Boundary values of smooth solutions of degenerate parabolic systems of the Kolmogorov type
For vector-order degenerate parabolic systems of the Kolmogorov-type, we describe the sets of generalized functions, like Gevrey distributions, that are boundary values on the initial hyperplane of ordinary solutions to the systems, with the solutions belonging to L. Schwartz's and Gelfand...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/130 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552647881392128 |
|---|---|
| author | Litovchenko, V. A. Vasko, O. B. Літовченко, В. А. Васько, О. Б. |
| author_facet | Litovchenko, V. A. Vasko, O. B. Літовченко, В. А. Васько, О. Б. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. А. Літовченко",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
},
{
"author": "О. Б. Васько",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
}
] |
| author_sort | Litovchenko, V. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T01:37:46Z |
| description | For vector-order degenerate parabolic systems of the Kolmogorov-type, we describe the sets of generalized functions, like Gevrey distributions, that are boundary values on the initial hyperplane of ordinary solutions to the systems, with the solutions belonging to L. Schwartz's and Gelfand and Shilov's spaces. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 2, 230–249
УДК 517.956.4
В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
(Чернiвецький нацiональний унiверситет iм. Ю. Федьковича,
Чернiвцi)
Граничнi значення гладких
розв’язкiв вироджених параболiчних
систем типу Колмогорова
VladLit4@mail.ru, LeNastasiy@ukr.net
For vector-order degenerate parabolic systems of the Kolmogorov-
type, we describe the sets of generalized functions, like Gevrey di-
stributions, that are boundary values on the initial hyperplane of
ordinary solutions to the systems, with the solutions belonging to
L. Schwartz’s and Gelfand and Shilov’s spaces.
Для вироджених параболiчних систем типу Колмогорова вектор-
ного порядку описано сукупностi узагальнених функцiй типу роз-
подiлiв Жевре, якi є граничними значеннями на початковiй гi-
перплощинi звичайних розв’язкiв систем за умови, що розв’язки
належать просторам Л. Шварца та Гельфанда i Шилова.
У [1] означено клас SEt−→
2b
вироджених
−→
2b–параболiчних систем
типу Колмогорова вигляду(
∂t −
n2∑
j=1
x1j∂x2j −
n3∑
j=1
x2j∂x3j
)
u(t;x) = A(t; ∂x1)u(t;x),
(t;x) ∈ Πn
(0;T ],
(1)
c© В. А. Лiтовченко, О. Б. Васько, 2015
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 231
де u := col(u1; . . . ;um), m ∈ N, нaтуральнi числа n1, n2 i n3
такi, що n3 ≤ n2 ≤ n1, n := n1 + n2 + n3; просторова змiнна
x = (x1;x2;x3), xj ∈ Rnj , a Πn
(0;T ] := {(t;x) : t ∈ (0;T ], x ∈ Rn}.
Mатричний диференцiальний вираз правої частини системи (1)
має структуру
A(t; ∂x1) :=
(
alj(t; i∂x1)
)m
l,j=1
,
де
alj(t; i∂x1) :=
:= alj0 (t)
∑
|k1/
−→
2b|+=1
ak1(i∂x1)k1 +
∑
|k1/
−→
2b|+<1
aljk1(t)(i∂x1)k1 ,
у якiй
|k1/
−→
2b|+ =
k11
2b11
+ . . .+
k1n1
2b1n1
,
а коефiцiєнти alj0 (·), aljk1(·) i ak1 – неперервнi на [0;T ] компле-
кснозначнi функцiї такi, що вiдповiдний диференцiальний вираз
∂t − A(t; ∂x1) є
−→
2b-параболiчним на множинi Πn1
[0;T ] [2]. Для та-
ких систем тут побудовано фундаментальну матрицю розв’язкiв
задачi Кошi (ФМРЗК) G(t, x; τ ; ξ) та дослiджено її основнi вла-
стивостi в рамках просторiв типу S Гельфанда I.М. i Шилова Г.Є
[3], зокрема, при 0 ≤ τ < t ≤ T i {x, ξ} ⊂ Rn встановлено оцiнки
∣∣∂qx∂lξG(t, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ cA|q|+ qq−→β ∗ B|l|+ ll−→β ∗×
×(t− τ)−M−Mlqexp{−δd(t− τ ;x; ξ)}, {q, l} ⊂ Zn+,
(2)
з додатними оцiночними сталими c, A,B i δ, незалежними вiд
232 В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
t, τ, x, ξ, q i l. Тут використовуються такi позначення:
qq
−→γ := qq1γ11 . . . qqnγnn , q ∈ Zn+; |ξ|+ := |ξ1|+ . . .+ |ξn|, ξ ∈ Rn;
d(t;x; ξ) :=
3∑
r=1
nr∑
j=1
(
|Xrj(t)− ξrj |t
1−r− 1
2bj
)αj
,
t > 0, {x, ξ} ⊂ Rn, αj :=
2bj
2bj − 1
, j ∈ Nn1 := {1; . . . ;n1};
X(t) := (X1(t);X2(t);X3(t)) =
= (x1;x2 + tx̂1;x3 + tx′2 + 2−1t2x′1), t ≥ 0,
x = (x1;x2;x3) ∈ Rn, x′j := (xj1; . . . ;xjn3), x̂1 := (x11; . . . ;x1n2);
M :=
∣∣−→1 /−→2b∣∣
+
+
∣∣( ̂−→
1 +
−→
1 /
−→
2b
)∣∣
+
+
∣∣(−→2 +
−→
1 /
−→
2b
)′∣∣
+
,
Mlq :=
∣∣(l1 + q1)/
−→
2b
∣∣
+
+
∣∣( ̂−→
1 +
−→
1 /
−→
2b
)(
l2 + q2
)∣∣
+
+
+
∣∣(−→2 +
−→
1 /
−→
2b
)′(
l3 + q3
)∣∣
+
, {l, q} ⊂ Zn+,
−→
2b := (2b1; . . . ; 2bn1),
−→
1 = (1; . . . ; 1),
−→
2 = (2; . . . ; 2);
−→
β ∗ :=
(−→
1 /
−→
2b,
−̂→
1 /
−→
2b, (
−→
1 /
−→
2b)′
)
,
при цьому, якщо f — деяке вiдношення, то запис −→αf
−→
β означа-
тиме, що це вiдношення виконується для всiх вiдповiдних коор-
динат векторiв −→α i
−→
β .
Одержанi властивостi матрицi G дозволили в [4] установити
коректну розв’язнiсть задачi Кошi для (1) у випадку, коли по-
чатковi данi f є узагальненими функцiями з простору (S
−→
β ∗
−→α ∗)
′,
−→α ∗ :=
−→
1 −
−→
β ∗ (тут (S
−→
β
−→α )′ – топологiчно спряжений простiр з
векторним простором S
−→
β
−→α Гельфанда I.М. i Шилова Г.Є.), при
цьому вектор-функцiя u(t;x) =< f,G(t, x; 0, ·) >, (t;x) ∈ Πn
(0;T ], є
звичайним нескiнченно диференцiйовним за змiнною x розв’яз-
ком системи (1), який задовольняє початкову умову
u(t;x)|t=0
= f (3)
у сенсi слабкої збiжностi в просторi (S
−→
β ∗
−→α ∗)
′.
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 233
У данiй роботi в рамках простору (S
−→
β ∗
−→α ∗)
′ описуються класи
узагальнених початкових даних, з якими розв’язок вiдповiдної
задачi Кошi для (1) є елементом простору S Л.Шварца або того
чи iншого простору типу S.
Про мотивацiї до вивчення вироджених параболiчних рiвнянь
типу Колмогорова та про першi дослiдження систем таких рiв-
нянь див., наприклад, у [1, 2].
Далi, доведемо таке допомiжне твердження.
Лема 1. Для кожного t ∈ (0;T ] iснують додатнi сталi c, A,D
i δ такi, що для всiх {k, q} ⊂ Zn+ i {x, σ} ⊂ Rn справджується
оцiнка ∣∣∣Fξ→σ[Lqt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x;σ)
∣∣∣ ≤
≤ cA|k|+D|q|+kk
−→
β ∗qq
−→α ∗e−δ|σ|
−→
1 /
−→
β ∗
+ ,
у якiй
Lqt (x; ξ) := (x1 − ξ1)q1(x2 − ξ2 + tξ̂1)
q2
(
x3 − ξ3 + tξ′2 −
t2
2
ξ′1
)q3
.
Доведення. Безпосередньо з означення перетворення Фур’є та
оцiнки (2), для довiльного m ∈ Zn+ iнтегруванням частинами
одержуємо ∣∣∣Fξ→σ[Lqt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x;σ)
∣∣∣ =
=
∣∣∣∣ 1
σm
∫
Rn
(
∂mξ ei(ξ,σ)
)
Lqt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)dξ
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣ 1
σm
∫
Rn
ei(ξ,σ)∂mξ
{
Lqt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)
}
dξ
∣∣∣∣ ≤
≤ 1
|σ|m
|m|+∑
|l|+=0
C lm
∫
Rn
∣∣∣∂lξLqt (x; ξ)
∣∣∣∣∣∣∂m−lξ ∂kxG(t, x; 0, ξ)
∣∣∣dξ ≤
234 В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
≤ c
|σ|m
A|k|+kk
−→
β ∗×
×
|m|+∑
|l|+=0
C lmB
|m−l|+(m− l)(m−l)
−→
β ∗ϕm−l,k(t)
∫
Rn
∣∣∣∂lξLqt (x; ξ)
∣∣∣×
×exp
{
−δ
( n1∑
j=1
(
t
− 1
2bj |x1j−ξ1j |
)αj
+
n2∑
j=1
(
t
−1− 1
2bj |x2j−ξ2j+tξ1j |
)αj
+
+
n3∑
j=1
(
t
−2− 1
2bj
∣∣∣x3j − ξ3j + tξ2j −
t2
2
ξ1j
∣∣∣)αj)}dξ, (4)
де
ϕm−l,k(t) := t
−
∣∣(m1−l1+k1)/
−→
2b+
−→
1
∣∣
+
−
∣∣ ̂
(
−→
1 +
−→
1 /
−→
2b)(m2−l2+k2+
−̂→
1 )
∣∣
+×
×t−
∣∣(−→2 +
−→
1 /
−→
2b)′(m3−l3+k3+
−→
1 ′)
∣∣
+ .
Зазначимо, що ∣∣∣∂lξLqt (x; ξ)
∣∣∣ =
=
∣∣∣∂l1ξ1∂l2ξ2∂l3ξ3((x1− ξ1)q1(x2− ξ2 + tξ̂1)
q2(x3− ξ3 + tξ′2−
t2
2
ξ′1)
q3
)∣∣∣ =
=
∣∣∣∂l1ξ1((x1−ξ1)q1∂l2ξ2
(
(x2−ξ2+tξ̂1)q2
(
∂l3ξ3
(
x3−ξ3+tξ′2−
t2
2
ξ′1
)q3)))∣∣∣ ≤
≤
|l̂1|+∑
|r̂1|+=0
C r̂1
l̂1
∣∣∣∂ l̂1−r̂1
ξ̂1
∂
l′′′1
ξ′′′1
(
(x1 − ξ1)q1
)∣∣∣∣∣∣∣∂ r̂1ξ̂1∂l2ξ2
(
(x2 − ξ2 + tξ̂1)
q2×
×
(
∂l3ξ3
(
x3 − ξ3 + tξ′2 −
t2
2
ξ′1
)q3))∣∣∣∣,
причому∣∣∣∣∂ r̂1ξ̂1∂l2ξ2
(
(x2 − ξ2 + tξ̂1)
q2
(
∂l3ξ3
(
x3 − ξ3 + tξ′2 −
t2
2
ξ′1
)q3))∣∣∣∣ ≤
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 235
≤
r′1∑
ν′1=0
C
ν′1
r′1
l′2∑
ν′2=0
C
ν′2
l′2
∣∣∣∂l′2−ν′2ξ′2
∂
l′′2
ξ′′2
∂
r′1−ν′1
ξ′1
∂
r′′1
ξ′′1
(
(x2 − ξ2 + tξ̂1)
q2
)∣∣∣×
×
∣∣∣∂ν′2ξ′2 ∂ν′1ξ′1 ∂l3ξ3(x3 − ξ3 + tξ′2 −
t2
2
ξ′1)
q3
∣∣∣ ≤
≤
r′1∑
ν′1=0
C
ν′1
r′1
l′2∑
ν′2=0
C
ν′2
l′2
∣∣∣∂l′2−ν′2ξ′2
∂
r′1−ν′1
ξ′1
(x′2 − ξ′2 + tξ′1)
q′2
∣∣∣×
×
∣∣∣∂l′′2ξ′′2 ∂r′′1ξ′′1 (x′′2 − ξ′′2 + tξ′′1 )q
′′
2
∣∣∣×
×
∣∣∣∂ν′2ξ′2 ∂ν′1ξ′1 ∂l3ξ3(x3 − ξ3 + tξ′2 −
t2
2
ξ′1
)q3∣∣∣ ≤ r′1∑
ν′1=0
C
ν′1
r′1
l′2∑
ν′2=0
C
ν′2
l′2
×
×
({
t|r
′
1−ν
′
1|+q′2!|x′2−ξ′2+tξ′1|
q′2−(l′2−ν
′
2+r
′
1−ν
′
1)
(q′2−(l′2−ν′2+r′1−ν′1))!
, q′2 ≥ l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1,
0, q′2 < l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1
)
×
×
({
t|r
′′
1 |+q′′2 !
(q′′2−(l′′2+r′′1 ))!
|x′′2 − ξ′′2 + tξ′′1 |q
′′
2−(l′′2+r′′1 ), q′′2 ≥ l′′2 + r′′1 ,
0, q′′2 < l′′2 + r′′1
)
×
×
({
t2|ν
′
1|++|ν′2|+q3!|x3−ξ3+tξ′2−
t2
2
ξ′1|
q3−(l3+ν
′
1+ν
′
2)
(q3−(l3+ν′1+ν′2))!
, q3 ≥ l3 + ν ′1 + ν ′2,
0, q3 < l3 + ν ′1 + ν ′2
)
i ∣∣∣∂ l̂1−r̂1
ξ̂1
∂
l′′′1
ξ′′′1
(
(x1 − ξ1)q1
)∣∣∣ =
∣∣∣∂ l̂1−r̂1
ξ̂1
(x̂1 − ξ̂1)q̂1∂
l′′′1
ξ′′′1
(x′′′1 − ξ′′′1 )q
′′′
1
∣∣∣ =
=
({
q̂1!
(q̂1−(l̂1−r̂1))!
|x̂1 − ξ̂1|q̂1−(l̂1−r̂1), q̂1 ≥ l̂1 − r̂1,
0, q̂1 < l̂1 − r̂1
)
×
×
({
q′′′1 !
(q′′′1 −l′′′1 ))!
|x′′′1 − ξ′′′1 |q
′′′
1 −l′′′1 , q′′′1 ≥ l′′′1 ,
0, q′′′1 < l′′′1
)
.
236 В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
Звiдси, урахувавши, що
a!
(a− b)!
= Cba · b! ≤ 2a+b · b!, {a, b} ⊂ Z+, a ≥ b,
приходимо до такої оцiнки:
∣∣∣∂lξLqt (x; ξ)
∣∣∣ ≤ |l̂1|+∑
|r̂1|+=0
C r̂1
l̂1
r′1∑
ν′1=0
C
ν′1
r′1
l′2∑
ν′2=0
C
ν′2
l′2
2|q|+t|r̂1|++|ν′1|++|ν′2|+×
×(l̂1 − r̂1)!l′′′1 !(l′1 − ν ′2 + r′1 − ν ′1)!(l′′2 + r′′1)!(l3 + ν ′1 + ν ′2)!×
×|x̂1 − ξ̂1|q̂1−(l̂1−r̂1)|x′′′1 − ξ′′′1 |q
′′′
1 −l′′′1 |x′2 − ξ′2 + tξ′1|q
′
2−(l′2−ν′2+r′1−ν′1)×
×|x′′2 − ξ′′2 + tξ′′1 |q
′′
2−(l′′2+r′′1 )
∣∣∣x3 − ξ3 + tξ′2 −
t2
2
ξ′1
∣∣∣q3−(l3+ν′1+ν′2), (5)
при q̂1 ≥ l̂1 − r̂1, q′′′1 ≥ l′′′1 , q
′
1 ≥ l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1, q′′2 ≥ l′′2 + r′′1 та
q3 ≥ l3 + ν ′1 + ν ′2.
Далi, згiдно з рiвнiстю
sup
ρ≥0
{ρpe−δρα} =
( p
δαe
) p
α
,
маємо:
|x̂1 − ξ̂1|q̂1−(l̂1−r̂1)e
−δ0
n2∑
j=1
(
t
− 1
2bj |x1j−ξ1j |
)αj
=
=
n2∏
j=1
|x1j − ξ1j |q1j−(l1j−r1j)e
−
(
δ0t
− 1
2bj−1
)
|x1j−ξ1j |αj ≤
≤ t|
−̂→
β∗(q̂1−(l̂1−r̂1))|+(δ0e)−|
−̂→
α∗(q̂1−(l̂1−r̂1))|+
(−̂→
α∗(q̂1−(l̂1−r̂1))
)−̂→α∗(q̂1−(l̂1−r̂1))
;
|x′′′1 − ξ′′′1 |q
′′′
1 −l′′′1 e
−δ0
n1∑
j=n2+1
(
t
− 1
2bj |x1j−ξ1j |
)αj
=
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 237
=
n1∏
j=n2+1
|x1j − ξ1j |q1j−l1je−δ0t
− 1
(2bj−1) |x1j−ξ1j |αj ≤
≤ t|
−→
β∗′′′(q′′′1 −l′′′1 )|+(δ0e)−|
−→
α∗′′′(q′′′1 −l′′′1 )|+(
−→
α∗′′′(q′′′1 − l′′′1 ))
−→
α∗′′′(q′′′1 −l′′′1 ); (6)
|x′2 − ξ′2 + tξ′1|q
′
2−(l′2−ν′2+r′1−ν′1)e
−δ0
n3∑
j=1
(
t
−1− 1
2bj |x2j−ξ2j+tξ1j |
)αj
=
=
n3∏
j=1
|x2j−ξ2j + tξ1j |q2j−(l2j−ν2j+r1j−ν1j)e−δ0t
−
2bj+1
2bj−1 |x2j−ξ2j+tξ1j |αj ≤
≤ t|(
−→
1 ′+
−→
β∗′)(q′2−(l′2−ν′2+r′1−ν′1))|+(δ0e)−|
−→
α∗′(q′2−(l′2−ν′2+r′1−ν′1))|+×
×
(−→
α∗′(q′2 − (l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1))
)−→α∗′(q′2−(l′2−ν′2+r′1−ν′1))
;
|x′′2 − ξ′′2 + tξ′′1 |q
′′
2−(l′′2+r′′1 )e
−δ0
n2∑
j=n3+1
(
t
−1− 1
2bj |x2j−ξ2j+tξ1j |
)αj
=
=
n2∏
j=n3+1
|x2j − ξ2j + tξ1j |q2j−(l2j+r1j)e−δ0t
−
2bj+1
2bj−1 |x2j−ξ2j+tξ1j |αj ≤
≤ t|(
−→
1 ′′+
−→
β∗′′)(q′′2−(l′′2+r′′1 ))|+(δ0e)−|
−→
α∗′′(q′′2−(l′′2+r′′1 ))|+×
×
(−→
α∗′′(q′′2 − (l′′2 + r′′1))
)−→α∗′′(q′′2−(l′′2+r′′1 ))
;∣∣∣x3 − ξ3 + tξ′2 −
t2
2
ξ′1
∣∣∣q3−(l3+ν′1+ν′2)×
×e
−δ0
n3∑
j=1
(
t
−2− 1
2bj
∣∣∣x3j−ξ3j+tξ2j− t22 ξ1j∣∣∣)αj
=
=
n3∏
j=1
∣∣∣x3j − ξ3j + tξ2j −
t2
2
ξ1j
∣∣∣q3j−(l3j+ν1j+ν2j)×
×e−δ0t
−
4bj+1
2bj−1
∣∣x3j−ξ3j+tξ2j− t22 ξ1j∣∣αj
≤
238 В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
≤ t|(
−→
2 ′+
−→
β∗′)(q3−(l3+ν′1+ν′2))|+(δ0e)−|
−→
α∗′(q3−(l3+ν′1+ν′2))|+×
×
(−→
α∗′(q3 − (l3 + ν ′1 + ν ′2))
)−→α∗′(q3−(l3+ν′1+ν′2))
.
Зваживши на оцiнки (5) i (6), iз (4) отримуємо, що∣∣∣Fξ→σ[Lqt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x, σ)
∣∣∣ ≤
≤ cLtA|k|+2|q|+(−→α ∗)
−→α ∗(q−l)×
×(δ0e)−|
−→α ∗1(q1−l1)|+−|
−̂→α ∗(q2−l2)|+−|
−→
α∗′(q3−l3)|+×
×T 2|l1|++|l′2|++|
−→
β∗1 ·q1|++|(−→1 +
−→
β∗)·q2|++|(−→2 ′+
−→
β∗′)·q3|+kk
−→
β∗ |σ|−m×
×
|m|+∑
|l|+=0
C lmB
|m−l|+(m− l)(m−l)
−→
β ∗ϕm−l,k(t)
|l̂1|+∑
|r̂1|+=0
C r̂1
l̂1
|r′1|+∑
|ν′1|+=0
C
ν′1
r′1
×
×
|l′2|+∑
|ν′2|+=0
C
ν′2
l′2
(
(l̂1 − r̂1)!
(
q̂1 − (l̂1 − r̂1)
)−̂→α∗(q̂1−(l̂1−r̂1)))
×
×
(
l′′′1 ! · (q′′′1 − l′′′1 )
−→
α∗′′′(q′′′1 −l′′′1 )
)
×
×
(
(l2−ν ′2 + r′1−ν ′1)!(q′2− (l′2−ν ′2 + r′1−ν ′1))
−→
α∗′(q′2−(l′2−ν′2+r′1−ν′1))
)
×
×
(
(l′′2 + r′′1)! · (q′′2 − (l′′2 + r′′1))
−→
α∗′′(q′′2−(l′′2+r′′1 ))
)
×
×
(
(l3 + ν ′1 + ν ′2)! · (q3 − (l3 + ν ′1 + ν ′2))
−→
α∗′(q3−(l3+ν′1+ν′2))
)
,
t ∈ (0;T ], {x, σ} ⊂ Rn, |σ| 6= 0,
при δ0 ∈ (0; δ) такому, що δ0 · e < 1. Тут
Lt :=
∫
Rn
exp
{
− (δ − δ0)
( n1∑
j=1
(
t
− 1
2bj |x1j − ξ1j |
)αj
+
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 239
+
n2∑
j=1
(
t
−1− 1
2bj |x2j − ξ2j + tξ1j |
)αj
+
+
n3∑
j=1
(
t
−2− 1
2bj
∣∣∣x3j − ξ3j + tξ2j −
t2
2
ξ1j
∣∣∣)αj)}dξ.
Здiйснивши у останньому iнтегралi замiну змiнних iнтегрува-
ння згiдно з правилом
x1 − ξ1 = y1,
x2 − ξ2 + tξ′′1 = y2,
x3 − ξ3 + tξ′2 − t2
2 ξ
′
1 = y3,
одержимо незалежнiсть виразу Lt вiд змiнної x.
При подальшому оцiнюваннi користуватимемося таким фа-
ктом. Нехай α > 0 i {l, p, q} ⊂ Z+, причому q ≥ l, тодi правиль-
ною є нерiвнiсть
l!(q − l)(q−l)α ≤ qqαll(1−α). (7)
Дiйсно,
l!(q − l)(q−l)α ≤ ll(q − l)(q−l)α ≤ llq(q−l)α =
= qqαllq−lα ≤ qqαlll−lα = qqαll(1−α).
Згiдно з (7) одержуємо, що
(l̂1 − r̂1)!
(
q̂1 − (l̂1 − r̂1)
)−̂→α∗(q̂1−(l̂1−r̂1))
≤ q̂q̂1
−̂→
α∗
1 (l̂1 − r̂1)(l̂1−r̂1)
−̂→
β∗ ,
l′′′1 !(q′′′1 − l′′′1 )
−→
α∗′′′(q′′′1 −l′′′1 ) ≤ q′′′1
q′′′1
−→
α∗
′′′
l′′′1
l′′′1
−→
β∗
′′′
,
(l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1)!(q′2 − (l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1))
−→
α∗(q′2−(l′2−ν′2+r′1−ν′1)) ≤
≤ (q′2)
q′2
−→
α∗
′
(l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1)(l
′
2−ν′2+r′1−ν′1)
−→
β∗
′
,
240 В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
(l′′2 + r′′1)!
(
q′′2 − (l′′2 + r′′1)
)−→α∗′′(l′′2+r′′1 ) ≤ (q′′2)q
′′
2
−→
α∗
′′
(l′′2 + r′′1)(l
′′
2+r
′′
1 )
−→
β∗
′′
,
(l3 + ν ′1 + ν ′2)!(q3 − (l3 + ν ′1 + ν ′2))
−→
α∗′(q3−(l3+ν′1+ν′2)) ≤
≤ qq3
−→
α∗
′
3 (l3 + ν ′1 + ν ′2)
(l3+ν′1+ν
′
2)
−→
β∗
′
(тут ураховано, що
−→
β∗ =
−→
1 −
−→
α∗).
Далi, скориставшись вiдомою формулою Стiрлiнга
l! ∼
√
2πl
(
l
e
)l
,
а також, зваживши на те, що
(r + k)! =
(r + k)!
r!k!
r!k! ≤ 2r+kr!k! (∀{r, k} ⊂ Z+) ,
приходимо до iснування такої додатної сталої A0, що
(r + k)(r+k) ≤ Ar+k0 r!k! (∀{r, k} ⊂ Z+) .
Отже, для вище зазначених величин {l, r, ν} ⊂ Zn+ маємо:
(l̂1 − r̂1)(l̂1−r̂1)(l3 + ν ′1 + ν ′2)
(l3+ν′1+ν
′
2)×
×(l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1)(l
′
2−ν′2+r′1−ν′1)(l′′2 + r′′1)(l
′′
2+r
′′
1 ) =
= (l3 + l′2 + r′1 − (l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1))(l3+l
′
2+r
′
1−(l′2−ν′2+r′1−ν′1))×
×(l̂1 − r̂1)(l̂1−r̂1)(l′2 − ν ′2 + r′1 − ν ′1)(l
′
2−ν′2+r′1−ν′1)(l′′2 + r′′1)(l
′′
2+r
′′
1 ) ≤
≤ (l̂1 − r̂1)(l̂1−r̂1)(l3 + l′2 + r′1)
(l3+l′2+r
′
1−(l′2−ν′2+r′1−ν′1))×
×(l3 + l′2 + r′1)
(l′2−ν′2+r′1−ν′1)(l′′2 + r′′1)(l
′′
2+r
′′
1 ) =
= (l̂1 − r̂1)(l̂1−r̂1)(l3 + l′2 + r′1)
(l3+l′2+r
′
1)(l′′2 + r′′1)(l
′′
2+r
′′
1 ) =
= (l′1 − r′1)(l
′
1−r′1)(l3 + l′2 + l′1 − (l′1 − r′1))(l3+l
′
2+l
′
1−(l′1−r′1))×
×(l′′2 + l′′1 − (l′′1 − r′′1))(l
′′
2+l
′′
1−(l′′1−r′′1 ))
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 241
×(l′′1 − r′′1)(l
′′
1−r′′1 ) ≤
≤ (l3 + l′2 + l′1)
(l′1−r′1)(l3 + l′2 + l′1)
(l3+l′2+l
′
1−(l′1−r′1))×
×(l′′2 + l′′1)(l
′′
1−r′′1 )(l′′2 + l′′1)(l
′′
2+l
′′
1−(l′′1−r′′1 )) =
= (l3 + l′2 + l′1)
(l3+l′2+l
′
1)(l′′2 + l′′1)(l
′′
2+l
′′
1 ) ≤
≤ A|l3+l
′
2+l
′
1|++|l′′2+l′′1 |+
0 l3!(l
′
2 + l′1)! · l′′2 ! · l′′1 ! ≤
≤ A|l3|++2|l′2+l′1|++|l′′2+l′′1 |+
0 l3! · l2! · l̂1!.
Звiдси вже приходимо до iснування для кожного t ∈ (0;T ]
додатних сталих c1, A1, B1 i D1, з якими для всiх {x, σ} ⊂ Rn,
|σ| 6= 0, виконується оцiнка∣∣∣∣Fξ→σ[Lqt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x, σ)
∣∣∣∣ ≤
≤ c1A|k|+1 B
|m|+
1 D
|q|+
1 qq
−→α ∗kk
−→
β ∗ |σ|−m
|m|+∑
|l|+=0
C lm(m− l)(m−l)
−→
β ∗×
×(l!)
−→
β ∗
|l̂1|+∑
|r̂1|+=0
C r̂1
l̂1
|r′1|+∑
|ν′1|+=0
C
ν′1
r′1
|l′2|+∑
|ν′2|+=0
C
ν′2
l′2
(
∀m ∈ Zn+
)
,
яка, з огляду на те, що
(m− l)(m−l) · l! ≤ mm
i
|m|+∑
|l|+=0
C lm
|l̂1|+∑
|r̂1|+=0
C r̂1
l̂1
|r′1|+∑
|ν′1|+=0
C
ν′1
r′1
|l′2|+∑
|ν′2|+=0
C
ν′2
l′2
≤ 4|m|+ ,
може бути записана ще i так:∣∣∣∣Fξ→σ[Lqt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x, σ)
∣∣∣∣ ≤
242 В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
≤ c1A|k|+1 (4B1)
|m|+D
|q|+
1 qq
−→α ∗kk
−→
β ∗mm
−→
β ∗ |σ|−m (∀m ∈ Zn+).
Далi, зазначимо, що попередня оцiнка виконується для всiх
m ∈ Zn+, причому її лiва частина не залежить вiд m, тодi∣∣∣∣Fξ→σ[Lqt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x, σ)
∣∣∣∣ ≤
≤ c1A|k|+1 D
|q|+
1 qq
−→α ∗kk
−→
β ∗
n∏
j=1
inf
mj∈Z+
(
4B1
m
βj
j
|σj |
)mj
.
Звiдси вже, врахувавши, що
inf
m≥0
{
(amβ)m
}
= exp
{
− β
ea1/β
}
,
приходимо до твердження вихiдної леми.
Лема доведена.
Далi, розглянемо клас Ŝ′ усiх узагальнених функцiй f з(
S
−→
β ∗
−→α ∗
)′
такий, що
F [Ŝ′] =
{
f̃(·) ∈ C∞(Rn)| ∀k ∈ Zn+ ∃γk ≥ 0 ∃ck > 0 ∀σ ∈ Rn :
|∂kσ f̃(σ)| ≤ ck(1 + ‖σ‖)γk
}
(тут величини γk i ck можуть залежати вiд функцiї f̃(·) :=
F [f ](·)).
Через Ŝ′−→α позначимо клас Ŝ′ у випадку, коли iснує такий ве-
ктор −→α >
−→
0 , що кожна оцiночна величина ck має вигляд
ck = cB|k|+kk
−→α
з вiдповiдними додатними сталими c i B, незалежними вiд k, i
при цьому також не залежить вiд k величина γk ≡ γ0.
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 243
Також символами
(
Ŝ
−→
β
)′
i
(
Ŝ
−→
β
−→α
)′
, −→α >
−→
0 ,
−→
β >
−→
0 позначимо
вiдповiдно сукупностi усiх тих елементiв f iз
(
S
−→
β ∗
−→α ∗
)′
таких, що
F
[(
Ŝ
−→
β
)′]
=
{
f̃(·) ∈ C∞(Rn)| ∀δ > 0 ∀k ∈ Zn+ ∃ck,δ > 0 ∀σ ∈ Rn :
|∂kσ f̃(σ)| ≤ ck,δeδ|σ|
−→
1 /
−→
β
+
}
i
F
[(
Ŝ
−→
β
−→α
)′]
=
=
{
f̃(·) ∈ C∞(Rn)| ∀δ > 0 ∃cδ > 0 ∃Aδ > 0 ∀k ∈ Zn+ ∀σ ∈ Rn :
|∂kσ f̃(σ)| ≤ cδA
|k|+
δ kk
−→α eδ|σ|
−→
1 /
−→
β
+
}
.
Очевидно, що для всiх векторiв −→α1,
−→α2,
−→
β1 i
−→
β2 з додатними
координатами таких, що −→α1 ≤ −→α2 i
−→
β1 ≥
−→
β2 виконуються наступнi
спiввiдношення:
Ŝ′−→α1
⊂ Ŝ′−→α2
⊂ Ŝ′;
(
Ŝ
−→
β1
)′
⊂
(
Ŝ
−→
β2
)′
;
(
Ŝ
−→
β1−→α1
)′
⊂
(
Ŝ
−→
β2−→α2
)′
⊂
(
Ŝ
−→
β2
)′
.
Бiльше того, нехай Φ′ — один iз класiв Ŝ′ чи
(
Ŝ
−→
β
)′
, а Ψ′ —
вiдповiдно Ŝ′−→α або
(
Ŝ
−→
β
−→α
)′
, тодi
S
−→
β
−→α ⊂
{
S
−→
β
S−→α
}
⊂ S ⊂ Φ′, S
−→
β
−→α ⊂ S−→α ⊂ Ψ′
(тут S−→α , S
−→
β i S
−→
β
−→α – простори типу S Гельфанда I.М. i Шилова
Г.Є. [3]).
Векторний аналог класiв Ŝ′, Ŝ′−→α ,
(
Ŝ
−→
β
−→α
)′
i
(
Ŝ
−→
β
)′
позначатиме-
мо вiдповiдно через Ŝ′, Ŝ′−→α ,
(
Ŝ
−→
β
−→α
)′
та
(
Ŝ
−→
β
)′
.
244 В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
Лема 2. Кожен елемент класу Ŝ′ є згортувачем у просторi
S. Якщо ж f є елементом класу Ŝ′−→α чи
(
Ŝ
−→
β
)′
або
(
Ŝ
−→
β
−→α
)′
при
−→α >
−→
0 i
−→
β >
−→
0 , то f — згортувач вiдповiдно у просторi S−→α ,
S
−→
β чи S
−→
β
−→α .
Доведення. Згiдно з вiдомим результатом В.М. Борок [5], еле-
мент f ∈
(
S
−→
β ∗
−→α ∗
)′
буде згортувачем у просторi S чи одному iз
просторiв типу S, якщо його перетворення Фур’є F [f ] є регуляр-
ним функцiоналом типу функцiї f̃(·), яка є мультиплiкатором у
просторi F [S] = S чи, вiдповiдно, у F [S−→α ] = S
−→α , F [S
−→
β ] = S−→
β
або F [S
−→
β
−→α ] = S
−→α−→
β
.
Отже, необхiдно переконатися лише у тому, що f̃(·) — мульти-
плiкатор у вiдповiдному двоїстому стосовно перетворення Фур’є
просторi Φ ∈
{
S, S
−→α , S−→
β
, S
−→α−→
β
}
. Проте, як зазначено в [3, 6], умо-
ви з означення класiв Ŝ′, Ŝ′−→α ,
(
Ŝ
−→
β
)′
i
(
Ŝ
−→
β
−→α
)′
, якi накладаються
на функцiю f̃(·) i є достатнiми для того, щоб f̃(·) був мультиплi-
катором у вiдповiдному просторi Φ.
Лему доведено.
Основний результат цього пункту сформулюємо у виглядi на-
ступного твердження.
Теорема 3. Нехай початкова вектор-функцiя f ∈
(
S
−→
β ∗
−→α ∗
)′
, а u
— вiдповiдний розв’язок задачi Кошi (1), (3). Тодi якщо:
a) f ∈ Ŝ′, то u(t; ·) ∈ S при кожному t ∈ (0;T ];
б) f ∈ Ŝ′−→α0
, −→α0 ≥
−→
α∗, то u(t; ·) ∈ S−→α0
при t ∈ (0;T ];
в) f ∈
(
Ŝ
−→
β0
)′
,
−→
β0 ≥
−→
β ∗, то u(t; ·) ∈ S
−→
β ∗ при t ∈ (0;T ];
г) f ∈
(
Ŝ
−→
β0−→α0
)′
, −→α0 ≥
−→
α∗,
−→
β0 ≥
−→
β∗, то u(t; ·) ∈ S
−→
β∗
−→α0
при t ∈ (0;T ].
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 245
Доведення. Доведення теореми полягає у встановленнi необхi-
дних оцiнок виразу xq∂kxu(t;x) для всiх x ∈ Rn i {q, k} ⊂ Zn+ при
кожному фiксованому t ∈ (0;T ].
Безпосередньо iз структури розв’язку u задачi Кошi (1), (3),
означення перетворення Фур’є узагальненої функцiї та регуляр-
ностi функцiонала f̃(·), одержуємо
xq∂kxu(t;x) = 〈f, xq∂kxG(t, x; 0, ·)〉 =
= (2π)n〈f̃(σ), Fξ→σ
[
xq∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x, σ)〉 =
= (2π)n
∫
Rn
f̃(σ)Fξ→σ
[
xq∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x, σ)dσ.
Зазначимо, що
xq = xq11 x
q2
2 x
q3
3 =
=
(
(x1 − ξ1) + ξ1
)q1(
(x2 − ξ2 + tξ̂1) + (ξ2 − tξ̂1)
)q2
×
×
((
x3 − ξ3 + tξ̂2 −
t2
2
ξ′′1
)
+
(
ξ3 − tξ′2 +
t2
2
ξ′1
))q3
=
|q1|+∑
|l1|+=0
C l1q1×
×
|q2|+∑
|l2|+=0
C l2q2
|q3|+∑
|l3|+=0
C l3q3ξ
l1
1 (ξ2 − tξ̂1)l2
(
ξ3 − tξ′2 +
t2
2
ξ′1
)l3
Lq−lt (x; ξ) =
=
|q1|+∑
|l1|+=0
C l1q1
|q2|+∑
|l2|+=0
C l2q2
|q3|+∑
|l3|+=0
C l3q3
|l2|+∑
|r2|+=0
Cr2l2
|l3|+∑
|r3|+=0
Cr3l3 (−1)|l2−r2|+×
×2−|l3−r3|+t|l2−r2|++2|l3−r3|+×
×(ξ′1)
l′1+l
′
2−r′2+l3−r3(ξ′′1 )l
′′
1+l
′′
2−r′′2 (ξ′′′1 )l
′′′
1 (ξ2)
r2×
×(ξ3−tξ′2)r3L
q−l
t (x; ξ) =
|q1|+∑
|l1|+=0
C l1q1
|q2|+∑
|l2|+=0
C l2q2
|q3|+∑
|l3|+=0
C l3q3
|l2|+∑
|r2|+=0
Cr2l2 ×
246 В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
×
|l3|+∑
|r3|+=0
Cr3l3
|r3|+∑
|ν3|+=0
Cν3r3 (−1)|l2−r2|++|r3−ν3|+×
×t|l2−r2|++2|l3−r3|++|r3−ν3|+×
×2−|l3−r3|+(ξ′1)
l′1+l
′
2−r′2+l3−r3×
×(ξ′′1 )l
′′
1+l
′′
2−r′′2 (ξ′′′1 )l
′′′
1 (ξ′2)
r′2+r3−ν3(ξ′′2 )r
′′
2 (ξ3)
ν3Lq−lt (x; ξ) ≡
≡ Σ̃t(q, l, r, ν)(ξ′1)
l′1+l
′
2−r′2+l3−r3(ξ′′1 )l
′′
1+l
′′
2−r′′2 (ξ′′′1 )l
′′′
1 ×
×(ξ′2)
r′2+r3−ν3(ξ′′2 )r
′′
2 (ξ3)
ν3Lq−lt (x; ξ).
Тодi
xq∂kxu(t;x) = (2π)nΣ̃t(q, l, r, ν)
∫
Rn
f̃(σ)
∫
Rn
ei(ξ,σ)×
×(ξ′1)
l′1+l
′
2−r′2+l3−r3(ξ′′1 )l
′′
1+l
′′
2−r′′2 (ξ′′′1 )l
′′′
1 (ξ′2)
r′2+r3−ν3×
×(ξ′′2 )r
′′
2 (ξ3)
ν3Lq−lt (x; ξ)×
×∂kxG(t, x; 0, ξ)dξdσ = (2π)nΣ̃t(q, l, r, ν)(−i)|l|++|r3|+×
×
∫
Rn
f̃(σ)∂̃l,rσ
(
Fξ→σ
[
Lq−lt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x, σ)
)
dσ,
де
∂̃l,r,νσ · := ∂
l′1+l
′
2−r′2+l3−r3
σ′1
(
∂
l′′1+l
′′
2−r′′2
σ′′1
(
∂
l′′′1
σ′′′1
(
∂
r′2+r3−ν3
σ′2
(
∂
r′′2
σ′′2
(
∂ν3σ3 ·
)))))
.
Звiдси, зiнтегрувавши частинами останнiй iнтеграл та зва-
живши на твердження леми 1, приходимо до наступної оцiнки:
|xq∂kxu(t;x)| ≤ (2π)nΣ̃t(q, l, r, ν)
∫
Rn
|∂̃l,r,νσ f̃(σ)|×
×
∣∣∣Fξ→σ[Lq−lt (x; ξ)∂kxG(t, x; 0, ξ)
]
(t;x, σ)
∣∣∣dσ ≤ (2π)ncA|k|+kk
−→
β ∗×
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 247
×Σ̃t(q, l, r, ν)D|q−l|+(q − l)(q−l)
−→α ∗
∫
Rn
|∂̃l,r,νσ f̃(σ)|e−δ|σ|
−→
1 /
−→
β ∗
+ dσ,
яка виконується для всiх t ∈ (0;T ], x ∈ Rn i {q, k} ⊂ Zn+.
Нехай тепер f ∈ Ŝ′, тодi
|xq∂kxu(t;x)| ≤ (2π)ncA|k|+kk
−→
β ∗Σ̃t(q, l, r, ν)cl,rD
|q−l|+(q−l)(q−l)
−→α ∗×
×
∫
Rn
(1+‖σ‖)γke−δ|σ|
−→
1 /
−→
β ∗
+ dσ < +∞, t ∈ (0;T ], x ∈ Rn, {q, k} ⊂ Zn+,
i, таким чином, виконання твердження а) встановлено.
Якщо f ∈ Ŝ′−→α0
, −→α0 ≥ −→α ∗, то
|xq∂kxu(t;x)| ≤ (2π)ncA|k|+kk
−→
β ∗Σ̃t(q, l; r, ν)D|q−l|+B|l|+(q−l)(q−l)
−→α ∗×
×ll
−→α0
∫
Rn
(1 + ‖σ‖)γ0e−δ|σ|
−→
1 /
−→
β ∗
+ dσ ≤ ckB
|q|+
1 qq
−→α0Σ̃t(q, l, r, ν),
t ∈ (0;T ], x ∈ Rn, {q, k} ⊂ Zn+,
де
B1 := max{D,B}, ck := (2π)ncA|k|+kk
−→
β ∗
∫
Rn
(1+‖σ‖)γ0e−δ|σ|
−→
1 /
−→
β ∗
+ dσ.
Звiдси вже, урахувавши, що
Σ̃t(q, l, r, ν) ≤ T 2|q|+
0
|q1|+∑
|l1|+=0
C l1q1×
×
( |q2|+∑
|l2|+=0
C l2q2
|l2|+∑
|r2|+=0
Cr2l2
)( |q3|+∑
|l3|+=0
C l3q3
|l3|+∑
|r3|+=0
Cr3l3
|r3|+∑
|ν3|+=0
Cν3r3
)
=
= T
2|q|+
0 2|q1|+3|q2|+4|q3|+ , T0 := max{1, T},
248 В. A. Лiтовченко, О. Б. Васько
приходимо до твердження б).
У випадку, коли f ∈
(
Ŝ
−→
β0
)′
,
−→
β0 ≥
−→
β ∗, для {q, k} ⊂ Zn+ маємо
|xq∂kxu(t;x)| ≤ (2π)ncA|k|+kk
−→
β ∗Σ̃t(q, l, r, ν)D|q−l|+(q − l)(q−l)
−→α ∗×
×cl,δ/2
∫
Rn
e−
δ
2
|σ|
−→
1 /
−→
β 0
+ dσ ≡ c(q, t)A|k|+kk
−→
β ∗ , t ∈ (0;T ], x ∈ Rn.
Таким чином, твердження в) також виконується.
На завершення, переконаємося у правильностi твердження г)
цiєї теореми. Нехай f ∈
(
Ŝ
−→
β0−→α0
)
, −→α0 ≥ −→α ∗,
−→
β0 ≥
−→
β ∗, тодi для всiх
t ∈ (0;T ], x ∈ Rn, i {q, k} ⊂ Zn+ маємо
|xq∂kxu(t;x)| ≤
≤ (2π)nccδ/2A
|k|+kk
−→
β ∗Σ̃t(q, l, r, ν)D|q−l|+A
|l|+
δ/2 (q − l)(q−l)
−→α ∗×
×ll
−→α 0
∫
Rn
e−
δ
2
|σ|
−→
1 /
−→
β 0
+ dσ ≤
≤ (2π)nccδ/2
(∫
Rn
e−
δ
2
|σ|
−→
1 /
−→
β 0
+ dσ
)
A|k|+×
×
(
(max{D,Aδ/2})(2T0)2
)|q|+
kk
−→
β ∗qq
−→α 0 .
Що i потрiбно було довести.
Теорему доведено.
Лiтература
[1] Литовченко В.А., Настасий Е.Б. Вырожденные параболические
системы уравнений типа Колмогорова векторного порядка // Сиб.
мат. журн. – 2012. – 53, № 1. – С. 148–164.
Граничнi значення ... розв’язкiв ... параболiчних систем... 249
[2] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analitic methods in
the theory of differential and pseudodifferential equations of parabolic
type. – Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser, 2004. – 390 p.
[3] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщен-
ных функций. – Москва: Физматгиз, 1958. – 307 с.
[4] Литовченко В.А., Васько Е.Б. Задача Коши для вырожденных
параболических систем уравнений типа Колмогорова векторно-
го порядка с обобщенными начальными данными // Дифференц.
уравнения. – 2014. – 50, № 12. – С.1598–1606.
[5] Борок В. М. Решение задачи Коши для некоторых типов си-
стем линейных уравнений в частных производных // Докл. АН
СССР. – 1954. – 97, № 6. – С. 949–952.
[6] Литовченко В. А. Задача Коши для {−→p ;
−→
h }-параболических
уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от вре-
мени // Мат. заметки. – 2005. – 77, № 3. – С. 395–411.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-130 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:46Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/8c/9bebbb585f9c66edf605a8176c25bd8c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1302018-01-23T01:37:46Z Boundary values of smooth solutions of degenerate parabolic systems of the Kolmogorov type Граничні значення гладких розв'язків вироджених параболічних систем типу Колмогорова Litovchenko, V. A. Vasko, O. B. Літовченко, В. А. Васько, О. Б. For vector-order degenerate parabolic systems of the Kolmogorov-type, we describe the sets of generalized functions, like Gevrey distributions, that are boundary values on the initial hyperplane of ordinary solutions to the systems, with the solutions belonging to L. Schwartz's and Gelfand and Shilov's spaces. Для вироджених параболічних систем типу Колмогорова векторного порядку описано сукупності узагальнених функцій типу розподілів Жевре, які є граничними значеннями на початковій гіперплощині звичайних розв'язків систем за умови, що розв'язки належать просторам Л. Шварца та Гельфанда і Шилова. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/130 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 230-249 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 230-249 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 230-249 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/130/174 Авторське право (c) 2015 В. А. Літовченко, О. Б. Васько |
| spellingShingle | Litovchenko, V. A. Vasko, O. B. Літовченко, В. А. Васько, О. Б. Boundary values of smooth solutions of degenerate parabolic systems of the Kolmogorov type |
| title | Boundary values of smooth solutions of degenerate parabolic systems of the Kolmogorov type |
| title_alt | Граничні значення гладких розв'язків вироджених параболічних систем типу Колмогорова |
| title_full | Boundary values of smooth solutions of degenerate parabolic systems of the Kolmogorov type |
| title_fullStr | Boundary values of smooth solutions of degenerate parabolic systems of the Kolmogorov type |
| title_full_unstemmed | Boundary values of smooth solutions of degenerate parabolic systems of the Kolmogorov type |
| title_short | Boundary values of smooth solutions of degenerate parabolic systems of the Kolmogorov type |
| title_sort | boundary values of smooth solutions of degenerate parabolic systems of the kolmogorov type |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/130 |
| work_keys_str_mv | AT litovchenkova boundaryvaluesofsmoothsolutionsofdegenerateparabolicsystemsofthekolmogorovtype AT vaskoob boundaryvaluesofsmoothsolutionsofdegenerateparabolicsystemsofthekolmogorovtype AT lítovčenkova boundaryvaluesofsmoothsolutionsofdegenerateparabolicsystemsofthekolmogorovtype AT vasʹkoob boundaryvaluesofsmoothsolutionsofdegenerateparabolicsystemsofthekolmogorovtype AT litovchenkova graničníznačennâgladkihrozv039âzkívvirodženihparabolíčnihsistemtipukolmogorova AT vaskoob graničníznačennâgladkihrozv039âzkívvirodženihparabolíčnihsistemtipukolmogorova AT lítovčenkova graničníznačennâgladkihrozv039âzkívvirodženihparabolíčnihsistemtipukolmogorova AT vasʹkoob graničníznačennâgladkihrozv039âzkívvirodženihparabolíčnihsistemtipukolmogorova |