On solutions of differential equations in Banach space on the whole real axis
We consider an equation of the form $\left(\frac{d}{dt} - A\right)^n\left(\frac{d}{dt} + A\right)^my(t) = 0, \ t \in = (-\infty, \infty)$, \ $n, m \in \mathbb{N}_{0} = \{0\}\cup \mathbb{N}, \ n + m \geq 1 $, where $A$ is the generator of a bounded analytic $C_{0}$-semigroup of linear operators in a...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/125 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552642097446912 |
|---|---|
| author | Gorbachuk, V. M. Горбачук, В. М. |
| author_facet | Gorbachuk, V. M. Горбачук, В. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Горбачук",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
}
] |
| author_sort | Gorbachuk, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-28T00:03:24Z |
| description | We consider an equation of the form $\left(\frac{d}{dt} - A\right)^n\left(\frac{d}{dt} + A\right)^my(t) = 0, \ t \in = (-\infty, \infty)$, \ $n, m \in \mathbb{N}_{0} = \{0\}\cup \mathbb{N}, \ n + m \geq 1 $, where $A$ is the generator of a bounded analytic $C_{0}$-semigroup of linear operators in a Banach space, and describe all its solutions on $(-\infty, \infty)$. It is shown that each such solution is an entire vector-valued function, the set of all the solutions forms an infinite-dimensional space, and for its elements the Phragmen-Lindel\"{o}f principle holds true. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 113–125
УДК 517.9
В. М. Горбачук
(Нацiональний технiчний унiверситет України ”КПI”, Київ)
Про розв’язки
диференцiальних рiвнянь
у банаховому просторi
на всiй числовiй осi
v.m.horbach@gmail.com
We consider an equation of the form
(
d
dt −A
)n ( d
dt +A
)m
y(t) =
0, t ∈= (−∞,∞), n,m ∈ N0 = {0} ∪ N, n + m ≥ 1, where A is
the generator of a bounded analytic C0-semigroup of linear operators
in a Banach space, and describe all its solutions on (−∞,∞). It is
shown that each such solution is an entire vector-valued function, the
set of all the solutions forms an infinite-dimensional space, and for
its elements the Phragmen-Lindelöf principle holds true.
Розглядається рiвняння вигляду
(
d
dt −A
)n ( d
dt +A
)m
y(t) =
0, t ∈= (−∞,∞), n,m ∈ N0 = {0} ∪ N, n +m ≥ 1, де A – гене-
ратор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи лiнiйних операторiв у
банаховому просторi. Описуються усi його розв’язки на (−∞,∞).
Доводиться, що кожен такий розв’язок є цiлою вектор-функцiєю,
множина усiх розв’язкiв є нескiнченновимiрною, а для її елемен-
тiв виконується принцип Фрагмена-Лiндельофа.
Основна мета роботи – дослiдження розв’язкiв y(t) рiвняння(
d
dt
−A
)n( d
dt
+A
)m
y(t) = 0,
t ∈ R = (−∞,∞), n,m ∈ N0 = {0} ∪ N,
(1)
c© В. М. Горбачук, 2015
114 В. М. Горбачук
де A – iнфiнiтезiмальний генератор, або просто генератор обме-
женої аналiтичної C0-пiвгрупи у банаховому просторi B з нор-
мою ‖ · ‖ над полем C комплексних чисел, такий, що A−1 ∈
L(B), L(B) – множина всiх лiнiйних обмежених на B опера-
торiв. Зазначимо, що випадки n = 1,m = 0 та n = 0,m = 1, а
також n = m ≥ 1 розглянуто в [1, 2]. Рiвняння ж вигляду (1)
на iнтервалi (0,∞) дослiджувалось багатьма математиками за
рiзних умов на поведiнку розв’язкiв в околi точки 0 (див., на-
приклад, [3 - 6]).
1. Нехай {U(t)}t≥0 – C0-пiвгрупа операторiв U(t) ∈ L(B)
(стосовно теорiї пiвгруп у банаховому просторi див. [7, 8]), тобто:
1) U(0) = I, I – одиничний оператор в B ;
2) ∀t, s > 0 : U(t+ s) = U(t)U(s);
3) ∀x ∈ B : lim
t→0
‖U(t)x− x‖ = 0.
Генератор A пiвгрупи {U(t)}t≥0 визначається як
D(A) =
{
x ∈ B : lim
t→0
1
t
(U(t)x− x) iснує
}
,
Ax = lim
t→0
1
t
(U(t)x− x), x ∈ D(A).
Оператор A замкнений, i його область визначення D(A) є щiль-
ною в B (множину всiх таких операторiв позначатимемо через
E(B)). Бiльш того, D(A) є U(t)-iнварiантною, тобто U(t)x ∈
D(A) при x ∈ D(A), t ≥ 0, i AU(t)x = U(t)Ax.
Скрiзь у подальшому пiд
{
etA
}
t≥0 розумiється пiвгрупа, що
генерується оператором A
C0-пiвгрупа U(t) ∈ L(B) називається аналiтичною з кутом
аналiтичностi θ ∈
(
0, π2
]
, якщо оператор-функцiя U(·) визначена
в секторi Sθ = {z : | arg z| < θ} має такi властивостi:
1) ∀z1, z2 ∈ Sθ : U(z1 + z2) = U(z1)U(z2);
2) ∀x ∈ B : U(z)x є аналiтичною в Sθ;
3) ∀x ∈ B : ‖U(z)x− x‖ → 0 при z → 0 у будь-якому замкне-
ному пiдсекторi сектора Sθ.
Про розв’язки диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi ...115
Якщо, крiм того, сiм’я U(z) обмежена на кожному секторi Sψ з
ψ < θ, то пiвгрупа {U(t)}t≥0 називається обмеженою аналiтич-
ною з кутом θ.
Нехай тепер A – довiльний оператор з E(B). Позначимо через
G(1)(A) простiр цiлих векторiв оператора A:
G(1)(A) = proj lim
α→0
Gα
1 (A) =
⋂
α>0
Gα
1 (A),
де
Gα
1 (A) =
=
x ∈ ⋂
n∈N0
D(An)
∣∣∃c = c(x) > 0,∀k ∈ N0 = {0} ∪ N : ‖Akx‖ ≤ cαkkk
– банахiв простiр вiдносно норми
‖x‖Gα1 (A) = sup
k∈N0
‖Akx‖
αkkk
.
Збiжнiсть у просторi G(1)(A) означає збiжнiсть у кожному
Gα
1 (A), α > 0. Зауважимо, що G(1)(A) можна отримати, обме-
жившись лише α = 1
n , n ∈ N. Таким чином, простiр G(1)(A) є
зчисленно-нормованим (див.[9]).
Твердження 1. (Див.[6]). Нехай A ∈ E(B). Тодi для довiль-
них x ∈ G(1)(A) та z ∈ C ряд
∞∑
k=0
zkAkx
k! збiгається у просторi
G(1)(A), i оператор-функцiя
exp(zA) =
∞∑
k=0
zkAk
k!
є цiлою в G(1)(A). Бiльш того, сiм’я {exp(zA)}z∈C утворює од-
нопараметричну групу в G(1)(A). Якщо A – генератор обмеже-
ної аналiтичної пiвгрупи
{
etA
}
t≥0, то
G(1)(A) = B, G(1)(A) =
⋂
t≥0
R(etA)
116 В. М. Горбачук
(R(·) – область значень оператора), i
∀x ∈ G(1)(A) : exp(tA)x =
{
etAx, при t ≥ 0,(
e−tA
)−1
x, при t < 0,
З твердження 1 випливає, що для довiльного z ∈ C має мiсце
включення exp(zA)G(1)(A) ⊂ G(1)(A) i, якщо A−1 ∈ L(B), то
AG(1)(A) = G(1)(A).
Розглянемо рiвняння
dy(t)
dt
±Ay(t) = 0, t ∈ (−∞,∞), (2)
де A – генератор обмеженої аналiтичної пiвгрупи в B. Пiд
класичним розв’язком (або просто розв’язком) рiвняння з (2)
на (−∞,∞) розумiтимемо неперервно диференцiйовну вектор-
функцiю y(t) : (−∞,∞) 7→ D(A), що задовольняє це рiвняння.
Має мiсце наступне твердження (див. [1]).
Твердження 2. B-значна вектор-функцiя y(t) є розв’язком
рiвняння з (2) тодi i тiльки тодi, коли вона може бути вiдпо-
вiдно зображена у виглядi
y(t) = exp(∓tA)y0, y0 ∈ G(1)(A).
Якщо вектор-функцiя f(z) є цiлою у просторi G(1)(A), то за-
гальнi розв’язки рiвнянь
dy(t)
dt
±Ay(t) = f(t), t ∈ (−∞,∞),
мають, вiдповiдно, вигляд
y(t) = exp(∓tA)y0 +
t∫
0
exp(∓(t− s)A)f(s) ds, (3)
де y0 – довiльний елемент з G(1)(A).
Про розв’язки диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi ...117
2. Вектор-функцiя y(t) : (−∞,∞) 7→ D(An+m) називаєть-
ся розв’язком рiвняння (1) на (−∞,∞), якщо вона n +m разiв
неперервно диференцiйовна на (−∞,∞) i задовольняє там це рiв-
няння. Позначимо через ρ(·) резольвентну множину оператора.
Теорема 1. Нехай A – генератор обмеженої аналiтичної C0-
пiвгрупи
{
etA
}
t≥0 в B i 0 ∈ ρ(A). Вектор-функцiя y(t) є роз-
в’язком рiвняння (1) на (−∞,∞) тодi i тiльки тодi, коли вона
може бути зображена у виглядi
y(t) =
n−1∑
k=0
tk exp(tA)fk +
m−1∑
k=0
tk exp(−tA)gk, (4)
де fk, gk ∈ G(1)(A). Вектори fk, k = 0, 1, . . . , n − 1, i gk, k =
0, 1, . . . ,m− 1, визначаються однозначно за y(t).
Доведення. Розглянемо спочатку випадок n = 0, тобто коли
рiвняння (1) має форму(
d
dt
+A
)m
y(t) = 0, t ∈ (−∞,∞). (5)
При m = 1 теорема випливає з твердження 2.
Припустимо тепер, що розв’язок y(t) рiвняння (5) з m = i− 1
зображується у виглядi
y(t) =
i−2∑
k=0
tk exp(−tA)g̃k, g̃k ∈ G(1)(A), k = k = 0, 1, . . . , i− 2,
i доведемо, що таке зображення є вiрним i при m = i. Отже,
нехай y(t) – розв’язок рiвняння (5) з m = i. Оскiльки(
d
dt
+A
)i
y(t) =
(
d
dt
+A
)i−1( d
dt
+A
)
y(t) = 0, t ∈ (−∞,∞),
то
(
d
dt +A
)
y(t) є розв’язком рiвняння (5) з m = i− 1, а тому(
d
dt
+A
)
y(t) =
i−2∑
k=0
tk exp(−tA)g̃k, g̃k ∈ G(1)(A).
118 В. М. Горбачук
За формулою (3),
y(t) = exp(−tA)g0 +
t∫
0
exp(−(t− s)A)
i−2∑
k=0
sk exp(−sA)g̃k ds =
= exp(−tA)g0 +
i−1∑
k=1
exp(−tA)gk, gk =
g̃k
k
, k = 1, . . . , i− 1.
Таким чином, зображення (4) для розв’язкiв рiвняння (5) дове-
дене. Так само доводиться зображення (4) у виглядi другої суми
для розв’язкiв рiвняння(
d
dt
−A
)n
y(t) = 0, t ∈ (−∞,∞),
тобто при m = 0.
Нехай тепер n = 1,m ∈ N. Покладемо
z(t) =
(
d
dt
−A
)
y(t).
Тодi z(t) є розв’язком рiвняння(
d
dt
+A
)m
z(t) = 0, t ∈ (−∞,∞),
i, як було вже показано вище,
z(t) =
m−1∑
k=0
tk exp(−tA)g̃k, g̃k ∈ G(1)(A).
Оскiльки (
d
dt
−A
)
y(t) =
m−1∑
k=0
tk exp(−tA)g̃k,
Про розв’язки диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi ...119
то, згiдно з (3),
∃˜̃f0 ∈ G(1)(A) : y(t) = exp(tA)
˜̃
f0+
t∫
0
exp((t−s)A)
m−1∑
k=0
sk exp(−sA)g̃k ds.
(6)
Враховуючи рiвнiсть
t∫
0
sk exp(−2sA)g̃k ds =
˜̃
f0+
m−1∑
k=0
tk exp(−2tA) ˜̃gk, ˜̃
f0,
˜̃gk ∈ G(1)(A),
i перегруповуючи члени в (6), дiйдемо висновку, що
∃f0, gk ∈ G(1)(A) : y(t) = exp(tA)f0 +
m−1∑
k=0
tk exp(−tA)gk.
Припустимо зараз, що зображення (4) вiрне для n = s− 1, m, i
доведемо, що воно має мiсце i у випадку n, m. Покладаючи
z(t) =
(
d
dt
−A
)i−1( d
dt
+A
)m
y(t),
одержимо (
d
dt
−A
)
z(t) = 0.
Мiркуючи так само, як i в попереднiх випадках, на основi фор-
мули (3) прийдемо до зображення (4).
Доведемо єдинiсть представлення (4), тобто, що тотожнiсть
y(t) ≡ 0 зумовлює рiвностi fk = gk = 0, k = 0, 1, . . . ,m− 1.
Покладемо
y1(t) =
n−1∑
k=0
tk exp(tA)fk, y2(t) =
m−1∑
k=0
tk exp(−tA)gk. (7)
120 В. М. Горбачук
Беручи до уваги, що для k = 0, 1, . . . , n− 1(
d
dt
+A
)m( d
dt
−A
)k
y(t) =
(
d
dt
+A
)m( d
dt
−A
)k
y1(t),
а для k = 0, 1, . . . ,m− 1(
d
dt
−A
)n( d
dt
+A
)k
y(t) =
(
d
dt
−A
)n( d
dt
+A
)k
y2(t),
а також спiввiдношення(
d
dt
−A
)k
(ti exp(tA))f =
=
{
i(i− 1) . . . (i− k + 1)ti−k exp(tA)f при k ≤ i
0 при k > i
та(
d
dt
+A
)k
(ti exp(−tA))g =
=
{
i(i− 1) . . . (i− k + 1)ti−k exp(−tA)g при k ≤ i
0 при k > i,
одержимо(
d
dt
+A
)m( d
dt
−A
)n−1
y(t) =
=
(
d
dt
+A
)m
(n− 1)! exp(tA)fn−1 =
= 2m(n− 1)!Am exp(tA)fn−1
(8)
i (
d
dt
−A
)n( d
dt
+A
)m−1
y(t) =
=
(
d
dt
−A
)n
(m− 1)! exp(−tA)gm−1 =
= (−1)n2n(m− 1)!An exp(−tA)gm−1.
(9)
Про розв’язки диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi ...121
Припустимо тепер, що y(t) ≡ 0. Тодi з теореми 1 i рiвностей
(8), (9) при t = 0 випливає, що
fn−1 = gm−1 = 0,
тобто y(t) має вигляд
y(t) =
n−2∑
k=0
tk exp(tA)fk +
m−2∑
k=0
tk exp(−tA)gk.
Повторюючи цю процедуру max{n,m} разiв, дiйдемо висновку,
що усi fk, k = 0, 1, . . . , n − 1, та gk, k = 0, 1, . . . ,m − 1) у зобра-
женнi (4) дорiвнюють нулевi, що й завершує доведення теореми.
Наслiдок 1. Будь-який розв’язок рiвняння (1) на (−∞,∞) до-
пускає продовження до цiлої вектор-функцiї зi значеннями в
G(1)(A).
Позначимо через σ(A) спектр оператора A i покладемо
s = s(A) = sup
λ∈σ(A)
Reλ.
Як вiдомо, s(A) є не що iнше, як тип пiвгрупи
{
etA
}
t≥0. Оскiльки,
за припущенням, ця пiвгрупа є обмеженою аналiтичною i 0 ∈
ρ(A), то s < 0.
З твердження 1 i теореми 1 випливає нескiнченновимiрнiсть
простору усiх розв’язкiв рiвняння (1). Бiльш того, для них має
мiсце наступний аналог принципу Фрагмена-Лiндельофа [10, 11].
Теорема 2. Нехай y(t) – розв’язок рiвняння (1) на (−∞,∞).
Якщо
∃γ ∈ (0,−s), ∃cγ > 0 : ‖y(t)‖ ≤ cγeγ|t|, t ∈ (−∞,∞), (10)
то y(t) ≡ 0.
122 В. М. Горбачук
Доведення. Запишемо представлення (4) у виглядi y(t) =
y1(t)+y2(t), де y1(t), y2(t) визначаються формулами (7). Оскiль-
ки пiвгрупа
{
etA
}
t≥0 є обмеженою аналiтичною, то, за тверджен-
ням 1, exp(tA)fk = etAfr, k = 0, 1, . . . , n− 1 при t > 0. Як випли-
ває з означення типу пiвгрупи,
∀δ ∈
(
0,−s
2
)
, ∀t ≥ 0, ∃cδ > 0 :
∥∥etA∥∥ ≤ cδe(s+δ)t,
звiдки
∀t ≥ 0 : ‖y1(t)‖ ≤
n−1∑
k=0
tk‖ exp(tA)fk‖ ≤
n−1∑
k=0
ckδe
(s+2δ)t ≤ c̃δe(s+2δ)t,
(11)
де 2δ ∈ (0,−s) i стала c̃δ =
n−1∑
k=0
ckδ залежить тiльки вiд fk.
Нехай тепер g ∈ G(1)(A). Тодi
∀δ ∈
(
0,−s
2
)
, ∀t ≥ 0 : ‖g‖ =
∥∥etA exp(−tA)g
∥∥ ≤
≤
∥∥etA∥∥ ‖ exp(−tA)g‖ ≤ cδe(s+δ)t‖ exp(−tA)g‖.
Це зумовлює нерiвнiсть
‖ exp(−tA)g‖ ≥ c′δe−(s+δ)t‖g‖ при t ≥ 0,
а тому
∀t ≥ 0 : ‖y2(t)‖ = ‖ exp(−tA)h(t)‖ ≥ c′δe−(s+δ)t‖h(t)‖,
де h(t) =
m−1∑
k=0
tkgk i c′δ = c−1δ не залежить вiд t.
Припустимо, що y2(t) 6≡ 0. Тодi у зображеннi (7) для y2(t)
iснує k, при якому gk 6= 0. Без обмеження загальностi можна
припустити, що gm−1 6= 0. Тодi
∀t > 0 : ‖y2(t)‖ ≥ c′δe−(s+δ)t
(
tm−1‖gm−1‖ −
∥∥∥∥∥
m−2∑
k=0
tigk
∥∥∥∥∥
)
=
Про розв’язки диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi ...123
= c′δe
−(s+δ)ttm−1
(
‖gm−1‖ −
∥∥∥∥∥
m−2∑
k=0
tk−m+1gk
∥∥∥∥∥
)
.
Оскiльки ∥∥∥∥∥
m−2∑
k=0
tk−m+1gk
∥∥∥∥∥→ 0 при t→∞
i tm−1 > e−δt для досить великих t > 0, то
∀t > 0, ∀δ ∈
(
0,−s
2
)
: ‖y2(t)‖ ≥ c′′δe−(s+2δ)t, (12)
де c′′δ не залежить вiд t. Беручи до уваги (11) i (12), одержуємо
∀t > 0 :‖y2(t)‖ = ‖y(t)− y1(t)‖ ≤ ‖y(t)‖+ ‖y1(t)‖ ≤
≤ cγeγt + c̃δe
(s+2δ)t ≤ ceγt,
(13)
де c = cγ + c̃δ. З нерiвностей (12), (13) випливає, що
∀t > 0 : cδe
−(s+2δ)t ≤ ‖y2(t)‖ ≤ cγeγt.
Покладемо
ϕ(t) =
‖y2(t)‖
cδe−(s+2δ)t
.
Тодi для досить великих t > 0
1 ≤ ϕ(t) ≤ c̃e(γ+s+2δ)t, c̃ =
cγ
cδ
.
Покладаючи δ = −γ+s
4 , для великих t > 0 дiстанемо
1 ≤ ϕ(t) ≤ c̃e
γ+s
2
t.
Переходячи до границi при t → ∞ i враховуючи, що γ+s
2 < 0,
робимо висновок, що 1 ≤ ϕ(t) ≤ 0 за умови, що y2(t) 6= 0, коли
t ≥ 0, а це неможливо. Отже, y2(t) ≡ 0 на пiвосi [0,∞). Тому
gi = 0, i = 0, 1, . . .m− 1.
124 В. М. Горбачук
Якщо припустити, що y1(t) 6≡ 0, прийдемо до висновку, що
y1(t) 6= 0 при t ≤ 0. Пiдставляючи в (4) −t замiсть t, дiстанемо
y1(t) ≡ 0 на пiвосi (−∞, 0], звiдки, за Теоремою 1, fk = 0, k =
0, 1, . . . , n− 1 i, як наслiдок, y(t) ≡ 0.
Теорему доведено.
Наслiдок 2. (Аналог теореми Лiувiлля.) Нехай y(t) – розв’я-
зок рiвняння (1) на (−∞,∞). Тодi
sup
t∈(−∞,∞)
|y(t)| <∞ =⇒ y(t) ≡ 0, t ∈ (−∞,∞).
Лiтература
[1] Gorbachuk V. M. On solutions of parabolic and elliptic type
differential equations on (−∞,∞) in a Banach space. – Methods
Funct. Anal. Topology. – 2008. – 14, No. 2, 177–183.
[2] Gorbachuk V. M. On the structure of solutions of operator-differential
equations on the whole real axis. – Methods Funct. Anal. Topology. –
2015. – 21, no. 2.
[3] Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве. – Москва: Наука, 1967.
[4] Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear
Evolution Equations. – Berlin: Springer, 2000.
[5] Gorbachuk V. I., Gorbachuk M. L. Boundary Value Problems for
Operator Differential Equations. – Dordrecht etc.: Kluwer Academic
Publishers, 1991.
[6] Gorbachuk M., Gorbachuk V. On extensions and restrictions of
semigroups of linear operators in a Banach space and their
applications. – Math. Nachr. – 2012/ – 285, No 14-15. – P. 1860–
1879.
[7] Hille E., Phillips R. S. Functional Analysis and Semi-Groups. –
Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1957.
[8] Yosida K. Functional Analysis. – Berlin etc.: Springer, 1965.
Про розв’язки диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi ...125
[9] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Т. 2. Про-
странства основных и обобщенных функций. — Москва: Физмат-
гиз, 1958.
[10] Титчмарш Е. Терия функций. – Москва: Наука, 1980.
[11] Lax P. D. A Phragmen-Lindelöf theorem in harmonic analysis and
its application to some questions in the theory of elliptic equations. –
Comm. Pure Appl. Math. – 1957. – 10. – P. 361–389.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-125 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:40Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/67/1b94811fa13eca310c9ecd4bfe79ef67.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1252018-01-28T00:03:24Z On solutions of differential equations in Banach space on the whole real axis Про розв'язки диференціальних рівнянь у банаховому просторі на всій числовій осі Gorbachuk, V. M. Горбачук, В. М. We consider an equation of the form $\left(\frac{d}{dt} - A\right)^n\left(\frac{d}{dt} + A\right)^my(t) = 0, \ t \in = (-\infty, \infty)$, \ $n, m \in \mathbb{N}_{0} = \{0\}\cup \mathbb{N}, \ n + m \geq 1 $, where $A$ is the generator of a bounded analytic $C_{0}$-semigroup of linear operators in a Banach space, and describe all its solutions on $(-\infty, \infty)$. It is shown that each such solution is an entire vector-valued function, the set of all the solutions forms an infinite-dimensional space, and for its elements the Phragmen-Lindel\"{o}f principle holds true. Розглядається рівняння вигляду $\left(\frac{d}{dt} - A\right)^n\left(\frac{d}{dt} + A\right)^my(t) = 0, \ t \in = (-\infty, \infty)$, \ $n, m \in \mathbb{N}_{0} = \{0\}\cup \mathbb{N}, \ n + m \geq 1 $, де $A$ -- генератор обмеженої аналітичної $C_{0}$-півгрупи лінійних операторів у банаховому просторі. Описуються усі його розв'язки на $(-\infty, \infty)$. Доводиться, що кожен такий розв'язок є цілою вектор-функцією, множина усіх розв'язків є нескінченновимірною, а для її елементів виконується принцип Фрагмена-Ліндельофа. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/125 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 113-125 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 113-125 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 113-125 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/125/170 Авторське право (c) 2015 В. М. Горбачук |
| spellingShingle | Gorbachuk, V. M. Горбачук, В. М. On solutions of differential equations in Banach space on the whole real axis |
| title | On solutions of differential equations in Banach space on the whole real axis |
| title_alt | Про розв'язки диференціальних рівнянь у банаховому просторі на всій числовій осі |
| title_full | On solutions of differential equations in Banach space on the whole real axis |
| title_fullStr | On solutions of differential equations in Banach space on the whole real axis |
| title_full_unstemmed | On solutions of differential equations in Banach space on the whole real axis |
| title_short | On solutions of differential equations in Banach space on the whole real axis |
| title_sort | on solutions of differential equations in banach space on the whole real axis |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/125 |
| work_keys_str_mv | AT gorbachukvm onsolutionsofdifferentialequationsinbanachspaceonthewholerealaxis AT gorbačukvm onsolutionsofdifferentialequationsinbanachspaceonthewholerealaxis AT gorbachukvm prorozv039âzkidiferencíalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorínavsíjčislovíjosí AT gorbačukvm prorozv039âzkidiferencíalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorínavsíjčislovíjosí |