The number of topologically non-equivalent minimal functions on closed surfaces
We consider two classes of smooth functions with three critical values on smooth closed surface of genus $g\geq1$, that possess only one (degenerate) saddle critical point in addition to $k$ local maxima and $l$ local minima. Namely: $C_{k,l}(M_g)$ is the class of such functions on oriented surface...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/135 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552655199404032 |
|---|---|
| author | Kadubovskyi, O. A. Кадубовський, О. А. |
| author_facet | Kadubovskyi, O. A. Кадубовський, О. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. А. Кадубовський",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Kadubovskyi, O. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T11:58:55Z |
| description | We consider two classes of smooth functions with three critical values on smooth closed surface of genus $g\geq1$, that possess only one (degenerate) saddle critical point in addition to $k$ local maxima and $l$ local minima. Namely: $C_{k,l}(M_g)$ is the class of such functions on oriented surface $M_g$ and $C_{k,l}(N_g)$ -- on non-oriented surface $N_g$. In this paper we calculate the number of topologically non-equivalent (minimal) functions from the class $C_{1,1}(M_g)$ for all $g\geq 1$and from the class $C_{1,1}(N_g)$ for $g=5, 6$. Asymptotic estimate for number of topologically non-equivalent functions from the class $C_{1,1}(N_g)$ (as $g\to\infty$) are also established. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2015, т.12, №6, 105-145
О. А. Кадубовський
ДВНЗ «Донбаський державний педагогiчний унiверситет»,
м. Слов’янськ
kadubovs@ukr.net
Перерахування
топологiчно нееквiвалентних
гладких мiнiмальних функцiй
на замкнених поверхнях
We consider two classes of smooth functions with three critical values on
smooth closed surface of genus g ≥ 1, that possess only one (degenerate)
saddle critical point in addition to k local maxima and l local minima.
Namely: Ck,l(Mg) is the class of such functions on oriented surface Mg
and Ck,l(Ng) — on non-oriented surface Ng. In this paper we calculate
the number of topologically non-equivalent (minimal) functions from the
class C1,1(Mg) for all g ≥ 1 and from the class C1,1(Ng) for g = 5, 6.
Asymptotic estimate for number of topologically non-equivalent functions
from the class C1,1(Ng) (as g → ∞) are also established.
Мы рассматриваем два класса гладких функций с тремя критически-
ми значениями на гладкой замкнутой поверхности рода g ≥ 1, которые
в дополнение к k локальным максимиумам и l локальным миниму-
мам имеют только одну (вырожденную) седловую критическую точку.
Пусть Ck,l(Mg)— класс таких функций на ориентированной поверхно-
сти Mg, соответственно Ck,l(Ng)— на неориентированной поверхности
Ng. В данной работе подсчитано число топологически неэквивалент-
ных (минимальных) функций из класса C1,1(Mg) для всех g ≥ 1, а
из класса C1,1(Ng)— для g = 5, 6. Также приведены асимптотические
оценки для числа топологически неэквивалентных функций из класса
C1,1(Ng) при g → ∞.
© О. А. Кадубовський, 2015
106 О. А. Кадубовський
Вступ
Нехай (F, ∂F )— гладка поверхня з межею ∂F (∂F може бу-
ти порожньою). Через C∞(F ) позначимо простiр нескiнченно
диференцiйовних функцiй на F з межею ∂F = ∂−F ∪ ∂+F , всi
критичнi точки яких iзольованi та лежать у внутрiшностi F , а
на компонентi зв’язностi межi ∂−F (∂+F ) функцiї набувають
однакового значення a (вiдповiдно b).
Функцiї f1 та f2 з простору C∞(F ) називають топологiчно
еквiвалентними, якщо iснують гомеоморфiзми h : F �→ F i
h� : R1 → R1 такi, що f · h = h� · g. Всюди в подальшому бу-
демо вважати, що гомеоморфiзм h� зберiгає орiєнтацiю. Коли
h зберiгає орiєнтацiю, функцiї f1 та f2 будемо називати O-то-
пологiчно еквiвалентними.
Нехай далi xi ∈ F — iзольована критична точка (що не є
локальним екстремумом) функцiї f ∈ C∞(F ). В [1] О. О. При-
шляком доведено, що якщо топологiчний тип лiнiй рiвня фун-
кцiї f ∈ C∞(F ) при переходi через xi змiнюється (не змiню-
ється), то в деякому околi Ui точки xi неперервною замiною
координат функцiя f зводиться до виду f = Rezni + c, ni ≥ 2,
(або ж до виду f = Rez вiдповiдно). А таку точку xi називають
суттєво (або ж, вiдповiдно, несуттєво) критичною точкою.
Число n суттєво критичних точок xi функцiї f разом iз за-
значеними вище значеннями ni називають топологiчним син-
гулярним типом функцiї f ∈ C∞(F ).
В роботi В. В. Шарка [2] вивчено питання гладкої i тополо-
гiчної еквiвалентностi функцiй з класу C∞(F ). Зокрема ним
встановлено, що iз фiксованим сингулярним типом iснує лише
скiнчене число топологiчно нееквiвалентних функцiй з C∞(F ).
Однак питання про пiдрахунок числа топологiчно нееквiвален-
тних таких функцiй виявилося дуже складною i в загальному
випадку нерозв’язаною до сьогоднi проблемою.
Якщо розглядати лише функцiї класу C∞
1 (F ) ⊂ C∞(F ), у
яких лише одна суттєво критична точка (в подальшому—
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 107
вироджена критична точка типу сiдла), то топологiчний iн-
варiант («2-кольоровий спiн-граф», запропонований В. В.Шар-
ком) та питання перевiрки топологiчної еквiвалентностi значно
спрощуються, а задача про пiдрахунок числа топологiчно нее-
квiвалентних таких функцiй стає бiльш досяжною.
Отже, обмежимося далi розглядом класу C∞
k,l(F ) ⊂ C∞
1 (F )
функцiй, якi (крiм єдиної виродженої критичної точки типу
сiдла) мають точно k локальних максимумiв та l локальних
мiнiмумiв. Як слiдує з [3] i [4], для функцiй iз зазначеного кла-
су повним топологiчним iнварiантом є 2-кольорова хордова n-
дiаграма певного виду, яка має k чорних (або ж сiрих) та l
сiрих (вiдповiдно чорних) циклiв. А саме: для функцiй з кла-
су Ck,l(Mg) на орiєнтованiй поверхнi роду g — 2-кольорова O-
дiаграма з n = 2g − 1 + k + l хордами [3], а для функцiй з
класу Ck,l(Ng) на неорiєнтовнiй поверхнi роду g —N -дiаграма
з n = g − 1 + k + l хордами [4].
Задачi про пiдрахунок числа O-топологiчно та топологiчно
нееквiвалентних функцiй з класу Ck,l(M0) (на двовимiрнiй сфе-
рi) для певних k i l було розглянуто в [5], але розв’язанi повнi-
стю (для довiльних k, l ∈ N) лише у 2014 р. в [6].
В загальному ж випадку (для довiльних натуральних k, l i g)
зазначенi задачi для класiв Ck,l(Mg) i Ck,l(Ng) також виявилися
досить важкими та нерозв’язаними до сьогоднi проблемами.
Проте, як з’ясувалося i вже можна констатувати, розв’язан-
ня зазначених задач для випадку мiнiмальних функцiй (тоб-
то при k = l = 1) є цiлком досяжними. Так, наприклад: для
орiєнтовних поверхонь роду g = 0, 1, 2, 3 вiдповiднi числа O-
топологiчно та топологiчно нееквiвалентних функцiй з класу
C1,1(Mg) вперше (за допомогою «слiв» спецiального виду) було
пiдраховано в 1999 р. у роботi [1]. У 2006 р.в [7] (за допомогою
2-кольорових дiаграм) було встановлено формули для пiдра-
хунку точного числа O-топологiчно нееквiвалентних функцiй
з класу C1,1(Mg) на випадок довiльного g ≥ 0. Задача ж про
пiдрахунок числа топологiчно нееквiвалентних функцiй iз за-
значеного класу до сьогоднi залишалась нерозв’язаною.
108 О. А. Кадубовський
Для неорiєнтовних поверхонь числа топологiчно нееквiва-
лентних функцiй з класу C1,1(Ng) були вiдомими лише для по-
чаткових g = 1, 2, 3 i 4 та встановленi в роботах [1] i [4] вiд-
повiдно. В загальному ж випадку (для натуральних g ≥ 1) ця
задача також залишається вiдкритим питанням.
Розв’язанню задач про пiдрахунок числа топологiчно нееквi-
валентних функцiй з класiв C1,1(Mg) та C1,1(Ng) й присвячено
дану статтю, яку можна вважати логiчним завершенням ци-
клу авторських робiт [3], [7], [8] i [9] та суттєвим продовжен-
ням [4], [10].
1. Основнi поняття та попереднi вiдомостi
Пiд перестановкою π будемо розумiти бiєктивне вiдображе-
ння множини [m] = {1, 2, ...,m} на себе.
Для перестановки π =
�
1 2 ... m
π(1) π(2) ... π(m)
�
будемо ви-
користовувати скорочене позначення π = �π1,π2, ...,πm� = �πi�,
де πi = π(i). Зокрема ι = �1, 2, ...,m�— тотожна перестановка.
Означення 1.1. Через S+
m позначимо множину всiх переста-
новок множини [m], а через CSm —множину циклiчних пере-
становок з S+
m, тобто тих перестановок з S+
m, що є цикла-
ми довжиниm (розкладаються у цикл максимальної довжини
m). Останнi будемо позначати c = (c1, c2, ..., cn), де i, ci ∈ [m],
ci = cj ⇔ i = j. Зокрема (1, 2, ...,m− 1,m) = τ .
Добре вiдомо, що S+
m (Sm) разом з функцiональною опера-
цiєю ◦ («композицiя», що дiє за правилом «right to left») є си-
метричною групою перестановок множини [m].
Означення 1.2. Оснащеною перестановкою (“signed per-
mutation” ) називають перестановку σ = �σi� множини [m],
в якiй кожен елемент σi оснащено знаком «+» або ж «−».
Через S±
m позначимо множину всiх оснащених перестановок
σ = �σi�.
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 109
Зауваження 1.3. Оснащену перестановку σ ∈ S±
m можна роз-
глядати як бiєкцiю множини [±m] = {1, 2, ...,m,−1, ...,−m}, де
σ(i) = σi та σ(−i) = −σi для i ∈ [m].
Крiм того, очевидно, що S+
m ⊂ S±
m.
В подальшому нам знадобляться й перестановки з множини
S−
m = S±
m\S+
m. Для введених множин очевидними є рiвностi:��S+
m
�� = m!,
��S±
m
�� = 2m ·m!,
��S−
m
�� = m!(2m − 1). (1.1)
Зауваження 1.4. Всюди нижче такi поняття як граф, k-регу-
лярний граф, гамiльтонiан, k-цикл графу , досконале пароспо-
лучення («perfect matching») будуть вживатися в сенсi класи-
чних вiдповiдних визначень з роботи [11].
В подальшому пiд хордовою n-дiаграмою будемо розумiти
хордову дiаграму з n хордами (див., напр., [12], [13], [14]).
Означення 1.5. Коло з 2n точками на ньому (що є вершина-
ми правильного 2n-кутника), дуги якого почергово розфарбо-
ванi у два кольори (чорний i сiрий) та фiксованою нумерацiєю
вершин (числами вiд 0 до 2n − 1) за годинниковою стрiлкою,
будемо називати 2-кольоровим 2n-шаблоном, рис. 1.1 a).
2-кольоровою хордовою n-дiаграмою будемо називати n-дi-
аграму, побудовану на основi 2-кольорового 2n-шаблону.
Означення 1.6. 2-кольорову n-дiаграму, яка не мiстить (мi-
стить) хорди, що сполучає вершини з номерами однакової пар-
ностi, називають O-дiаграмою (N -дiаграмою) – рис. 1.1 b), c).
Означення 1.7. 2-кольоровi n-дiаграми будемо називати iзо-
морфними, якщо їх можна сумiстити в результатi пово-
роту на певний кут, та еквiвалентними, якщо їх можна
сумiстити в результатi повороту, або дзеркального вiдбит-
тя, або ж їх композицiї.
Означення 1.8. Чорним (сiрим) циклом 2-кольорової дiагра-
ми називатимемо послiдовнiсть хорд та чорних (сiрих) дуг,
якi, чередуючись, утворюють гомеоморфний образ орiєнтова-
ного кола— рис. 1.1 b), c).
110 О. А. Кадубовський
)a )b )c
18
19 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
12
13
14
15
16
17
18
19 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
12
13
14
15
16
17
18
19 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
12
13
14
15
16
17
Рис. 1.1
a) 2-кольоровий 20-шаблон; b) O-дiаграма з 1 сiрим та 2
чорними циклами; c) N -дiаграма з 1 сiрим та 1 чорним
циклами.
Приклад 1.9. Якщо через (i, i+1) позначити орiєнтовану ду-
гу 2n-шаблона, а через [i, j]— хорду, яка сполучає вершини з
номерами i, j, то чорнi bck та сiрi gcl цикли 2-кольорової дiа-
грами, зображеної на рис. 1.1b), можна подати у виглядi:
bc1 = (18, 19)[19, 6](6, 7)[7, 18],
bc2 = (0, 1)[1, 10](10, 11)[11, 14](14, 15)[15, 4](4, 5)[5, 16](16, 17)
[17, 2](2, 3)[3, 12](12, 13)[13, 8](8, 9)[9, 0],
gc1 = (19, 0)[0, 9](9, 10)[10, 1](1, 2)[2, 17](17, 18)[18, 7](7, 8)[8, 13]
(13, 14)[14, 11](11, 12)[12, 3](3, 4)[4, 15](15, 16)[16, 5](5, 6)[6, 19].
А єдиний чорний та єдиний сiрий цикли дiаграми, зображеної
на рис. 1.1c), — у виглядi:
bc1 = (0, 1)[1, 10](10, 11)[11, 14](14, 15)[15, 4](4, 5)[5, 16](16, 17)
[17, 2](2, 3)[3, 12](12, 13)[13, 7](7, 6)[6, 19](19, 18)[18, 8](8, 9)[9, 0],
gc1 = (19, 0)[0, 9](9, 10)[10, 1](1, 2)[2, 17](17, 18)[18, 8](8, 7)[7, 13]
(13, 14)[14, 11](11, 12)[12, 3](3, 4)[4, 15](15, 16)[16, 5](5, 6)[6, 19].
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 111
Пiдсумовуючи, зазначимо, що «обхiд» (вичленування) пев-
ного (заради визначеностi) чорного циклу дiаграми можна здiй-
снювати, починаючи з «парного» кiнця довiльної чорної дуги
(«непарного» для сiрої). Назвемо її «стартовою». Рухаючись
у (додатному) напрямку за годинниковою стрiлкою, ми дося-
гнемо її кiнця. Далi слiд рухатися вздовж хорди, яка сполучає
цей кiнець з iншим її кiнцем на колi шаблону. З цього моменту
(i в подальшому) рух по колу здiйснюється виключно вздовж
чорних дуг, iншi кiнцi яких однозначно визначають наступнi
хорди циклу. I так до того моменту, поки не буде досягнуто
«стартову» дугу чорного циклу.
Якщо проiгнорувати колiр, то кожен чорний (сiрий) цикл 2-
кольорової O-дiаграми збiгається з вiдповiдним циклом непо-
фарбованої дiаграми. Тодi, наслiдуючи [12],
Означення 1.10. Родом 2-кольорової O-дiаграми будемо на-
зивати цiле число g, що визначається рiвнiстю
g =
n+ 1− λ
2
, (1.2)
де λ— сумарне число чорних i сiрих циклiв дiаграми.
Означення 1.11. Родом 2-кольорової N -дiаграми будемо на-
зивати цiле число g, яке визначається рiвнiстю
g = n+ 1− λ. (1.3)
Означення 1.12. Множину O-дiаграм (N -дiаграм) з n хорда-
ми будемо позначати �O
n (та �N
n вiдповiдно).
Множину O-дiаграм (N -дiаграм) з n хордами, якi мають
точно l сiрих та k чорних циклiв будемо позначати �O
l,k;n (та
�N
l,k;n вiдповiдно), а множину �O
1,k;n ∪ �N
1,k;n — як �1,k;n.
Множину O-дiаграм (N -дiаграм) з n хордами, якi мають
лише 1 сiрий (або ж лише 1 чорний) цикл будемо позначати
�O
1;n (�N
1;n), а множину �O
1;n ∪ �N
1;n позначимо як �1;n.
Слiд вiдзначити, що питаннями перелiку хордових n-дiаграм
вiдносно дiї циклiчної (порядку 2n) та дiедральної (порядку
112 О. А. Кадубовський
4n) груп займалась цiла низка вiдомих математикiв, зокрема
автори робiт [12], [13], [15], [14], [16].
Пiдрахунку числа неiзоморфних (нееквiвалентних вiдносно
дiї циклiчної групи порядку n) та нееквiвалентних (вiдносно дiї
дiедральної групи порядку 2n) 2-кольорових n-дiаграм присвя-
чено роботи [16], [7], [17]– [6]. Зокрема, формули для пiдрахун-
ку числа неiзоморфних та нееквiвалентних дiаграм для класiв
�O
n , �N
n ; �O
1;n; �N
1;n; �O
l,k;l+k−1 встановлено в роботах [17]; [18];
[10] та [6] вiдповiдно. Для числа неiзоморфних дiаграм з кла-
су �O
1,1;n — в [7], а для числа нееквiвалентних таких дiаграм—
анонсовано в [9].
Як слiдує iз робiт [7] i [10], має мiсце
Твердження 1.13 (характеристична властивiсть дiаграм
з класiв �O
1;n та �N
1;n). Кожну дiаграму D з класу �1;n мо-
жна ототожнити iз оснащеним циклом w(D) довжини n.
А по сутi — з оснащеною перестановкою π(D) ∈ S±
n−1, причо-
му: кожну D ∈ �O
1;n — з π(D) ∈ S+
n−1, а дiаграму D ∈ �N
1;n — з
π(D) ∈ S−
n−1.
Нагадаємо основну iдею зазначених бiєкцiй. Кожну чорну
дугу (2i, 2i+1) 2-кольорового 2n-шаблону помiтимо номером i,
0 ≤ i ≤ (n − 1); сiру дугу (2n − 1, 0) – мiткою �0, а кожну сiру
дугу (2j − 1, 2j) – номером �j, 0 ≤ j ≤ (n− 1).
Нехай далi D ∈ �1;n та має єдиний сiрий (чорний) цикл.
Обхiд цього циклу обов’язково починаємо з обходу дуги �0 (вiд-
повiдно 0) у (додатному) напрямку за годинниковою стрiлкою
та послiдовно виписуємо номери-позначки сiрих (чорних) дуг,
якi зустрiчаються при обходi єдиного сiрого (чорного) циклу.
Причому оснащення знаком «мiнус» вiдбувається лише для тих
номерiв-позначок �j, напрямок обходу дуг яких збiгався з рухом
проти годинникової стрiлки.
Якщо D ∈ �O
1;n, то обхiд кожної iз сiрих дуг (при обходi у за-
значений спосiб єдиного сiрого циклу) вiдбувається виключно
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 113
за годинниковою стрiлкою, i тому серед елементiв вiдповiдно-
го циклу w(D) = (�0,�w1, ...., �wn−1) немає вiд’ємних. Звiдки й
випливає, що π(D) = π (w(D)) = �w1, ...., wn� ∈ S+
n−1.
Якщо ж D ∈ �N
1;n, то дiаграма мiстить щонайменше двi хор-
ди, якi сполучають вершини з номерами однакової парностi.
Нехай [2i, 2j], (i < j) — одна з них. Якщо при обходi сiрого
циклу прохiд вздовж хорди [2i, 2j] вiдбувався вiд 2i до 2j, то
напрямок обходу дуги �i додатнiй, а дуги �j — вiд’ємний; якщо
ж вiд 2j до 2i, то напрямок обходу дуги �j додатнiй, а дуги �i—
вiд’ємний. Таким чином, серед елементiв вiдповiдного циклу
w(D) є вiд’ємнi i тому π(D) ∈ S−
n−1.
Приклад 1.14. Дiаграму D1, зображену на рис. 1.1b), можна
ототожнити iз циклом w(D1) = (0, 5, 1, 9, 4, 7, 6, 2, 8, 3) та пере-
становкою π1 = �5, 1, 9, 4, 7, 6, 2, 8, 3�, а дiаграму D2, зображену
на рис. 1.1c), — iз циклом w(D2) = (0, 5, 1, 9,−4, 7, 6, 2, 8, 3) та
перестановкою π2 = �5, 1, 9,−4, 7, 6, 2, 8, 3�.
Зауваження 1.15. З урахуванням введених позначень та, як
слiдує з роботи [7], число чорних циклiв дiаграми D ∈ �O
1;n
збiгається з числом циклiв композицiї w−1 ◦ τ0, де w = w(D) i
τ0 = (0, 1, 2, ..., n−1). Вiдмiтимо також, що цикли декомпозицiї
b = w−1 ◦ τ0 — суть чорнi цикли дiаграми.
Означення 1.16. [19], [11] Нехай π = �πi�— перестановка
з S±
m. Перетворимо її у (неоснащену) перестановку π� = �π�
i�
з S+
2m за допомогою вiдображення α, при якому для кожного
1 ≤ i ≤ m елемент πi вiдображається у впорядковану пару
α(πi) = {π�
2i−1,π
�
2i} =
�
{2πi − 1, 2πi}, πi > 0 ,
{2|πi|, 2|πi|− 1}, πi < 0 .
«Breakpoint»-графом перестановки π (надалi —BG-граф π,
або ж коротко BG(π)) називатимемо (неорiєнтований) дво-
кольоровий граф BG(π) iз впорядкованою множиною вершин
π�
0 = 0,π�
1,π
�
2, ...,π
�
2m,π�
2m+1 = 2m + 1, множина ребер якого є
об’єднанням двох «досконалих паросполучень» (perfect match-
ings ) на вершинах {0, 1, ..., 2m+ 1}, а саме:
114 О. А. Кадубовський
• чорнi ребра (надалi – дуги)
δB(π) = {{π�
2i,π
�
2i+1}|0 ≤ i ≤ m};
• сiрi ребра (надалi – хорди)
δG = {{2i, 2i+ 1}|0 ≤ i ≤ m}.
Iншими словами, BG(π) = δB(π) ∪ δG — рис. 1.2 b) i c).
На рис. 1.2b) зображено BG-граф для перестановки
π = �7, 4, 6, 1, 8, 3, 5, 2�,
який розкладається у 3 цикли: два 2-цикли та один 5-цикл;
на рис. 1.2 c)—BG(π) для π = �6, 5,−7,−1,−8,−2, 4, 3�, який
розкладається у єдиний 9-цикл.
)a )b )c
'
00 π=
'
17 17π =
11 6
12
9
10
14
5
8
1 16
15 2
3
4
7
13
'
00 π=
'
17 17π =
13 4
14
7
8
11
3
10
2 15
16 1
6
5
9
12
'
0 0π =
'
2 12 1 mm π ++ =
'
1π
'
2mπ
'
2π
'
3π
'
4π
'
5π
'
2 1mπ −
'
2 2mπ −
'
2lπ
...
'
2 1lπ +
...
0ɵ
1ɵ
ɵ2
3ɵ
lɵ
1l +
m
1m −
0
1
2
l
m
1m −
Рис. 1.2
a) BGm-шаблон; b) BG(π), π = �7, 4, 6, 1, 8, 3, 5, 2� ∈ S+
8 ;
c) BG(π), π = �6, 5,−7,−1,−8,−2, 4, 3� ∈ S−
8
Зауваження 1.17. З урахуванням означення 1.16 (заради зру-
чностi та без втрати загальностi) в подальшому будемо вважа-
ти, що для кожної π ∈ S±
m ї ї BG-граф будується на основi
BGm-шаблону— рис. 1.2a). Пiд BGm-шаблоном будемо розу-
мiти 1-регулярний граф, який складається з:
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 115
• 2m+2 точок, що є вершинами правильного (2m+2)-кутника i
занумерованi за годинниковою стрiлкою за допомогою мiток
π�
0 = 0,π�
1,π
�
2, ...,π
�
2m,π�
2m+1 = 2m+ 1, та
• m + 1 ребра— чорних дуг δB(π) = {{π�
2i,π
�
2i+1}|0 ≤ i ≤ m},
описаного навколо зазначеного (2m+ 2)-кутника кола.
Крiм того, кожну чорну дугу {π�
2i,π
�
2i+1} помiтимо номером i,
дугу {2m+ 1, 0} – �0, а кожну дугу {π�
2i−1,π
�
2i} – номером �i.
Нагадаємо, що паросполученням у графi називають множи-
ну попарно несумiжних ребер. Досконалим паросполученням
(або ж 1-фактором) називають паросполучення, в якому зу-
стрiчаються усi вершини графа. Через Fn позначають множи-
ну 1-факторiв на вершинах {0, 1, 2, ..., 2n − 1}, зокрема через
ε = {{i, n+ i}|0 ≤ i ≤ n− 1}— «тотожний» 1-фактор.
Означення 1.18 ( [11]). Конфiгурацiєю називають об’єдна-
ння двох досконалих паросполучень δB i δG в {0, 1, ..., 2m+ 1},
де δG = {{2i, 2i+ 1}|0 ≤ i ≤ m}.
Доповненням конфiгурацiї C = δB ∪ δG називають конфi-
гурацiю C = δB∪�δG, де �δG = {{2i−1, 2i}|1 ≤ i ≤ m}∪{2m+1, 0}.
Має мiсце характеристична властивiсть «breakpoint»-графiв.
Твердження 1.19. [11, Lemma 5.1.] Конфiгурацiя C = δB∪δG
є «breakpoint»-графом певної оснащеної перестановки π тодi i
лише тодi, коли її доповнення C = δB ∪ �δG є гамiльтонiаном.
Означення 1.20. Введемо наступнi позначення:
• S+
m,k —множина тих перестановок з S+
m, чиї BG-графи роз-
кладаються у k циклiв, BG+
m,k – множина вiдповiдних BG-
графiв, S+
H(m, k) = |S+
m,k| = |BG+
m,k|— «Hultman number»;
• S±
m,k —множина тих перестановок з S±
m, чиї BG-графи роз-
кладаються у k циклiв, BG±
m,k – множина вiдповiдних BG-
графiв, S±
H(m, k) = |S±
m,k| = |BG±
m,k|;
• S−
m,k = S±
m,k\S+
m,k, BG−
m,k – множина вiдповiдних BG-графiв,
S−
H(m, k) = |S−
m,k| = |S±
m,k|− |S+
m,k|.
116 О. А. Кадубовський
Слiд зазначити, що проблемам пiдрахунку величин S+
H(m, k)
i S±
H(m, k) та сумiжним питанням присвячена цiла низка робiт
(напр., [20], [21], [22], [23], [11]). Однак нижче ми наведемо вi-
домi результати виключно для випадку k = 1.
Так, наприклад, у 1980 р. в роботi [20] та пiзнiше в [23] було
встановлено справедливiсть формули
S+
H(m, 1) =
�
2·m!
m+2 , m = 2l
0, m �= 2l,
(1.4)
а в 1992 р. у роботi [21] та пiзнiше в [11] – справедливiсть фор-
мул
S±
H(g; 1) =
23g+1 · (g + 1)! · (g!)2
(2g + 2)!
+
+
g�
i=1
min(i,g+1−i)�
j=1
c(i; j) ·
�
2i−j−1(2j)!(i− 1)!(g + 2− i− j)!
(2j − 1)j!
�2
, (1.5)
де
c(i; j) =
(−1)g+2+i−j · 2i−j+1 · (g + 1) · (2i− 2j + 1) · (i− 1)!
(g + 2 + i− j)(g + 1 + i− j)(g + 1− i+ j)(g − i+ j)
×
× 1
(g + 1− i− j)!(2i− 1)!(j − 1)!
. (1.6)
Зауважимо, що задача про пiдрахунок
• величини S+
H(m, k) є рiвносильною до задачi про пiдрахунок
числа представлень фiксованого (m+1)-циклу у виглядi ком-
позицiї ρ ◦ ω, де ρ – (m + 1)-цикл, ω ∈ S+
m+1 з c(ω) = k (яка
розкладається у k циклiв) [20], [23], [11], а
• величини S±
H(m, k)— задачi про пiдрахунок тих τ з Fm+1, при
яких c(δG∪τ) = k i c(τ∪�δG) = 1 (c(·)— число циклiв) [21], [11].
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 117
2. «Breakpoint»-графи та 2-кольоровi дiаграми з
одним (сiрим) циклом певного кольору
Означення 2.1. Нехай π ∈ S±
m. �BG(π)-графом будемо на-
зивати BG(π)-граф, який доповнено (до 3-регулярного графу)
сiрими дугами {2m + 1, 0} i {2i − 1, 2i} (1 ≤ i ≤ m) BG2m-
шаблону. Iншими словами (з урахуванням означень 1.16, 1.18),
�BG(π) = δB(π) ∪ δG ∪ �δG.
Позначимо далi через�BG
±
m, �BG
±
m,k, �BG
+
m,k i �BG
−
m,k множини
�BG-графiв для перестановок з S±
m, S±
m,k, S
+
m,k та S
−
m,k вiдповiд-
но. Тодi очевидно, що елементи множин �BG
±
m, �BG
±
m,k, �BG
+
m,k
i �BG
−
m,k (перебуваючи у взаємно однозначнiй вiдповiдностi з
елементами множин BG±
m, BG±
m,k, BG+
m,k i BG−
m,k вiдповiдно)
перебувають у взаємно однозначнiй вiдповiдностi з елементами
множин S±
m, S±
m,k, S
+
m,k та S
−
m,k вiдповiдно.
Зауваження 2.2. Без втрати загальностi, можна вважати, що
кожну 2-кольорову дiаграму D ∈ �1,k;n побудовано на �BGm-
шаблонi (m = n− 1) — рис. 2.3 a), b).
Тодi кожнiй дiаграмi D ∈ �1,n однозначно можна поставити
у вiдповiднiсть перестановку π = π(D) ∈ S±
n−1, �BG-граф якої
збiгається з D. Пояснимо, як задається ця вiдповiднiсть.
1) Оскiльки D має один сiрий цикл, то при його обходi, почи-
наючи з �0-ої сiрої дуги {2n−1, 0} за годинниковою стрiлкою, ми
рухаємося вздовж хорди, одним iз кiнцiв якої є вершина 0, до
другого її кiнця на �BGn−1-шаблонi — вершини 1. Подальший
напрямок руху по колу визначається сiрою дугою, що iнциден-
тна вершинi 1, другий її кiнець позначимо 2. Далi за алгори-
тмом: вiд вершини 2i рухаємося вздовж вiдповiдної хорди та
позначаємо другий її кiнець номером (2i+1), другий кiнець iн-
цидентної сiрої хорди— номером (2i+2), i так до тих пiр, поки
не повернемося до (2n−1)-вершини �0-ої сiрої дуги— рис. 2.3c).
118 О. А. Кадубовський
2) В результатi кiнцi кожної сiрої дуги (крiм помiченої �0-ої)
буде занумеровано парою {π�
2i−1,π
�
2i} послiдовних натуральних
чисел з {1, 2, ..., 2n− 2}.
3) Пропускаючи вершину 0 i рухаючись за годинниковою
стрiлкою, випишемо привласненi номери вершинам �BGn−1-ша-
блону. В результатi одержимо перестановку
π� = π�(D) = �π�
1,π
�
2, ...,π
�
2i−1,π
�
2i, ...,π
�
2n−3,π
�
2n−2� ∈ S+
2n−2.
4) З урахуванням 2) та за допомогою вiдображення α−1 (α—
з означення 1.16) перестановцi π� = π�(D) однозначно ставиться
у вiдповiднiсть перестановка π = π(π�(D)) = �πi� ∈ S±
n−1, а
саме: для кожного 1 ≤ i ≤ (n− 1)
α−1
�
{π�
2i−1,π
�
2i}
�
= πi =
+
π�
2i
2
, π�
2i−1 − непарне,
−π�
2i−1
2
, π�
2i−1 − парне.
)a )b )c
017
13 3
14
7
8
11
4
10
215
16 1
6
5
9
12
0170 2 1m +
...
...
0ɵ
1ɵ
ɵ2
3ɵ
lɵ 1l +
m
1m −
0
1
2
l
m
1m −
Рис. 2.3
a) �BGm-шаблон; b) D ∈ �N
1,2;8;
c) π� = π�(D) = �13, 14, 7, 8, 11, 12, 1, 2, 15, 16, 5, 6, 9, 10, 4, 3� π =
π (π�(D)) = π(D) = �7, 4, 6, 1, 8, 3, 5,−2� ∈ S−
8,2, �BG(π) ≡ D
Таким чином, кожнiй дiаграмi D ∈ �1,n однозначно постав-
лено у вiдповiднiсть перестановку π = π(D) ∈ S±
n−1, �BG-граф
якої збiгається з D.
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 119
Зокрема, кожнiй дiаграмi D з класу �O
1,n однозначно стави-
ться у вiдповiднiсть перестановка π = π(D) ∈ S+
n−1, а кожнiй
дiаграмi D з класу �N
1,n — перестановка π = π(D) ∈ S−
n−1 (�BG-
граф якої збiгається з D).
I навпаки: кожнiй перестановцi π з S+
n−1 (з S−
n−1) однозначно
ставиться у вiдповiднiсть BG(π), а тому й �BG(π)— дiаграма
D = D(π) саме з класу �O
1,n (з класу �N
1,n вiдповiдно).
З урахуванням зазначеного, означення 2.1 та зауваження 2.2
дiаграми D ∈ �1,n та �BG (π(D)) ∈ �BG
±
n−1 можна ототожнюва-
ти. Так само можна ототожнювати �BG(π) ∈ �BG
±
n−1 та дiагра-
ми D(π) ∈ �1,n. Отже елементи множин �O
1,n i S+
n−1 та �N
1,n i
S−
n−1 перебувають у взаємно однозначнiй вiдповiдностi.
Бiльше того, оскiльки число k чорних циклiв 2-кольорової
дiаграми D(π) ≡ �BG(π) ∈ �1,k,n збiгається iз числом циклiв
BG(π), то π ∈ S±
n−1,k. I навпаки, якщо π ∈ S±
n−1,k, то BG(π) ∈
BG±
n−1,k, а тому �BG(π) ∈ BG±
n−1,k ≡ �1,k,n.
Таким чином, встановлено бiєкцiю мiж елементами множин
�1,k;n та S±
n−1,k. Бiльш того, мають мiсце такi твердження.
Твердження 2.3. Елементи множин �O
1,k;n i S+
n−1,k перебу-
вають у взаємно однозначнiй вiдповiдностi.
Твердження 2.4. Елементи множин �N
1,k;n i S−
n−1,k перебу-
вають у взаємно однозначнiй вiдповiдностi.
Наслiдок 2.5.
|�1,k;n| =
���S±
n−1,k
��� = S±
H(n− 1, k). (2.7)
���O
1,k;n
�� =
���S+
n−1,k
��� = S+
H(n− 1, k). (2.8)
Означення 2.6. Нехай σ = �σi� ∈ S+
2m. Якщо для кожного
1 ≤ i ≤ m виконується рiвнiсть σi+σ2m+1−i = 2m+1, то та-
ку перестановку σ будемо називати симетричною, множину
120 О. А. Кадубовський
всiх таких перестановок позначати �S+
2m, а множину вiдпо-
вiдних дiаграм D(σ) ≡ �BG(σ) ∈ �O
1,2m+1 — як ��O
1,2m+1.
Твердження 2.7. Дiаграма D ≡ �BG(σ) є симетричною вiдно-
сно осi симетрiї �BG2m-шаблону, яка проходить через середини
�0-ої сiрої та m-ої чорної дуг, тодi i лише тодi, коли σ ∈ �S+
2m.
3. Перерахування топологiчно нееквiвалентних
гладких мiнiмальних функцiй на замкнених
орiєнтованих поверхнях роду g ≥ 0
3.1. Класифiкацiйна теорема та iлюстративнi приклади
до початкових значень. В [3] встановлено, що для довiльної
функцiї f з класу Ck,l(Mg) (повним) топологiчним iнварiантом
є 2-кольорова хордова O-дiаграма D(f) з n = 2g − 1 + k + l
хордами, яка має точно k чорних (сiрих) та l сiрих (чорних)
циклiв. Тобто дiаграма з класу �O
k,l;n (n = 2g−1+k+l). Зокрема
має мiсце таке твердження:
Теорема 3.2. [3] Двi функцiї f1 i f2 з класу C1,1(Mg) бу-
дуть O-топологiчно еквiвалентними (топологiчно еквiвален-
тними) тодi i лише тодi, коли вiдповiднi їм дiаграми D(f1)
i D(f2) з класу �O
1,1;n (n = 2g + 1) є еквiвалентними вiдносно
дiї циклiчної (вiдповiдно дiедральної) групи. Число топологiчно
нееквiвалентних функцiй з класу C1,1(Mg) дорiвнює числу не-
еквiвалентних (вiдносно дiї дiедральної групи) дiаграм з класу
�O
1,1;n (n = 2g + 1).
Приклад 3.3. При g = 0 iснує єдина дiаграма з класу �O
1,1;1,
рис. 3.4a), при g = 1— також єдина дiаграма з класу �O
1,1;3,
рис. 3.4b), для g = 2 маємо рiвно 4 нееквiвалентнi дiаграми з
класу �O
1,1;5, рис. 3.4c), а для g = 3 iснує 25 нееквiвалентних
дiаграм з класу �O
1,1;7, рис. 3.5. Таким чином, для початкових
g = 0, 1, 2, 3 число топологiчно нееквiвалентних функцiй з кла-
су C1,1(Mg) становить 1, 1, 4 i 25 вiдповiдно.
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 121
)a )b 1 2 3 4
)c
Рис. 3.4. (Топологiчнi) iнварiанти для то-
пологiчно нееквiвалентних функцiй з класiв
C1,1(M0), C1,1(M1) i C1,1(M2) вiдповiдно.
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
Рис. 3.5. (Топологiчнi) iнварiанти для тополо-
гiчно нееквiвалентних функцiй з класу C1,1(M3).
122 О. А. Кадубовський
Формалiзуємо зазначену задачу для довiльного g ≥ 0.
За лемою Бернсайда та з урахуванням результатiв робiт [3]
i [7] число нееквiвалентних (вiдносно дiї дiедральної групи по-
рядку 2n) дiаграм з класу �O
1,1;n (n = 2g+1) може бути визна-
чено за допомогою спiввiдношення
d∗∗O (n) =
1
2
·
�
d∗O(n) + SO(n)
�
, (3.9)
де d∗O(n)— число неiзоморфних (нееквiвалентних вiдносно дiї
циклiчної групи порядку n) дiаграм з класу �O
1,1;n;
SO(n)— число тих дiаграм з класу �O
1,1;n, що є симетричними
вiдносно фiксованої осi симетрiї 2-кольорового 2n-шаблону
(надалi, коротко, — симетричних дiаграм з класу �O
1,1;n).
Таким чином, вирiшення зазначеної проблеми зводиться до
задачi про пiдрахунок числа тих дiаграм з класу �O
1,1;2g+1, якi
є симетричними вiдносно фiксованої осi симетрiї 2-кольорового
(4g + 2)-шаблону.
Розв’язанню цiєї задачi й присвячено наступний пiдпункт.
3.4. Перерахування симетричних дiаграм класу �O
1,1;2g+1.
Очевидно, що безпосереднiм наслiдком означення 2.6, твердже-
ння 2.7 та вiдповiдної формули з (1.1) є справедливiсть насту-
пних рiвностей
�����O
1,2g+1
��� =
��� �S+
2g
��� =
��S±
g
�� = g! · 2g. (3.10)
Позначимо далi через ��O
1,1;2g+1 множину тих (симетричних)
дiаграм з ��O
1,2g+1, якi мають 1 сiрий та 1 чорний цикл (тобто,
множину тих дiаграм з �O
1,1;2g+1, що є симетричними вiдносно
осi симетрiї �BG2g-шаблону, яка проходить через середини �0-ої
сiрої та g-ої чорної дуг).
З урахуванням прикладу 3, для початкових g = 0, 1, 2, 3 зна-
чення величини SO(2g + 1) становлять 1, 1, 4 i 20 (на рис. 3.5
це дiаграми 1–20) вiдповiдно. У роботi [8] в явному виглядi на-
ведено всi 148 симетричних дiаграм з класу �O
1,1;9 (g = 4).
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 123
Бiльш того, з урахуванням результатiв [8], при 1 ≤ g ≤ 9
вiдповiднi значення величин SO(2g + 1) i S±
H(g; 1) збiгаються.
Тому є всi пiдстави для висунення гiпотези щодо збiг величин
при довiльному g ≥ 1.
Нехай π ∈ S±
m. Трансформуємо перестановку π = �πi� у не-
оснащену перестановку σ = �σ1, ...,σm,σm+1, ...,σ2m� ∈ �S+
2m за
допомогою вiдображення κ : S±
m �→ �S+
2m, при якому ∀i ∈ [m]
κ : πi �→ {σi,σ2m+1−i} =
�
{πi, 2m+ 1− πi}, πi > 0
{2m+ 1− |πi|, |πi|}, πi < 0.
Очевидно, що κ є бiєктивним та для всiх i ∈ [m]
κ−1 : {σi,σ2m+1−i} �−→ πi =
�
+σi, σi ≤ m
−σ2m+1−i, σi > m.
Нехай далi �S+
2m,1 — множина тих σ ∈ �S+
2m, чиї BG-графи роз-
кладаються в 1 цикл. Iншими словами, множина тих σ ∈ �S+
2m,
при яких BG(σ) ∈ BG+
2m,1 (або ж �BG(σ) ∈ �BG
+
2m,1).
Зауваження 3.5. З урахуванням твердження 2.7, кожну дiа-
граму D ∈ ��O
1,2g+1 можна ототожнити iз перестановкою σ ∈ �S+
2g
(�BG(σ) ≡ D). А за допомогою вiдображення κ— iз перестанов-
кою π = κ−1(σ) ∈ S±
g . Бiльше того, в iлюстративних прикла-
дах 3.6 i 3.7 показано, що кожну дiаграму D з класу ��O
1,1;2g+1
можна ототожнити з (оснащеною) перестановкою π = π(D) са-
ме iз класу S±
g,1. I навпаки.
Приклад 3.6. При g = 2 iснує лише чотири дiаграми з класу
��O
1,1;5, рис. 3.4c). Кожну з них (рис. 3.6) можна ототожнити iз
вiдповiдними перестановками πi ∈ S±
2,1:
1) σ�
1 = σ�
1(D1) = �7, 8; 5, 6; 3, 4; 1, 2� α−1
�−→
�−→ σ1 = �4, 3 | 2, 1� κ−1
�−→ π1 = �−1,−2�,
124 О. А. Кадубовський
2) σ�
2 = σ�
2(D2) = �3, 4; 7, 8; 1, 2; 5, 6� α−1
�−→
�−→ σ2 = �2, 4 | 1, 3� κ−1
�−→ π2 = �+2,−1�,
3) σ�
3 = σ�
3(D3) = �5, 6; 1, 2; 7, 8; 3, 4� α−1
�−→
�−→ σ3 = �3, 1 | 4, 2� κ−1
�−→ π3 = �−2,+1�,
3) σ�
4 = σ�
4(D4) = �3, 4; 1, 2; 7, 8; 5, 6� α−1
�−→
�−→ σ4 = �2, 1 | 4, 3� κ−1
�−→ π4 = �+2,+1�.
� ( )1 1D BG σ= � ( )1BG π � ( )2 2D BG σ= � ( )2BG π
1 14,3 | 2,1 1, 2σ π= ↔ − − =
2 22,4 |1,3 2, 1σ π= ↔ + − =
� ( )3 3D BG σ= � ( )3BG π � ( )4 4D BG σ= � ( )4BG π
3 33,1| 4,2 2, 1σ π= ↔ − + =
4 42,1| 4,3 2, 1σ π= ↔ + + =
Рис. 3.6
Таким чином,
�����O
1,1;5
��� = S±
H(2, 1).
Приклад 3.7. На рис. 3.7 наведено всi 20 перестановок π ∈
S±
3,1, вiдповiднi �BG(π)-графи з �BG
±
3,1 та вiдповiдно всi симе-
тричнi �BG(σ) = �BG (κ(π))-дiаграми з ��O
1,1;7. Отже,
�����O
1,1;7
��� = S±
H(3, 1).
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 125
Як з’ясувалося, мають мiсце наступнi твердження:
Лема 3.8. Якщо σ ∈ �S+
2m,1, то π = κ−1(σ) ∈ S±
m,1. I навпаки:
якщо π ∈ S±
m,1, то σ = κ(π) ∈ �S+
2m,1.
Таким чином, справедливим є твердження
Лема 3.9. [9] Для довiльного натурального g справджується
рiвнiсть
SO(n) =
�����O
1,1;2g+1
��� =
��� �S+
2g,1
��� =
���S±
g,1
��� = S±
H(g, 1). (3.11)
Початковi значення числа dO(n) всiх дiаграм з класу �O
1,1;n
та числа SO(n) симетричних дiаграм з цього класу подано у
таблицi 3.1. З урахуванням леми 3.9, має мiсце основний ре-
зультат
Теорема 3.10. Число нееквiвалентних (вiдносно дiї дiедраль-
ної групи) дiаграм з класу �O
1,1;n (n = 2g+1) можна обчислити
за допомогою спiввiдношення
d∗∗O (n) =
1
2
·
�
d∗O(n) + S±
H
�
n−1
2 ; 1
��
, (3.12)
де величина d∗O(n) (з урахуванням результатiв роботи [7]) мо-
же бути визначена за такими формулами:
d∗O(n) =
1
n
dO(n) +
�
i|n, i�=n
φ
�n
i
�
· ρ(n, i)
, (3.13)
ρ(n, i) = d(i) · φ∗
�n
i
�
·
�n
i
�i−1
. (3.14)
В цих формулах ρ(n, i)— число тих дiаграм з класу �O
1,1;n, якi
«самосумiщуються» при поворотi на кут ωi =
2π
2n · 2i навко-
ло центру 2-кольорового 2n-шаблону (за годинниковою стрiл-
кою),
dO(n) =
���O
1,1;n
�� = 2(n− 1)!
n+ 1
=
(2g)!
g + 1
= SH(2g; 1),
126 О. А. Кадубовський
1 1, 2, 3π = − − − 5 3, 1, 2π = − + − 9 3, 1, 2π = − − +
2 3, 2, 1π = − + + 6 2, 3, 1π = − + − 10 2, 1, 3π = + − −
3 3, 2, 1π = + − + 7 1, 3, 2π = − + − 11 1, 3, 2π = − − +
4 3, 2, 1π = + + − 8 2, 1, 3π = − + − 12 2, 3, 1π = + − −
13 3, 1, 2π = − − − 14 2, 3, 1π = − + + 15 3, 1, 2π = + − +
16 2, 1, 3π = + + − 17 3, 1, 2π = + + −
18 2, 3, 1π = − − − 19 1, 3, 2π = − + + 20 2, 3, 1π = + − +
Рис. 3.7. �BG(σi), �BG(πi), πi ∈ S±
3,1, 1 ≤ i ≤ 20
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 127
d(i) = 2(i−1)!
i+1 , φ(q) = |{1 ≤ h < q | gcd(h, q) = 1}|— функцiя Ей-
лера,
φ∗(q) = |{1 ≤ h < q | gcd(h, q) = 1 = gcd(h+ 1, q)}| ,
gcd(a, b)— найбiльший спiльний дiльник натуральних a i b, а
величина S±
H
�
n−1
2 ; 1
�
= S±
H(g; 1) визначається за формулами
(1.5)–(1.6).
Наслiдок 3.11. Число топологiчно нееквiвалентних функцiй
з класу C1,1(Mg) можна знайти за формулами (3.12)–(3.14),
(1.5)–(1.6).
Початковi значення числа неiзоморфних d∗O(n) та числа не-
еквiвалентних d∗∗O (n) дiаграм з класу �O
1,1;n (n = 2g+1) подано
у таблицi 3.2.
4. Перерахування топологiчно нееквiвалентних
гладких мiнiмальних функцiй на замкнених
неорiєнтовних поверхнях роду g ≥ 1
4.1. Класифiкацiйна теорема та початковi результати.
В роботах [3], [4] встановлено, що для довiльної функцiї f з
класу Ck,l(Ng) (повним) топологiчним iнварiантом є 2-кольо-
рова хордова N -дiаграма D(f) з n = g− 1+ k+ l хордами, яка
має точно k чорних (або ж сiрих) та l сiрих (вiдповiдно чор-
них) циклiв. Тобто дiаграма з класу �N
k,l;n (n = g − 1 + k + l).
Зокрема має мiсце твердження
Теорема 4.2 ( [4]). Двi функцiї f1 i f2 з класу C1,1(Ng) є то-
пологiчно еквiвалентними тодi i лише тодi, коли вiдповiднi
їм дiаграми D(f1) i D(f2) з класу �N
1,1;n (n = g + 1) є еквiва-
лентними вiдносно дiї дiедральної групи. Число топологiчно
нееквiвалентних функцiй з класу C1,1(Ng) дорiвнює числу не-
еквiвалентних (вiдносно дiї дiедральної групи порядку 2n) дiа-
грам з класу �N
1,1;n (n = g + 1).
Приклад 4.3. При g = 1 iснує єдина дiаграма з класу �N
1,1;2,
рис. 4.8a), при g = 2 iснує також єдина дiаграма з класу �N
1,1;3,
128 О. А. Кадубовський
g n dO(n) =
(2g)!
g+1 = SH(2g, 1), SO(n) = S±
H(g, 1),
послiдвнiсть A060593 в [24] послiд. A001171 в [24]
0 1 1 1
1 3 1 1
2 5 8 4
3 7 180 20
4 9 8 064 148
5 11 604 800 1 348
6 13 68 428 800 15 104
7 15 10 897 286 400 198 144
8 17 2 324 754 432 000 2 998 656
9 19 640 237 370 572 800 51 290 496
10 21 221 172 909 834 240 000 979 732 224
11 23 93 666 727 314 800 640 000 20 661 458 688
Табл. 3.1. Початковi значення величин dO(n)
та SO(n), n = 2g + 1
g n d∗O(n) d∗∗O (n) =
d∗
O(n)+SO(n)
2
0 1 1 1
1 3 1 1
2 5 4 4
3 7 30 25
4 9 900 524
5 11 54 990 28 169
6 13 5 263 764 2 639 434
7 15 726 485 868 363 342 006
8 17 136 750 260 720 68 376 629 688
9 19 33 696 703 714 374 16 848 377 502 435
10 21 10 532 043 325 452 570 5 266 022 152 592 360
11 23 4 072 466 404 991 332 194 2 036 233 212 826 395 441
Табл. 3.2. Початковi значення величин d∗O(n)
та d∗∗O (n), n = 2g + 1
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 129
рис. 4.8b), для g = 3 маємо рiвно 4 нееквiвалентнi дiаграми з
класу �N
1,1;4, рис. 4.8c), а при g = 4 iснує 20 нееквiвалентних
дiаграм з класу �N
1,1;5, рис. 4.9. Таким чином, для початкових
g = 1, 2, 3, 4 число топологiчно нееквiвалентних функцiй з кла-
су C1,1(Ng) становить 1, 1, 4 i 20 вiдповiдно.
В загальному ж випадку (для натуральних g ≥ 1) ця задача
i до сьогоднi залишається нерозв’язаною.
)a )b 1 2 3 4
)c
Рис. 4.8. (Топологiчнi) iнварiанти для тополо-
гiчно нееквiвалентних функцiй з класiв C1,1(N1),
C1,1(N2) i C1,1(N3) вiдповiдно.
Проте, як з’ясувалося, iснує безпосереднiй зв’язок мiж шу-
каною та наведеними вище величинами S±
H(g, 1) та SH(g, 1). А
вирiшення зазначеної проблеми зводиться до розв’язання за-
дач про пiдрахунок тих дiаграм з класу �N
1,1;n (n = g + 1), якi
мають симетрiї (вiдносно повороту та/або вiдбиття).
Твердження 4.4. Для натуральних n = g+1 > 1 число dN (n)
дiаграм з класу �N
1,1;n можна обчислити за формулами
dN (n) = S±
H(n− 1, 1)− SH(n− 1, 1) =
= S±
H(g, 1)− SH(g, 1) =
�
S±
H(g, 1)− 2·g!
g+2 , g = 2m
S±
H(g, 1), g �= 2m.
(4.15)
Доведення. З урахуванням пункту 2, при n = g+ 1 i 1 ≤ k ≤ n
число дiаграм з класу �1,k;n збiгається iз числом S±
H(g, k) пере-
становок з S±
g,k. Проте серед них точно S+
H(g, k) перестановок,
130 О. А. Кадубовський
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20
Рис. 4.9. (Топологiчнi) iнварiанти для тополо-
гiчно нееквiвалентних функцiй з класу C1,1(N4).
якi визначають пiдклас �O
1,k;n саме O-дiаграм з класу �1,k;n.
Тому число dN (n, k) дiаграм з класу �N
1,k;n можна обчислити
за допомогою спiввiдношення
dN (g + 1, k) = S±
H(g, k)− S+
H(g, k).
З урахуванням спiввiдношення (1.4), при k = 1 для натураль-
них g = n− 1 маємо справедливiсть формули (4.15). �
Лема 4.5. Для довiльного простого n = g+1 > 2 число d∗N (n)
неiзоморфних дiаграм з класу �N
1,1;n можна обчислити за та-
кою формулою:
d∗N (n) =
dN (n)
n
=
1
g + 1
�
S±
H(g, 1)− SH(g, 1)
�
. (4.16)
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 131
g n = S±
H(g, 1), SH(g, 1), dN (n) =
g + 1 A001171 в [24] A060593 в [24] S±
H(g, 1)− SH(g, 1)
1 2 1 0 1
2 3 4 1 3
3 4 20 0 20
4 5 148 8 140
5 6 1 348 0 1 348
6 7 15 104 180 14 924
7 8 198 144 0 198 144
8 9 2 998 656 8 064 2 990 592
9 10 51 290 496 0 51 290 496
10 11 979 732 224 604 800 979 127 424
11 12 20 661 458 688 0 20 661 458 688
12 13 476 936 766 720 68 428 800 476 868 337 920
Табл. 4.3. Початковi значення величин dN (n)
Доведення. За лемою Бернсайда (та з урахуванням, наприклад,
результатiв робiт [7] та [10]) число d∗N (n) неiзоморфних (вiдно-
сно дiї циклiчно групи) дiаграм з класу �N
1,1;n можна обчислити
за допомогою спiввiдношення
d∗N (n) =
1
n
dN (n) +
�
i|n, i�=n
φ
�n
i
�
· ν(n, i)
, (4.17)
де ν(n, i)— число тих дiаграм з класу �N
1,1;n, якi «самосумiщу-
ються» при поворотi на кут ωn,i = 2π·i
n навколо центру 2-ко-
льорового 2n-шаблону (за годинниковою стрiлкою), а φ(q)—
функцiя Ейлера.
Оскiльки n є простим, то знаходження (4.17) зводиться до
обчислення величини ν(n, 1). В [10, лема 2.2] було встановлено,
що для непарних n число ρ(n, i) тих дiаграм з класу �N
n;1, якi
самосумiщуються при поворотi на кут ωn,i (i|n) навколо центру
2-кольорового 2n-шаблону (за годинниковою стрiлкою), можна
132 О. А. Кадубовський
обчислити за формулою
ρ(n, i) = φ
�n
i
�
· (i− 1)! ·
�n
i
�i−1
·
�
2i−1 − 1
�
. (4.18)
Звiдки (для непарних n та класу �N
n;1) ρ(n, 1) ≡ 0. А з того, що
�N
1,1;n ⊂ �N
n;1 випливає, що ν(n, 1) = 0. �
Зауваження 4.6. З урахуванням леми 4.5 для числа неiзо-
морфних дiаграм з класу �N
1,1;n в якостi асимптотичної оцiнки
(при n → ∞) можна прийняти величину
δ∗(n) =
�
1
n
· dN (n)
�
.
4.7. Пiдрахунок числа нееквiвалентних дiаграм з кла-
сiв �N
1,1;6 та �N
1,1;7 (числа топологiчно нееквiвалентних
функцiй з класiв C1,1(N5) та C1,1(N6)).
Лема 4.8. Число нееквiвалентних (вiдносно дiї групи дiедра)
дiаграм з класу �N
1,1;6 становить 125, тобто
d∗∗N (6) = 125. (4.19)
Доведення. За лемою Бернсайда та з урахуванням, наприклад,
результатiв робiт [7] та [10], має мiсце рiвнiсть
d∗∗N (6) =
1
2
�
d∗N (6) +
1
2
�
s1(6) + s2(6)
��
, (4.20)
d∗N (6) =
1
6
�
dN (6) + φ(1)ν(6, 1) + φ(3)ν(6, 2) + ν(6, 3)
�
, (4.21)
де s1(6) (s2(6)) — число тих дiаграм з класу �N
1,1;6, що є симе-
тричними вiдносно фiксованої осi симетрiї I-го (II-го) типу, яка
проходить через середини дiаметрально протилежних чорних
(вiдповiдно сiрих) дуг 2-кольорового 12-шаблону, φ(q)—фун-
кцiя Ейлера (кiлькiсть натуральних менших за q чисел, взаєм-
но простих iз ним), а ν(6, i)— число тих дiаграм з класу �N
1,1;6,
якi самосумiщуються при поворотi (навколо центра 2-кольоро-
вого 12-шаблону) на кут ω6,i = 2π
6 · i = π
3 · i (у напрямку за
годинниковою стрiлкою).
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 133
Як випливає з [10], ν(n, 1) ≡ 0 для парних n > 2.
Всi дiаграми з класу �N
1,1;6, якi самосумiщуються при пово-
ротi на кут ω6,2 =
2π
3 , наведено на рис. 4.10. Тому ν(6, 2) = 4.
1 2 3 4
Рис. 4.10
Всi дiаграми з класу �N
1,1;6, якi самосумiщуються при пово-
ротi на кут ω6,3 = π, наведено на рис. 4.11.
Зауважимо, що кожна з них характеризується наявнiстю
рiвно двох «дiаметральних» хорд (що сполучають дiаметраль-
но протилежнi вершини шаблону), iнварiантних вiдносно по-
вороту на зазначений кут.
Отже, ν(6, 3) = 48. А з урахуванням спiввiдношення (4.21),
маємо
d∗N (6) =
1
6
�
1348 + 2 · 4 + 48
�
=
1404
6
= 234. (4.22)
Неважко перевiрити, що iснує точно:
• 16 дiаграм з класу �N
1,1;6, якi є симетричними вiдносно
фiксованої осi симетрiї I-го типу, рис. 4.12;
• 16 дiаграм з класу �N
1,1;6, якi є симетричними вiдносно
фiксованої осi симетрiї II-го типу, рис. 4.13.
Таким чином, s1(6) = s2(6) = 16.
З урахуванням спiввiдношення (4.20), остаточно маємо
d∗∗N (6) = 1
2
�
234 + 1
2 (16 + 16)
�
= 125.
Лему доведено. �
Зауваження 4.9. Рiвнiсть s1(6) = s2(6), одержана пiд час до-
ведення, не є випадковою, тому що для парних n зазначеною
134 О. А. Кадубовський
1 9 17 25 33 41
2 10 18 26 34 42
3 11 19 27 35 43
4 12 20 28 36 44
5 13 21 29 37 45
6 14 22 30 38 46
7 15 23 31 39 47
8 16 24 32 40 48
Рис. 4.11
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 135
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16
Рис. 4.12
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16
Рис. 4.13
властивiстю володiє кожен клас двокольорових n-дiаграм, якi
136 О. А. Кадубовський
мають однакову кiлькiсть чорних та сiрих циклiв. А тому спiв-
вiдношення для пiдрахунку числа нееквiвалентних дiаграм з
класу �N
1,1;2m набуває очевидного спрощення
d∗∗N (2m) =
1
2
�
d∗N (2m) + s(2m)
�
, (4.23)
де s(2m)— число дiаграм з класу �N
1,1;2m, що є симетрични-
ми вiдносно фiксованої осi симетрiї I-го (або II-го) типу, яка
проходить через середини дiаметрально протилежних чорних
(вiдповiдно сiрих) дуг 2-кольорового 2m-шаблону.
Наслiдок 4.10. Число топологiчно нееквiвалентних функцiй
з класу C1,1(N5) становить 125.
Лема 4.11. Число нееквiвалентних (вiдносно дiї групи дiедра)
дiаграм з класу �N
1,1;7 становить 1136, тобто
d∗∗N (7) = 1136. (4.24)
Доведення. За лемою Бернсайда та з урахуванням леми 4.5 має
мiсце рiвнiсть
d∗∗N (7) =
1
2
(d∗N (7) + s0(7)) =
1
2
�
dN (7)
7
+ s0(7)
�
, (4.25)
де s0(7)— число тих дiаграм з класу �N
1,1;7, що є симетричними
вiдносно фiксованої осi симетрiї (яка проходить через середини
дiаметрально протилежних сiрої та чорної дуг) 2-кольорового
14-шаблону.
Очевидно, що iснує лише 12 типiв симетричних (вiдносно фi-
ксованої осi симетрiї 2-кольорового 14-шаблону) 2-кольорових
N -дiаграм з 7 хордами, рис. 4.14.
Всi симетричнi дiаграми з класу �N
1,1;7 наведено за типами
на рисунках 4.15–4.18 нижче.
Таким чином s0(7) = 140. А з урахуванням спiввiдношення
(4.25), остаточно маємо d∗∗N (7) = 1
2 (2132 + 140) = 1136. �
Наслiдок 4.12. Число топологiчно нееквiвалентних функцiй
з класу C1,1(N6) становить 1136.
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 137
1 тип 2 тип 3 тип 4 тип 5 тип 6 тип
7 тип 8 тип 9 тип 10 тип 11 тип 12 тип
Рис. 4.14
g 1 2 3 4 5 6 10 12
n 2 3 4 5 6 7 11 13
d∗N (n) 1 1 6 28 234 2 132 89 011 584 36 682 179 840
d∗∗N (n) 1 1 4 20 125 1 136 ? ?
Табл. 4.4. Початковi значення величин d∗N (n)
та d∗∗N (n)
4.13. Асимптотична оцiнка для d∗∗N (n). Використовуючи ре-
зультати робiт [15], [14] та [10], не важко встановити, що для
певного класу Ln 2-кольорових n-дiаграм в якостi асимптоти-
чної оцiнки (при n → ∞) для числа нееквiвалентних (вiдносно
дiї групи дiедра порядку 2n) дiаграм iз зазначеного класу мо-
жна прийняти величину δn =
�
|Ln|
2n
�
.
Тому (з урахуванням зауваження 4.6) для числа нееквiва-
лентних дiаграм з класу �N
1,1;n в якостi асимптотичної оцiнки
при n → ∞ (в «першому наближеннi») можна прийняти вели-
чину δ∗∗(n) =
�
dN (n)
2n
�
.
Для першого i другого доданкiв суми (1.5) уведемо наступнi
позначення
SHN1(g) =
23g+1 · (g + 1)! · (g!)2
(2g + 2)!
,
138 О. А. Кадубовський
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28
29 30 31 32 33 34
35 36 37 38 39 40
Рис. 4.15. Всi симетричнi дiаграми з класу
�N
1,1;7 2, 3 i 4 типiв.
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 139
41 42 43 44 45 46
47 48 49 50 51 52
53 54 55 56
57 58 59 60 61 62
63 64 65 66 67 68
69 70 71 72 73 74
75 76 77 78 79 80
81 82 83 84
Рис. 4.16. Всi симетричнi дiаграми з класу
�N
1,1;7 5, 6 i 7 типiв.
140 О. А. Кадубовський
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
109 110 111 112
113 114 115 116 117 118
119 120 121 122 123 124
Рис. 4.17. Всi симетричнi дiаграми з класу
�N
1,1;7 8, 9 i 10 типiв.
SHN2(g) =
g�
i=1
min(i;g+1−i)�
j=1
c(i; j) ·
�
2i−j−1(2j)!(i−1)!(g+2−i−j)!
(2j−1)j!
�2
,
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 141
125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136
137 138 139 140
Рис. 4.18. Всi симетричнi дiаграми з класу
�N
1,1;7 11 типу.
де c(i; j) визначається за формулою (1.6).
Тодi мають мiсце наступнi властивостi:
10) для довiльного натурального g величина SGN2(g) < 0;
20) lim
g→∞
SGN1(g)
4g · |SGN2(g)|
= 1.
З iншого боку, з урахуванням формули (4.15), при g → ∞ в
якостi величини dN (n) = dN (g + 1) природно обрати величину
S±
H(g; 1) = SHN1(g) + SHN2(g).
Тодi, застосовуючи властивiсть 20), не важко показати, що
при g → ∞ вiдношення
S±
H(g; 1)
2(g + 1)
та
23g · (g!)3
(2g + 2)!
є еквiвалентними нескiнченно великими величинами.
Таким чином, одержано асимптотичну оцiнку для d∗∗N (n). А
саме:
142 О. А. Кадубовський
Твердження 4.14. При n → ∞
d∗∗N (n) ∼ δ(n) =
23(n−1) · ((n− 1)!)3
(2n)!
. (4.26)
Висновки та прикiнцевi зауваження
Таким чином, в представленiй роботi:
1) повнiстю розв’язано задачу про пiдрахунок числа тополо-
гiчно нееквiвалентних функцiй з класу C1,1(Mg) (на замкнених
орiєнтовних поверхнях роду g ≥ 0);
2) вперше встановлено точне значення числа топологiчно не-
еквiвалентних функцiй з класiв C1,1(N5) та C1,1(N6) (на за-
мкнених неорiєнтовних поверхнях роду 5 i 6);
3) дослiджено асимптотичну поведiнку числа топологiчно
нееквiвалентних функцiй з класу C1,1(Ng), коли g → ∞.
Крiм того, як з’ясувалось, iснує тiсний зв’язок мiж задачею
про пiдрахунок числа топологiчно нееквiвалентних функцiй з
класу C1,1(Mg), вiдомою «Задачею комiвояжера» («Travelling
salesman problem») [22] та задачами про перестановки геному
[19].
Подальша робота може бути пов’язана iз:
1) узагальненням одержаних результатiв на випадок знят-
тя обмеження про збереження орiєнтацiї гомеоморфiзму
h� : R1 → R1 у означеннi топологiчно еквiвалентних фун-
кцiй;
2) встановленням формул для пiдрахунку точного значен-
ня числа топологiчно нееквiвалентних функцiй з класу
C1,1(Ng).
Аналiзуючи результати робiт [23] i [11], цiлком досяжним
здається розв’язання задач про пiдрахунок числа O-топологi-
чно та топологiчно нееквiвалентних функцiй з класу C1,n−2(M1)
(на двовимiрному торi T 2).
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 143
Лiтература
[1] Prishlyak A. O. Topological equivalence of smooth functions
with isolated critical points on a closed surface // Topology
Appl. — 2002. — 119, 3. — P. 257–267.
[2] Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность
функций на поверхностях // Укр. мат. журн. — 1998. —
55, 5. —С. 687–700.
[3] Кадубовський О. А. Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй
на орiєнтованих поверхнях // Укр. мат. журн. — 2006. —
58, 3. —С. 343–351.
[4] Кадубовський A. A. Топологическая классификация глад-
ких функций с одной критической точкой типа седло на
неориентируемых поверхностях // Труды международного
геометрического центра. — 2008. — 1, 1–2. —С. 13–22.
[5] Кадубовський О. A. Про число топологiчно нееквiвален-
тних функцiй з однiєю виродженою критичною точкою ти-
пу сiдла на двовимiрнiй сферi // Проблеми топологiї та
сумiжнi питання. — 2010. — 3, 3. —С. 87–107.
[6] Кадубовский А. А. О числе топологически неэквивален-
тных функций с одной вырожденной критической точкой
типа седло на двумерной сфере, II // Труды междунаро-
дного геометрического центра. — 2015. — 8, 1. —С. 46–61.
[7] Кадубовський О. А. Про один клас хордових дiаграм ма-
ксимального роду // Вiсник Київського унiверситету iм.
Тараса Шевченка. Серiя: Фiзико-математичнi науки. —
2006. — 1. —С. 17–27.
[8] Кадубовський О. A., Вощана Л. В. Про число нееквiва-
лентних двокольорових хордових O-дiаграм максимально-
го роду // Збiрник наукових праць фiзико-математичного
факультету ДДПУ. — 2015. — 5. —С. 51–64.
[9] Kadubovskyi O. A., Voschana L. V. Enumeration of 2-color
chord diagrams of maximal genus under rotation and reflecti-
on // Sixteenth International Scientific Mykhailo Kravchuk
144 О. А. Кадубовський
Conference, May 14–15, 2015, Kyiv: Conference materials.
Vol. 2. Algebra. Geometry. Analysis. — 2015. — 2. — P. 20–21.
[10] Кадубовський A. A. Двухцветные хордовые N -диаграммы
с одним черным циклом // Труды института прикладной
математики и механики НАН Украины. — 2012. — 24. —
С. 134–146.
[11] Grusea Simona, Labarre Anthony. The distribution of cycles
in breakpoint graphs of signed permutations // Discrete Appl.
Math. — 2013. — 161, 10-11. — P. 1448–1466.
[12] Cori Robert, Marcus Michel. Counting non-isomorphic chord
diagrams // Theoret. Comput. Sci. — 1998. — 204, 1-2. —
P. 55–73.
[13] Stoimenow A. Enumeration of chord diagrams and an upper
bound for Vassiliev invariants // J. Knot Theory Ramificati-
ons. — 1998. — 7, 1. — P. 93–114.
[14] Мантуров В. О. Атомы, высотные атомы, хордовые диа-
граммы и узлы. Перечисление атомов малой сложности с
использованием языка Mathematica 3.0 // Топологические
методы в теории гамильтоновых систем: сборник ста-
тей под ред. А.В. Болсинова, А.Т. Фоменко, А.И. Шафа-
ревича. — 1998. —С. 203–212.
[15] Khruzin A. Enumeration of chord diagrams //
arXiv:math.CO/0008209. — 1998.
[16] Callan D. Non-crossing Partitions under Rotation and
Reflection // arXiv:math.CO/0510447. — 2000.
[17] Кадубовський О. A., Сторожилова О. В., Сторожило-
ва Н. В. Двокольоровi O i N -дiаграми // Пошуки i знахiд-
ки. Серiя: фiзико-математичнi науки. — 2010. — 10, 1. —
С. 41–50.
[18] Кадубовський О. A., Саприкiна Ю. С., Мазур С. Ю. Дво-
кольоровi O-дiаграми з одним чорним циклом // Пошу-
ки i знахiдки. Серiя: фiзико-математичнi науки. — 2010. —
10, 1. —С. 51–60.
Перерахування топологiчно нееквiвалентних ... 145
[19] Bafna Vineet, Pevzner Pavel A. Genome rearrangements and
sorting by reversals // SIAM J. Comput. — 1996. — 25, 2. —
P. 272–289.
[20] Boccara G. Nombre de représentations d’une permutation
comme produit de deux cycles de longueurs données // Di-
screte Math. — 1980. — 29, 2. — P. 105–134.
[21] Hanlon Philip J., Stanley Richard P., Stembridge John R.
Some combinatorial aspects of the spectra of normally di-
stributed random matrices // Hypergeometric functions on
domains of positivity, Jack polynomials, and applications
(Tampa, FL, 1991). — Amer. Math. Soc., Providence, RI,
1992. — 138 of Contemp. Math. — P. 151–174.
[22] Helsgaun Keld. General k-opt submoves for the Lin-Kernighan
TSP heuristic // Math. Program. Comput. — 2009. — 1, 2-3. —
P. 119–163.
[23] Doignon Jean-Paul, Labarre Anthony. On Hultman
numbers // J. Integer Seq. — 2007. — 10, 6. — P. Article
07.6.2, 13.
[24] «The On-Line Encyclopedia of Integer Se-quences» // publi-
shed electronically at http://oeis.org.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-135 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:53Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c9/6a1168c1863f27d4960ef392b63fd5c9.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1352018-01-23T11:58:55Z The number of topologically non-equivalent minimal functions on closed surfaces Перерахування топологiчно нееквiвалентних гладких мiнiмальних функцiй на замкнених поверхнях Kadubovskyi, O. A. Кадубовський, О. А. We consider two classes of smooth functions with three critical values on smooth closed surface of genus $g\geq1$, that possess only one (degenerate) saddle critical point in addition to $k$ local maxima and $l$ local minima. Namely: $C_{k,l}(M_g)$ is the class of such functions on oriented surface $M_g$ and $C_{k,l}(N_g)$ -- on non-oriented surface $N_g$. In this paper we calculate the number of topologically non-equivalent (minimal) functions from the class $C_{1,1}(M_g)$ for all $g\geq 1$and from the class $C_{1,1}(N_g)$ for $g=5, 6$. Asymptotic estimate for number of topologically non-equivalent functions from the class $C_{1,1}(N_g)$ (as $g\to\infty$) are also established. Мы рассматриваем два класса гладких функций с тремя критическими значениями на гладкой замкнутой поверхности рода $g\geq1$, которые в дополнение к $k$ локальным максимиумам и $l$ локальным минимумам имеют только одну (вырожденную) седловую критическую точку. Пусть$C_{k,l}(M_g)$ -- класс таких функций на ориентированной поверхности $M_g$, соответственно $C_{k,l}(N_g)$ -- на неориентированной поверхности $N_g$.В данной работе подсчитано число топологически неэквивалентных (минимальных) функций из класса $C_{1,1}(M_g)$ для всех $g\geq 1$, а из класса $C_{1,1}(N_g)$ -- для $g=5, 6$.Также приведены асимптотические оценки для числа топологически неэквивалентных функций из класса $C_{1,1}(N_g)$ при $g\to\infty$. Інститут математики НАН України 2015-12-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/135 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 6 (2015): Topology of maps on low-dimensional manifolds; 105-145 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 105-145 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 105-145 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/135/244 Авторське право (c) 2015 О. А. Кадубовський |
| spellingShingle | Kadubovskyi, O. A. Кадубовський, О. А. The number of topologically non-equivalent minimal functions on closed surfaces |
| title | The number of topologically non-equivalent minimal functions on closed surfaces |
| title_alt | Перерахування топологiчно нееквiвалентних гладких мiнiмальних функцiй на замкнених поверхнях |
| title_full | The number of topologically non-equivalent minimal functions on closed surfaces |
| title_fullStr | The number of topologically non-equivalent minimal functions on closed surfaces |
| title_full_unstemmed | The number of topologically non-equivalent minimal functions on closed surfaces |
| title_short | The number of topologically non-equivalent minimal functions on closed surfaces |
| title_sort | number of topologically non-equivalent minimal functions on closed surfaces |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/135 |
| work_keys_str_mv | AT kadubovskyioa thenumberoftopologicallynonequivalentminimalfunctionsonclosedsurfaces AT kadubovsʹkijoa thenumberoftopologicallynonequivalentminimalfunctionsonclosedsurfaces AT kadubovskyioa pererahuvannâtopologičnoneekvivalentnihgladkihminimalʹnihfunkcijnazamknenihpoverhnâh AT kadubovsʹkijoa pererahuvannâtopologičnoneekvivalentnihgladkihminimalʹnihfunkcijnazamknenihpoverhnâh AT kadubovskyioa numberoftopologicallynonequivalentminimalfunctionsonclosedsurfaces AT kadubovsʹkijoa numberoftopologicallynonequivalentminimalfunctionsonclosedsurfaces |