Evolutionary expansion of kinematic sets and universal kinematics
Analogs of set-theoretic inclusion relation and set-theoretic operation of disjoint union for kinematic changeable sets and universal kinematic sets are introduced and their properties are investigated. The obtained results may be used for formulation of mathematical foundations of special relativit...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/128 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552644638146560 |
|---|---|
| author | Grushka, Ya. I. Грушка, Я. І. |
| author_facet | Grushka, Ya. I. Грушка, Я. І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. І. Грушка",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Grushka, Ya. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T10:01:46Z |
| description | Analogs of set-theoretic inclusion relation and set-theoretic operation of disjoint union for kinematic changeable sets and universal kinematic sets are introduced and their properties are investigated. The obtained results may be used for formulation of mathematical foundations of special relativity in the framework of theory of kinematic changeable sets. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 139–204
УДК 510.22 + 51-71 + 517.983
Я. I. Грушка
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Еволюцiйнi розширення
кiнематичних множин та
унiверсальних кiнематик
grushka@imath.kiev.ua
Analogs of set-theoretic inclusion relation and set-theoretic operati-
on of disjoint union for kinematic changeable sets and universal ki-
nematic sets are introduced and their properties are investigated.
The obtained results may be used for formulation of mathematical
foundations of special relativity in the framework of theory of ki-
nematic changeable sets.
Введено аналоги теоретико-множинного вiдношення включення
та теоретико-множинної операцiї диз’юнктного об’єднання для
кiнематичних мiнливих множин та унiверсальних кiнематичних
множин, а також дослiджено їхнi властивостi. Отриманi резуль-
тати можуть бути застосованi для формулювання математичних
основ спецiальної теорiї вiдносностi в рамках теорiї кiнематичних
мiнливих множин.
c© Я. I. Грушка, 2015
140 Я. I. Грушка
1. Вступ.
Досягнення сучасної теоретичної фiзики широко вiдомi, але про-
блема математично строгого обґрунтування її основ, тобто шо-
ста проблема Гiльберта, залишається вiдкритою i по сьогоднi
[1, 2, 3, 4, 5]. В роботах [10, 8, 9, 7, 6, 11] було запропоновано но-
вий математичний апарат для розв’язання зазначеної проблеми
— математичну теорiю мiнливих множин. З iнтуїтивної точки зо-
ру мiнливi множини являють собою сукупностi об’єктiв, якi, на
вiдмiну вiд елементiв звичайних (статичних) множин, можуть
перебувати в процесi постiйних трансформацiй (зокрема змiню-
вати свої властивостi в часi, розпадатись на частини, чи навпа-
ки — об’єднуватись в одне цiле). Крiм того, характер еволюцiї
мiнливої множини та її компонентiв може змiнюватись залежно
вiд способу спостереження (тобто вiд областi сприймання або
системи вiдлiку). В роботах [12, 13, 14, 15] на базi теорiї мiнли-
вих множин було побудовано новий клас математичних об’єктiв
— кiнематичнi мiнливi множини, якi призначенi для математи-
чного моделювання еволюцiї фiзичних систем в рамках рiзних
законiв кiнематики, а також показано, що теорiя кiнематичних
мiнливих множин може бути застосована для математично стро-
гого обґрунтування кiнематики спецiальної теорiї вiдносностi та
її тахiонних розширень. Кiнематичнi мiнливi множини являють
собою математичнi об’єкти, в яких мiнливi множини оснащенi рi-
зноманiтними геометричними та топологiчними структурами, а
саме: метричними, топологiчними, лiнiйними, банаховими, гiль-
бертовими та iншими просторами. Крiм того, в роботi [14] до-
слiджено кiнематичнi мiнливi множини iз заданим унiверсаль-
ним перетворенням координат (унiверсальнi кiнематичнi множи-
ни, або унiверсальнi кiнематики). Роботи [12, 13, 14, 15] можна
вважати продовженням iдей, висловлених на фiзичному рiвнi в
роботах [16, 17, 18], в яких ставилась проблема дослiдження до-
вiльних можливих систем просторово-часових перетворень коор-
динат.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 141
В фiзицi часто зустрiчаються мiркування, коли до фiзичної
системи подумки долучають додатковi, реально не iснуючi в нiй
компоненти. Наприклад, пiд час виведення формул перетворень
Лоренца для систем вiдлiку з паралельними осями використо-
вується метод “свiтлової сфери”, тобто припускається, що в ну-
льовий момент часу на початку вiдлiку “спалахнуло свiтло” i свi-
тловi променi розходяться вiд початку вiдлiку у всiх напрямках
(див., наприклад, [19, стор. 25]). Таке припущення зовсiм не озна-
чає, що в довiльнiй моделi еволюцiї в рамках спецiальної теорiї
вiдносностi (СТВ) мусить iснувати “свiтлова сфера”. Просто ро-
биться припущення, що перетворення координат не змiниться,
коли ми до будь-якої еволюцiйної моделi в рамках СТВ долучи-
мо свiтлову сферу, тобто коли замiсть даної моделi розглянемо
“розширену” модель, в якiй свiтлова сфера вже присутня.
В роботi [20] було визначено аналоги теоретико-множинного
вiдношення включення та теоретико-множинної операцiї об’єд-
нання для базових мiнливих множин (тобто для мiнливих мно-
жин з однiєю системою вiдлiку). На основi введених понять було
дано математично строге обґрунтування процедури долучення
до вихiдної моделi нових “вiртуальних” еволюцiонуючих об’єктiв
за припущення, що еволюцiя цих, нових, об’єктiв не впливає
на еволюцiю вихiдної системи в рамках теорiї базових мiнливих
множин.
В данiй роботi робиться спроба перенесення конструкцiй ро-
боти [20] на кiнематичнi мiнливi множини з багатьма системами
вiдлiку. В роботi введенi аналоги теоретико-множинного вiдно-
шення включення для кiнематичних мiнливих множин та унi-
версальних кiнематик, а також дослiджено їхнi властивостi. У
випадку операцiї об’єднання, виникають певнi труднощi при ви-
значеннi вiдображень унiфiкацiї та перетворень координат, по-
в’язанi з iснуванням багатьох систем вiдлiку. В силу цих трудно-
щiв, для зазначених об’єктiв поки що вдалося побудувати лише
аналог операцiї диз’юнктного об’єднання.
З однiєї сторони, дана робота мiстить чисто технiчнi результа-
142 Я. I. Грушка
ти, необхiднi для доведення теореми про еволюцiйне розширення
для унiверсальних кiнематик i математично строгого формулю-
вання основ спецiальної теорiї вiдносностi в рамках теорiї кiне-
матичних мiнливих множин. З iншого боку, отриманi результати
можуть мати i самостiйний iнтерес, оскiльки в роботi дослiджу-
ються цiкавi математичнi об’єкти, що мають досить красивi вла-
стивостi.
2. Мiнливi множини i кiнематика
2.1. Математичнi об’єкти для побудови геометри-
чних оточень мiнливих множин.
Даний пiдроздiл носить суто технiчний характер. Тут не вво-
дяться нiякi принципово новi поняття, а лише робиться спроба
вкласти найбiльш часто вживанi математичнi простори, якi хоч
якимось чином пов’язанi з геометрiєю, в одну математичну стру-
ктуру, зручну для побудови абстрактних кiнематик.
Означення 1. Трiйку L = (K,⊕,⊗) будемо називати лiнiйною
структурою над множиною X, якщо:
1. K = (K,+K,×K) — поле.
2. ⊕ : X× X 7→ X — бiнарна операцiя над X;
3. ⊗ : K× X 7→ X — бiнарна операцiя з K× X в X.
4. Трiйка (X,⊕,⊗) є лiнiйним простором над полем K.
Якщо K ∈ {R,C}, то лiнiйну структуру L будемо називати
числовою лiнiйною структурою над X.
Якщо L = (K,⊕,⊗) є лiнiйною структурою над X, то лiнiй-
ний простiр над полем K, породжений цiєю структурою будемо,
позначати через Lp (X,L) (Lp (X,L) = (X,⊕,⊗)).
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 143
Наступне означення базується на концепцiї, що бiльшiсть най-
бiльш часто вживаних математичних об’єктiв (в тому числi фун-
кцiї, вiдношення, алгебраїчнi операцiї, упорядкованi пари або на-
бори) є множинами.
Означення 2. Шестiрку множин Q = (X, T ,L, ρ, ‖·‖ , (·, ·)) бу-
демо називати координатним простором, якщо виконую-
ться наступнi умови:
1. X 6= ∅.
2. T ∪ L 6= ∅.
3. Якщо T 6= ∅, то T — топологiя на X.
4. Якщо L 6= ∅, то L — числова лiнiйна структура над X.
5. Якщо L 6= ∅ i T 6= ∅, то пара (Lp (X,L) , T ) є лiнiйним
топологiчним простором.
6. Якщо ρ 6= ∅, то:
6.1) ρ — метрика на X;
6.2) T 6= ∅ i топологiя T породжена метрикою ρ.
7. Якщо ‖·‖ 6= ∅, то:
7.1) L 6= ∅ i ‖·‖ — норма на лiнiйному просторi Lp (X,L);
7.2) ρ 6= ∅ i ρ — метрика, породжена нормою ‖·‖.
8. Якщо (·, ·) 6= ∅, то:
8.1) ‖·‖ 6= ∅ (а отже, згiдно з 7.1), i L 6= ∅);
8.2) (·, ·) — скалярний добуток на лiнiйному просторi
Lp (X,L);
8.3) норма ‖·‖ породжена скалярним добутком (·, ·).
144 Я. I. Грушка
Зауваження про позначення. Нехай Q =
(X, T ,L, ρ, ‖·‖ , (·, ·)) — координатний простiр, де у випадку
L 6= ∅, L = (K,⊕,⊗) — числова лiнiйна структура над X. Надалi
будемо використовувати такi позначення:
1. Zk(Q) := X (множину Zk(Q) будемо називати множи-
ною значень координат Q).
2. T p(Q) := T (T p(Q) будемо називати топологiєю Q).
3. Ls(Q) := L (Ls(Q) будемо називати лiнiйною стру-
ктурою Q).
4. Ps(Q) :=
{
K, Ls(Q) 6= ∅
∅, Ls(Q) = ∅
(Ps(Q) будемо називати по-
лем скалярiв Q).
5. Для елементiв x1, . . . , xn ∈ Zk(Q), λ1, . . . , λn ∈ Ps(Q) (n ∈
N) будемо вживати позначення, (λ1x1 + · · ·+ λnxn)Q :=
λ1 ⊗ x1 ⊕ · · · ⊕ λn ⊗ xn.
6. diQ := ρ (diQ будемо називати дистанцiєю на Q).
7. ‖·‖Q := ‖·‖ (‖·‖Q будемо називати нормою на Q).
8. (·, ·)Q := (·, ·) ((·, ·)Q будемо називати скалярним добу-
тком на Q).
Елементи x ∈ Zk(Q) будемо називати координатами коорди-
натного простору Q, а у випадку Ls(Q) 6= ∅ цi елементи будемо
також називати векторами (векторними координатами)
Q. У випадку, коли це не викликає непорозумiнь у позначеннях
(λ1x1 + · · ·+ λnxn)Q, diQ, ‖·‖Q, (·, ·)Q символ Q будемо опускати,
вживаючи замiсть них позначення λ1x1+ · · ·+λnxn, di, ‖·‖, (·, ·)
вiдповiдно.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 145
2.2. Кiнематичнi мiнливi множини
В данiй роботi використовуються поняття та позначення теорiї
мiнливих множин, якi мiстяться в роботi [8] (див. також [7, 9, 11,
10, 20, 12, 14]).
Означення 3. 1. Пару G0 = (Q, k) будемо називати гео-
метричним оточенням базової мiнливої множини B,
якщо:
а) Q — координатний простiр;
б) k : Bs(B) 7→ Zk(Q) — вiдображення з Bs(B) в Zk(Q).
При цьому пару Cb = (B,G0) = (B, (Q, k)) будемо називати
базовою кiнематичною мiнливою множиною, або,
скорочено — базовою кiнематичною множиною.
2. Нехай, Z — мiнлива множина. Iндексовану сiм’ю пар ви-
ду G = ((Ql, kl) | l ∈ Lk (Z)) будемо називати геоме-
тричним оточенням мiнливої множини Z, якщо для
довiльної областi сприймання l ∈ Lk (Z) пара (Ql, kl)
є геометричним оточенням базової мiнливої множини
lˆ, породженої областю сприймання l, тобто якщо пара
(lˆ, (Ql, kl)) є базовою кiнематичною множиною для до-
вiльної l ∈ Lk (Z).
При цьому пару C = (Z,G) будемо називати кiнемати-
чною мiнливою множиною, або, скорочено — кiнема-
тичною множиною.
Пiдкреслимо, що в цiй статтi розглядаються лише кiнематичнi
множини зi сталою (не змiнною в часi) геометрiєю. Такi кiнема-
тичнi множини достатнi для побудови абстрактних кiнематик в
iнерцiйних системах вiдлiку. Зробивши певну модифiкацiю озна-
чення 3, визначити кiнематичнi множини з мiнливою геометрiєю,
в принципi, можливо.
146 Я. I. Грушка
2.2.1 Система позначень для базових кiнематичних
множин
Нехай, Cb = (B,G0) де G0 = (Q, k) — довiльна базова кiнемати-
чна множина. Надалi будемо використовувати наступну систему
позначень.
а) Позначення, iндукованi з теорiї базових мiнливих множин:
Bs
(
Cb
)
:= Bs(B); Bs
(
Cb
)
:= Bs(B); Bs←
Cb
:=
Bs←
B
;
←
Cb
:=←
B
; Ld
(
Cb
)
:= Ld(B);
Tm
(
Cb
)
:= Tm(B); Tm
(
Cb
)
:= Tm(B); ≤Cb := ≤B,
де Bs←
B
— база елементарних процесiв базової мiнливої мно-
жини B.
б) Позначення, iндукованi з позначень для координатних про-
сторiв:
Zk
(
Cb
)
:= Zk (Q) ; T p
(
Cb
)
:= T p (Q) ;
Ls
(
Cb
)
:= Ls (Q) ; Ps
(
Cb
)
:= Ps (Q) ; diCb := diQ;
‖·‖Cb := ‖·‖Q ; (·, ·) Cb := (·, ·)Q .
У випадку Ls
(
Cb
)
6= ∅ для довiльних a1, . . . , an ∈ Zk
(
Cb
)
,
λ1, . . . λn ∈ Ps
(
Cb
)
будемо використовувати позначення,
(λ1a1 + · · ·+ λnan)Cb := (λ1a1 + · · ·+ λnan)Q.
в) Власнi позначення для базових кiнематичних множин:
BE
(
Cb
)
:= B; BG
(
Cb
)
:= Q;
qCb(x) := k(x)
(
x ∈ Bs
(
Cb
))
.
Зауважимо, що функцiя qCb(·) ставить у вiдповiднiсть ко-
жному елементарному стану x ∈ Bs
(
Cb
)
його координату
qCb(x).
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 147
г) Скороченi варiанти позначень
• У тому випадку, коли наперед вiдомо, про яку базову
кiнематичну множину Cb йде мова у позначеннях ≤Cb ,
←
Cb
, Bs←
Cb
символ “Cb ” будемо опускати, застосовуючи по-
значення ≤, ←, Bs← вiдповiдно. При цьому, для довiльних
елементарно-часових станiв ω1, ω2 ∈ Bs(B) замiсть позна-
чення ω2
Bs←
Cb
ω1 часто будемо використовувати позначення
ω2←
Cb
ω1 або ω2←ω1.
• У тому випадку, коли наперед вiдомо, про яку базову кi-
нематичну множину Cb йде мова, замiсть позначень diCb ,
‖·‖Cb , (·, ·) Cb , qCb(x) будемо використовувати позначення di,
‖·‖, (·, ·), q(x) вiдповiдно.
2.2.2 Система позначень для кiнематичних множин
Нехай, C = (Z,G), де G = ((Ql, kl) | l ∈ Lk (Z)) — кiнематична
множина.
а) Мiнливу множину BE (C) := Z будемо називати базою ево-
люцiї кiнематичної множини C.
б) Множини Ind (C) := Ind (Z) = Ind (BE (C)) ; Lk (C) :=
Lk (Z) = Lk (BE (C)) будемо називати множиною iнде-
ксiв та множиною систем вiдлiку кiнематичної мно-
жини C (вiдповiдно). Причому у випадку кiнематичних
множин, на вiдмiну вiд абстрактних мiнливих множин, буде
використовуватись термiн “система вiдлiку”, а не “область
сприймання”.
в) Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) = Lk (Z) зберiга-
ються всi позначення, введенi для областей сприймання в
теорiї мiнливих множин (ind (l), Bs(l),←
l
, Bs(l), Bs←
l
, Tm(l),
Tm(l), ≤l, Ld(l)).
148 Я. I. Грушка
г) Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (C) iндукуються по-
значення для вiдображень унiфiкацiї:
〈m← l, C〉 := 〈m← l, Z〉 .
Зокрема, коли мiнлива множина Z є чiтко видимою, будемо
говорити, що кiнематична множина C є чiтко видимою
i використовувати позначення:
〈!m← l,C〉 := 〈!m← l,Z〉 .
д) За означенням 3, для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) па-
ра C � l = (lˆ, (Ql, kl)) є базовою кiнематичною множиною.
C � l будемо називати образом кiнематичної множи-
ни C у системi вiдлiку l.
е) Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) введемо наступнi
позначення:
Zk(l; C) := Zk (C � l) = Zk (Ql) ; Ls(l; C) := Ls (C � l) =
= Ls (Ql) ;
T p(l; C) := T p (C � l) = T p (Ql) ; Ps(l; C) := Ps (C � l)
= Ps (Ql) ;
‖·‖l,C := ‖·‖C�l = ‖·‖Ql
; dil (·; C) := diC�l = diQl
;
(·, ·)l,C := (·, ·)C�l = (·, ·)Ql
; BE(l) := BE(C � l) = lˆ;
BG(l; C) := BG(C � l) = Ql.
Також для систем вiдлiку l ∈ Lk (C) таких, що Ls(l; C) 6= ∅
i довiльних a1, . . . , an ∈ Zk(l; C), λ1, . . . λn ∈ Ps(l; C) бу-
демо використовувати позначення, (λ1a1 + · · ·+ λnan)l,C :=
(λ1a1 + · · ·+ λnan)Ql .
є) Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) введемо таке позна-
чення:
ql (x; C) := qC�l (x) = kl(x), x ∈ Bs (l) .
Таким чином, ql (·; C) є вiдображенням з Bs(l) в Zk(l; C).
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 149
ж) Скороченi варiанти позначень:
• У тих випадках, коли наперед вiдомо, про яку кiнемати-
чну множину C йде мова, замiсть позначень 〈m← l, C〉,
〈!m← l, C〉 , Zk(l; C), Ls(l; C), dil (·; C), (·, ·)l,C, T p(l; C),
Ps(l; C), ‖·‖l,C, BG(l; C), ql (x; C) будемо використовувати
позначення, 〈m← l〉, 〈!m← l〉 , Zk(l), Ls(l), dil, (·, ·)l, T p(l),
Ps(l), ‖·‖l, BG(l), ql (x) вiдповiдно.
• У тих випадках, коли наперед вiдомо, про яку систему вiд-
лiку l ∈ Lk (C) йде мова, замiсть позначень dil, ‖·‖l, (·, ·) l,
ql (x), (λ1a1 + · · ·+ λnan)l,C будемо використовувати позна-
чення di, ‖·‖, (·, ·), q(x), λ1a1+ · · ·+λnan вiдповiдно. Також
будемо користуватися скороченими варiантами позначень
для областей сприймання мiнливих множин, описаними в
роботах [8, стор. 35], [10, стор. 210]. Тобто, iншими словами,
використовуються всi скороченi варiанти позначень, описа-
нi в пунктi г) пiдроздiлу 2.2.1 (але, iз замiною символу “Cb ”
на символ “l ” i термiну “базова кiнематична множина” на
термiн “система вiдлiку”).
Властивостi 1. (Див. [14, зауваження 3, а також властивостi 3,
властивостi 4 та твердження 3].) Нехай, C — довiльна кiнема-
тична множина. Тодi:
1. Множини Lk (C) та Ind (C) завжди непорожнi, причому
Ind (C) = {ind (l) | l ∈ Lk (C)}.
2. Для довiльних l,m ∈ Lk (C) рiвнiсть l = m має мiсце тодi
i тiльки тодi, коли ind (l) = ind (m).
3. Для довiльних l,m ∈ Lk (C) вiдображення унiфiкацiї
〈m← l, C〉 є вiдображенням з 2Bs(l) в 2Bs(m), де 2M означає
множину всiх пiдмножин множини M.
150 Я. I. Грушка
4. Довiльну систему вiдлiку l ∈ Lk (C) можна подати у
виглядi упорядкованої пари, l = (ind (l) , lˆ), де lˆ є ба-
зовою мiнливою множиною. При цьому Bs(l) = Bs (lˆ),
Bs(l) = Bs (lˆ), Tm(l) = Tm (lˆ), Tm(l) = Tm (lˆ), ≤l=≤lˆ,
←
l
=←
lˆ
, Bs←
l
=
Bs←
lˆ
, Ld(l) = Ld(lˆ).
5. Для довiльних l ∈ Lk (C) i A ⊆ Bs(l) справедлива рiвнiсть,
〈l← l〉A = A.
6. Якщо l,m ∈ Lk (C) i A ⊆ B ⊆ Bs(l), то 〈m← l〉A ⊆
〈m← l〉B.
7. Для довiльних l,m, p ∈ Lk (C) i A ⊆ Bs(l) справедливе вклю-
чення:
〈p←m〉 〈m← l〉A ⊆ 〈p← l〉A.
8. Якщо C — чiтко видима кiнематична множина, то
для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (C) множини
Bs(l) i Bs(m) є рiвнопотужними. При цьому вiдображе-
ння: f(ω) = 〈!m← l〉ω (ω ∈ Bs(l)) є бiєкцiєю (взаємно-
однозначною вiдповiднiстю) мiж цими множинами.
Зауваження 1. Використовуючи властивiсть 1(4) 1, згiдно з по-
значеннями, введеними в пунктi е) пiдроздiлу 2.2.2, для довiль-
ної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) отримуємо рiвностi:
Bs (BE(l)) = Bs(l);
Bs (BE(l)) = Bs(l);
Ld (BE(l)) = Ld(l).
(1)
Властивостi 2. (Див. [14, зауваження 3, а також властивостi
5].) Нехай, C — довiльна чiтко видима кiнематична множина
i l,m, p ∈ Lk (C) — довiльнi системи вiдлiку C. Тодi:
1Посилання на властивiсть 1(4) означає посилання на пункт 4 з групи
властивостей “Властивостi 1”.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 151
1. ∀ ω ∈ Bs(l) 〈! l← l〉ω = ω;
2. ∀A ⊆ Bs(l) 〈m← l〉A = {〈!m← l〉ω | ω ∈ A};
3. ∀ ω ∈ Bs(l) 〈! p←m〉 〈!m← l〉ω = 〈! p← l〉ω.
3. Перетворення координат у кiнематичних
множинах.
Нехай, T = (T,≤) — довiльна лiнiйно упорядкована множина i
X — довiльна множина. Для довiльної пари ω = (t, x) ∈ T × X
будемо використовувати позначення:
bs (ω) := x, tm (ω) := t. (2)
Нехай, Cb – базова кiнематична множина.
1. Множину:
Mk
(
Cb
)
:= Tm
(
Cb
)
× Zk
(
Cb
)
,
будемо називати множиною Мiнковського базової кiнемати-
чної множини Cb.
2. Через Q〈Cb〉 будемо позначати вiдображення з Bs
(
Cb
)
в
Mk
(
Cb
)
, що задається формулою:
Q〈Cb〉(ω) := (tm (ω) , qCb(bs (ω))) , ω ∈ Bs
(
Cb
)
.
Для елементарно-часового стану ω ∈ Bs
(
Cb
)
значення Q〈Cb〉(ω)
будемо називати координатами Мiнковського ω.
3. Якщо C — довiльна кiнематична множина, то для довiльної
системи вiдлiку l ∈ Lk (C) вводимо позначення:
Mk(l;C) := Tm(l)× Zk(l).
Q〈l〉(ω;C) := (tm (ω) , ql(bs (ω))) ∈Mk(l;C), ω ∈ Bs(l). (3)
152 Я. I. Грушка
Множину Mk(l;C) будемо називати множиною Мiнковсько-
го для системи вiдлiку l у кiнематичнiй множинi C. Значен-
ня Q〈l〉(ω;C) будемо називати координатами Мiнковського
елементарно-часового стану ω ∈ Bs (l) у системi вiдлiку l.
Коли наперед вiдомо, про яку кiнематичну множину C йде
мова, замiсть позначень Mk(l;C), Q〈l〉(ω;C) будемо використову-
вати позначення Mk(l), Q〈l〉(ω) вiдповiдно.
Означення 4. Нехай, C — чiтко видима кiнематична множи-
на i l,m ∈ Lk (C) — довiльнi системи вiдлiку C.
1. Вiдображення Q〈m← l〉 ( · ;C) : Bs(l) 7→ Mk(m), що задає-
ться формулою:
Q〈m← l〉(ω;C) = Q〈m〉(〈!m← l〉ω), ω ∈ Bs(l)
будемо називати реальним перетворенням коорди-
нат з l в m.
Для елементарно-часового стану ω ∈ Bs (l) значення
Q〈m← l〉(ω;C) можна назвати координатами Мiнковсько-
го ω у (iншiй) системi вiдлiку m ∈ Lk (C).
2. Вiдображення Q̃ : Mk(l) 7→ Mk(m) будемо називати унi-
версальним перетворенням координат з l в m, якщо:
• Q̃ є бiєкцiєю мiж Mk(l) та Mk(m).
• Для довiльного елементарно-часового стану ω ∈ Bs(l)
справедлива рiвнiсть:
Q〈m← l〉(ω;C) = Q̃
(
Q〈l〉(ω)
)
.
3. Будемо говорити, що системи вiдлiку l,m ∈ Lk (C) до-
пускають унiверсальне перетворення координат,
якщо iснує хоч одне унiверсальне перетворення координат
Q̃ : Mk(l) 7→Mk(m) з l в m.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 153
Якщо системи вiдлiку l,m ∈ Lk (C) допускають унiвер-
сальне перетворення координат, будемо використовувати
позначення:
l�
C
m,
у випадку, коли наперед вiдомо, про яку кiнематичну мно-
жину C йде мова, будемо використовувати позначення
l�m.
4. Iндексовану сiм’ю
(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
будемо називати унiвер-
сальним перетворенням координат для кiнемати-
чної множини C, якщо:
• Для довiльних l,m ∈ Lk (C) Q̃m,l є унiверсальним
перетворенням координат з l в m.
• Для довiльних l,m, p ∈ Lk (C) i w ∈ Mk(l) справедливi
рiвностi:
Q̃l,l(w) = w; Q̃p,m
(
Q̃m,l(w)
)
= Q̃p,l(w). (4)
5. Будемо говорити, що кiнематична множина C допу-
скає унiверсальне перетворення координат, якщо
iснує хоч одне унiверсальне перетворення координат(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
для C.
Зауваження 2. У випадку, коли наперед вiдомо, про яку кiне-
матичну множину C йде мова, замiсть позначення Q〈m← l〉(ω;C)
будемо використовувати позначення Q〈m← l〉(ω).
Твердження 1 ([12]). Для довiльної чiтко видимої кiнемати-
чної множини C наступнi твердження рiвносильнi:
1. C допускає унiверсальне перетворення координат.
154 Я. I. Грушка
2. Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (C) має мiсце
спiввiдношення l�m (тобто довiльнi двi системи вiдлiку
l,m ∈ Lk (C) допускають унiверсальне перетворення коор-
динат).
3. Iснує система вiдлiку l ∈ Lk (C) така, що для довiльної
системи вiдлiку m ∈ Lk (C) виконується спiввiдношення
l�m.
В роботах [13, 15] показано, що кiнематичнi множини, пов’я-
занi iз класичною спецiальною теорiєю вiдносностi в iнерцiйних
системах вiдлiку i її узагальненнями в сенсi E. Recami [21], допу-
скають унiверсальне перетворення координат, а також наведено
приклади кiнематичних мiнливих множин, у яких не iснує унi-
версального перетворення координат, i якi можуть бути корисни-
ми для математичного моделювання еволюцiї фiзичних систем
за умов гiпотези про iснування частинок з рiзними “власними”
швидкостями свiтла (на фiзичному рiвнi подiбнi моделi розгля-
дались в роботах [22, 23, 24, 25, 26]).
4. Унiверсальнi кiнематичнi множини.
4.1. Означення унiверсальних кiнематичних мно-
жин
Означення 5. Якщо
←−
Q =
(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
є унiверсальним пе-
ретворенням координат для чiтко видимої кiнематичної мно-
жини C, то пару
F =
(
C,
←−
Q
)
будемо називати унiверсальною кiнематичною множи-
ною, або, скорочено, унiверсальною кiнематикою.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 155
4.2. Система позначень для унiверсальних кiнема-
тик
Всюди в даному пiдроздiлi F =
(
C,
←−
Q
)
, де
←−
Q =
(
Q̃m,l
)
l,m∈Lk(C)
— довiльна унiверсальна кiнематика. Надалi будемо вживати на-
ступну систему позначень.
4.2.1 Позначення, iндукованi з теорiї кiнематичних
множин
а) Мiнливу множину
BE (F) := BE (C)
будемо називати базою еволюцiї унiверсальної кiнемати-
ки F .
б) Введемо позначення:
Ind (F) := Ind (C) = Ind (BE (C)) = Ind (BE (F)) ;
Lk (F) := Lk (C) = Lk (BE (C)) = Lk (BE (F)) .
Множину Lk (F) будемо називати множиною систем
вiдлiку унiверсальної кiнематики F .
в) Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (F) = Lk (C):
• зберiгаються всi позначення, введенi в теорiї мiнливих
множин (ind (l), lˆ, Bs(l), ←
l
, Bs(l), Bs←
l
, Tm(l), Tm(l),
≤l, BE(l) = lˆ, Ld(l)).
• iндукуються всi позначення, введенi в теорiї кiнемати-
чних мiнливих множин:
BG(l; F) := BG(l; C); Ls(l; F) := Ls(l; C);
Zk(l; F) := Zk(l; C); dil (·; F) := dil (·; C) ;
T p(l; F) := T p(l; C); ‖·‖l,F := ‖·‖l,C ;
Ps(l; F) := Ps(l; C); (·, ·)l,F := (·, ·)l,C .
156 Я. I. Грушка
• Також для систем вiдлiку l ∈ Lk (F) = Lk (C)
таких, що Ls(l; F) 6= ∅ i довiльних a1, . . . , an ∈
Zk(l; F), λ1, . . . λn ∈ Ps(l; F) iндукується позначення:
(λ1a1 + · · ·+ λnan)l,F := (λ1a1 + · · ·+ λnan)l,C .
г) Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (F) = Lk (C) перено-
сяться позначення
〈m← l, F〉 := 〈m← l,C〉 ; 〈!m← l,F〉 := 〈!m← l,C〉 ;
Mk(l;F) := Mk (l;C) F � l := C � l;
Q〈l〉(ω;F) := Q〈l〉(ω;C); Q〈m← l〉(ω;F) := Q〈m← l〉(ω;C)
(де ω ∈ Bs(l))
ql(x;F) := ql(x;C); (де x ∈ Bs(l)).
Зауважмо, що iз введених позначень випливає, що для до-
вiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (F) довiльної унiверсальної
кiнематики F справедлива рiвнiсть, BE (F � l) = BE(l).
4.2.2 Власнi позначення для унiверсальних кiнематик
Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (F) через [m← l;F ] бу-
демо позначати вiдображення з Mk(l;F) в Mk(m;F), що дiє за
формулою:
[m← l;F ] w = [m← l;F ] (w) := Q̃m,l(w), w ∈Mk(l;F).
При цьому, коли немає нагальної необхiдностi, круглi дужки
у позначеннi [m← l;F ] (w) будемо опускати ([m← l;F ] (w) =
[m← l;F ] w).
4.2.3 Скороченi варiанти позначень
• У тих випадках, коли наперед вiдомо, про яку унiверсаль-
ну кiнематику F йде мова, замiсть позначень Q〈l〉(·;F),
Q〈m← l〉(·;F), [m← l;F ], Mk(l;F) будемо використовувати
позначення Q〈l〉(·), Q〈m← l〉(·), [m← l], Mk(l) вiдповiдно.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 157
• Також будемо користуватися скороченими варiантами по-
значень для систем вiдлiку кiнематичних множин, описа-
ними у пунктi ж) пiдроздiлу 2.2.2 (при цьому символ C слiд
замiнити на символ F i термiн “кiнематична множина” на
термiн “унiверсальна кiнематика”). Зокрема, залишаються
в силi всi скороченi варiанти позначень, описанi в пунктi г)
пiдроздiлу 2.2.1 (але iз замiною символу “Cb ” на символ “l ”
i термiну “базова кiнематична множина” на термiн “система
вiдлiку”).
Нехай F — унiверсальна кiнематика. Використовуючи прийня-
тi позначення, а також означення 4 (пункти 2,4) для довiльних
систем вiдлiку l,m ∈ Lk (F) отримуємо рiвнiсть:
Q〈m← l〉(ω) = [m← l]Q〈l〉(ω) (∀ω ∈ Bs(l)) , (5)
тобто, враховуючи означення 4 (пункт 1), рiвнiсть:
Q〈m〉 (〈!m← l〉ω) = [m← l]Q〈l〉(ω) (∀ω ∈ Bs(l)) . (6)
Крiм того, за означенням 4 (пункт 4), для довiльних систем вiд-
лiку l,m, p ∈ Lk (F) отримуємо рiвностi:
[l← l] w = w; (∀w ∈Mk(l)) ; (7)
[p←m] [m← l] w = [p← l] w (∀w ∈Mk(l)) . (8)
Твердження 2 ([14]). Нехай F1, F2 — унiверсальнi кiнематики,
причому:
1. Lk (F1) = Lk (F2).
2. Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (F1) = Lk (F2) спра-
ведливi рiвностi:
BG (l; F1) = BG (l; F2) ;
ql (x, F1) = ql (x, F2) (∀x ∈ Bs(l)) .
158 Я. I. Грушка
3. Для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (F1) = Lk (F2)
справедливi рiвностi:
〈m← l,F1〉 = 〈m← l,F2〉 ;
[m← l,F1] = [m← l,F2] .
Тодi F1 = F2.
Зауваження 3. Iз системи позначень для унiверсальних кiнема-
тик, прийнятої в даному пiдроздiлi, випливає, що для довiльної
унiверсальної кiнематики F мають мiсце властивостi 1 та власти-
востi 2 (з замiною символу “C ” на символ “F ” i термiну “кiнема-
тична множина” на термiн “унiверсальна кiнематика”, а також з
виключенням зайвих слiв “чiтко видима”, оскiльки довiльна унi-
версальна кiнематика, за означенням, вже є чiтко видимою).
4.3. Зауваження про системи вiдлiку та їхнi iндекси
Нехай Y — довiльна мiнлива множина або довiльна кiнемати-
чна множина, або довiльна унiверсальна кiнематика. Iз [14, вла-
стивостi 3(1,2)], а також iз властивостей 1(1,2) та зауваження 3
випливає, що для довiльного iндексу α ∈ Ind (Y) iснує єдина
система вiдлiку l ∈ Lk (Y) така, що:
ind (l) = α.
надалi цю систему вiдлiку будемо позначати через lkα (Y):
∀α ∈ Ind (Y) lkα (Y) = l, де l ∈ Lk (Y) , ind (l) = α.
Безпосередньо з означення системи вiдлiку lkα (Y), враховую-
чи [14, властивiсть 3(1)], властивiсть 1(1) та зауваження 3 отри-
муємо такi властивостi:
Властивостi 3. Нехай Y, Y1 — довiльнi мiнливi множини або
кiнематичнi множини ,або унiверсальнi кiнематики; тодi:
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 159
1. Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (Y) справедлива рiв-
нiсть:
l = lkind(l) (Y) , при цьому
Lk (Y) = {lkα (Y) | α ∈ Ind (Y)} . (9)
2. Якщо Lk (Y1) = Lk (Y), то:
а) Ind (Y) = Ind (Y1);
б) для довiльного iндексу α ∈ Ind (Y) = Ind (Y1) справе-
длива рiвнiсть:
lkα (Y) = lkα (Y1) .
4.4. Еквiвалентнiсть унiверсальних кiнематик вiд-
носно перетворення координат.
Означення 6. Унiверсальнi кiнематики F1 i F2 будемо назива-
ти еквiвалентними вiдносно перетворення координат,
якщо:
1. Ind (F1) = Ind (F2);
2. Для довiльного iндексу α ∈ Ind (F1) = Ind (F2) базовi кi-
нематичнi множини F1 � lkα (F1) i F2 � lkα (F2) є хроно-
геометрично спорiдненими, тобто виконуються рiвностi:
Tm (lkα (F1)) = Tm (lkα (F2)) ; (10)
BG (lkα (F1) ;F1) = BG (lkα (F2) ;F2) (11)
(зауважимо, що з рiвностей (10) i (11) виплива-
ють рiвностi Zk (lkα (F1) ;F1) = Zk (lkα (F2) ;F2) i
Mk (lkα (F1) ;F1) = Mk (lkα (F2) ;F2))
3. Для довiльних iндексiв α, β ∈ Ind (F1) = Ind (F2) справе-
дливi рiвностi:
[lkβ (F1)← lkα (F1) ,F1] = [lkβ (F2)← lkα (F2) ,F2] .
160 Я. I. Грушка
Той факт, що унiверсальнi кiнематики F1 i F2 еквiвалентнi
вiдносно перетворення координат, будемо позначати наступним
чином:
F1 [≡]F2.
Безпосереднiм i прямим наслiдком означення 6 є наступне
твердження.
Твердження 3. Вiдношення [≡] є вiдношенням еквiвалентно-
стi на будь-якiй множинi M, що складається з унiверсальних
кiнематик.
5. Еволюцiйнi розширення базових кiнема-
тичних множин.
Означення 7. Базовi кiнематичнi множини Cb
0 i Cb
1 будемо на-
зивати хроногеометрично спорiдненими, якщо:
1) Tm
(
Cb
0
)
= Tm
(
Cb
1
)
;
2) BG
(
Cb
0
)
= BG
(
Cb
1
)
.
Надалi через ⊂−→, @−→ будемо позначати вiдношення еволюцiйно-
го та супереволюцiйного включення базових мiнливих множин,
введенi в роботi [20]. Iнколи для базових мiнливих множин B1i
B2 замiсть позначень B1⊂−→B2 (B1@−→B2) будемо використовувати
позначення B2⊃←−B1, (B2A←−B1) вiдповiдно.
Зауваження 4. Нехай, B0 i B1 — базовi мiнливi множини такi,
що B0⊂−→B1. Тодi, згiдно з [20, твердження 4], Bs (B0) ⊆ Bs (B1).
Отже, якщо для хроногеометрично спорiднених базових кi-
нематичних множин Cb
0 i Cb
1 справедливе спiввiдношення
BE
(
Cb
0
)
⊂−→BE
(
Cb
1
)
, то Bs
(
Cb
0
)
= Bs
(
BE
(
Cb
0
))
⊆ Bs
(
BE
(
Cb
1
))
=
Bs
(
Cb
1
)
. Зокрема, якщо BE
(
Cb
0
)
@−→BE
(
Cb
1
)
то, згiдно з [20, твер-
дження 5], BE
(
Cb
0
)
⊂−→BE
(
Cb
1
)
, а отже Bs
(
Cb
0
)
⊆ Bs
(
Cb
1
)
.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 161
Означення 8.
1. Базову кiнематичну множину Cb
1 будемо називати ево-
люцiйним розширенням базової кiнематичної множи-
ни Cb
0, якщо:
(1.а) Cb
0 i Cb
1 є хроногеометрично спорiдненими;
(1.б) Базова мiнлива множина BE
(
Cb
1
)
є еволюцiйним
розширенням базової мiнливої множини BE
(
Cb
0
)
(тобто BE
(
Cb
0
)
⊂−→BE
(
Cb
1
)
);
(1.в) Для довiльного x ∈ Bs
(
Cb
0
)
(⊆ Bs
(
Cb
1
)
) справедли-
ва рiвнiсть qCb
1
(x) = qCb
0
(x) (тобто, iншими словами,
qCb
0
⊆ qCb
1
).
Якщо базова кiнематична множина Cb
1 є еволюцiйним роз-
ширенням базової кiнематичної множини Cb
0, то будемо
також говорити, що Cb
0 еволюцiйно включається в Cb
1 i
позначати цей факт через Cb
0⊂−→Cb
1 або через Cb
1⊃←−C
b
0.
2. Базову кiнематичну множину Cb
1 будемо називати су-
переволюцiйним розширенням базової кiнематичної
множини Cb
0, якщо:
(2.а) Cb
0 i Cb
1 є хроногеометрично спорiдненими;
(2.б) Базова мiнлива множина BE
(
Cb
1
)
є супереволюцiй-
ним розширенням базової мiнливої множини BE
(
Cb
0
)
(тобто BE
(
Cb
0
)
@−→BE
(
Cb
1
)
).
(2.в) Для довiльного x ∈ Bs
(
Cb
0
)
(⊆ Bs
(
Cb
1
)
) справедли-
ва рiвнiсть qCb
1
(x) = qCb
0
(x) (тобто, iншими словами,
qCb
1
⊆ qCb
0
).
Якщо базова кiнематична множина Cb
1 є супереволюцiй-
ним розширенням базової кiнематичної множини Cb
0, то
162 Я. I. Грушка
будемо, також говорити, що Cb
0 супереволюцiйно включа-
ється в Cb
1 i позначати цей факт через Cb
0@−→Cb
1 або через
Cb
1A←−C
b
0.
Також будемо використовувати позначення Cb
0 6⊂−→Cb
1 та
Cb
0 6@−→Cb
1 у випадках, коли виконуються умови ¬
(
Cb
0⊂−→Cb
1
)
або ¬
(
Cb
0@−→Cb
1
)
, вiдповiдно (де символ “¬” означає логiчну опе-
рацiю заперечення).
Згiдно iз [20, твердження 5], для довiльних базових мiнливих
множин B0, B1 з умови B0@−→B1 випливає спiввiдношення B0⊂−→B1.
Звiдси отримуємо наступний наслiдок з означення 8.
Наслiдок 1. Будь-яке супереволюцiйне розширення Cb
1 довiльної
базової кiнематичної множини Cb
0 є її еволюцiйним розширен-
ням, тобто якщо Cb
0@−→Cb
1, то Cb
0⊂−→Cb
1.
Зауваження 5. В роботi [20, приклад 1] було показано, що iсну-
ють базовi мiнливi множини B0 i B1 такi, що B0⊂−→B1, але B0 6@−→B1.
Розглянемо довiльний координатний простiр Q i довiльне вiд-
ображення k1 : Bs (B1) 7→ Zk(Q). Оскiльки B0⊂−→B1, то, згiдно
з [20, твердження 4], Bs (B0) ⊆ Bs (B1). Отже вiдображення k1
визначене i на множинi Bs (B0). Покладемо:
k0 := (k1)�Bs(B0) ,
де (k1)�Bs(B0) — звуження вiдображення k1 на множину Bs (B0).
Тодi отримаємо базовi кiнематичнi множини Cb
0 = (B0, (Q,k0)) i
Cb
1 = (B1, (Q,k1)) такi, що Cb
0⊂−→Cb
1, але Cb
0 6@−→Cb
1. Таким чином, не
кожне еволюцiйне розширення базової кiнематичної множини
Cb
0 є її супереволюцiйним розширенням.
Твердження 4. Еволюцiйне включення базових кiнематичних
множин має такi властивостi:
1. Cb
0⊂−→Cb
0 для довiльної базової кiнематичної множини Cb
0;
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 163
2. Якщо Cb
1⊂−→Cb
2 i Cb
2⊂−→Cb
1 то Cb
1 = Cb
2;
3. Якщо Cb
1⊂−→Cb
2 i Cb
2⊂−→Cb
3 то Cb
1⊂−→Cb
3.
Доведення. 1. У випадку Cb
0 = Cb
1 умови (1.а) та (1.в) означе-
ння 8 виконуються тривiальним чином. Умова (1.б) також вико-
нується, оскiльки, в силу [20, твердження 6], BE
(
Cb
0
)
⊂−→BE
(
Cb
0
)
.
2. Нехай Cb
1⊂−→Cb
2 i Cb
2⊂−→Cb
1. Тодi, за означенням 8 (пункт 1),
BG
(
Cb
1
)
= BG
(
Cb
2
)
, BE
(
Cb
1
)
⊂−→BE
(
Cb
2
)
, BE
(
Cb
2
)
⊂−→BE
(
Cb
1
)
, qCb
1
⊆
qCb
2
i qCb
2
⊆ qCb
1
. Отже, використовуючи [20, твердження 6], отри-
муємо BG
(
Cb
1
)
= BG
(
Cb
2
)
, BE
(
Cb
1
)
= BE
(
Cb
2
)
i qCb
1
= qCb
2
. Тому,
Cb
1 =
(
BE
(
Cb
1
)
,
(
BG
(
Cb
1
)
, qCb
1
))
=
(
BE
(
Cb
2
)
,
(
BG
(
Cb
2
)
, qCb
2
))
=
Cb
2.
3. Нехай Cb
1⊂−→Cb
2 i Cb
2⊂−→Cb
3. Тодi, за означенням 8 (пункт 1),
BG
(
Cb
1
)
= BG
(
Cb
2
)
= BG
(
Cb
3
)
, Tm
(
Cb
1
)
= Tm
(
Cb
2
)
= Tm
(
Cb
3
)
,
BE
(
Cb
1
)
⊂−→BE
(
Cb
2
)
, BE
(
Cb
2
)
⊂−→BE
(
Cb
3
)
, qCb
1
⊆ qCb
2
i qCb
2
⊆ qCb
3
. От-
же, використовуючи [20, твердження 6], отримуємо BG
(
Cb
1
)
=
BG
(
Cb
3
)
, Tm
(
Cb
1
)
= Tm
(
Cb
3
)
, BE
(
Cb
1
)
⊂−→BE
(
Cb
3
)
i qCb
1
⊆ qCb
3
. Тому,
за означенням 8 (пункт 1), Cb
1⊂−→Cb
3. �
Твердження 5. Супереволюцiйне включення базових кiнема-
тичних множин має такi властивостi:
1. Cb
0@−→Cb
0 довiльної базової кiнематичної множини Cb
0;
2. Якщо Cb
1@−→Cb
2 i Cb
2@−→Cb
1 то Cb
1 = Cb
2;
3. Якщо Cb
1@−→Cb
2 i Cb
2@−→Cb
3 то Cb
1@−→Cb
3.
Доведення. 1. У випадку Cb
0 = Cb
1 умови (2.а) та (2.в) означе-
ння 8 виконуються тривiальним чином. Умова (2.б) також вико-
нується, оскiльки, в силу [20, твердження 10], BE
(
Cb
0
)
@−→BE
(
Cb
0
)
.
2. Нехай Cb
1@−→Cb
2 i Cb
2@−→Cb
1. Тодi, за наслiдком 1, Cb
1⊂−→Cb
2 i Cb
2⊂−→Cb
1.
Отже, за твердженням 4, Cb
1 = Cb
2.
164 Я. I. Грушка
3. Нехай Cb
1@−→Cb
2 i Cb
2@−→Cb
3. Тодi, за означенням 8 (пункт 2),
BG
(
Cb
1
)
= BG
(
Cb
2
)
= BG
(
Cb
3
)
, Tm
(
Cb
1
)
= Tm
(
Cb
2
)
= Tm
(
Cb
3
)
,
BE
(
Cb
1
)
@−→BE
(
Cb
2
)
, BE
(
Cb
2
)
@−→BE
(
Cb
3
)
, qCb
1
⊆ qCb
2
i qCb
2
⊆ qCb
3
. От-
же, використовуючи [20, твердження 10], отримуємо BG
(
Cb
1
)
=
BG
(
Cb
3
)
, Tm
(
Cb
1
)
= Tm
(
Cb
3
)
, BE
(
Cb
1
)
@−→BE
(
Cb
3
)
i qCb
1
⊆ qCb
3
. Тому,
за означенням 8 (пункт 2), Cb
1@−→Cb
3. �
Твердження 6. Нехай Cb
1,C
b
2 — базовi кiнематичнi множини,
причому Cb
1⊂−→Cb
2. Тодi:
1. Bs
(
Cb
1
)
⊆ Bs
(
Cb
2
)
;
2. Bs
(
Cb
1
)
⊆ Bs
(
Cb
2
)
;
3. якщо ж, додатково, Cb
1@−→Cb
2, то Ld
(
Cb
1
)
⊆ Ld
(
Cb
2
)
.
Доведення. Якщо Cb
1⊂−→Cb
2, то, за означенням 8:
BE
(
Cb
1
)
⊂−→BE
(
Cb
2
)
.
1. Оскiльки BE
(
Cb
1
)
⊂−→BE
(
Cb
2
)
, то, згiдно з [20, означення 9]
та системою позначень, прийнятою в пунктi 2.2.1, отримуємо:
Bs
(
Cb
1
)
= Bs
(
BE
(
Cb
1
))
⊆ Bs
(
BE
(
Cb
2
))
= Bs
(
Cb
2
)
.
2. Аналогiчно, використовуючи [20, твердження 4], отримує-
мо:
Bs
(
Cb
1
)
= Bs
(
BE
(
Cb
1
))
⊆ Bs
(
BE
(
Cb
2
))
= Bs
(
Cb
2
)
.
3. Нехай додатково, Cb
1@−→Cb
2. Тодi, за означенням 8,
BE
(
Cb
1
)
@−→BE
(
Cb
2
)
. Iз останнього супереволюцiйного включен-
ня, за означенням [20, означення 10], випливає включення
Ld
(
BE
(
Cb
1
))
⊆ Ld
(
BE
(
Cb
2
))
. Звiдси, враховуючи систему позна-
чень, прийняту в пунктi 2.2.1, отримуємо включення Ld
(
Cb
1
)
⊆
Ld
(
Cb
2
)
. �
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 165
6. Еволюцiйнi розширення кiнематичних
множин
Означення 9. Будемо говорити, що кiнематичнi множини C1
i C2 хроногеометрично спорiдненi, якщо:
1. Ind (C1) = Ind (C2).
2. Для довiльного iндексу α ∈ Ind (C1) = Ind (C2) базовi кiне-
матичнi множини:
C1 � lkα (C1) i C2 � lkα (C2)
є хроногеометрично спорiдненими.
Зауваження 6. 1. Нехай (H, ‖·‖ , 〈·, ·〉)— гiльбертовий простiр над
полем дiйсних чисел i Pk (H) — множина всiх операторiв пере-
творення координат над H (означення множини Pk (H) можна
знайти в роботах [14, 15]). Нехай B1,B2 — базовi мiнливi множини
такi, що Bs (Bi) ⊆ H i Tm (Bi) = (R,≤) (i ∈ {1, 2}), де ≤ — стан-
дартний порядок на полi дiйсних чисел R. Тодi, використовуючи
[14, теорема 3 та властивостi 7], неважко довести, що для до-
вiльної множини S ⊆ Pk (H) кiнематичнi множини Kim (S,B1; H)
i Kim (S,B2; H) — хроногеометрично спорiдненi (означення кiне-
матичних множин Kim (S,B1; H) i Kim (S,B2; H) можна знайти в
роботi [15]). Зокрема при c ∈ (0,∞] хроногеометрично спорiдне-
ними будуть такi пари кiнематичних множин, введених в роботi
[15]:
а) KP (H,B1, c) i KP (H,B2, c);
б) KP0 (H,B1, c) i KP0 (H,B2, c);
в) KPT (H,B1, c) i KPT (H,B2, c);
г) KPT0 (H,B1, c) i KPT0 (H,B2, c).
2. З прикладiв, наведених в попередньому пунктi зауважен-
ня, випливає, що на хроногеометрично спорiдненi кiнематичнi
множини можна дивитися, як на рiзнi моделi еволюцiї, що роз-
гортаються в одному i тому ж геометрично-часовому оточеннi.
166 Я. I. Грушка
Твердження 7. Якщо для унiверсальних кiнематик F1 =(
C1,
←−
Q1
)
i F2 =
(
C2,
←−
Q2
)
виконується спiввiдношення F1 [≡]F2,
то кiнематичнi множини C1 i C2 є хроногеометрично спорiдне-
ними.
Доведення. Якщо F1 [≡]F2, то, за означенням 6, Ind (F1) =
Ind (F2). Згiдно з системою позначень теорiї унiверсальних кiне-
матик, Lk (Fi) = Lk (Ci) (i ∈ {1, 2}). Тому, згiдно з властивiстю
3(2), Ind (Fi) = Ind (Ci) (i ∈ {1, 2}), причому:
lkα (Fi) = lkα (Ci)
(α ∈ Ind (F1) = Ind (F2) = Ind (Ci) , i ∈ {1, 2}) .
Отже, згiдно з системою позначень теорiї унiверсальних кiне-
матик (див. пункт “е)” пiдроздiлу 4.2.1) за означенням 6, для
довiльного α ∈ Ind (C1) = Ind (C2) = Ind (F1) = Ind (F2) отри-
муємо:
Tm (lkα (C1)) = Tm (lkα (F1)) = Tm (lkα (F2)) = Tm (lkα (C2)) ;
BG (C1 � lkα (C1)) = BG (lkα (C1) ;C1) = BG (lkα (F1) ;C1) =
= BG (lkα (F1) ;F1) = BG (lkα (F2) ;F2) = BG (C2 � lkα (C2)) .
Отже, за означенням 7, базовi кiнематичнi множини C1 � lkα (C1)
i C2 � lkα (C2) є хроногеометрично спорiдненими (для довiльного
α ∈ Ind (C1) = Ind (C2)). Тому, за означенням 9, хроногеометри-
чно спорiдненими є кiнематичнi множини C1 i C2. �
Означення 10. 1. Будемо говорити, що кiнематична мно-
жина C2 є, вiдповiдно, еволюцiйним (супереволюцiй-
ним) розширенням кiнематичної множини C1, якщо:
(a) Кiнематичнi множини C1 i C2 хроногеометрично
спорiдненi.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 167
(b) Для довiльного iндексу α ∈ Ind (C1) = Ind (C2) має
мiсце еволюцiйне (супереволюцiйне) включення:
C1 � lkα (C1) ⊂−→C2 � lkα (C2)(
C1 � lkα (C1) @−→C2 � lkα (C2)
)
(12)
(c) Для довiльних iндексiв α, β ∈ Ind (C1) = Ind (C2)
i довiльної мiнливої системи A ⊆ Bs (lkα (C1)) ⊆
Bs (lkα (C2)) {2} виконується рiвнiсть:
〈lkβ (C1)← lkα (C1) ,C1〉A = 〈lkβ (C2)← lkα (C2) ,C2〉A.
2. У тому випадку, коли кiнематична множина C2 є, вiдпо-
вiдно, еволюцiйним (супереволюцiйним) розширенням кi-
нематичної множини C1, будемо також говорити, що C1
еволюцiйно (супереволюцiйно) включається в C2, викори-
стовуючи, вiдповiдно, наступнi позначення:
C1⊂−→C2 або C2⊃←−C1
(
C1@−→C2 або C2A←−C1
)
.
Твердження 8. Нехай C, C1, C2 i C3 — довiльнi кiнематичнi
множини. Тодi:
1. C⊂−→C.
2. Якщо C1⊂−→C2 i C2⊂−→C1, то C1 = C2.
2 З еволюцiйного (супереволюцiйного) включення (12), за означенням
8 i твердженням [20, твердження 5] випливає еволюцiйне включення,
BE (C1 � lkα (C1)) ⊂−→BE (C2 � lkα (C2)) , а отже, за означенням [20, означення
9], отримуємо включення:
Bs (lkα (C1)) = Bs (BE (C1 � lkα (C1))) ⊆ Bs (BE (C2 � lkα (C2))) =
= Bs (lkα (C2)) .
168 Я. I. Грушка
3. Якщо C1⊂−→C2 i C2⊂−→C3, то C1⊂−→C3.
Доведення. Перший та третiй пункти твердження 8 випли-
вають безпосередньо з означень 9, 10 та твердження [20, твер-
дження 6]. Отже, потребує доведення лише другий пункт даного
твердження.
Нехай для кiнематичних множин C1 i C2 виконуються умови
C1⊂−→C2 i C2⊂−→C1. Тодi, за означеннями 9 i 10, Ind (C1) = Ind (C2)
i для довiльного iндексу α ∈ Ind (C1) = Ind (C2) мають мiсце
еволюцiйнi включення:
C1 � lkα (C1) ⊂−→C2 � lkα (C2) i C2 � lkα (C2) ⊂−→C1 � lkα (C1) .
Отже, згiдно з твердженням 4:
C1 � lkα (C1) = C2 � lkα (C2) (α ∈ Ind (C1) = Ind (C2)) . (13)
Звiдси, згiдно з позначеннями, прийнятими в пунктi д) пiдроз-
дiлу 2.2.2:
lkα (C1) ˆ = lkα (C2) ˆ,
а тому, згiдно з властивiстю 1(4):
lkα (C1) = (ind (lkα (C1)) , lkα (C1) ˆ) = (α, lkα (C1) ˆ) =
= (α, lkα (C2) ˆ) = lkα (C2) (α ∈ Ind (C1) = Ind (C2)) . (14)
Отже, згiдно з формулою (9):
Lk (C1) = {lkα (C1) | α ∈ Ind (C1)} =
= {lkα (C2) | α ∈ Ind (C2)} = Lk (C2) . (15)
З рiвностей (13) та (9) випливає, що:
C1 � l = C2 � l (∀l ∈ Lk (C1) = Lk (C2)) . (16)
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 169
Використовуючи рiвнiсть (14) та пункт 1c означення 10, для
довiльних iндексiв α, β ∈ Ind (C1) = Ind (C2) i довiльної мiнливої
системи A ⊆ Bs (lkα (C1)) = Bs (lkα (C2)) отримуємо:
〈lkβ (C1)← lkα (C1) ,C1〉A = 〈lkβ (C2)← lkα (C2) ,C2〉A.
Отже, в силу рiвностi Bs (lkα (C1)) = Bs (lkα (C2)) отримуємо рiв-
нiсть:
〈lkβ (C1)← lkα (C1) ,C1〉 = 〈lkβ (C2)← lkα (C2) ,C2〉 .
Звiдси, в силу довiльностi iндексiв α, β ∈ Ind (C1) = Ind (C2)
i рiвностi (9), для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (C1) =
Lk (C2) маємо рiвнiсть:
〈m← l,C1〉 = 〈m← l,C2〉 .
Таким чином, в силу рiвностей (15), (16) бачимо, що всi умови
твердження [12, твердження 4] виконанi, i, згiдно з цим твердже-
нням, отримуємо рiвнiсть C1 = C2. �
Наступне твердження показує, що iз супереволюцiйного вклю-
чення кiнематичних множин випливає їх еволюцiйне включення.
Твердження 9. Якщо C1, C2 — кiнематичнi множини i
C1@−→C2, то C1⊂−→C2.
Доведення. Дане твердження є безпосереднiм наслiдком озна-
чення 10 та наслiдку 1. �
Твердження 10. Нехай C1,C2 — кiнематичнi множини, при-
чому C1⊂−→C2. Тодi для довiльного iндексу α ∈ Ind (C1) = Ind (C2)
справедливi наступнi твердження:
1. BE (lkα (C1)) ⊂−→BE (lkα (C2));
2. Bs (lkα (C1)) ⊆ Bs (lkα (C2));
3. Bs (lkα (C1)) ⊆ Bs (lkα (C2));
170 Я. I. Грушка
4. якщо ж, додатково, C1@−→C2, то
BE (lkα (C1)) @−→BE (lkα (C2)) i Ld (lkα (C1)) ⊆ Ld (lkα (C2));
5. для довiльного x ∈ Bs (lkα (C1)) виконується рiвнiсть:
qlkα(C1) (x,C1) = qlkα(C2) (x,C2) ;
6. для довiльного ω ∈ Bs (lkα (C1)) виконується рiвнiсть:
Q〈lkα(C1)〉 (ω,C1) = Q〈lkα(C2)〉 (ω,C2) .
Доведення. Оскiльки C1⊂−→C2, то, за означеннями 10 та 9,
Ind (C1) = Ind (C2). Розглянемо довiльний iндекс α ∈ Ind (C1) =
Ind (C2).
1. За означенням 10, C1 � lkα (C1) ⊂−→C2 � lkα (C2). Звiд-
си, за означенням 8 BE (C1 � lkα (C1)) ⊂−→BE (C2 � lkα (C2)). Згi-
дно з позначеннями, введеними в пунктi е) пiдроздiлу 2.2.2,
∀l ∈ Lk (Ci) (BE(l) := BE (Ci � l) = lˆ) (i ∈ {1, 2}). Тому, отри-
муємо, BE (lkα (C1)) ⊂−→BE (lkα (C2)).
2. Оскiльки BE (lkα (C1)) ⊂−→BE (lkα (C2)), то, використовуючи
рiвностi (1) та [20, означення 9], отримуємо:
Bs (lkα (C1)) = Bs (BE (lkα (C1))) ⊆ Bs (BE (lkα (C2))) =
= Bs (lkα (C2)) .
3. Аналогiчно, використовуючи рiвностi (1) та [20, тверджен-
ня 4], отримуємо:
Bs (lkα (C1)) = Bs (BE (lkα (C1))) ⊆ Bs (BE (lkα (C2))) =
= Bs (lkα (C2)) .
4. Нехай, додатково, C1@−→C2. Тодi, за означенням 10,
C1 � lkα (C1) @−→ C2 � lkα (C2). Звiдси, за означенням 8,
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 171
BE (C1 � lkα (C1)) @−→BE (C2 � lkα (C2)). Тому, враховуючи позначе-
ння, введенi в пунктi е) пiдроздiлу 2.2.2, отримуємо,
BE (lkα (C1)) @−→BE (lkα (C2)) .
Iз останнього супереволюцiйного включення, за означенням
[20, означення 10], випливає включення Ld (BE (lkα (C1))) ⊆
Ld (BE (lkα (C2))). Звiдси, враховуючи рiвностi (1), отримуємо
включення Ld (lkα (C1)) ⊆ Ld (lkα (C2)).
5. Нехай x ∈ Bs (lkα (C1)). За означенням 10, C1 �
lkα (C1) ⊂−→C2 � lkα (C2). Тому, використовуючи позначення, вве-
дене в пунктi є) пiдроздiлу 2.2.2 i означення 8, отримуємо
qlkα(C1) (x,C1) = qC1�lkα(C1)(x) = qC2�lkα(C2)(x) = qlkα(C2) (x,C2) .
6. Використовуючи результат, отриманий в попередньому
пунктi i означення координат Мiнковського (див. формулу (3)),
для довiльного ω ∈ Bs (lkα (C1)) отримуємо:
Q〈lkα(C1)〉 (ω,C1) =
(
tm (ω) , qlkα(C1) (bs (ω) ,C1)
)
=
=
(
tm (ω) , qlkα(C2) (bs (ω) ,C2)
)
= Q〈lkα(C2)〉 (ω,C2) .
�
Твердження 11. Нехай C, C1, C2 i C3 — довiльнi кiнематичнi
множини. Тодi:
1. C@−→C.
2. Якщо C1@−→C2 i C2@−→C1, то C1 = C2.
3. Якщо C1@−→C2 i C2@−→C3, то C1@−→C3.
Доведення. Перший та третiй пункти даного твердження ви-
пливають безпосередньо з означень 9, 10 та твердження 5. Дру-
гий пункт випливає з твердження 9 та другого пункту твердже-
ння 8. �
172 Я. I. Грушка
7. Еволюцiйнi розширення унiверсальних
кiнематик
Означення 11. Будемо говорити, що унiверсальна кiнематика
F2 =
(
C2,
←−
Q2
)
є, вiдповiдно, еволюцiйним (супереволюцiй-
ним) розширенням унiверсальної кiнематики F1 =
(
C1,
←−
Q1
)
,
якщо F1 [≡]F2 i при цьому C1⊂−→C2 (C1@−→C2). Якщо F2 є еволю-
цiйним (супереволюцiйним) розширенням F1, то будемо вико-
ристовувати позначення:
F1⊂−→F2
(
F1@−→F2
)
.
Твердження 12. Для унiверсальних кiнематик F1 i F2 спiв-
вiдношення F1⊂−→F2 виконується тодi i тiльки тодi, коли вико-
нуються наступнi умови:
1. F1 [≡]F2. (звiдси, за означенням 6, випливає,
що Ind (F1) = Ind (F2)).
2. Для довiльного iндексу α ∈ Ind (F1) = Ind (F2) має мiсце
еволюцiйне включення:
F1 � lkα (F1) ⊂−→F2 � lkα (F2) (17)
(звiдси, за твердженням 6, випливає, що Bs (lkα (F1)) ⊆
Bs (lkα (F2))).
3. Для довiльних iндексiв α, β ∈ Ind (F1) = Ind (F2) i до-
вiльної мiнливої системи A ⊆ Bs (lkα (F1)) ⊆ Bs (lkα (F2))
виконується рiвнiсть:
〈lkβ (F1)← lkα (F1) ,F1〉A = 〈lkβ (F2)← lkα (F2) ,F2〉A. (18)
Доведення. А). Нехай F1 =
(
C1,
←−
Q1
)
, F2 =
(
C2,
←−
Q2
)
— унiвер-
сальнi кiнематики i при цьому виконується умова F1⊂−→F2. Тодi,
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 173
за означенням 11, мусять виконуватись умови:
F1 [≡]F2 i C1⊂−→C2.
З умови F1 [≡]F2, за означенням 6, випливає рiвнiсть
Ind (F1) = Ind (F2). Отже:
Ind (C1) = Ind (F1) = Ind (F2) = Ind (C2) .
Оскiльки, Lk (Fi) = Lk (Ci) (i ∈ {1, 2}), то згiдно з властивiстю
3(2) маємо:
lkα (Ci) = lkα (Fi) (i ∈ {1, 2} , α ∈ Ind (Ci) = Ind (Fi)). (19)
Отже, враховуючи систему позначень теорiї унiверсальних кiне-
матик (див. пiдроздiл 4.2.1) при i ∈ {1, 2}, α, β ∈ Ind (Ci) =
Ind (Fi) i A ⊆ Bs (lkα (Ci)) = Bs (lkα (Fi)) отримуємо:
Ci � lkα (Ci) = Ci � lkα (Fi) = Fi � lkα (Fi) ; (20)
〈lkβ (Ci)← lkα (Ci) ,Ci〉A = 〈lkβ (Fi)← lkα (Fi) ,Ci〉A =
= 〈lkβ (Fi)← lkα (Fi) ,Fi〉A. (21)
З умови C1⊂−→C2, за означенням 10 випливає, що для довiльних
iндексiв α, β ∈ Ind (C1) = Ind (C2) i довiльної мiнливої системи
A ⊆ Bs (lkα (C1)) ⊆ Bs (lkα (C2)) виконуються спiввiдношення:
C1 � lkα (C1)⊂−→C2 � lkα (C2) ; (22)
〈lkβ (C1)← lkα (C1) ,C1〉A = 〈lkβ (C2)← lkα (C2) ,C2〉A. (23)
Звiдси, враховуючи (20), (21) i (19) отримуємо спiввiдношення
(17), (18). Отже, умови 1-3 даного твердження — виконанi.
Б) Навпаки, нехай виконуються умови 1-3 даного твердже-
ння. Тодi, F1 [≡]F2, а також мають мiсце спiввiдношення (20),
(21). Тому iз спiввiдношень (17), (18) випливають спiввiдношен-
ня (22), (23) для α, β ∈ Ind (C1) = Ind (C2) i A ⊆ Bs (lkα (C1)) ⊆
174 Я. I. Грушка
Bs (lkα (C2)). I, враховуючи, що, згiдно з твердженням 7, кiнема-
тичнi множини C1 i C2 — хроногеометрично спорiдненi, за озна-
ченням 10 отримуємо еволюцiйне включення C1⊂−→C2. Тому, вра-
ховуючи, що F1 [≡]F2, за означенням 11, отримуємо еволюцiйне
включення F1⊂−→F2. �
Аналогiчно до твердження 12 доводиться наступне твердже-
ння.
Твердження 13. Для унiверсальних кiнематик F1 i F2 спiв-
вiдношення F1@−→F2 виконується тодi i тiльки тодi, коли вико-
нуються наступнi умови:
1. F1 [≡]F2.
2. Для довiльного iндексу α ∈ Ind (F1) = Ind (F2) має мiсце
супереволюцiйне включення:
F1 � lkα (F1) @−→F2 � lkα (F2) . (24)
3. Для довiльних iндексiв α, β ∈ Ind (F1) = Ind (F2) i до-
вiльної мiнливої системи A ⊆ Bs (lkα (F1)) ⊆ Bs (lkα (F2))
виконується рiвнiсть:
〈lkβ (F1)← lkα (F1) ,F1〉A = 〈lkβ (F2)← lkα (F2) ,F2〉A. (25)
Твердження 14. Нехай F , F1, F2 i F3 — довiльнi унiверсальнi
кiнематики. Тодi:
1. F⊂−→F .
2. Якщо F1⊂−→F2 i F2⊂−→F1, то F1 = F2.
3. Якщо F1⊂−→F2 i F2⊂−→F3, то F1⊂−→F3.
Доведення. Перший i третiй пункти даного твердження ви-
пливають безпосередньо з означення 11, а також з тверджень 3
та 8.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 175
Доведемо другий пункт твердження. Нехай F1 =
(
C1,
←−
Q1
)
,
F2 =
(
C2,
←−
Q2
)
— унiверсальнi кiнематики, де
←−
Q1 =
(
Q̃
(1)
m,l
)
l,m∈Lk(C1)=Lk(F1)
,
←−
Q2 =
(
Q̃
(2)
m,l
)
l,m∈Lk(C2)=Lk(F2)
,
причому F1⊂−→F2, F2⊂−→F1. Тодi, за означенням 11, C1⊂−→C2, C2⊂−→C1
i F1 [≡]F2. Отже, за твердженням 8, C1 = C2. Тому:
Lk (F1) = Lk (C1) = Lk (C2) = Lk (F2) ;
Ind (F1) = Ind (C1) = Ind (C2) = Ind (F2) ;
lkα (F1) = lkα (C1) = lkα (C2) = lkα (F2)
(∀α ∈ Ind (F1) = Ind (F2)) .
Оскiльки F1 [≡]F2, то, використовуючи означення 6, а також по-
значення, прийнятi в пiдроздiлi 4.2., для довiльних систем вiд-
лiку l,m ∈ Lk (F1) = Lk (F2) виду l = lkα (F1) = lkα (F2),
m = lkβ (F1) = lkβ (F2) (α, β ∈ Ind (F1) = Ind (F2)) отримує-
мо:
Q̃
(1)
m,l = [m← l,F1] = [lkβ (F1)← lkα (F1) ,F1] =
= [lkβ (F2)← lkα (F2) ,F2] = [m← l,F2] = Q̃
(2)
m,l.
Отже, для довiльних l,m ∈ Lk (F1) = Lk (F2) виконується рiв-
нiсть Q̃(1)
m,l = Q̃
(2)
m,l. Тому,
←−
Q1 =
←−
Q2 i F1 =
(
C1,
←−
Q1
)
=
(
C2,
←−
Q2
)
=
F2. �
Безпосередньо з означення 11, а також з твердження 9, ви-
пливає наступне твердження:
Твердження 15. Якщо F1, F2 — унiверсальнi кiнематики i
F1@−→F2, то F1⊂−→F2.
Твердження 16. Нехай, F , F1, F2 i F3 — довiльнi унiверсальнi
кiнематики. Тодi:
176 Я. I. Грушка
1. F@−→F .
2. Якщо F1@−→F2 i F2@−→F1, то F1 = F2.
3. Якщо F1@−→F2 i F2@−→F3, то F1@−→F3.
Доведення. Перший i третiй пункти даного твердження ви-
пливають безпосередньо з означення 11, а також з тверджень 3
та 11. Другий пункт випливає з тверджень 15 та 14, пункт 2. �
Твердження 17. Нехай F1,F2 — унiверсальнi кiнематики,
причому F1⊂−→F2. Тодi для довiльного iндексу α ∈ Ind (F1) =
Ind (F2) справедливi наступнi твердження:
1. BE (lkα (F1)) ⊂−→BE (lkα (F2)).
2. Bs (lkα (F1)) ⊆ Bs (lkα (F2)).
3. Bs (lkα (F1)) ⊆ Bs (lkα (F2)).
4. Якщо ж, додатково, F1@−→F2, то
BE (lkα (F1)) @−→BE (lkα (F2)) i Ld (lkα (F1)) ⊆ Ld (lkα (F2)).
5. Для довiльного x ∈ Bs (lkα (F1)) виконується рiвнiсть:
qlkα(F1) (x,F1) = qlkα(F2) (x,F2) .
6. Для довiльного ω ∈ Bs (lkα (F1)) виконується рiвнiсть:
Q〈lkα(F1)〉 (ω,F1) = Q〈lkα(F2)〉 (ω,F2) .
Доведення. Нехай F1 =
(
C1,
←−
Q1
)
i F2 =
(
C2,
←−
Q2
)
— унi-
версальнi кiнематики, такi, що F1⊂−→F2. Тодi, за означенням 11,
C1⊂−→C2, а при додатковiй умовi F1@−→F2, отримаємо супереволю-
цiйне включення C1@−→C2.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 177
Згiдно iз пунктом б) пiдроздiлу 4.2.1 для i ∈ {1, 2} маємо
Lk (Fi) = Lk (Ci). Звiдси, згiдно з властивiстю 3(2), маємо:
Ind (Fi) = Ind (Ci) ; (26)
lkα (Fi) = lkα (Ci) (∀α ∈ Ind (Fi) = Ind (Ci)) . (27)
Отже, використовуючи пункт г) пiдроздiлу 4.2.1, для α ∈
Ind (Fi) = Ind (Ci), x ∈ Bs (lkα (Fi)) = Bs (lkα (Ci)) i ω ∈
Bs (lkα (Fi)) = Bs (lkα (Ci)) отримуємо:
qlkα(Fi) (x,Fi) = qlkα(Ci) (x,Ci) ; (28)
Q〈lkα(Fi)〉 (ω,Fi) = Q〈lkα(Ci)〉 (ω,Ci) . (29)
З рiвностей (26)–(29) з використанням твердження 10 отри-
муємо твердження 17. �
8. Диз’юнктнi еволюцiйнi об’єднання унi-
версальних кiнематик
8.1. Iснування i єдинiсть диз’юнктного еволюцiйно-
го об’єднання унiверсальних кiнематик
Означення 12. Еквiвалентнi вiдносно перетворення коорди-
нат унiверсальнi кiнематики F1 i F2 будемо називати ди-
з’юнктними, якщо для довiльного iндексу α ∈ Ind (F1) =
Ind (F2) {3} справедлива рiвнiсть Bs (lkα (F1))∩Bs (lkα (F2)) =
∅. У цьому випадку також будемо говорити, що унiверсальна
кiнематика F1 диз’юнктна з F2.
Твердження 18. Якщо унiверсальнi кiнематики F1 i F2 — ди-
з’юнктнi, то для довiльного iндексу α ∈ Ind (F1) = Ind (F2)
3Оскiльки, за умовою означення, унiверсальнi кiнематики F1 i F2 еквi-
валентнi вiдносно перетворення координат, то, за означенням 6, Ind (F1) =
Ind (F2).
178 Я. I. Грушка
справедлива рiвнiсть:
Bs (lkα (F1)) ∩ Bs (lkα (F2)) = ∅.
Доведення. Справдi, припустимо, що Bs (lkα (F1)) ∩
Bs (lkα (F2)) 6= ∅, для деякого iндексу α ∈ Ind (F1) =
Ind (F2). Тодi iснує елементарно-часовий стан ω ∈ Bs (lkα (F1))∩
Bs (lkα (F2)). Згiдно з [11, властивiсть 2.1(6)], bs (ω) ∈
Bs (lkα (F1)) i bs (ω) ∈ Bs (lkα (F2)). Отже, bs (ω) ∈
Bs (lkα (F1))∩Bs (lkα (F2)), тобто Bs (lkα (F1))∩Bs (lkα (F2)) 6=
∅, що, за означенням 12, неможливо. Отже, Bs (lkα (F1)) ∩
Bs (lkα (F2)) = ∅. �
Означення 13. Нехай F ,F1 — довiльнi унiверсальнi кiнемати-
ки або кiнематичнi чи мiнливi множини такi, що Ind (F) =
Ind (F1). Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (F) покладемо:
l �F1 := lkind(l) (F1) . (30)
Систему вiдлiку l �F1 будемо називати спорiдненою з l у
кiнематицi F1.
На основi означення 13 отримуємо наступнi властивостi.
Властивостi 4. Нехай F ,F1,F2 — довiльнi унiверсальнi кiнема-
тики або кiнематичнi чи мiнливi множини такi, що Ind (F) =
Ind (F1) = Ind (F2). Операцiя видiлення спорiдненої системи
вiдлiку має такi властивостi:
1. l �F= l для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (F);
2. l �F1�F2= l �F2, зокрема l �F1�F= l для довiльної системи
вiдлiку l ∈ Lk (F).
Твердження 19. Нехай F1 i F2 — диз’юнктнi унiверсальнi
кiнематики i F довiльна унiверсальна кiнематика така, що
Ind (F) = Ind (F1) = Ind (F2). Тодi для довiльної системи вiд-
лiку l ∈ Lk (F) справедлива рiвнiсть:
Bs (l �F1) ∩ Bs (l �F2) = Bs (l �F1) ∩Bs (l �F2) = ∅.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 179
Доведення. Розглянемо довiльну систему вiдлiку l ∈ Lk (F).
Покладемо: α := ind (l). Тодi l �F1= lkα (F1); l �F2= lkα (F2). От-
же, використовуючи означення 12 та твердження 18, отримуємо
бажаний результат. �
Означення 14. Будемо говорити, що унiверсальна кiнематика
F є диз’юнктним еволюцiйним об’єднанням унiверсальних кiне-
матик F1 i F2, якщо:
1. F [≡]F1 [≡]F2.
2. Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (F) справедлива рiв-
нiсть: 4
BE(l) = BE (l �F1)
←
∪ BE (l �F2)
3. Для довiльних l,m ∈ Lk (F) i ω ∈ Bs(l) справедлива рiв-
нiсть: 5
〈!m← l,F〉ω =
{
〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω, ω ∈ Bs (l �F1)
〈!m �F2 ← l �F2 ,F2〉ω, ω ∈ Bs (l �F2) .
4. Для довiльних l ∈ Lk (F) i ω ∈ Bs(l) справедлива рiвнiсть:
Q〈l〉 (ω;F) =
{
Q〈l�F1〉 (ω,F1) , ω ∈ Bs (l �F1)
Q〈l�F2〉 (ω,F2) , ω ∈ Bs (l �F2) .
Для доведення деяких властивостей диз’юнктного еволюцiй-
ного об’єднання унiверсальних кiнематик знадобиться наступна
лема.
4З умови F [≡]F1 [≡]F2 випливає рiвнiсть Ind (F) = Ind (F1) = Ind (F2).
Отже, за означенням 13, для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (F) iснують
системи вiдлiку l �F1 i l �F2 .
5З умови BE(l) = BE (l �F1)
←
∪BE (l �F2), згiдно iз [20, наслiдок 2], випливає
рiвнiсть Bs (BE(l)) = Bs (BE (l �F1)) ∪ Bs (BE (l �F2)), тобто рiвнiсть Bs (l) =
Bs (l �F1) ∪ Bs (l �F2), де, згiдно iз твердженням 19, Bs (l �F1) ∩ Bs (l �F2) = ∅.
180 Я. I. Грушка
Лема 1. Якщо для базової мiнливої множини B справедлива
рiвнiсть B =
←−⋃
α∈A Bα (де A — непорожня множина iндексiв i
Bα (α ∈ A) — базовi мiнливi множини), то
Bs(B) =
⋃
α∈A
Bs (Bα) .
Доведення. Згiдно з [20, наслiдок 2]:
Bs(B) =
⋃
α∈A
Bs (Bα) .
Отже, згiдно [11, властивiсть 2.1(6)] або [8, property 7.1(6)]:
Bs(B) = {bs (ω) | ω ∈ Bs(B)} =
=
{
bs (ω) | ω ∈
⋃
α∈A
Bs (Bα)
}
=
=
⋃
α∈A
{bs (ω) | ω ∈ Bs (Bα)} =
⋃
α∈A
Bs (Bα) .
�
Твердження 20. Нехай унiверсальна кiнематика F є диз’юн-
ктним еволюцiйним об’єднанням диз’юнктних унiверсальних
кiнематик F1 i F2 i l ∈ Lk (F) — довiльна система вiдлiку F .
Тодi:
1. BE (l) = BE (l �F1)
←
∨ BE (l �F2).
2. Bs(l) = Bs (l �F1) t Bs (l �F2).
3. Bs(l) = Bs (l �F1) t Bs (l �F2).
4. Для довiльного елемента x ∈ Bs(l) справедлива рiвнiсть:
ql (x,F) =
{
ql�F1 (x,F1) , x ∈ Bs (l �F1) ;
ql�F2 (x,F2) , x ∈ Bs (l �F2) .
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 181
Доведення. Розглянемо довiльну систему вiдлiку l ∈ Lk (F).
1. Згiдно з твердженням 19,
Bs (BE (l �F1)) ∩ Bs (BE (l �F2)) = Bs (l �F1) ∩ Bs (l �F2) = ∅.
Отже, згiдно з [20, Лема 1, пункт 3] сiм’я з двох базових мiнли-
вих множин BE (l �F1) i BE (l �F2) є еволюцiйно насиченою. Тому,
згiдно з [20, твердження 15] iснує супереволюцiйне об’єднання
BE (l �F1)
←
∨ BE (l �F2). Отже, використовуючи [20, наслiдок 4] i
пункт 2 означення 14 отримуємо:
BE(l) = BE (l �F1)
←
∪ BE (l �F2) = BE (l �F1)
←
∨ BE (l �F2) .
2. Згiдно з другим пунктом означення 14 та [20, наслiдок 2]
отримуємо:
Bs(l) = Bs (BE(l)) = Bs
(
BE (l �F1)
←
∪ BE (l �F2)
)
=
= Bs (BE (l �F1)) ∪ Bs (BE (l �F2)) = Bs (l �F1) ∪ Bs (l �F2) ,
де, згiдно з твердженням 19, Bs (l �F1) ∩ Bs (l �F2) = ∅. Отже:
Bs(l) = Bs (l �F1) t Bs (l �F2) .
3. Згiдно з другим пунктом означення 14 та лемою 1 отриму-
ємо:
Bs(l) = Bs (BE(l)) = Bs
(
BE (l �F1)
←
∪ BE (l �F2)
)
=
= Bs (BE (l �F1)) ∪Bs (BE (l �F2)) = Bs (l �F1) ∪Bs (l �F2) ,
де, згiдно з твердженням 19, Bs (l �F1) ∩Bs (l �F2) = ∅. Отже:
Bs(l) = Bs (l �F1) tBs (l �F2) .
4. Нехай, x ∈ Bs(l). Тодi, згiдно з третiм пунктом даного
твердження, має мiсце одна i тiльки одна з умов x ∈ Bs (l �F1)
або x ∈ Bs (l �F2).
182 Я. I. Грушка
а) Розглянемо випадок x ∈ Bs (l �F1). Згiдно з [11, властивiсть
2.1(6)] або [8, властивiсть 7.1(6)] iснує елементарно-часовий стан
ωx ∈ Bs (l �F1) такий, що x = bs (ωx) . Оскiльки ωx ∈ Bs (l �F1), то
згiдно з другим пунктом даного твердження ωx ∈ Bs(l). Отже,
згiдно з четвертим пунктом означення 14:
Q〈l〉 (ωx;F) = Q〈l�F1〉 (ωx;F1) .
Звiдси, використовуючи означення координат Мiнковського
(див. формулу (3)), отримуємо:
(tm (ωx) , ql (bs (ωx) ;F)) =
(
tm (ωx) , ql�F1 (bs (ωx) ;F1)
)
.
Отже, ql (x;F) = ql (bs (ωx) ,F) = ql�F1 (bs (ωx) ;F1) =
ql�F1 (x;F1).
б) Аналогiчно у випадку x ∈ Bs (l �F2) отримуємо ql (x;F) =
ql�F2 (x;F2). �
Твердження 21. Нехай унiверсальна кiнематика F є диз’юн-
ктним еволюцiйним об’єднанням диз’юнктних унiверсальних
кiнематик F1 i F2. Тодi:
1. F1,F2@−→F .
2. Якщо F1,F2⊂−→F̃ для деякої унiверсальної кiнематики F̃ ,
то F⊂−→F̃ .
Доведення.
1. Доведемо, що F1@−→F .
1.1) Оскiльки F є диз’юнктним еволюцiйним об’єднанням F1
i F2, то, за означенням 14 (п.1), F [≡]F1.
1.2) Оскiльки F [≡]F1, то, за означенням 6 (п.1), Ind (F) =
Ind (F1) i, використовуючи означення 6 (п.2) та систему позна-
чень теорiї унiверсальних кiнематик (див. пiдроздiл 4.2.), для
довiльного iндексу α ∈ Ind (F) = Ind (F1) отримуємо:
Tm (F � lkα (F)) = Tm (lkα (F)) =
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 183
= Tm (lkα (F1)) = Tm (F1 � lkα (F1)) ;
BG (F � lkα (F)) = BG (lkα (F) ,F) = BG (lkα (F1) ,F1) =
= BG (F1 � lkα (F1)) .
Отже, за означенням 7, базовi кiнематичнi множини F � lkα (F)
i F1 � lkα (F1) — хроногеометрично спорiдненi.
1.3) Нехай α ∈ Ind (F) = Ind (F1). Покладемо:
l := lkα (F) .
Тодi, за означенням 13:
l �F1= lkα (F1) , l �F2= lkα (F2) .
Згiдно з твердженням 20:
BE(l) = BE (l �F1)
←
∨ BE (l �F2) .
Отже, згiдно з [20, означення 13], BE (l �F1) @−→BE(l), тобто
BE (lkα (F1)) @−→BE (lkα (F)). Отже, враховуючи систему позна-
чень теорiї унiверсальних кiнематик (див. пiдроздiл 2.2.2, пункт
“е)”), отримуємо:
BE (F1 � lkα (F1)) = BE (lkα (F1)) @−→
@−→BE (lkα (F)) = BE (F � lkα (F)) (31)
Використовуючи пункт 4 твердження 20, для довiльно-
го x ∈ Bs (l �F1) отримуємо: ql (x,F) = ql�F1 (x,F1), тобто
qlkα(F) (x,F) = qlkα(F1) (x,F1). Звiдси, використовуючи систе-
му позначень теорiї кiнематичних множин (див. пiдроздiл 2.2.2,
пункт “є)”), маємо:
qF1�lkα(F1)(x) = qF�lkα(F)(x) (32)
(∀x ∈ Bs (lkα (F1)) = Bs (F1 � lkα (F1))) .
184 Я. I. Грушка
Враховуючи, що, згiдно з пунктом 1.2) даного доведення, ба-
зовi кiнематичнi множини F � lkα (F) i F1 � lkα (F1) — хроно-
геометрично спорiдненi, з рiвностей (31), (32) за означенням 8
отримуємо включення:
F1 � lkα (F1) @−→F � lkα (F) (∀α ∈ Ind (F) = Ind (F1)) .
(З останнього включення, зокрема, випливає, що Bs (lkα (F1)) ⊆
Bs (lkα (F)).)
1.4) Нехай α, β ∈ Ind (F) = Ind (F1). Покладемо:
l := lkα (F) , m := lkβ (F) .
Тодi:
l �F1= lkα (F1) , m �F1= lkβ (F1) . (33)
Розглянемо довiльну мiнливу систему A ⊆ Bs (lkα (F1)) ⊆
Bs (lkα (F)) , тобто, враховуючи (33), A ⊆ Bs (l �F1) ⊆ Bs (l). Ви-
користовуючи [9, теорема 5.2] або [8, theorem 11.2], а також пункт
3 означення 14, отримуємо:
〈lkβ (F)← lkα (F) ,F〉A = 〈m← l,F〉A =
=
⋃
ω∈A
{〈!m← l,F〉ω} =
⋃
ω∈A
{〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω} =
= 〈m �F1 ← l �F1 ,F1〉A = 〈lkβ (F1)← lkα (F1) ,F1〉A.
З результатiв, доведених в пунктах 1.1)–1.4), згiдно з твер-
дженням 13, випливає, що F1@−→F . Аналогiчно доводиться, що
F2@−→F .
2. Нехай F̃ — унiверсальна кiнематика, i F1,F2⊂−→F̃ . Оскiль-
ки F , F̃ — унiверсальнi кiнематики, то їх можна подати у вигля-
дi:
F =
(
C,
←−
Q
)
, F̃ =
(
C̃,
←−
Q∼
)
,
де C, C̃ — кiнематичнi множини.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 185
2.1) Оскiльки F1⊂−→F̃ i F1@−→F , то, згiдно з першим пунктом
тверджень 12 та 13, F1 [≡]F i F1 [≡] F̃ . Отже, за твердженням 3,
F [≡] F̃ . З останнього спiввiдношення, зокрема, випливає, що:
Ind (F) = Ind
(
F̃
)
.
Далi, згiдно з твердженням 7, кiнематичнi множини C i C̃ — хро-
ногеометрично спорiдненi. Тому за означенням 9 для довiльного
iндексу α ∈ Ind (F) = Ind
(
F̃
)
= Ind (C) = Ind
(
C̃
)
базовi кi-
нематичнi множини F � lkα (F) = C � lkα (C) i F̃ � lkα
(
F̃
)
= C̃ �
lkα
(
C̃
)
— хроногеометрично спорiдненi.
2.2) Зафiксуємо довiльний iндекс α ∈ Ind (F) = Ind
(
F̃
)
.
2.2.1) Оскiльки F1,F2⊂−→F̃ , то, згiдно з другим пунктом твер-
дження 12, маємо:
Fi � lkα (Fi) ⊂−→F̃ � lkα
(
F̃
)
(i ∈ {1, 2}) . (34)
Тому, за означенням 8, для i ∈ {1, 2} маємо:
BE (lkα (Fi)) = BE (Fi � lkα (Fi)) ⊂−→BE
(
F̃ � lkα
(
F̃
))
=
= BE
(
lkα
(
F̃
))
.
Звiдси, використовуючи другий пункт означення 14 та [20, озна-
чення 12], отримуємо:
BE (lkα (F)) = BE (lkα (F) �F1)
←
∪ BE (lkα (F) �F2) =
= BE (lkα (F1))
←
∪ BE (lkα (F2)) ⊂−→BE
(
lkα
(
F̃
))
.
Отже:
BE (F � lkα (F)) ⊂−→BE
(
F̃ � lkα
(
F̃
))
.
186 Я. I. Грушка
2.2.2) Оскiльки, згiдно з (34), F1 � lkα (F1) ⊂−→F̃ � lkα
(
F̃
)
,
то, за означенням 8, базовi кiнематичнi множини F1 � lkα (F1)
i F̃ � lkα
(
F̃
)
є хроногеометрично спорiдненi. Згiдно з першим
пунктом даного твердження F1,F2⊂−→F . Отже, згiдно з другим
пунктом твердження 12, маємо, F1 � lkα (F1) ⊂−→F � lkα (F). То-
му, за означенням 8, базовi кiнематичнi множини F1 � lkα (F1) i
F � lkα (F) також хроногеометрично спорiдненi. З хроногеоме-
тричної спорiдненостi F1 � lkα (F1) i F̃ � lkα
(
F̃
)
та F1 � lkα (F1)
i F � lkα (F) випливає хроногеометрична спорiдненiсть базових
кiнематичних множин F � lkα (F) i F̃ � lkα
(
F̃
)
.
2.2.3) Iз спiввiдношення (34), за означенням 8 i твердженням
[20, твердження 4 (пункт 1)], випливає, що Bs (Fi � lkα (Fi)) ⊆
Bs
(
F̃ � lkα
(
F̃
))
(i ∈ {1, 2}), причому:
qFi�lkα(Fi)(x) = qF̃�lkα(F̃)(x) (35)
(∀x ∈ Bs (Fi � lkα (Fi)) = Bs (lkα (Fi))) ,
де (i ∈ {1, 2}). Iз спiввiдношення (35), використовуючи твердже-
ння 20 (пункт 4), для x ∈ Bs (F � lkα (F)) отримуємо:
qF�lkα(F)(x) = qlkα(F)(x,F) =
=
{
qlkα(F)�F1 (x,F1) , x ∈ Bs (lkα (F) �F1)
qlkα(F)�F2 (x,F2) , x ∈ Bs (lkα (F) �F2)
=
=
{
qlkα(F1) (x,F1) , x ∈ Bs (lkα (F1))
qlkα(F2) (x,F2) , x ∈ Bs (lkα (F2))
=
=
{
qF1�lkα(F1)(x), x ∈ Bs (lkα (F1))
qF2�lkα(F2)(x), x ∈ Bs (lkα (F2))
= qF̃�lkα(F̃)(x).
З пiдпунктiв 2.2.1), 2.2.2), 2.2.3), за означенням 8, випливає
еволюцiйне включення:
F � lkα (F) ⊂−→F̃ � lkα
(
F̃
)
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 187
(для довiльного iндексу α ∈ Ind (F) = Ind
(
F̃
)
).
2.3) Нехай α, β ∈ Ind (F) = Ind
(
F̃
)
. Оскiльки F1,F2⊂−→F̃ ,
то, за твердженням 12, для довiльного ω ∈ Bs (Fi) (i ∈ {1, 2}),
отримуємо:
〈lkβ (Fi)← lkα (Fi) , Fi〉 {ω} =
〈
lkβ
(
F̃
)
← lkα
(
F̃
)
, F̃
〉
{ω} .
Отже, враховуючи [8, equality (31)] або [9, рiвнiсть (9)]), маємо:
〈! lkβ (Fi)← lkα (Fi) , Fi〉ω =
〈
! lkβ
(
F̃
)
← lkα
(
F̃
)
, F̃
〉
ω
(ω ∈ Bs (Fi) , i ∈ {1, 2}) .
Звiдси, використовуючи означення 14 (пункт 3), для ω ∈
Bs (lkα (F)) отримуємо:
〈! lkβ (F)← lkα (F) , F〉ω =
=
{
〈! lkβ (F) �F1 ← lkα (F) �F1 ,F1〉ω, ω ∈ Bs (lkα (F) �F1)
〈! lkβ (F) �F2 ← lkα (F) �F2 ,F2〉ω, ω ∈ Bs (lkα (F) �F2)
=
=
{
〈! lkβ (F1)← lkα (F1) ,F1〉ω, ω ∈ Bs (lkα (F1))
〈! lkβ (F2)← lkα (F2) ,F2〉ω, ω ∈ Bs (lkα (F2))
=
=
〈
! lkβ
(
F̃
)
← lkα
(
F̃
)
, F̃
〉
ω. (36)
З рiвностi (36), враховуючи властивiсть 2(2), для довiльної мно-
жини A ⊆ Bs (lkα (F)) отримуємо:
〈lkβ (F)← lkα (F) , F〉A =
⋃
ω∈A
{〈! lkβ (F)← lkα (F) , F〉ω} =
=
⋃
ω∈A
{〈
! lkβ
(
F̃
)
← lkα
(
F̃
)
, F̃
〉
ω
}
=
=
〈
lkβ
(
F̃
)
← lkα
(
F̃
)
, F̃
〉
A.
188 Я. I. Грушка
В пунктi 2.1 було доведено, що F [≡] F̃ . Тому, з результатiв,
встановлених у пiдпунктах 2.2)–2.3), згiдно з твердженням 12,
випливає, що F⊂−→F̃ . �
Наслiдок 2. Якщо диз’юнктне еволюцiйне об’єднання (диз’юн-
ктних) унiверсальних кiнематик F1 i F2 iснує, то воно єдине.
Доведення. Нехай F i F̃ — два диз’юнктнi еволюцiйнi об’єдна-
ння диз’юнктних унiверсальних кiнематик F1 i F2. Тодi, згiдно
з твердженням 21, пункт 1, F1,F2@−→F i F1,F2@−→F̃ , а отже,
згiдно з твердженням 15, F1,F2⊂−→F i F1,F2⊂−→F̃ . Тому, згiдно з
пунктом 2 твердження 21, F⊂−→F̃ i F̃ ⊂−→F . Звiдси, за твердженням
14, пункт 2, F = F̃ . �
Враховуючи наслiдок 2, у випадку, якщо F є диз’юнктним
еволюцiйним об’єднанням (диз’юнктних) унiверсальних кiнема-
тик F1 i F2, будемо використовувати позначення:
F1
←
t F2 := F .
Теорема 1. Довiльнi еквiвалентнi вiдносно перетворення ко-
ординат диз’юнктнi унiверсальнi кiнематики F1 i F2 мають
диз’юнктне еволюцiйне об’єднання F1
←
t F2.
Доведення. I. Нехай F1 i F2 — диз’юнктнi унiверсальнi кiне-
матики. Тодi, за означенням 12, F1 [≡]F2. Тому, за означенням
6, Ind (F1) = Ind (F2). Покладемо:
A := Ind (F1) = Ind (F2) .
Тодi, за означенням 6 (рiвнiсть (10)), для довiльного iндексу
α ∈ A базовi мiнливi множини BE (lkα (F1)) i BE (lkα (F2)) —
хронологiчно спорiдненi. Отже, можна покласти:
Bα := BE (lkα (F1))
←
∪ BE (lkα (F2)) , α ∈ A. (37)
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 189
Згiдно з [20, наслiдок 2], для довiльного iндексу α ∈ A отри-
муємо:
Bs (Bα) = Bs (BE (lkα (F1))) ∪ Bs (BE (lkα (F2))) =
= Bs (lkα (F1)) ∪ Bs (lkα (F2)) . (38)
При цьому, згiдно з твердженням 18:
Bs (lkα (F1)) ∩ Bs (lkα (F2)) = ∅, α ∈ A. (39)
II. Для довiльних α, β ∈ A i A ⊆ Bs (Bα) покладемо:
UβαA := 〈lkβ (F1)← lkα (F1) , F1〉 (A ∩ Bs (lkα (F1))) ∪
∪ 〈lkβ (F2)← lkα (F2) , F2〉 (A ∩ Bs (lkα (F2))) . (40)
Доведемо, що сiм’я вiдображень (Uβα | α, β ∈ A) є унiфiкацiєю
сприймання для сiм’ї базових мiнливих множин (Bα | α ∈ A).
а) Оскiльки для довiльних α ∈ A i A ⊆ Bs (Bα)
маємо A ∩ Bs (lkα (Fi)) ⊆ Bs (lkα (Fi)) (i ∈ {1, 2}),
i, згiдно з [10, означення 3.1], вiдображення унiфiкацiї
〈lkβ (Fi)← lkα (Fi) , Fi〉 є вiдображеннями з 2Bs(lkα(Fi)) в
2Bs(lkβ(Fi)), то 〈lkβ (Fi)← lkα (Fi) , Fi〉 (A ∩ Bs (lkα (Fi))) ⊆
Bs (lkβ (Fi)) (i ∈ {1, 2}). Отже, права частина рiвностi (40) є
пiдмножиною множини Bs (lkβ (F1))∪Bs (lkβ (F2)), тобто, згiдно
(38), множини Bs (Bβ). Таким чином:
• Uβα є вiдображенням з 2Bs(Bα) в 2Bs(Bβ) для довiльних iн-
дексiв α, β ∈ A.
б) Нехай α ∈ A i A ⊆ Bs (Bα). Тодi, використовуючи властивiсть
1(5) i рiвнiсть (38), отримуємо:
UααA = 〈lkα (F1)← lkα (F1) , F1〉 (A ∩ Bs (lkα (F1))) ∪
∪ 〈lkα (F2)← lkα (F2) , F2〉 (A ∩ Bs (lkα (F2))) =
= (A ∩ Bs (lkα (F1))) ∪ (A ∩ Bs (lkα (F2))) = A.
190 Я. I. Грушка
в) Нехай α, β ∈ A i A ⊆ B ⊆ Bs (Bα). Тодi, використовуючи
властивiсть 1(6) i (40), отримуємо:
UβαA = 〈lkβ (F1)← lkα (F1) , F1〉 (A ∩ Bs (lkα (F1))) ∪
∪ 〈lkβ (F2)← lkα (F2) , F2〉 (A ∩ Bs (lkα (F2))) ⊆
⊆ 〈lkβ (F1)← lkα (F1) , F1〉 (B ∩ Bs (lkα (F1))) ∪
∪ 〈lkβ (F2)← lkα (F2) , F2〉 (B ∩ Bs (lkα (F2))) =
= UβαB.
г) Нехай α, β, γ ∈ A i A ⊆ Bs (Bα). Покладемо:
Ai := A ∩ Bs (lkα (Fi)) , i ∈ {1, 2} ; (41)
à := UβαA.
Тодi, згiдно з (38) та (40):
A = A1 ∪A2;
à = Ã1 ∪ Ã2, де
Ã1 = 〈lkβ (F1)← lkα (F1) , F1〉A1;
Ã2 = 〈lkβ (F2)← lkα (F2) , F2〉A2.
Оскiльки, згiдно з (41), Ai ⊆ Bs (lkα (Fi)) (i ∈ {1, 2})
i згiдно з [10, означення 3.1], вiдображення унiфiкацiї
〈lkβ (Fi)← lkα (Fi) , Fi〉 є вiдображеннями з 2Bs(lkα(Fi)) в
2Bs(lkβ(Fi)), то Ãi ⊆ Bs (lkβ (Fi)) (i ∈ {1, 2}), отже, враховуючи
рiвнiсть (39), для множини Ã = Ã1 ∪ Ã2 маємо:
à ∩ Bs (lkβ (Fi)) = Ãi (i ∈ {1, 2}) .
Тому, використовуючи (40) i властивiсть 1(7), отримуємо:
UγβUβαA = Uγβà = 〈lkγ (F1)← lkβ (F1) , F1〉 Ã1 ∪
∪ 〈lkγ (F2)← lkβ (F2) , F2〉 Ã2 =
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 191
= 〈lkγ (F1)← lkβ (F1) , F1〉 〈lkβ (F1)← lkα (F1) , F1〉A1 ∪
∪ 〈lkγ (F2)← lkβ (F2) , F2〉 〈lkβ (F2)← lkα (F2) , F2〉A2 ⊆
⊆ 〈lkγ (F1)← lkα (F1) , F1〉A1 ∪
∪ 〈lkγ (F2)← lkα (F2) , F2〉A2 = UγαA.
Отже, згiдно з [10, означення 3.1], (Uβα | α, β ∈ A) є унiфiка-
цiєю сприймання для (Bα | α ∈ A), а трiйка
Z = (A, (Bα | α ∈ A) , (Uβα | α, β ∈ A))
є мiнливою множиною. При цьому, згiдно з позначеннями,
прийнятими в теорiї мiнливих множин (див. [10]):
Ind (Z) = A = Ind (F1) = Ind (F2) ; (42)
Lk (Z) = {(α,Bα) | α ∈ A} . (43)
Згiдно з позначеннями, прийнятими в теорiї мiнливих мно-
жин, користуючись формулами (38), (39), (37), для довiльної
областi сприймання l = (α,Bα) ∈ Lk (Z) отримуємо:
Bs(l) = Bs (Bα) = Bs (lkα (F1)) t Bs (lkα (F2)) =
= Bs (l �F1) t Bs (l �F2) ; (44)
Tm(l) = Tm (Bα) = Tm
(
BE (lkα (F1))
←
∪ BE (lkα (F2))
)
=
= Tm (lkα (F1)) = Tm (lkα (F2)) =
= Tm (l �F1) = Tm (l �F2) . (45)
Звiдси, враховуючи [10, властивiсть 2.1(4)], отримуємо:
Bs(l) = {bs (ω) | ω ∈ Bs(l)} =
= {bs (ω) | ω ∈ Bs (l �F1) ∪ Bs (l �F2)} =
= {bs (ω) | ω ∈ Bs (l �F1)} ∪ {bs (ω) | ω ∈ Bs (l �F2)} =
= Bs (l �F1) ∪Bs (l �F2) . (46)
192 Я. I. Грушка
Оскiльки, за умовою, унiверсальнi кiнематики F1 i F2 — диз’юн-
ктнi, то, за означенням 12, Bs (l �F1)∩Bs (l �F2) = Bs (lkα (F1))∩
Bs (lkα (F2)) = ∅. Отже, згiдно з (46), маємо:
Bs(l) = Bs (l �F1) tBs (l �F2) (l ∈ Lk (Z)) . (47)
Крiм того, згiдно з (40), для довiльних областей сприймання l =
(α,Bα) ∈ Lk (Z), m = (β,Bβ) ∈ Lk (Z) i довiльної множини A ⊆
Bs(l) отримуємо:
〈m← l, Z〉A = UβαA =
= 〈lkβ (F1)← lkα (F1) , F1〉 (A ∩ Bs (lkα (F1))) ∪
∪ 〈lkβ (F2)← lkα (F2) , F2〉 (A ∩ Bs (lkα (F2))) =
= 〈m �F1 ← l �F1 , F1〉 (A ∩ Bs (l �F1)) ∪
∪ 〈m �F2 ← l �F2 , F2〉 (A ∩ Bs (l �F2)) . (48)
Нехай l,m ∈ Lk (Z), A ⊆ Bs(l), A 6= ∅. Тодi, згiдно з (44),
хоч одна з множин A∩Bs (l �F1) або A∩Bs (l �F2) — непорожня.
Оскiльки F1,F2 — унiверсальнi кiнематики, то, за означенням
5, вони є чiтко видимими. Отже, згiдно з [12, означення 1], хоч
одна з множин 〈m �Fi ← l �Fi , Fi〉 (A ∩ Bs (l �Fi)) (i ∈ {1, 2}) —
непорожня. Тобто, згiдно з (48):
〈m← l, Z〉A 6= ∅ при A 6= ∅.
Це, згiдно з [12, означення 1], означає: Z є чiтко видимою мiн-
ливою множиною. Використовуючи рiвностi (44), (48), а також
[8, equality (31)] або [9, рiвнiсть (9)] для довiльних l,m ∈ Lk (Z)
i ω ∈ Bs(l) отримуємо:
〈m← l, Z〉 {ω} =
{
〈m �F1 ← l �F1 , F1〉 {ω} , ω ∈ Bs (l �F1)
〈m �F2 ← l �F2 , F2〉 {ω} , ω ∈ Bs (l �F2)
=
=
{
{〈!m �F1 ← l �F1 , F1〉ω} , ω ∈ Bs (l �F1)
{〈!m �F2 ← l �F2 , F2〉ω} , ω ∈ Bs (l �F2) .
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 193
Звiдси, враховуючи рiвнiсть [8, equality (31)] або [9, рiвнiсть (9)],
для довiльних l,m ∈ Lk (Z) i ω ∈ Bs(l) отримуємо:
〈!m← l, Z〉ω =
{
〈!m �F1 ← l �F1 , F1〉ω, ω ∈ Bs (l �F1)
〈!m �F2 ← l �F2 , F2〉ω, ω ∈ Bs (l �F2) .
(49)
Нехай l ∈ Lk (Z). Для x ∈ Bs(l) покладемо:
kl(x) :=
{
ql�F1 (x;F1) , x ∈ Bs (l �F1)
ql�F2 (x;F2) , x ∈ Bs (l �F2) .
(50)
Оскiльки об’єднання в рiвностi (47) — диз’юнктне, то позначення
(50) — коректне.
Оскiльки F1 [≡]F2, то, за означенням 6, для довiльної областi
сприймання l = (α,Bα) ∈ Lk (Z) маємо:
BG (l �F1 ;F1) = BG (lkα (F1) ;F1) =
= BG (lkα (F2) ;F2) = BG (l �F2 ;F2) ;
Zk (l �F1 ;F1) = Zk (l �F2 ;F2) . (51)
Покладемо:
Ql := BG (l �F1 ;F1) = BG (l �F2 ;F2) , l ∈ Lk (Z) . (52)
Тодi:
Zk (Ql) = Zk (l �F1 ;F1) = Zk (l �F2 ;F2) , l ∈ Lk (Z) .
Отже, kl є вiдображенням зBs(l) в Zk (Ql) (для будь-якої областi
сприймання l ∈ Lk (Z)). Тому, за означенням 3 (пункт 2), пара:
C = (Z, ((Ql, kl) | l ∈ Lk (Z)))
є кiнематичною мiнливою множиною. При цьому, враховуючи
позначення, прийнятi в пiдроздiлi 2.2.2 i рiвностi (42), (43), (44),
(47), (45), отримуємо:
Ind (C) = A = Ind (F1) = Ind (F2) ; (53)
194 Я. I. Грушка
Lk (C) = {(α,Bα) | α ∈ A} ;
BE(C) = Z; (54)
Bs(l) = Bs (l �F1) t Bs (l �F2) (l ∈ Lk (C)) ; (55)
Bs(l) = Bs (l �F1) tBs (l �F2) (l ∈ Lk (C)) ;
Tm(l) = Tm (l �F1) = Tm (l �F2) (l ∈ Lk (C)) . (56)
Оскiльки (за доведеним вище) мiнлива множина Z є чiтко
видимою, то, згiдно з означенням чiтко видимої кiнематичної
множини (див. пункт г) пiдроздiлу 2.2.2), кiнематична множина
C є чiтко видимою. При цьому, враховуючи позначення, прийнятi
в пiдроздiлi 2.2.2 i рiвнiсть (49), для довiльних l,m ∈ Lk (C) i
ω ∈ Bs(l) отримуємо:
〈!m← l, C〉ω =
{
〈!m �F1 ← l �F1 , F1〉ω, ω ∈ Bs (l �F1)
〈!m �F2 ← l �F2 , F2〉ω, ω ∈ Bs (l �F2) .
(57)
Далi, використовуючи рiвностi (50), (51), (52) (56), врахову-
ючи позначення, прийнятi в пiдроздiлi 2.2.2, та позначення (3),
для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) отримуємо:
BG(l;C) = Ql = BG (l �F1 ;F1) = BG (l �F2 ;F2) ; (58)
Zk(l;C) = Zk (Ql) = Zk (l �F1 ;F1) = Zk (l �F2 ;F2) ; (59)
Mk(l;C) = Tm(l)× Zk(l;C) = Tm (l �F1)× Zk (l �F1 ;F1) =
= Tm (l �F2)× Zk (l �F2 ;F2) =
= Mk (l �F1 ;F1) = Mk (l �F2 ;F2) ; (60)
ql (x;C) = kl(x) =
{
ql�F1 (x;F1) , x ∈ Bs (l �F1)
ql�F2 (x,F2) , x ∈ Bs (l �F2)
, x ∈ Bs(l);
Q〈l〉 (ω; C) = (tm (ω) , ql (bs (ω) ;C)) =
=
(
tm (ω) , ql�F1 (bs (ω) ;F1)
)
, bs (ω) ∈ Bs (l �F1)(
tm (ω) , ql�F2 (bs (ω) ;F2)
)
, bs (ω) ∈ Bs (l �F2) .
(61)
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 195
У випадку ω ∈ Bs (l �F1), згiдно з [10, властивiсть 2.1(4)], маємо
bs (ω) ∈ Bs (l �F1). Отже, в цьому випадку, згiдно з (61), маємо:
Q〈l〉 (ω; C) =
(
tm (ω) , ql�F1 (bs (ω) ;F1)
)
=
= Q〈l�F1〉 (ω;F1) .
Аналогiчно, у випадку ω ∈ Bs (l �F2) отримуємо, Q〈l〉 (ω; C) =
Q〈l�F2〉 (ω;F2). Отже, враховуючи (55), для довiльних l ∈ Lk (C)
i ω ∈ Bs(l) маємо:
Q〈l〉 (ω; C) =
{
Q〈l�F1〉 (ω;F1) , ω ∈ Bs (l �F1)
Q〈l�F2〉 (ω;F2) , ω ∈ Bs (l �F2) .
(62)
Використовуючи формули (62), (57) i означення 4 (пункт 1)
для довiльних l,m ∈ Lk (C) i ω ∈ Bs(l) отримуємо:
Q〈m← l〉 (ω,C) = Q〈m〉(〈!m← l,C〉ω; C) =
=
{
Q〈m〉 (〈!m �F1 ← l �F1 , F1〉ω; C) , ω ∈ Bs (l �F1)
Q〈m〉 (〈!m �F2 ← l �F2 , F2〉ω; C) , ω ∈ Bs (l �F2)
=
=
{
Q〈m�F1〉 (〈!m �F1 ← l �F1 , F1〉ω; F1) , ω ∈ Bs (l �F1)
Q〈m�F2〉 (〈!m �F2 ← l �F2 , F2〉ω; F2) , ω ∈ Bs (l �F2)
=
=
{
Q〈m�F1← l�F1〉 (ω; F1) , ω ∈ Bs (l �F1)
Q〈m�F1← l�F1〉 (ω; F2) , ω ∈ Bs (l �F2) .
Звiдси, використовуючи формулу (5), маємо:
Q〈m← l〉 (ω,C) =
=
{
[m �F1 ← l �F1 , F1]Q
〈l�F1〉 (ω;F1) , ω ∈ Bs (l �F1)
[m �F2 ← l �F2 , F2]Q
〈l�F2〉 (ω;F2) , ω ∈ Bs (l �F2) .
(63)
Покладемо:
Q̃m,l := [m �F1 ← l �F1 , F1] , l,m ∈ Lk (C) .
196 Я. I. Грушка
Оскiльки F1 [≡]F2, то для довiльних l,m ∈ Lk (C), за означенням
6, маємо:
Q̃m,l = [m �F1 ← l �F1 , F1] =
=
[
lkind(m) (F1)← lkind(l) (F1) , F1
]
=
=
[
lkind(m) (F2)← lkind(l) (F2) , F2
]
=
= [m �F2 ← l �F2 , F2] . (64)
Тому, з формул (63), (62) для довiльних l,m ∈ Lk (C) отримуємо
рiвнiсть:
Q〈m← l〉 (ω,C) = Q̃m,l
(
Q〈l〉 (ω; C)
)
,
де, згiдно (64), (60), Q̃m,l є вiдображенням виду Q̃m,l : Mk(l) 7→
Mk(m). Отже, за означенням 4 (пункт 4), сiм’я вiдображень(
Q̃m,l | l,m ∈ Lk (C)
)
є унiверсальним перетворенням координат
для кiнематичної множини C. Тобто пара:
F =
(
C,
(
Q̃m,l | l,m ∈ Lk (C)
))
(65)
є унiверсальною кiнематикою. При цьому унiверсальне перетво-
рення координат для кiнематики F задається формулою:
[m← l, F ] = [m �F1 ← l �F1 , F1] =
= [m �F2 ← l �F2 , F2] , l,m ∈ Lk (F) = Lk (C) . (66)
Рiвностi (53)–(62) для F також залишаються справедливими (з
замiною символу C на F).
Доведемо, що унiверсальна кiнематика F є диз’юнктним ево-
люцiйним об’єднанням кiнематик F1 i F2.
1. Доведемо, що F [≡]F1.
1.а) Враховуючи рiвнiсть (53), отримуємо:
Ind (F) = A = Ind (F1) .
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 197
1.б) Нехай α ∈ Ind (F) = Ind (F1). Тодi, використовуючи
(56), (58) та означення 13, отримуємо:
Tm (lkα (F)) = Tm (lkα (F) �F1) = Tm (lkα (F1))
BG (lkα (F) ; F) = BG (lkα (F) �F1 ;F1) = BG (lkα (F1) ; F1) .
1.в) Для довiльних α, β ∈ Ind (F) = Ind (F1), згiдно з (66),
маємо:
[lkβ (F)← lkα (F) , F ] = [lkβ (F) �F1 ← lkα (F) �F1 , F1] =
= [lkβ (F1)← lkα (F1) , F1] .
З пiдпунктiв 1.а)–1.в), за означенням 6 випливає, що F [≡]F1,
тобто що F [≡]F1 [≡]F2.
2. Нехай l = (α,Bα) ∈ Lk (F) = Lk (Z), (де α ∈ A = Ind (F)).
Тодi, згiдно (37):
BE(l) = Bα = BE (lkα (F1))
←
∪ BE (lkα (F2)) =
= BE (l �F1)
←
∪ BE (l �F2) (∀l ∈ Lk (F)) .
3. Нехай l,m ∈ Lk (F) i ω ∈ Bs(l). Тодi, згiдно з (57) та (62),
отримуємо:
〈!m← l, F〉ω =
{
〈!m �F1 ← l �F1 , F1〉ω, ω ∈ Bs (l �F1)
〈!m �F2 ← l �F2 , F2〉ω, ω ∈ Bs (l �F2) .
Q〈l〉 (ω; F) =
{
Q〈l�F1〉 (ω;F1) , ω ∈ Bs (l �F1)
Q〈l�F2〉 (ω;F2) , ω ∈ Bs (l �F2) .
З тверджень, доведених вище в пунктах 1,2,3, за означенням
14 випливає, що унiверсальна кiнематика F є диз’юнктним ево-
люцiйним об’єднанням унiверсальних кiнематик F1 i F2, тобто
F = F1
←
t F2. �
198 Я. I. Грушка
8.2. Диз’юнктне еволюцiйне об’єднання еволюцiй-
но видимих унiверсальних кiнематик
Означення 15 ([9, 14, 15]). 1. Нехай B базова мiнлива мно-
жина. Будемо говорити, що елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈
Bs(B) об’єднанi долею в базовiй мiнливiй множинi B,
якщо виконується хоч одна з умов ω2←ω1 або ω1←ω2.
2. Нехай l ∈ Lk (Y), де Y — довiльна мiнлива множина
або довiльна кiнематична множина, або довiльна унiверсаль-
на кiнематика. Будемо говорити, що елементарно-часовi стани
ω1, ω2 ∈ Bs(l) об’єднанi долею в системi вiдлiку l, якщо вони
об’єднанi долею в базовiй мiнливiй множинi lˆ = BE(l), тобто
якщо виконується хоч одна з умов ω2←ω1 або ω1←ω2.
Означення 16. 1. Мiнливу множину Z будемо називати
еволюцiйно видимою, якщо:
(a) Z є чiтко видимою;
(b) для довiльних систем вiдлiку l,m ∈ Lk (Z) i для
довiльних об’єднаних долею в l елементарно-часових
станiв ω1, ω2 ∈ Bs(l) таких, що tm (〈!m← l〉ω1) 6=
tm (〈!m← l〉ω2) елементарно-часовi стани 〈!m← l〉ω1
та 〈!m← l〉ω2 є об’єднанi долею в m.
2. Кiнематичну множину C (унiверсальну кiнематику F)
будемо називати еволюцiйно видимою, якщо еволюцiй-
но видимою є мiнлива множина BE (C) (BE (F)) вiдповiд-
но.
Безпосередньо з означення 16, враховуючи систему позначень
теорiї кiнематичних множин (див. пiдроздiл 2.2.2), випливає на-
ступне твердження.
Твердження 22. Кiнематична множина C є еволюцiйно види-
мою тодi i тiльки тодi, коли виконуються умови (a), (b) пер-
шого пункту означення 16 (iз замiною символу Z на символ C).
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 199
Нехай F =
(
C,
←−
Q
)
— унiверсальна кiнематика. Тодi, за озна-
ченням 5, кiнематична множина C, а отже i мiнлива множина
BE (F) = BE (C) є чiтко видимою. Тому справедливе наступне
твердження:
Твердження 23. Унiверсальна кiнематика F є еволюцiйно ви-
димою тодi i тiльки тодi, коли виконується умова (b) першого
пункту означення 16 (iз замiною символу Z на символ F).
Таким чином, з фiзичної точки зору еволюцiйну видимiсть мо-
жна iнтерпретувати, як iнварiантнiсть еволюцiйних (трансфор-
мацiйних) зв’язкiв у рiзних системах вiдлiку.
Твердження 24. Нехай P = ((Tα,Xα, Uα) | α ∈ A) — еволюцiй-
ний мультипроектор в сенсi [14, 15] для базової мiнливої мно-
жини B. Тодi мiнлива множина Z im [P,B] є еволюцiйно види-
мою.
Доведення. Нехай P = ((Tα,Xα, Uα) | α ∈ A), де — еволюцiй-
ний мультипроектор для B. Покладемо
Z := Z im [P,B] .
(a) Згiдно з теоремою про мультиобраз ([14, теорема 2] або
[15, theorem 3]), мiнлива множина Z є чiтко видимою.
(b) Згiдно з [14, властивiсть 6(1)] або [15, property 6(1)],
Lk (Z) = ((α,Uα [B,Tα]) | α ∈ A). Розглянемо довiльнi двi обла-
стi сприймання l = (α,Uα [B,Tα]) ∈ Lk (Z), m = (β, Uβ [B,Tβ]) ∈
Lk (Z), де α, β ∈ A. Нехай елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈
Bs(l) об’єднанi долею в l i tm (〈!m← l〉ω1) 6= tm (〈!m← l〉ω2).
Вiдповiдно до [14, властивiсть 6(4)] або [15, property 6(4)] iсну-
ють об’єднанi долею в B елементарно-часовi стани ω′1, ω′2 ∈ Bs(B)
такi, що ω1 = Uα (ω
′
1), ω2 = Uα (ω
′
2). За означеннями [14, озна-
чення 9] (пункт 2) або [15, Definition 8] (item 2), вiдображення
Uα є бiєкцiєю. Тому ω′1 = U
[−1]
α (ω1), ω′2 = U
[−1]
α (ω2), де U
[−1]
α —
вiдображення, обернене до Uα. Звiдси, використовуючи наслiдок
200 Я. I. Грушка
[14, наслiдок 1] або [15, corollary 1], отримуємо:
〈!m← l〉ω1 = Uβ
(
U [−1]
α (ω1)
)
= Uβ
(
ω′1
)
;
〈!m← l〉ω2 = Uβ
(
U [−1]
α (ω2)
)
= Uβ
(
ω′2
)
.
Тому, оскiльки tm (〈!m← l〉ω1) 6= tm (〈!m← l〉ω2), то, згiдно з
[14, властивiсть 6(4)] або [15, property 6(4)], елементарно-часовi
стани 〈!m← l〉ω1 i 〈!m← l〉ω2 об’єднанi долею в m.
З пунктiв (a), (b), за означенням 16, випливає, що мiнлива
множина Z є еволюцiйно видимою. �
Оскiльки, згiдно з другим пунктом означення 16, кiнематична
множина C (унiверсальна кiнематика F) є еволюцiйно видимою
тодi i тiльки тодi, коли еволюцiйно видимою є мiнлива множина
BE (C) (BE(F)), використовуючи теореми про мультиобраз [14,
теореми 3 i 4], отримуємо наступнi наслiдки з твердження 24:
Наслiдок 3. Нехай P — кiнематичний мультипроектор для
базової мiнливої множини B. Тодi кiнематична множина
Kim [P,B] є еволюцiйно видимою.
Наслiдок 4. Нехай P — унiверсальний кiнематичний мульти-
проектор для базової кiнематичної множини Cb. Тодi унiвер-
сальна кiнематика Ku
[
P,Cb
]
є еволюцiйно видимою.
З наслiдкiв 3 та 4 випливає, що всi кiнематичнi множини i
унiверсальнi кiнематики, пов’язанi iз спецiальною теорiєю вiд-
носностi та її тахiонними розширеннями в сенсi E. Recami [21],
розглянутi в роботах [13, 14, 15], є еволюцiйно видимими.
Наступна теорема показує, що еволюцiйна видимiсть унiвер-
сальних кiнематик є iнварiантною вiдносно операцiї диз’юнктно-
го еволюцiйного об’єднання, тобто диз’юнктне еволюцiйне об’єд-
нання еволюцiйно видимих унiверсальних кiнематик є еволюцiй-
но видимим.
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 201
Теорема 2. Якщо диз’юнктнi унiверсальнi кiнематики F1 i F2
є еволюцiйно видимими, то унiверсальна кiнематика F1
←
t F2
також є еволюцiйно видимою.
Доведення. Нехай F1 i F2 — диз’юнктнi еволюцiйно видимi
унiверсальнi кiнематики. Покладемо:
F := F1
←
t F2.
Розглянемо довiльнi системи вiдлiку l,m ∈ Lk (F). За означе-
нням 14,
BE(l) = BE (l �F1)
←
∪ BE (l �F2) .
Отже, згiдно з [20, наслiдок 2],
Bs←
l
=
Bs←−−−
BE(l)
=
Bs←−−−
BE(l�F1)
∪ Bs←−−−
BE(l�F2)
=
Bs←−−−
l�F1
∪ Bs←−−−
l�F2
. (67)
Припустимо, що елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs (l) —
об’єднанi долею в l i
tm (〈!m← l〉ω1) 6= tm (〈!m← l〉ω2) (68)
Оскiльки ω1, ω2 — об’єднанi долею в l, то повинна виконуватись
хоч одна з умов:
ω2←
l
ω1 або ω1←
l
ω2. (69)
На мовi теорiї множин сукупнiсть умов (69) переписується у ви-
глядi:
{(ω2, ω1) , (ω1, ω2)} ∩
Bs←
l
6= ∅.
Звiдси, в силу (67), випливає, що мусить виконуватись хоч одна
з умов:
{(ω2, ω1) , (ω1, ω2)} ∩
Bs←−−−
l�F1
6= ∅ (70)
202 Я. I. Грушка
{(ω2, ω1) , (ω1, ω2)} ∩
Bs←−−−
l�F2
6= ∅. (71)
У випадку (70) маємо, ω1, ω2 ∈ Bs (l �F1) i ω1, ω2, об’єднанi долею
в системi вiдлiку l �F1∈ Lk (F1). Оскiльки ω1, ω2 ∈ Bs (l �F1), то,
за третiм пунктом означення 14, маємо:
〈!m← l,F〉ωi = 〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ωi, i ∈ {1, 2} . (72)
Отже, згiдно з (68):
tm (〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω1) 6= tm (〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω2) .
Тому, оскiльки ω1, ω2 об’єднанi долею в системi вiдлiку
l �F1∈ Lk (F1) i унiверсальна кiнематика F1 є еволюцiй-
но видимою, то, за означенням 16, елементарно-часовi стани
〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω1 i 〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω2 об’єднанi долею в
системi вiдлiку m �F1∈ Lk (F1). Отже:
{(〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω1, 〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω2) ,
(〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω2, 〈!m �F1 ← l �F1 ,F1〉ω1)} ∩
Bs←−−−
m�F1
6= ∅.
Звiдси, застосовуючи рiвнiсть (67) до системи вiдлiку m ∈ Lk (F)
i використовуючи рiвнiсть (72), отримуємо:
{(〈!m← l,F〉ω1, 〈!m← l,F〉ω2) ,
(〈!m← l,F〉ω2, 〈!m← l,F〉ω1)} ∩
Bs←
m
6= ∅. (73)
Аналогiчно доводиться, що спiввiдношення (73) виконується i у
випадку (71).
Отже, в обох випадках елементарно-часовi стани
〈!m← l,F〉ω1 i 〈!m← l,F〉ω2 об’єднанi долею в системi вiдлiку
m ∈ Lk (F). Враховуючи, що системи вiдлiку l,m ∈ Lk (F) i
об’єднанi долею в l елементарно-часовi стани ω1, ω2 вибрано
довiльним чином, за означенням 16 отримуємо, що унiверсальна
кiнематика F є еволюцiйно видимою. �
Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин... 203
Лiтература
[1] Проблемы Гильберта. Сборник под ред. П.С. Александрова. – Мо-
сква: Наука, 1969. – 240 с.
[2] Гладун А. Д. Шестая проблема Гильберта // Потенциал. – 2006. –
№ 3. (http://potential.org.ru/Home/ProblemGilbert).
[3] Petunin Yu. I., Klyushin D. A. A structural approach to solving the
6th Hilbert problem // Theory of Probability and Mathematical Stati-
stics. – 2005. – 71. – P. 165–179.
[4] Adonai S. Sant’Anna. The definability of physical concepts // Bol.
Soc. Parana. Mat. (3ser.). – 2005. – 23, No 1-2. – P. 63–175.
[5] Newton C. A. da Costa, Adonai S. Sant’Anna. The mathematical role
of time and space-time in classical physics // Foundations of Physics
Letters. – 2001. – 14, No 6. – P. 553–563.
[6] Грушка Я. I. Примiтивнi мiнливi множини та їх властивостi //
Математичний Вiсник НТШ. – 2012. – 9. – С. 52–80.
[7] Грушка Я. I. Мiнливi множини та їх властивостi // Доповiдi НАН
України. – 2012. – № 5. – C. 12–18.
[8] Grushka Ya.I. Abstract concept of changeable set // Preprint
arXiv:1207.3751v1. – 2012.
[9] Грушка Я. I. Видимiсть у мiнливих множинах // Працi Iн-ту ма-
тематики НАН України. – 2012. – 9, № 2. – С. 122–145.
[10] Грушка Я. I. Мiнливi множини та їх застосування для побудови
кiнематики тахiонiв // Працi Iн-ту математики НАН України. –
2014. – 11,№ 1. – С. 192–227.
[11] Грушка Я. I. Базовi мiнливi множини та математичне моделюва-
ння еволюцiї систем // Укр. мат. журн. – 2013 – 65, № 9. – C.
1190–1210.
[12] Грушка Я. I. Критерiй iснування унiверсального перетворення
координат у кiнематичних мiнливих множинах // Буковинський
мат. журн. – 2014. –2, № 2-3. – С.59–71.
[13] Грушка Я. I. Перетворення координат у кiнематичних мiнливих
множинах // Доповiдi НАН України. – 2015. – № 3. – С. 24–31.
204 Я. I. Грушка
[14] Грушка Я. I. Кiнематичнi мiнливi множини iз заданим унiверсаль-
ним перетворенням координат // Працi Iн-ту математики НАН
України. – 2015. – 12, № 1.
[15] Grushka Ya. I. Abstract Coordinate Transforms in Ki-
nematic Changeable Sets and their Properties. – Preprint
arXiv:1504.02685v2. – 2015.
[16] Baccetti V., Tate K., Visser M. Inertial frames without the relativity
principle // J. High Energy Physics. – 2012. – 2012, No 5.
[17] Lorentz violating kinematics: Threshold theorems // J. High Energy
Physics. – 2012. – 2012, No 3.
[18] Baccetti V., Tate K., Visser M. Inertial frames without the relativity
principle: breaking Lorentz symmetry. – Preprint: arXiv:1302.5989. –
2013.
[19] Паули В. Теория относительности. – Москва: Наука, 1991. – 325 c.
[20] Грушка Я. I. Еволюцiйнi розширення та аналоги операцiї об’єд-
нання для базових мiнливих множин // Працi Iн-ту математики
НАН України. – 2014. – 11, № 2. – С. 66–99.
[21] Recami E. Classical Tachyons and Possible Applications // Riv.
Nuovo Cim. – 1986. – 9, S 3, No 6. – P. 1–178.
[22] Coleman S. R., Glashow S. L. Cosmic ray and neutrino tests of
special relativity // Physics Letters B. – 1997. – 405. – P. 249–252.
(arXiv: hep-ph/9703240).
[23] Coleman S. R., Glashow S. L. High-energy tests of Lorentz invari-
ance // Physical Review D. – 1999. – 59. – P. 249–252. (arXiv: hep-
ph/9703240).
[24] Drago A., Masina I., Pagliara G., Tripiccione R. The Hypothesis
of Superluminal Neutrinos: comparing OPERA with other Data //
Europhysics Letters. – 2012. – 97, No 2. (arXiv:1109.5917 [hep-ph]).
[25] Gertov H. Lorentz Violations. – Preprint. – University of Southern
Denmark. – August, 2012.
[26] Ter-Kazarian G. Extended Lorentz code of a superluminal particle. –
Preprint arXiv:1202.0469 [physics.gen-ph]. – 2012.
[27] Биркгоф Г. Теория Решёток. – Москва: Наука, 1984. – 567 c.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-128 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:43Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a0/4ba937f7c98f979dd0b86dcfcc59cfa0.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1282018-01-29T10:01:46Z Evolutionary expansion of kinematic sets and universal kinematics Еволюційні розширення кінематичних множин та універсальних кінематик Grushka, Ya. I. Грушка, Я. І. Analogs of set-theoretic inclusion relation and set-theoretic operation of disjoint union for kinematic changeable sets and universal kinematic sets are introduced and their properties are investigated. The obtained results may be used for formulation of mathematical foundations of special relativity in the framework of theory of kinematic changeable sets. Введено аналоги теоретико-множинного відношення включення та теоретико-множинної операції диз’юнктного об'єднання для кінематичних мінливих множин та універсальних кінематичних множин, а також досліджено їхні властивості. Отримані результати можуть бути застосовані для формулювання математичних основ спеціальної теорії відносності в рамках теорії кінематичних мінливих множин. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/128 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 139-204 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 139-204 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 139-204 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/128/172 Авторське право (c) 2015 Я. І. Грушка |
| spellingShingle | Grushka, Ya. I. Грушка, Я. І. Evolutionary expansion of kinematic sets and universal kinematics |
| title | Evolutionary expansion of kinematic sets and universal kinematics |
| title_alt | Еволюційні розширення кінематичних множин та універсальних кінематик |
| title_full | Evolutionary expansion of kinematic sets and universal kinematics |
| title_fullStr | Evolutionary expansion of kinematic sets and universal kinematics |
| title_full_unstemmed | Evolutionary expansion of kinematic sets and universal kinematics |
| title_short | Evolutionary expansion of kinematic sets and universal kinematics |
| title_sort | evolutionary expansion of kinematic sets and universal kinematics |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/128 |
| work_keys_str_mv | AT grushkayai evolutionaryexpansionofkinematicsetsanduniversalkinematics AT gruškaâí evolutionaryexpansionofkinematicsetsanduniversalkinematics AT grushkayai evolûcíjnírozširennâkínematičnihmnožintauníversalʹnihkínematik AT gruškaâí evolûcíjnírozširennâkínematičnihmnožintauníversalʹnihkínematik |