Estimates of products of inner radii of regions in the problem of extremal decomposition of the complex plane
The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory of complex variable associated with estimates of functionals defined on systems of non-overlapping domains.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/146 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552665845596160 |
|---|---|
| author | Bakhtina, G. P. Vjun, V. E. Dvorak, I. Ya. Бахтiна, Г. П. В'юн, В. Є. Дворак, І. Я. |
| author_facet | Bakhtina, G. P. Vjun, V. E. Dvorak, I. Ya. Бахтiна, Г. П. В'юн, В. Є. Дворак, І. Я. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. П. Бахтiна",
"institution": null
},
{
"author": "В. Є. В'юн",
"institution": null
},
{
"author": "І. Я. Дворак",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bakhtina, G. P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory of complex variable associated with estimates of functionals defined on systems of non-overlapping domains. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 24–30
УДК 517.54
Г.П. Бахтiна 1, B. Є. В’юн 2, I. Я. Дворак 2
( 1 Нацiональний технiчний унiверситет “Київський полiтехнiчний
iнститут”, Київ )
2 , 3 (Iнститут математики НАН України, Київ)
1 bakhtina galina@mail.ru, 3 vvikev@mail.ru
Оцiнки добуткiв внутрiшнiх радiусiв
областей в задачах про екстремальне
розбиття комплексної площини
The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory
of complex variable associated with estimates of functionals defined on
systems of non-overlapping domains.
Робота присвячена дослiдженню екстремальних задач геометричної
теорiї функцiй комплексної змiнної, пов’язаних з оцiнками функцiо-
налiв, заданих на системах неперетинних областей.
1. Вступ. Задачi про екстремальне розбиття займають важли-
ве мiсце в геометричнiй теорiї функцiй комплексної змiнної i мають
багату iсторiю (див. роботу М. О. Лаврентьєва 1934 року [1], де екс-
тремальнi розбиття розглядались при отриманнi оцiнок добутку степе-
нiв конформних радiусiв неперетинних областей, а також дослiджен-
ня [2–15]). Важливими елементами дослiдження таких екстремальних
задач є глибокi результати теорiї квадратичних диференцiалiв.
2. Означення i позначення. Нехай N, R — множини на-
туральних i дiйсних чисел, вiдповiдно. C — комплексна площина,
C = C
∪
{∞} — її одноточкова компактифiкацiя, R+ = (0,∞). Нехай
r(B, a) — внутрiшнiй радiус областi B ⊂ C вiдносно точки a ∈ B (див.,
наприклад, [5, с. 14]; [7, с. 71].
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Оцiнки добуткiв внутрiшнiх радiусiв ... 25
Нехай n ∈ N, n > 2. Систему точок An :=
{
ak ∈ C : k = 1, n
}
таку,
що |ak| ∈ R+ при k = 1, n та 0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π,
будемо називати n-променевою. Позначимо
Pk = Pk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1},
θk := arg ak, an+1 := a1, θn+1 := 2π. Величини αk := 1
π [θk+1 − θk],
αn+1 := α1, k = 1, n, будемо називати кутовими параметрами n-
променевої системи точок An.
Метою даної роботи є отримання точних оцiнок зверху для функ-
цiонала наступного вигляду:
Jn(γ) = [r (B0, 0) r (B∞,∞)]
γ
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (1)
де γ ∈ R+, An = {ak}nk=1 — n-променева система точок, яка розташо-
вана на одиничному колi, B0, B∞, {Bk}nk=1 — сукупнiсть неперетинних
областей, ak ∈ Bk, k = 1, n, 0 ∈ B0, ∞ ∈ B∞.
В роботi [4] була отримана оцiнка функцiоналу (1) для системи
неперетинних областей при n ≥ 2 i для γ = 1
2 . Цей результат бу-
ло посилено в роботi [6] i показано, що дана оцiнка справедлива при
γ ∈
(
0, n2
8
]
, n ≥ 2. В останнi роки дана задача активно дослiджувалась
в роботах [13–15].
В данiй роботi задача про оцiнку функцiонала (1) розглядається
при n = 4, n = 5, n = 6.
3. Основнi результати. Позначимо
Φ(τ) = τ2τ
2
· |1− τ |−(1−τ)2 · (1 + τ)−(1+τ)2 ∀τ > 0.
Лемма 1. Нехай n ∈ N, n > 2, γ ∈ R+. Тодi для будь-якої
n-променевої системи точок An = {ak}nk=1 такої, що |ak| = 1,
k = 1, n, i довiльного набору взаємно неперетинних областей B0, Bk,
B∞ (a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n), справед-
лива нерiвнiсть
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]
γ
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6
6 2n
(
n∏
k=1
αk
)(
n∏
k=1
Φ(τk)
)1/2
, (2)
26 Г.П. Бахтiна, B. Є. В’юн, I.Я. Дворак
де τk = αk
√
γ, k = 1, n. Знак рiвностi в нерiвностi (2) досягається
тодi, коли областi B0, B∞, Bk i точки 0, ∞, ak, k = 1, n, є, вiдповiдно,
круговими областями та полюсами квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = −γw2n + (n2 − 2γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
Доведення. При доведеннi леми застосовуємо метод роздiляючого
перетворення (див., наприклад, [4, с. 48]; [5, с. 27–30]; [7, с. 87–92]).
Аналогiчно мiркуванням, проведеним в роботi [7, с. 261], розглянемо
систему функцiй ζk(w) = −i
(
e−iθkw
) 1
αk , k = 1, n. Нехай Ω
(1)
k позна-
чає область площини Cζ , отриману в результатi об’єднання зв’язної
компоненти множини ζk(Bk
∩
P k), що мiстить точку ζk(ak), зi своїм
симетричним вiдображенням вiдносно уявної вiсi. Через Ω
(2)
k позначи-
мо область площини Cζ , отриману в результатi об’єднання зв’язної
компоненти множини ζk(Bk+1
∩
P k), що мiстить точку ζk(ak+1), зi
своїм симетричним вiдображенням вiдносно уявної вiсi. Bn+1 :=
:= B1, ζn(an+1) := ζn(a1). Крiм того, Ω
(0)
k позначає область площи-
ни Cζ , отриману в результатi об’єднання зв’язної компоненти мно-
жини ζk(B0
∩
P k), що мiстить точку ζ = 0, зi своїм симетричним
вiдображенням вiдносно уявної вiсi. Набiр областей {Ω(∞)
k }nk=1 є ре-
зультатом роздiляючого перетворення довiльної областi B∞ вiдносно
набору {Pk}nk=1 i {ζk}nk=1 в точцi ζ = ∞. Позначимо ζk(ak) := ω
(1)
k ,
ζk(ak+1) := ω
(2)
k , ζn(an+1) := ω
(2)
n , k = 1, n.
Застосовуючи в наших мiркуваннях методи робiт [7, с. 262] i [9,
с. 871], отримуємо нерiвнiсть
Jn(γ) 6 2n
(
n∏
k=1
αk
)
×
×
n∏
k=1
r
(
Ω
(1)
k , ω
(1)
k
)
· r
(
Ω
(2)
k , ω
(2)
k
)
(
|ak|
1
αk + |ak+1|
1
αk
)2 (
r
(
Ω
(0)
k , 0
)
r
(
Ω
(∞)
k ,∞
))γα2
k
1
2
,
|ω(1)
k | = |ak|
1
αk , |ω(2)
k | = |ak+1|
1
αk , |ω(1)
k − ω
(2)
k | = |ak|
1
αk + |ak+1|
1
αk .
Вираз, що стоїть у фiгурних дужках, є значенням функцiоналу
Lτ = [r (Λ0, 0) r (Λ∞,∞)]
τ2
· r (Λ1, λ1) r (Λ2, λ2)
|λ1 − λ2|2
(3)
Оцiнки добуткiв внутрiшнiх радiусiв ... 27
на системi неперетинних областей {Ω(0)
k ,Ω
(1)
k ,Ω
(2)
k ,Ω
(∞)
k }, i вiдповiднiй
системi точок {0, ω(1)
k , ω
(2)
k ,∞} (k = 1, n).
На основi теореми 4.1.1 [7, с. 167] та iнварiантностi функцiоналу
(3), отримуємо оцiнку
Lτ 6 Φ(τ), τ ≥ 0,
де Φ(τ) = τ2τ
2 · |1− τ |−(1−τ)2 · (1 + τ)−(1+τ)2 . Тодi
Jn(γ) 6
(
2
√
γ
)n
·
(
n∏
k=1
αk
√
γ
)[
n∏
k=1
Φ(τk)
]1/2
= (4)
=
(
2
√
γ
)n
·
[
n∏
k=1
(
τ
2τ2
k+2
k · |1− τk|−(1−τk)
2
· (1 + τk)
−(1+τk)
2
)] 1
2
,
де τk =
√
γ · αk, k = 1, n. Реалiзацiя знаку рiвностi перевiряється без-
посередньо. Лема доведена.
Будемо вважати, що m ∈ {4, 5, 6}, γm := 2, 25 при m = 4, γm := 3, 3
при m = 5, γm := 4, 6 при m = 6.
Теорема 1. Нехай 0 < γ ≤ γm. Тодi для довiльної m-променевої
системи точок Am = {ak}mk=1 такої, що |ak| = 1, k = 1,m,
i довiльного набору взаємно неперетинних областей B0, Bk, B∞
(0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1,m), справедлива
нерiвнiсть
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]
γ
m∏
k=1
r (Bk, ak) 6
6 [r (D0, 0) r (D∞,∞)]
γ
m∏
k=1
r (Dk, dk) , (5)
де областi D0, D∞, Dk — круговi областi; точки 0, ∞, dk, k = 1,m,
є полюсами квадратичного диференцiалу
Q(w)dw2 = −γ w2m + (m2 − 2γ)wm + γ
w2(wm − 1)2
dw2. (6)
28 Г.П. Бахтiна, B. Є. В’юн, I.Я. Дворак
Доведення. Проведемо доведення теореми 1 при m = 4. Враховуючи
лему 1 i умови теореми 1, з нерiвностi (4) при n = 4, одержуємо
J4(γ) 6
16
γ2
(
4∏
k=1
(
τ
2τ2
k+2
k · |1− τk|−(1−τk)
2
· (1 + τk)
−(1+τk)
2
)) 1
2
,
де τk =
√
γ · αk, k = 1, 4.
Нехай Ψ(x) = x2x2+2 · |1−x|−(1−x)2 · (1+x)−(1+x)2 , G(x) = ln (Ψ(x)).
Розглянемо екстремальну задачу
n∏
k=1
Ψ(xk) −→ max;
n∑
k=1
xk = 2
√
γ, xk = αk
√
γ.
Нехай X(0) =
{
x
(0)
k
}n
k=1
— її довiльна екстремальна система точок.
Повторюючи мiркування, проведенi в роботi [12], приходимо до вис-
новку, що має мiсце твердження:
G′(x
(0)
k ) = G′(x
(0)
j ), k, j = 1, n, k ̸= j, (7)
де G′(x) = 4x lnx− 2(x− 1) ln |1− x| − 2(x+ 1) ln(x+ 1) + 2
x .
На основi спiввiдношення (7), а також використовуючи iдеї робiт
[12 - 15], покажемо що x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x
(0)
n .
Нехай G′(x) = t, де y0 6 t < 0. Для ∀t ∈ [y0, 0) дане рiвняння має
2 коренi x1(t) ∈ (0, x0] та x2 ∈ [x0,∞). Розглянемо наступнi значення
параметра t: t1 = −0, 1, t2 = −0, 2, . . . , t10 = −1, t11 = y0. Проводячи
розрахунки, подамо допомiжнi значення у виглядi таблицi:
k tk x1(tk) x2(tk+1) 3x1(tk) + x2(tk+1) 4x1(tk) + x2(tk+1)
1 -0,1 0,595614 1,588941
2 -0,2 0,610729 1,310498 3,09734 3,692954
3 -0,3 0,626917 1,184045 3,016232 3,626961
4 -0,4 0,644375 1,110153 2,990904 3,617821
5 -0,5 0,663378 1,062338 2,995463 3,639838
6 -0,6 0,684325 1,030184 3,020318 3,683696
7 -0,7 0,707842 1,008999 3,061974 3,746299
8 -0,8 0,735017 0,997389 3,120915 3,828757
9 -0,9 0,768137 0,979982 3,185033 3,92005
10 -1 0,814378 0,947119 3,25153 4,019667
11 -1,06 0,884406 0,884406 3,32754 4,141918
Оцiнки добуткiв внутрiшнiх радiусiв ... 29
Враховуючи властивостi функцiї G′(x) i умови теореми, отримує-
мо наступну нерiвнiсть 3x1(t) + x2(t) > 3x1(tk) + x2(tk+1) > 2
√
γ4,
t ∈ [tk, tk+1], k = 1, 10. Звiдси, використовуючи вiдповiднi значення iз
вище наведеної таблицi, отримуємо, що теорема 1 має мiсце при γ = γ4.
Для всiх γ < γ4 всi попереднi мiркування зберiгаються. Реалiзацiя
знака рiвностi перевiряється безпосередньо. Теорема 1 доведена.
Доведення теореми 1 при m = 5 i m = 6, вiдповiдно, повторюють
мiркування, проведенi при доведеннi теореми 1 при m = 4 з ураху-
ванням деяких особливостей випадкiв при n = 5 (останнiй стовпчик
таблицi) та n = 6, вiдповiдно.
Висловлюємо подяку професору О.К. Бахтiну за постановку задачi
та увагу до роботи.
Список литературы
[1] Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений //Тр. физ.-мат.
ин-та АН СССР. — 1934. — 5. — С. 159 – 245.
[2] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного перемен-
ного. — Москва: Наука, 1966. — 628 с.
[3] Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображе-
ния. — Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. — 256 с.
[4] Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экс-
тремальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та
АН СССР. — 1988. — 168. — С. 48 – 66.
[5] Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функ-
ций комплексного переменного // Успехи мат. наук. — 1994. – 49,
№ 1(295). — С. 3 – 76.
[6] Кузьмина Г.В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сфе-
ры // Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2001. — 276. — С. 253 – 275.
[7] Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-
алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном
анализе // Працi iн-ту мат-ки НАН України. — 2008. — 73. — 308 с.
[8] Бахтин А.К., Таргонский А.Л. О произведении внутренних радиусов
неналегающих областей и открытых множеств // Доп. НАН України. —
2008. — № 5. — С. 7 – 12.
[9] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со сво-
бодными полюсами на окружности // Укр. мат. журн. — 2006. — 58,
№ 7. — С. 867 – 886.
30 Г.П. Бахтiна, B. Є. В’юн, I.Я. Дворак
[10] Кузьмина Г.В. Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме
произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей
при наличии свободных параметров // Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2003. —
302. — С. 52 – 67.
[11] Емельянов Е.Г. К задаче о максимуме произведения степеней кон-
формных радиусов неналегающих областей // Зап. науч. сем. ПОМИ. —
2002. — 286. — С. 103 – 114.
[12] Ковалев Л.В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными по-
люсами на окружности // Дальневост. мат. сб. — 1996. — 2. — С. 96 – 98.
[13] Денега И.В. Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично
неналегающих областей // Доп. НАН України. — 2012. — №5. — С. 19 –
22.
[14] Бахтин А.К., Денега И.В. Некоторые оценки функционалов для N -
лучевых систем точек // Зб. праць Iн-ту матем. НАН України /Тео-
рiя наближення функцiй та сумiжнi питання/. — К.: Iн-т матем. НАН
України, 2011. — 8, №1. — C. 12 – 21.
[15] Бахтiн О.К., В’юн В.Є. Про деякi нерiвностi в теорiї неперетинних
областей // Зб. праць Iн-ту матем. НАН України. — К.: Iн-т математики
НАН України, 2014. — 11, №1. — C. 141 – 152.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-146 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:03Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b2/27bbbf648663e65f581562f96e386bb2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1462018-01-23T12:10:05Z Estimates of products of inner radii of regions in the problem of extremal decomposition of the complex plane Оцінки добутків внутрішніх радіусів областей в задачах про екстремальне розбиття комплексної площини Bakhtina, G. P. Vjun, V. E. Dvorak, I. Ya. Бахтiна, Г. П. В'юн, В. Є. Дворак, І. Я. The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory of complex variable associated with estimates of functionals defined on systems of non-overlapping domains. Робота присвячена дослідженню екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної, пов'язаних з оцінками функціоналів, заданих на системах неперетинних областей. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/146 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 24–30 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 24–30 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 24–30 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/146/121 |
| spellingShingle | Bakhtina, G. P. Vjun, V. E. Dvorak, I. Ya. Бахтiна, Г. П. В'юн, В. Є. Дворак, І. Я. Estimates of products of inner radii of regions in the problem of extremal decomposition of the complex plane |
| title | Estimates of products of inner radii of regions in the problem of extremal decomposition of the complex plane |
| title_alt | Оцінки добутків внутрішніх радіусів областей в задачах про екстремальне розбиття комплексної площини |
| title_full | Estimates of products of inner radii of regions in the problem of extremal decomposition of the complex plane |
| title_fullStr | Estimates of products of inner radii of regions in the problem of extremal decomposition of the complex plane |
| title_full_unstemmed | Estimates of products of inner radii of regions in the problem of extremal decomposition of the complex plane |
| title_short | Estimates of products of inner radii of regions in the problem of extremal decomposition of the complex plane |
| title_sort | estimates of products of inner radii of regions in the problem of extremal decomposition of the complex plane |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/146 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinagp estimatesofproductsofinnerradiiofregionsintheproblemofextremaldecompositionofthecomplexplane AT vjunve estimatesofproductsofinnerradiiofregionsintheproblemofextremaldecompositionofthecomplexplane AT dvorakiya estimatesofproductsofinnerradiiofregionsintheproblemofextremaldecompositionofthecomplexplane AT bahtinagp estimatesofproductsofinnerradiiofregionsintheproblemofextremaldecompositionofthecomplexplane AT v039ûnvê estimatesofproductsofinnerradiiofregionsintheproblemofextremaldecompositionofthecomplexplane AT dvorakíâ estimatesofproductsofinnerradiiofregionsintheproblemofextremaldecompositionofthecomplexplane AT bakhtinagp ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívoblastejvzadačahproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝini AT vjunve ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívoblastejvzadačahproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝini AT dvorakiya ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívoblastejvzadačahproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝini AT bahtinagp ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívoblastejvzadačahproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝini AT v039ûnvê ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívoblastejvzadačahproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝini AT dvorakíâ ocínkidobutkívvnutríšníhradíusívoblastejvzadačahproekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝini |