Ortho-projective widths of classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$
Obtained here are the exact order estimates of orthoprojective widths of the classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for ${1\leq p< q \leq \infty}$
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/141 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552660111982592 |
|---|---|
| author | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. |
| author_facet | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. В. Дерев'янко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Derev’yanko, N. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | Obtained here are the exact order estimates of orthoprojective widths of the classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for ${1\leq p< q \leq \infty}$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 95�109
ÓÄÊ 517.5
Í.Â. Äåðåâ'ÿíêî (Ií�ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â)
ÎÖIÍÊÈ ÎÐÒÎÏÐÎÅÊÖIÉÍÈÕ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÈÊIÂ
ÊËÀÑIÂ BΩ
p,θ ÏÅÐIÎÄÈ×ÍÈÕ ÔÓÍÊÖIÉ ÁÀÃÀÒÜÎÕ
ÇÌIÍÍÈÕ Â ÏÐÎÑÒÎÐI Lq
Obtained here are the exact order estimates of orthoprojective widths of the
classes BΩ
p,θ of periodic functions of many variables in the space Lq for
1 ≤ p < q ≤ ∞.
Îòðèìàíî òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè îðòîïðîåêöiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ
êëàñiâ BΩ
p,θ ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ ó ïðîñòîði Lq ïðè
1 ≤ p < q ≤ ∞.
 äàíié ðîáîòi âñòàíîâëåíî òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè îðòîïðîåê-
öiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ BΩ
p,θ ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ çìií-
íèõ â ïðîñòîði Lq. Ïàðàëåëüíî äîñëiäæåíî íàáëèæåííÿ êëàñiâ BΩ
p,θ
â ìåòðèöi Lq ëiíiéíèìè îïåðàòîðàìè, ÿêi ïiäïîðÿäêîâóþòüñÿ äåÿêèì
óìîâàì. Áiëüø äåòàëüíî ïðî öi âåëè÷èíè ìîâà áóäå éòè ïiçíiøå, à
ñïî÷àòêó íàâåäåìî íåîáõiäíi ïîçíà÷åííÿ òà îçíà÷åííÿ.
Íåõàé Rd, d ≥ 1, � d-âèìiðíèé åâêëiäiâ ïðîñòið ç åëåìåíòàìè
x = (x1, ..., xd), y = (y1, ..., yd), (x, y) = x1y1 + ... + xdyd, i Lp(πd),
πd =
∏d
j=1[−π, π], � ïðîñòið 2π-ïåðiîäè÷íèõ çà êîæíîþ çìiííîþ i
ñóìîâíèõ ó ñòåïåíi p, 1 ≤ p < ∞ (âiäïîâiäíî ñóòò¹âî îáìåæåíèõ
ïðè p = ∞), íà êóái πd ôóíêöié f(x) = f(x1, ..., xd), íîðìà â ÿêîìó
âèçíà÷à¹òüñÿ òàêèì ÷èíîì:
‖f‖Lp(πd) = ‖f‖p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖L∞(πd) = ‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Äëÿ f ∈ Lp(πd) i h ∈ Rd ïîêëàäåìî
∆hf(x) = f(x + h)− f(x), x ∈ Rd.
c© Í.Â. Äåðåâ'ÿíêî, 2013
96 Í.Â. Äåðåâ'ÿíêî
Äàëi îçíà÷èìî çãiäíî ç ôîðìóëîþ
∆l
hf(x) = ∆h∆l−1
h f(x) , ∆0
hf(x) = f(x),
� êðàòíó ðiçíèöþ ïîðÿäêó l ∈ N ôóíêöi¨ f ó òî÷öi x = (x1, ..., xd) ç
êðîêîì h, ÿêó òàêîæ ìîæíà ïîäàòè çà äîïîìîãîþ òàêîãî ñïiââiäíî-
øåííÿ
∆l
hf(x) =
l∑
n=0
(−1)l+nCn
l f(x + nh).
Îçíà÷èìî ìîäóëü íåïåðåðâíîñòi ïîðÿäêó l ∈ N ôóíêöi¨ f ∈ Lp(πd)
çãiäíî ç ôîðìóëîþ
Ωl(f ; t)p = sup
|h|≤t
‖∆l
hf(·)‖p,
äå |h| � åâêëiäîâà íîðìà h.
Íåõàé Ω(t) � ôóíêöiÿ òèïó ìîäóëÿ íåïåðåðâíîñòi ïîðÿäêó l, ÿêà
çàäàíà íà R+ = {t, t ≥ 0}, òîáòî Ω(t) çàäîâîëüíÿ¹ òàêi óìîâè:
1) Ω(0) = 0 , Ω(t) > 0 äëÿ t > 0;
2) Ω(t) íåïåðåðâíà;
3) Ω(t) íåñïàäíà;
4) äëÿ âñiõ n ∈ Z+: Ω(nt) ≤ C1n
lΩ(t), äå l ∈ N, ñòàëà C1 > 0 íå
çàëåæèòü âiä n i t.
Ìíîæèíó òàêèõ ôóíêöié Ω ïîçíà÷èìî ÷åðåç Ψl. Çàóâàæèìî, ùî
ÿêùî f ∈ Lp(πd), òî Ωl(f ; t)p ∈ Ψl.
Òàêîæ áóäåìî ââàæàòè, ùî Ω íàëåæèòü ìíîæèíàì Sα i Sl. Öå
îçíà÷๠íàñòóïíå:
I. Ω ∈ Sα, α > 0, ÿêùî ôóíêöiÿ Ω(τ)/τα ìàéæå çðîñòà¹, òîáòî
iñíó¹ òàêà íåçàëåæíà âiä τ1 i τ2 ñòàëà C2 > 0, ùî
Ω(τ1)
τα
1
≤ C2
Ω(τ2)
τα
2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
II. Ω ∈ Sl, ÿêùî iñíó¹ γ, 0 < γ < l, òàêå ùî ôóíêöiÿ Ω(τ)/τγ
ìàéæå ñïàäà¹, òîáòî iñíó¹ òàêà íåçàëåæíà âiä τ1 i τ2 ñòàëà C3 > 0,
ùî
Ω(τ1)
τγ
1
≥ C3
Ω(τ2)
τγ
2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Îöiíêè îðòîïðîåêöiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 97
Óìîâè íàëåæíîñòi ôóíêöi¨ Ω äî ìíîæèí Sα i Sl íàçèâàþòü óìî-
âàìè Áàði-Ñò¹÷êiíà [1].
Ïîêëàäåìî òàêîæ Φα,l = Ψl ∩ Sα ∩ Sl.
Íàâåäåìî ïðèêëàä ôóíêöi¨ Ω ∈ Φα,l:
Ω(t) =
t
r
(
log+( 1
t )
)b
, t > 0 ,
0, t = 0 ,
äå log+(τ) = max{1, log(τ)}, α < r < l, à b � ôiêñîâàíå äiéñíå
÷èñëî.
Òåïåð ïåðåéäåìî áåçïîñåðåäíüî äî îçíà÷åííÿ ïðîñòîðiâ BΩ
p,θ
(äèâ., íàïðèêëàä, [2]).
Íåõàé 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φα,l. Áóäåìî ââàæàòè, ùî f ∈ BΩ
p,θ,
ÿêùî f çàäîâoëüíÿ¹ òàêi óìîâè:
1) f ∈ Lp(πd);
2) |f |BΩ
p,θ
<∞ ,
äå íàïiâíîðìà |f |BΩ
p,θ
âèçíà÷à¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿì
|f |BΩ
p,θ
=
(
+∞∫
0
(Ω`(f ;t)p
Ω(t) )θ dt
t
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞ ,
sup
t>0
Ω`(f,t)p
Ω(t) , θ = ∞.
Ïðîñòið BΩ
p,θ � ëiíiéíèé íîðìîâàíèé ïðîñòið ç íîðìîþ
‖f‖BΩ
p,θ
= ‖f‖p + |f |BΩ
p,θ
.
ßêùî Ω(t) = tr, òî ïðîñòîðè BΩ
p,θ ñïiâïàäàþòü ç ïðîñòîðàìè
Î.Â. Á¹ñîâà Br
p,θ [3] i, çîêðåìà, ïðè θ = ∞ îòðèìà¹ìî Br
p,∞ = Hr
p ,
äå Hr
p � ïðîñòîðè ââåäåíi Ñ.Ì. Íiêîëüñüêèì [4]. ßêùî ‖f‖BΩ
p,θ
≤ 1
áóäåìî ãîâîðèòè, ùî ôóíêöiÿ f íàëåæèòü êëàñó BΩ
p,θ.
Íàäàëi áóäåìî ââàæàòè, ùî äëÿ äâîõ íåâiä'¹ìíèõ âåëè÷èí A i
B çàïèñ A � B îçíà÷à¹, ùî iñíóþòü êîíñòàíòè C4, C5 > 0 òàêi,
ùî C4A ≤ B ≤ C5A. Çàïèñè A � B àáî A � B, îçíà÷àþòü ùî
C6A ≤ B i B ≤ C7A âiäïîâiäíî. Âñi êîíñòàíòè Ci, i = 1, 2, ..., ÿêi
98 Í.Â. Äåðåâ'ÿíêî
áóäóòü çóñòði÷àòèñÿ ó ðîáîòi, ìîæóòü çàëåæàòè ëèøå âiä òèõ ïàðà-
ìåòðiâ, ùî âõîäÿòü â îçíà÷åííÿ êëàñó, ìåòðèêè, â ÿêié îöiíþ¹òüñÿ
ïîõèáêà íàáëèæåííÿ, òà ðîçìiðíîñòi ïðîñòîðó Rd.
Äàëi íàì çðó÷íî áóäå êîðèñòóâàòèñÿ îçíà÷åííÿì êëàñiâ BΩ
p,θ â
äåùî iíøîìó âèãëÿäi.
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Vm(t),m ∈ N, t ∈ R, ÿäðî Âàëëå Ïóññåíà âèãëÿ-
äó
Vm(t) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kt.
Áàãàòîâèìiðíå ÿäðî Vm(x), m ∈ N, x ∈ Rd, îçíà÷èìî çà ôîðìóëîþ
Vm(x) =
d∏
j=1
Vm(xj).
Äëÿ ôóíêöi¨ f ∈ Lp(πd) ðîçãëÿíåìî îïåðàòîð çãîðòêè Vm öi¹¨
ôóíêöi¨ ç ÿäðîì Vm, òîáòî
Vmf = f ∗ Vm = Vm(f, x), x ∈ Rd .
Òàêèì ÷èíîì, Vm(f, x) � êðàòíà ñóìà Âàëëå Ïóññåíà ôóíêöi¨ f . Ïî-
êëàäåìî äëÿ f ∈ Lp(πd)
σ0(f, x) = V1(f, x), σs(f, x) = V2s(f, x)− V2s−1(f, x), s ∈ N, x ∈ Rd.
 íàâåäåíèõ ïîçíà÷åííÿõ ïðè 1 ≤ p ≤ ∞ (ç òî÷íiñòþ äî àá-
ñîëþòíèõ ñòàëèõ) êëàñè BΩ
p,θ ìîæíà îçíà÷èòè òàêèì ÷èíîì (äèâ.,
íàïðèêëàä, [2]): BΩ
p,θ = {f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,θ
≤ 1}, äå
‖f‖BΩ
p,θ
�
( ∑
s∈Z+
(
‖σs(f,·)‖p
Ω(2−s)
)θ
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞ ,
sup
s∈Z+
‖σs(f,·)‖p
Ω(2−s) , θ = ∞ .
(1)
Âàðòî çàçíà÷èòè, ùî ó âèïàäêó 1 < p <∞ ìîæíà çàïèñàòè åêâi-
âàëåíòíå ñïiââiäíîøåííÿ äëÿ íîðì ôóíêöié ç êëàñiâ BΩ
p,θ, 1 ≤ θ ≤ ∞,
âèêîðèñòîâóþ÷è â (1) çàìiñòü σs(f, x) äâiéêîâi "áëîêè" ðÿäó Ôóð'¹
ôóíêöi¨ f .
Îöiíêè îðòîïðîåêöiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 99
Íàâåäåìî äàëi òâåðäæåííÿ, ÿêi áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ïðè äî-
âåäåííi îñíîâíèõ ðåçóëüòàòiâ. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç µ(s), s ∈ Z+, ïiäìíî-
æèíó öiëî÷èñëîâî¨ ðåøiòêè Zd âèãëÿäó
µ(s) = {k = (k1, ..., kd) : [2s−1] ≤ max
j=1,d
|kj | < 2s},
äå [a] öiëà ÷àñòèíà ÷èñëà a, i äëÿ f ∈ Lp(πd) ïîçíà÷èìî
f0(x) = f̂(0) i fs(x) =
∑
k∈µ(s)
f̂(k)ei(k,x) , s ∈ N,
äå
f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt
� êîåôiöi¹íòè Ôóð'¹ ôóíêöi¨ f .
Òåîðåìà A [5]. Íåõàé f ∈ Lp(πd), 1 < p < ∞. Òîäi iñíóþòü
äîäàòíi ñòàëi C8 i C9 òàêi, ùî
C8||f ||p ≤
∣∣∣∣∣∣∣∣( ∞∑
s=0
|fs(·)|2
)1/2∣∣∣∣∣∣∣∣
p
≤ C9‖f‖p .
Òåîðåìà Á [4]. Íåõàé nj ∈ N, j = 1, d i
t(x) =
∑
|kj |≤nj ,j=1,d
ck e
i(k,x) .
Òîäi ïðè 1 ≤ q < p ≤ ∞ âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
‖t‖p ≤ 2d
d∏
j=1
n
1/q−1/p
j ‖t‖q . (2)
Íåðiâíiñòü (2) äîâåäåíà Ñ.Ì. Íiêîëüñüêèì i íàçèâà¹òüñÿ "íåðiâíiñòþ
ðiçíèõ ìåòðèê". Ó âèïàäêó d = 1 i p = ∞ âiäïîâiäíó íåðiâíiñòü äîâiâ
Äæåêñîí [6].
Ïåðåéäåìî äàëi äî îçíà÷åííÿ äîñëiäæóâàíèõ àïðîêñèìàòèâíèõ
õàðàêòåðèñòèê. Íåõàé {ui(x)}m
i=1 � îðòîíîðìîâàíà ñèñòåìà ôóíêöié
100 Í.Â. Äåðåâ'ÿíêî
ui ∈ L∞(πd). Êîæíié ôóíêöi¨ f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, ïîñòàâèìî ó
âiäïîâiäíiñòü àïàðàò íàáëèæåííÿ âèãëÿäó
m∑
i=1
(f, ui)ui(x),
òîáòî îðòîãîíàëüíó ïðîåêöiþ ôóíêöi¨ f íà ïiäïðîñòið ïîðîäæåíèé
ñèñòåìîþ ôóíêöié {ui}m
i=1. Òóò i äàëi
(f, ui) = (2π)−d
∫
πd
f(x)ui(x)dx.
ßêùî F ⊂ Lq(πd) � äåÿêèé ôóíêöiîíàëüíèé êëàñ, òî âåëè÷èíà
d⊥m(F,Lq) = inf
{ui}m
i=1
sup
f∈F
∣∣∣∣∣∣∣∣f − m∑
i=1
(f, ui)ui
∣∣∣∣∣∣∣∣
q
(3)
íàçèâà¹òüñÿ îðòîïðîåêöiéíèì ïîïåðå÷íèêîì öüîãî êëàñó â ïðî-
ñòîði Lq(πd). Îðòîïðîåêöiéíèé ïîïåðå÷íèêè ââåäåíèé Â.Ì. Òåìëÿ-
êîâèì [7].
Ïàðàëåëüíî ç ïîïåðå÷íèêàìè d⊥m(F, Lq) áóäåìî ðîçãëÿäàòè âå-
ëè÷èíè dB
m(F, Lq), òàêîæ ââåäåíi Â.Ì. Òåìëÿêîâèì (äèâ., íàïðè-
êëàä, [8]), ÿêi îçíà÷àþòüñÿ çà ôîðìóëîþ
dB
m(F, Lq) = inf
G∈Lm(B)q
sup
f∈F∩D(G)
||f −Gf ||q. (4)
Òóò ÷åðåç Lm(B)q ïîçíà÷åíî ìíîæèíó ëiíiéíèõ îïåðàòîðiâ G, ÿêi
çàäîâîëüíÿþòü óìîâè:
à) îáëàñòü âèçíà÷åííÿ D(G) öèõ îïåðàòîðiâ ìiñòèòü âñi òðèãîíî-
ìåòðè÷íi ïîëiíîìè, à ¨õ îáëàñòü çíà÷åííÿ ìiñòèòüñÿ â ïiäïðîñòîði
ðîçìiðíîñòi m ïðîñòîðó Lq(πd);
á) iñíó¹ ÷èñëî B ≥ 1 òàêå, ùî äëÿ âñiõ âåêòîðiâ k = (k1, ..., kd)
âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
||Gei(k,·)||2 ≤ B.
Çàóâàæèìî, ùî äî Lm(1)2 íàëåæàòü îïåðàòîðè îðòîãîíàëüíîãî
ïðîåêòóâàííÿ íà ïiäïðîñòîðè ðîçìiðíîñòi m, à òàêîæ îïåðàòîðè, ÿêi
Îöiíêè îðòîïðîåêöiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 101
çàäàþòüñÿ ïî îðòîíîðìîâàíié ñèñòåìi ôóíêöié çà äîïîìîãîþ ìóëü-
òèïëiêàòîðà, ÿêèé îçíà÷à¹òüñÿ ïîñëiäîâíiñòþ {λl} òàêîþ, ùî |λl| ≤ 1
äëÿ âñiõ l.
Çãiäíî ç îçíà÷åííÿì âåëè÷èí d⊥m(F, Lq) i dB
m(F, Lq) âîíè ïîâ'ÿ-
çàíi ìiæ ñîáîþ íåðiâíiñòþ
dB
m(F, Lq) ≤ d⊥m(F, Lq). (5)
Îòæå, îöiíêè çíèçó âåëè÷èí dB
m(F, Lq) ìîæóòü ñëóæèòè îöiíêà-
ìè çíèçó äëÿ îðòîïðîåêöiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ d⊥m(F, Lq) i, íàâïàêè,
îöiíêè çâåðõó äëÿ ïîïåðå÷íèêiâ d⊥m(F, Lq) ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè
äëÿ îöiíîê çâåðõó âåëè÷èí dB
m(F, Lq). Öþ îáñòàâèíó áóäåìî âèêîðè-
ñòîâóâàòè ïðè äîâåäåííi âiäïîâiäíèõ òâåðäæåíü. Âiäìiòèìî òàêîæ,
ùî ïðè äîâåäåííi îöiíîê çíèçó âåëè÷èí dB
m(BΩ
p,θ, Lq) áóäåìî âèêîðè-
ñòîâóâàòè ìåòîä, ÿêèé çàñòîñîâóâàâ Â.Ì. Òåìëÿêîâ ïðè âñòàíîâëåííi
îöiíîê âåëè÷èí dB
m(F, Lq) äëÿ êëàñiâ F = W r
p,α àáî F = Hr
p [7�9].
Ñóòü öüîãî ìåòîäó ïîëÿã๠â ïîáóäîâi ôóíêöié ç êëàñiâ BΩ
p,θ, ÿêi "ïî-
ãàíî" íàáëèæàþòüñÿ çà äîïîìîãîþ îïåðàòîðiâ G.
Äåòàëüíiøó iíôîðìàöiþ ñòîñîâíî äîñëiäæåííÿ âåëè÷èí (3) i (4)
ìîæíà çíàéòè ó ðîáîòàõ [9�13], à òàêîæ ó ìîíîãðàôiÿõ [8] òà [14].
Ïðè âñòàíîâëåííi îöiíîê çâåðõó ïîïåðå÷íèêiâ d⊥m(F, Lq) íàì
çíàäîáëÿòüñÿ âiäîìi îöiíêè íàáëèæåííÿ ôóíêöié ç êëàñiâ BΩ
p,θ ¨õ
êóái÷íèìè ñóìàìè Ôóð'¹. Äëÿ òîãî, ùîá ñôîðìóëþâàòè âiäïîâiäíi
ðåçóëüòàòè íàâåäåìî íåîáõiäíi ïîçíà÷åííÿ òà îçíà÷åííÿ.
Äëÿ f ∈ L1(πd) i n ∈ N ÷åðåç S�2n (f)(x) ïîçíà÷èìî êðàòíó ñóìó
Ôóð'¹
S�2n (f)(x) =
∑
k∈�2n
f̂(k)ei(k,x),
äå �2n = {k = (k1, ..., kd) : |kj | < 2n, 1 ≤ j ≤ d}, ÿêó íàçèâàþòü
êóái÷íîþ ñóìîþ Ôóð'¹.
Äëÿ f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, ïîêëàäåìî
E�2n (f)q = ‖f − S�2n (f)‖q,
à äëÿ ôóíêöiîíàëüíîãî êëàñó F ⊂ Lq(πd)
E�2n (F )q = sup
f∈F
E�2n (f)q .
102 Í.Â. Äåðåâ'ÿíêî
Òåîðåìà Â [15]. Íåõàé 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞, (p, q) 6∈ {(1, 1), (∞,∞)} i
ôóíêöiÿ Ω ∈ Φα,l, α > d(1/p− 1/q)+. Òîäi
E�2n (BΩ
p,θ)q � Ω(2−n)2nd(1/p−1/q)+ ,
äå a+ = max{a; 0}.
Òåïåð ïåðåéäåìî äî ôîðìóëþâàííÿ i äîâåäåííÿ îòðèìàíèõ ðå-
çóëüòàòiâ.
Òåîðåìà. Íåõàé 1 ≤ p < q ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i ôóíêöiÿ Ω ∈ Φα,l,
α > d( 1
p −
1
q ). Òîäi
dB
m(BΩ
p,θ, Lq) � d⊥m(BΩ
p,θ, Lq) � Ω(m−1/d)m1/p−1/q. (6)
Äîâåäåííÿ. Âñòàíîâèìî ñïî÷àòêó â (6) îöiíêè çâåðõó äëÿ îð-
òîïðîåêöiéíîãî ïîïåðå÷íèêà d⊥m(BΩ
p,θ, Lq) i âiäïîâiäíî äëÿ âåëè÷è-
íè dB
m(BΩ
p,θ, Lq). Îñêiëüêè âåëè÷èíè d⊥m(BΩ
p,θ, Lq) i E�2n (BΩ
p,θ)q, äå
m � 2nd, ïîâ'ÿçàíi ìiæ ñîáîþ ïîðÿäêîâîþ íåðiâíiñòþ
d⊥m(BΩ
p,θ, Lq) � E�2n (BΩ
p,θ)q,
òî çãiäíî ç òåîðåìîþ Â i íåðiâíiñòþ (5) ìîæåìî çàïèñàòè
dB
m(BΩ
p,θ, Lq) ≤ d⊥m(BΩ
p,θ, Lq) � Ω(2−n)2nd(1/p−1/q) �
� Ω(m−1/d)m1/p−1/q.
Îöiíêó çâåðõó îäåðæàíî.
Òåïåð ïåðåéäåìî äî âñòàíîâëåííÿ â (6) îöiíîê çíèçó. Îñêiëüêè
ì๠ìiñöå âêëàäåííÿ BΩ
p,1 ⊂ BΩ
p,θ, 1 < θ ≤ ∞, òî, ç îãëÿäó íà
íåðiâíiñòü (5), âiäïîâiäíó îöiíêó äîñòàòíüî îòðèìàòè äëÿ âåëè÷èí
dB
m(BΩ
p,1, Lq). Çðîáèìî ñïî÷àòêó äåÿêi çàóâàæåííÿ i íàâåäåìî äîïî-
ìiæíi òâåðäæåííÿ, ÿêi áóäóòü ïðè öüîìó âèêîðèñòîâóâàòèñü.
Ïðè îöiíöi çíèçó âåëè÷èí dB
m(BΩ
p,1, Lq) áóäåìî ââàæàòè, ùî îïå-
ðàòîðè G íàëåæàòü ìíîæèíi Lm(B)2 i ó çâ'ÿçêó ç öèì íàâåäåìî ìið-
êóâàííÿ Òåìëÿêîâà Â.Ì. (äèâ., íàïðèêëàä, [9]), ÿêi ïiäâåðäæóþòü,
ùî òàêå ïðèïóùåííÿ íå ¹ äîäàòêîâèì îáìåæåííÿì íà îïåðàòîðè G.
Ó âèïàäêó q ≥ 2 óìîâà G ∈ Lm(B)2 ¹ áåçïîñåðåäíiì íàñëiä-
êîì óìîâè G ∈ Lm(B)q. Ïîêàæåìî òåïåð, ùî ÿêùî G ∈ Lm(B)q ïðè
1 ≤ q < 2, òî G ∈ Lm(B)2.
Îöiíêè îðòîïðîåêöiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 103
Íåõàé
VL(x) =
d∏
j=1
VL(xj)
� ÿäðî Âàëëå Ïóññåíà äëÿ êóáà [−L, L]d ç ðåáðîì 2L+ 1 i
VLf = f ∗ VL.
Âiäîìî, ùî äëÿ äîâiëüíîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî ïîëiíîìà t ç "íîìåðà-
ìè" ãàðìîíiê iç [−L, L]d i äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞,
âèêîíóþòüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ
VLt = t, ‖VLf‖q ≤ 3d‖f‖q.
ÍåõàéG ∈ Lm(B)q. Ðîçãëÿíåìî îïåðàòîð A = VLG. Òîäi A ∈ Lm(B)2
i äëÿ áóäü-ÿêîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî ïîëiíîìà ç íîìåðàìè ãàðìîíiê
iç [−L, L]d ìîæåìî çàïèñàòè
‖t−At‖q = ‖VL(t−Gt)‖q ≤ 3d‖t−Gt‖q.
Iç öi¹¨ íåðiâíîñòi âèïëèâà¹, ùî ïðè îòðèìàíi ïîðÿäêîâèõ îöiíîê çíèçó
âåëè÷èí dB
m(F ∩ T , Lq), äå T � ìíîæèíà òðèãîíîìåòðè÷íèõ ïîëiíî-
ìiâ, óìîâè G ∈ Lm(B)2 i G ∈ Lm(B)q ðiâíîñèëüíi.
Îòæå, íåõàé îïåðàòîð G ∈ Lm(B)2 i äëÿ äîâiëüíîãî âåêòîðà k =
= (k1, ..., kd)
Gei(k,x) =
m∑
l=1
ak
l ψl(x),
äå m � ðîçìiðíiñòü ïiäïðîñòîðó çíà÷åíü îïåðàòîðà G â L2(πd), à
{ψl(x)}m
l=1 � îðòîíîðìîâàíèé áàçèñ â öüîìó ïiäïðîñòîði. Çàóâàæèìî,
ùî m ≤ m i äëÿ âñiõ k = (k1, ..., kd)
m∑
l=1
|ak
l |2 ≤ B2,
à òàêîæ äëÿ äîâiëüíîãî l ∑
k
|ψ̂l(k)|2 ≤ 1.
104 Í.Â. Äåðåâ'ÿíêî
Äàëi áóäåìî êîðèñòóâàòèñÿ äîïîìiæíèì òâåðäæåííÿì (äèâ., íà-
ïðèêëàä, [9]).
Ëåììà A. Íåõàé A � ëiíiéíèé îïåðàòîð òàêèé, ùî äëÿ äîâiëü-
íîãî âåêòîðà k = (k1, ..., kd), kj ∈ Z, j = 1, d,
Aei(k,x) =
m∑
l=1
ak
l ψl(x),
äå {ψl(x)}m
l=1 � çàäàíà ñèñòåìà ôóíêöié äëÿ ÿêî¨ ||ψl(·)||2 ≤ 1,
l = 1, m.
Òîäi äëÿ äîâiëüíîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî ïîëiíîìà t áóäå âèêîíó-
âàòèñü íåðiâíiñòü
min
y=x
Re At(x− y) ≤
{
m
m∑
l=1
∑
k
|ak
l t̂(k)|2
}1/2
.
Òåïåð ïåðåéäåìî áåçïîñåðåäíüî äî îòðèìàííÿ îöiíêè çíèçó âåëè-
÷èí dB
m(BΩ
p,1, Lq).
Ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ
ϕn(x) = ei(kn,x)
d∏
j=1
K2n−2−1(xj),
äå
Kl−1(t) =
∑
|k|≤l−1
(
1− |k|
l
)
eikt
� ÿäðî Ôåé¹ðà ïîðÿäêó l, Km(t) ≡ 1 ïðè m < 1 i kn = (kn
1 , ..., k
n
d ),
kn
j =
{
2n−1 + 2n−2, n ≥ 2,
1, n = 1.
×åðåç ρ(n), n ∈ Z+, ïîçíà÷èìî ïiäìíîæèíó öiëî÷èñëîâî¨ ðåøiòêè
Zd âèãëÿäó
ρ(n) = {k = (k1, ..., kd) : [2n−1] ≤ |kj | < 2n, j = 1, d}.
Îöiíêè îðòîïðîåêöiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 105
Òîäi T (µ(n)) i T (ρ(n)) � âiäïîâiäíî ìíîæèíè òðèãîíîìåòðè÷íèõ
ïîëiíîìiâ ç "íîìåðàìè" ãàðìîíiê iç µ(n) i ρ(n). Äàëi ïîçíà÷èìî ÷åðåç
Qn ìíîæèíó "íîìåðiâ" ãàðìîíiê ôóíêöi¨ ϕn. Çãiäíî ç îçíà÷åííÿì öi¹¨
ôóíêöi¨ Qn ⊂ ρ(n). Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî ρ(n) ⊂ µ(n) i âiäïîâiäíî
T (ρ(n)) ⊂ T (µ(n)).
Íåõàé çàäàíî îïåðàòîð G ∈ Lm(B)q, m < |Qn|. Òóò i äàëi ÷åðåç
|M | áóäåìî ïîçíà÷àòè êiëüêiñòü åëåìåíòiâ ìíîæèíè M . Ðîçãëÿíåìî
îïåðàòîð A âèãëÿäó
A = (Sn − Sn−1)G.
Òîäi A ∈ Lm(B)q, i îáëàñòþ çíà÷åíü îïåðàòîðà A ¹ ïiäïðîñòið
Am ⊂ T (µ(n)) ðîçìiðíîñòi dimAm = m ≤ m. Êðiì òîãî, çãiäíî ç
íàñëiäêîì ç òåîðåìè A
‖Sl‖q→q ≤ C10, 1 < q <∞, l ∈ Z+,
i òîìó äëÿ f ∈ T (µ(n)) ìîæåìî çàïèñàòè
‖f −Af‖q = ‖(Sn − Sn−1)(f −Gf)‖q � ‖f −Gf‖q,
i, ÿê íàñëiäîê,
inf
A∈Lm(B)q
sup
f∈BΩ
p,θ∩T (µ(n))
‖f −Af‖q � dB
m(BΩ
p,θ, Lq), (7)
äå inf áåðåòüñÿ ïî ìíîæèíi Lm(B)q îïåðàòîðiâ A ç îáëàñòþ çíà÷åíü
Am ⊂ T (µ(n)).
Âñòàíîâèìî îöiíêó çíèçó âåëè÷èí â ëiâié ÷àñòèíi ñïiââiäíîøåí-
íÿ (7).
Íåõàé ñïî÷àòêó q = ∞. Ðîçãëÿíåìî âåëè÷èíó
I = sup
y
‖ϕn(x− y)−Aϕn(x− y)‖∞.
Ëåãêî áà÷èòè, ùî
I ≥ ϕn(0)−min
y=x
Re Aϕn(x− y). (8)
Îöiíèìî êîæíèé äîäàíîê ïðàâî¨ ÷àñòèíè (8). Çãiäíî ç îçíà÷åííÿì
ôóíêöi¨ ϕn ìîæåìî çàïèñàòè
ϕn(0) ≥ C11|Qn|, C11 > 0. (9)
106 Í.Â. Äåðåâ'ÿíêî
Äàëi, íåõàé {ψl(x)}m
l=1 � îðòîíîðìîâàíèé áàçèñ â Am i
Aei(k,x) =
m∑
l=1
ak
l ψl(x).
Òîäi ( m∑
l=1
|ak
l |2
)1/2
≤ B
i çãiäíî ç ëåìîþ A ìà¹ìî
min
y=x
Re Aϕn(x− y) ≤
{
m
m∑
l=1
∑
k∈Qn
|ak
l ϕ̂n(k)|2
}1/2
≤
≤
{
m
m∑
l=1
∑
k∈Qn
|ak
l |2
}1/2
=
{
m
∑
k∈Qn
m∑
l=1
|ak
l |2
}1/2
≤
≤ B(m|Qn|)1/2. (10)
Âèáåðåìî n ∈ N òàê, ùîá âèêîíóâàëèñü ñïiââiäíîøåííÿ
m � 2nd, C11|Qn| > 2B(m|Qn|)1/2.
Òîäi âèêîðèñòîâóþ÷è îöiíêè (8)�(10) i âðàõîâóþ÷è, ùî |Qn| � 2nd,
îòðèìó¹ìî
I = sup
y
‖ϕn(x− y)−Aϕn(x− y)‖∞ ≥
≥ C11|Qn| −B(m|Qn|)1/2 > B(m|Qn|)1/2 � 2nd.
Âiäïîâiäíî, çíàéäåòüñÿ y∗ òàêèé, ùî
‖ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)‖∞ � 2nd. (11)
Ðîçãëÿíåìî òåïåð âèïàäîê 1 < q < ∞. Îñêiëüêè ïîëiíîìè
t ∈ T (µ(n)) ìàþòü ñòåïiíü íå âèùå 2n ïî êîæíié çìiííié xj , j = 1, d,
òî çãiäíî ç íåðiâíiñòþ ðiçíèõ ìåòðèê ìîæåìî çàïèñàòè
‖t‖∞ � 2nd/q‖t‖q.
Îöiíêè îðòîïðîåêöiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 107
Ñêîðèñòàâøèñü (11), áóäåìî ìàòè
‖ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)‖q �
� 2−nd/q‖ϕn(x−y∗)−Aϕn(x−y∗)‖∞ � 2−nd/q2nd = 2nd(1−1/q). (12)
Äëÿ çàâåðøåííÿ äîâåäåííÿ îöiíêè çíèçó âåëè÷èíè dB
m(BΩ
p,1, Lq)
ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ
g(x) = C12Ω(2−n)2−nd(1−1/p)ϕn(x), C12 > 0.
Âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâiñòü ÿäðà Ôåé¹ðà (äèâ., íàïðèêëàä, [14,
c. 91])
‖σn(ϕn, ·)‖p � 2nd(1−1/p), 1 ≤ p ≤ ∞,
çãiäíî ç îçíà÷åííÿì ‖ · ‖BΩ
p,1
, à òàêîæ âðàõîâóþ÷è òå, ùî ôóíêöiÿ
Ω(t) íå ñïàä๠ïðè t ≥ 0, îòðèìó¹ìî
‖ϕn‖BΩ
p,1
=
n∑
s=0
Ω−1(2−s)‖σs(ϕn, ·)‖p ≤
≤ Ω−1(2−n)
n∑
s=0
‖σs(ϕn, ·)‖p �
� Ω−1(2−n)‖σn(ϕn, ·)‖p � Ω−1(2−n)2nd(1−1/p) .
Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî ïðè âiäïîâiäíîìó âèáîði êîíñòàíòè C12 > 0
ôóíêöiÿ g íàëåæèòü äî êëàñó BΩ
p,1.
Òàêèì ÷èíîì, âèêîðèñòîâóþ÷è îöiíêè (11) i (12) âiäïîâiäíî ïðè
q = ∞ i 1 < q <∞, íà ïiäñòàâi (7) áóäåìî ìàòè
dB
m(BΩ
p,θ, Lq) � dB
m(BΩ
p,1, Lq) � ‖g(x− y∗)−Ag(x− y∗)‖q �
� Ω(2−n)2−nd(1−1/p)‖ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)‖q �
� Ω(2−n)2−nd(1−1/p)2nd(1−1/q) =
= Ω(2−n)2nd(1/p−1/q) � Ω(m−1/d)m1/p−1/q.
Îöiíêó çíèçó i ðàçîì ç íåþ òåîðåìó äîâåäåíî.
108 Í.Â. Äåðåâ'ÿíêî
Íà çàâåðøåííÿ ðîáîòè íàâåäåìî äåÿêi çàóâàæåííÿ.
Çàóâàæåííÿ 1. ßêùî Ω(t) = tr, òî âiäïîâiäíå òâåðäæåííÿ äî
òåîðåìè 1 âñòàíîâëåío ðàíiøå ó ðîáîòi [16].
Çàóâàæåííÿ 2. Â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó îöiíêè (6) áóëî âñòà-
íîâëåíî ó ðîáîòi [17].
1. Áàðè Í.Ê., Ñòå÷êèí Ñ.Á. Íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ è äèôôåðåíöèàëü-
íûå ñâîéñòâà äâóõ ñîïðÿæåííûõ ôóíêöèé // Òð. Ìîñê. ìàò. î-âà. � 1956. �
5. � Ñ. 483 � 522.
2. Xu Guiqiao. The n-widths for a generalized periodic Besov classes // Añta
Math. Sci. � 2005. � 25, �4. � P. 663 � 671.
3. Áåñîâ Î.Â. Î íåêîòîðîì ñåìåéñòâå ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ. Òåîðå-
ìû âëîæåíèÿ è ïðîäîëæåíèÿ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1959. � 126, �6. �
Ñ. 1163 � 1165.
4. Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Íåðàâåíñòâà äëÿ öåëûõ ôóíêöèé êîíå÷íîé ñòåïåíè è èõ
ïðèìåíåíèå â òåîðèè äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ //
Òð. Ìàò. èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1951. � 38. � Ñ. 244 � 278.
5. Ëèçîðêèí Ï.È. Îáîáùåííûå ãåëüäåðîâû ïðîñòðàíñòâà B
(r)
p,θ è èõ ñîîòíî-
øåíèÿ ñ ïðîñòðàíñòâàìè Ñîáîëåâà L
(r)
p // Ñèá. ìàò. æóðí. � 1968. � 9,
�5. � Ñ. 1127 � 1152.
6. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math.
Soc. � 1933. � 39, �12. � P. 889 � 906.
7. Òåìëÿêîâ Â.Í. Ïîïåðå÷íèêè íåêîòîðûõ êëàññîâ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïå-
ðåìåííûõ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1982. � 267, �2. � C. 314 � 317.
8. Òåìëÿêîâ Â.Í. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé ñ îãðàíè÷åííîé ñìåøàííîé ïðîèç-
âîäíîé // Òð. Ìàò. èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1986. � 178, �2. � C. 3 � 113.
9. Òåìëÿêîâ Â.Í. Îöåíêè àñèìïòîòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê êëàññîâ ôóíê-
öèé ñ îãðàíè÷åííîé ñìåøàííîé ïðîèçâîäíîé èëè ðàçíîñòüþ // Òð. ÌÈÀÍ
ÑÑÑÐ. � 1989. � 189. � Ñ. 138 � 168.
10. Àíäðèàíîâ À.Â., Òåìëÿêîâ Â.Í. Î äâóõ ìåòîäàõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâîéñòâ
ñèñòåì ôóíêöèé îò îäíîé ïåðåìåííîé íà èõ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå // Òð.
ÌÈÐÀÍ. � 1997. � 219. � Ñ. 32 � 43.
11. Ãàëååâ Ý.Ì. Ïîðÿäêè îðòîïðîåêöèîííûõ ïîïåðå÷íèêîâ êëàññîâ ïåðèî-
äè÷åñêèõ ôóíêöèé îäíîé è íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ // Ìàò. çàìåòêè. �
1988. � 43, �2. � Ñ. 197 � 211.
12. Ãàëååâ Ý.Ì. Ïðèáëèæåíèå êëàññîâ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ
ïåðåìåííûõ ÿäåðíûìè îïåðàòîðàìè // Ìàò. çàìåòêè. � 1990. � 47, �3. �
Ñ. 32 � 41.
13. Ðîìàíþê À.Ñ. Ïîïåðå÷íèêè è íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå êëàññîâ Br
p,θ ïå-
ðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ // Anal. Math. � 2011. � 37,
�3. � Ñ. 181 � 213.
Îöiíêè îðòîïðîåêöiéíèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 109
14. Temlyakov V.N. Approximation of periodic functions. � New York: Nova
Sci. Publ. Inc., 1993. � 272 p.
15. Ñòàñþê Ñ.À. Íàáëèæåííÿ êëàñiâ Bω
p,θ ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ
çìiííèõ ïîëiíîìàìè çi ñïåêòðîì â êóái÷íèõ îáëàñòÿõ // Ìàò. ñòóäi¨. �
2011. � 35, �1. � Ñ. 66 � 73.
16. Ðîìàíþê À.Ñ., Ðîìàíþê Â.Ñ. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è îðòîïðîåêöèîííûå
ïîïåðå÷íèêè êëàññîâ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ // Óêð.
ìàò. æóðí. � 2009. � 61, �10. � Ñ. 1348 � 1366.
17. Ôåäóíèê Î.Â. Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ BΩ
p,θ ïå-
ðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ â ïðîñòîði Lq // Ïðîáëåìè òåîði¨
íàáëèæåííÿ ôóíêöié òà ñóìiæíi ïèòàííÿ: Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòè-
êè ÍÀÍ Óêðà¨íè.� 2005. � 2, �2. � Ñ. 268 � 294.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-141 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:58Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b1/96f8674dc43459b611da58bb593645b1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1412018-01-29T14:44:27Z Ortho-projective widths of classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ Оцінки ортопроекційних поперечників класів $B_{p,\theta}^\Omega$ періодичних функцій багатьох змінних в просторі $L_q$ Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. Obtained here are the exact order estimates&nbsp;of orthoprojective widths of the classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for ${1\leq p&lt; q \leq \infty}$ Отримано точні за порядком оцінки ортопроекційних поперечників класів $B_{p,\theta}^\Omega$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ при ${1\leq p&lt; q \leq \infty}$&nbsp; Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/141 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 95-109 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 95-109 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 95-109 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/141/116 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. Ortho-projective widths of classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title | Ortho-projective widths of classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_alt | Оцінки ортопроекційних поперечників класів $B_{p,\theta}^\Omega$ періодичних функцій багатьох змінних в просторі $L_q$ |
| title_full | Ortho-projective widths of classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_fullStr | Ortho-projective widths of classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_full_unstemmed | Ortho-projective widths of classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_short | Ortho-projective widths of classes $B_{p,\theta}^\Omega$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_sort | ortho-projective widths of classes $b_{p,\theta}^\omega$ of periodic functions of many variables in the space $l_q$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/141 |
| work_keys_str_mv | AT derevyankonv orthoprojectivewidthsofclassesbpthetaomegaofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT derev039ânkonv orthoprojectivewidthsofclassesbpthetaomegaofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT derevyankonv ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbpthetaomegaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihvprostorílq AT derev039ânkonv ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívbpthetaomegaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihvprostorílq |