Solvability conditions for three-point problem for a partial differential equation in two-dimensional cylinder
The paper deals with the investigation of a three-point problem for a partial differential equation in a two-dimensional domain. We estab\-lish sufficient conditions for the existence of a solution to this problem and sufficient and necessary conditions for the uniqueness of the solution in the corr...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/123 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552642750709760 |
|---|---|
| author | Volyansʹka, I. I. Il'kiv, V. S. Волянська, І. І. Ільків, В. С. |
| author_facet | Volyansʹka, I. I. Il'kiv, V. S. Волянська, І. І. Ільків, В. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. І. Волянська",
"institution": "Національний університет «Львівська політехніка»"
},
{
"author": "В. С. Ільків",
"institution": "Національний університет «Львівська політехніка»"
}
] |
| author_sort | Volyansʹka, I. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-27T23:55:22Z |
| description | The paper deals with the investigation of a three-point problem for a partial differential equation in a two-dimensional domain. We estab\-lish sufficient conditions for the existence of a solution to this problem and sufficient and necessary conditions for the uniqueness of the solution in the corresponding weighted Sobolev spaces (Abel spaces). A similar problem for an equation in several spatial variables is ill-posed in the sense of Hadamard; its solvability is connected with the problem of small denominators, which arises in the construction of the solution. In the case of a single spatial variable we estimate the corresponding denominators by constants and show that the problem is well-posed in the sense of Hadamard in the Abel spaces. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 2, 74–100
УДК 517.946
I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
(Нацiональний унiверситет
”
Львiвська полiтехнiка“, Львiв)
Умови розв’язностi триточкової
задачi для диференцiального
рiвняння з частинними похiдними у
двовимiрному цилiндрi
i.volyanska@i.ua, ilkivv@i.ua
The paper deals with the investigation of a three-point problem for a
partial differential equation in a two-dimensional domain. We estab-
lish sufficient conditions for the existence of a solution to this problem
and sufficient and necessary conditions for the uniqueness of the
solution in the corresponding weighted Sobolev spaces (Abel spaces).
A similar problem for an equation in several spatial variables is ill-
posed in the sense of Hadamard; its solvability is connected with the
problem of small denominators, which arises in the construction of
the solution. In the case of a single spatial variable we estimate the
corresponding denominators by constants and show that the problem
is well-posed in the sense of Hadamard in the Abel spaces.
У роботi дослiджено триточкову задачу для диференцiального
рiвняння з частинними похiдними у двовимiрнiй областi. Вста-
новлено достатнi умови iснування та необхiднi i достатнi умови
єдиностi її розв’язку у вiдповiдних вагових просторах Соболєва
(просторах Абеля). Подiбна задача для рiвняння з багатьма про-
сторовими змiнними є некоректною за Адамаром, її розв’язнiсть
пов’язана з проблемою малих знаменникiв, якi виникають при
побудовi розв’язку. У випадку однiєї просторової змiнної вiдпо-
вiднi знаменники вдалося оцiнити сталими i показати, що задача
коректна за Адамаром у просторах Абеля.
c© I. I. Волянська, В. С. Iлькiв, 2015
Умови розв’язностi триточкової задачi... 75
1. Вступ
Iнтерес до вивчення задач з багатоточковими умовами за видi-
леною змiнною для диференцiальних рiвнянь зумовлений як по-
требою побудови загальної теорiї крайових задач, так i тим, що
багатоточковi задачi виникають при математичному моделюван-
нi фiзичних процесiв.
Для звичайних диференцiальних рiвнянь задачi вивчаються у
рiзних аспектах вже понад столiття; отримано досить повнi ре-
зультати, якi стосуються, зокрема, умов iснування та єдиностi
розв’язкiв, побудови функцiї Грiна, її регуляризацiйних власти-
востей та умов знакосталостi, методiв наближеного розв’язуван-
ня, тощо [1, 2, 3].
Для рiвнянь з частинними похiдними вперше багатоточкова
задача була поставлена в 1963 роцi В. Я. Скоробогатьком [4]. Ви-
явилось, що задачi з багатоточковими умовами за часовою змiн-
ною для диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними не є
коректними, а їх розв’язнiсть залежить вiд малих знаменникiв.
Для забезпечення єдиностi розв’язку таких задач на шуканий
розв’язок накладають певнi додатковi умови за часовою коорди-
натою, умови перiодичностi чи майже перiодичностi за просторо-
вими змiнними, певнi умови зростання розв’язку на безмежностi
[5, 6, 7].
У статтi дослiжено задачу з триточковими умовами за часо-
вою змiнною t для безтипного диференцiального рiвняння тре-
тього порядку зi сталими коефiцiєнтами у двовимiрному цилiн-
дрi. Встановлено критерiї однозначної розв’язностi цiєї задачi у
шкалi вагових просторiв Соболєва (просторiв Абеля) [8]. Пока-
зано коректнiсть за Адамаром даної задачi, оскiльки у випадку
однiєї просторової змiнної вiдповiднi вирази знизу обмеженi ста-
лими.
76 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
2. Постановка задачi
ПозначимоD = [0;T ]×Ω, де T > 0, Ω — одновимiрний тор R/2πZ.
Нехай W—лiнiйний простiр скiнченних сум (основних фун-
кцiй), що є тригонометричними многочленами на Ω вигляду
P (x) =
∑
k Pke
ikx, де Pk—комплекснi коефiцiєнти.
Простiр W ′ спряжений з простором W ; це простiр узагальне-
них функцiй, якi є формальними рядами Q(x)=
∑
k∈ZQke
ikx, що
дiють на основну функцiю P ∈W за таким правилом: 〈Q,P 〉 =
=
∑
kQkP̄k, де P̄k—число, комплексно спряжене з числом Pk.
Для дiйсного числа α i функцiї β : [0;T ] → R введемо шка-
ли просторiв {Eqα(Ω)}q∈R i {E3,q
β (D)}q∈R, де Eqα(Ω) — гiльбертiв
простiр (простiр Абеля) перiодичних функцiй
ψ = ψ(x) =
∑
k∈Z
ψke
ikx
з нормою
‖ψ‖2Eqα(Ω) =
∑
k∈Z
k̃2qe2k̃α|ψk|2, k̃ =
√
1 + k2,
а E3,q
β (D) — банахiв простiр функцiй u = u(t, x) таких, що похiднi
∂lu(t, ·)/∂tl, якi визначенi для l = 0, 1, 2, 3 формулою
∂lu(t, x)/∂tl =
∑
k∈Z
u
(l)
k (t)eikx,
для кожного t ∈ [0, T ] належать до просторiв Eq−lβ(t)(Ω) вiдповiд-
но, i неперервнi за змiнною t у цих просторах. Квадрат норми
функцiї u у просторi E3,q
β (D) обчислюється за формулою
‖u‖2
E3,q
β (D)
=
3∑
l=0
max
[0,T ]
∥∥∥∂lu(t, ·)
∂tl
∥∥∥2
Eq−l
β(t)
(Ω)
.
Умови розв’язностi триточкової задачi... 77
В областi D розглянуто задачу з триточковими умовами
Lu =
∂3u
∂t3
+ a21
∂3u
∂t2∂x
+ a12
∂3u
∂t∂x2
+ a03
∂3u
∂x3
+ (1)
+a20
∂2u
∂t2
+ a11
∂2u
∂t∂x
+ a02
∂2u
∂x2
+
+a10
∂u
∂t
+ a01
∂u
∂x
+ a00u = 0,
u(0, x) = ϕ1(x), u(T/2, x) = ϕ2(x), u(T, x) = ϕ3(x), (2)
де aij ∈ C, i, j = 0, 1, 2, 3, a30 = 1, ϕ1 = ϕ1(x), ϕ2 = ϕ2(x),
ϕ3 = ϕ3(x) — заданi функцiї, u = u(t, x) —шукана функцiя.
Вигляд областi D та Ω накладає умови 2π–перiодичностi за
змiнною x на функцiю u та функцiї ϕ1, ϕ2, ϕ3, тому природно
використовувати простори Eqα(Ω) i E3,q
β (D), оскiльки включення
Lu ∈ E0,q−3
β (D) та
u(0, ·) ∈ Eqβ(0)(Ω), u(T, ·) ∈ Eqβ(T )(Ω),
u(T/2, ·) ∈ Eqβ(T/2)(Ω)
справджуються для довiльного елемента u ∈ E3,q
β (D).
Означення 1. Пiд розв’язком задачi (1), (2) будемо розумiти
функцiю u ∈ C3([0, T ];W ′), яка на вiдрiзку [0, T ] задовольняє рiв-
няння (1) i умови (2) у просторi W ′ та належить до простору
E3,q
β (D).
Розв’язок залежить вiд компонент вектора ~a, якi будемо вва-
жати параметрами задачi, що змiнюються в обмеженiй фiксова-
нiй областi.
Для iснування розв’язку задачi в просторi E3,q
β (D) необхiдно,
щоб правi частини ϕ1, ϕ2, ϕ3 умов (2) мали таку гладкiсть у шка-
лi просторiв на множинi Ω:
ϕ1 ∈ Eqβ(0)(Ω), ϕ2 ∈ Eqβ(T/2)(Ω), ϕ3 ∈ Eqβ(T )(Ω).
78 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
3. Побудова формального розв’язку. Теоре-
ма єдиностi
Розв’язок задачi (1), (2) шукаємо у виглядi такого ряду з про-
стору C3([0, T ];W ′):
u(t, x) =
∑
k∈Z
uk(t)e
ikx, (3)
де коефiцiєнти uk(t) —невiдомi функцiї, якi визначаємо вiд-
окремлюючи змiннi.
З означення розв’язку задачi (1), (2) отримаємо, що функцiя
uk = uk(t) є розв’язком вiдповiдної триточкової задачi для зви-
чайного диференцiального рiвняння
d3uk
dt3
+ b1(k)
d2uk
dt2
+ b2(k)
duk
dt
+ b3(k)uk = 0, k ∈ Z, (4)
uk(0) = ϕ1k, uk(T/2) = ϕ2k, uk(T ) = ϕ3k, (5)
де комплекснi числа ϕ1k, ϕ2k, ϕ3k є коефiцiєнтами Фур’є функцiй
ϕ1, ϕ2, ϕ3, многочлени
b1(k) = ika21 + a20, b2(k) = −k2a12 + ika11 + a10,
b3(k) = −ik3a03 − k2a02 + ika01 + a00
мають комплекснi коефiцiєнти.
Єдинiсть розв’язку uk задачi (4), (5) у просторi C3[0, T ] для
всiх k ∈ Z є необхiдною i достатньою умовою єдиностi розв’язку
задачi (1), (2) у просторi E3,q
β (D) для довiльних дiйсних величин
q, β. Саме тому, якщо хоча б для одного k iснує нетривiальний
розв’язок ûk = ûk(t) однорiдної задачi (4), (5), то однорiдна за-
дача (1), (2) також має нетривiальний розв’язок u = û(t, x), який
визначається формулою û(t, x) = ûk(t)e
ikx. Отже, розв’язок за-
дачi (1), (2) — не єдиний.
Для побудови i оцiнювання розв’язку задачi (4), (5) у рiвняннi
(4) пронормуємо коефiцiєнти bm(k), m = 1, 2, 3, зокрема подамо
Умови розв’язностi триточкової задачi... 79
у виглядi добутку bm(k) = k̃mb̃m(k). Звiдси випливає, що b̃m(k)
для k 6= 0 є функцiями такого вигляду:
b̃1(k)=
ik
k̃
(
a21−
ia20
k
)
, b̃2(k)=−
(k
k̃
)2(
a12−
ia11
k
−a10
k2
)
,
b̃3(k)=−i
(k
k̃
)3(
a03−
ia02
k
−a01
k2
+
ia00
k3
)
.
Функцiї b̃m(k), як i коефiцiєнти bm(k), лiнiйно залежать вiд
коефiцiєнтiв вектора ~a. Очевидно, для m = 1, 2, 3 справджується
нерiвнiсть
∣∣b̃m(k)
∣∣ ≤ m∑
r=0
∣∣a3−m,r
∣∣ |k|r
k̃m
≤ max
r=0,1,...,m
∣∣a3−m,r
∣∣ m∑
r=0
|k|r
k̃m
.
Якщо коефiцiєнти a3−m,r ∈ C рiвняння (1) розглядати у крузi
деякого радiуса A з центром у початку координат комплексної
площини, то отримаємо оцiнки
∣∣b̃m(0)
∣∣=∣∣a3−m,0
∣∣≤A, ∣∣b̃m(±1)
∣∣≤(m+1)2−m/2A≤3
2
A,
∣∣b̃m(k)
∣∣ ≤ A
k̃m
|k|m+1
|k| − 1
<
A|k|
|k| − 1
, k 6∈ {−1, 0, 1},
тобто
∣∣b̃m(k)
∣∣ < 2A для всiх k ∈ Z. Звiси випливає, що для всiх
коренiв λ1(k), λ2(k), λ3(k) многочлена
Pk(λ)=
3∏
m=1
(
λ−λm(k)
)
=λ3+b̃1(k)λ2+b̃2(k)λ+b̃3(k)
виконуються нерiвностi [9, с. 10]:
|λm(k)|≤1+ max {|b̃1(k)|, |b̃2(k)|, |b̃3(k)|}≤1+2A=A1. (6)
80 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
Вважаємо надалi, що коренi λ1(k), λ2(k), λ3(k) многочлена
Pk(λ) впорядковано так, що
Reλ1(k) ≥ Reλ2(k) ≥ Reλ3(k).
Очевидно, що числа γm = k̃λm(k) є коренями вiдповiдного
характеристичного рiвняння
γ3 + b1(k)γ2 + b2(k)γ + b3(k) = 0
для диференцiального рiвняння (4).
Позначимо через K скiнченну (це буде показано далi) мно-
жину тих цiлих чисел k, для яких многочлен Pk(λ) має кратний
корiнь. Для k∈Z\K загальний розв’язок рiвняння (4) має вигляд
uk(t)=Ck1e
k̃λ1(k)t+Ck2e
k̃λ2(k)t+Ck3e
k̃λ3(k)t, (7)
де Ck1, Ck2, Ck3 —довiльнi комплекснi сталi, i належить до про-
стору C3[0, T ].
Якщо функцiя uk з формули (7) — розв’язок задачi (4), (5),
то числа Ck1, Ck2, Ck3 утворюють розв’язок системи лiнiйних
алгебричних рiвнянь
Ck1 + Ck2 + Ck3 = ϕ̃1k
Ck1 + Ck2e1k + Ck3e2k = ϕ̃2k
Ck1 + Ck2e
2
1k + Ck3e
2
2k = ϕ̃3k,
(8)
Λij(k) = λi(k)− λj(k), e1k = ek̃TΛ21(k)/2,
e2k=e
k̃TΛ31(k)/2, e3k=e2k/e1k=e
k̃TΛ32(k)/2, i, j=1, 2, 3,
(9)
ϕ̃1k = ϕ1k, ϕ̃2k = ϕ2ke
−k̃λ1(k)T/2, ϕ̃3k = ϕ3ke
−k̃λ1(k)T . (10)
Зокрема, з вiд’ємностi дiйсних частин чисел Λ21(k), Λ31(k),
Λ32(k) на множинi Z \K (виключаючи, можливо, скiнченну пiд-
множину) випливає нерiвнiсть
|ejk| < 1, j = 1, 2, 3.
Умови розв’язностi триточкової задачi... 81
Навпаки, якщо числа Ck1, Ck2, Ck3, утворюють розв’язок си-
стеми лiнiйних алгебричних рiвнянь (8), то функцiя uk(t), що
визначена формулою (7) є розв’язком задачi (4), (5).
Визначником системи (8) є число
∆(k) = e1k(e1k − 1)(e2k − 1)(e3k − 1).
Множина K складається з елементiв двох диз’юнктних мно-
жин K2 i K3, для яких многочлен Pk(λ) має двократний корiнь
λ2(k)
(
λ1(k) 6= λ2(k)
)
або λ1(k)
(
λ1(k) 6= λ3(k)
)
i трикратний
корiнь λ1(k) вiдповiдно. Якщо k ∈ K2, то загальний розв’язок
рiвняння (4) має вiдповiдно вигляд
uk(t) = Ck1e
k̃λ1(k)t + ek̃λ2(k)t(Ck2 + Ck3t),
uk(t) = (Ck1 + Ck2t)e
k̃λ1(k)t + Ck3e
k̃λ3(k)t,
де Ck1, Ck2, Ck3 —комплекснi сталi, якi утворюють розв’язок вiд-
повiдних систем лiнiйних алгебричних рiвнянь
Ck1 + Ck2 = ϕ̃1k
Ck1 + Ck2e1k + Ck3e1kT/2 = ϕ̃2k
Ck1 + Ck2e
2
1k + TCk3e
2
1k = ϕ̃3k,
Ck1 + Ck3 = ϕ̃1k
Ck1 + Ck2T/2 + Ck3e2k = ϕ̃2k
Ck1 + TCk2 + Ck3e
2
2k = ϕ̃3k,
з визначниками
∆(k) = e1k(e1k − 1)2T/2, ∆(k) = −(e2k − 1)T/2.
Якщо ж k∈K3, то розв’язок задачi (4) шукається за формулою
uk(t) = ek̃λ1(k)t(Ck1 + Ck2t+ Ck3t
2),
82 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
де Ck1, Ck2, Ck3 —комплекснi сталi, що є розв’язком системи лi-
нiйних алгебричних рiвнянь
Ck1 = ϕ̃1k
Ck1 + Ck2T/2 + Ck3T
2/4 = ϕ̃2k
Ck1 + TCk2 + T 2Ck3 = ϕ̃3k,
з визначником ∆(k) = T 3/4.
Для того, щоб для кожного k ∈ Z задача (4), (5) мала єдиний
класичний розв’язок необхiдно i достатньо, щоб виконувалась
умова ejk − 1 6= 0, j = 1, 2, 3. Звiдси випливає, що
ek̃
(
λr(k)−λp(k)
)
T/2 6= 1, 1 ≤ r < p ≤ 3.
Таким чином отримаємо, що
k̃
(
λr(k)− λp(k)
)
T − i4πm 6= 0
для довiльних цiлих m i k.
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (1), (2) у про-
сторi E3,q
β (D) необхiдно i достатньо, щоб для кожної пари(
λr(k), λp(k)
)
, де r < p, коренiв многочлена Pk(λ) рiвняння
k̃
(
λr(k)− λp(k)
)
T − i4πm = 0, (11)
не мало розв’язкiв у цiлих числах m i k.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай однорiдна задача (1), (2) у про-
сторi E3,q
β (D) має не бiльше одного розв’язку. Якщо iснує розв’я-
зок (3) задачi (1), (2), тодi всi функцiї uk(t) знаходяться одно-
значно, тобто однорiдна задача (4), (5) у просторi C3[0, T ] для
всiх k ∈ Z має єдиний розв’язок.
Отже, у системi (8) ∆(k) 6= 0 для k ∈ Z, тобто
ek̃λr(k)T/2 − ek̃λp(k)T/2 6= 0, де r < p;
Умови розв’язностi триточкової задачi... 83
рiвняння (11) не має розв’язкiв у цiлих числах m i k.
Достатнiсть. Доведемо вiд супротивного. Припустимо, що
iснують два рiзнi розв’язки u1(t, x) i u2(t, x) задачi (1), (2) з про-
стору E3,q
β (D). Тодi функцiя ū(t, x) = u1(t, x)− u2(t, x) є розв’яз-
ком однорiдної задачi (1), (2) з простору E3,q
β (D) i зображається
рядом (3) з коефiцiєнтами ūk(t), якi є розв’язками однорiдної
задачi для вiдповiдних звичайних диференцiальних рiвнянь (4).
Якщо рiвняння (11) не мають розв’язкiв у цiлих числах m i k,
то ∆(k) 6= 0 для кожного k ∈ Z i система рiвнянь (8) має лише
тривiальний розв’язок Ck1 = Ck2 = Ck3 = 0. Тодi iз (7) одержи-
мо, що ūk(t) ≡ 0 для всiх k ∈ Z \K. Подiбно встановлюємо, що
ūk(t) ≡ 0 у разi k ∈ K. Таким чином одержимо, що
‖ū(t, x)‖
E3,q
β (D)
= ‖u1(t, x)− u2(t, x)‖
E3,q
β (D)
= 0,
тобто u1(t, x) = u2(t, x), що суперечить нашому припущенню.
Теорему доведено.
За умов теореми 1 для довiльного k ∈ Z розв’язок uk(t)
задачi (4), (5) iснує i для його знаходження потрiбно визначити
числа Ck1, Ck2, Ck3. У разi k ∈ Z \K розв’язуємо систему (8) за
правилом Крамера i одержуємо рiвностi
Ckr =
3∑
j=1
∆jr(k)
∆(k)
ϕ̃jk, k ∈ Z \K,
де ∆(k) — вище наведений визначник Вандермонда системи (8),
а ∆jr(k) —його вiдповiднi алгебричнi доповнення, j = 1, 2, 3, r =
1, 2, 3.
Отже, при k ∈ Z \K розв’язок задачi (4), (5) подається такою
формулою:
uk(t) =
3∑
r=1
ek̃λr(k)t
3∏
p=1,p 6=r
(
ek̃λp(k)T/2 − ek̃λr(k)T/2
)−1×
×
(
ϕ1k
3∏
p=1,p 6=r
ek̃λp(k)T/2 − ϕ2k
3∑
p=1,p 6=r
ek̃λp(k)T/2 + ϕ3k
)
.
(12)
84 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
Згiдно з формулами (3), (12) формальний розв’язок задачi
(1), (2), тобто розв’язок з простору C3([0, T ];W ′), має вигляд
u(t, x)=
∑
k∈K
uk(t)e
ikx+
+
∑
k∈Z\K
3∑
r=1
ek̃λr(k)teikx
3∏
p=1,p 6=r
(
ek̃λp(k)T/2−ek̃λr(k)T/2
)× (13)
×
(
ϕ1k
3∏
p=1,p 6=r
ek̃λp(k)T/2−ϕ2k
3∑
p=1,p 6=r
ek̃λp(k)T/2 + ϕ3k
)
.
4. Оцiнка розв’язку задачi для звичайного
диференцiального рiвняння
Доведемо належнiсть розв’язку задачi (1), (2) до простору
E3,q
β (D). Використовуючи дискримiнант
D(k) =
(
λ2(k)− λ1(k)
)2(
λ3(k)− λ1(k)
)2(
λ3(k)− λ2(k)
)2
многочлена Pk(λ), покажемо скiнченнiсть множини K. Цей дис-
кримiнант дорiвнює визначнику, а саме
D(k) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 b̃1(k) b̃2(k) b̃3(k) 0
0 1 b̃1(k) b̃2(k) b̃3(k)
3 2b̃1(k) b̃2(k) 0 0
0 3 2b̃1(k) b̃2(k) 0
0 0 3 2b̃1(k) b̃2(k)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Для k 6= 0 подамо вираз
(
k̃/k
)6
D(k) у виглядi многочлена за
змiнною 1/k з коефiцiєнтами D0, D1, . . . , D6, зокрема( k̃
k
)6
D(k) = D0 +
D1
k
+
D2
k2
+ . . .+
D6
k6
,
Умови розв’язностi триточкової задачi... 85
де комплекснi величини D0, D1, . . . , D6 є многочленами з цiлочи-
словими коефiцiєнтами вiд коефiцiєнтiв aij , i, j = 0, 1, 2, 3, рiвня-
ння (1), зокремаD0 —дискримiнат многочлена, в якому присутнi
лише коефiцiєнти a21, a12, a03 головної частини рiвняння (1):
D0 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 a21 a12 a03 0
0 1 a21 a12 a03
3 2a21 a12 0 0
0 3 2a21 a12 0
0 0 3 2a21 a12
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Якщо D0 6=0, то при |k|≥D̃0/|D0|, де D̃0=2
(
|D1|+|D2|+ . . .+
+|D6|
)
, справедлива оцiнка знизу дискримiнанта [10]:
|D(k)| ≥ |D0|
2
·
( 1√
2
)6
=
|D0|
16
> 0.
З останнiх формул випливає оцiнка знизу модулiв рiзниць ко-
ренiв многочлена Pk(λ), а також скiнченнiсть множини K, яка є
пiдмножиною iнтервалу
(
−D̃0/|D0|, D̃0/|D0|
)
, тобто має не бiль-
ше 1 + 2D̃0/|D0| елементiв.
Встановимо оцiнки знизу для модулiв дiйсних частин Reλj(k)
коренiв многочлена Pk(λ). Якщо λ̄—комплексно спряжене число
до λ, то з рiвностi
2 Reλj(k)=λj(k) + λ̄j(k)=λj(k)−
(
−λ̄j(k)
)
i того, що −λ̄1(k), −λ̄2(k), −λ̄3(k) є коренями многочлена
Pk1(λ) =
3∏
l=1
(
λ+ λ̄l(k)
)
= λ3 +
3∑
l=1
(−1)−l
¯̃
bl(k)λ3−l,
отримаємо, що числа 2 Reλj(k) є множниками результанта
R(k)=
3∏
j=1
3∏
l=1
(
λj(k)−
(
−λ̄l(k)
))
=
3∏
j=1
3∏
l=1
(
λj(k)+λ̄l(k)
)
86 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
многочленiв Pk та Pk1. Цей результант визначає також рiвнiсть
R(k) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 b̃1(k) b̃2(k) b̃3(k) 0 0
0 1 b̃1(k) b̃2(k) b̃3(k) 0
0 0 1 b̃1(k) b̃2(k) b̃3(k)
1 −¯̃
b1(k)
¯̃
b2(k) −¯̃
b3(k) 0 0
0 1 −¯̃
b1(k)
¯̃
b2(k) −¯̃
b3(k) 0
0 0 1 −¯̃
b1(k)
¯̃
b2(k) −¯̃
b3(k)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Для довiльного j = 1, 2, 3 маємо таку оцiнку зверху даного ре-
зультанта:
|R(k)| ≤ 29(1 + 2A)8|Reλj(k)|, k ∈ Z.
Для оцiнки знизу подамо результант у виглядi
R(k) =
(k
k̃
)9(
R0 +
R1
k
+
R2
k2
+ . . .+
R9
k9
)
, k 6= 0, (14)
де R0 дорiвнює такому визначнику:
R0 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 a21 a12 a03 0 0
0 1 a21 a12 a03 0
0 0 1 a21 a12 a03
1 −ā21 ā12 −ā03 0 0
0 1 −ā21 ā12 −ā03 0
0 0 1 −ā21 ā12 −ā03
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Якщо R0 6=0, то при |k|≥R̂0/|R0|, де R̂0=2(|R1|+|R2|+ . . .+|R9|),
справджується [10] нерiвнiсть
|R(k)| ≥
(
|k|/k̃
)9|R0|/2 ≥ (
√
2)−11|R0|,
з якої випливає оцiнка
|Reλj(k)| ≥ C, C = (
√
2)−29A−8
1 |R0|. (15)
Умови розв’язностi триточкової задачi... 87
Перепишемо формулу (12) у такому виглядi
uk(t) =
3∑
j=1
(
ek̃λ1(k)tΨ̃3j−2(k)+
+ek̃λ2(k)tΨ̃3j−1(k) + ek̃λ3(k)tΨ̃3j(k)
)
ϕ̃jk,
Ψ̃1(k) = e1ke2kΨ̃7(k), Ψ̃2(k) = e1ke3kΨ̃8(k),
Ψ̃3(k) = e1kΨ̃9(k), Ψ̃4(k) = −e1k(e3k + 1)Ψ̃7(k),
Ψ̃5(k) = −(e2k + 1)Ψ̃8(k), Ψ̃6(k) = −(e1k + 1)Ψ̃9(k),
Ψ̃7(k) = (e1k − 1)−1(e2k − 1)−1,
Ψ̃8(k) = e−1
1k (1− e1k)
−1(e3k − 1)−1,
Ψ̃9(k) = e−1
1k (1− e2k)
−1(1− e3k)
−1.
Маємо наступнi рiвностi для похiдних u(r)
k функцiй uk у разi
k ∈ Z \K:
k̃−ru
(r)
k (t) =
3∑
j=1
(
λr1(k)ek̃λ1(k)tΨ̃3j−2(k)+
+λr2(k)ek̃λ2(k)tΨ̃3j−1(k) + λr3(k)ek̃λ3(k)tΨ̃3j(k)
)
ϕ̃jk.
(16)
Для оцiнки абсолютної величини функцiй uk та їх похiдних до
третього порядку оцiнимо зверху функцiї e1k, e2k, e3k та Ψ̃1(k),
Ψ̃2(k), . . . , Ψ̃9(k).
Лема 1. Для всiх великих за модулем чисел k ∈ Z справджую-
ться нерiвностi
|elk| ≤ 1/2, l = 1, 2, 3. (17)
Доведення. Для оцiнки зверху лiвої частини нерiвностi (17) зна-
йдемо спочатку вигляд коефiцiєнтiв многочлена Pk2 = Pk2(Λ),
88 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
коренями якого будуть ненульовi рiзницi Λij(k) з формул (12),
де i, j = 1, 2, 3, зокрема
Pk2(Λ) =
3∏
i,j=1,i 6=j
(
Λ− Λij(k)
)
=
=
(
Λ2 − Λ2
12(k)
)(
Λ2 − Λ2
13(k)
)(
Λ2 − Λ2
23(k)
)
= Fk(Λ
2).
Для побудови многочлена Pk2 використаємо наступну теорему
[11, с. 237] про зв’язок мiж власними значеннями довiльних ма-
триць A, B та матрицi ϕ(A,B)=
∑p
i,j=0 cijA
i⊗Bj , яка побудова-
на на базi многочлена ϕ(λ, µ)=
∑p
i,j=0 cijλ
iµj , де cij —комплекснi
числа, p—цiле число, за допомогою прямого добутку ⊗ степенiв
Ai та Bj матриць A i B.
Теорема 2. Якщо λ1, . . . , λm— власнi значення матрицi A по-
рядку m та µ1, . . . , µn— власнi значення матрицi B порядку n,
то власними значеннями матрицi ϕ(A,B) будуть mn чисел
ϕ(λr, µs) =
p∑
i,j=0
cijλ
i
rµ
j
s, r = 1, . . . ,m, s = 1, . . . , n.
Застосуємо цю теорему для випадку, коли n=3, p=1, A=B, де
A=
0 1 0
0 0 1
−b̃3(k) −b̃2(k) −b̃1(k)
,
ϕ(λ, µ) =
∑
i+j=1
(−1)jλiµj = λ− µ.
Отже, оскiльки λ1(k), λ2(k), λ3(k) є власними значеннями ма-
трицi A, то власнi значення Λij(k), i, j = 1, 2, 3, матрицi
ϕ(A,A) = A⊗ I3 − I3 ⊗A,
де I3 — одинична матриця третього порядку, визначає формула
Λij(k) = ϕ
(
λi(k), λj(k)
)
= λi(k)− λj(k).
Умови розв’язностi триточкової задачi... 89
Розписуючи блочну матрицю
ϕ(A,A) =
0 I3 0
0 0 I3
−b̃3(k)I3 −b̃2(k)I3 −b̃1(k)I3
−
−
A 0 0
0 A 0
0 0 A
= −
A −I3 0
0 A −I3
b̃3(k)I3 b̃2(k)I3 b̃1(k)I3 +A
,
поелементно, cкладемо характеристичне рiвняння
∆̃(Λ)=
3∏
i,j=1
(
Λ−Λij(k)
)
=Λ3Fk(Λ
2)=|ΛI9−ϕ(A,A)|=0.
Звiдси випливає, що
∆̃(Λ)=Λ3Pk1(Λ2)=Λ9+d̃1(k)Λ7+d̃2(k)Λ5+d̃3(k)Λ3=0,
d̃1(k) = 6b̃2(k)− 2b̃1(k)2,
d̃2(k) = 9b̃2(k)2 − 6b̃2(k)b̃1(k)2 + b̃1(k)4,
d̃3(k) = 27b̃3(k)2 + 4b̃2(k)3 − 18b̃1(k)b̃2(k)b̃3(k)−
−b̃2(k)2b̃1(k)2 + 4b̃3(k)b̃1(k)3,
тобто
Fk(Λ
2) = Λ6 + d̃1(k)Λ4 + d̃2(k)Λ2 + d̃3(k) = 0.
Нехай Λ2 = µ, тодi матимемо такий многочлен:
Fk(µ) = µ3 +
3∑
j=1
d̃j(k)µ3−j =
=
(
µ− µ1(k)
)(
µ− µ2(k)
)(
µ− µ3(k)
)
,
µj(k) =
(
λ1(k)− λj+1(k)
)2
, j = 1, 2,
µ3(k) =
(
λ2(k)− λ3(k)
)2
.
90 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
Якщо µ̄—комплексно-спряжене число до µ, то з рiвностi
2 Reµl(k) = µl(k) + µ̄l(k) = µl(k)−
(
− µ̄l(k)
)
i того, що −µ̄1(k), −µ̄2(k), −µ̄3(k) є коренями многочлена
Fk1(µ) =
3∏
l=1
(
µ+ µ̄l(k)
)
= µ3 +
3∑
l=1
¯̃
dlµ
3−l,
отримаємо, з одного боку, що 2 Reµl(k) є множниками резуль-
танта
R̃(k) =
3∏
l,m=1
(
µl(k) + µ̄m(k)
)
=
= 8
3∏
l=1
Reµl(k)
3∏
l,m=1,l 6=m
(
µl(k) + µ̄m(k)
)
многочленiв Fk i Fk1. Тому для довiльного l = 1, 2, 3 модуль да-
ного результанта оцiнюємо зверху за формулою (6):
|R̃(k)| ≤ 252A34
1 |Reµl(k)|. (18)
З другого боку, результант R̃(k) є визначником матрицi
Сiльвестра, складеної з коефiцiєнтiв d̃1(k), d̃2(k), d̃3(k) многочле-
на Fk(µ) i з коефiцiєнтiв ¯̃
d1(k),
¯̃
d2(k),
¯̃
d3(k) многочлена Fk1(µ),
зокрема
R̃(k) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 d̃1(k) d̃2(k) d̃3(k) 0 0
0 1 d̃1(k) d̃2(k) d̃3(k) 0
0 0 1 d̃1(k) d̃2(k) d̃3(k)
1 − ¯̃
d1(k)
¯̃
d2(k) − ¯̃
d3(k) 0 0
0 1 − ¯̃
d1(k)
¯̃
d2(k) − ¯̃
d3(k) 0
0 0 1 − ¯̃
d1(k)
¯̃
d2(k) − ¯̃
d3(k)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Умови розв’язностi триточкової задачi... 91
Враховуючи формули для знаходження d̃1(k), d̃2(k), d̃3(k) i
групуючи за степенями k, подамо для k 6= 0 результант у такому
виглядi:
R̃(k) = −
(k
k̃
)18(
R̃0 −
iR̃1
k
− R̃2
k2
+
+
iR̃3
k3
+
R̃4
k4
− iR̃5
k5
− . . .− R̃18
k18
)
,
де R̃0 визначає формула
R̃0 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 d̂1 d̂2 d̂3 0 0
0 1 d̂1 d̂2 d̂3 0
0 0 1 d̂1 d̂2 d̂3
1 − ¯̂
d1
¯̂
d2 − ¯̂
d3 0 0
0 1 − ¯̂
d1
¯̂
d2 − ¯̂
d3 0
0 0 1 − ¯̂
d1
¯̂
d2 − ¯̂
d3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
в якiй позначено вирази
d̂1 = 6a12 − 2a2
21, d̂2 = 9a2
12 − 6a12a
2
21 + a4
21,
d̂3 = 27a2
03 + 4a3
12 − 18a21a12a03 − a2
12a
2
21 + 4a03a
3
21.
У випадку R̃0 6= 0 з нерiвностi k̃2 ≤ 2k2 i формули
R̃(k) = −R̃0
2
(k
k̃
)18
(
2 +
2
kR̃0
×
×
(
− iR̃1 −
R̃2
k
+
iR̃3
k2
+ . . .− R̃18
k17
))
для k 6= 0 маємо оцiнку знизу
|R̃(k)| ≥ |R̃0|
2
∣∣∣∣kk̃
∣∣∣∣18
≥ 2−10|R̃0| (19)
при k ∈ Z i |k| ≥ ˜̃R0/|R̃0|, де ˜̃R0 = 2
(
|R̃1|+ |R̃2|+ . . .+ |R̃18|
)
.
92 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
З формул (18) i (19) випливає, що
|Reµl(k)| ≥ 2−52A−34
1 |R̃(k)| ≥ 2−62A−34
1 |R̃0|.
Отже, для i 6= j, де i, j = 1, 2, 3, i k̃ →∞, маємо
k̃|Re Λij(k)| ≥ k̃σ →∞, σ = 2−31A−17
1
√
|R̃0| > 0. (20)
Очевидно, що |elk| = ek̃Re ΛiljlT/2 ≤ e−k̃σT/2 ≤ 1/2 у разi
k̃ ≥ 232 ln 2A17
1 T
−1/
√
|R̃0|, l = 1, 2, 3,
де {il, jl} ⊂ {1, 2, 3}. Лему доведено.
На основi леми маємо допомiжнi оцiнки
|Ψ̃1(k)| ≤ 4|e1k||e2k|, |Ψ̃4(k)| ≤ 6|e1k|, |Ψ̃7(k)| ≤ 4,
|Ψ̃2(k)| ≤ 4|e3k|, |Ψ̃5(k)| ≤ 6/|e1k|, |Ψ̃8(k)| ≤ 4/|e1k|, (21)
|Ψ̃3(k)| ≤ 4, |Ψ̃6(k)| ≤ 6/|e1k|, |Ψ̃9(k)| ≤ 4/|e1k|.
Для оцiнювання правої частини у формулi (16) за великих k̃
розглянемо два випадки прямування до нескiнченностi: k → +∞
та k → −∞. У першому випадку (k → +∞) граничнi значення b̃+m
послiдовностi коефiцiєнтiв b̃m(k),m = 1, 2, 3, будуть мати вигляд:
b̃+1 = ia21, b̃+2 = −a12, b̃+3 = −ia03,
а послiдовнiсть многочленiв Pk(λ) прямує до граничного много-
члена
P+(λ)=λ3+ia21λ
2−a12λ−ia03=(λ−λ1)(λ−λ2)(λ−λ3).
В другому випадку (k → −∞) граничнi значення b̃−m послiдовно-
стi коефiцiєнтiв b̃m(k), m = 1, 2, 3, володiють властивостями
b̃−1 = −b̃+1 = −ia21, b̃
−
2 = b̃+2 = −a12, b̃
−
3 = −b̃+3 = ia03,
Умови розв’язностi триточкової задачi... 93
тому послiдовнiсть многочленiв Pk(λ) прямує до iншого грани-
чного многочлена
P−(λ) = −P+(−λ) = λ3 − ia21λ
2 − a12λ+ ia03.
Введемо такi позначення: νj = Reλj , j = 1, 2, 3,
ŷ1(t) =
(
t− T/2
){ν3, t ∈ [0, T/2]
ν2, t ∈ [T/2, T ],
ŷ3(t) =
(
t− T/2
){ν2, t ∈ [0, T/2]
ν1, t ∈ [T/2, T ],
y(t) =
{
ŷ1(t), t ∈ [0, T/2]
ŷ3(t), t ∈ [T/2, T ],
ŷ2(t) = ν2
(
t− T/2
)
, y1(t) = ν3T/2 + ŷ1(t),
y2(t) = ŷ2(t), y3(t) = −ν1T/2 + ŷ3(t).
Тодi з формул (16), (21) для k̃ ≥ 232 ln 2A17
1 T
−1/
√
|R̃0| i r =
0, 1, 2, 3 маємо оцiнки
∣∣u(r)
k A−l1 e−k̃y(t)k̃−l
∣∣2/12 ≤ e2k̃(y1(t)−y(t))
∣∣2ϕ1k|2+
+e2k̃(y2(t)−y(t))
∣∣3ϕ2k
∣∣2 + e2k̃(y3(t)−y(t))
∣∣2ϕ3k
∣∣2 =
= e2k̃(ŷ1(t)−y(t))
∣∣2ϕ1ke
k̃ν3(k)T/2
∣∣2 + e2k̃(ŷ2(t)−y(t))
∣∣3ϕ2k|2+
+e2k̃(ŷ3(t)−y(t))
∣∣2ϕ3ke
−k̃ν1(k)T/2
∣∣2 ≤ (22)
≤ e2k̃(t−T/2)(ν3−ν3)
∣∣2ϕ1ke
k̃ν3(k)T/2
∣∣2+
+e2k̃(t−T/2)(ν2−ν3)
∣∣3ϕ2k|2+
+e2k̃(t−T/2)(ν2−ν3)
∣∣2ϕ3ke
−k̃ν1(k)T/2
∣∣2,
94 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
при t ∈ [0, T/2], а при t ∈ [T/2, T ] — оцiнки:
∣∣u(r)
k A−l1 e−k̃y(t)k̃−l
∣∣2/12 ≤ e2k̃(y1(t)−y(t))
∣∣2ϕ1k|2+
+e2k̃(y2(t)−y(t))
∣∣3ϕ2k
∣∣2 + e2k̃(y3(t)−y(t))
∣∣2ϕ3k
∣∣2 =
= e2k̃(ŷ1(t)−y(t))
∣∣2ϕ1ke
k̃ν3(k)T/2
∣∣2 + e2k̃(ŷ2(t)−y(t))
∣∣3ϕ2k|2+
+e2k̃(ŷ3(t)−y(t))
∣∣2ϕ3ke
−k̃ν1(k)T/2
∣∣2 ≤ (23)
≤ e2k̃(t−T/2)(ν2−ν1)
∣∣2ϕ1ke
k̃ν3(k)T/2
∣∣2+
+e2k̃(t−T/2)(ν2−ν1)
∣∣3ϕ2k|2+
+e2k̃(t−T/2)(ν1−ν1)
∣∣2ϕ3ke
−k̃ν1(k)T/2
∣∣2.
5. Достатнi умови iснування розв’язку за-
дачi
Для коренiв λ+
j i λ−j многочленiв P±(λ) справджуються рiвностi
λ1 = λ+
1 = −λ−3 , λ2 = λ+
2 = −λ−2 , λ3 = λ+
3 = −λ−1 ,
причому їх дiйснi частини ν1, ν2, ν3 розташованi (стосовно уявної
осi) одним з чотирьох можливих способiв
1) ν1 < 0; 2) ν2 < 0, ν1 > 0; 3) ν2 > 0, ν3 < 0; 4) ν3 > 0.
Зауваження 1. Такого типу розмiщення коренiв щодо уявної
осi використано, наприклад, у роботах [12, 13] для постановки
коректних крайових задач для рiвнянь з частинними похiдними
у пiвпросторi.
Враховуючи нерiвностi (15), (20) отримаємо такi оцiнки для
Умови розв’язностi триточкової задачi... 95
всiх чотирьох випадкiв:
1) ν1 < 0
−A1+2σ<ν+
1 =−ν−3 <−C;
−A1+σ<ν+
2 =−ν−2 <−σ−C;
−A1<ν
+
3 =−ν−1 <−2σ−C;
2) ν2 < 0, ν1 > 0
C<ν+
1 =−ν−3 <A1;
−A1+σ<ν+
2 =−ν−2 <−C;
−A1<ν
+
3 =−ν−1 <−σ−C;
3) ν2 > 0, ν3 < 0
σ+C<ν+
1 =−ν−3 <A1;
C<ν+
2 =−ν−2 <A1−σ;
−A1<ν
+
3 =−ν−1 <−C;
4) ν3 > 0
2σ+C<ν+
1 =−ν−3 <A1;
σ+C<ν+
2 =−ν−2 <A1−σ;
C<ν+
3 =−ν−1 <A1−2σ,
(24)
де A1, C, σ— величини з формул (6), (15), (20).
У вiдповiдностi з двома граничними многочленами P±(λ) по-
дамо правi частини ϕj , j = 1, 2, 3, умов (2) i розв’язок задачi (1),
(2) у виглядi таких сум:
ϕj = ϕ0
j + ϕ+
j + ϕ−j =
( ∑
k∈K
+
∑
k∈N\K
+
∑
k∈Z\(K∪N)
)
ϕke
ikx,
u = u0 + u+ + u− =
( ∑
k∈K
+
∑
k∈N\K
+
∑
k∈Z\(K∪N)
)
uk(t)e
ikx.
(25)
Умови iснування розв’язку задачi (1), (2) залежать вiд розта-
шування щодо нуля дiйсних частин коренiв многочленiв P±(λ),
а з наступних двох умов випливає єдинiсть розв’язку:
D0R0R̃0 6= 0, (26)
рiвняння (11) не має розв’язкiв (m, k) ∈ Z×
(
−
˜̃R0
|R̃0|
,
˜̃R0
|R̃0|
)
. (27)
Теорема 3. Нехай ν1 < 0, виконуються умови (26) та (27) i
ϕ0
j ∈W, j = 1, 2, 3,
ϕ+
1 ∈ Eq(−2σ−C)T/2(Ω), ϕ+
2 ∈ Eq0(Ω), ϕ+
3 ∈ EqCT/2(Ω),
ϕ−1 ∈ Eq(A1−2σ)T/2(Ω), ϕ−2 ∈ Eq0(Ω), ϕ−3 ∈ Eq−A1T/2
(Ω),
96 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
тодi у просторi E3,q
β (D), де β = β(t) = min(β+(t), β−(t)), функцiї
β+(t) i β−(t) на вiдрiзку [0, T/2] визначають формули
β+(t) = A1
(
T/2− t
)
, β−(t) = C
(
t− T/2
)
,
а на вiдрiзку [T/2, T ] —формули
β+(t) =
(
A1 − 2σ
)(
T/2− t
)
, β−(t) =
(
C + 2σ
)(
t− T/2
)
,
iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2). Цей розв’язок неперервно
залежить вiд правих частин умов (2) i подається у виглядi
суми (25), причому
u0 ∈ C3([0, T ];W ), u+ ∈ E3,q
β+(D), u− ∈ E3,q
β−(D). (28)
Доведення. Якщо k ∈ K, то за умовою (27) розв’язок uk iснує та
належить до простору C3[0, T ].
Якщо ж k ∈ Z \ K, то з умови (27) випливають оцiнки (4.)
i (4.) розв’язку uk задачi (4), (5) при t ∈ [0, T/2], t ∈ [T/2, T ]
вiдповiдно.
Отже, з формул (3.) i (24) випливають оцiнки зверху доданкiв
u+ та u− розв’язку u задачi (1), (2) у вiдповiдних просторах i
неперервнiсть вiд правих частин; iснують додатнi сталi C̄1, C̄2, i
C̄3, що
‖u+‖2
E3,q
β+
(D)
≤
3∑
l=0
max
[
max
[0,T/2]
∑
k∈N\K
∣∣u(l)
k (t)
∣∣2k̃2q−2l×
×e2k̃A1(t−T/2), max
[T/2,T ]
∑
k∈N\K
∣∣u(l)
k (t)
∣∣2k̃2q−2l×
×e2k̃(A1−2σ)(t−T/2)
]
≤ C̄1‖ϕ+
1 ‖
2
Eq
(−2σ−C)T/2
(Ω)+
+C̄2‖ϕ+
2 ‖
2
Eq0(Ω) + C̄3‖ϕ+
3 ‖
2
Eq
CT/2
(Ω),
Умови розв’язностi триточкової задачi... 97
‖u−‖2
E3,q
β−
(D)
≤
3∑
l=0
max
[
max
[0,T/2]
∑
k∈Z\(K∪N)
∣∣u(l)
k (t)
∣∣2k̃2q−2l×
×e−2k̃C(t−T/2), max
[T/2,T ]
∑
k∈Z\(K∪N)
∣∣u(l)
k (t)
∣∣2k̃2q−2l×
×e−2k̃(2σ+C)(t−T/2)
]
≤ C̃1‖ϕ−1 ‖
2
Eq
(A1−2σ)T/2
(Ω)+
+C̃2‖ϕ−2 ‖
2
Eq0(Ω) + C̃3‖ϕ−3 ‖
2
Eq−A1T/2
(Ω).
Єдинiсть розв’язку задачi дають умови (26) i (27). Теорему
доведено.
Зауваження 2. Твердження теореми виконується, зокрема,
коли ϕ1 ∈ Eq(A1−2σ)T/2(Ω), ϕ2 ∈ Eq0(Ω), ϕ3 ∈ EqCT/2(Ω).
Наступна теорема стосується другого випадку розмiщення ко-
ренiв.
Теорема 4. Нехай ν2 < 0, ν1 > 0, виконуються умови (26) та
(27) i ϕ0
j ∈W, j = 1, 2, 3,
ϕ+
1 ∈ Eq(−σ−C)T/2(Ω), ϕ+
2 ∈ Eq0(Ω), ϕ+
3 ∈ Eq−A1T/2
(Ω),
ϕ−1 ∈ Eq−CT/2(Ω), ϕ−2 ∈ Eq0(Ω), ϕ−3 ∈ Eq−A1T/2
(Ω),
тодi у просторi E3,q
β (D), де β = β(t) = min(β+(t), β−(t)), функцiї
β+(t) i β−(t) на вiдрiзку [0, T/2] визначає формула
β±(t) = A1
(
T/2− t
)
,
а на вiдрiзку [T/2, T ] —формули
β+(t) = C
(
t− T/2
)
, β−(t) =
(
σ + C
)(
t− T/2
)
,
iснує єдиний розв’язок u задачi (1), (2). Цей розв’язок неперерв-
но залежить вiд правих частин умов (2), подається у виглядi
суми (25) i має властивiсть (28).
98 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
Теореми 3, 4 показують, що задача (1) i (2) за умови R̃0 6= 0 не
має малих знаменникiв, тобто є коректною у вказаних наборах
просторiв, характеристичний визначник має оцiнку:
|∆(k)| ≥ e−k̃Tσ/2/8.
Зауваження 3. Наступнi теореми 5 i 6 про iснування єдиного
розв’язку задачi (1), (2) в iнших випадках розташування дiй-
сних частин коренiв многочленiв P±(λ) є симетричними щодо
iндексiв − i + функцiй ϕ1, ϕ2, ϕ3 до теорем 3 i 4, а їх доведення,
як i доведення теореми 4 аналогiчне до доведення теореми 3.
Теорема 5. Нехай ν3 > 0, виконуються умови (26) та (27) i
ϕ0
j ∈W, j = 1, 2, 3,
ϕ+
1 ∈ Eq(A1−2σ)T/2(Ω), ϕ+
2 ∈ Eq0(Ω), ϕ+
3 ∈ Eq−A1T/2
(Ω),
ϕ−1 ∈ Eq(−2σ−C)T/2(Ω), ϕ−2 ∈ Eq0(Ω), ϕ−3 ∈ EqCT/2(Ω),
тодi у просторi E3,q
β (D), де β = β(t) = min(β+(t), β−(t)), функцiї
β+(t) i β−(t) на вiдрiзку [0, T/2] визначають формули
β+(t) = C
(
t− T/2
)
, β−(t) = A1
(
T/2− t
)
,
а на вiдрiзку [T/2, T ] —формули
β+(t) =
(
C + 2σ
)(
t− T/2
)
, β−(t) =
(
A1 − 2σ
)(
T/2− t
)
,
iснує єдиний розв’язок u задачi (1), (2). Цей розв’язок неперерв-
но залежить вiд правих частин умов (2), подається у виглядi
суми (25) i має властивiсть (28).
Теорема 6. Нехай ν2 > 0, ν3 < 0, виконуються умови (26) та
(27) i ϕ0
j ∈W, j = 1, 2, 3,
ϕ+
1 ∈ Eq−CT/2(Ω), ϕ+
2 ∈ Eq0(Ω), ϕ+
3 ∈ Eq−A1T/2
(Ω),
ϕ−1 ∈ Eq(−σ−C)T/2(Ω), ϕ−2 ∈ Eq0(Ω), ϕ−3 ∈ Eq−A1T/2
(Ω),
Умови розв’язностi триточкової задачi... 99
тодi у просторi E3,q
β (D), де β = β(t) = min(β+(t), β−(t)), функцiї
β+(t) i β−(t) на вiдрiзку [0, T/2] визначає формула
β±(t) = A1
(
T/2− t
)
,
а на вiдрiзку [T/2, T ] —формули
β+(t) =
(
σ + C
)(
t− T/2
)
, β−(t) = C
(
t− T/2
)
,
iснує єдиний розв’язок u задачi (1), (2). Цей розв’язок неперерв-
но залежить вiд правих частин умов (2), подається у виглядi
суми (25) i має властивiсть (28).
6. Bисновки
У роботi розглянуто триточкову задачу для однорiдного дифе-
ренцiального рiвняння з частинними похiдними у плоскiй обла-
стi. Встановлено достатнi умови iснування та необхiднi i достатнi
умови єдиностi розв’язку задачi у просторi E3,q
β (D). Подiбна за-
дача у випадку багатьох просторових змiнних x1, x2, . . . , xp є
некоректною за Адамаром, а її розв’язнiсть пов’язана з пробле-
мою малих знаменникiв, якi виникають при побудовi розв’язку.
Особливiстю цiєї роботи є те, що у нiй доведено вiдсутнiсть про-
блеми малих знаменникiв у разi двовимiрної областi, вiдповiд-
нi вирази оцiнюються сталими; також встановлено залежнiсть
гладкостi розв’язку задачi (1), (2) вiд часової змiнної t.
Лiтература
[1] Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. – Тбилиси: Изд-во
Тбил. ун-та, 1975. – 352 с.
[2] Лучка А. Ю., Гарбель О. М. Наближене розв’язання задачi Валле-
Пуссена для звичайних диференцiальних рiвнянь проекцiйно-
iтеративним методом // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1982. – № 8. –
С. 18–22.
100 I. I. Волянська, В. С. Iлькiв
[3] Покорный Ю. В. О вторых решениях нелинейной задачи Валле-
Пуссена // Диф. уравн. – 1970. – 6, № 9. – С. 1599–1605.
[4] Скоробогатько В.Я. Исследования по качественной теории диф-
ференциальных уравнений с частными производными. – К: Наук.
думка, 1980. – 243 с.
[5] Клюс I. С., Пташник Б. Й. Триточкова задача для хвильового
рiвняння // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех-мат. – 1996. – 40. – С.
78–86.
[6] Нитребич З. М. Крайова задача для неоднорiдного гiперболiчно-
го рiвняння iз частинними похiдними // Вiсн. ДУ "Львiвська
полiтехнiка". – 1998. – 346. – С. 35–39.
[7] Пташник Б. И., Штабалюк П. И. Краевая задача для гипербо-
лических уравнений в классе функций, почти периодических по
пространственным переменным // Диф. уравн. – 1986. – 23,
№ 4. – С. 669–678.
[8] Poschel J. Spectral gaps of potentials in weighted Sobolev spaces //
Hamiltonian Dynamical Systems and Applications. – 2008. – P. 421–
430.
[9] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – М.: Мир, 1989. – 655 с.
[10] Iлькiв В. С., Страп Н. I., Волянська I. I. Нелокальна крайова
задача для рiвняння з оператором диференцiювання z∂/∂z в ком-
плекснiй областi // Прикладнi проблеми механiки i математики. –
2012. – 10. – С. 15–26.
[11] Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1973. – 280 с.
[12] Дикополов Г. В., Шилов Г. Е. О корректных краевых задачах для
уравнений в частных производных в полупространстве // Изв.
АН СССР. Сер. матем. – 1960. – 24, № 3. – С. 369–380.
[13] Паламадов В. П. О корректных краевых задачах для уравнений
в частных производных в полупространстве // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1960. – 24, № 3. – С. 381–386.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-123 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:41Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ff/b49946bf86956d2502ca8a026d2a62ff.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1232018-01-27T23:55:22Z Solvability conditions for three-point problem for a partial differential equation in two-dimensional cylinder Умови розв'язності триточкової задачі для диференціального рівняння з частинними похідними у двовимірному циліндрі Volyansʹka, I. I. Il'kiv, V. S. Волянська, І. І. Ільків, В. С. The paper deals with the investigation of a three-point problem for a partial differential equation in a two-dimensional domain. We estab\-lish sufficient conditions for the existence of a solution to this problem and sufficient and necessary conditions for the uniqueness of the solution in the corresponding weighted Sobolev spaces (Abel spaces). A similar problem for an equation in several spatial variables is ill-posed in the sense of Hadamard; its solvability is connected with the problem of small denominators, which arises in the construction of the solution. In the case of a single spatial variable we estimate the corresponding denominators by constants and show that the problem is well-posed in the sense of Hadamard in the Abel spaces. У роботі досліджено триточкову задачу для диференціального рівняння з частинними похідними у двовимірній області. Встановлено достатні умови існування та необхідні і достатні умови єдиності її розв'язку у відповідних вагових просторах Соболєва (просторах Абеля). Подібна задача для рівняння з багатьма просторовими змінними є некоректною за Адамаром, її розв'язність пов'язана з проблемою малих знаменників, які виникають при побудові розв'язку. У випадку однієї просторової змінної відповідні знаменники вдалося оцінити сталими і показати, що задача коректна за Адамаром у просторах Абеля. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/123 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 74-100 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 74-100 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 74-100 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/123/168 Авторське право (c) 2015 І. І. Волянська, В. С. Ільків |
| spellingShingle | Volyansʹka, I. I. Il'kiv, V. S. Волянська, І. І. Ільків, В. С. Solvability conditions for three-point problem for a partial differential equation in two-dimensional cylinder |
| title | Solvability conditions for three-point problem for a partial differential equation in two-dimensional cylinder |
| title_alt | Умови розв'язності триточкової задачі для диференціального рівняння з частинними похідними у двовимірному циліндрі |
| title_full | Solvability conditions for three-point problem for a partial differential equation in two-dimensional cylinder |
| title_fullStr | Solvability conditions for three-point problem for a partial differential equation in two-dimensional cylinder |
| title_full_unstemmed | Solvability conditions for three-point problem for a partial differential equation in two-dimensional cylinder |
| title_short | Solvability conditions for three-point problem for a partial differential equation in two-dimensional cylinder |
| title_sort | solvability conditions for three-point problem for a partial differential equation in two-dimensional cylinder |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/123 |
| work_keys_str_mv | AT volyansʹkaii solvabilityconditionsforthreepointproblemforapartialdifferentialequationintwodimensionalcylinder AT il039kivvs solvabilityconditionsforthreepointproblemforapartialdifferentialequationintwodimensionalcylinder AT volânsʹkaíí solvabilityconditionsforthreepointproblemforapartialdifferentialequationintwodimensionalcylinder AT ílʹkívvs solvabilityconditionsforthreepointproblemforapartialdifferentialequationintwodimensionalcylinder AT volyansʹkaii umovirozv039âznostítritočkovoízadačídlâdiferencíalʹnogorívnânnâzčastinnimipohídnimiudvovimírnomucilíndrí AT il039kivvs umovirozv039âznostítritočkovoízadačídlâdiferencíalʹnogorívnânnâzčastinnimipohídnimiudvovimírnomucilíndrí AT volânsʹkaíí umovirozv039âznostítritočkovoízadačídlâdiferencíalʹnogorívnânnâzčastinnimipohídnimiudvovimírnomucilíndrí AT ílʹkívvs umovirozv039âznostítritočkovoízadačídlâdiferencíalʹnogorívnânnâzčastinnimipohídnimiudvovimírnomucilíndrí |