On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions
In this paper estimates deviations of Fourier sums on the spaces $C^{\bar{\psi}}$ expressed in terms of the best approximation of $\bar{\psi}$-derivatives of functions in the understanding A.~I.~Stepanets are found. The sequence $\bar{\psi}=(\psi_1,\psi_2)$ the conditions of Boas-Telyakovskij are sa...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/139 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552656078110720 |
|---|---|
| author | Gayevs’kyĭ, M. V. Zadereĭ, P. V. Гаєвський, М. В. Задерей, П. В. |
| author_facet | Gayevs’kyĭ, M. V. Zadereĭ, P. V. Гаєвський, М. В. Задерей, П. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Гаєвський",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "П. В. Задерей",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Gayevs’kyĭ, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | In this paper estimates deviations of Fourier sums on the spaces $C^{\bar{\psi}}$ expressed in terms of the best approximation of $\bar{\psi}$-derivatives of functions in the understanding A.~I.~Stepanets are found. The sequence $\bar{\psi}=(\psi_1,\psi_2)$ the conditions of Boas-Telyakovskij are satisfy |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 59�68
ÓÄÊ 517.5
Ì.Â. Ãà¹âñüêèé (Êiðîâîãðàäñüêèé äåðæàâíèé ïåäàãîãi÷íèé óíiâåðñè-
òåò iìåíi Âîëîäèìèðà Âèííè÷åíêà)
Ï.Â. Çàäåðåé (Êè¨âñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò òåõíîëîãié òà äè-
çàéíó)
ÏÐÎ ÍÅÐIÂÍIÑÒÜ ËÅÁÅÃÀ ÍÀ ÊËÀÑÀÕ ψ̄ - ÄÈÔÅÐÅÍ-
ÖIÉÎÂÍÈÕ ÔÓÍÊÖIÉ
In this paper estimates deviations of Fourier sums on the spaces Cψ̄ expressed
in terms of the best approximation of ψ̄-derivatives of functions in the
understanding A. I. Stepanets are found. The sequence ψ̄ = (ψ1, ψ2) the
conditions of Boas-Telyakovskij are satisfy.
 ðîáîòi çíàéäåíî îöiíêè âiäõèëåíü ñóì Ôóð'¹ íà ïðîñòîðàõ Cψ̄, âè-
ðàæåíi ÷åðåç íàéêðàùi íàáëèæåííÿ ψ̄-ïîõiäíèõ ôóíêöié â ðîçóìiííi
Î. I. Ñòåïàíöÿ. Ïîñëiäîâíîñòi ψ̄ = (ψ1, ψ2) çàäîâîëüíÿþòü óìîâàì
Áîàñà-Òåëÿêîâñüêîãî.
Íåõàé L � ïðîñòið 2π-ïåðiîäè÷íèõ ñóìîâíèõ çà Ëåáåãîì ôóíêöié
f ç íîðìîþ ‖f‖L =
∫ π
−π |f(t)|dt, à C � ïiäïðîñòið L, ùî ñêëàäà¹òüñÿ
ç íåïåðåðâíèõ ôóíêöié ç íîðìîþ ‖f‖C = max
t
|f |.
Íåõàé
S[f ] :=
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
(ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx) (1)
� ðÿä Ôóð'¹ çà òðèãîíîìåòðè÷íîþ ñèñòåìîþ ôóíêöi¨ f ∈ L; a0(f),
ak(f), bk(f), k = 1, 2, . . ., � ¨¨ êîåôiöiåíòè Ôóð'¹. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç
Sn(f ;x) � ÷àñòèííó ñóìó ðÿäó Ôóð'¹ (1) ïîðÿäêó n i ïîêëàäåìî
ρn(f ;x) = f(x) − Sn(f ;x). Íåõàé äàëi Tn � ìíîæèíà òðèãîíîìåò-
ðè÷íèõ ïîëiíîìiâ tn âèãëÿäó tn(x) =
∑n
k=0
(
αk cos kx+ βk sin kx
)
i
En(f)X := inf
tn∈Tn
‖f(x)− tn(x)‖X (2)
� íàéêðàùå íàáëèæåííÿ ôóíêöi¨ f çà äîïîìîãîþ òðèãîíîìåòðè÷íèõ
ïîëiíîìiâ tn ∈ Tn, à X îçíà÷๠àáî L, àáî C.
c© Ì.Â. Ãà¹âñüêèé, Ï.Â. Çàäåðåé, 2013
60 Ì.Â. Ãà¹âñüêèé, Ï.Â. Çàäåðåé
À. Ëåáåã ïîêàçàâ [1], ùî äëÿ äîâiëüíîãî n ∈ N
‖ρn(f ;x)‖C ≤ (Ln + 1)En(f)C , (3)
äå Ln � íîðìà îïåðàòîðà Sn : f → Sn(f ; ·), ùî äi¹ ç ïðîñòîðó C â C
(¨¨ ùå íàçèâàþòü êîíñòàíòîþ Ëåáåãà ñóì Ôóð'¹).
ßê âiäîìî (äèâ., íàïðèêëàä, [4, ñ. 30]), äëÿ áóäü-ÿêîãî n ∈ N :
Ln = 4
π2 lnn + rn, äå |rn| < 1, 8. Òîìó ñïiââiäíîøåííÿ (3) ìîæíà
çàïèñàòè ó âèãëÿäi
‖ρn(f ;x)‖C ≤ (
4
π2
lnn+Rn)En(f)C , |Rn| < 2, 8. (4)
Çàóâàæèìî, ùî íåðiâíiñòü (4) íà âñüîìó ïðîñòîði C ¹ àñèìïòî-
òè÷íî òî÷íîþ, àëå âîíà ìîæå áóòè óòî÷íåíà â ïåâíîìó ðîçóìiííi
äëÿ ôóíêöié f, ùî íàëåæàòü äî äåÿêèõ ïiäìíîæèí â C.
Ê.I. Îñêîëêîâ äîâiâ [3], ùî äëÿ äîâiëüíî¨ f ∈ C
‖ρn(f ;x)‖C ≤ K
n∑
k=0
En+k(f)C
k + 1
, (5)
äå K > 0 � äåÿêà ñòàëà i ïîêàçàâ, ùî ÿêùî ε = {εk}, k = 0, 1, 2, . . ., �
ìîíîòîííî ñïàäíà äî íóëÿ ïîñëiäîâíiñòü íåâiä'¹ìíèõ ÷èñåë (íàäàëi
áóäåìî ïèñàòè ε ∈ P0) i Cε = {f ∈ C : Ek(f)C ≤ εk, k = 0, 1, 2, . . .}, òî
iñíóþòü äîäàòíi ñòàëi K1 i K2, ùî
K1
n∑
k=0
εn+k
k + 1
≤ sup
f∈Cε
‖ρn(f ;x)‖C ≤ K2
n∑
k=0
εn+k
k + 1
. (6)
Î.I. Ñòåïàíåöü ([6], [7], òàêîæ äèâ. [4, ñ. 132]) ââiâ ïîíÿòòÿ ψ̄-
ïîõiäíèõ i âèçíà÷èâ êëàñè Cψ̄C íàñòóïíèì ÷èíîì.
Íåõàé f ∈ L i (1) � ¨¨ ðÿä Ôóð'¹, ψ̄ = (ψ1, ψ2) � ïàðà äîâiëüíèõ
÷èñëîâèõ ïîñëiäîâíîñòåé ψ1(k) i ψ2(k), ïðè÷îìó äëÿ äîâiëüíîãî k ∈ N
ψ̄2(k) = ψ2
1(k) + ψ2
2(k) 6= 0.
ßêùî ðÿä
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ̄2(k)
Ak(f ;x)− ψ2(k)
ψ̄2(k)
Ãk(f ;x)
)
,
Ïðî íåðiâíiñòü Ëåáåãà íà êëàñàõ ψ̄-äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié . . . 61
äå Ak(f ;x) = ak(f) cos kx + bk(f) sin kx, Ãk(f ;x) = ak(f) sin kx −
bk(f) cos kx, ¹ ðÿäîì Ôóð'¹ äåÿêî¨ ôóíêöi¨ ϕ ∈ L, òî ϕ íàçâåìî ψ̄-
ïîõiäíîþ ôóíêöi¨ f i ïîçíà÷èìî ¨¨ ÷åðåç f ψ̄(·).
×åðåç Cψ̄ áóäåìî ïîçíà÷àòè ìíîæèíó âñiõ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié
f, ó ÿêèõ iñíóþòü ψ̄-ïîõiäíi i ïîêëàäåìî
Cψ̄C = {f ∈ Cψ̄ : f ψ̄ ∈ C},
Cψ̄Cε = {f ∈ Cψ̄ : f ψ̄ ∈ Cε},
C0 = {f ∈ C :
∫ π
−π
f(t)dt = 0}.
Äàëi ÷åðåç M ïîçíà÷èìî ìíîæèíó îïóêëèõ äîíèçó ïðè v ≥ 1
ôóíêöié ψ(v), äëÿ ÿêèõ lim
v→∞
ψ(v) = 0; M0 � ïiäìíîæèíà ôóíê-
öié ψ ∈ M, äëÿ ÿêèõ 0 < µ(ψ, t) ≤ K < ∞, äå µ(ψ, t) = t
η(t)−t òà
η(t) = η(ψ, t) = ψ−1( 1
2ψ(t)); M′ � ïiäìíîæèíà ôóíêöié ψ ∈ M, äëÿ
ÿêèõ
∫∞
1
|ψ(t)|
t dt <∞.
Îòæå, Î.I. Ñòåïàíåöü âñòàíîâèâ òàêèé àíàëîã íåðiâíîñòi Ëåáåãà
(4) ([8], òàêîæ äèâ. [4, ñ. 216]): ÿêùî ±ψ1 ∈ M0, ±ψ2 ∈ M′
0, òî äëÿ
äîâiëüíî¨ f ∈ Cψ̄C òà äîâiëüíîãî n ∈ N
‖ρn−1(f ;x)‖C ≤
≤
(
4
π2
ψ̄(n) lnn+
2
π
∫ ∞
n
|ψ2(t)|
t
dt+O(1)ψ̄(n)
)
En−1(f ψ̄)C , (7)
äå O(1) � âåëè÷èíà ðiâíîìiðíî îáìåæåíà ïî n òà ïî f, çàïèñ ±ψ ∈ A
îçíà÷à¹, ùî àáî ψ ∈ A, àáî −ψ ∈ A, äå A ∈ M.
Òàì æå â [4, ñ. 218, 242 � 244] ïîêàçàíî, ùî äëÿ ∀ε ∈ P0 iñíó¹
ôóíêöiÿ f∗ ∈ Cψ̄Cε òàêà, ùî
‖ρn−1(f∗;x)‖C =
(
4
π2
ψ̄(n) lnn+
2
π
∫ ∞
n
|ψ2(t)|
t
dt+O(1)ψ̄(n)
)
εn−1.
Ìåòîþ äàíî¨ ðîáîòè ¹ âñòàíîâëåííÿ íåðiâíîñòi Ëåáåãà òèïó (7)
äëÿ ïîñëiäîâíîñòåé ψ1(k) òà ψ2(k), ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâè Áîàñà-
Òåëÿêîâñüêîãî. Êàæóòü, ùî ïîñëiäîâíiñòü ψ(k) çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè
62 Ì.Â. Ãà¹âñüêèé, Ï.Â. Çàäåðåé
Áîàñà-Òåëÿêîâñüêîãî, ÿêùî
lim
k→∞
ψ(k) = 0, (8)
V (ψ) :=
∞∑
k=0
|4ψ(k)| <∞, äå 4ψ(k) = ψ(k)− ψ(k + 1), (9)
B0(ψ) :=
∞∑
k=2
∣∣∣∣∣
[k/2]∑
l=1
4ψ(k − l)−4ψ(k + l)
l
∣∣∣∣∣ <∞. (10)
Î.Ì. Øâåöîâà îòðèìàëà íàñòóïíèé ðåçóëüòàò [12, Ò. 1.1]:
Íåõàé n ∈ N, ψ : R −→ C ¹ ëîêàëüíî àáñîëþòíî
íåïåðåðâíîþ ôóíêöi¹þ íà (−∞,−n − 1] ∪ [n + 1,∞) äëÿ âñiõ
k ∈ Z \ {0} ψ(k) 6= 0 òà limψ(k) = 0 ïðè |k| −→ ∞, à òàêîæ
Ṽ∞n+1(ψ) =
∫∞
n+1
vraisup|u|≤t|ψ′(t)|du < ∞. Ïðèïóñêà¹òüñÿ ùå, ùî∑∞
k=n+1
|ψ(k)−ψ(−k)|
k < ∞ (öå i íåîáõiäíî). Òîäi (ââàæà¹ìî, ùî
0
0 = 0)
sup
f :fψ∈C
‖f − Sn(f ;x)‖∞
En(fψ)∞
= max
f∈Wψ
∞
‖f − Sn(f ;x)‖∞
En(fψ)∞
=
= max
f∈Wψ
∞
‖f − Sn(f ;x)‖∞ =
4
π2
n+1∑
k=1
|ψ(k + n)ψ(−k − n)|1/2E(hk+n)
khk+n
+
+
1
π
∞∑
k=n+2
|ψ(k + n)− ψ(−k − n)|
k
+O
(
Ṽ∞n+1(ψ)
)
,
äå Wψ
∞ � êëàñ íåïåðåðâíèõ ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié f , äëÿ ÿêèõ òðèãî-
íîìåòðè÷íèé ðÿä
∑
k 6=0
1
ψ(k)ck(f)eikx ¹ ðÿäîì Ôóð'¹ äåÿêî¨ îáìåæå-
íî¨ ôóíêöi¨ fψ (ψ-ïîõiäíà) òà ‖fψ‖∞ ≤ 1,
hk =
((
Re
ψ(k) + ψ(−k)
2(ψ(k)ψ(−k))1/2
)2
+
(
Im
ψ(k)− ψ(−k)
2(ψ(k)ψ(−k))1/2
)2
)1/2
,
E(h) =
∫ π/2
0
√
1− h2 sin2(t)dt, h ∈ [0, 1]
Ïðî íåðiâíiñòü Ëåáåãà íà êëàñàõ ψ̄-äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié . . . 63
� ïîâíèé åëiïòè÷íèé iíòåãðàë äðóãîãî ðîäó.
ßê çàçíà÷åíî â [12, ñ. 46], äëÿ êóñêîâî ëiíiéíèõ ôóíêöié ψ ç
âóçëàìè â öiëî÷èñëîâèõ òî÷êàõ óìîâà Ṽ∞n+1(ψ) < ∞ ì๠âèãëÿä∑∞
k=n+1 sup
k≤m
|ψ(m + 1) − ψ(m)| < ∞. Òàêó óìîâó íà ψ íàçèâàþòü
óìîâîþ Ñiäîíà-Òåëÿêîâñüêîãî i, ÿê âiäîìî [11, ñ. 217], âîíà ¹ ìåíø
çàãàëüíîþ íiæ óìîâè Áîàñà-Òåëÿêîâñüêîãî, ïðè âèêîíàííi ÿêèõ (äëÿ
ïîñëiäîâíîñòåé ψ1(k) i ψ2(k), ùî âèçíà÷àþòü ìíîæèíó ôóíêöié Cψ̄)
âñòàíîâëåíî íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.
Äëÿ äîâiëüíèõ ÷èñëîâèõ ïîñëiäîâíîñòåé a = a(k) i b = b(k),
k = 0, 1, 2, . . ., òà n ∈ N ïîêëàäåìî
Qn(a, b) :=
4
π2
n∑
k=1
√
a2(n+ k) + b2(n+ k)
k
+
2
π
∞∑
k=2n+3
|b(k)|
k
,
Rn(a, b) := Vn+1(a) + Vn+1(b) +Bn+1(a) +Bn+1(b),
äå äëÿ ÷èñëîâî¨ ïîñëiäîâíîñòi γ = γ(k), k = 0, 1, 2, . . .,
Vm(γ) =
∞∑
k=m
|4γ(k)|,
Bm(γ) =
∞∑
k=2
∣∣∣∣∣
[k/2]∑
l=1
4γ(k +m− l)−4γ(k +m+ l)
l
∣∣∣∣∣.
Òåîðåìà. Íåõàé ïîñëiäîâíîñòi ψ1(k) òà ψ2(k) çàäîâîëüíÿþòü
óìîâè (8), (9) òà (10), i äîäàòêîâî �
∑∞
k=1
|ψ2(k)|
k < ∞. Òîäi äëÿ
áóäü-ÿêî¨ ôóíêöi¨ f ∈ Cψ̄C ïðè n ∈ N ñïðàâåäëèâà íåðiâíiñòü
‖ρn(f ;x)‖C ≤
(
Qn(ψ1, ψ2) +O(1)Rn(ψ1, ψ2)
)
En(f ψ̄)C , (11)
Îêðiì òîãî, íåðiâíiñòü (11) ¹ òî÷íîþ íà êëàñi Cψ̄Cε â òîìó
ðîçóìiííi, ùî äëÿ ∀ε ∈ P0 iñíó¹ f∗ ∈ Cψ̄Cε:
‖ρn(f∗;x)‖C =
(
Qn(ψ1, ψ2) +O(1)Rn(ψ1, ψ2)
)
εn. (12)
64 Ì.Â. Ãà¹âñüêèé, Ï.Â. Çàäåðåé
Äîâåäåííÿ. ßê âiäîìî [10], óìîâè òåîðåìè íà ïîñëiäîâíîñòi
ψ1(k) òà ψ2(k) çàáåçïå÷óþòü òå, ùî ðÿä
∞∑
k=1
(ψ1(k) cos kx+ ψ2(k) sin kx)
¹ ðÿäîì Ôóð'¹ äåÿêî¨ ôóíêöi¨ ç ïðîñòîðó L i äëÿ ρn(f ;x), f ∈ Cψ̄C,
ì๠ìiñöå iíòåãðàëüíå ïðåäñòàâëåííÿ (äèâ. [4, ñ. 178])
ρn(f ;x) =
1
π
∫ π
−π
f ψ̄(u)Fn(ψ̄;x− u)du, x ∈ [−π, π],
äå Fn(ψ̄;x) =
∑∞
k=n+1(ψ1(k) cos kx+ ψ2(k) sin kx).
Íåõàé t∗n ∈ Tn � ïîëiíîì íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ ôóíêöi¨ f ψ̄.
Òîäi, î÷åâèäíî,
ρn(f ;x) =
1
π
∫ π
−π
(f ψ̄(u)− t∗n(u))Fn(ψ̄;x− u)du
i
‖ρn(f ;x)‖C ≤
1
π
∫ π
−π
‖f ψ̄(u)− t∗n(u)‖C |Fn(ψ̄;x− u)|du =
=
1
π
En(f ψ̄)C
∫ π
−π
|Fn(ψ̄;u)|du. (13)
Àíàëîãi÷íî ÿê i â [4, ñ. 312], âèêîðèñòîâóþ÷è ôîðìóëó Ñ.Î. Òå-
ëÿêîâñüêîãî [10, Ò. 1] (äèâ. òàêîæ [4, ñ. 56]) ïîêëàäàþ÷è â íié
ak = bk = 0 ïðè k ≤ n; ak = ψ1(k), bk = ψ2(k) ïðè k > n òà m = n+1,
îòðèìó¹ìî
1
π
∫ π
−π
|Fn(ψ̄;u)|du =
=
4
π2
n∑
k=1
√
ψ2
1(n+ k) + ψ2
2(n+ k)
k
+
2
π
∞∑
k=2n+3
|ψ2(k)|
k
+
+O(1)
(
Vn+1(ψ1) + Vn+1(ψ2) +Bn+1(ψ1) +Bn+1(ψ2)
)
. (14)
Îá'¹äíóþ÷è (13) òà (14), îòðèìó¹ìî (11).
Ïðî íåðiâíiñòü Ëåáåãà íà êëàñàõ ψ̄-äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié . . . 65
Äëÿ äîâåäåííÿ äðóãî¨ ÷àñòèíè òåîðåìè äîñòàòíüî äëÿ çàäàíîãî
ε ∈ P0 âêàçàòè ôóíêöi¨ ϕ̃ ∈ C0
ε , f∗ ∈ Cψ̄Cε, òàêi, ùî (f∗)ψ̄ = ϕ̃,
En(ϕ̃)C = εn i
‖ρn(f∗;x)‖C ≥
(
Qn(ψ1, ψ2) +O(1)Rn(ψ1, ψ2)
)
εn.
Ç öi¹þ ìåòîþ ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ
gn(−x) = signFn(ψ̄;x), |x| ≤ π
2
.
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç g̃n(−x), |x| ≤ π
2 , íåïåðåðâíó ôóíêöiþ, ùî ñïiâ-
ïàä๠ç gn(−x) ïðè |x| ≤ π
2 , çà âèíÿòêîì íåïåðåòèííèõ δ-îêîëiâ
òî÷êè 0 òà òî÷îê ðîçðèâó xk, äå âîíà ëiíiéíà òà ¨¨ ãðàôiê ñïîëó-
÷๠òî÷êè (−δ, gn(−δ)) i (δ, gn(δ)), à òàêîæ (xk − δ, gn(xk − δ)) òà
(xk + δ, gn(xk + δ)).
Ïðîäîâæèìî ôóíêöiþ g̃n(−x) íåïåðåðâíî íà [−π, π] òàê, ùîá
g̃n(−π) = g̃n(π), |g̃n(−x)| ≤ 1 i íà [−π, π] áóëî íå ìåíøå 2n òî÷îê
ci, â ÿêèõ |g̃n(−ci)| = 1 (â öèõ òî÷êàõ ôóíêöiÿ g̃n(−x) ïî÷åðãîâî
çìiíþ¹ çíàê) i ùîá ïðè öüîìó ìàëà ìiñöå ðiâíiñòü∫ π
−π
g̃n(−x)dx = 0.
Òîäi ϕ̃ ∈ C0, i îñêiëüêè çãiäíî ç òåîðåìîþ ×åáèøîâà [5, ñ. 68] ïîëi-
íîì íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ ïîðÿäêó n ôóíêöi¨ g̃n(−x) ¹ òîòîæíèì
íóëåì, òî En(ϕ̃)C = εn, òîáòî ϕ̃ ∈ C0
ε . Íåõàé äàëi Φn(−x) � ψ̄-
iíòåãðàë ôóíêöi¨ ϕ̃(n;−x), òîáòî
(
Φn(−x)
)ψ̄ = ϕ̃(n;−x). Ïîêëàäåìî
f∗ = Φn. Òîäi çðîçóìiëî, ùî f∗ ∈ Cψ̄Cε i
‖ρn(f∗;x)‖C = ‖ρn(Φn;x)‖C ≥
≥ |ρn(Φn; 0)| = 1
π
∣∣∣∣∣
∫ π
−π
ϕ̃(n;−u)Fn(ψ̄;u)du
∣∣∣∣∣ ≥
≥ εn
π
∫ π/2
−π/2
|Fn(ψ̄;u)|du− εn
π
∫
π/2≤|u|≤π
|Fn(ψ̄;u)|du =
66 Ì.Â. Ãà¹âñüêèé, Ï.Â. Çàäåðåé
=
εn
π
∫ π
−π
|Fn(ψ̄;u)|du− 2εn
π
∫
π/2≤|u|≤π
|Fn(ψ̄;u)|du. (15)
Îòæå,
‖ρ(f∗;x)‖C≥
εn
π
∫ π
−π
|Fn(ψ̄;u)|du+O
(
εn
∫
π/2≤|u|≤π
|Fn(ψ̄;u)|du
)
. (16)
Äëÿ îöiíêè
∫
π/2≤u≤π |Fn(ψ̄;u)|du âèêîðèñòà¹ìî îäèí ðåçóëüòàò
Ñ.Î. Òåëÿêîâñüêîãî [10, T. 2], ïîâ'ÿçàíèé ç îöiíêîþ iíòåãðàëó∫ π
c
|a0
2 +
∑∞
k=1(ak cos kx+ bk sin kx)|dx, äå c ∈ [0, π], â ÿêîìó ñëiä ïî-
êëàñòè ak = bk = 0 ïðè k ≤ n; ak = ψ1(k), bk = ψ2(k) ïðè k > n òà
m = n.
Òîäi∫
π/2≤u≤π
|Fn(ψ̄;u)|du =
4
π2
n∑
k=1
∗
ξk
k
+
2
π
∞∑
k=2n+3
∗
|ψ2(k)|
k
+
+O(1)
(
Vn+1(ψ1) + Vn+1(ψ2) +Bn+1(ψ1) +Bn+1(ψ2)
)
,
äå
ξk = ξ
(
ψ2(k),
√
(ψ1(n− k)− ψ1(n+ k))2 + (ψ2(n− k)− ψ2(n+ k))2
)
,
ôóíêöiÿ ξ(t, u) âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíîñòÿìè
ξ(t, u) =
{
π
2 |t| ïðè |u| ≤ |t|,
|t| arcsin
∣∣ t
u
∣∣+√
u2 − t2 ïðè |t| < |u|,
à Σ∗ îçíà÷à¹, ùî â öié ñóìi âçÿòi ëèøå òi äîäàíêè, äëÿ ÿêèõ π
2 ≤
π
k .
Òîìó∫ π
π/2
|Fn(ψ̄;u)|du=O(1)
(
Vn+1(ψ1)+Vn+1(ψ2)+Bn+1(ψ1)+Bn+1(ψ2)
)
. (17)
Àíàëîãi÷íèì ñïîñîáîì îòðèìó¹ìî∫ −π/2
−π
|Fn(ψ̄;u)|du =
Ïðî íåðiâíiñòü Ëåáåãà íà êëàñàõ ψ̄-äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié . . . 67
= O(1)
(
Vn+1(ψ1) + Vn+1(ψ2) +Bn+1(ψ1) +Bn+1(ψ2)
)
. (18)
Íàðåøòi iç (16) ç óðàõóâàííÿì (14), (17) i (18) îòðèìó¹ìî øóêàíó
îöiíêó çíèçó äëÿ ‖ρn(f∗;x)‖C .
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Çàóâàæåííÿ. Ó âèïàäêó, êîëè ψ1, ψ2 ¹ îïóêëèìè äîíèçó ôóíê-
öiÿìè, ÿê âñòàíîâëåíî Î.I. Ñòåïàíöåì (äèâ., íàïðèêëàä, [4, ñ. 27]),
ðiâíiñòü (12) ¹ àñèìïòîòè÷íî òî÷íîþ, òîáòî çàëèøêîâèé ÷ëåí
ì๠ïîðÿäîê ìåíøèé âiä ïîðÿäêó ãîëîâíîãî ÷ëåíà. Àñèìïòîòè÷íî
òî÷íîþ ôîðìóëà (12) áóäå, çîêðåìà, i ó âèïàäêó ìîíîòîííî ñïàäíèõ
äî 0 ïîñëiäîâíîñòåé, òîáòî êîëè ψ1(k) ≥ ψ1(k+1), ψ2(k) ≥ ψ2(k+1)
çà óìîâ limψ1(k) = 0, limψ2(k) = 0, k −→∞. Äiéñíî, òîäi
∞∑
k=n+1
|4ψ1(k)| =
∞∑
k=n+1
4ψ1(k) = ψ1(n+ 1)
òà ì๠ìiñöå îöiíêà (äîâåäåííÿ äèâ. [2, ñ. 102])
∞∑
k=2
∣∣∣∣∣
[k/2]∑
l=1
4ψ1(k + n+ 1− l)−4γ(k + n+ 1 + l)
l
∣∣∣∣∣ ≤Mψ1(n+ 1).
I àíàëîãi÷íî áóäå äëÿ ψ2. Ïðèêëàäàìè òàêèõ ïîñëiäîâíîñòåé ¹, íà-
ïðèêëàä: ψ(k) = 1
k + 1
k2
∣∣ sin k π2 ∣∣ [2, ñ. 104]; ÷è 4ψ(2s) = 1
2s òà
4ψ(k) = 0, k 6= 2s, s = 0, 1, 2, 3, . . ., ψ(k) =
∑∞
m=k4ψ(k) [11, ñ. 217].
1. Lebesgue H. Sur la repr�esentation trigonometrique approche�e des founctions
satisfaisant a une condition de Lipschitz // Bull. Soc. Math. France. � 1910.
� 38 � P. 184 � 210
2. Çàäåðåé Ï.Â. Îá óêëîíåíèè (ψ, β̄)-äèôôåðåíöèðóåìûõ ïåðèîäè÷åñêèõ
ôóíêöèé îò ëèíåéíûõ ñðåäíèõ èõ ðÿäîâ Ôóðüå. � Âàðøàâà, 1990. � Ñ. 96 �
110 � (Preprint Institute of mathematics Polish Academy of Sciences, XXXIV
semester in Banach center theory of real functions; 482)
3. Îñêîëêîâ Ê.È. Ê íåðàâåíñòâó Ëåáåãà â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå è íà ìíîæå-
ñòâå ïîëíîé ìåðû // Ìàò. çàìåòêè. � 1975. � 18, �4. � Ñ. 515 � 526.
4. Ñòåïàíåö À.È. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé: Â 2 ÷. // Ïðàöi Ií-òó ìàòå-
ìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2002. � 40. � ×. I. � 427 ñ.
5. Ñòåïàíåö À.È. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé: Â 2 ÷. // Ïðàöi Ií-òó ìàòå-
ìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2002. � 40. � ×. II. � 467 ñ.
68 Ì.Â. Ãà¹âñüêèé, Ï.Â. Çàäåðåé
6. Ñòåïàíåö À.È. Ïðèáëèæåíèå ψ̄-èíòåãðàëîâ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ñóì-
ìàìè Ôóðüå. � Êèåâ, 1996. � 70 ñ. � (Ïðåïð./ ÀÍ Óêðàèíû. Èí-ò ìàòå-
ìàòèêè; 96.11).
7. Ñòåïàíåö À.È. Î ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå íà êëàññàõ ψ̄-èíòåãðàëîâ //
Óêð. ìàò. æóðíàë. � 1997. � 49, �8. � C. 1069 � 1113.
8. Ñòåïàíåö À.È. Ïðèáëèæåíèå ψ̄-èíòåãðàëîâ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ñóì-
ìàìè Ôóðüå (íåáîëüøàÿ ãëàäêîñòü). I // Óêð. ìàò. æóðíàë. � 1998. � 50,
�2. � C. 274 � 291.
9. Ñòåïàíåö À.È. Ïðèáëèæåíèå ψ̄-èíòåãðàëîâ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ñóì-
ìàìè Ôóðüå (íåáîëüøàÿ ãëàäêîñòü). II // Óêð. ìàò. æóðíàë. � 1998. � 50,
�3. � C. 388 � 400.
10. Òåëÿêîâñêèé Ñ.À. Îöåíêà íîðìû ôóíêöèè ÷åðåç åå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå,
óäîáíàÿ â çàäà÷àõ òåîðèè àïïðîêñèìàöèè // Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. � 1971. �
109. � C. 65 � 97.
11. Ôîìèí Ã.À. Îá îäíîì êëàññå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ // Ìàò. çàìåòêè.
� 1978. � 23, �2. � Ñ. 213 � 222.
12. Øâåöîâà À.Ì. Àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèé ñ îãðàíè÷åííîé ïðîèçâîäíîé îá-
ùåãî âèäà ïîëèíîìàìè è öåëûìè ôóíêöèÿìè ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà:
Äèñ... êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. � Äîíåöê, 2001. � 120 ñ.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-139 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:54Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b9/9e3eef5462180450d7838de3bcce94b9.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1392018-01-29T14:44:27Z On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions Про нерівність Лебега на класах $\bar{\psi}$-диференційовних функцій Gayevs’kyĭ, M. V. Zadereĭ, P. V. Гаєвський, М. В. Задерей, П. В. In this paper estimates deviations of Fourier sums on the spaces $C^{\bar{\psi}}$ expressed in terms of the best approximation of $\bar{\psi}$-derivatives of functions in the understanding A.~I.~Stepanets are found. The sequence $\bar{\psi}=(\psi_1,\psi_2)$ the conditions of Boas-Telyakovskij are satisfy В роботі знайдено оцінки відхилень сум Фур'є&nbsp;на просторах $C^{\bar{\psi}},$ виражені через найкращі наближення $\bar{\psi}$-похідних функцій в розумінні О.~І.~Степанця. Послідовності $\bar{\psi}=(\psi_1,\psi_2)$ задовольняють умовам Боаса-Теляковського Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/139 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 59-68 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 59-68 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 59-68 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/139/114 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Gayevs’kyĭ, M. V. Zadereĭ, P. V. Гаєвський, М. В. Задерей, П. В. On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions |
| title | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions |
| title_alt | Про нерівність Лебега на класах $\bar{\psi}$-диференційовних функцій |
| title_full | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions |
| title_fullStr | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions |
| title_full_unstemmed | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions |
| title_short | On Lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions |
| title_sort | on lebesgue continuity on classes of $\bar{\psi}$-differentiable functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/139 |
| work_keys_str_mv | AT gayevskyimv onlebesguecontinuityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT zadereipv onlebesguecontinuityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT gaêvsʹkijmv onlebesguecontinuityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT zaderejpv onlebesguecontinuityonclassesofbarpsidifferentiablefunctions AT gayevskyimv pronerívnístʹlebeganaklasahbarpsidiferencíjovnihfunkcíj AT zadereipv pronerívnístʹlebeganaklasahbarpsidiferencíjovnihfunkcíj AT gaêvsʹkijmv pronerívnístʹlebeganaklasahbarpsidiferencíjovnihfunkcíj AT zaderejpv pronerívnístʹlebeganaklasahbarpsidiferencíjovnihfunkcíj |