Estimates of the convergence of the Remezy type algorithm for interpolation classes
Quadratical convergence of Remez type algorithm for the best approximation by unisolvent function is proven under conditions equivalent to ones for quadratical convergence of Remez algorithm for polinomials
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/144 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552661695332352 |
|---|---|
| author | Ivaschuk, Ya. G. Іващук, Я. Г. |
| author_facet | Ivaschuk, Ya. G. Іващук, Я. Г. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. Г. Іващук",
"institution": "Національний університет водного господарства та природокористування"
}
] |
| author_sort | Ivaschuk, Ya. G. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | Quadratical convergence of Remez type algorithm for the best approximation by unisolvent function is proven under conditions equivalent to ones for quadratical convergence of Remez algorithm for polinomials |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 126�132
ÓÄÊ 517.5
ß.Ã. Iâàùóê (Íàö. óí-ò âîäíîãî ãîñïîäàðñòâà òà ïðèðîäîêîðèñòó-
âàííÿ, Ðiâíå)
ÎÖIÍÊÈ ÇÁIÆÍÎÑÒI ÀËÃÎÐÈÒÌÓ ÐÅÌÅÇÎÂÎÃÎ ÒÈ-
ÏÓ ÄËß IÍÒÅÐÏÎËßÖIÉÍÈÕ ÊËÀÑIÂ
Quadratical convergence of Remez type algorithm for the best approximation
by unisolvent function is proven under conditions equivalent to ones for
quadratical convergence of Remez algorithm for polinomials.
 ñòàòòi äîâåäåíî êâàäðàòè÷íó çáiæíiñòü àëãîðèòìó ðåìåçîâîãî òèïó
äëÿ iíòåðïîëÿöiéíèõ êëàñiâ ïðè óìîâàõ, àíàëîãi÷íèõ òèì, ïðè ÿêèõ çà-
áåçïå÷ó¹òüñÿ êâàäðàòè÷íà çáiæíiñòü àëãîðèòìó Ðåìåçà äëÿ ïîëiíîìiâ.
Âñòóï. Íà âiäðiçêó [a, b] ðîçãëÿäà¹òüñÿ ïðîñòið C [a, b] íåïå-
ðåðâíèõ ôóíêöié òà iíòåðïîëÿöiéíèé êëàñ F ïîðÿäêó n − 1, åëå-
ìåíòè ÿêîãî íåïåðåðâíi ïî çìiííié x i íåïåðåðâíî äèôåðåíöiéîâ-
íi ïî ïàðàìåòðàõ cj , j = 1, n. Iíòåðïîëÿöiéíèì êëàñîì F ïîðÿä-
êó n − 1 íàçèâà¹òüñÿ ìíîæèíà íåïåðåðâíèõ ïî x ∈ [a, b] ôóíêöié
y = F ( x, c1, c2, . . . , cn), çàëåæíèõ âiä ïàðàìåòðiâ c1, c2, ..., cn, â ÿêî-
ìó îäíîçíà÷íî ðîçâ'ÿçó¹òüñÿ iíòåðïîëÿöiéíà çàäà÷à â n äîâiëüíèõ
òî÷êàõ âiäðiçêà [a, b] [1, ñ. 25]. Îïåðàòîð P : C [a, b] → F , ÿêèé ó
âiäïîâiäíiñòü êîæíié íåïåðåðâíié ôóíêöi¨ f ∈ C [a, b] ñòàâèòü åëå-
ìåíò ¨¨ íàéêðàùîãî ðiâíîìiðíîãî íàáëèæåííÿ P (f, x) ∈ F , íàçèâà¹-
ìî îïåðàòîðîì íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ. Âåëè÷èíó íàéêðàùîãî ðiâ-
íîìiðíîãî íàáëèæåííÿ ôóíêöi¨ f ∈ C [a, b] ïîçíà÷èìî ÷åðåç E (f),
òîáòî E (f)= ‖ f − P (f) ‖C[a,b].
ßê âiäîìî, àëãîðèòì Ðåìåçà [1, ñ. 28] ïåðåäáà÷๠iòåðàöiéíèé ïðî-
öåñ, äå íà êîæíié iòåðàöi¨ áóäó¹òüñÿ åëåìåíò íàéêðàùîãî íàáëèæåí-
íÿ íà ñêií÷åííié ìíîæèíi iç n+1 òî÷êè (÷åáèøîâñüêà iíòåðïîëÿöiÿ).
Ó âèïàäêó íåëiíiéíèõ iíòåðïîëÿöiéíèõ êëàñiâ ïîáóäîâà òàêîãî íàé-
êðàùîãî íàáëèæåííÿ â ñâîþ ÷åðãó ïîòðåáó¹ äîäàòêîâî iòåðàöiéíîãî
ïðîöåñó íà êîæíié ñêií÷åííié ìíîæèíi iç n + 1 òî÷êè. Òàêèì ÷èíîì
êëàñè÷íèé àëãîðèòì Ðåìåçà äëÿ iíòåðïîëÿöiéíèõ êëàñiâ ñêëàäà¹òüñÿ
iç äâîõ âêëàäåíèõ iòåðàöiéíèõ ïðîöåñiâ [2, ñ. 196].
c© ß.Ã. Iâàùóê, 2013
Îöiíêè çáiæíîñòi àëãîðèòìó Ðåìåçîâîãî òèïó . . . 127
Çàïðîïîíîâàíèé àëãîðèòì ðåìåçîâîãî òèïó ðåàëiçó¹òüñÿ îäíèì
iòåðàöiéíèì ïðîöåñîì.
1. Îñíîâíi ïîçíà÷åííÿ i ñòèñëèé îïèñ àëãîðèòìó. Àëãî-
ðèòì ïîáóäîâè åëåìåíòà íàéêðàùîãî ðiâíîìiðíîãî íàáëèæåííÿ â ií-
òåðïîëÿöiéíîìó êëàñi îïèñàíî ó [2, ñ. 197]. Òàì æå äîâåäåíî éî-
ãî ëiíiéíó çáiæíiñòü. Iòåðàöiéíèé ïðîöåñ ìîæå ðîçïî÷èíàòèñÿ ç äî-
âiëüíîãî ïî÷àòêîâîãî åëåìåíòà F (x, c0) ç iíòåðïîëÿöiéíîãî êëàñó òà
äîâiëüíî¨ ïî÷àòêîâî¨ ìíîæèíè òî÷îê X0 = {x0
1, x
0
2, ..., x
0
n+1}. Âè-
êîíóþ÷è iòåðàöiþ s çíàõîäèìî òî÷êó xs
∗ ∈ [a, b], ó ÿêié ðiçíèöÿ
f − F
(
x, cs−1
)
íàáóâ๠íàéáiëüøîãî çà ìîäóëåì çíà÷åííÿ, i áóäó¹ìî
ìíîæèíó Xs = Xs−1\
{
xs−1
j0
}
∪ {xs
∗}, âèêëþ÷àþ÷è òàêó òî÷êó xs−1
j0
,
ùîá íà íîâié ìíîæèíi Xs ðiçíèöÿ f − F
(
x, cs−1
)
çáåðiãàëà àëüòåð-
íàíñ. Ïîçíà÷èìî:
Es = ‖f − F (x, cs)‖C[a,b] , e
s = min {|f − F (x, cs)| , x ∈ Xs} .
Ïîáóäó¹ìî íà ìíîæèíi Xs äîïîìiæíó ôóíêöiþ gs òàê, ùîá åëå-
ìåíò F (x, cs−1) áóâ íàéêðàùèì ðiâíîìiðíèì íàáëèæåííÿì ôóíêöi¨
f + gs íà öié ìíîæèíi, i ïðè öüîìó âèêîíóâàëàñü óìîâà:∥∥f − F
(
x, cs−1
)∥∥
C[a,b]
=
∥∥f (x) + gs − F
(
x, cs−1
)∥∥
C(Xs)
.
Äëÿ öüîãî äîñòàòíüî ïîêëàñòè â óñiõ òî÷êàõ xs
j ìíîæèíè Xs:
gs
(
xs
j
)
= Es−1sign
(
f
(
xs
j
)
− F
(
xs
j , c
s−1
))
−
(
f
(
xs
j
)
− F
(
xs
j , c
s−1
))
.
Äàëi, ïîâòîðþþ÷è êðîêè íîâîãî àëãîðèòìó ïîáóäîâè åëå-
ìåíòà íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ íà ìíîæèíi ç n + 1 òî÷-
êè [2, c. 192, 193], çíàõîäèìî êîåôiöi¹íòè ïîõiäíî¨-ïîëiíîìà
Ds (f + gs,−gs) =
∑n
k=1 ds
k
∂F(x,cs−1)
∂cs−1
k
òà âåëè÷èíó αs íàéêðàùîãî íà-
áëèæåííÿ ôóíêöi¨ −gs (x) öèì ïîëiíîìîì íà ìíîæèíi Xs iç ñèñòåìè
ëiíiéíèõ àëãåáðà¨÷íèõ ðiâíÿíü:
D
(
f + gs,−gs, x
s
j
)
+ αs (−1)j
θ = −gs
(
xs
j
)
, θ ∈ {−1, 1}, (1)
ïiäáèðà¹ìî âåëè÷èíó êðîêó ts ÿê çàçíà÷åíî ó [2, ñ. 197] òà çíàõîäèìî
ïàðàìåòðè íàñòóïíîãî åëåìåíòà F s(x, cs) çà ôîðìóëîþ cs
k = cs−1
k +
128 ß.Ã. Iâàùóê
tsd
s
k. ßê äîâåäåíî ó [2, ñ. 198], ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêî¨ iòåðàöi¨ s çíà÷åííÿ
êðîêó ts = 1.
 ðåçóëüòàòi îòðèìó¹ìî ïîñëiäîâíiñòü ôóíêöié F s(x, cs),
s = 0, 1, . . ., iíòåðïîëÿöiéíîãî êëàñó F çáiæíó äî åëåìåíòà
F ∗(x, c∗) = P (f, x) çi øâèäêiñòþ ãåîìåòðè÷íî¨ ïðîãðåñi¨.
×åðåç P ïîçíà÷èìî îïåðàòîð íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ åëåìåíòà-
ìè iíòåðïîëÿöiéíîãî êëàñó. Ó [3, ñ. 178] äîâåäåíî, ùî îïåðàòîð P
çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó Ëiïøèöÿ, à ó [4, ñ. 72] äîâåäåíî éîãî äèôåðåíöié-
îâíiñòü çà íàïðÿìêîì, à òàêîæ ñëàáêó äèôåðåíöiéîâíiñòü (ïî Ãàòî)
ó âèïàäêó, êîëè ìíîæèíà òî÷îê ìàêñèìàëüíîãî âiäõèëåííÿ ìiñòèòü
ðiâíî n + 1 òî÷êó.
2. Îñíîâíèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà. Íåõàé çàäàíà íà [a, b] ôóíêöiÿ f(x) ¹ äâi÷i íåïåðåðâ-
íî äèôåðåíöiéîâíîþ, à ôóíêöi¨ F (x, c1, c2, . . . , cn) iíòåðïîëÿöiéíîãî
êëàñó F äâi÷i íåïåðåðâíî äèôåðåíöiéîâíi ïî x òà ïî ïàðàìåòðàõ
c1, c2, . . . , cn i íåõàé P (f, x) ¹ åëåìåíòîì íàéêðàùîãî ðiâíîìiðíî-
ãî íàáëèæåííÿ ôóíêöi¨ f (x). ßêùî ìîäóëü ðiçíèöi f (x) − P (f, x)
äîñÿã๠ñâîãî ìàêñèìóìó ðiâíî â n + 1 òî÷öi x1, x2, . . . , xn+1, ÿêi
óòâîðþþòü ÷åáèøîâñüêèé àëüòåðíàíñ öi¹¨ ðiçíèöi íà âiäðiçêó [a, b],
i â êîæíié òàêié òî÷öi âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
f ′′ (xj)− P ′′
xx (f, xj) 6= 0, j = 1, 2, . . . , n + 1,
òî ïîñëiäîâíiñòü åëåìåíòiâ F s ( x, cs
1, c
s
2, . . . , cs
n) ïîáóäîâàíà çà àëãî-
ðèòìîì ðåìåçîâîãî òèïó, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî íîìåðà s, çáiãà¹òüñÿ
äî åëåìåíòà íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ ôóíêöi¨ f(x) ç êâàäðàòè÷íîþ
øâèäêiñòþ.
Äîâåäåííÿ. Íàäàëi áóäåìî ðîçãëÿäàòè îöiíêè â íîðìi ïðîñòîðó
C[a, b], ÿêùî íå çàçíà÷åíî íîðìó iíøîãî ïðîñòîðó.
Áóäåìî äîâîäèòè, ùî, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêî¨ iòåðàöi¨, âèêîíó¹òüñÿ
íåðiâíiñòü
‖P(f)− F s‖ ≤ K
∥∥P(f)− F s−1
∥∥2
, K = const > 0.
Íà s-ìó êðîöi iòåðàöi¨ àëãîðèòìó ôóíêöiÿ gs çàäà¹òüñÿ íà ñêií÷åí-
íié ìíîæèíi Xs. Ïðè âèêîíàííi óìîâ 1)-2) ìîæíà ïðîäîâæèòè öþ
ôóíêöiþ äî äâi÷i íåïåðåðâíî äèôåðåíöiéíî¨ íà âñüîìó âiäðiçêó [a, b]
Îöiíêè çáiæíîñòi àëãîðèòìó Ðåìåçîâîãî òèïó . . . 129
iç çáåðåæåííÿì íîðìè i çàáåçïå÷åííÿì ðiâíîñòi
‖f + gs − F s‖C(Xs) = ‖f + gs − F s‖C[a,b] = ‖f + gs − F s‖ .
Îñêiëüêè àëãîðèòì çáiãà¹òüñÿ [2, ñ. 197 � 198], òî, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêî¨
s-¨ iòåðàöi¨, áóäóòü âèêîíóâàòèñÿ òàêi óìîâè:
1) â òî÷êàõ ìíîæèíè Xs ðiçíèöÿ f(x)−F s−1(x) çìiíþ¹ çíàê (àëü-
òåðíó¹);
2) ðiçíèöÿ f + (1− t)gs − P(f + (1− t)gs) ìàòèìå ðiâíî n + 1 åêñ-
òðåìàëüíó òî÷êó ïðè êîæíîìó t, 0 ≤ t ≤ 1, i âiäïîâiäíî îïåðàòîð
íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ áóäå äèôåðåíöiéîâàíèé ïî Ãàòî ó êîæíié
òî÷öi f + (1− t)gs;
3) çíà÷åííÿ êðîêó ts = 1;
4) ‖gs‖ < 1 .
Ïîõiäíà îïåðàòîðà íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ ó òî÷öi f + (1− t)gs,
0 ≤ t ≤ 1, çà íàïðÿìêîì −gs çíàõîäèòüñÿ iç ñèñòåìè ðiâíÿíü
D (xj (t)) + (−1)j
θ α (t) = −gs (xj (t)) , θ ∈ {−1, 1}, (2)
äå xj(t), j = 1, ..., n, ¹ òî÷êàìè àëüòåðíàíñó ðiçíèöi
f+(1−t)gs−P(f + (1− t)gs), à α(t)=E
′
(t)= d‖f+(1−t)gs−P(f+(1−t)gs)‖
dt
� ïîõiäíà âiä âåëè÷èíè íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ ïî ïàðàìåòðó t
[2, ñ. 194].
Çîêðåìà, ïðè t = 0 ïîõiäíà D(f + gs,−gs) çíàõîäèòüñÿ iç ñèñòåìè
ðiâíÿíü (1).
Îñêiëüêè ïðè âèêîíàííi óìîâ 1)-3) âèçíà÷íèê ìàòðèöi ñèñòåìè
(2) âiäîêðåìëåíèé âiä íóëÿ äëÿ âñiõ çíà÷åíü t ∈ [0, 1], òî êîåôiöi¹íòè
di (t) ïîëiíîìà ïîõiäíî¨ D çàäîâîëüíÿþòü íåðiâíiñòü
|di (t)| ≤ k2 ‖gs‖ . (3)
Ç iíøî¨ ñèñòåìè ðiâíÿíü
f
′
x(xj(t)) + (1− t)gs
′
x (xj(t))− P
′
x(xj(t), t) = 0,
âèïëèâà¹, ùî âñi ôóíêöi¨ xj (t) äèôåðåíöiéîâàíi ïî t i ¨õíi ïîõiäíi
òàêîæ ¹ îáìåæåíèìè. Ñïðàâäi, çà òåîðåìîþ ïðî íåÿâíó ôóíêöiþ,
íåðiâíiñòþ (3) â óìîâàõ òåîðåìè ìà¹ìî:
130 ß.Ã. Iâàùóê
∣∣∣∣d xj (t)
dt
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣−
(
f ′x + (1− t) · gs
′
x − P′
x (xj (t))
)′
t
(f ′x + (1− t) · gs
′
x − P′
x (xj (t)))
′
x
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣ −gs
′
x (xj (t))−D′
x (xj (t))
f ′′xx + (1− t) · gs
′′
xx (xj (t))− P′′
xx (xj (t))
∣∣∣∣∣ ,
à îñêiëüêè çà óìîâîþ òåîðåìè f ′′xx + (1− t) · gs
′′
xx (xj (t)) −
−P′′
xx (xj (t)) 6= 0, òî∣∣∣∣d xj (t)
dt
∣∣∣∣ ≤ k3 ‖gs‖ , k3 = const > 0. (4)
Îñêiëüêè ïîëiíîìè D(x, t) çäiéñíþþòü ÷åáèøîâñüêó iíòåðïîëÿöiþ
ôóíêöi¨ −gs (x) ó òî÷êàõ xj(t) i ¹ íåïåðåðâíî äèôåðåíöiéîâíèìè ïî
çìiííié x, òî ç (4) âèïëèâ๠íåðiâíiñòü
‖D (f + gs,−gs)‖ ≤ k1 ‖gs‖ .
Iç òîãî ôàêòó, ùî åëåìåíòè iíòåðïîëÿöiéíîãî êëàñó ¹ äâi÷i íåïå-
ðåâíî äèôåðåíöiéîâàíèì çà ïàðàìåòðàìè, âèïëèâà¹, ùî çàëèøêîâèé
÷ëåí Rs1 ôîðìóëè ñêií÷åííèõ ïðèðîñòiâ
F s = F (cs−1 + ds) = F (cs−1) + D(f + gs,−gs) + Rs1
çàäîâîëüíÿ¹ íåðiâíiñòü
‖Rs1‖ ≤ A0 max ‖ds
i‖
2 ≤ A1 ‖gs‖2
. (5)
Çà íåðiâíiñòþ òðèêóòíèêà ç âèêîðèñòàííÿì ôîðìóëè ñêií÷åííèõ
ïðèðîñòiâ iç çàëèøêîâèì ÷ëåíîì [5, ñ. 649] ìà¹ìî:
‖P(f)− F s‖ ≤
∥∥P(f)− F s−1 −D(f + gs,−gs)
∥∥ + A1 ‖gs‖2 ≤
≤ sup
0≤θ≤1
∥∥∥P
′
(f)− P
′
(f + θgs)
∥∥∥ ‖gs‖+ A1 ‖gs‖2
. (6)
Ïîõiäíîþ îïåðàòîðà P íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ â íàïðÿìêó
ôóíêöi¨ −gs ¹ ëiíiéíèé îïåðàòîð, ÿêèé çäiéñíþ¹ ÷åáèøîâñüêó ií-
òåðïîëÿöiþ ôóíêöi¨ −gs íà ìíîæèíi òî÷îê àëüòåðíàíñó. Íà îñíîâi
Îöiíêè çáiæíîñòi àëãîðèòìó Ðåìåçîâîãî òèïó . . . 131
íåðiâíîñòi (4) âiääàëü ìiæ âiäïîâiäíèìè òî÷êàìè àëüòåðíàíñó äëÿ
íàéêðàùèõ íàáëèæåíü ôóíêöié f òà f + θ gs ïî ïîðÿäêó íå ïåðåâè-
ùó¹ íîðìè ‖gs‖, òîìó ìà¹ìî íåðiâíiñòü
sup
0≤θ≤1
∥∥∥P
′
(f)− P
′
(f + θgs)
∥∥∥ ≤ A2 ‖gs‖ .
 ïiäñóìêó iç (5), (6) òà îñòàííüî¨ íåðiâíîñòi âèïëèâ๠íåðiâíiñòü
‖P(f)− F s‖ ≤ A ‖gs‖2
. (7)
Ïîêàæåìî, ùî
c ‖gs‖ ≤
∥∥P(f)− F s−1
∥∥ , c = const > 0. (8)
Ìiðêóþ÷è ÿê i ïðè äîâåäåííi íåðiâíîñòi (6), îòðèìó¹ìî
P(f)− P(f + gs) = D(f + gs,−gs) + Rs2,
‖P(f)− P(f + gs)‖ ≥ ‖D(f + gs,−gs)‖ −A2 ‖gs‖2
.
Îñêiëüêè ðiçíèöÿ f(x)−F s−1(x, cs−1) ó òî÷êàõ ìíîæèíè Xs çìi-
íþ¹ çíàê, òî çíàêîçìiííîþ ó öèõ òî÷êàõ áóäå i ôóíêöiÿ −gs (ÿêùî
¨¨ íóëüîâèì çíà÷åííÿì ïðè ïîòðåái ïðèïèñàòè çíàêè ïëþñ ÷è ìiíóñ).
Òîìó ïîëiíîì D(f +gs,−gs) íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ öi¹¨ ôóíêöi¨ íà
ìíîæèíi Xs çàäîâîëüíÿ¹ íåðiâíiñòü
‖D(f + gs,−gs)‖ ≥ c0 ‖gs‖C[a,b] = c0 ‖gs‖ .
Ó ïiäñóìêó îòðèìó¹ìî ïîòðiáíó íåðiâíiñòü (8):
‖P(f)− P(f + gs)‖ ≥ c ‖gs‖ , c = const > 0.
Ç íåðiâíîñòåé (7) òà (8) âèïëèâ๠íåðiâíiñòü:
‖P(f)− F s‖ ≤ A ‖gs‖2 ≤ A
c2
∥∥P(f)− F s−1
∥∥2
= K
∥∥P(f)− F s−1
∥∥2
.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
132 ß.Ã. Iâàùóê
1. Ðåìåç Å.ß., Ãàâðèëþê Â.Ò. Î ïîñòðîåíèè ÷åáûøåâñêèõ ïðèáëèæåíèé
ôóíêöèÿìè èíòåðïîëÿöèîííûõ êëàññîâ // Óêð. ìàò. æóð. � 1971. � 23,
�1. � C. 25 � 33.
2. Iâàùóê ß.Ã. Àëãîðèòìè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü ôóíêöié iíòåðïîëÿöiéíèìè
êëàñàìè // Òåîðiÿ íàáëèæåíü ôóíêöié òà ¨¨ çàñòîñóâàííÿ: Ïðàöi Iíñòèòóòó
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2000. � 31. � Ñ. 190 � 200.
3. Angelos J.R., Henry M.S., Kaufman E.H., Kroo A., Lenker T.D. Local
Lipschitz and Strong Unicity Constants for Certain Nonlinear Famlies //
Journal of aproximation theory. � 1989. � 58. � Ð. 164 � 183.
4. Iâàùóê ß.Ã., Êîâòóíåöü Â.Â. Äèôåðåíöiàëüíi âëàñòèâîñòi îïåðàòîðà íàé-
êðàùîãî ðiâíîìiðíîãî íàáëèæåííÿ ôóíêöié åëåìåíòàìè iíòåðïîëÿöiéíîãî
êëàñó // Âîëèíñüêèé ìàòåìàòè÷íèé âiñíèê. � 1999. � 6. � Ñ. 69 � 75.
5. Êàíòîðîâè÷ Ë.Â., Àêèëîâ Ã.Ï. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. � Ì.: Íàóêà,
1984. � 752 ñ.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-144 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:59Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b1/28e94b844cc463086c9a4a5b7c3126b1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1442018-01-29T14:44:27Z Estimates of the convergence of the Remezy type algorithm for interpolation classes Оцінки збіжності алгоритму Ремезового типу для інтерполяційних класів Ivaschuk, Ya. G. Іващук, Я. Г. Quadratical convergence of Remez type algorithm for the best approximation by unisolvent function is proven under conditions equivalent to ones for quadratical convergence of Remez algorithm for polinomials В статті доведено квадратичну збіжність&nbsp;алгоритму ремезового типу для інтерполяційних класів при умовах, аналогічних тим, при яких забезпечується квадратична збіжність алгоритму Ремеза для поліномів&nbsp; Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/144 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 126-132 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 126-132 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 126-132 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/144/120 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Ivaschuk, Ya. G. Іващук, Я. Г. Estimates of the convergence of the Remezy type algorithm for interpolation classes |
| title | Estimates of the convergence of the Remezy type algorithm for interpolation classes |
| title_alt | Оцінки збіжності алгоритму Ремезового типу для інтерполяційних класів |
| title_full | Estimates of the convergence of the Remezy type algorithm for interpolation classes |
| title_fullStr | Estimates of the convergence of the Remezy type algorithm for interpolation classes |
| title_full_unstemmed | Estimates of the convergence of the Remezy type algorithm for interpolation classes |
| title_short | Estimates of the convergence of the Remezy type algorithm for interpolation classes |
| title_sort | estimates of the convergence of the remezy type algorithm for interpolation classes |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/144 |
| work_keys_str_mv | AT ivaschukyag estimatesoftheconvergenceoftheremezytypealgorithmforinterpolationclasses AT ívaŝukâg estimatesoftheconvergenceoftheremezytypealgorithmforinterpolationclasses AT ivaschukyag ocínkizbížnostíalgoritmuremezovogotipudlâínterpolâcíjnihklasív AT ívaŝukâg ocínkizbížnostíalgoritmuremezovogotipudlâínterpolâcíjnihklasív |