On the approximation in the mean with the Chebyshev-Hermite weight by algebraic polynomials on the real axis
Exact inequalities of Jackson type for the best polynomial approximation of functions in the space $L_{2,\rho}(\mathbb{R})$ with the Chebyshev -Hermite weight function have been obtained for the $m^{th}$ order generalized moduluses of continuity $\widetilde{\omega}_m, m \in...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/137 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552654337474560 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Днепропетровский университет имени Альфреда Нобеля"
},
{
"author": "",
"institution": "Днепропетровский государственный аграрно-экономический университет"
}
] |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | Exact inequalities of Jackson type for the best polynomial approximation of functions in the space $L_{2,\rho}(\mathbb{R})$ with the Chebyshev -Hermite weight function have been obtained for the $m^{th}$ order generalized moduluses of continuity $\widetilde{\omega}_m, m \in \mathbb{N}$, at the classes $L^r_{2,\rho}(\mathbb{R}), r \in \mathbb{N}$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 28�38
ÓÄÊ 517.5
Ñ.Á. Âàêàð÷óê (Äíåïðîïåòðîâñêèé óíèâåðñèòåò èìåíè Àëüôðåäà Íî-
áåëÿ)
À.Â. Øâà÷êî (Äíåïðîïåòðîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àãðàðíûé óíèâåð-
ñèòåò)
Î ÍÀÈËÓ×ØÅÌ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÈ Â ÑÐÅÄÍÅÌ Ñ ÂÅ-
ÑÎÌ ×ÅÁÛØÅÂÀ - ÝÐÌÈÒÀ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÌÈ
ÏÎËÈÍÎÌÀÌÈ ÍÀ ÂÑÅÉ ÂÅÙÅÑÒÂÅÍÍÎÉ ÎÑÈ
Exact inequalities of Jackson type for the best polynomial approximation of
functions in the space L2,ρ(R) with the Chebyshev -Hermite weight function
have been obtained for the mth order generalized moduluses of continuity
ω̃m, m ∈ N, at the classes Lr
2,ρ(R), r ∈ N.
Äëÿ íàèëó÷øèõ ïîëèíîìèàëüíûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé â ïðîñòðàíñòâå
L2,ρ(R) ñ âåñîâîé ôóíêöèåé ×åáûøåâà - Ýðìèòà íà êëàññàõ Lr
2,ρ(R), r ∈ N,
ïîëó÷åíû òî÷íûå íåðàâåíñòâà òèïà Äæåêñîíà äëÿ îáîáùåííûõ ìîäóëåé
íåïðåðûâíîñòè m-ãî ïîðÿäêà ω̃m, m ∈ N.
1. Ïóñòü L2(R) � ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé, ñóììèðó-
åìûõ íà âåùåñòâåííîé îñè R := {x : −∞ < x < ∞} ñ êâàäðàòîì
ìîäóëÿ. ×åðåç L2,ρ(R), ãäå ρ(x) := exp(−x2/2), îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî
ôóíêöèé f òàêèõ, ÷òî f · ρ ∈ L2(R). Íîðìà â ïðîñòðàíñòâå L2,ρ(R)
îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
‖f‖2,ρ :=
∫
R
|f(x)ρ(x)|2dx
.
Ðàçëè÷íûå àñïåêòû íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé â ñðåä-
íåì ñ âåñîì ×åáûøåâà - Ýðìèòà àëãåáðàè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè íà
âñåé âåùåñòâåííîé îñè â ðàçíîå âðåìÿ èññëåäîâàëèñü â ðàáîòàõ
Ñ.Ç. Ðàôàëüñîíà [1], Ã. Ôðîéäà [2], Â.À. Àáèëîâà [3], Â.Ì. Ôåäîðîâà
[4], Â.À. Àáèëîâà è Ô.Â. Àáèëîâîé [5] è äðóãèõ (ñì., íàïðèìåð, [6 �
8]). Äàííàÿ ñòàòüÿ ïðîäîëæàåò óêàçàííóþ òåìàòèêó è ïîñâÿùåíà
c© Ñ.Á. Âàêàð÷óê, À.Â. Øâà÷êî, 2013
Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè â ñðåäíåì . . . 29
âû÷èñëåíèþ òî÷íûõ êîíñòàíò â íåðàâåíñòâàõ òèïà Äæåêñîíà â ïðî-
ñòðàíñòâå L2,ρ(R).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
En(f) := inf{‖f − pn‖2,ρ : pn ∈ Pn}
íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè f ∈ L2,ρ(R) ïîäïðîñòðàíñòâîì àë-
ãåáðàè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ Pn ñòåïåíè, íå ïðåâîñõîäÿùåé n, â ìåòðèêå
ïðîñòðàíñòâà L2,ρ(R).
Ïóñòü {Hk(x)}k∈Z+ � îðòîíîðìèðîâàííàÿ íà ïðÿìîé R ñ âåñîì
ρ2 ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ Ýðìèòà (ñì., íàïðèìåð, [9]), ãäå
Hk(x) :=
(−1)k√
k!2k
√
π
ex2 dk
dxk
e−x2
.
Ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ f ∈ L2,ρ(R) ïðåäñòàâèì â âèäå ðÿäà Ôóðüå
ïî îðòîíîðìèðîâàííûì ïîëèíîìàì Ýðìèòà
f(x) =
∞∑
k=0
ck(f)Hk(x), (1)
ãäå ðàâåíñòâî ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ñõîäèìîñòè ïî íîðìå â ïðîñòðàí-
ñòâå L2,ρ(R), à
ck(f) :=
∫
R
ρ2(x)f(x)Hk(x)dx (k ∈ Z+)
åñòü êîýôôèöèåíòû Ôóðüå - Ýðìèòà ôóíêöèè f . ×àñòíóþ ñóììó n-
ãî ïîðÿäêà ðÿäà Ôóðüå - Ýðìèòà (1) ôóíêöèè f ∈ L2,ρ(R) îáîçíà÷èì
÷åðåç Sn(f, x), ò.å.
Sn(f, x) :=
n∑
k=0
ck(f)Hk(x).
Ïðè ýòîì (ñì., íàïðèìåð, [1])
En(f)2,ρ =
{ ∞∑
k=n+1
c2
k(f)
}1/2
. (2)
30 Ñ.Á. Âàêàð÷óê, À.Â. Øâà÷êî
 ïðîñòðàíñòâå L2,ρ(R) ðàññìîòðèì ââåäåííûé Ñ.Ç. Ðàôàëüñîíîì â
ðàáîòå [1] îïåðàòîð îáîáùåííîãî ñäâèãà
Fh(f, x) :=
1√
π
∫
R
f
(
x
√
1− h2 + ht
)
ρ2(t)dt, (3)
ãäå |h| 6 1. Îòìåòèì, ÷òî îïåðàòîð Fh : L2,ρ(R) → L2,ρ(R) îáëàäàåò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè [5]:
1. Fh(f1 + f2) = Fh(f1) + Fh(f2),
2. Fh(λf) = λFh(f), ãäå λ ∈ R,
3. F0(f) ≡ f,
4. ‖Fh(f)‖2,ρ 6 ‖f‖2,ρ,
5. ‖Fh − f‖2,ρ → 0, åñëè h → 0 + 0,
6. Fh(Hk, x) =
(
1− h2
)k/2
Hk(x).
Èñïîëüçóÿ îïåðàòîð îáîáùåííîãî ñäâèãà (3), çàïèøåì â îïðåäå-
ëåííîì ñìûñëå àíàëîãè êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ïåðâîãî è âûñøèõ ïî-
ðÿäêîâ äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ L2,ρ(R) â òî÷êå x ñ øàãîì
h:
∆1
h(f, x) := Fh(f, x)− f(x) = (Fh − I)f(x), (4)
∆m
h (f, x) := ∆1
h
(
∆m−1
h (f), x
)
= (Fh − I)mf(x) =
=
m∑
k=0
(−1)m−k
(m
k
)
F k
h (f, x),
ãäå m = 2, 3, ...; I � åäèíè÷íûé îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâå L2,ρ(R);
F k
h (f) := F 1
h (F k−1
h (f)); F 1
h (f) := Fh(f); F 0
h (f) ≡ f . Â ðàáîòå [1] áûëî
ïîêàçàíî, ÷òî â ñìûñëå ñõîäèìîñòè ïî íîðìå â ïðîñòðàíñòâå L2,ρ(R)
äëÿ ôóíêöèè (3) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
Fh(f, x) =
∞∑
k=0
ck(f)
(
1− h2
)k/2
Hk(x). (5)
Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè â ñðåäíåì . . . 31
Èç ôîðìóëû (5), ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (1) è (4), ïîëó÷àåì, â
ñìûñëå ñõîäèìîñòè â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà L2,ρ(R), ñëåäóþùåå ðàç-
ëîæåíèå ôóíêöèè ∆1
h(f) â ðÿä Ôóðüå ïî îðòîíîðìèðîâàííûì ïîëè-
íîìàì Ýðìèòà:
∆1
h(f, x) =
∞∑
k=1
ck(f)
[(
1− h2
)k/2 − 1
]
Hk(x). (6)
Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè è ôîðìóëó (6), äëÿ
ôóíêöèè ∆m
h (f), ãäå m = 2, 3, ..., çàïèøåì
∆m
h (f, x) =
∞∑
k=1
ck(f)
[(
1− h2
)k/2 − 1
]m
Hk(x). (7)
 ñèëó ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ äëÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû
ôóíêöèé, èç ñîîòíîøåíèÿ (7) ïîëó÷àåì
‖∆m
h (f)‖2
2,ρ =
∞∑
k=1
c2
k(f)
[
1−
(
1− h2
)k/2
]2m
. (8)
Ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì Â.À. Àáèëîâà è Ô.Â. Àáèëîâîé, èçëîæåí-
íûì â [5], âåëè÷èíó
ω̃m(f, t)2,ρ := sup{‖∆m
h (f)‖2,ρ : |h| 6 t}, (9)
ãäå m ∈ N; 0 < t 6 1, áóäåì íàçûâàòü îáîáùåííûì ìîäóëåì íåïðå-
ðûâíîñòè m-ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f ∈ L2,ρ(R). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî
â ñëó÷àå m = 1 õàðàêòåðèñòèêà ∆1
h(f) ðàññìàòðèâàëàñü ðàíåå â ðà-
áîòå [1] äëÿ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà L2,ρ(R). Ó÷èòûâàÿ âèä ïðàâîé
÷àñòè ôîðìóëû (8), äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ L2,ρ(R) èç ðà-
âåíñòâà (9) ïîëó÷àåì
ω̃m(f, t)2,ρ =
{ ∞∑
k=1
c2
k(f)
[
1−
(
1− t2
)k/2
]2m
}1/2
, (10)
ãäå 0 < t 6 1. ×åðåç Lr
2,ρ(R), r ∈ N, îáîçíà÷èì êëàññ ôóíêöèé
f ∈ L2,ρ(R), ó êîòîðûõ ïðîèçâîäíûå (r − 1)�ãî ïîðÿäêà àáñîëþòíî
32 Ñ.Á. Âàêàð÷óê, À.Â. Øâà÷êî
íåïðåðûâíû íà ëþáîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå âåùåñòâåííîé îñè, à ïðî-
èçâîäíûå r-ãî ïîðÿäêà f (r) ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó L2,ρ(R). Ïðè
ýòîì f (0) ≡ f .Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ
f ïðèíàäëåæèò êëàññó Lr
2,ρ(R), ãäå r ∈ N\{1}, òî è âñå å¼ ïðîìåæó-
òî÷íûå ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêîâ r− µ(1 6 µ 6 r− 1), òàêæå ÿâëÿþòñÿ
ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà Lr
2,ρ(R).
 ðàáîòå [8] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî
sup
n∈N
(n>r)
sup
f∈Lr
2,ρ(R)
f 6∈Pr
2r/2[(n + 1)n...(n− r + 2)]1/2En(f)2,ρ
ω̃m(f (r), 1/
√
n− r + 1)2,ρ
=
1
(1− e−1/2)m
.
2. Íàïîìíèì, ÷òî îòíîñèòåëüíî îöåíîê ñâåðõó âåëè÷èí íàèëó÷-
øèõ ïîëèíîìèàëüíûõ ïðèáëèæåíèé 2π-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ÷å-
ðåç çíà÷åíèÿ èõ ìîäóëåé íåïðåðûâíîñòè â íåêîòîðûõ òî÷êàõ, çà-
âèñÿùèõ îò ïîðÿäêîâ àïïðîêñèìèðóþùèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïî-
ëèíîìîâ, Í.È.×åðíûõ â ðàáîòå [10] îòìå÷àë ñëåäóþùåå: ïîñêîëüêó
ôóíêöèîíàë n
2
π/n∫
0
ω2
1(f, t) sin(nt)dt
1/2
,
ãäå ω1(f, t) � ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà 2π-
ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè f ∈ L2 := L2([0, 2π]), ìåíüøå äæåêñîíîâñêî-
ãî ôóíêöèîíàëà ω1(f, π/n), f 6≡ const, òî, ïî-âèäèìîìó, îí áîëåå åñòå-
ñòâåíåí äëÿ õàðàêòåðèñòèê íàèëó÷øèõ ïîëèíîìèàëüíûõ ïðèáëèæå-
íèé ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé â L2. Àíàëîãè÷íóþ êàðòèíó ìîæíî íà-
áëþäàòü è â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå. Åñëè, íàïðèìåð, ïðè
íåêîòîðîì τ ∈ (0, 1] èìååì
τ∫
0
ϕ(t)dt 6 1, ãäå ϕ � íåîòðèöàòåëüíàÿ
ñóììèðóåìàÿ íà îòðåçêå [0, τ ] ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ íå ýêâèâàëåíòíà íó-
ëþ, òî î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèîíàë
τ∫
0
ω̃q
m(f, t)2,ρϕ(t)dt
1/q
,
áóäåò ìåíüøå âåëè÷èíû ω̃m(f, τ)2,ρ. Çäåñü ôóíêöèÿ f ïðèíàäëåæèò
ïðîñòðàíñòâó L2,ρ(R) è íå ýêâèâàëåíòíà íóëþ, à 0 < q < ∞.
Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè â ñðåäíåì . . . 33
3.  ñâÿçè ñî ñêàçàííûì, ñ íàøåé òî÷êè çðåíèÿ, îïðåäåëåííûé
èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëåäóþùàÿ íèæå òåîðåìà 1. Ïðåæäå, ÷åì å¼
ñôîðìóëèðîâàòü, îòìåòèì, ÷òî âñþäó äàëåå îòíîøåíèå 0/0 ïîëàãàåì
ðàâíûì 0.
Òåîðåìà 1 . Ïóñòü r, µ, n,m ∈ N è µ 6 r 6 n; 0 < q 6 2; 0 < τ 6 1;
ϕ � íåîòðèöàòåëüíàÿ ñóììèðóåìàÿ íà îòðåçêå [0, τ ] ôóíêöèÿ, íå
ýêâèâàëåíòíàÿ íóëþ. Òîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
sup
f∈Lr
2,ρ(R)
f 6∈Pr
2µ/2[(n+1−r+µ)(n−r+µ)...(n−r+2)]1/2En−r+µ(f (r−µ))2,ρ{
τ∫
0
ω̃q
m(f (r), t)2,ρϕ(t)dt
}1/q
=
=
τ∫
0
(
1− (1− t2)(n+1−r)/2
)mq
ϕ(t)dt
−1/q
. (11)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèâåäåì â óäîáíîé äëÿ íàñ ôîðìå îäèí èç
ðåçóëüòàòîâ Ñ.Ç. Ðàôàëüñîíà, ïîëó÷åííûé èì â ðàáîòå [1]: ôóíêöèÿ
f , ïðèíàäëåæàùàÿ êëàññó Lr
2,ρ(R) èìååò ðàçëîæåíèå å¼ s-òîé ïðî-
èçâîäíîé f (s)(s ∈ N è s 6 r), â ðÿä Ôóðüå ïî îðòîíîðìèðîâàííîé
ñèñòåìå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà
f (s)(x) =
∞∑
j=s
cj(f)2s/2[j(j − 1)...(j − s + 1)]1/2Hj−s(x), (12)
ãäå ðàâåíñòâî ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ñõîäèìîñòè â ìåòðèêå ïðî-
ñòðàíñòâà L2,ρ(R).
Èñõîäÿ èç ôîðìóëû (12) è îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå -
Ýðìèòà, çàïèøåì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà k ∈ Z+ ñëåäóþùèå ðà-
âåíñòâà:
ck(f (s))=
∫
R
ρ2(x)f (s)(x)Hk(x)dx=ck+s(f)2s/2[(k+s)(k+s−1)...(k+1)]1/2.
Ïîëàãàÿ s := r − µ, îòñþäà èìååì
ck+r−µ(f) =
ck(f (r−µ))
2(r−µ)/2[(k + r − µ)(k + r − µ− 1)...(k + 1)]1/2
.
34 Ñ.Á. Âàêàð÷óê, À.Â. Øâà÷êî
Ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíû èíäåêñîâ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ïî-
ëó÷àåì
cj(f) =
cj−r+µ(f (r−µ))
2(r−µ)/2[j(j − 1)...(j − r + µ + 1)]1/2
, (13)
ãäå j = r − µ, r − µ + 1, .... Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (12), â êîòîðîé ïîëà-
ãàåì s := r, à òàêæå ñâîéñòâî 6 îïåðàòîðà îáîáùåííîãî ñäâèãà Fh è
ðàâåíñòâî (10), çàïèøåì
ω̃m(f (r), t)=
{ ∞∑
k=r
c2
k(f)2rk(k−1)...(k−r+1)
[
1−(1−t2)
k−r
2
]2m
}1/2
. (14)
Äàëåå íàì ïîíàäîáèòñÿ îäèí óïðîùåííûé âàðèàíò íåðàâåí-
ñòâà Ìèíêîâñêîãî, ïðèâåäåííûé â ìîíîãðàôèè À. Ïèíêóñà (ñì.,
[11, ñ. 104]):
τ∫
0
[ ∞∑
k=l
∣∣∣f̃k(t)
∣∣∣2]q/2
dt
1/q
>
∞∑
k=l
τ∫
0
∣∣∣f̃k(t)
∣∣∣q dt
2/q
1/2
.
Ïîëàãàÿ f̃k := fkϕ1/q, èç äàííîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì
τ∫
0
[ ∞∑
k=l
|fk(t)|2
]q/2
ϕ(t)dt
1/q
>
∞∑
k=l
τ∫
0
|fk(t)|q ϕ(t)dt
2/q
1/2
. (15)
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (15), à òàêæå ñîîòíîøåíèÿ (2) è
(13) � (14), äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ Lr
2,ρ(R) çàïèøåì
τ∫
0
ω̃q
m(f (r), t)2,ρϕ(t)dt
1/q
=
τ∫
0
(
ω̃2
m(f (r), t)2,ρ
)q/2
ϕ(t)dt
1/q
>
>
τ∫
0
[ ∞∑
k=n+1
c2
k(f)2rk(k−1)...(k−r+1)
(
1−(1−t2)
k−r
2
)2m
]q/2
ϕ(t)dt
1/q
=
Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè â ñðåäíåì . . . 35
=
τ∫
0
[ ∞∑
k=n+1
c2
k−r+µ(f (r−µ))2µ(k−r+µ)(k−r +µ−1)...(k − r + 1) (1−
−(1− t2)(k−r)/2
)2m
]q/2
ϕ(t)dt
}1/q
>
>
∞∑
k=n+1
c2
k−r+µ(f (r−µ))2µ(k−r+µ)(k−r+µ−1)...(k−r+1)
τ∫
0
(1−
−(1− t2)(k−r)/2
)mq
ϕ(t)dt
]2/q
}1/2
>
> 2µ/2[(n+1−r +µ)(n−r+µ)...(n−r+2)]1/2En−r+µ(f (r−µ))×
×
τ∫
0
(
1− (1− t2)(n+1−r)/2
)mq
ϕ(t)dt
1/q
.
Èç äàííîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò îöåíêà ñâåðõó
sup
f∈Lr
2,ρ(R)
f 6∈Pr
2µ/2[(n+1−r+µ)(n−r+µ)...(n−r+2)]1/2En−r+µ(f (r−µ))2,ρ{
τ∫
0
ω̃q
m(f (r), t)2,ρϕ(t)dt
}1/q
6
6
τ∫
0
(
1− (1− t2)(n+1−r)/2
)mq
ϕ(t)dt
−1/q
. (16)
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ñíèçó ýêñòðåìàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè,
ðàñïîëîæåííîé â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû (16), ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
f0(x) := Hn+1(x), êîòîðàÿ ïðèíàäëåæèò êëàññó Lr
2,ρ(R). Ïîñêîëüêó
â ñèëó ôîðìóëû (12), â êîòîðîé ïîëàãàåì s := r − µ, èìååò ìåñòî
ðàâåíñòâî
f
(r−µ)
0 (x) = 2(r−µ)/2[(n + 1)n...(n− r + µ + 2)]1/2Hn+1−r+µ(x), (17)
36 Ñ.Á. Âàêàð÷óê, À.Â. Øâà÷êî
òî èç ôîðìóëû (2) ïîëó÷àåì
En−r+µ(f (r−µ)
0 )2,ρ = 2(r−µ)/2[(n + 1)n...(n− r + µ + 2)]1/2. (18)
Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (17), â êîòîðîì ïîëàãàåì µ := 0, à òàêæå
ôîðìóëó (10), èìååì
ω̃m(f (r)
0 , t)2,ρ = 2r/2[(n+1)n...(n− r +2)]1/2
{
1− (1− t2)(n+1−r)/2
}m
.
Âîçâîäÿ îáå ÷àñòè äàííîãî ðàâåíñòâà â ñòåïåíü q, çàòåì óìíîæàÿ
èõ íà ôóíêöèþ ϕ è èíòåãðèðóÿ ïî ïåðåìåííîé t â ïðåäåëàõ îò 0 äî
τ , ïîëó÷àåì
τ∫
0
ω̃q
m(f (r)
0 , t)2,ρϕ(t)dt =
= 2rq/2[(n+1)n...(n−r+2)]q/2
τ∫
0
(
1−(1− t2)(n+1−r)/2
)mq
ϕ(t)dt. (19)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (18) � (19), çàïèøåì îöåíêó ñíèçó ðàññìàò-
ðèâàåìîé ýêñòðåìàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè
sup
f∈Lr
2,ρ(R)
f 6∈Pr
2µ/2[(n+1−r+µ)(n−r+µ)...(n−r+2)]1/2En−r+µ(f (r−µ))2,ρ{
τ∫
0
ω̃q
m(f (r), t)2,ρϕ(t)dt
}1/q
>
>
2µ/2[(n + 1− r + µ)(n− r + µ)...(n− r + 2)]1/2En−r+µ(f (r−µ)
0 )2,ρ{
τ∫
0
ω̃q
m(f (r)
0 , t)2,ρϕ(t)dt
}1/q
=
=
τ∫
0
(
1− (1− t2)(n+1−r)/2
)mq
ϕ(t)dt
−1/q
. (20)
Ñîïîñòàâëÿÿ îöåíêó ñâåðõó (16) ñ îöåíêîé ñíèçó (20), ïîëó÷àåì
òðåáóåìûå ðàâåíñòâà (11), ÷åì è çàâåðøàåì äîêàçàòåëüñòâî òåîðå-
ìû 1.
Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè â ñðåäíåì . . . 37
 çàêëþ÷åíèå ïðîäåìîíñòðèðóåì îäèí ÷àñòíûé ñëó÷àé, âûòåêà-
þùèé èç ñîîòíîøåíèÿ (11). Ïóñòü q := 1/m è ϕ(t) ≡ t. Òîãäà
sup
f∈Lr
2,ρ(R)
f 6∈Pr
2µ/2[(n+1−r+µ)(n−r+µ)...(n−r+2)]1/2En−r+µ(f (r−µ))2,ρ{
τ∫
0
ω̃
1/m
m (f (r), t)2,ρtdt
}m =
=
{
τ2
2
− 1− (1− τ2)(n+3−r)/2
n + 3− r
}−m
,
ãäå r, µ, n,m ∈ N è µ 6 r 6 n; 0 < τ 6 1. Ïîëàãàÿ â ýòîì ðàâåíñòâå
τ :=
√
2/(n + 3− r), èìååì
sup
f∈Lr
2,ρ(R)
f 6∈Pr
2µ/2[(n+1−r+µ)(n−r+µ)...(n−r+2)]1/2En−r+µ(f (r−µ))2,ρ(n + 3− r)
√
2/(n+3−r)∫
0
ω̃
1/m
m (f (r), t)2,ρtdt
m =
=
(
1− 2
n + 3− r
)−(n+3−r)m/2
.
Ïåðåõîäÿ â îáåèõ ÷àñòÿõ äàííîãî ðàâåíñòâà ê ïðåäåëó ïðè n, ñòðå-
ìÿùåìñÿ ê ∞, ïîëó÷àåì
lim
n→∞
sup
f∈Lr
2,ρ(R)
f 6∈Pr
2µ/2[(n+1−r+µ)(n−r+µ)...(n−r+2)]1/2En−r+µ(f (r−µ))2,ρ(n + 3− r)
√
2/(n+3−r)∫
0
ω̃
1/m
m (f (r), t)2,ρtdt
m =em.
1. Ðàôàëüñîí Ñ.Ç. Î ïðèáëèæåíèè ôóíêöèé â ñðåäíåì ñóììàìè Ôóðüå�
Ýðìèòà // Èçâ. âóçîâ. Ìàòåì. � 1968. � �7. � Ñ. 78 � 84.
2. Ôðîéä Ã. Îá àïïðîêñèìàöèè ñ âåñîì àëãåáðàè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè íà
äåéñòâèòåëüíîé îñè // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1970. � 191, �2. � Ñ. 293 �
294.
3. Àáèëîâ Â.À. Î ïîðÿäêå ïðèáëèæåíèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé àðèôìåòè÷å-
ñêèìè ñðåäíèìè ÷àñòíûõ ñóìì ðÿäà Ôóðüå-Ýðìèòà // Èçâ. âóçîâ. Ìàòåì.
� 1972. � �3. � Ñ. 3 � 9.
38 Ñ.Á. Âàêàð÷óê, À.Â. Øâà÷êî
4. Ôåäîðîâ Â.Ì. Ïðèáëèæåíèå àëãåáðàè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè ñ âåñîì
×åáûøåâà�Ýðìèòà // Èçâ. âóçîâ. Ìàòåì. � 1984. � �6. � Ñ. 55 � 63.
5. Àáèëîâ Ì.Â., Àáèëîâà Ô.Â. Íåêîòîðûå âîïðîñû ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé
ñóììàìè Ôóðüå�Ýðìèòà â ïðîñòðàíñòâå L2(R, e−x2
) // Èçâ. âóçîâ. Ìàòåì.
� 2006. � �1. � Ñ. 3 � 12.
6. Àëåêñååâ Ä.Â. Ïðèáëèæåíèå ïîëèíîìàìè ñ âåñîì ×åáûøåâà�Ýðìèòà íà
äåéñòâèòåëüíîé îñè // Âåñòíèê ÌÃÓ. Ñåð. 1. Ìàòåì. Ìåõàí. � 1997. �
�6. � Ñ. 68 � 71.
7. Ditzian Z., Totik V. K-functionals and best polynomial approximation in
weighted space Lp(R) // J. Approxim. Theory. � 1986. � 46, �1. � P. 38 � 41.
8. Âàêàð÷óê Ñ.Á., Âàêàð÷óê Ì.Á. Î ïðèáëèæåíèè ôóíêöèé àëãåáðàè÷åñêèìè
ïîëèíîìàìè â ñðåäíåì íà âåùåñòâåííîé îñè ñ âåñîì ×åáûøåâà�Ýðìèòà //
Âiñíèê Äíiïðîïåòðîâñüêîãî óí-òó. Ñåðiÿ ìàòåì. Âèï. 16. � 2011. � 19,
�6/1. � Ñ. 28 � 31.
9. Ñóåòèí Ï.Ê. Êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû. Èçä. 3-å. � Ì. :
Ôèçìàòëèò, 2007. � 480 ñ.
10. ×åðíûõ Í.È. Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé òðèãî-
íîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè â L2 // Ìàòåì. çàìåòêè. � 1967. � 2, �5. �
Ñ. 513 � 522.
11. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. � New York: Springer�Verlag,
1985. � 290 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-137 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:52Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a1/382357c84cde49251b82209fb92e48a1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1372018-01-29T14:44:27Z On the approximation in the mean with the Chebyshev-Hermite weight by algebraic polynomials on the real axis О наилучшем приближении в среднем с весом Чебышева - Эрмита алгебраическими полиномами на всей вещественной оси О наилучшем приближении в среднем с весом Чебышева - Эрмита алгебраическими полиномами на всей вещественной оси Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. Exact inequalities of Jackson type for the&nbsp;best polynomial approximation of functions in the space $L_{2,\rho}(\mathbb{R})$ with the Chebyshev -Hermite weight function have been obtained for the $m^{th}$ order generalized moduluses of&nbsp;continuity $\widetilde{\omega}_m, m \in \mathbb{N}$, at the classes $L^r_{2,\rho}(\mathbb{R}), r \in \mathbb{N}$ Для наилучших полиномиальных приближений&nbsp;функций в пространстве $L_{2,\rho}(\mathbb{R})$ с весовой функцией&nbsp;Чебышева - Эрмита на классах $L^r_{2,\rho}(\mathbb{R}), r \in&nbsp;\mathbb{N}$, получены точные неравенства типа Джексона для&nbsp;обобщенных модулей непрерывности $m$-го порядка $\widetilde{\omega}_m, m \in \mathbb{N}$ Для наилучших полиномиальных приближений&nbsp;функций в пространстве $L_{2,\rho}(\mathbb{R})$ с весовой функцией&nbsp;Чебышева - Эрмита на классах $L^r_{2,\rho}(\mathbb{R}), r \in&nbsp;\mathbb{N}$, получены точные неравенства типа Джексона для&nbsp;обобщенных модулей непрерывности $m$-го порядка $\widetilde{\omega}_m, m \in \mathbb{N}$ Інститут математики НАН України 2013-07-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/137 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 28-38 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 28-38 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 28-38 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/137/110 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. On the approximation in the mean with the Chebyshev-Hermite weight by algebraic polynomials on the real axis |
| title | On the approximation in the mean with the Chebyshev-Hermite weight by algebraic polynomials on the real axis |
| title_alt | О наилучшем приближении в среднем с весом Чебышева - Эрмита алгебраическими полиномами на всей вещественной оси О наилучшем приближении в среднем с весом Чебышева - Эрмита алгебраическими полиномами на всей вещественной оси |
| title_full | On the approximation in the mean with the Chebyshev-Hermite weight by algebraic polynomials on the real axis |
| title_fullStr | On the approximation in the mean with the Chebyshev-Hermite weight by algebraic polynomials on the real axis |
| title_full_unstemmed | On the approximation in the mean with the Chebyshev-Hermite weight by algebraic polynomials on the real axis |
| title_short | On the approximation in the mean with the Chebyshev-Hermite weight by algebraic polynomials on the real axis |
| title_sort | on the approximation in the mean with the chebyshev-hermite weight by algebraic polynomials on the real axis |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/137 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb ontheapproximationinthemeanwiththechebyshevhermiteweightbyalgebraicpolynomialsontherealaxis AT shvachkoav ontheapproximationinthemeanwiththechebyshevhermiteweightbyalgebraicpolynomialsontherealaxis AT vakarčuksb ontheapproximationinthemeanwiththechebyshevhermiteweightbyalgebraicpolynomialsontherealaxis AT švačkoav ontheapproximationinthemeanwiththechebyshevhermiteweightbyalgebraicpolynomialsontherealaxis AT vakarchuksb onailučšempribliženiivsrednemsvesomčebyševaérmitaalgebraičeskimipolinomaminavsejveŝestvennojosi AT shvachkoav onailučšempribliženiivsrednemsvesomčebyševaérmitaalgebraičeskimipolinomaminavsejveŝestvennojosi AT vakarčuksb onailučšempribliženiivsrednemsvesomčebyševaérmitaalgebraičeskimipolinomaminavsejveŝestvennojosi AT švačkoav onailučšempribliženiivsrednemsvesomčebyševaérmitaalgebraičeskimipolinomaminavsejveŝestvennojosi |