On connection between the norm of a sum of orthoprojections onto subspaces and the norm of the product of orthoprojections onto the corresponding orthogonal complements
We show that if $\epsilon I \le P_1+P_2+\dots+P_k $, where $I$ is the identity operator and $P_1,\dots, P_k$ are orthoprojections that project onto linearly independent subspaces, then the norm $\|P_1+P_2+\dots+P_k\|\le k-(k-1)\epsilon$. It was fou...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/13 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552534391914496 |
|---|---|
| author | Rabanovich, V. I. Рабанович, В. I. |
| author_facet | Rabanovich, V. I. Рабанович, В. I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. I. Рабанович",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Rabanovich, V. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:53:12Z |
| description | We show that if $\epsilon I \le P_1+P_2+\dots+P_k $, where $I$ is the identity operator and $P_1,\dots, P_k$ are orthoprojections that project onto linearly independent subspaces, then the norm $\|P_1+P_2+\dots+P_k\|\le k-(k-1)\epsilon$. It was found that without the linearly independent condition there exit orthoprojections such that $\|(I-P_k)(I-P_{k-1})\dots(I-P_1)\|\ge 1-17\epsilon/k^2$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 1, 178–184
УДК 517.98
В. I. Рабанович
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Про зв’язок мiж нормою суми
ортопроекторiв на пiдпростори i
нормою добутку ортопроекторiв на
вiдповiднi ортогональнi доповнення
slavik@imath.kiev.ua
We show that if εI ≤ P1+P2+· · ·+Pk, where I is the identity operator and
P1, . . . , Pk — are orthoprojections that project onto linearly independent
subspaces, then the norm ‖P1 +P2 + · · ·+Pk‖ ≤ k− (k− 1)ε. It was found
that without the linearly independent condition there exit orthoprojections
such that ‖(I − Pk)(I − Pk−1) . . . (I − P1)‖ ≥ 1− 17ε/k2.
В роботi показано, що при умовi εI ≤ P1+P2+ · · ·+Pk, де I одиничний
оператор i P1, . . . , Pk — ортопроектори, якi проектують на лiнiйно-
незалежнi пiдпростори, норма ‖P1 + P2 + · · · + Pk‖ ≤ k − (k − 1)ε.
Без виконання умови лiнiйної незалежностi знайдено опртопроектори,
для яких ‖(I − Pk)(I − Pk−1) . . . (I − P1)‖ ≥ 1− 17ε/k2.
1. Оцiнка норми суми операторiв
Класичним методом розв’язання ряду крайових i варiацiйних задач є
альтернуючий метод Шварца, який пiсля дискретизацiї задачi при-
водить до систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь з великою кiлькi-
стю невiдомих. Матрицi, що виникають при цьому, є сильно розрi-
дженими. Проте спецiальнi декомпозицiї областей i вiдповiдних ма-
триць приводять до блочно-iтерацiйних алгоритмiв розв’язання си-
стем рiвнянь. Ми видiлимо окремо два таких алгоритма: алгебра-
їчнi адитивний i мультиплiкативний методи Шварца (див., напри-
клад, [1, 2]). Збiжнiсть згаданих методiв базується на оцiнцi вiдно-
шення максимального i мiнiмального значення матрицi A, що є сумою
c© В. I. Рабанович, 2015
Про зв’язок мiж нормою суми ортопроекторiв ... 179
ортопроекторiв P1, . . . , Pk i на оцiнцi норми добутку ортопроекторiв
T = (I − Pk)(I − Pk−1) . . . (I − P1). В цiй роботi ми припускаємо, що
εI ≤ P1 + P2 + . . .+ Pk (1)
i знайдемо верхню границю ‖A‖ , якщо P1, . . . , Pk проектують на лi-
нiйно незалежнi пiдпростори i оцiнемо нижню границю ‖T‖ для кон-
кретного набору ортопроекторiв з 2 × 2 матриць. Тривiальна верхня
границя для A є число k i без додаткових обмежень на ортопроектори
норма A може бути рiвна k. Проте умова лнiйної незалежностi пiд-
просторiв, на якi проектують простiр ортопроектори дозволяє бiльш
точно оцiнити верхню границю.
НехайH1, H2, . . . Hk лiнийно-незiлежнi пiдпростори вH, ImPi = Hi
i H1 +H2 + . . .+Hk = H, тобто кожен вектор h ∈ H представляється
єдиним чином у виглядi h = h1+h2+ . . .+hk, hi ∈ Hi, i = 1, . . . , k. Тодi
A є оборотним оператором (дiв., наприклад, [3], Теорема 4.1) i, бiльш
того, Hi + Hj є замкненим пiдпростором та при виконаннi умови (1)
сума Pi + Pj ≥ εPHi+Hj . В силу лiнiйної незалежностi ми отримаємо,
що
Pi + Pj ≤ (2− ε)PHi+Hj . (2)
Цей факт доведений в [4] i є прямим наслiдком спектральної теорiї для
сум ортопроекторiв [5]. Крiм того, в [4] було сформульване питання,
чи iснує нетривiальна оцiнка на норму суми ортопроекторiв, яка, мо-
жливо, не залежить вiд k. Залежностi вiд k, насправдi, позбутися не
можна, оскiльки k × k матриця diag (ε, ε, . . . , ε, k − (k − 1)ε) має слiд k
и тому є сумою k лiнiйно незалежних ортопроекторiв [6]. Як показує
наступна теорема k − (k − 1)ε є унiверсальною верхньою границею.
Теорема 1. Нехай пiдпростори H1, H2, . . . Hk лiнiйно незалежнi i
P1, P2, . . . Pk є ортопроектори на цi пiдпростори. Тодi з нерiвностi
(1) слiдує нерiвнiсть
P1 + P2 + . . .+ Pk ≤ (k − (k − 1)ε)I
Доведення. Нехай A = P1+P2+. . .+Pk. Ми використаємо теорему
Дж. Дункана и П. Тейлора (див., наприклад, [7, 8]), яка стверджує,
що ‖P +Q‖ = 1 + ‖PQ‖ для довiльних ортопроектороiв P i Q. В силу
нерiвностi (1) маємо ‖PiPj‖ ≤ 1− ε для всiх i 6= j. Розглянемо добуток
(A− I)sA =
∑
i1 6=i2
∑
i2 6=i3
. . .
∑
is 6=is+1
k∑
is=1
Pi1Pi2 . . . PisPis+1 . (3)
180 В. I. Рабанович
Зауважимо, що
‖Pi1Pi2 . . . Pis+1‖ = ‖(Pi1Pi2)(Pi2Pi3) . . . (Pis−1Pis)(PisPis+1)‖ ≤ (1− ε)s,
а число доданкiв в правiй частинi (3) є (k − 1)sk. Отже, для кожного
s ≥ 2
‖A− I‖s ≤ k(k − 1)s(1− ε)s‖A−1‖ ≤ εk(k − 1)s(1− ε)s. (4)
Добуваємо корiнь степенi s з обох частин в нерiвностi (4) i переходимо
до границi при s → ∞. Це приводить до нерiвностi ‖A − I‖ ≤ (k −
1)(1− ε) або A− I ≤ (k− 1)(1− ε)I ≤ (k− 1− (k− 1)ε))I. Звiдки прямо
слiдує твердження теореми.
Зауваження 1. Теорема 1 була анонсована автором в 2006р. [9]. На
данний час доведено бiльш загальне твердження про норму додатної
лiнiйної комбiнацiї ортопроекторiв (див. [3]), частним випадком яко-
го є твердження теореми 1. Проте оригiнальне доведення можна
використати i для оцiнки норми сум ортопроекторiв з додатковими
умовами ортогональностi.
Розглянемо простий граф G з k вершин i множиною ребер Γ. При-
пустимо, що пiдпростори H1, . . . ,Hk задовольняють умовам Hi ⊥ Hj ,
якщо ребро (i, j) /∈ Γ. Позначимо через AG матрицю сумiжностi графа
G i через λG її максимальне власне значення. Тодi справедлива бiльш
точна оцiнка на норму суми.
Теорема 2. Нехай пiдпростори H1, H2, . . . Hk лiнiйно незалежнi i
P1, P2, . . . Pk є ортопроектори на цi пiдпростори. Якщо H1, . . . ,Hk за-
довольняють додатковим умовам ортогональностi i G граф, що їм
вiдповiдає, то з нерiвностi (1) слiдує нерiвнiсть
P1 + P2 + · · ·+ Pk ≤ (1 + λG(1− ε))I
Доведення теореми цiлком повторює доведення теореми 1. Просто
необхiдно порахувати кiлькiсть ненульових доданкiв в правiй частинi
формули (3). Зауважимо, що послiдовнiсть i1, . . . , is+1 можна собi уяв-
ляти як шлях довжини s по вершинах i1, i2, . . . , is+1. При цьомiу, до-
буток Pi1Pi2 . . . PisPis+1 буде дорiвнювати нулевi, якщо такий шлях не
є шляхом в графi G. Звiдки, кiлькiсть формально ненульових додан-
кiв в (3) є кiлькiстю шляхiв довжини s в G. Вона рiвна сумi елементiв
матрицi AsG, яку ми позначемо через f(s). Тепер, щоб оцiнити f(s)
Про зв’язок мiж нормою суми ортопроекторiв ... 181
достатньо привести AG унiтарними перетвореннями до дiагонально-
го виду: diag (λ1, λ2, . . . , λk) = U∗AGU , λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λk i пiдне-
сти отриманий вираз до степеня s. Припустимо, що G зв’язаний. Тодi
найбiльше власне значення має кратнiсть 1 i йому вiдповiдає власний
вектор (x1, . . . , xk) з додатними координатами, який є першим рядком
матрицi U∗. Звiдки маємо
lim
s→∞
(diag (λ1, λ2, . . . , λk)/λ1)s = diag (1, 0, . . . , 0) = lim
s→∞
U∗(G/λ1)sU
i, таким чином, f(s)/λs1 −−−→
s→∞
(x1 +x2 + · · ·+xk)2. Якщо G не є зв’яза-
ним, то матриця AG розкладна i можна провести аналогiчнi мiркуван-
ня на кожнiй компонентi зв’язаностi i отримати f(s)/λs1 −−−→
s→∞
(x1+x2+
· · ·+xj1)2+(xj1+1+xj1+2+· · ·+xj2)2+· · ·+(xjr−1+1+xjr−1+2+· · ·+xk)2,
де r це кратнiсть власного значення λ1 матрицi AG. Отже в позначе-
ннях теореми 1
‖A− I‖ = s
√
‖A− I‖s ≤ lims→∞
s
√
f(s)(1− ε)s‖A−1‖ ≤
lims→∞
s
√
λs1k(1− ε)s/ε = λ1(1− ε).
Звiдки ‖A‖ ≤ (1 + λ1(1− ε)) = (1 + λG(1− ε)). Теорему доведено.
Наслiдок 1. Нехай валентнiсть кожної вершини графа G не пере-
вищує m− 1. Тодi P1 + P2 + · · ·+ Pk ≤ (m− (m− 1)ε)I.
2. Оцiнка норми добутку операторiв
Перейдемо до другої задачi про оцiнення норми добутку ортопроекто-
рiв
T = (I − Pk)(I − Pk−1) . . . (I − P1)
при виконаннi умови (1). Як було показано в [10] (див., також, [1, 2]),
‖T‖2 ≤ 1− ε
2 + k(k − 1)
. (5)
При реалiзацiї мультиплiкативного методу Шварца на практицi ча-
сто збiжнiть до розв’язку була значно швидше, нiж випливає з цiєї
нерiвностi. Тому природньо виникає питаня про те, чи можна значно
182 В. I. Рабанович
покращити цю оцiнку без додаткових припущень на проектори. Як по-
казує наступний приклад, квадратичної залежностi вiд k в знаменнику
правої частини нерiвностi (5) позбутися не можна.
Нехай ~e1, ~e2 ортонормований базис в R2 i α > 0. Розглянемо нор-
мований набiр векторiв ~h1, ~h2, . . . ,~hk, утворений вiдкладанням кутiв
0, α, 2α, . . . , (k − 1)α вiд ~e1 проти годиникової стрiлки: ~h1 = ~e1, i ска-
лярний добуток (~h1,~hi) = cos(i − 1)α. Нехай Ph1 , Ph2 , . . . , Phk−1
—
ортопроектори на вiдповiднi вектори. Тодi
‖(I − Phk−1
) . . . (I − Ph1)‖ = ‖(I − Phk−1
) . . . (I − Ph1)~e1‖ = cosk−1 α.
З iншого боку, якщо A = P1 + . . .+ Pk i
~h =
{
~h(k+1)/2 при k непарному,
(~hk/2 + ~hk/2+1)/‖~hk/2 + ~hk/2+1‖ при k парному,
то ~h є власним числом матрицi A i ‖A‖ = ‖A~h‖. Звiдки, при k непарном
‖A‖ = 1+2 cosα+2 cos 2α+ . . .+2 cos
(k − 1)α
2
= 1+2
sin k−1
4 α cos k+1
4 α
sin α
2
i при k парном
‖A‖ = 2 cos
α
2
+ 2 cos
3α
2
+ . . .+ 2 cos
(k − 1)α
2
=
sin kα
2
sin α
2
.
Зауважимо, що trA = k i тому друге власне число a∗ матрицi A до-
рiвнює k − ‖A‖. Тому ми отримуємо оцiнку знизу A ≥ a∗I. Оцiнемо
вiдношення a∗/(cosk−1 α) знизу використовуючи нерiвностi t − t3/6 ≤
sin t ≤ t i 1− t2/2 ≤ cos t ≤ 1− t2/2 + t4/24. Для k непарного маємо
k − ‖A‖ ≥ k − 1− 2 sin( k−1
4 α) cos( k+1
4 α)
α/2−α3/48 ≥ (k−1)(α2−
α3
48 )− k−1
2 α cos( k+1
4 α)
α/2−α3/48 ≥
k−1
1−α2/24
(
(k+1)2α2
32 − α2
24 −
(k+1)4α4
6144
)
≥ (k−1)k2α2
34 при (k + 1)α < 1.
Для k парного —
k − ‖A‖ = k − sin kα
2
sin α
2
≥ k(α2−
α3
48 )−( kα2 −
k3α3
48 + k5α5
3840 )
α/2−α3/48 =
k
(
(k2−1)α3
48 − k4α5
3840
)
α/2 ≥ (k − 1)k2α2/25.
Про зв’язок мiж нормою суми ортопроекторiв ... 183
Тепер, оскiльки 1 − cosk−1 α ≤ (k − 1)(1 − cosα) ≤ (k − 1)α2/2, то ми
отримуємо, що (k−‖A‖)/(1−cosk−1 α) ≥ k2/17 при (k+1)α < 1. Отже,
справедливе наступне твердження.
Твердження 1. Iснують набори з k ортопроекторiв P1, . . . , Pk такi,
що виконується (1) та для яких ‖(I − Pk)(I − Pk−1) . . . (I − P1)‖ ≥
1− 17ε/k2 при ε ≤ 1/34.
Таким чином, позбутися квадратичної залежностi вiд k в (5) без
додаткових умов на ортопроектори P1, . . . , Pk не можна.
Лiтература
[1] Toselli A., Widlund O. B. Domain Decomposition Methods — Algo-
rithms and Theory // Springer Series in Computational Math. –
2005. – 34. – 450p.
[2] Holst M. Algebraic Schwarz theory. // Technical Report CRPC-
TR994-10, — 1994. – P. 1–46.
[3] Фещенко И. С. О замкнутости суммы n подпространств гиль-
бертового пространства // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 10. –
С. 1381–1425.
[4] Björstad P. E., Mandel J. On The Spectra Of Sums Of Orthogonal
Projections With Applications To Parallel Computing // BIT
Numerical Mathematics – 1991. – 31, № 1. – P. 76–88.
[5] Böttcher A., Spitkovsky I.M. A gentle guide to the basics of two
projections theory // Linear Algebra Its Appl. – 2010. – 432. –
P. 1412–1459.
[6] Fillmore P. A. On sums of projections // J. Funct. Anal. – 1969. –
4. – P. 146–152.
[7] Duncan J., Taylor P.J. Norm inequalities for C∗-algebras // Proc.
Roy. Soc. Edinburgh Sect. A – 1975/1976.– 75. – P. 119–129.
[8] Vidav I. The norm of the sum of two projections // Proc. Amer.
Math. Soc. – 1977. – 65. – P. 297–298.
184 В. I. Рабанович
[9] Rabanovich V.I. On the spectra of sums and the norms of products
of orthogonal projections. // Book of Abstracts of 17-th Internati-
onal Conference on Domain Decomposition Methods (Austria 2006). –
P. 69.
[10] Bramble J. H., Pasciak J. E., Wang J. P. and Xu J. Convergence
estimates for product iterative methods with applications to domain
decomposition // Math. Comp. – 1991. – 57. – P. 1–21.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-13 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:58Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/15/88d8ab32eb3add1b86b3f60f7e764b15.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-132018-01-23T09:53:12Z On connection between the norm of a sum of orthoprojections onto subspaces and the norm of the product of orthoprojections onto the corresponding orthogonal complements Про зв’язок мiж нормою суми ортопроекторiв на пiдпростори i нормою добутку ортопроекторiв на вiдповiднi ортогональнi доповнення Rabanovich, V. I. Рабанович, В. I. We show that if $\epsilon I \le P_1+P_2+\dots+P_k $, where&nbsp;$I$ is the identity operator and $P_1,\dots, P_k$&nbsp;are orthoprojections that project onto linearly&nbsp;independent subspaces, then the norm $\|P_1+P_2+\dots+P_k\|\le&nbsp;k-(k-1)\epsilon$. It was found that without the linearly&nbsp;independent condition there exit orthoprojections such that&nbsp;$\|(I-P_k)(I-P_{k-1})\dots(I-P_1)\|\ge 1-17\epsilon/k^2$. В роботі показано, що при умові $\epsilon I \le&nbsp;P_1+P_2+\dots+P_k $, де $I$ одиничний оператор і $P_1,\dots, P_k$&nbsp;- ортопроектори, які проектують на лінійно-незалежні&nbsp;підпростори, норма $\|P_1+P_2+\dots+P_k\|\le k-(k-1)\epsilon$. Без&nbsp;виконання умови лінійної незалежності знайдено опртопроектори, для&nbsp;яких $\|(I-P_k)(I-P_{k-1})\dots(I-P_1)\|\ge 1-17\epsilon/k^2$. Інститут математики НАН України 2015-05-05 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/13 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 1 (2015): Spectral theory of operators and of collections of operators; 178-184 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 178-184 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 1 (2015): Спектральна теорія операторів та наборів операторів; 178-184 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/13/6 |
| spellingShingle | Rabanovich, V. I. Рабанович, В. I. On connection between the norm of a sum of orthoprojections onto subspaces and the norm of the product of orthoprojections onto the corresponding orthogonal complements |
| title | On connection between the norm of a sum of orthoprojections onto subspaces and the norm of the product of orthoprojections onto the corresponding orthogonal complements |
| title_alt | Про зв’язок мiж нормою суми ортопроекторiв на пiдпростори i нормою добутку ортопроекторiв на вiдповiднi ортогональнi доповнення |
| title_full | On connection between the norm of a sum of orthoprojections onto subspaces and the norm of the product of orthoprojections onto the corresponding orthogonal complements |
| title_fullStr | On connection between the norm of a sum of orthoprojections onto subspaces and the norm of the product of orthoprojections onto the corresponding orthogonal complements |
| title_full_unstemmed | On connection between the norm of a sum of orthoprojections onto subspaces and the norm of the product of orthoprojections onto the corresponding orthogonal complements |
| title_short | On connection between the norm of a sum of orthoprojections onto subspaces and the norm of the product of orthoprojections onto the corresponding orthogonal complements |
| title_sort | on connection between the norm of a sum of orthoprojections onto subspaces and the norm of the product of orthoprojections onto the corresponding orthogonal complements |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/13 |
| work_keys_str_mv | AT rabanovichvi onconnectionbetweenthenormofasumoforthoprojectionsontosubspacesandthenormoftheproductoforthoprojectionsontothecorrespondingorthogonalcomplements AT rabanovičvi onconnectionbetweenthenormofasumoforthoprojectionsontosubspacesandthenormoftheproductoforthoprojectionsontothecorrespondingorthogonalcomplements AT rabanovichvi prozvâzokmižnormoûsumiortoproektorivnapidprostoriinormoûdobutkuortoproektorivnavidpovidniortogonalʹnidopovnennâ AT rabanovičvi prozvâzokmižnormoûsumiortoproektorivnapidprostoriinormoûdobutkuortoproektorivnavidpovidniortogonalʹnidopovnennâ |