Separating transformations in problems of extremal decomposition of the complex plane
In this paper we consider a problem on a description of extremal configurations under which a product of inner radii for mutually non-overlapping domains gets a maximum.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/145 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552661318893568 |
|---|---|
| author | Bakhtin, A. K. Bakhtina, G. P. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Бахтина, Г. П. Денега, И. В. |
| author_facet | Bakhtin, A. K. Bakhtina, G. P. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Бахтина, Г. П. Денега, И. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bakhtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | In this paper we consider a problem on a description of extremal configurations under which a product of inner radii for mutually non-overlapping domains gets a maximum. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 17–23
УДК 517.54
A.К. Бахтин 1, Г.П. Бахтина 2,
И. В. Денега 3
1,3 (Институт математики НАН Украины, Киев)
2 (Национальный технический университет Украины “Киевский
политехнический институт”, Киев)
1 alexander.bahtin@yandex.ru, 2 bakhtina@ntu-kpi.kiev.ua,
3 iradenega@yandex.ru
Разделяющее преобразование в
задачах об экстремальном разбиении
комплексной плоскости
В данной работе изучается одна известная проблема об описании
экстремальных конфигураций, которые максимизируют произведение
внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей.
In this paper we consider a problem on a description of extremal
configurations under which a product of inner radii for mutually non-
overlapping domains gets a maximum.
1. Введение. Экстремальные задачи о неналегающих областях
составляют известное направление в геометрической теории функций
комплексного переменного, созданное в работах многих исследовате-
лей (см., например, [1 – 17]). В последнее время большой интерес вы-
зывают экстремальные задачи о неналегающих областях со свободны-
ми полюсами. Первые задачи такого типа рассмотрены в [17]. Пер-
воначальным толчком к развитию данной тематики послужила рабо-
та [14], в которой впервые решена задача о максимуме произведения
конформных радиусов двух непересекающихся односвязных областей
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
18 A. К. Бахтин, Г.П. Бахтина, И. В. Денега
и в дальнейшем это направление получило значительное развитие в ра-
ботах многих авторов. Одним из важных элементов исследования экс-
тремальных задач является теория квадратичных дифференциалов,
один из ключевых результатов которой — “Основная структурная тео-
рема” Дж. А. Дженкинса, дающая полное описание глобальной струк-
туры траекторий положительного квадратичного дифференциала на
конечной римановой поверхности [16]. Новые возможности для данной
теории возникли благодаря методу кусочно-разделяющего преобразо-
вания [1 – 3], позволяющему, при определенных условиях, сводить за-
дачи с большим числом неизвестных параметров к задачам с меньшим
их числом. Это обстоятельство позволило решить ряд трудных задач.
Задача такого типа рассмотрена в этой работе.
2. Обозначения и определения. Пусть N, R — множество
натуральных и вещественных чисел, соответственно, C — комплексная
плоскость, C = C
∪
{∞} — расширенная комплексная плоскость или
сфера Римана, R+ = (0,∞).
Системой неналегающих областей называется конечный набор про-
извольных областей {Bk}nk=1, n ∈ N, n > 2 таких, что Bk ⊂ C,
Bk ∩Bm = ∅, k ̸= m, k,m = 1, n.
Пусть r(B, a) — внутренний радиус области B ⊂ C, относительно
точки a ∈ B (см., например, [1, 3, 4]). Внутренний радиус области B
связан с обобщенной функцией Грина gB(z, a) области B (см. [4, 15])
соотношением
gB(z, a) = − ln |z − a|+ lg r(B, a) + o(1), z → a,
gB(z,∞) = ln |z|+ lg r(B, a) + o(1), z → ∞.
Введем обозначения Pk = Pk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1},
an+1 := a1, αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1, k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2.
Данная работа базируется на применении кусочно-разделяющего
преобразования, развитого в [1, с. 48 – 50], [3, с. 120]. Пусть ζ = πk(w)
обозначает ту однозначную ветвь многозначной аналитической функ-
ции −i
(
e−iθkw
) 1
αk , k = 1, n, которая осуществляет однолистное и кон-
формное отображение Pk на правую полуплоскость Re ζ > 0.
3. Основные результаты. Целью данной работы является
Разделяющее преобразование в задачах об экстремальном... 19
получение точных оценок сверху для функционала следующего вида
Jn(γ) = rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (1)
где γ ∈ R+, An = {ak}nk=1 — система точек расположенная на единич-
ной окружности, a0 = 0, {Bk}nk=0 — система неналегающих областей
таких, что ak ∈ Bk при k = 0, n.
Пусть
Fδ(x) = 2x
2+6 · xx2+2−2δ · (2− x)−
1
2 (2−x)2(2 + x)−
1
2 (2+x)2 ,
x ∈ (0, 2], 0 6 δ 6 0, 7.
Теорема 1. Пусть n ∈ N, n > 4, γ ∈ (0, 1 ], 0 6 δ 6 0, 7. То-
гда для любой системы различных точек единичной окружности
An = {ak}nk=1 и любого набора взаимно неналегающих областей Bk,
ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, a0 = 0, справедливо неравенство
Jn(γ) 6 γ− δ·n
2 ·
(
n∏
k=1
αk
)δ
·
[
Fδ
(
2
n
√
γ
)]n
2
.
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда ak и Bk,
k = 0, n, являются, соответственно, полюсами и круговыми обла-
стями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = − (n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
Д оказательство. При доказательстве теоремы 1 существенно ис-
пользуются идеи доказательства теоремы 4 [2] (см. также [7]) и свой-
ства разделяющего преобразования [1–3]. Повторяя рассуждения, при-
веденные в [4] при доказательстве теоремы 5.2.3, и учитывая опреде-
ления пункта 2 для наборов областей {Pk}nk=1, функций {πk(w)}nk=1 и
чисел {αk}nk=1, получим неравенство для функционала (1)
Jn(γ) 6 γ− δn
2
(
n∏
k=1
αk
)δ [ n∏
k=1
Fδ (αk
√
γ)
]1/2
δ ∈ [0; 0, 7]. (2)
20 A. К. Бахтин, Г.П. Бахтина, И. В. Денега
Теперь рассмотрим вспомогательный функционал
J̃n(γ) = γ
δn
2
(
n∏
k=1
αk
)−δ
J (γ)
n .
Из неравенства (2) следует, что
J̃n(γ) 6
[
n∏
k=1
Fδ (αk
√
γ)
] 1
2
.
Далее мы используем метод, предложенный в работе [7]. Рассмот-
рим экстремальную задачу
n∏
k=1
Fδ(xk) −→ max,
n∑
k=1
xk = 2
√
γ, xk = αk
√
γ
0 < xk 6 2, 0 6 δ 6 0, 7.
Пусть Ψδ(x) = ln (Fδ(x)) и X(0) =
{
x
(0)
k
}n
k=1
— произвольный экстре-
мальный набор точек выше указанной задачи.
Поскольку экстремальный набор точек
{
x
(0)
k
}n
k=1
зависит, вообще
говоря, от параметров γ и δ, то в дальнейшем, там, где это необходи-
мо, мы будем явно обозначать зависимость этих точек от указанных
параметров.
Известно [4, 12], что экстремальные конфигурации могут реализо-
ваться только при условии 0 < xk < 2, k = 1, n. Повторяя рассуждения
работы [7], получаем утверждение: если 0 < x
(0)
k < x
(0)
j < 2, k ̸= j, то-
гда имеет место следующее соотношение
Ψ′
δ(x
(0)
k ) = Ψ′
δ(x
(0)
j ), (3)
где k, j = 1, n, k ̸= j, 0 6 δ 6 0, 7. Покажем, что на основании соотно-
шения (3) при условиях теоремы 1 выполняется равенство
x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x(0)
n .
Положим σ1 := σ1(δ, γ) = min
16k6n
x
(0)
k (δ, γ), σ0 := σ0(δ, γ) =
= max
16k6n
x
(0)
k (δ, γ), σ1 6 σk 6 σ0, k = 1, n, 0 6 δ 6 0, 7, γ ∈ (0, 1].
Разделяющее преобразование в задачах об экстремальном... 21
Функция
Ψ′
δ(x) = 2x ln(2x) + (2− x) ln(2− x)− (2 + x) ln(2 + x) +
2
x
− 2δ
x
убывает на промежутке (0, x0(δ, γ)], x0(0, 7; γ) 6 x0(δ, γ) 6 x0(0, γ),
(x0(0, 7; γ) ≈ 1, 08441, x0(0, γ) ≈ 1, 324664) и возрастает на [x0(δ, γ), 2)
(см. Рис. 1).
Рис. 1: График функции Ψ′
δ(x)
Функция Ψ′′
δ (x) строго возрастает на (0, 2), таким образом выпол-
няется соотношение signΨ′′
δ (x) ≡ sign (x− x0(δ, γ)).
Если σ0 6 x0(δ, γ), то в силу строгой монотонности Ψ′
δ(x) на
[0, x0(δ, γ)], получаем, что x
(0)
1 = . . . = x
(0)
n .
Предположим, что x0(δ, γ) 6 σ0 < 1, 9, тогда
σ1 6 1
n− 1
n−1∑
k=1
x
(0)
k =
2
√
γ − σ0
n− 1
6 2− σ0
n− 1
.
Следовательно для n > 4, γ ∈ (0, 1], 0 6 δ 6 0, 7, выполняются нера-
22 A. К. Бахтин, Г.П. Бахтина, И. В. Денега
венства
σ1 6 (2
√
γ−σ0)/(n−1) 6 (2−x0(δ, γ))/3 6 (2−1, 08441)/3 < 0, 305197.
В силу убывания Ψ′
δ(x) на (0, x0(δ, γ)) имеем
Ψ′
δ(σ1) > Ψ′
δ(0, 305197) > Ψ′
0,7(0, 305197) = 0, 633521 >
> 0, 587569 = Ψ′
0(1, 9) > Ψ′
δ(σ0),
что противоречит соотношению (3). Следовательно, получаем проти-
воречие с экстремальностью набора
{
x
(0)
k
}n
k=1
и, таким образом, σ0 не
может принадлежать [x0(δ, γ); 1, 9).
Допустим, что 1, 9 6 σ0 6 2. Тогда для n > 4, γ ∈ (0, 1], 0 6 δ 6 0, 7,
имеем
σ1 6 (2
√
γ − σ0)/(n− 1) 6 (2− 1, 9)/3 < 0, 033333.
То есть,
Ψ′
δ(σ1) > Ψ′
δ(0, 033333) > Ψ′
0,7(0, 033333) = 17, 706772 >
> 1 = Ψ′
0(2) > Ψ′
δ(σ0),
что противоречит условию (3). Таким образом, σ0 также не может
принадлежать выше указанному промежутку [x0(δ, γ); 2). Следова-
тельно, для экстремального набора
{
x
(0)
k
}n
k=1
возможен только случай
x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x
(0)
n . В силу логарифмичной выпуклости, справед-
ливо соотношение
n∏
k=1
Fδ
(
αk
√
γ
)
6
[
Fδ
(
2
n
√
γ
)]n. Утверждение о до-
стижимости знака равенства проверяется непосредственно. Теорема 1
доказана.
Список литературы
[1] Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функ-
ций комплексного переменного // Успехи мат. наук. — 1994. — 49,
№ 1(295). — С. 3 – 76.
[2] Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экс-
тремальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та
АН СССР. — 1988. — 168. — С. 48 – 66.
Разделяющее преобразование в задачах об экстремальном... 23
[3] Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометриче-
ской теории функций комплексного переменного. — Владивосток: Даль-
наука, ДВО РАН, 2009. – 390 с.
[4] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-
алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном
анализе. — Працi Iн-ту мат-ки НАН Укр. — К.: Iн-т математики НАН
України. — 2008. — 308 с.
[5] Бахтiн О. К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних обла-
стей та вiдкритих множин // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 5. —
С. 596 – 610.
[6] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Подвысоцкий Р.В. Неравенства для внут-
ренних радиусов неналегающих областей // Доп. НАН України. —
2009. — №9. — C. 7 – 11.
[7] Ковалев Л.В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными по-
люсами на окружности // Дальневост. мат. сб. — 1996. — 2. — С. 96 – 98.
[8] Кузьмина Г.В. О связи различных задач об экстремальном разбие-
нии // Зап. науч. сем. ПОМИ. — 1998. — 254. — С. 116 – 131.
[9] Подвысоцкий Р.В. Об одном неравенстве для внутренних радиусов нена-
легающих областей // Доп. НАН України. — 2009. — № 12. — С. 33 – 37.
[10] Bakhtin A.K., Bakhtina G.P., Denega I.V. Inequalities in problems on non-
overlapping domains // arXiv preprint /arXiv:1108.2383 [math.CV]/. —
2011. (in Russian).
[11] Заболотний Я.В. Про одну екстремальну задачу В.М. Дубинiна // Укр.
мат. журн. — 2012. — 64, №1. — С. 24 – 31.
[12] Денега И.В. Квадратичные дифференциалы и разделяющее преобразо-
вание в экстремальных задачах о неналегающих областях // Доп. НАН
України. — 2012. — №4. — С. 15 – 19.
[13] Колбина Л.И. Конформное отображение единичного круга на ненале-
гающие области // Вестник Ленинград. ун-та. — 1955. — 5. — С. 37 – 43.
[14] Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР. — 1934. — 5. — С. 159 – 245.
[15] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного перемен-
ного. — М.:Наука, 1966. — 628 с.
[16] Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображе-
ния. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 256 с.
[17] Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы
в задачах о неналегающих областях. Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат.
наук. — Киев, 1975. — 11 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-145 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:59Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ad/5e8333bb2b3546df2996269ff4d1f2ad.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1452018-01-23T12:10:05Z Separating transformations in problems of extremal decomposition of the complex plane Разделяющее преобразование в задачах об экстремальном разбиении комплексной плоскости Bakhtin, A. K. Bakhtina, G. P. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Бахтина, Г. П. Денега, И. В. In this paper we consider a problem on a description of extremal configurations under which a product of inner radii for mutually non-overlapping domains gets a maximum. В данной работе изучается одна известная проблема об описании экстремальных конфигураций, которые максимизируют произведение внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/145 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 17–23 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 17–23 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 17–23 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/145/119 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Bakhtin, A. K. Bakhtina, G. P. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Бахтина, Г. П. Денега, И. В. Separating transformations in problems of extremal decomposition of the complex plane |
| title | Separating transformations in problems of extremal decomposition of the complex plane |
| title_alt | Разделяющее преобразование в задачах об экстремальном разбиении комплексной плоскости |
| title_full | Separating transformations in problems of extremal decomposition of the complex plane |
| title_fullStr | Separating transformations in problems of extremal decomposition of the complex plane |
| title_full_unstemmed | Separating transformations in problems of extremal decomposition of the complex plane |
| title_short | Separating transformations in problems of extremal decomposition of the complex plane |
| title_sort | separating transformations in problems of extremal decomposition of the complex plane |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/145 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak separatingtransformationsinproblemsofextremaldecompositionofthecomplexplane AT bakhtinagp separatingtransformationsinproblemsofextremaldecompositionofthecomplexplane AT denegaiv separatingtransformationsinproblemsofextremaldecompositionofthecomplexplane AT bahtinak separatingtransformationsinproblemsofextremaldecompositionofthecomplexplane AT bahtinagp separatingtransformationsinproblemsofextremaldecompositionofthecomplexplane AT denegaiv separatingtransformationsinproblemsofextremaldecompositionofthecomplexplane AT bakhtinak razdelâûŝeepreobrazovanievzadačahobékstremalʹnomrazbieniikompleksnojploskosti AT bakhtinagp razdelâûŝeepreobrazovanievzadačahobékstremalʹnomrazbieniikompleksnojploskosti AT denegaiv razdelâûŝeepreobrazovanievzadačahobékstremalʹnomrazbieniikompleksnojploskosti AT bahtinak razdelâûŝeepreobrazovanievzadačahobékstremalʹnomrazbieniikompleksnojploskosti AT bahtinagp razdelâûŝeepreobrazovanievzadačahobékstremalʹnomrazbieniikompleksnojploskosti AT denegaiv razdelâûŝeepreobrazovanievzadačahobékstremalʹnomrazbieniikompleksnojploskosti |