On smooth mappings of the constant multiplicity
A purpose of an article is construction of the smooth mapping of constant odd multiplicity in and onto an open ball of the Euclidean space, provided that on the boundary of the ball the mapping is a homeomorphism. —
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/131 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552648502149120 |
|---|---|
| author | Dakhil, H. K. Дакхіл, Х. К. |
| author_facet | Dakhil, H. K. Дакхіл, Х. К. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Х. К. Дакхіл",
"institution": "Національний університет імені Тараса Шевченка"
}
] |
| author_sort | Dakhil, H. K. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | A purpose of an article is construction of the smooth mapping of constant odd multiplicity in and onto an open ball of the Euclidean space, provided that on the boundary of the ball the mapping is a homeomorphism. — |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 140–146
УДК 517.5 + 513.83
Х.К. Дакхiл
(Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ)
moon5385@gmail.com
Про гладкi вiдображення постiйної
кратностi
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
Основне питання, що дослiджується у роботi — це побудова неперерв-
ного гладкого вiдображення постiйної непарної кратностi вiдкритої ку-
лi евклiдового простору в себе, яке продовжується до гомеоморфiзму
на межi.
A purpose of an article is construction of the smooth mapping of constant
odd multiplicity in and onto an open ball of the Euclidean space, provided
that on the boundary of the ball the mapping is a homeomorphism.
Означення 1. Вiдображення областей f : D −→ D1 називається
власним, якщо прообраз довiльного компакта буде компактом.
В [1] показано, що обмеження неперервного вiдображення замкну-
тої областi на її внутрiшнiсть буде власним тодi i тiльки тодi, коли
образи межi i внутрiшностi областi не перетинаються.
Мета роботи дати вiдповiдь (можливо, неповну) на наступне запи-
тання [2,3].
Питання. Чи iснує для кожного власного вiдображення
f : D −→ D1 (D,D1 — областi на n-вимiрних многовидах ), го-
мотопне до f власне вiдображення g таке, що кожна точка образу
g(D) має не бiльше, нiж |deg f | + 2 прообразiв (де deg f — степiнь
вiдображення f [1])?
c© Х.К. Дакхiл, 2017
Про гладкi вiдображення постiйної кратностi 141
Ми дослiдимо можливiсть побудови неперервного гладкого вiдобра-
ження постiйної непарної кратностi на вiдкритiй кулi у евклiдовому
просторi Rn, яке є неперервним продовженням гомеоморфного вiд-
ображення межi кулi. Подiбнi задачi розглядалися в роботах [4,5].
Теорема 1. Iснує гладке неперервне вiдображення n-вимiрної кулi
Bn = {x ∈ Rn : |x| ≤ r} в себе, яке є гомеоморфiзмом на межi кулi,
а кожна внутрiшня точка кулi має в точностi k прообразiв, де k є
непарним числом.
Доведення. Розглянемо функцiю
g(x) = sin(kx− 1/2)π, 0 ≤ x ≤ 1,
де k — непарне число. Нехай
p(x) = 2−1(sin(kx− 1/2)π + 1), 0 ≤ x ≤ 1.
Далi задамо функцiю q(x) (див Мал. 1) на сегментi 0 ≤ x ≤ 1 так, що
q(0) = 0, а q(x) = 2−m(1 + p(2m(x− 2−m))) для 2−m ≤ x ≤ 2−m+1 при
кожному m = 1, 2, . . ..
Тепер ми задамо функцiю
s(x) =
{
q(x+ 1)− 1 для − 1 ≤ x ≤ 0,
1− q(1− x) для 0 ≤ x ≤ 1.
Отже, ми маємо (див. Мал. 2) неперервну нескiнченно диференцi-
йовну функцiю на замкненому iнтервалi B1 = [−1, 1] (замкненiй одно-
вимiрнiй кулi), яка є однозначною на межi, i кожна точка внутрiшностi
кулi має в точностi k прообразiв.
Далi ми будемо розглядати n-вимiрну кулю Bn як надбудову
SBn−1 [6] над (n − 1)-вимiрною кулею Bn−1 (наприклад, двовимiрна
куля B2 = SB1 = {(x, y) : |x|+ |y| ≤ 1} є надбудовою над замкненим
iнтервалом [−1, 1]). Далi ми розповсюдимо функцiю s(x) на вiдобра-
ження надбудови за формулою
s2(x, y) =
{
(1− |y|)s(x/(1− |y|)) для y 6= −1; 1,
0 для y ∈ {−1; 1}.
Ця формула задає вiдображення двовимiрної кулi. Аналогiчне вiдобра-
ження легко побудувати у будь якiй розмiрностi за iндукцiєю
142 Х.К. Дакхiл
Мал. 1
sn(x1, x2, . . . , xn) =
=
(1− |xn|)sn−1(x1/(1− |xn|), x2/(1− |xn|), . . . , xn−1/(1− |xn|))
при xn 6= −1; 1,
0 при xn = −1; 1.
Легко бачити, що так задане вiдображення задовольняє умови теореми
при k ≥ 3, а при k = 1 iснує тотожний гомеоморфiзм кулi на себе.
Про гладкi вiдображення постiйної кратностi 143
Мал. 2
Теорему доведено.
Висновок. Нехай множина X має форму декартового добутку
X = Y × Bn. Тодi на X можна задати гладке неперервне вiдобра-
ження в X, яке буде гомеоморфiзмом на Y × ∂Bn, а кожна точка з
Y × Int Bn має рiвно k прообразiв, де k є непарним числом.
Зауваження 1. З цього результату випливає, що для довiльного глад-
кого гомеоморфiзму декартового добутку X = Y × Bn на себе (мно-
жник Y може бути порожньою множиною) iснує в точностi k-кратне
144 Х.К. Дакхiл
вiдображення множини Y × Int Bn на себе, яке зберiгає гомеоморфiзм
на Y × ∂Bn.
Зауваження 2. З теореми випливає часткова вiдповiдь на поставлене
вище запитання. Для довiльного гладкого гомеоморфiзму кулi iснує у
точностi трикратне вiдображення внутрiшностi кулi на себе, яке го-
мотопне до заданого i зберiгає гомеоморфiзм на межi. Гомотопнiсть
випливає з того, що вiдображення s(x) гомотопне тотожному вiдобра-
женню.
Зауваження 3. У роботi [5] показано, що не iснує вiдображення вiд-
рiзка на себе постiйної кратностi, вiдмiнної вiд одиницi. Покажемо, що
для вiдображень, образ яких знаходиться у бiльш складних многови-
дах, такi вiдображення можна побудувати.
Побудуємо гладке неперервне вiдображення довiльної кратно-
стi k ≥ 3 вiдрiзка на коло S1. Задамо спочатку на вiдрiзку
0 ≤ x ≤ k − 2, k = 3, 4, . . . , функцiю
r(x) =
{
q(x) при 0 ≤ x ≤ 1, k = 3,
(1 + sinπ(x− 1/2))/2 при 1 ≤ x ≤ k − 2.
Тепер гладка функцiя (див. Мал. 3) f(x) = e2πir(x) вiдображає вiдрiзок
0 ≤ x ≤ k − 2 на одиничне коло x2 + y2 = 1 i є k–кратною на цьому
вiдрiзку.
Далi ми будемо розглядати n-вимiрну кулю Bn, як декартовий до-
буток вiдрiзка 0 ≤ x ≤ k − 2 на n − 1 екземпляр одиничних вiдрiзкiв
In−1 := [0, 1]× . . .× [0, 1]︸ ︷︷ ︸
(n−1)−раз
, тобто,
Bn := {x ∈ Rn : 0 ≤ x1 ≤ k − 2, 0 ≤ xi ≤ 1, i = 2, . . . , n} .
Задамо вiдображення n-вимiрної кулi Bn на цилiндр Sn := S1 × In−1
за формулою: fn(x1, x2, . . . , xn) = (f(x1), x2, . . . , xn).
Звiдси випливає наступне твердження.
Теорема 2. Для будь-якого k ≥ 3 iснує гладке неперервне вiдображе-
ння n-вимiрної кулi Bn на цилiндр Sn, для якого кожна точка образу
має у точностi k прообразiв.
Про гладкi вiдображення постiйної кратностi 145
Мал. 3
Вiдкритi питання:
1. Чи iснує вiдображення замкнутої кулi D на себе постiйної кра-
тностi k ≥ 3 (вiдомо, що для k = 2 такого вiдображення не iснує
[7])?
2. Чи iснує вiдображення n-вимiрного дiйсного проективного про-
стору в n-вимiрний евклiдiв простiр таке, що кожна точка образу
має не бiльше, нiж два прообрази при n ≥ 4 (вiдомо, що при n = 2
i 3 такi вiдображення iснують [8])?
Рiзнi оцiнки кратностi вiдображень областей на многовидах отри-
мано у роботах [9-12].
Лiтература
[1] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-
алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном
анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т матема-
тики НАН України, 2008. — 73. — 308 c.
[2] Zelinskii Y. B. Continuous mappings between domains of manifolds // Bull.
Soc.Sci. Lett. Lòdz̀ Sé. Rech. Déform. — 2010. — 60. — № 2. — P. 11 – 14.
146 Х.К. Дакхiл
[3] Zelinskii Y. B. Open topological and geometrical problems in analysis //
https://www.academia.edu/29063888/Open topological and geometrical
problems in analysis.
[4] Mioduszewski J. Funkcje ciagle o stalej krotnosci skonczonej na odcinku i
prostej // Prace matematyczne. — 1961. — 5. — P. 79 – 93.
[5] Zelinskii Y. B., Dakhil H.K. On mappings of constant multiplicity //
Advances in Analysis. — 2017 (подано до друку).
[6] Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир. — 1971. — 680 с.
[7] Чернавский А.B. Конечнократные открытые отображения многообра-
зий // Мат. сб. — 1964. — 65(107), № 3. — С. 356 – 369.
[8] Зелинский Ю.Б. Об отображении проективного пространства в сфе-
ру // Укр. мат. журн. — 2010. — 62, № 7. — С. 1037 – 1044.
[9] Зелинский Ю.Б. О некоторых проблемах Косинского // Укр. мат.
журн. — 1975. — 27, № 4. — С. 510 – 516.
[10] Зелинский Ю.Б. О кратности непрерывных отображений областей //
Укр. матем. журн. — 2005. — 57, № 4. — С. 554 – 558.
[11] Зелинский Ю.Б. Об отображении областей на многообразиях // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН
України, 2008. — 5. — № 1. — С. 149 – 152.
[12] Зелинский Ю.Б. Открытые вопросы отображения областей на много-
образиях // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т ма-
тематики НАН України, 2010. — 7. — № 2. — С. 242 – 248.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-131 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:46Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/0e/2d780b8f7eff0b11cf404a16e2d3a60e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1312018-02-13T13:58:16Z On smooth mappings of the constant multiplicity Про гладкі відображення постійної кратності Dakhil, H. K. Дакхіл, Х. К. A purpose of an article is construction of the smooth mapping of constant odd multiplicity in and onto an open ball of the Euclidean space, provided that on the boundary of the ball the mapping is a homeomorphism. — Основне питання, що досліджується у роботі — це побудова неперервного гладкого відображення постійної непарної кратності відкритої кулі евклідового простору в себе, яке продовжується до гомеоморфізму на межі. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/131 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 140-146 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 140-146 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 140-146 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/131/109 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Dakhil, H. K. Дакхіл, Х. К. On smooth mappings of the constant multiplicity |
| title | On smooth mappings of the constant multiplicity |
| title_alt | Про гладкі відображення постійної кратності |
| title_full | On smooth mappings of the constant multiplicity |
| title_fullStr | On smooth mappings of the constant multiplicity |
| title_full_unstemmed | On smooth mappings of the constant multiplicity |
| title_short | On smooth mappings of the constant multiplicity |
| title_sort | on smooth mappings of the constant multiplicity |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/131 |
| work_keys_str_mv | AT dakhilhk onsmoothmappingsoftheconstantmultiplicity AT dakhílhk onsmoothmappingsoftheconstantmultiplicity AT dakhilhk progladkívídobražennâpostíjnoíkratností AT dakhílhk progladkívídobražennâpostíjnoíkratností |