t)yσ(t) = 0, (3)
де q(t), Q(t) ∈ Crd(T,R). Визначимо функцiю G : T→ R як
G(t) =
(
x(t)(x∆(t)y(t)− x(t)y∆(t))
y(t)
)∆
.
Тодi
G(t) =
(
x(t)
y(t)
)∆
(x∆(t)y(t)− x(t)y∆(t))+
xσ(t)
yσ(t)
(x∆(t)y(t)− x(t)y∆(t))∆ =
=
(x∆(t)y(t)− x(t)y∆(t))2
y(t)yσ(t)
+ (xσ(t))2(Q(t)− q(t)).
Теорема 2. (порiвняння). Якщо на [a, b]T виконується умова
Q(t) ≥ q(t), (4)
то кожен вiдрiзок, кiнцями якого є нулi нетривiального розв’яз-
ку рiвняння (2) мiстить принаймi один нуль будь-якого розв’яз-
ку рiвняння (3).
Про коливнiсть розв’язкiв лiнiйних динамiчних рiвнянь... 71
Доведення. Нехай розв’язок рiвняння (2) x(t) має два уза-
гальненi нулi на iнтервалi [a, b]T i нехай y(t) - розв’язок рiв-
няння (3). Припустимо, що y(t) не має узагальнених нулiв на
[a, b]T. Нехай x(t) має узагальненi нулi в точках σ(c) i σ(d), тоб-
то a ≤ σ(c) < d ≤ σ(d) ≤ b i x(t) > 0 для t ∈ (c, d].
Для зручностi введемо функцiю u : T→ R таку, що
u(t) =
0, a ≤ t ≤ c,
x(t), c < t ≤ d,
0, d < t ≤ b.
Iнтегруванням функцiї G(t) з замiною функцiї x(t) на u(t)
отримаємо
I =
∫ b
a
(
u
y
(u∆y − uy∆)
)∆
(t) ∆t.
Помiтимо, що∫ b
a
=
∫ c
a
+
∫ σ(c)
c
+
∫ d
σ(c)
+
∫ σ(d)
d
+
∫ b
σ(d)
.
Тодi
I = µ(c)G(c) +
∫ d
σ(c)
G(t)∆t+ µ(d)G(d).
Розглянемо можливi типи точок c i d.
1) Точки c i d є граничними справа; тодi
I =
u(d)
y(d)
(u∆(d)y(d)− u(d)y∆(d))−
−u(c)
y(c)
(u∆(c)y(c)− u(c)y∆(c)) = 0
Отримали суперечнiсть з тим, що за умовою (4) iнтеграл має
бути додатнiм.
72 О. О. Балюнов
2) Точка c є граничною справа i точка d є iзольованою справа,
тодi x(d) > 0, xσ(d) < 0 i
I =
u(d)
y(d)
(u∆(d)y(d)− u(d)y∆(d))+
+µ(d)
{(
u
y
)∆
(d)[u∆y − uy∆](d) +
u(σ(d))
y(σ(d))
[u∆y − uy∆]∆(d)
}
=
= u(d)
{u∆(d)y(d)− u(d)y∆(d)
y(d)
−
−x(d)
y(d)
(u∆(d)y(d)− u(d)y∆(d))
}
= 0
Знову прийшли до суперечностi.
3)Точка c є iзольованою справа i точка d є граничною справа,
тодi x(c) < 0, xσ(c) > 0 i
I = −u(σ(c))
y(σ(c))
[u∆(σ(c))y(σ(c))− u(σ(c))y∆(σ(c))]+
+µ(c)
{(
u
y
)∆
(c)[u∆y − uy∆]σ(c) +
u(c)
y(c)
[u∆y − uy∆]∆(c)
}
=
= −u(σ(c))
y(σ(c))
[u∆(σ(c))y(σ(c))− u(σ(c))y∆(σ(c))]+
+µ(c)
x(σ(c))
µ(c)y(σ(c))
[u∆y − uy∆]σ(c) =
= −x
σ(c)
yσ(c)
(u∆y − uy∆)σ(c) +
xσ(c)
yσ(c)
(u∆y − uy∆)σ(c) = 0,
що суперечить додатностi iнтеграла.
4)Точки c i d обидвi iзольованi справа. Тодi xσ(c) > 0, xσ(d) <
0 i
I =
(
u
y
(u∆y − uy∆)
)
(d)−
(
u
y
(u∆y − uy∆)
)
(σ(c))+
Про коливнiсть розв’язкiв лiнiйних динамiчних рiвнянь... 73
+µ(c)
[(
u
y
)∆
(c)[u∆y − uy∆]σ(c) +
u
y
(c)[u∆y − uy∆]∆(c)
]
+
+µ(d)
[(
u
y
)∆
(d)[u∆y − uy∆](d) +
(
u
y
)σ
(d)[u∆y − uy∆]∆(d)
]
=
=
(
u
y
)
(d)(u∆y − uy∆)(d)−
(
u
y
)σ
(c)(u∆y − uy∆)(c)+
+µ(c)
xσ(c)
µ(c)yσ(c)
(u∆y − uy∆)σ(c) + µ(d)
−x(d)
µ(d)y(d)
(u∆y − uy∆)(d) =
=
x(d)
y(d)
(u∆y − uy∆)(d)− xσ(c)
yσ(c)
(u∆y − uy∆)σ(c)+
+
xσ(c)
yσ(c)
(u∆y − uy∆)σ(c)− x(d)
y(d)
(u∆y − uy∆)(d) = 0.
Отримали суперечнiсть. Теорему доведено.
Лiтература
[1] Hihler S. Ein Mabkettenkalkul mit Anwendung auf Zentrumsmanni-
gfaltigkeiten: PhD thesis, Universitat Wurzburg, 1988.
[2] Agarwal R. P., Bohner M., O’Regan D., Peterson A. Dynamic
Equation on Time Scales: A survey // Journal of Computational and
Applied Mathematics. – 2002. – 141. – P. 1–26.
[3] Agarwal R.P., Bohner M., Li W.-T. Nonoscillation and Oscillation
Theory for Functional Differential Equations. – New York: Marcel
Dekker, 2004. – 376 p.
[4] Agarwal R.P., Bohner M., Grace S.R., O’Regan D. Discrete Oscillati-
on Theory. – Hin-dawi Publishing Corporation, 2005. – 1000 p.
[5] Agarwal R.P., Bohner M., Grace S.R. Oscillition criteria for first-
order forced nonlinear dynamic equations // Canada Applied
Mathematics Quaterly. – 2007. – 15. – P. 223–233.
[6] Picone M. Sui valori eccezional di un parametro da cui dipende
un’equazione differenziale lineare ordinaria del second’ordine. –
Ann.Scuola Norm. Pisa. – 1909. – 11. – P. 1–141.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-122 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:37Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/7f/9575fde8264d74710a0718801f494e7f.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1222018-01-27T23:52:34Z On oscillation of solutions of linear dynamical equations on the time scales Про коливність розв'язків лінійних динамічних рівнянь на часових шкалах Balyunov, O. O. Балюнов, О. О. The question of the oscillation of solutions of linear differential equations of the second order on the time scales is investigated. The theorems of the oscillation and comparison are prooved, which makes it possible to use the classic theorems of the differential equastions oscillation theory and apply them on the time scales. Досліджується питання коливності розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку на часових шкалах. Доведені теореми про неколивність і порівняння, що дає можливість користуватись класичними теоремами з теорії коливності розв'язків диференціальних рівнянь і застосовувати їх для часових шкал. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/122 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 65-73 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 65-73 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 65-73 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/122/167 Авторське право (c) 2015 О. О. Балюнов |
| spellingShingle | Balyunov, O. O. Балюнов, О. О. On oscillation of solutions of linear dynamical equations on the time scales |
| title | On oscillation of solutions of linear dynamical equations on the time scales |
| title_alt | Про коливність розв'язків лінійних динамічних рівнянь на часових шкалах |
| title_full | On oscillation of solutions of linear dynamical equations on the time scales |
| title_fullStr | On oscillation of solutions of linear dynamical equations on the time scales |
| title_full_unstemmed | On oscillation of solutions of linear dynamical equations on the time scales |
| title_short | On oscillation of solutions of linear dynamical equations on the time scales |
| title_sort | on oscillation of solutions of linear dynamical equations on the time scales |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/122 |
| work_keys_str_mv | AT balyunovoo onoscillationofsolutionsoflineardynamicalequationsonthetimescales AT balûnovoo onoscillationofsolutionsoflineardynamicalequationsonthetimescales AT balyunovoo prokolivnístʹrozv039âzkívlíníjnihdinamíčnihrívnânʹnačasovihškalah AT balûnovoo prokolivnístʹrozv039âzkívlíníjnihdinamíčnihrívnânʹnačasovihškalah |