Continuity with respect to parameter of solutions of nonclassical multipoint boundary value problems in Sobolev spaces
For linear systems of ordinary differential equations of order $r\in\mathbb{N}$, we investigate multipoint linear boundary-value problems that depend on a parameter. We find conditions under which the solutions to these problems are continuous with respect to the parameter in the Sobolev spaces $W_p...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Author Affiliations: |
|
| Keywords: | keywords |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/124 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552642606006272 |
|---|---|
| author | Hnyp, Ye. V. Kodliuk, T. I. Гнип, Є. В. Кодлюк, Т. І. |
| author_facet | Hnyp, Ye. V. Kodliuk, T. I. Гнип, Є. В. Кодлюк, Т. І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Є. В. Гнип",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Т. І. Кодлюк",
"institution": "Тернопільський національний педагогічний університет імені Володимира Гнатюка"
}
] |
| author_sort | Hnyp, Ye. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-28T00:00:34Z |
| description | For linear systems of ordinary differential equations of order $r\in\mathbb{N}$, we investigate multipoint linear boundary-value problems that depend on a parameter. We find conditions under which the solutions to these problems are continuous with respect to the parameter in the Sobolev spaces $W_p^{n+r}\left([a,b],\mathbb{C}^m\right)$, where $m$, $n+1 \in \mathbb{N}$, and $p\in[1,\infty)$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 101–112
УДК 517.956.223
Є. В. Гнип1, Т. I. Кодлюк2
(1Iн-т математики НАН України, Київ
2Тернопiльський нацiональний педагогiчний унiверситет iменi
В. Гнатюка, Тернопiль)
Неперервнiсть за параметром
розв’язкiв некласичних
багатоточкових крайових задач на
просторах Соболєва
evgeniyagnyp27@gmail.com
For linear systems of ordinary differential equations of order r ∈ N, we
investigate multipoint linear boundary-value problems that depend
on a parameter. We find conditions under which the solutions to
these problems are continuous with respect to the parameter in the
Sobolev spacesWn+r
p ([a, b],Cm), wherem, n+1 ∈ N, and p ∈ [1,∞).
Для лiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь поряд-
ку r ∈ N дослiджено некласичнi багатоточковi лiнiйнi крайо-
вi задачi, залежнi вiд параметра. Знайдено умови неперервно-
стi за параметром розв’язкiв цих задач у соболєвських просторах
Wn+r
p ([a, b],Cm), де m, n+ 1 ∈ N i p ∈ [1,∞).
c© Є. В. Гнип, Т. I. Кодлюк, 2015
102 Є. В. Гнип, Т. I. Кодлюк
1. Вступ
Багатоточковi крайовi задачi є класичним об’єктом вивчення те-
орiї звичайних диференцiальних рiвнянь [1]-[6]. Неперервнiсть
за параметром їх розв’язкiв в рiвномiрнiй нормi ‖ · ‖∞ дослiджу-
валась, наприклад в роботах [5, 4], а в [3] неперервнiсть вiдно-
сно норми ‖ · ‖n,p просторiв Соболєва Wn
p , яка сильнiша, нiж
рiвномiрна норма простору (C)m. Цiкавими для вивчення є не-
класичнi багатоточковi крайовi задачi, наприклад, в роботi [6]
встановлено неперервну залежнiсть розв’язку y(·) вiд параметра
лiнiйної неоднорiдної багатоточкової крайової задачi для систем
диференцiальних рiвнянь в просторi C(n) всiх n раз неперервно
диференцiйованих функцiй.
Мета даної роботи – уточнити результати роботи [1] умова-
ми неперервностi розв’язкiв некласичної багатоточкової крайової
задачi для системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь порядку
r, якi є тотальними на просторi Соболєва Wn+r
p .
2. Постановка задачi
Нехай заданi числа n, r,m ∈ N, p ∈ [1,∞) i скiнченний iн-
тервал (a, b) ⊂ R. Введемо позначення Wn
p := Wn
p ((a, b),C),(
Wn
p
)m
:= Wn
p ((a, b),Cm),
(
Wn
p
)m×m
:= Wn
p ((a, b),Cm×m) про-
стори Соболєва на iнтервалi (a, b) вiдповiдно функцiй, вектор-
функцiй i матриць-функцiй. Норма в банаховому просторi Wn
p
задається рiвнiстю
‖x‖n,p :=
n−1∑
j=0
b∫
a
|x(j)(t)|pdt
1/p
, W 0
p := Lp.
Аналогiчно простори
(
Wn
p
)m и
(
Wn
p
)m×m будуть банаховими вiд-
носно норми ‖ · ‖n,p, яка визначається як сума вiдповiдних норм
елементiв вектор-функцiй або матрицi-функцiї.
Неперервнiсть за параметром розв’язкiв ... крайових задач... 103
Розглянемо на (a, b) неоднорiдну багатоточкову крайову за-
дачу для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь порядку r
вигляду
y(r)(t) +
r∑
k=1
Ar−k(t)y
(r−k)(t) = f(t), t ∈ (a, b), (1)
By(·) =
n+r∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i y
(l)(ti) = c, (2)
де комплекснозначнi (m×m) – матрицi-функцiї Ak ∈
(
Wn
p
)m×m,
вектор-функцiя f(·) ∈
(
Wn
p
)m, вектор c ∈ Cm, матриця αi,l ∈
Cm×m, точки ti ∈ [a, b], де i ∈ 1, p, l ∈ 0, n+ r − 1, k ∈
0, r − 1.
Пiд розв’язком системи (1), (2) розумiється вектор-функцiя
y(·) ∈
(
Wn+r
p
)m, яка задовольняє рiвняння (1) скрiзь, при r = 1
майже скрiзь, на iнтервалi (a, b) i крайовим умовам (2).
Запишемо задачу (1), (2) у виглядi лiнiйного операторного
рiвняння
LBy = (f, c),
де оператор
LB :=
(
Ly,
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i y
(l)(ti)
)
,
Ly := y(r)(t) +
r∑
k=1
Ar−k(t)y
(r−k)(t).
Нехай тепер коефiцiєнти диференцiального рiвняння, опера-
тор B i правi частини рiвностей (1), (2) залежать вiд параметра
ε ∈ [0, ε0), де ε0 > 0. Розглянемо сiм’ю лiнiйних неоднорiдних ба-
гатоточкових краєвих задач для системи диференцiальних рiв-
104 Є. В. Гнип, Т. I. Кодлюк
нянь порядку r
y(r)(t, ε) +
r∑
k=1
Ar−k(t, ε)y
(r−k)(t, ε) = f(t, ε), t ∈ (a, b), (3)
B(ε)y(·, ε) =
n+r−1∑
l=0
p+q∑
i=1
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε), ε) = c(ε), (4)
де матрицi-функцiї Ak(·; ε) ∈
(
Wn
p
)m×m, вектор-функцiї f(·; ε) ∈(
Wn
p
)m, вектори c(ε) ∈ Cm, матрицi α(l)
i,j(ε) ∈ Cm×m, a точки
ti ∈ [a, b] мають вiдповiдну серiю точок ti,j , де i ∈ 1, p+ q, j ∈
1, ki, ki ∈ N, l ∈ 0, n+ r − 1
Умова (4) є некласичною, бо мiстить в собi похiднi вектор-
функцiї y(·) до порядку n+r−1 включно, отже, вищого порядку,
нiж порядок диференцiального рiвняння.
Якщо крайова задача (3), (4) залежить вiд малого параме-
тра ε ≥ 0, то закономiрно виникає питання про неперервнiсть
розв’язкiв y(·, ε) такої задачi за параметром ε в банаховому про-
сторi
(
Wn+r
p
)m. Мата роботи полягає в тому, щоб знайти достатнi
умови для виконання граничного спiввiдношення
‖y(·, ε)− y(·, 0)‖n+r,p → 0, ε→ 0 + . (5)
3. Основнi результати
Перейдемо до формулювання основного результату.
Оскiльки оператор LB фредгольмiв, що досить просто пере-
вiряється, то доцiльно сформулювати умову розв’язностi даного
неперервного оператора при достатньо малих значеннях параме-
тра ε.
Позначимо Ym(·) ∈
(
Wn+r
p
)m×m як розв’язок матричної задачi
Неперервнiсть за параметром розв’язкiв ... крайових задач... 105
Кошi
Y (r)
s (t) +
r∑
k=1
Ar−k(t)Y
(r−k)
s (t) = 0, t ∈ (a, b) (6)
Y (k)
s (a) = δskIm, s, k = 0, . . . , r − 1, (7)
де δsk — символ Кронекера, Im — одинична матриця размiрностi
m×m.
Теорема 1. Однорiдна гранична крайова задача
y(r)(t; 0) +
r∑
k=1
Ar−k(t; 0)y
(r−k)(t; 0) = 0, (8)
By(·) =
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i y
(l)(ti(0); 0) = 0, (9)
має лише тривiальний розв’язок тодi i тiльки тодi, коли
det
(
[
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i Y
(l)
0 (ti)] . . . [
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i Y
(l)
r−1(ti)]
)
6= 0. (10)
Тут квадратна матриця (10) розмiрностi rm× rm утворена з
r прямокутних блокiв
[
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i Y
(l)
s (ti)
]
розмiрностi rm×m,
а j-ий стовпчик матрицi
[
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i Y
(l)
s (ti)
]
спiвпадає з дiєю
оператора B на j-ий стовпчик матрицi-функцiї Ys(·).
Доведення теореми 1.
Як вiдомо, розв’язок y(·) задачi (8) можна представити у ви-
глядi:
y(t) =
r−1∑
s=0
Ys(t) · qs, (11)
де qs – довiльний вектор з Cm.
106 Є. В. Гнип, Т. I. Кодлюк
Тодi крайова умова (9) перепишеться таким чином:
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
r−1∑
s=0
α
(l)
i Y
(l)
s (ti) · qs =
=
r−1∑
s=0
[
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i Y
(l)
s (ti)
]
· qs = 0.
З представлення (11) та з того, що
y(t) ≡ 0,
отримуємо, що має виконуватися умова (10).
Теорема 1 доведена.
Вважатимемо, що виконана умова
Припущення 1. Однорiдна гранична крайова задача
y(r)(t; 0) +
r∑
k=1
Ar−k(t; 0)y
(r−k)(t; 0) = 0, (12)
B(0)y(·) =
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i y
(l)(ti(0); 0) = 0, (13)
має лише тривiальний розв’язок.
Зазначимо, що гранична (ε = 0) крайова умова (13) ставиться
лише для p точок t1, . . . , tp.
Теорема 2. Нехай при ε→ 0+ виконуються умови:
1) для будь-якого k ∈ {0, . . . , r− 1} ‖Ak(·; ε)−Ak(·; 0)‖n,p → 0;
2) для будь-якого i ∈ 1, p+ q ti,j(ε)→ ti;
3) для будь-якого l ∈ {0, . . . , n+ r − 1}
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)→ α
(l)
i , i ∈
1, p, ki ∈ N;
Неперервнiсть за параметром розв’язкiв ... крайових задач... 107
4) для будь-якого l ∈ {0, . . . , n+r−2} |α(l)
i,j(ε)||ti,j(ε)−ti| → 0,
|α(l)
i,j(ε)||ti,j(ε)− ti|1/q = o(1), i ∈ 1, p;
5) для будь-якого l ∈ {0, . . . , n + r − 1} α(l)
i,j(ε) → 0, i ∈
p+ 1, p+ q;
Тодi для достатньо малих ε > 0 оператор (L(ε), B(ε)) оборо-
тний.
Якщо, крiм того,
6) ‖f(·; ε)− f(·; 0)‖n,p → 0; c(ε)→ c(0).
Тодi однозначно визначений розв’язок y(·; ε) задачi (3), (4) задо-
вольняє граничне спiввiдношення (5).
Для доведення теореми нам знадобляться
Лема 1. Якщо для задачi (3) – (4) при ε → +0 виконуються
умови:
1) для будь-якого i ∈ 1, p+ q ti,j(ε)→ ti;
2) для будь-якого l ∈ {0, . . . , n+ r − 1}
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)→ α
(l)
i , i ∈
1, p, ki ∈ N;
3) для будь-якого l ∈ {0, . . . , n+r−2} |α(l)
i,j(ε)||ti,j(ε)−ti| → 0,
|α(l)
i,j(ε)||ti,j(ε)− ti|1/q = o(1), i ∈ 1, p;
тодi
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))→ α
(l)
i y
(l)(ti).
108 Є. В. Гнип, Т. I. Кодлюк
Доведення. Розглянемо для будь-якого l ∈ {0, . . . , n+ r − 1}
‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))− α(l)
i y
(l)(ti)‖ ≤
≤ ‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))−
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti)‖+
+‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti)− α(l)
i y
(l)(ti)‖ ≤
≤ ‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)
(
y(l)(ti,j(ε))− y(l)(ti)
)
‖+
+‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)− αi
y(l)(ti)‖ ≤
≤
ki∑
j=1
‖α(l)
i,j(ε)‖‖y
(l)(ti,j(ε))− y(l)(ti)‖+
+‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)− α
(l)
i ‖‖y
(l)(ti)‖.
Далi оцiнимо перший доданок: ∀l ∈ {0, . . . , n+ r − 2}, ∃C > 0
|y(l)(ti,j(ε))− y(l)(ti)| ≤ C|ti,j(ε)− ti|.
I в силу того, що y(n+r−2)(·) ∈W 1
p , тодi можемо записати
|y(l−1)(ti,j(ε))− y(l−1)(ti)| = |
ti,j(ε)∫
ti
y(l)(s)ds| ≤
ti,j(ε)∫
ti
|y(l)(s)|ds ≤
Неперервнiсть за параметром розв’язкiв ... крайових задач... 109
≤
ti,j(ε)∫
ti
|y(l)(s)|pds
1/p
· |ti,j(ε)− ti|1/q =
= o(1) · |ti,j(ε)− ti|1/q, ε→ +0,
де 1/p+ 1/q = 1.
Тодi з умови 3) для будь-якого l ∈ {0, . . . , n+ r − 1}
ki∑
j=1
‖α(l)
i,j(ε)‖‖y
(l)(ti,j(ε))− y(l)(ti)‖ → +0.
Оскiльки в другому доданку ∀l ∈ {0, . . . , n+r−1} ‖y(l)(ti)‖ ≤
c, тодi за умовою 2)
‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)− α
(l)
i ‖‖y
(l)(ti)‖ → +0.
Лема 1 доведена.
Лема 2. Якщо для задачi (3) – (4) при ε→ +0
для будь-якого l ∈ {0, . . . , n+ r−1}, i ∈ p+ 1, p+ q α
(l)
i,j(ε)→
0, тодi
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))→ 0.
Доведення.
Розглянемо для будь-якого l ∈ {0, . . . , n + r − 1} при i ∈
p+ 1, p+ q :
‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))‖ ≤
ki∑
j=1
‖α(l)
i,j(ε)‖‖y
(l)(ti,j(ε))‖ → 0+
з умови 1 даної леми.
Далi вважатимемо, що
110 Є. В. Гнип, Т. I. Кодлюк
Припущення 2. Гранична однорiдна крайова задача
L(0)y(·, 0) = 0, B(0)y(·, 0) = 0,
має лише тривiальний розв’язок, де
Ly := y(r)(t) +
r∑
k=1
Ar−k(t)y
(r−k)(t),
а
B :
(
Wn+r
p
)m → Crm
лiнiйний неперервний оператор.
Теорема 3. Нехай виконано припущення 2 i при ε→ 0+
1) норма ‖Ak(·, ε)−Ak(·, 0)‖(n) → 0 для будь-якого k ∈
{0, . . . , r − 1};
2) для кожної вектор-функцiї y ∈
(
Wn+r
p
)m
B(ε)y → B(0)y;
Тодi для достатньо малих ε > 0 оператор (L(ε), B(ε)) оборо-
тний.
Якщо крiм того
3) ‖f(·, ε)− f(·, 0)‖(n) → 0, c(ε)→ c(0),
єдиний при малих ε розв’язок y(·, ε) крайової задачi
L(ε)y(·, ε) = f(·, ε), B(ε)y(·, ε) = c(ε),
задовольняє граничне спiввiдношення (5).
Доведення теореми 2. Оскiльки задача (3) – (4) випадок то-
тальної крайової задачi, тодi для доведення теореми 2, враху-
вавши її умови, теорема 3 вимагає сильної збiжностi операторiв
B(ε). Запишемо
‖B(ε)y(·; ε)−B(0)y(·; 0)‖ ≤
Неперервнiсть за параметром розв’язкiв ... крайових задач... 111
‖
n+r−1∑
l=0
p+q∑
i=1
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))−
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i y
(l)(ti)‖ ≤
‖
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))−
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i y
(l)(ti)‖+
+‖
n+r−1∑
l=0
p+q∑
i=p+1
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))‖ ≤
≤
n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))− α(l)
i y
(l)(ti)‖+
+
n+r−1∑
l=0
p+q∑
i=p+1
‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))‖
З попереднiх мiркувань, враховуючи леми 1 та 2, випливає
сильна збiжнiсть операторiв:
B(ε)→ B(0).
Отже, маємо, що виконуються всi умови теореми 3, а це й
доводить теорему 2. �
Лiтература
[1] Гнып Е. В., Кодлюк Т. И., Михайлец В. А. Фредгольмовые кра-
евые задачи с параметром на пространствах Соболева. // Укр.
мат. журн. – 2015. –67, № 5. –С. 584-591.
[2] Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. // Соврем. проблемы математики.
Новейшие достижения. – Москва: ВИНИТИ, 1987. – Т. 30. – С. 3—
103.
[3] Кодлюк Т. I. Одновимiрнi крайовi задачi з параметром в просто-
рах Соболєва / Iн-т математики НАН України. – Київ, 2013. –155
с.
112 Є. В. Гнип, Т. I. Кодлюк
[4] Левин А. Ю. О дифференциальных свойствах функции Грина
многоточечной краевой задачи // Докл. АН СССР. –1961. – 136,
№ 5. – С. 1022—1025.
[5] Рева Н. В. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв лiнiйних кра-
йових задач: Дис. канд. фiз.-мат. наук / Iн-т математики НАН
України. – Київ, 2009. – 148 с.
[6] Чеханова Г. А. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв однови-
мiрних крайових задач та їх похiдних: Дис. канд. фiз.-мат. наук /
Iн-т математики НАН України. – Київ, 2015. – 122 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-124 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:41Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/cd/46bc70d4f64e9aa75b906efc78dc71cd.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1242018-01-28T00:00:34Z Continuity with respect to parameter of solutions of nonclassical multipoint boundary value problems in Sobolev spaces Неперервність за параметром розв'язків некласичних багатоточкових крайових задач на просторах Соболєва Hnyp, Ye. V. Kodliuk, T. I. Гнип, Є. В. Кодлюк, Т. І. For linear systems of ordinary differential equations of order $r\in\mathbb{N}$, we investigate multipoint linear boundary-value problems that depend on a parameter. We find conditions under which the solutions to these problems are continuous with respect to the parameter in the Sobolev spaces $W_p^{n+r}\left([a,b],\mathbb{C}^m\right)$, where $m$, $n+1 \in \mathbb{N}$, and $p\in[1,\infty)$. Для лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь порядку $r\in\mathbb{N}$ досліджено некласичні багатоточкові лінійні крайові задачі, залежні від параметра. Знайдено умови неперервності за параметром розв'язків цих задач у соболєвських просторах $W_p^{n+r}\left([a,b],\mathbb{C}^m\right)$, де $m$, $n+1 \in \mathbb{N}$ і $p\in[1,\infty)$. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/124 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 101-112 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 101-112 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 101-112 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/124/169 Авторське право (c) 2015 Є. В. Гнип, Т. І. Кодлюк |
| spellingShingle | Hnyp, Ye. V. Kodliuk, T. I. Гнип, Є. В. Кодлюк, Т. І. Continuity with respect to parameter of solutions of nonclassical multipoint boundary value problems in Sobolev spaces |
| title | Continuity with respect to parameter of solutions of nonclassical multipoint boundary value problems in Sobolev spaces |
| title_alt | Неперервність за параметром розв'язків некласичних багатоточкових крайових задач на просторах Соболєва |
| title_full | Continuity with respect to parameter of solutions of nonclassical multipoint boundary value problems in Sobolev spaces |
| title_fullStr | Continuity with respect to parameter of solutions of nonclassical multipoint boundary value problems in Sobolev spaces |
| title_full_unstemmed | Continuity with respect to parameter of solutions of nonclassical multipoint boundary value problems in Sobolev spaces |
| title_short | Continuity with respect to parameter of solutions of nonclassical multipoint boundary value problems in Sobolev spaces |
| title_sort | continuity with respect to parameter of solutions of nonclassical multipoint boundary value problems in sobolev spaces |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/124 |
| work_keys_str_mv | AT hnypyev continuitywithrespecttoparameterofsolutionsofnonclassicalmultipointboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT kodliukti continuitywithrespecttoparameterofsolutionsofnonclassicalmultipointboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT gnipêv continuitywithrespecttoparameterofsolutionsofnonclassicalmultipointboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT kodlûktí continuitywithrespecttoparameterofsolutionsofnonclassicalmultipointboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT hnypyev neperervnístʹzaparametromrozv039âzkívneklasičnihbagatotočkovihkrajovihzadačnaprostorahsobolêva AT kodliukti neperervnístʹzaparametromrozv039âzkívneklasičnihbagatotočkovihkrajovihzadačnaprostorahsobolêva AT gnipêv neperervnístʹzaparametromrozv039âzkívneklasičnihbagatotočkovihkrajovihzadačnaprostorahsobolêva AT kodlûktí neperervnístʹzaparametromrozv039âzkívneklasičnihbagatotočkovihkrajovihzadačnaprostorahsobolêva |