Integral representation of solutions of one parabolic equation with growing coefficients in the group of minor terms
For a degenerate parabolic equation of the second order with constant coefficients in senior terms and with growing coefficients in minor terms, we prove the representation theorems in the form of the Poisson integrals for the solutions of the Cauchy problem and for the solutions defined in an open...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/129 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552647848886272 |
|---|---|
| author | Ivasyshen, S. D. Pasichnyk, G. S. Івасишен, С. Д. Пасічник, Г. С. |
| author_facet | Ivasyshen, S. D. Pasichnyk, G. S. Івасишен, С. Д. Пасічник, Г. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. Д. Івасишен",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
},
{
"author": "Г. С. Пасічник",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
}
] |
| author_sort | Ivasyshen, S. D. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T10:06:14Z |
| description | For a degenerate parabolic equation of the second order with constant coefficients in senior terms and with growing coefficients in minor terms, we prove the representation theorems in the form of the Poisson integrals for the solutions of the Cauchy problem and for the solutions defined in an open layer and beloning to a special weight $L_p$-spaces. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 2, 205–229
УДК 517.956.4
С. Д. Iвасишен1,3, Г. С. Пасiчник2,3
(1Нацiональний технiчний унiверситет України “КПI”, Київ;
2Чернiвецький нацiональний унiверситет iм. Ю. Федьковича,
Чернiвцi;
3Iнститут прикладних проблем механiки i математики
iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, Львiв)
Iнтегральне зображення розв’язкiв
одного параболiчного рiвняння
зi зростаючими коефiцiєнтами
в групi молодших членiв
ivasyshen−sd@mail.ru, pasichnyk@mail.ru
For a degenerate parabolic equation of the second order with constant
coefficients in senior terms and with growing coefficients in minor
terms, we prove the representation theorems in the form of the Poi-
sson integrals for the solutions of the Cauchy problem and for the
solutions defined in an open layer and beloning to a special weight
Lp-spaces.
Для виродженого параболiчного рiвняння другого порядку з ко-
ефiцiєнтами, сталими в групi старших i зростаючими в групi мо-
лодших членiв, доведено теореми про зображення у виглядi iнте-
гралiв Пуассона розв’язкiв задачi Кошi та визначених у вiдкри-
тому шарi розв’язкiв зi спецiальних вагових Lp-просторiв.
c© C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник, 2015
206 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
1. Вступ
У попереднiх статтях авторiв [1, 2] розглянуто ультрапарабо-
лiчне рiвняння типу класичного рiвняння дифузiї з iнерцiєю
А.М. Колмогорова з коефiцiєнтами, сталими в групi старших i
зростаючими в групi молодших його членiв. Для такого рiвнян-
ня знайдено в явному виглядi фундаментальний розв’язок за-
дачi Кошi (ФРЗК), вивчено його властивостi та властивостi по-
роджених ним iнтегралiв Пуассона. На основi цих властивостей
доведено теореми про розв’язнiсть задачi Кошi у випадку, коли
початковi данi належать до спецiальних вагових просторiв L~ap
функцiй чи просторiв M~a узагальнених мiр. Цим самим у зазна-
чених статтях для розглянутого рiвняння реалiзована частина
описаного в [3, 4] пiдходу С.Д. Ейдельмана та першого спiвав-
тора, який дає можливiсть отримати точнi результати про ко-
ректну розв’язнiсть та iнтегральне зображення розв’язкiв задачi
Кошi. У цiй статтi реалiзується iнша частина вказаного пiдходу,
яка стосується iнтегрального зображення розв’язкiв.
2. Попереднi вiдомостi та формулювання
результатiв
Нехай n1, n2, n3 – заданi натуральнi числа такi, що n3 ≤ n2 ≤ n1;
n := n1 +n2 +n3; змiнна x ∈ Rn складається з трьох груп змiнних
xl := (xl1, . . . , xlnl
) ∈ Rnl , l ∈ {1, 2, 3}, так що x := (x1, x2, x3);
x1 := (x′1, x
′′
1, x
′′′
1 ), x̂1 := (x′1, x
′′
1), де x′1 := (x11, ..., x1n3), x′′1 :=
(x1(n3+1), ..., x1n2), x′′′1 := (x1(n2+1), ..., x1n1); x2 := (x′2, x
′′
2), де
x′2 := (x21, ..., x2n3), x′′2 := (x2(n3+1), ..., x2n2).
У шарi Π(0,T ] := (0, T ]×Rn скiнченної товщини T > 0 розгля-
датимемо рiвняння
(Lu)(t, x) :=
(
∂t −
n2∑
j=1
x1j∂x2j −
n3∑
j=1
x2j∂x3j−
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 207
−
n1∑
j,s=1
ajs∂x1j∂x1s − b
n1∑
j=1
x1j∂x1j
)
u(t, x) = 0,
(t, x) ∈ Π(0,T ], (1)
де ajs i b – дiйснi сталi, причому ajs = asj , {j, s} ⊂ {1, ..., n1}, i
виконується умова параболiчностi
∃ δ > 0 ∀σ1 := (σ11, ..., σ1n1) ∈ Rn1 :
n1∑
j,s=1
ajsσ1jσ1s ≥ δ|σ1|2.
Будемо використовувати позначення, означення просторiв та
iнформацiю про ФРЗК для рiвняння (1) iз праць [1, 2]. Тому
спочатку наведемо необхiднi вiдомостi з цих праць.
Нехай G(t, x; τ, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T , {x, ξ} ⊂ Rn, – ФРЗК для
рiвняння (1). Для нього справджуються, зокрема, оцiнки
|∂k1x1∂
k2
x2∂
k3
x3∂
m1
ξ1
∂m2
ξ2
∂m3
ξ3
G(t, x; τ, ξ)| ≤
≤ C
3∏
l=1
(pl(t− τ))−(nl+|kl|+|ml|)/2Ec(t− τ, x, ξ),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, (2)
де kl i ml – довiльнi мультиiндекси розмiрностi nl, l ∈ {1, 2, 3}, C
i c – додатнi сталi, причому C залежить вiд kl i ml. Тут i далi
Ec(t, x, ξ) := exp
{
− c
( |ebtX1(t)− ξ1|2
p1(t)
+
3∑
l=2
|Xl(t)− ξl|2
pl(t)
)}
,
X1(t) := x1, X2(t) := x2 + αb(t)x̂1,
X3(t) := x3 + tx′2 +
αb(t)− t
b
x′1,
208 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
де для t > 0
αb(t) :=
ebt − 1
b
, b 6= 0,
t, b = 0,
p1(t) :=
e2bt − 1
2b
b 6= 0,
t, b = 0,
,
p2(t) :=
12
( t
b2
− 2(ebt − 1)
b3(ebt + 1)
)
, b 6= 0,
t3, b = 0,
p3(t) :=
720
( t
b4
+
t3
12b2
− t2
b3
ebt + 1
2(ebt − 1)
)
, b 6= 0,
t5, b = 0.
Для функцiї G правильна формула згортки
G(t, x; τ, ξ) =
∫
Rn
G(t, x; γ, z)G(γ, z; τ, ξ) dz,
0 ≤ τ < γ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn. (3)
i функцiя
G∗(τ, ξ; t, x) := G(t, x; τ, ξ),
0 ≤ τ < γ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, (4)
є ФРЗК для спряженого до (1) рiвняння
(L∗v)(τ, ξ) := −∂τv(τ, ξ) +
n2∑
j=1
ξ1j∂ξ2jv(τ, ξ)+
+
n3∑
j=1
ξ2j∂ξ3jv(τ, ξ)−
n1∑
j,s=1
ajs∂ξ1j∂ξ1sv(τ, ξ)+
+b
n1∑
j=1
∂ξ1j
(
ξ1jv(τ, ξ)
)
= 0, (τ, ξ) ∈ Π[0,T ). (5)
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 209
Щоб означити простори функцiй та узагальнених мiр, уведе-
мо набори визначених для t ∈ [0, T ] функцiй
~k(t,~a) := (k1(t, a1), k2(t, a2), k3(t, a3)),
k1(t, a1) :=
c0a1e
2bt
c0 − a1p1(t)
, kl(t, al) :=
c0al
c0 − alpl(t)
, l ∈ {2, 3};
~s(t) := (s1(t), s2(t), s3(t)),
~sl(t) := (sl1(t), . . . , slnl
(t)), l ∈ {1, 2, 3},
s1j(t) := k1(t, a1) + 2θ(n2 − j)(αb(t))2k2(t, a2)+
+4
(αb(t)− t
b
)2
θ(n3 − j)k3(t, a3), j ∈ {1, . . . , n1},
s2j(t) := 2k2(t, a2) + 4t2θ(n3 − j)k3(t, a3), j ∈ {1, . . . , n2},
s3j(t) := 4k3(t, a3), j ∈ {1, . . . , n3},
де c0 ∈ (0, c), c – стала з оцiнок (2), ~a := (a1, a2, a3) – набiр таких
невiд’ємних чисел, що pl(T ) < c0/al, l ∈ {1, 2, 3}, θ(τ) = 1 для
τ ≥ 0 i θ(τ) = 0 для τ < 0, а також ваговi функцiї
Φν(t, x) := exp
{
ν
3∑
l=1
kl(t, al)|Xl(t)|2
}
,
Ψν(t, x) := exp
{
ν
3∑
l=1
nl∑
j=1
slj(t) |xlj |2
}
,
(t, x) ∈ Π[0,T ], ν ∈ R.
i норми
‖u(t, ·)‖~k(t,~a)
p := ‖u(t, ·)Φ−1(t, ·)‖Lp(Rn),
‖u(t, ·)‖~s(t)p := ‖u(t, ·)Ψ−1(t, ·)‖Lp(Rn),
t ∈ [0, T ], p ∈ [1,∞].
Використовуватимемо такi простори: L
~k(t,~a)
p – простiр вимiр-
них за Лебегом функцiй ϕ : Rn → C зi скiнченною нормою
210 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
‖ϕ‖
~k(t,~a)
p , L~ap := L
~k(0,~a)
p ; M~a – простiр узагальнених борелiвських
мiр µ : B −→ C таких, що
‖µ‖~a :=
∫
Rn
Φ−1(0, x) d|µ|(x) <∞,
де B – σ-алгебра борелiвських множин простору Rn i |µ| – повна
варiацiя µ; L−~s(T )
1 – простiр вимiрних функцiй ψ : Rn → C зi
скiнченною нормою ‖ψ(·)Ψ1(T, ·)}‖L1(Rn); C
−~s(T )
0 – простiр непе-
рервних функцiй ψ : Rn → C таких, що
|ψ(x)|Ψ1(T, x) −→
|x|→∞
0.
ФРЗК G породжує iнтеграли Пуассона вiдповiдно функцiї ϕ
та узагальненої мiри µ за формулами
u(t, x) =
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ) dξ, (t, x) ∈ Π(0,T ], (6)
та
u(t, x) =
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ) dµ(ξ), (t, x) ∈ Π(0,T ]. (7)
Основнi результати цiєї статтi мiстяться в наступних теоре-
мах.
Теорема 1. Нехай ϕ ∈ L~ap, p ∈ [1,∞], i µ ∈ M~a. Тодi правильнi
такi твердження:
1) розв’язок u рiвняння (1), який задовольняє умови
∃C > 0 ∀ t ∈ (0, T ] : ‖u(t, ·)‖~k(t,~a)
p ≤ C, (8)
при 1 ≤ p <∞
lim
t→0
‖u(t, ·)− ϕ(·)‖~s(t)p = 0 (9)
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 211
i при p =∞
∀ψ ∈ L−~s(T )
1 : lim
t→0
∫
Rn
ψ(x)u(t, x)dx =
∫
Rn
ψ(x)ϕ(x)dx, (10)
зображується у виглядi (6);
2) для розв’язку u рiвняння (1), для якого виконується нерiв-
нiсть (8) з p = 1 i спiввiдношення
∀ψ ∈ C−~s(T )
0 : lim
t→0+
∫
Rn
ψ(x)u(t, x) dx =
∫
Rn
ψ(x) dµ(x), (11)
правильне зображення (7).
Теорема 2. Нехай u – розв’язок рiвняння (1) в шарi Π(0,T ], який
задовольняє умову
∃C > 0 ∃ p ∈ [1,∞] ∀ t ∈ (0, T ] : ‖u(t, ·)‖~k(t,~a)
p ≤ C. (12)
Тодi при 1 < p ≤ ∞ iснує єдина функцiя ϕ ∈ L~ap, а при p = 1 –
єдина узагальнена мiра µ ∈ M~a, такi, що розв’язок u зображу-
ється вiдповiдно у виглядi (6) i (7).
Зауважимо, що з теореми 1 випливає єдинiсть розв’язку за-
дачi Кошi, що завершує доведення теореми з [2] про коректну
розв’язнiсть задачi Кошi для рiвняння (1). Теорема 2 є в певно-
му розумiннi оберненою до теореми 1.
3. Доведення теореми 1
1) Нехай u – розв’язок, який задовольняє умови (8), (9) або (10);
VR := (0, T ]×BR, де BR – куля в просторi Rn радiуса R з центром
у початку координат; ζ – досить гладка на [0,∞) функцiя така,
що ζ = 1 на [0, 1/2], ζ = 0 на [3/4,∞) i ζ ′ ≤ 0; ζR(ξ) := ζ(|ξ|/R);
(t, x) – фiксована точка з VR0/4, де R0 – задане число.
212 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
Скористаємось такою формулою Грiна–Остроградського з [1]:
t2∫
t1
dτ
∫
BR
(v Lu− uL∗v)(τ, ξ) dξ =
∫
BR
(uv)(τ, ξ)
∣∣∣τ=t2
τ=t1
dξ−
−
t2∫
t1
dτ
∫
ΓR
n1∑
j,l=1
ajl(v ∂ξ1lu− u ∂ξ1lv)(τ, ξ)µ1j dSξ−
−b
t2∫
t1
dτ
∫
ΓR
n1∑
j=1
(vu)(τ, ξ)ξ1jµ1j dSξ−
−
t2∫
t1
dτ
∫
ΓR
( n2∑
j=1
ξ1jµ2j +
n3∑
j=1
ξ2jµ3j
)
(vu)(τ, ξ) dSξ, (13)
де t1 < t2, ΓR — межа кулi BR,
(µ11, ..., µ1n1 , µ21, ..., µ2n2 , µ31, ..., µ3n3)
є орт зовнiшньої нормалi до ΓR, L i L∗ — диференцiальнi вирази
з (1) i (5).
Покладемо у формулi (13) замiсть t1, t2, u(τ, ξ) i v(τ, ξ) вiдпо-
вiдно h, t− ε, u(τ, ξ) i G∗(τ, ξ; t, x)ζR(ξ), де R ≥ R0, 0 < h < t/2,
0 < ε < t/2, а u – взятий нами розв’язок рiвняння (1). Викори-
стовуючи властивостi функциї ζR та рiвнiсть (4), одержимо∫
Rn
G(t, x; t− ε, ξ) ζR(ξ)u(t− ε, ξ) dξ =
=
∫
Rn
G(t, x;h, ξ) ζR(ξ)u(h, ξ) dξ+
+
t−ε∫
h
dτ
∫
B3R/4\BR/2
u(τ, ξ)L∗(G∗(τ, ξ; t, x)ζR(ξ)) dξ,
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 213
а пiсля переходу до границi при ε→ 0 прийдемо до рiвностi
u(t, x) =
∫
Rn
G(t, x;h, ξ) ζR(ξ)u(h, ξ) dξ+
+
t∫
h
dτ
∫
B3R/4\BR/2
u(τ, ξ)L∗(G∗(τ, ξ; t, x)ζR(ξ)) dξ =
=: I
(R)
1 + I
(R)
2 , (14)
Перейдемо в (14) до границi при R → ∞. Доведемо, що при
цьому iнтеграл I(R)
1 прямує до iнтеграла
I1 :=
∫
Rn
G(t, x;h, ξ)u(h, ξ) dξ.
За допомогою оцiнки (2) маємо
|I1 − I(R)
1 | =
∣∣∣ ∫
Rn
G(t, x;h, ξ)(1− ζR(ξ))u(h, ξ)dξ
∣∣∣≤
≤ C
∫
Rn\BR/2
3∏
l=1
(pl(t− h))−nl/2Ec−c0(t− h, x, ξ)×
×
(
Ec0(t− h, x, ξ)Φ1(h, ξ)
)(
|u(h, ξ)|Φ−1(h, ξ)
)
dξ. (15)
Використовуватимемо нерiвностi
Ec0(t− h, x, ξ) Φ1(h, ξ) ≤ Ec0(t− h, x, ξ) Ψ1(h, ξ) ≤
≤ exp
{ 3∑
l=1
nl∑
j=1
klj(t− h, slj(h)) |Xlj(t− h)|2
}
≤ c1, (16)
214 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
h – досить мале число таке, що 0 < t − h ≤ T , pl(T ) < H(h) :=
min
l,j
c0
slj(h)
, x ∈ BR0/4, ξ ∈ Rn;
Ec0(t− h, x, ξ) ≤ exp
{
−c0
(R/4)2
q(t− h)
}
,
0 < t− h ≤ T, x ∈ BR0/4, ξ ∈ Rn \BR/2, (17)
де c1 > 0, R – досить велике число, R0 – фiксоване число, при-
чому 0 < R0 < R, q(t) := max
l∈{1,2,3}
pl(t).
Друга нерiвнiсть iз (16) доводиться так само, як нерiвнiсть (7)
з [2], а перша та третя – очевиднi на пiдставi означення функцiй
slj . Доведення нерiвностi (17) аналогiчне до доведення нерiвностi
(22) з [2]. Як i там, використовуючи позначення
X̃(t) := (ebtx1, X2(t), X3(t))),
Y (t) := ((1− ebt)x1,−αb(t)x̂1,−tx′2 − x′1(αb(t)− t)/b),
маємо
|eb(t−h)x1 − ξ1|2
p1(t− h)
+
3∑
l=2
|Xl(t− h)− ξl|2
pl(t− h)
≥
≥ 1
q(t− h)
|X̃(t− h)− ξ|2 ≥ 1
q(t− h)
(
|ξ| − |X̃(t− h)|
)2
,
|X̃(t− h)| = |x− Y (t− h)| ≤ |x|+ |Y (t− h)| ≤
≤ |x|+
(
(1− eb(t−h))2|x1|2 + (αb(t− h))2|x̂1|2+
+(t− h)2|x′2|2+
( αb(t− h)− (t− h)
b
)2
|x′1|2
)1/2
≤
≤ |x|+
(
(αb(T )b)2|x1|2 + (αb(T ))2|x̂1|2 + T 2|x′2|2+
+
( αb(T ) + T
b
)2
|x′1|2
)1/2
≤ (1 + c2)|x| ≤
≤ (1 + c2)R0/4,
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 215
i, отже,
|eb(t−h)x1 − ξ1|2
p1(t− h)
+
3∑
l=2
|Xl(t− h)− ξl|2
pl(t− h)
≥
≥ 1
q(t− h)
( R
2
− (1 + c2)
R0
4
)2
≥ 1
q(t− h)
( R
4
)2
для всiх R > (1 + c2)R0.
З нерiвностей (15) – (17) випливає, що
|I1 − I(R)
1 | ≤
≤ C
3∏
l=1
(pl(t− h))−nl/2 exp
{
−((c− c0)/2)
(R/4)2
q(t− h)
}
×
×
∫
Rn
E(c−c0)/2(t− h, x, ξ)
(
|u(h, ξ)|Φ−1(h, ξ)
)
dξ. (18)
Якщо p = 1, то звiдси зразу випливає, що для фiксованого h
|I1 − I(R)
1 | ≤ C
3∏
l=1
(pl(t− h))−nl/2×
× exp
{
−((c− c0)/2)
(R/4)2
q(t− h)
}
‖u(h, ·)‖
~k(h,~a)
1 −→
R→∞
0.
Якщо p ∈ (1,∞), то з допомогою нерiвностi Гельдера отриму-
ємо
|I1 − I(R)
1 | ≤ C
3∏
l=1
(pl(t− h))−nl/(2p)×
× exp
{
−((c− c0)/2)
(R/4)2
q(t− h)
}
‖u(h, ·)‖~k(h,~a)
p ×
×
( ∫
Rn
Ep′(c−c0)/2(t− h, x, ξ)
3∏
l=1
(pl(t− h))−nl/2dξ
)1/p′
≤
216 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
≤ C
3∏
l=1
(pl(t− h))−nl/(2p) exp
{
−((c− c0)/2)
(R/4)2
q(t− h)
}
×
×‖u(h, ·)‖~k(h,~a)
p −→
R→∞
0
при фiксованому h. Тут p′ := p/(p − 1) i використано те, що
згiдно з нерiвнiстю (12) iз [2] iнтеграл обмежений. Для p = ∞
при фiксованому h маємо
|I1 − I(R)
1 | ≤
≤ C‖u(h, ·)‖~k(h,~a)
∞ exp
{
−((c− c0)/2)
(R/4)2
q(t− h)
}
−→
R→∞
0.
Тепер доведемо, що I(R)
2 −→
R→∞
0. Для цього зазначимо, що
L∗
(
G∗(τ, ξ; t, x)ζR(ξ)
)
= ζR(ξ)L∗G∗(τ, ξ; t, x)+
+
n2∑
j=1
ξ1j G
∗(τ, ξ; t, x) ∂ξ2jζR(ξ) +
n3∑
j=1
ξ2j G
∗(τ, ξ; t, x)×
×∂ξ3jζR(ξ)−
n1∑
j,s=1
ajs
(
∂ξ1jζR(ξ) ∂ξ1sG
∗(τ, ξ; t, x)+
+∂ξ1jG
∗(τ, ξ; t, x)∂ξ1sζR(ξ)
)
−
n1∑
j,s=1
ajsG
∗(τ, ξ; t, x)×
∂ξ1j∂ξ1sζR(ξ) + b
n1∑
j=1
ξ1j G
∗(τ, ξ; t, x) ∂ξ1jζR(ξ). (19)
Оскiльки при τ < t L∗G∗(τ, ξ; t, x) = 0, то перший доданок з
(19) рiвний нулю, а на пiдставi властивостей функцiї ζR усi вира-
зи з (19) в Rn\(B3R/4\BR/2) дорiвнюють нулю. Використовуючи
рiвнiсть (4), оцiнки (2) i те, що для ξ ∈ B3R/4 \BR/2
|ξ1j ∂ξ2jζR(ξ)| ≤ C, |ξ2j ∂ξ3jζR(ξ)| ≤ C,
|∂ξ1jζR(ξ)| ≤ C/R, |∂ξ1j∂ξ1sζR(ξ)| ≤ C/R2,
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 217
при R ≥ 1 маємо
L∗
(
G∗(τ, ξ; t, x)ζR(ξ)
)
≤
≤ C (p1(t− τ))−(n1+1)/2
3∏
l=2
(pl(t− τ))−nl/2Ec(t− τ, x, ξ).
За допомогою цiєї оцiнки так само, як вище для I1 − I(R)
1 , вста-
новлюємо, що∣∣∣ ∫
B3R/4\BR/2
L∗
(
G∗(τ, ξ; t, x)ζR(ξ)
)
u(τ, ξ)dξ
∣∣∣≤ C×
×‖u(τ, ·)‖~k(τ,~a)
p exp
{
−((c− c0)/2)
(R/4)2
q(t− τ)
} 3∏
l=1
(pl(t− τ))−kl ,
де k1 = (n1 + 1)/2, kl = nl/2, l ∈ {2, 3}, при p = 1, k1 = n1/(2p) +
1/2, kl = nl/(2p), l ∈ {2, 3}, при 1 < p < ∞ i k1 = 1/2, kl = 0,
l ∈ {2, 3}, при p =∞. Звiдси, використовуючи нерiвнiсть
exp
{
−((c− c0)/2)
(R/4)2
q(t− τ)
} 3∏
l=1
(pl(t− τ))−kl ≤
≤ C exp
{
−ε R2
q(t− τ)
}
, 0 ≤ τ < t, R ≥ 1, ε > 0,
i умову (8), дiстаємо
|I(R)
2 | ≤ C exp
{
−ε R
2
q(t)
}
−→
R→∞
0.
Отже, пiсля переходу в (14) до границi при R→∞ отримуємо
u(t, x) =
∫
Rn
G(t, x;h, ξ)u(h, ξ) dξ. (20)
218 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
У рiвностi (20) перейдемо до границi при h → 0 i доведемо,
що
lim
h→0
∫
Rn
G(t, x;h, ξ)u(h, ξ) dξ =
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ) dξ. (21)
Звiдси випливатиме правильнiсть зображення (6).
Запишемо рiзницю
∆h :=
∫
Rn
G(t, x;h, ξ)u(h, ξ)dξ −
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ)dξ
у виглядi
∆h = J
(h)
1 + J
(h)
2 , (22)
де
J
(h)
1 :=
∫
Rn
∆0
hG(t, x;h, ξ)u(h, ξ)dξ, (23)
а
J
(h)
2 :=
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ) (u(h, ξ)− ϕ(ξ))dξ, (24)
якщо p ∈ [1,∞), i
J
(h)
2 :=
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)u(h, ξ)dξ −
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ)dξ
при p =∞. Тут
∆0
hG(t, x;h, ξ) := G(t, x;h, ξ)−G(t, x; 0, ξ).
Для p ∈ {1,∞} безпосередньо, а для p ∈ (1,∞) з допомогою
нерiвностi Гельдера маємо
|J (h)
1 | ≤ J
(h)
1p ‖u‖
~k(h,~a)
p , (25)
J
(h)
1p := ‖∆0
hG(t, x;h, ξ) Φ1(h, ξ)‖Lp′ (Rn),
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 219
де p′ = ∞ для p = 1, p′ = p/(p − 1) для p ∈ (1,∞) i p′ = 1 для
p =∞. Аналогiчно для p ∈ [1,∞) отримуємо
|J (h)
2 | ≤ J
(h)
2p ‖u(h, ·)− ϕ(·)‖~s(h)
p , (26)
J
(h)
2p := ‖G(t, x; 0, ·) Ψ1(h, ·)‖Lp′ (Rn)).
Доведемо, що
J
(h)
l −→h→0
0, l ∈ {1, 2}. (27)
На пiдставi (8) спiввiдношення (27) для l = 1 буде доведено,
якщо встановимо, що
J
(h)
1p −→
h→0
0. (28)
При доведеннi цього спiввiдношення використовуватимемо на-
ступне твердження: для довiльно фiксованих t ∈ (0, T ] i x ∈ Rn
iснують такi сталi C1 > 0, c1 ∈ (c0, c) (c – стала з оцiнки (2), а
c0 – стала з означення функцiй kl) i h0 > 0, що для довiльних
h ∈ (0, h0) i ξ ∈ Rn правильна нерiвнiсть
|G(t, x;h, ξ)| ≤ C1
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Ec(t, x, ξ), (29)
Доведемо це твердження. На пiдставi оцiнки (2) i монотонного
зростання функцiй pl маємо
|G(t, x;h, ξ)| ≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2×
× exp
{
− c
( |eb(t−h)X1(t− h)− ξ1|2
p1(t)
+
3∑
l=2
|Xl(t− h)− ξl|2
pl(t)
)}
.
Оскiльки для c > 0 iснують сталi C1 > 0 i c1 ∈ (c0, c) такi, що
для довiльних {u, v} ⊂ R, |v| ≤ 1, правильна нерiвнiсть
exp{−c|u− v|2} ≤ C1 exp{−c1|u|2},
220 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
то
exp
{
− c |e
b(t−h)X1(t− h)− ξ1|2
p1(t)
}
=
= exp
{
− c |(e
btX1(t)− ξ1)− bebtα−b(h)x1|2
p1(t)
}
≤
≤ C1 exp
{
− c1
|ebtX1(t)− ξ1|2
p1(t)
}
,
якщо h брати таким, щоб bebtα−b(h)|x1|(p1(t))−1/2 ≤ 1;
exp
{
− c |X2(t− h)− ξ2|2
p2(t)
}
=
exp
{
− c |(X2(t)− ξ2)− ebtα−b(h)x̂1|2
p2(t)
}
≤
≤ C1 exp
{
− c1
|X2(t)− ξ2|2
p2(t)
}
,
якщо h брати таким, щоб ebtα−b(h)|x̂1|(p2(t))−1/2 ≤ 1, i
exp
{
− c |X3(t− h)− ξ3|2
p3(t)
}
=
= exp
{
− c
|(X3(t)− ξ3)− ebtα−b(h)−h
b x̂1 − hx′2|2
p2(t)
}
≤
≤ C1 exp
{
− c1
|X3(t)− ξ3|2
p3(t)
}
,
якщо h брати таким, щоб (|x̂1|(ebtα−b(h) − h)/b +
h|x′2|)(p3(t))−1/2 ≤ 1,
На пiдставi оцiнок (2), (29) i нерiвностей, якi вiдрiзняються
вiд (16) замiною t− h на t, маємо
|∆0
hG(t, x;h, ξ) Φ1(h, ξ)| ≤
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 221
≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Ec(t, x, ξ) Φ1(h, ξ) ≤
≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Ec−c0(t, x, ξ)Ec0(t, x, ξ) Ψ1(h, ξ) ≤
≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Ec−c0(t, x, ξ),
де h – довiльне число з (0, h0) таке, що виконується нерiвнiсть
pl(T ) < H(h) (H(h) з (16)). Враховуючи цю нерiвнiсть i те, що
на пiдставi неперервностi функцiї G
∆0
hG(t, x;h, ξ) Φ1(h, ξ) →
h→0
0,
з допомогою теореми Лебега про мажорантну збiжнiсть отриму-
ємо спiввiдношення (28) для p ∈ [1,∞].
Спiввiдношення (27) для l = 2 i p ∈ [1,∞) випливає з рiвностi
(9) i того, що на пiдставi нерiвностей (2), (16) та обмеженостi
iнтеграла ∫
Rn
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Eγ(t, x, ξ) dξ, γ > 0,
(див. (12) з [2]) правильнi такi нерiвностi для всiх досить малих
h:
J
(h)
2p ≤ C
( ∫
Rn
Ep′(c−c0)(t, x, ξ)Ep′c0(t, x, ξ)Ψp′(h, ξ)×
×
3∏
l=1
(pl(t))
−nlp
′/2dξ
)1/p′
≤
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2p×
× exp
{ 3∑
l=1
nl∑
j=1
kl(t, slj(h))|Xlj(t)|2
}
≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/(2p),
p ∈ (1,∞);
222 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
J
(h)
2p ≤ C sup
ξ∈Rn
( 3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Ec−c0(t, x, ξ)Ec0(t, x, ξ)×
×Ψ1(h, ξ)
)
≤ C exp
{ 3∑
l=1
nl∑
j=1
kl(t, slj(h)) |Xlj(t)|2
}
×
×
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2 ≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2, p = 1.
Оскiльки при 0 < t ≤ T0, pl(T0) < H(T ), T0 ≤ T , функцiя
ψ(ξ) := G(t, x; 0, ξ), ξ ∈ Rn,
на пiдставi оцiнки (2) i нерiвностi
Ec0(t, x, ξ)Ψ1(T, ξ) ≤ exp
{ 3∑
l=1
nl∑
j=1
kl(t, slj(T ))|Xlj(t)|2
}
задовольняє нерiвнiсть
|ψ(ξ)|Ψ1(T, ξ) ≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2E−c0(t, x, ξ)×
× exp
{ 3∑
l=1
nl∑
j=1
kl(t, slj(T ))|Xlj(t)|2
}
, ξ ∈ Rn, (30)
i, тому, ψ ∈ L
−~s(T )
1 , то на пiдставi умови (10) отримуємо при
0 < t ≤ T0 i p =∞ рiвнiсть
lim
h→0
J
(h)
2 = 0. (31)
З (22), (27), (31) випливає спiввiдношення (21) i, як наслiдок,
формула (6) для довiльної точки (t, x) шару Π(0,T ] у випадку
p ∈ [1,∞) i шару Π(0,T0] при p =∞. Щоб переконатись у правиль-
ностi цiєї формули при p =∞ для довiльної точки (t, x) ∈ Π(0,T ],
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 223
потрiбно скористатись формулою (20) для h ≤ T0, формулою (6)
при t = h i формулою згортки (3).
2) Якщо розв’язок рiвняння (1) задовольняє умову (8) з p = 1,
то, як встановлено при доведеннi першої частини теореми, для
нього правильна формула (20). Перейдемо в нiй до границi при
h→ 0. Для цього розглянемо рiзницю∫
Rn
G(t, x;h, ξ)u(h, ξ)dξ −
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)dµ(ξ) = J
(h)
1 + J
(h)
3 , (32)
де J (h)
1 визначається формулою (23), а
J
(h)
3 :=
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)u(h, ξ)dξ −
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)dµ(ξ).
Для J
(h)
1 виконується спiввiдношення (27). З нерiвностi (30)
випливає, що при t ∈ (0, T0] функцiя ψ(ξ) := G(t, x; 0, ξ), ξ ∈
Rn, належить до простору C−~s(T )
0 . Тому на пiдставi умови (11)
виконується спiввiдношення lim
h→0
J
(h)
3 = 0, з якого та з (20), (27)
i (32) випливає правильнiсть формули (7) для (t, x) ∈ Π(0,T0].
Ця формула правильна для довiльної точки(t, x) ∈ Π(0,T ]. Це
випливає з формул (20) для h ≤ T0, (7) при t = h i (3).
4. Доведення теореми 2
Нехай p ∈ (1,∞]. З умови (12) випливає, що послiдовнiсть фун-
кцiй {
u(1/ν, x)Φ−1(1/ν, x), x ∈ Rn : ν ≥ 1
}
(33)
обмежена в просторi Lp(Rn). Цей простiр iзометричний просто-
ру, спряженому до простору Lp′(Rn), p′ = p/(p − 1). Згiдно з
теоремою про слабку компактнiсть обмеженої множини в спря-
женому просторi послiдовнiсть (33) слабко компактна в Lp(Rn).
224 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
Тому iснує її пiдпослiдовнiсть{
u(1/ν(r), x)Φ−1(1/ν(r), x), x ∈ Rn : r ≥ 1
}
(34)
i функцiя χ ∈ Lp(Rn) такi, що для довiльних ψ ∈ Lp′(Rn)
lim
r→∞
∫
Rn
ψ(ξ) Φ−1(1/ν(r), ξ)u(1/ν(r), ξ) dξ =
∫
Rn
ψ(ξ)χ(ξ) dξ. (35)
Покладемо ϕ(ξ) := χ(ξ)Φ1(0, ξ), ξ ∈ Rn. Тодi ϕ ∈ L~ap i спiввiдно-
шення (34) записується у виглядi
lim
r→∞
∫
Rn
ψ(ξ) Φ−1(1/ν(r), ξ)u(1/ν(r), ξ) dξ =
=
∫
Rn
ψ(ξ)Φ−1(0, ξ)ϕ(ξ) dξ. (36)
Нехай (t, x) – фiксована точка шару Π(0,T ] i
ψ(ξ) := G(t, x; 0, ξ)Φ1(0, ξ), ξ ∈ Rn. (37)
З оцiнки
|ψ(ξ)| ≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Ec−c0(t, x, ξ)Φ1(t, x), ξ ∈ Rn, (38)
яка отримується з допомогою нерiвностей (2) i (7) з [2], випливає,
що ψ ∈ Lp′(Rn). Тому на пiдставi рiвностi (36) маємо
lim
r→∞
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ) Φ−1(1/ν(r), ξ) Φ1(0, ξ)u(1/ν(r), ξ) dξ =
=
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ) dξ. (39)
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 225
Припустимо, що 1/ν(r) ≤ t/2, r ≥ 1. Згiдно з формулою (20)
u(t, x) =
∫
Rn
G(t, x; 1/ν(r), ξ)u(1/ν(r), ξ) dξ. (40)
На пiдставi цiєї рiвностi маємо
u(t, x)−
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ) dξ =
=
∫
Rn
∆0
hG(t, x;h, ξ)
∣∣∣
h=1/ν(r)
u(1/ν(r), ξ) dξ+
+
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)
(
1− Φ−1(1/ν(r), ξ)Φ1(0, ξ)
)
u(1/ν(r), ξ)dξ+
+
( ∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)Φ−1(1/ν(r), ξ)Φ1(0, ξ)u(1/ν(r), ξ) dξ−
−
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ) dξ
)
=:
3∑
j=1
K
(r)
j , r ≥ 1. (41)
Щоб отримати зображення (6), досить довести, що для j ∈
{1, 2, 3}
lim
r→∞
K
(r)
j = 0. (42)
З (39) випливає (42) для j = 3. Доведемо (42) для j = 2. За
допомогою нерiвностi Гельдера та умови (12) маємо
|K(r)
2 | ≤ ‖u(1/ν(r), · )‖~k(1/ν(r),~a)
p
( ∫
Rn
Fr(ξ)dξ
)1/p′
≤
≤ C
( ∫
Rn
Fr(ξ)dξ
)1/p′
, (43)
226 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
де
Fr(ξ) :=
∣∣∣ G(t, x; 0, ξ)
∣∣∣p′ ( Φ1(1/ν(r), ξ)Φ−1(0, ξ)
)p′
,
ξ ∈ Rn, r ≥ 1.
Вивчимо властивостi функцiй Fr, r ≥ 1. З оцiнки (2) i нерiв-
ностi (7) з [2] випливають нерiвностi
(Fr(ξ))
1/p′ ≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Ec−c0(t, x, ξ)×
×Ec0(t, x, ξ) Ψ1(1/ν(r), ξ) Φ1(0, ξ) ≤
≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Ec−c0(t, x, ξ) Φ1(1/ν(r), x) Φ1(t, x).
Тут r ≥ r0, де r0 взято так, щоб pl(t) < H(1/ν(r0)). Оскiльки для
довiльних r ≥ r0, j ∈ {1, ..., nl}, i l ∈ {1, 2, 3}
kl(t, slj(1/ν(r))) ≤ kl(t, slj(1/ν(r0))),
то
(Fr(ξ))
1/p′ ≤ C
3∏
l=1
(pl(t))
−nl/2Ec−c0(t, x, ξ) Φ1(t, x)×
× exp
{ 3∑
l=1
nl∑
j=1
kl(t, slj(1/ν(r0))) |Xlj |2
}
, ξ ∈ Rn, r ≥ r0,
звiдки випливає iснування в пiдпослiдовностi {Fr, r ≥ r0} iнте-
гровної мажоранти. А оскiльки для кожного ξ ∈ Rn lim
r→∞
Fr(ξ) =
0, то на пiдставi теореми Лебега про мажорантну збiжнiсть
lim
r→∞
∫
Rn
Fr(ξ)dξ = 0.
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 227
Звiдси з урахуванням (43) отримуємо (42) для j = 2.
Рiвнiсть (42) для j = 1 випливає зi спiввiдношення (27) для
l = 1, оскiльки K(r)
1 = J
(h)
1
∣∣∣
h=1/ν(r)
.
Розглянемо випадок p = 1. З умови (12) випливає, що по-
слiдовнiсть (33) обмежена в просторi L1(Rn). Цей простiр не є
спряженим до жодного iншого банахового простору, однак вiн
вкладається в простiр M всiх скiнченних узагальнених мiр, ви-
значених на σ-алгебрi B борелiвських множин простору Rn. Цей
простiр iзометричний простору, спряженому до простору C0(Rn)
усiх неперервних функцiй, якi прямують до нуля на нескiнчен-
ностi. З обмеженостi в L1(Rn) послiдовностi (33) випливає обме-
женiсть вiдповiдної послiдовностi узагальнених мiр простору M
i, отже, слабка компактнiсть останньої. Тому iснує пiдпослiдов-
нiсть (34) та узагальнена мiра µ ∈M~a, що для довiльної функцiї
ψ ∈ C0(Rn) справджується рiвнiсть
lim
r→∞
∫
Rn
ψ(ξ) Φ−1(1/ν(r), ξ)u(1/ν(r), ξ) dξ =
=
∫
Rn
ψ(ξ)Φ−1(0, ξ) dµ(ξ). (44)
З оцiнки (38) випливає, що функцiя (37) належить до просто-
ру C0(Rn) для довiльної фiксованої точки (t, x) ∈ Π(0,T ]. Тому на
пiдставi (44) отримуємо, що
lim
r→∞
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ) Φ−1(1/ν(r), ξ) Φ1(0, ξ)u(1/ν(r), ξ) dξ =
=
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ) dµ(ξ). (45)
Подальшi мiркування такi самi, як у випадку p > 1. За допо-
228 C. Д. Iвасишен, Г. С. Пасiчник
могою формули (40) записуємо рiвнiсть
u(t, x)−
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ) dµ(ξ) = K
(r)
1 +K
(r)
2 + K̃
(r)
3 , (46)
де K(r)
1 i K(r)
2 тi самi, що й в (41), а
K̃
(r)
3 :=
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ)Φ−1(1/ν(r), ξ) Φ1(0, ξ)u(1/ν(r), ξ) dξ−
−
∫
Rn
G(t, x; 0, ξ) dµ(ξ).
Враховуючи рiвнiсть (42) для j ∈ {1, 2} i те, що на пiдставi
(45) lim
r→∞
K̃
(r)
3 = 0, iз (46) отримуємо зображення (7).
Отже, доведено iснування функцiї ϕ ∈ L~ap при p ∈ (1,∞] i уза-
гальненої мiри µ ∈ M~a при p = 1 таких, що заданий розв’язок
рiвняння (1), який задовольняє умову (12), є iнтегралом Пуассо-
на вiдповiдно функцiї ϕ чи узагальненої мiри µ. Єдинiсть функцiї
ϕ та узагальненої мiри µ безпосередньо випливає з теореми iз [2].
5. Висновки
З теореми iз [2] i теореми 2 випливає, що простори L~ap, p ∈ (1,∞],
i M~a є множинами початкових значень розв’язкiв рiвняння (1)
тодi i тiльки тодi, коли розв’язки задовольняють умову (12) вiд-
повiдно з p ∈ (1,∞] i p = 1. Ця умова є необхiдною i достатною
для зображення розв’язку у виглядi (6) i (7).
Задача про знаходження умов на визначенi в областi розв’яз-
ки рiвняння, якi гарантують iснування граничних значень цих
розв’язкiв на межi областi, є важливою класичною задачею тео-
рiї аналiтичних i гармонiчних функцiй. Ця задача для розв’язкiв
рiвняння (1), якi визначенi в шарi Π(0,T ] i належать для кожного
Iнтегральне зображення розв’язкiв ... 229
t ∈ (0, T ] до вагових просторiв L
~k(t,~a)
p , розв’язана в статтях [1, 2]
i в цiй статтi.
Лiтература
[1] Iвасишен С.Д., Пасiчник Г.С. Фундаментальний розв’язок задачi
Кошi для одного параболiчного рiвняння зi зростаючими коефiцi-
єнтами групи молодших членiв // Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2014. – 11, №2. – C. 126–153.
[2] Iвасишен С., Пасiчник Г. Задача Кошi для одного параболiчного
рiвняння зi зростаючими коефiцiєнтами в групi молодших членiв //
Мат. вiсн. Наук. тов. iм. Т. Шевченка. – 2014. – 11. – C. 73–87.
[3] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in
the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic
type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 152. – 390 p.
[4] Iвасишен С.Д. Розв’язки параболiчних рiвнянь iз сiмейств банахо-
вих просторiв, залежних вiд часу // Мат. студiї. – 2013. – 40, №2. –
C. 172–181.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-129 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:46Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f0/562a02296f56368064294f761d0463f0.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1292018-01-29T10:06:14Z Integral representation of solutions of one parabolic equation with growing coefficients in the group of minor terms Інтегральне зображення розв'язків одного параболічного рівняння зі зростаючими коефіцієнтами в групі молодших членів Ivasyshen, S. D. Pasichnyk, G. S. Івасишен, С. Д. Пасічник, Г. С. For a degenerate parabolic equation of the second order with constant coefficients in senior terms and with growing coefficients in minor terms, we prove the representation theorems in the form of the Poisson integrals for the solutions of the Cauchy problem and for the solutions defined in an open layer and beloning to a special weight $L_p$-spaces. Для виродженого параболічного рівняння другого порядку з коефіцієнтами, сталими в групі старших і зростаючими в групі молодших членів, доведено теореми про зображення у вигляді інтегралів Пуассона розв'язків задачі Коші та визначених у відкритому шарі розв'язків зі спеціальних вагових $L_p$-просторів. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/129 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 205-229 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 205-229 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 205-229 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/129/173 Авторське право (c) 2015 C. Д. Івасишен, Г. С. Пасічник |
| spellingShingle | Ivasyshen, S. D. Pasichnyk, G. S. Івасишен, С. Д. Пасічник, Г. С. Integral representation of solutions of one parabolic equation with growing coefficients in the group of minor terms |
| title | Integral representation of solutions of one parabolic equation with growing coefficients in the group of minor terms |
| title_alt | Інтегральне зображення розв'язків одного параболічного рівняння зі зростаючими коефіцієнтами в групі молодших членів |
| title_full | Integral representation of solutions of one parabolic equation with growing coefficients in the group of minor terms |
| title_fullStr | Integral representation of solutions of one parabolic equation with growing coefficients in the group of minor terms |
| title_full_unstemmed | Integral representation of solutions of one parabolic equation with growing coefficients in the group of minor terms |
| title_short | Integral representation of solutions of one parabolic equation with growing coefficients in the group of minor terms |
| title_sort | integral representation of solutions of one parabolic equation with growing coefficients in the group of minor terms |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/129 |
| work_keys_str_mv | AT ivasyshensd integralrepresentationofsolutionsofoneparabolicequationwithgrowingcoefficientsinthegroupofminorterms AT pasichnykgs integralrepresentationofsolutionsofoneparabolicequationwithgrowingcoefficientsinthegroupofminorterms AT ívasišensd integralrepresentationofsolutionsofoneparabolicequationwithgrowingcoefficientsinthegroupofminorterms AT pasíčnikgs integralrepresentationofsolutionsofoneparabolicequationwithgrowingcoefficientsinthegroupofminorterms AT ivasyshensd íntegralʹnezobražennârozv039âzkívodnogoparabolíčnogorívnânnâzízrostaûčimikoefícíêntamivgrupímolodšihčlenív AT pasichnykgs íntegralʹnezobražennârozv039âzkívodnogoparabolíčnogorívnânnâzízrostaûčimikoefícíêntamivgrupímolodšihčlenív AT ívasišensd íntegralʹnezobražennârozv039âzkívodnogoparabolíčnogorívnânnâzízrostaûčimikoefícíêntamivgrupímolodšihčlenív AT pasíčnikgs íntegralʹnezobražennârozv039âzkívodnogoparabolíčnogorívnânnâzízrostaûčimikoefícíêntamivgrupímolodšihčlenív |