On multi-interval boundary value problems for differential equations with distribution coefficients
The paper studies the multi-interval boundary value problems of Shr\"{o}dinger type with distributional potentials. For the corresponding symmetric operators boundary triplets are found and constructive descriptions of all self-adjoint, maximal dissipative and maximal accumulative extension...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/127 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552644761878528 |
|---|---|
| author | Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. |
| author_facet | Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Goriunov, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-28T00:06:15Z |
| description | The paper studies the multi-interval boundary value problems of Shr\"{o}dinger type with distributional potentials. For the corresponding symmetric operators boundary triplets are found and constructive descriptions of all self-adjoint, maximal dissipative and maximal accumulative extensions and generalized resolvents in terms of homogeneous boundary conditions are given. Real extensions and extensions given by local boundary conditions are described as well. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 126–138
УДК 517.984, 517.923
А. С. Горюнов
(Институт математики НАН Украины, Киев)
О многоинтервальных
краевых задачах
для дифференциальных уравнений
с коэффициентами-распределениями
goriunov@imath.kiev.ua
The paper studies the multi-interval boundary value problems of
Shrödinger type with distributional potentials. For the corresponding
symmetric operators boundary triplets are found and constructive
descriptions of all self-adjoint, maximal dissipative and maximal
accumulative extensions and generalized resolvents in terms of
homogeneous boundary conditions are given. Real extensions and
extensions given by local boundary conditions are described as well.
В работе изучены многоинтервальные краевые задачи для диф-
ференциальных уравнений типа Шредингера с коэффициентами-
распределениями. Для соответствующих симметрических опера-
торов построены пространства граничных значений, даны кон-
структивные описания всех самосопряженных, максимальных
диссипативных и максимальных аккумулятивных расширений, а
также обобщенных резольвент в терминах краевых условий. Так-
же отдельно выделены вещественные расширения и расширения,
заданные локальными краевыми условиями.
c© А. С. Горюнов, 2015
О многоинтервальных краевых задачах ... 127
Пусть n,m ∈ N, m ≥ 2 и a = a0 < a1 < · · · < an = b —
разбиение конечного интервала [a, b] на n частей. Пусть также
числа kj ∈ N, 1 ≤ kj <
m
2
, и на каждом подинтервале (aj−1, aj),
j ∈ {1, . . . , n} задано формальное дифференциальное выражение
порядка m
lj(y) = imy(m)(t) + qj(t)y(t), (1)
где потенциалы-распределения qj удовлетворяют условия
qj = Q
(kj)
j ,
Qj ∈ L1([aj−1, aj ],R),
(2)
а производные понимаются в смысле обобщенных функций.
Для случая n = k0 = 1 краевые задачи, связанные с фор-
мальным дифференциальным выражением (1) при условиях (2)
изучались в [1]. Случай n = 1, 1 ≤ k0 ≤ m/2, был исследован в
работе [2]. Целью данной работы является обобщение результа-
тов [1, 2] на случай n ≥ 2.
Введем, следуя [2], на каждом интервале (aj−1, aj) квазипро-
изводные
D
[r]
j y = y(r), 0 ≤ r ≤ m− kj − 1;
D
[m−kj+s]
j y = (D
[m−kj+s−1]
j y)′ + i−m(−1)s
(
kj
s
)
QjD
[s]
j y, 0 ≤ s ≤ kj ,
где
(
k
s
)
— биномиальные коэффициенты.
Введем обозначения
ŷj(t) =
(
D
[0]
j y(t), D
[1]
j y(t), . . . , D
[m−1]
j y(t)
)
∈ Cm.
Тогда в гильбертовых пространствах L2 ((aj−1, aj),C) опреде-
лены максимальные и минимальные операторы
Lj,1 : y → lj [y],
128 А. С. Горюнов
Dom(Lj,1) :=
{
y ∈ L2
∣∣∣D[0]
j y, . . . , D
[m−1]
j y ∈ AC, D[m]
j y ∈ L2
}
,
Lj,0 : y → lj [y],
Dom(Lj,0) := {y ∈ Dom(Lj,1) |ŷj(aj−1) = ŷj(aj) = 0} .
Как показано в работе [2], операторы Lj,1, Lj,0 замкнуты и плот-
но определены в пространстве L2 ([aj−1, aj ],C). Оператор Lj,0 яв-
ляется симметрическим с индексом дефекта (m,m) и
L∗j,0 = Lj,1, L∗j,1 = Lj,0.
Напомним, что пространством граничных значений симмет-
рического оператора T с равными дефектными числами назы-
вается тройка (H,Γ1,Γ2), где H — вспомогательное гильбертово
пространство, а Γ1, Γ2 — линейные отображения из Dom(T ∗) в
H, такие, что:
1. для любых f, g ∈ Dom (T ∗)
(T ∗f, g)H − (f, T ∗g)H = (Γ1f,Γ2g)H − (Γ2f,Γ1g)H ,
2. для любых g1, g2 ∈ H существует вектор f ∈ Dom (T ∗) та-
кой, что Γ1f = g1 и Γ2f = g2.
В работе [2] показано, что для любого j = 1, . . . , n трой-
ка (Cm,Γ1,j ,Γ2,j), где Γ1,j ,Γ2,j — линейные отображения из
Dom(Lj,1) на Cm, такие, что
Γ1,jy := i2l
−D[2l−1]
j y(aj−1),
...,
(−1)lD
[l]
j y(aj−1),
D
[2l−1]
j y(aj),
...,
(−1)l−1D
[l]
j y(aj)
, Γ2,jy :=
D
[0]
j y(aj−1),
...,
D
[l−1]
j y(aj−1),
D
[0]
j y(aj),
...,
D
[l−1]
j y(aj)
при m = 2l и
О многоинтервальных краевых задачах ... 129
Γ1,jy := i2l+1
−D[2l]
j y(aj−1),
...,
(−1)lD
[l+1]
j y(aj−1),
D
[2l]
j y(aj),
....,
(−1)l−1D
[l+1]
j y(aj),
αD
[l]
j y(aj) + βD
[l]
j y(aj−1)
,
Γ2,jy :=
D
[0]
j y(aj−1),
...,
D
[l−1]
j y(aj−1),
D
[0]
j y(aj),
...,
D
[n−1]
j y(aj),
γD
[l]
j y(aj) + δD
[l]
j y(aj−1)
,
где
α = 1, β = 1, γ =
(−1)l
2
+ i, δ =
(−1)l+1
2
+ i
приm = 2l+1, является пространством граничных значений для
оператора Lj,0.
Рассмотрим пространство L2 ([a, b],C) как прямую сумму
⊕nj=1L2 ([aj−1, aj ],C), состоящую из вектор-функций f = ⊕nj=1fj
таких, что fj ∈ L2 ([aj−1, aj ],C). В этом пространстве рассмот-
рим операторы Lmax = ⊕nj=1Lj,1 и Lmin = ⊕nj=1Lj,0.
Легко видеть, что операторы Lmax, Lmin замкнуты и плотно
определены в пространстве L2 ([a, b],C), а также, что оператор
Lmin является симметрическим с индексом дефекта (nm, nm) и
L∗min = Lmax, L∗max = Lmin.
130 А. С. Горюнов
Теорема 1. Тройка (Cnm,Γ1,Γ2), где Γ1,Γ2 — линейные отоб-
ражения
Γ1y := (Γ1,1y,Γ1,2y, . . . ,Γ1,ny) , Γ2y := (Γ2,1y,Γ2,2y, . . . ,Γ2,ny) ,
(3)
из Dom(Lmax) на Cnm является пространством граничных зна-
чений для оператора Lmin.
Доказательство. Проверим, что выполняются оба условия
определения пространства граничных значений.
1) Пусть y = ⊕nj=1yn, z = ⊕nj=1zn — две произвольные функ-
ции из Dom(Lmax). Тогда
(Lmaxy, z)− (y, Lmaxz) =
n∑
j=1
(Lj,1yj , zj)−
n∑
j=1
(yj , Lj,1zj) =
=
n∑
j=1
(Γ1,jyj ,Γ2,jzj)−
n∑
j=1
(Γ2,jyj ,Γ1,jzj) =
=(Γ1y,Γ2z)− (Γ2y,Γ1z).
2) Пусть g1, g2 ∈ Cnm, то есть g1 = (g1,1, . . . , g1,n), g2 =
(g2,1, . . . , g2,n), где gij ∈ Cm. Тогда для всех j = 1, . . . , n существу-
ют функции yj ∈ Dom(Lj,1 такие, что Γ1,jyj = g1,j , Γ2,jyj = g2,j ,
откуда сразу следует требуемое утверждение. �
Обозначим через LK сужение оператора Lmax на множество
функций y(t) ∈ Dom(Lmax), удовлетворяющих краевому условию
(K − I) Γ1y + i (K + I) Γ2y = 0, (4)
где K — ограниченный оператор в пространстве Cp.
Аналогично обозначим через LK сужение оператора Lmax на
множество функций y(t) ∈ Dom(Lmax), удовлетворяющих крае-
вому условию
(K − I) Γ1y − i (K + I) Γ2y = 0, (5)
О многоинтервальных краевых задачах ... 131
где K – ограниченный оператор в гильбертовом пространстве
Cnm×nm.
Конструктивное описание различных классов расширений
оператора Lmin дает
Теорема 2. Для любого оператора сжатия K в пространстве
Cp сужение LK оператора Lmax является максимальным дисси-
пативным расширением оператора Lmin. Аналогично, сужение
LK оператора Lmax является максимальным аккумулятивным
расширением Lmin.
Обратно, для любого максимального диссипативного (мак-
симального аккумулятивного) расширения L̃ оператора Lmin
существует единственный оператор сжатия K такой, что
L̃ = LK (соответственно, L̃ = LK).
Расширения LK и LK самосопряжены тогда и только тогда,
когда K является унитарным оператором в Cp.
Доказательство. Утверждение теоремы следует из теоремы 1
и теоремы 1.6 гл. 3 монографии [3] для пространств граничных
значений абстрактного симметрического оператора. �
Напомним, что линейный оператор T в пространстве
L2([a, b],C) называется вещественным, если:
1. Для произвольной функции f из Dom(T ) комплексно со-
пряженная функция f также принадлежит Dom(T ).
2. Оператор T переводит комплексно сопряженные функции
в комплексно сопряженные функции, то есть T (f) = T (f).
В случае вещественности минимального оператора естествен-
но возникает вопрос о выделении среди его расширений тех, ко-
торые сами являются вещественными операторами. Справедли-
ва следующая теорема.
Теорема 3. Пусть число m — четное и все Qj ∈
L2([aj−1, aj ],R). Тогда соответствующие минимальный и мак-
симальный квазидифференциальные операторы Lmax и Lmin ве-
щественны.
132 А. С. Горюнов
Все вещественные максимальные диссипативные и макси-
мальные аккумулятивные расширения минимального операто-
ра Lmin самосопряжены. Самосопряженные расширения LK или
LK вещественны тогда и только тогда, когда унитарная мат-
рица K симметрична.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что веществен-
ны все операторы Lj,1 и Lj,0. Поэтому операторы Lmax и Lmin
вещественны, как их прямые суммы.
Пусть теперь LK — максимальное диссипативное веществен-
ное расширение Lmin. Поскольку коэффициенты квазипроизвод-
ных вещественны, легко видеть, что Γ1y = Γ1y и Γ2y = Γ2y.
Тогда для любой функции y ∈ Dom(LK) имеем
(K − I) Γ1y + i (K + I) Γ2y = 0,
то есть (
K − I
)
Γ1y − i
(
K + I
)
Γ2y = 0,
иными словами, LK ⊂ LK . Таким образом, максимальное дисси-
пативное расширение LK является также аккумулятивным, сле-
довательно, оператор LK самосопряжен, и тогда LK = LK .
Из замечания 4.3 работы [2] следует, что LK = LK тогда и
только тогда, когда K−1 = K. Поскольку матрица K унитарна,
K−1 = KT , поэтому имеем K = KT .
Аналогично показывается, что максимальное аккумулятивное
расширение вещественно тогда и только тогда, когда оно само-
сопряжено и K = KT . �
Все функции из Dom(Lmax) и их квазипроизводные до по-
рядка m− 1 принадлежат ⊕nj=1AC ([aj−1, aj ],C). Следовательно,
нижеследующие обозначения корректны.
Будем обозначать через fa− росток слева, а через fa+ росток
справа непрерывной функции f в точке a. По аналогии с ра-
ботой [2] будем говорить, что краевые условия, определяющие
оператор L ⊂ Lmax называются локальными, если для любой
О многоинтервальных краевых задачах ... 133
функции y ∈ Dom(L) и функций y1, . . . , yn ∈ Dom(Lmax), из то-
го, что yjaj− = yaj−, yjaj+ = yaj+ и yjak− = yjak+ = 0, k 6= j,
следует, что yj ∈ Dom(L). Для j = 0 и j = n рассматриваются
соответственно только правый и левый ростки.
Следующее утверждение дает в случае выражения четного
порядка m = 2l описание расширений LK и LK , заданных ло-
кальными краевыми условиями.
Теорема 4. Краевые условия (4) и (5), задающие соответ-
ственно расширения LK и LK , являются локальными тогда и
только тогда, когда матрица K имеет вид
K =
Ka0 0 . . . 0
0 Ka1 . . . 0
0 0 . . . Kan
, (6)
где Ka1 и Kan ∈ Cl×l, а остальные Kaj ∈ Cm×m.
Доказательство. Рассмотрим расширение LK , заданное крае-
выми условиями вида (4).
Заметим сначала, что для f, g ∈ Dom(Lmax) из faj− = gaj−
следует, что D
[k]
j faj− = D
[k]
j gaj−, k = 0, . . . ,m−1, а из faj+ = gaj+
следует D
[k]
j+1faj+ = D
[k]
j+1gaj+, k = 0, . . . ,m− 1.
Поскольку порядок выражения m = 2l, можно ввести обозна-
чения
Γ1,j = (Γ1,j,aj−1 ,Γ1,j,aj ), Γ2,j = (Γ2,j,aj−1 ,Γ2,j,aj ).
Тогда из faj− = gaj− следует, что Γ1,j,ajf = Γ1,j,ajg, и Γ2,j,ajf =
Γ2,j,ajg, а из faj+ = gaj+ следует, что Γ1,j+1,ajf = Γ1,j+1,ajg и
Γ2,j+1,ajf = Γ2,j+1,ajg.
Если K имеет вид (6), то краевые условия (4) можно записать
134 А. С. Горюнов
как систему
(Ka0 − I)Γ1,1,a0y + i(Ka0 + I)Γ2,1,a0y = 0,
(Ka1 − I)
(
Γ1,1,a1y
Γ1,2,a1y
)
+ i(Ka1 + I)
(
Γ2,1,a1y
Γ2,2,a1y
)
= 0,
. . .
(Kan − I)Γ1,n,any + i(Kan + I)Γ2,n,any = 0.
Легко видеть, что такие краевые условия являются локаль-
ными.
Обратно, пусть краевые условия (4) локальные. Запишем мат-
рицу K в виде
K =
K1,1 K1,2 . . . K1,2n
K2,1 K2,2 . . . K2,n
. . . . . . . . . . . .
K2n,1 K2n,2 . . . K2n,2n
,
где блоки Kr,j ∈ Cl×l. Нам нужно показать, что Krj = 0 за
исключением таких случаев: r = j = 1; r = j = 2n; r = 2p + 1,
j ∈ {r, r+1}, p = 0, . . . , n−1; r = 2p, j ∈ {r−1, r}, p = 1, . . . , n−1.
Краевые условия (4) принимают вид системы из 2n уравнений
n∑
j=1
(
K2p+1,2j−1Γ1,j,aj−1y +K2p+1,2jΓ1,j,ajy
)
− IΓ1,p+1,ap+
+ i
n∑
j=1
(
K2p+1,2j−1Γ2,j,aj−1y +K2p+1,2jΓ2,j,ajy
)
+ iIΓ2,p+1,ap = 0,
r = 2p+ 1, p = 0, . . . , n,
n∑
j=1
(
K2p,2j−1Γ1,j,aj−1y +K2p,2jΓ1,j,ajy
)
− IΓ1,p,ap+
+ i
n∑
j=1
(
K2p,2j−1Γ2,j,aj−1y +K2p,2jΓ2,j,ajy
)
+ iIΓ2,p,ap = 0,
r = 2p, p = 1, . . . , n
О многоинтервальных краевых задачах ... 135
Согласно определению локальных краевых условий, любая
функция ys, такая, что ysas− = yas−, ysas+ = yas+ и ysak− =
ysak+ = 0, k 6= s, также удовлетворяет этой системе. Следова-
тельно, имеем
Kr,2s+1Γ1,s+1,asy +Kr,2sΓ1,s,asy+
+ iKr,2s+1Γ2,s+1,asy + iKr,2sΓ2,s,asy = 0,
или
Kr,2s+1 (Γ1,s+1,asy + iΓ2,s+1,asy) +
+Kr,2s (Γ1,s,asy + iΓ2,s,asy) = 0,
(7)
где r = 1, . . . , 2n, а s пробегает все значения от 1 до n− 1, s 6= p,
где r = 2p либо r = 2p + 1. Таким образом данные уравнения
содержат все Krs, для которых надо показать, что они равны 0.
Перепишем теперь условия (4) в параметрической форме. Для
произвольного вектора F ∈ Cnm, F = (F1, . . . , F2n), Fj ∈ Cl рас-
смотрим векторы −i(K + I)F и (K − I)F . Из определения про-
странства граничных значений следует, что существует функция
yF ∈ Dom(Lmax) такая, что{
−i (K + I)F = Γ1yF ,
(K − I)F = Γ2yF .
Легко видеть, что такая функция yF удовлетворяет краевым
условиям (4) и, следовательно, yF ∈ Dom(LK). Перепишем по-
следнюю систему в терминах блоков Kr,j матрицы K:
136 А. С. Горюнов
− i
2n∑
j=1
Kr,jFj − iFr = Γ1,p,apyF , r = 2p+ 1, p = 0, . . . , n,
− i
2n∑
j=1
Kr,jFj − iFr = Γ1,p+1,apyF , r = 2p, p = 1, . . . , n,
− i
2n∑
j=1
Kr,jFj − Fr = Γ2,p,apyF , r = 2p+ 1, p = 0, . . . , n,
− i
2n∑
j=1
Kr,jFj − Fr = Γ2,p+1,apyF , r = 2p, p = 1, . . . , n,
откуда имеем, что Γ1,p,apy + iΓ2,p,apy = −2iF2p и Γ1,p+1,apy +
iΓ2,p+1,apy = −2iF2p+1 для произвольных Fj ∈ Cl.
Применяя это представление к (7) и варьируя Fj , получаем,
что Ker(Krs) = Cl для всех Krs, входящих в (7), что завершает
доказательство теоремы. �
Напомним, что обобщенной резольвентой замкнутого симмет-
рического оператора L в гильбертовом пространстве H называ-
ется операторная функция λ 7→ Rλ, заданная на C \ R, которая
может быть представлена в виде
Rλf = P+
(
L+ − λI+
)−1
f, f ∈ H,
где L+ — какое-либо самосопряженное расширение L с выходом
в некоторое гильбертово пространство H+ ⊃ H, I+ — единичный
оператор вH+, а P+ — оператор ортогонального проектирования
в H+ на H. Известно, что операторная функция Rλ является
обобщенной резольвентой симметрического оператора L тогда и
только тогда, когда она может быть представлена в виде
(Rλf, g)H =
∫ +∞
−∞
d (Fµf, g)
µ− λ
, f, g ∈ H,
О многоинтервальных краевых задачах ... 137
где Fµ — обобщенная спектральная функция оператора L, т. е.
операторная функция µ 7→ Fµ, определенная на R такая, что
1. При µ2 > µ1 разность Fµ2 − Fµ1 является ограниченным
неотрицательным оператором.
2. Fµ+ = Fµ при всех вещественных µ.
3. При любом x ∈ H
lim
µ→−∞
||Fµx||H = 0, lim
µ→+∞
||Fµx− x||H = 0.
Следующая теорема дает описание обобщенных резольвент
симметрического оператора Lmin.
Теорема 5. 1) Каждая обобщенная резольвента Rλ оператора
Lmin в полуплоскости Imλ < 0 задается формулой Rλh = y, где
y — решение краевой задачи вида
l(y) = λy + h,
(K(λ)− I) Γ1f + i (K(λ) + I) Γ2f = 0.
Тут h(x) ∈ L2([a, b],C) и K(λ) — голоморфная в нижней по-
луплоскости операторная функция в пространстве Cp такая,
что ||K(λ)|| ≤ 1.
2) В полуплоскости Imλ > 0 каждая обобщенная резольвента
оператора Lmin задается формулой Rλh = y, где y — решение
краевой задачи вида
l(y) = λy + h,
(K(λ)− I) Γ1f − i (K(λ) + I) Γ2f = 0.
Тут h(x) ∈ L2([a, b],C) и K(λ) — голоморфная в верхней полу-
плоскости операторная функция в пространстве Cp такая, что
||K(λ)|| ≤ 1.
Эта параметризация обобщенных резольвент операторными
функциями K(λ) биективна.
138 А. С. Горюнов
Доказательство. Утверждение теоремы следует из теоремы 1
и теоремы 1 работы [4]. �
Список литературы
[1] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term
differential equations with singular coefficients by quasiderivatives //
Ukrainian Math. J. — 2011. — 63, № 9. — P. 1190–1205.
[2] Goriunov A. S., Mikhailets V. A., Pankrashkin K. Formally self-
adjoint quasi-differential operators and boundary-value problems //
Electron. J. Diff. Equ. — 2013. — № 101. — P. 1–16.
[3] Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для
дифференциально-операторных уравнений. – Киев: Наукова дум-
ка, 1984 – 284 с.
[4] Брук В. М. Об одном классе краевых задач со спектральным пара-
метром в граничном условии // Мат. сборник. — 1976. —100(142),
№ 2(6). — С. 210–216.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-127 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:43Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a0/fb9b9790a1ab1da591f9ad98caa4d7a0.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1272018-01-28T00:06:15Z On multi-interval boundary value problems for differential equations with distribution coefficients О многоинтервальных краевых задачах для дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. The paper studies the multi-interval boundary value problems of Shr\"{o}dinger type with distributional potentials. For the corresponding symmetric operators boundary triplets are found and constructive descriptions of all self-adjoint, maximal dissipative and maximal accumulative extensions and generalized resolvents in terms of homogeneous boundary conditions are given. Real extensions and extensions given by local boundary conditions are described as well. В работе изучены многоинтервальные краевые задачи для дифференциальных уравнений типа Шредингера с коэффициентами-распределениями. Для соответствующих симметрических операторов построены пространства граничных значений, даны конструктивные описания всех самосопряженных, максимальных диссипативных и максимальных аккумулятивных расширений, а также обобщенных резольвент в терминах краевых условий. Также отдельно выделены вещественные расширения и расширения, заданные локальными краевыми условиями. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/127 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 126-138 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 126-138 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 126-138 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/127/171 Авторське право (c) 2015 А. С. Горюнов |
| spellingShingle | Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. On multi-interval boundary value problems for differential equations with distribution coefficients |
| title | On multi-interval boundary value problems for differential equations with distribution coefficients |
| title_alt | О многоинтервальных краевых задачах для дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями |
| title_full | On multi-interval boundary value problems for differential equations with distribution coefficients |
| title_fullStr | On multi-interval boundary value problems for differential equations with distribution coefficients |
| title_full_unstemmed | On multi-interval boundary value problems for differential equations with distribution coefficients |
| title_short | On multi-interval boundary value problems for differential equations with distribution coefficients |
| title_sort | on multi-interval boundary value problems for differential equations with distribution coefficients |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/127 |
| work_keys_str_mv | AT goriunovas onmultiintervalboundaryvalueproblemsfordifferentialequationswithdistributioncoefficients AT gorûnovas onmultiintervalboundaryvalueproblemsfordifferentialequationswithdistributioncoefficients AT goriunovas omnogointervalʹnyhkraevyhzadačahdlâdifferencialʹnyhuravnenijskoéfficientamiraspredeleniâmi AT gorûnovas omnogointervalʹnyhkraevyhzadačahdlâdifferencialʹnyhuravnenijskoéfficientamiraspredeleniâmi |