Topological stability of averagings of functions with respect to probability measures with piecewise constant densities
We present sufficient conditions for a topological stability of averagigns of piece-wise differentiable functions $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ with finitely many local extremes with respect to probability measures with piecewise constant densities.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/147 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552665109495808 |
|---|---|
| author | Maksymenko, S. I. Marunkevych, O. V. Максименко, С. І. Марункевич, О. В. |
| author_facet | Maksymenko, S. I. Marunkevych, O. V. Максименко, С. І. Марункевич, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. І. Максименко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. В. Марункевич",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Maksymenko, S. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T11:58:55Z |
| description | We present sufficient conditions for a topological stability of averagigns of piece-wise differentiable functions $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ with finitely many local extremes with respect to probability measures with piecewise constant densities. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2015, т.12, №6, 146-163
С. I. Максименко, О. В. Марункевич
Iнститут математики НАН України, Київ
maks@imath.kiev.ua, oxanamarunkevysh@rambler.ru
Топологiчна стiйкiсть функцiй вiдно-
сно усереднень за мiрами з кусково
постiйними щiльностями
We present sufficient conditions for a topological stability of averagigns
of piece-wise differentiable functions f : R → R with finitely many local
extremes with respect to probability measures with piecewise constant
densities.
В роботi отриманi достатнi умови для топологiчної стiйкостi усере-
днень кусково диференцiйовних функцiй f : R → R зi скiнченним чи-
слом екстремумiв вiдносно мiр з кусково постiйними щiльностями.
1. Вступ
Нехай µ— ймовiрнiсна мiра на вiдрiзку [−1, 1], тобто невiд’-
ємна σ-адитивна мiра, визначена на борелiвськiй алгебрi мно-
жин вiдрiзка [−1, 1], i така, що µ[−1, 1] = 1. Тодi для кожної
неперервної функцiї f : (a, b) → R та числа α > 0 такого, що
2α < b− a можна визначити нову вимiрну функцiю
fα : (a+ α, b− α) → R
за формулою:
fα(x) =
� 1
−1
f(x+ tα)dµ. (1.1)
Називатимемо її α-усередненням функцiї f вiдносно мiри µ.
Фактично усереднення є згорткою f iз щiльнiстю мiри µ, якщо
вона iснує, див. зауваження 1.5 нижче.
© С. I. Максименко, О. В. Марункевич, 2015
Топологiчна стiйкiсть функцiй 147
Такi усереднення функцiй вiдiграють важливу роль як в те-
оретичних дослiдженнях, так i практичних задачах обробки
сигналiв, i називаються лiнiйними фiльтрами, [1], [2], [3], [4].
Дана робота продовжує дослiдження проблеми топологiчної
стiйкостi усереднень неперервних функцiй розпочате авторами
в [5], див. означення 1.1, 1.2 та 1.3 нижче.
Означення 1.1. див. напр. [6], [7] Нагадаємо, що двi неперерв-
нi функцiї f : (a, b) → R та g : (c, d) → R називаються топо-
логiчно еквiвалентними, якщо iснують зберiгаючi орiєн-
тацiю гомеоморфiзми h : (a, b) → (c, d) та φ : R → R такi, що
φ ◦ f = g ◦h, тобто зображена нижче дiаграма є комутатив-
ною.
(a, b)
f−−−−→ R
h
�
�φ
(c, d)
g−−−−→ R
Грубо кажучи, це означає, що графiки fα та f «мають одна-
кову форму».
Означення 1.2. Нехай f : R → R— неперервна функцiя i µ—
ймовiрнiсна мiра на [−1, 1]. Скажемо, що f є топологiчно
стiйкою вiдносно усереднень по мiрi µ, якщо iснує ε > 0,
таке, що для всiх α ∈ (0, ε) функцiї f та fα є топологiчно
еквiвалентними.
Проблема топологiчної стiйкостi вiдносно усереднень має за-
стосування до обчислення ентропiї цифрових сигналiв, [8], [9],
[10].
Нехай H+(R)— група всiх гомеоморфiзмiв прямої R, якi збе-
рiгають орiєнтацiю. Ця група складається зi строго зростаю-
чих неперервних функцiй h : R → R, що задовольняють умо-
ву lim
x→∞
h(x) = ∞. Тодi група H+(R) × H+(R) дiє на просторi
C0(R) всiх неперервних функцiй R → R за таким правилом:
якщо (h,φ) ∈ H+(R) × H+(R) i f ∈ C0(R), то результат дiї
148 С. I. Максименко, О. В. Марункевич
пари (h,φ) на f є функцiя
φ ◦ f ◦ h−1 : R → R.
Така дiя часто називається право-лiвою, [11], [12].
Очевидно, що f, g ∈ C0(R) є топологiчно еквiвалентними то-
дi i лише тодi, коли вони належать однiй орбiтi вiдносно дiї
групи H+(R)×H+(R).
Розглянемо шлях
γf : [0,∞) → C0(R), γf (α) = fα,
що починається в точцi f .
Очевидно, що f ∈ C0(R) є топологiчно стiйкою вiдносно усе-
реднень за мiрою µ тодi i лише тодi, коли деякий “початок”
γf [0, ε]шляху γf мiститься в орбiтi функцiї f для деякого ε > 0.
Таким чином усереднення є лiнiйною операцiєю на просторi
C0(R) всiх неперервних функцiй R → R, в той час, як топо-
логiчна еквiвалентнiсть зводиться до нелiнiйної дiї груп гомео-
морфiзмiв H(R)×H(R).
В [5] отримано достатнi умови топологiчної стiйкостi непе-
рервних функцiй зi скiнченним числом локальних екстрему-
мiв вiдносно усереднень. Показано, що ця проблема може бути
зведена до перевiрки локальної топологiчної стiйкостi лише па-
росткiв f в околах цих локальних екстремумiв. В данiй роботi
ми покажемо, що тi достатнi умови є також необхiдними (див.
означення 1.3 та теорему 1.4 нижче), а отже задача глобаль-
ної топологiчної стiйкостi повнiстю зводиться до дослiдження
локальної стiйкостi паросткiв локальних екстремумiв.
Нехай f : (R, a) → R— паросток неперервної функцiї в точцi
a ∈ R, тобто f є неперервною функцiєю, визначеною на малому
iнтервалi (a − ε, a + ε) для деякого ε. Тодi, якщо α < ε, то fα
визначена на iнтервалi (a − ε + α, a + ε − α), а її паросток в
точцi a, очевидно, залежить лише вiд паростка f в цiй точцi.
Зауважимо, що паростки f та fα в точцi a, взагалi кажучи,
не є топологiчно еквiвалентними: при усередненнях локальнi
Топологiчна стiйкiсть функцiй 149
екстремуми можуть змiщуватись. Тому природним є таке озна-
чення.
Означення 1.3. Назвемо паросток f : (R, a) → R є топо-
логiчно стiйким вiдносно усереднень по мiрi µ, якщо iснує
таке ε > 0, що для кожного α ∈ (0, ε) знайдуться числа
c1, c2, d1, d2 ∈ (a − ε, a + ε) такi, що c1 < a < c2, d1 < d2, а
обмеження
f |(c1,c2) : (c1, c2) → R, fα|(d1,d2) : (d1, d2) → R
є топологiчно еквiвалентними.
Теорема 1.4. (див. [5]) Нехай µ— ймовiрнiсна мiра на [−1, 1]
i f : R → R неперервна функцiя, що має лише скiнченну кiль-
кiсть локальних екстремумiв x1, . . . , xn. Припустимо, що зна-
чення f(xi), (i = 1, . . . , n), попарно рiзнi i вiдрiзняються вiд
lim
x→−∞
f(x) та lim
x→+∞
f(x). Тодi наступнi умови еквiвалентнi:
(a) функцiя f є топологiчно стiйкою вiдносно усереднень
по мiрi µ;
(b) для кожного i = 1, . . . , n паросток f : (R, xi) → R в
точцi xi є топологiчно стiйким вiдносно усереднень по
мiрi µ.
В [5] доведена iмплiкацiя (b)⇒(a).Ми покажемо,що (a)⇒(b).
Таким чином, для функцiй загального положення задача пов-
нiстю зводиться до дослiдження локальної стiйкостi паросткiв
локальних екстремумiв.
В статтi [5] також отримано достатнi умови для топологi-
чної стiйкостi паросткiв функцiй вiдносно дискретних мiр зi
скiнченими носiями. В данiй роботi ми наводимо достатнi умо-
ви для топологiчної стiйкостi паросткiв функцiй вiдносно мiр
з кусково неперервними (i, зокрема, з локально постiйними)
щiльностями, див теореми 3.5 та 4.1.
Зауваження 1.5. Нехай µ має щiльнiсть p : [−1, 1] → R, тобто
таку вимiрну функцiю, що µ(A) =
�
A p(t)dt для кожної борелiв-
ської пiдмножини A ⊂ [−1, 1]. Для кожного α > 0 визначимо
150 С. I. Максименко, О. В. Марункевич
функцiю pα : [−α,α] → R i мiру µα на [−α,α] за формулами:
pα(s) =
p(s/α)
α
, µ(A) =
�
A
pα(s)ds.
Тодi
µα[−1, 1] =
� α
−α
pα(s)ds =
� α
−α
p(s/α)
α
ds
=
� α
−α
p(s/α)d(s/α) =
� 1
−1
p(t)dt = 1,
а отже µα є також ймовiрнiсною мiрою. Бiльш того,
fα(x) =
1�
−1
f(x+ tα)p(t)dt =
α�
−α
f(x+ s)p(s/α)d(s/α)
=
α�
−α
f(x+ s)pα(s)ds.
Останнiй iнтеграл називається згорткою f та pα i позначається
через f ∗ pα.
Зазвичай, в формулi для згортки вираз стоїть f(x− s), а не
f(x + s). Але це не принципово i грає роль лише для встанов-
лення деяких її зручних алгебраїчних властивостей. Нам буде
зручнiше використовувати знак «+».
2. Доведення теореми 1.4
В [5] доведена iмплiкацiя (b)⇒(a).Ми покажемо,що (a)⇒(b).
Припустимо, що функцiя f є топологiчно стiйкою вiдносно
усереднень по мiрi µ. Це означає, що iснує ε > 0 таке, що для
кожного α ∈ (0, ε) iснують два гомеоморфiзми hα,φα ∈ H+(R)
такi, що φα◦fα = f ◦hα. Зокрема, fα також має рiвно n локаль-
них екстремумiв hα(xi), i = 1, . . . , n i приймає в них значення
φα(f(xi)). Потрiбно довести, що паросток f в точцi xi є топо-
логiчно стiйким вiдносно усереднень за мiрою µ.
Топологiчна стiйкiсть функцiй 151
Зменшивши ε, можна вважати, що
xi+1 − xi > 4ε (2.2)
для всiх i = 1, . . . , n − 1. Нехай α ∈ (0, ε). Так як f є строго
монотонною на iнтервалах
(−∞, x1), (x1, x2), · · · , (xn,+∞),
то fα є строго монотонною на
(−∞, x1 − α), (x1 + α, x2 − α), · · · , (xn + α,+∞).
Звiдси випливає, що hα(xi) ∈ [xi−α, xi+α]. Бiльш того, з умо-
ви (2.2) також слiдує, що hα(xi) є єдиною точкою локального
екстремуму fα на iнтервалi (xi − 2α, xi + 2α). Нехай
(c1, c2) = (xi − α, xi + α) ∩ h−1
α (xi − 2α, xi + 2α).
(d1, d2) = hα(c1, c2).
Тодi обмеження f |(c1,c2) та fα|(d1,d2) є топологiчно еквiвалентни-
ми, а саме: має мiсце тотожнiсть φα ◦ fα = f ◦ hα.
3. Кусково диференцiйовнi функцiї
У цьому роздiлi ми наводимо достатнi умови для топологi-
чної стiйкостi локальних екстремумiв вiдносно усереднень за
мiрами з кусково неперервними щiльностями (теорема 3.5).
Означення 3.1. Функцiя f : [a, b] → R називається куско-
во неперервною, або кусково 0-диференцiйовною, якщо
f неперервна скрiзь, за виключенням скiнченого числа точок
t1, . . . , tn ∈ (a, b), причому в кожнiй такiй точцi ti iснують
скiнченi лiва та права границi lim
t→ti−0
f(t) та lim
t→ti+0
f(t). В цьо-
му випадку писатимемо, що f ∈ C0([a, b], t1, . . . , tn).
Скажемо, що неперервна функцiя f : [a, b] → R є кусково
k-диференцiйовною, k ≥ 1, якщо знайдеться скiнчена мно-
жина точок t1, · · · , tn ∈ (a, b) таких, що f має неперервнi по-
хiднi до порядку k включно на [a, b] \ {t1, . . . , tn} i для кожного
152 С. I. Максименко, О. В. Марункевич
i = 1, . . . , n та s = 1, . . . , k iснують скiнченi лiва та права
границi
fl(t) = lim
t→ti−0
f (s)(t), fr(t) = lim
t→ti+0
f (s)(t).
В цьому випадку також писатимемо, що
f ∈ Ck([a, b], t1, . . . , tn).
Очевидно, що сума та добуток кусково неперервних (k-ди-
ференцiйовних) функцiй є також кусково неперервною (k-ди-
ференцiйовною) функцiєю, а для k ≥ 1 похiдна кусково (k+1)-
диференцiйовної функцiї може бути (довiльним чином) дови-
значена в точках розриву до кусково k-диференцiйовної фун-
кцiї.
Наступна лема добре вiдома для випадку неперервно дифе-
ренцiйовних функцiй.
Лема 3.2. Нехай f : [a, b] → R— неперервна функцiя. Припу-
стимо, що виконується одна з таких умов:
(1) f ∈ C1([a, b], t1, . . . , tn) i f �(x) < f �(y) для всiх пар точок
x < y ∈ [a, b] \ {t1, . . . , tn};
(2) f ∈ C2([a, b], t1, . . . , tn), причому f ��(x) > 0 для всiх точок
x ∈ [a, b] \ {t1, . . . , tn} та lim
t→ti−0
f �(t) ≤ lim
t→ti+0
f �(t) для всiх
i = 1, . . . , n.
Тодi f є строго випуклою.
Доведення. Введемо позначення для лiвої та правої границь
похiдної f �:
f �
l (x) = lim
t→x−0
f �(t), f �
r(x) = lim
t→x+0
f �(t).
(2)⇒(1).Припущення f ��(x) > 0 для всiх x ∈ [a, b]\{t1, . . . , tn},
означає, що f � строго зростає на кожному з вiдрiзкiв
[a, t1], [t1, t2], . . . , [tn−1, tn], [tn, b].
Топологiчна стiйкiсть функцiй 153
Крiм того, f �
l (ti) ≤ f �
r(ti) для всiх i = 1, . . . , n. Звiдси слiдує,
що f �(x) < f �(y) для всiх x < y ∈ [a, b] \ {t1, . . . , tn}, тобто
виконана умова (1).
(1) З того, що f � є кусково неперервною i строго зростає на
[a, b] \ {t1, . . . , tn} випливає, що f �
l (t) ≤ f �
r(t) для всiх t ∈ (a, b) i
що обидвi функцiї f �
l та f �
r є строго зростаючими.
Нехай x < y ∈ [a, b] i t ∈ (0, 1). Тодi
f(x) + (y − x)f �
r(x) < f(y) = f(x) +
� y
x
f �(t)dt <
< f(x) + (y − x)f �
l (y).
Зокрема, якщо s ∈ (0, 1) i z = (1− s)x+ sy ∈ (x, y), то
f(z) < f(x) + (z − x)f �
l (z) = f(x) + s(y − x)f �
l (z),
f(z) < f(y)− (y − z)f �
r(z) = f(y)− (1− s)(y − x)f �
r(z).
Помноживши першу нерiвнiсть на 1−s, а другу— на s, додавши
їх i врахувавши, що f �
l (z)−f �
r(z) ≤ 0, отримаємо такi нерiвностi:
f(z) < (1− s)f(x) + sf(y) + s(1− s)(y − x)
�
f �
l (z)− f �
r(z)
�
≤ (1− s)f(x) + sf(y).
Це доводить строгу випуклiсть f . �
Надалi вважатимемо, що p : [−1, 1] → [0,+∞)— кусково не-
перервна функцiя така, що
� 1
−1 p(t)dt = 1 i µ— вiдповiдна ймо-
вiрнiсна мiра на борелiвськiй алгебрi B[−1, 1], визначена за
формулою
µ(A) =
�
A
p(t)dt, A ∈ B[−1, 1]. (3.3)
Лема 3.3. Нехай f : [a, b] → R— неперервна функцiя i
fα : [a+ α, b− α] → R
— її усереднення за мiрою µ. Тодi fα належить класу C1.
154 С. I. Максименко, О. В. Марункевич
Якщо f є також кусково k-диференцiйовною (належить
класу Ck) для k ≥ 1, то fα кусково (k + 1)-диференцiйовною
(належить класу Ck+1).
Доведення. Вiдмiтимо, що
fα(x) =
� 1
−1
f(x+ tα)p(t)dt =
n�
i=0
� ti+1
ti
f(x+ tα)p(t)dt.
Так як f — неперервна, то f � визначається за такою формулою:
f �
α(x) =
n�
i=0
�
fl(x+ ti+1α)pl(ti+1)− fr(x+ tiα)pr(ti)
�
, (3.4)
а отже є неперервною функцiєю. Звiдси випливає, що f �
α є та-
кож кусково k-диференцiйовною так само, як i f , а отже fα —
кусково (k + 1)-диференцiйовна. Бiльш того,
f (s)
α (x) =
n�
i=0
�
f
(s−1)
l (x+ ti+1α)pl(ti+1)− f (s−1)
r (x+ tiα)pr(ti)
�
(3.5)
для всiх x, в яких права частина неперервна.
Якщо ж f належить класу Ck, то, зокрема, f = fl = fr, а
тому з формули (3.4) випливає, що fα належить класу Ck+1.
�
Лема 3.4. Нехай f : [−ε, ε] → R— неперервна функцiя, для
якої виконанi такi умови:
(a) f строго спадає на [−ε, 0] i строго зростає на [0,+ε];
(b) f �
α строго зростає.
Тодi паросток f в точцi 0 є топологiчно стiйким вiдносно
усереднень за мiрою µ.
Доведення. Так як f є неперервною, то згiдно з лемою 3.3 усе-
реднення fα є неперервно диференцiйовною функцiєю. За при-
пущенням (b) f �
α строго зростає, а тому з твердження (1) ле-
ми 3.2 слiдує, що fα є строго випуклою функцiєю. Так як fα
спадає в околi точки −ε+α i зростає в околi точки ε−α, то fα
Топологiчна стiйкiсть функцiй 155
має єдину точку мiнiмуму xα на вiдрiзку [−ε+ α, ε− α], а зна-
чить, паросток f в точцi 0 топологiчно еквiвалентний паростку
fα в точцi xα. �
Теорема 3.5. Нехай f, g : [−ε, ε] → R— двi кусково 1-диферен-
цiйовнi функцiї i h = f − g. Припустимо, що виконанi такi
умови:
(a) f та g строго спадають на [−ε, 0] i строго зростають
на [0,+ε];
(b) iснує таке C > 0, що для всiх x ∈ [−α,α] виконана
нерiвнiсть
f ��
α(x) ≥ Cα ;
(c) похiдна h� = g� − f � — неперервна в точцi 0 i h�(0) = 0.
Тодi паросток g в точцi 0 є топологiчно стiйким вiдносно усе-
реднень за мiрою µ.
Доведення. Вiдмiтимо, що умова (b) гарантує, що f �
α строго
зростає, а тому з (a) та леми 3.4 випливає, що f є топологiчно
стiйкою вiдносно усереднень за мiрою µ. Нам потрiбно довести,
що за виконання умови (c) функцiя g = f + h («збурення»
f за допомогою h) також буде топологiчно стiйкою вiдносно
усереднень за мiрою µ.
Так як g є неперервною i кусково 1-диференцiйовною, то,
згiдно з лемою 3.3, g�α — неперервна, а g��α — кусково неперервна.
Бiльш того, з умови (a) слiдує, що для α < ε функцiя gα строго
спадає на [−ε+ α,−α] i строго зростає на [α, ε− α]. Зокрема,
g�α(−α) < 0, g�α(α) > 0.
Тому достатньо показати, що lim
y→x
g��α(x) > 0 для x ∈ [−α,α]
при всiх достатньо малих α. Звiдси випливатиме, що g�α строго
зростає на [−α,α], а тому gα матиме там єдину точку мiнiмуму.
Так як h� — неперервна в точцi 0, i h(0) = 0, то h(x) = xk(x),
де
k(x) =
� 1
0
h�(tx)dt.
156 С. I. Максименко, О. В. Марункевич
Зокрема, k — неперервна i k(0) = h�(0) = 0. Нехай
P = sup
t∈[−1,1]
p(t)
i n— число точок розриву щiльностi p мiри µ, див. форму-
лу (3.3). Тодi знайдеться таке δ > 0, що |k(x)| < C
8Pn для всiх
x ∈ [−δ, δ].
Нехай α < δ/2. Тодi для всiх x ∈ [−α,α] та i = 0, . . . , n + 1
виконана нерiвнiсть:
|x− tiα| < |x|+ |ti|α ≤ α+ α = 2α < δ,
а тому
|h�(x− tiα)| = |x− tiα| · |k(x− tiα)| ≤ 2α · C
8Pn
=
Cα
4Pn
.
Тепер з леми 3.3 отримуємо, що в кожнiй точцi x ∈ [−α,α], в
якiй h��α є неперервною, має мiсце рiвнiсть:
|h��α(x)| ≤
n�
i=0
���h�r(x− ti+1α)pr(ti+1)− h�l(x− tiα)pl(ti)
��� ≤
≤ Cα
4Pn
· 2Pn =
Cα
2
.
Тому
lim
y→x
|h��α(y)| ≤
Cα
2
,
а значить,
lim
y→x
g��α(y) = lim
y→x
�
f ��
α(x) + h��α(x)
�
≥
≥ lim
y→x
f ��
α(x)− lim
y→x
|h��α(y)| ≥ Cα− Cα
2
=
Cα
2
> 0.
Таким чином, g�α строго зростає, що i треба було довести. �
Топологiчна стiйкiсть функцiй 157
4. Кусково постiйнi щiльностi
Нехай
−1 = t0 < t1 < · · · < tn < tn+1 = 1
— зростаюча послiдовнiсть чисел, p0, . . . , pn ∈ [0,+∞)— деякi
невiд’ємнi числа такi, що pi �= pi+1 для i = 0, . . . , n− 1. Визна-
чимо кусково постiйну функцiю p : [−1, 1] → [0,+∞) за форму-
лою:
p[ti, ti+1) = pi, i = 0, . . . , n− 1
p[tn, tn+1] = pn,
див рис. 4.1.
Рис. 4.1
Також вважатимемо, що
� 1
−1
p(t)dt =
n�
i=0
(ti+1 − ti)pi = 1. (4.6)
Тодi p визначає ймовiрнiсну мiру µ на борелiвськiй алгебрi мно-
жин вiдрiзка [−1, 1] за формулою:
µ(A) =
�
A
p(t)dt, A ∈ B[−1, 1].
Вiдповiдно, для кожної неперервної функцiї f : R → R ї ї α-
усереднення fα : R → R за мiрою µ задається формулою:
fα(x) =
� 1
−1
f(x+ αt)dµ =
� 1
−1
f(x+ αt)p(t)dt =
=
n�
i=0
pi
� ti+1
ti
f(x+ αt)dt. (4.7)
158 С. I. Максименко, О. В. Марункевич
Вiдмiтимо, що тодi
f �
α(x) =
n�
i=0
pi
� ti+1
ti
f �(x+ αt)dt =
=
n�
i=0
�
f(x+ αti+1)− f(x+ αti)
�
pi, (4.8)
що є частинним випадком формули (3.4).
Теорема 4.1. Нехай g : [−ε, ε] → R— кусково 1-диференцiйов-
на функцiя, що задовольняє такi умови:
(a) g строго спадає на [−ε, 0] i строго зростає на [0,+ε];
(b) iснують скiнченi границi
L = lim
x→0−0
g�x, R = lim
x→0+0
g�x.
Для i = 0, . . . , n+ 1 визначимо числа
Xi := Lµ[t0, ti] +Rµ[ti, tn+1]
= L
i−1�
j=0
(tj+1 − tj)pj +R
n�
j=i−1
(tj+1 − tj)pj ,
якi, очевидно, задовольняють нерiвностям:
L = Xn+1 ≤ Xn ≤ · · · ≤ X1 ≤ X0 = R.
Припустимо, що для кожного i ∈ {0, . . . , n} хоча б одне з чисел
Xi або Xi+1 вiдмiнне вiд нуля. Тодi паросток g в точцi 0 є
топологiчно стiйким вiдносно усереднень за мiрою µ.
Доведення теореми 4.1 базується на такiй лемi:
Лема 4.2. Нехай f : R → R— неперервна функцiя, визначена
за формулою
f(x) =
�
Lx, x ≤ 0
Rx, x > 0.
Топологiчна стiйкiсть функцiй 159
Тодi
1
α · f �
α(x) =
Xn+1 = L, x < −αtn+1 = −α,
Xi+1 +
x+ αti+1
ti+1 − ti
(Xi −Xi+1), −αti+1<x<−αti,
1 ≤ i ≤ n,
X0 = R, −t0α = α < x,
(4.9)
f ��
α(x) =
0, x < −αtn+1 = −α,
Xi −Xi+1
ti+1 − ti
α, −αti+1 < x < −αti
0, −t0α = α < x.
(4.10)
Доведення теореми 4.1. Досить перевiрити,що для f з леми 4.2
та g виконанi умови (a)-(c) теореми 3.5. Умова (a) очевидно ви-
конується.
Нехай
C = min
i=0,...,n
Xi −Xi+1
ti+1 − ti
.
Тодi з формули (4.10) i припущення,що жоднi два сусiднi числа
Xi+1 та Xi одночасно не дорiвнюють нулю, випливає, що C > 0
i f ��
α(x) > Cα для всiх x ∈ [−α,α], тобто виконується умова (b).
Нарештi покладемо h = f − g. Тодi
lim
x→0−0
h�(x) = lim
x→0−0
f �(x)− lim
x→0−0
g�(x) = L− L = 0
lim
x→0+0
h�(x) = lim
x→0+0
f �(x)− lim
x→0+0
g�(x) = R−R = 0,
а тому h� неперервна в точцi 0 i h�(0) = 0. Отже умова (c) теж
виконана, а значить, за теоремою 3.5 паросток g в точцi 0 є
топологiчно стiйким вiдносно усереднень за мiрою µ. �
Доведення леми 4.2. Для n− 1 ≥ i ≥ 0 покладемо
Δi(x) =
�
f(x+ αti+1)− f(x+ αti)
�
pi.
160 С. I. Максименко, О. В. Марункевич
Тодi, згiдно з формулою (4.8), f �
α(x) =
n�
i=0
Δi(x). Розглянемо
три випадки.
a) Якщо x+ αti < x+ αti+1 < 0 для деякого i = 0, . . . , n, то
Δi(x) =
�
L(x+ αti+1)− L(x+ αti)
�
pi
= αL(ti+1 − ti) pi = αLµ[ti, ti+1].
b) Припустимо, що x + αti ≤ 0 ≤ x + αti+1 для деякого i =
0, . . . , n− 1. Ця умова рiвносильна тому, що x ∈ [−αti+1,−αti].
Покладемо, di = ti+1 − ti, s =
x+ αti+1
αdi
, див. рис. 4.2. Тодi
Рис. 4.2
1− s = −x+ αti
αdi
, x = −αti+1(1− s)− αtis,
а тому
Δi(x) =
�
R(x+ αti+1)− L(x+ αti)
�
pi =
�
(1− s)L+ sR
�
α pidi.
c) Якщо ж 0 < x+αti < x+αti+1 для деякого i = n−1, . . . , 0,
то аналогiчно до випадку a) отримуємо, що
Δi(x) =
�
R(x+ αti+1)−R(x+ αti)
�
pi
= αR(ti − ti+1)pi = αRµ[ti+1, ti].
Тепер можемо довести формулу (4.9) для f �
α. Припустимо,
що x ≤ α = αt0. Тодi x+ αti < x+ αtn+1 ≤ 0 для всiх i, а тому
f �
α(x) =
n�
j=0
Δj(x) =
n�
j=0
αLµ[tj , tj+1]
Топологiчна стiйкiсть функцiй 161
= αL
n�
j=0
µ[tj , tj+1] = αLµ[−1, 1] = αL.
Якщо, як у випадку b),
x = −αti+1(1− s)− αtis ∈ [−αti+1,−αti]
для деякого i = 0, . . . , n, то
1
α f �
α(x) =
i−1�
j=0
Lµ[tj , tj+1] +
�
(1− s)L+ sR
�
αµ[ti, ti+1]+
+
n�
j=i+1
Rµ[tj , tj+1]
= Lµ[t0, ti] +
�
(1− s)L+ sR
�
αµ[ti, ti+1] +Rµ[ti+1, tn+1]
= (1− s)
�
Lµ[t0, ti+1] +Rµ[ti+1, tn+1]
�
+
+ s
�
Lµ[t0, ti] +Rµ[ti, tn+1]
�
= (1− s)Xi+1 + sXi = Xi+1 + s(Xi −Xi+1)
= Xi+1 +
x+ αti+1
ti+1 − ti
(Xi −Xi+1).
Нарештi, коли α = tn+1α ≤ x, то 0 ≤ x + αt0 < x + αti для
всiх i, то
f �
α(x) =
n�
j=0
Δj(x) =
n�
j=0
αRµ[tj , tj+1]
= αR
n�
j=0
µ[tj , tj+1] = αRµ[−1, 1] = αR.
Лему доведено. �
Приклад 4.3. Покажемо,що якщо в теоремi 1.4 Xi+1 = Xi = 0
для деякого i, то функцiя g може не бути топологiчно стiйкою
вiдносно мiри µ. Визначимо функцiю f : R → R i щiльнiсть
162 С. I. Максименко, О. В. Марункевич
p : [−1, 1] → R за формулами:
f(x) =
�
−x, x ≤ 0,
2x, x ≥ 0
p(x) =
1, x ∈ [−1,−0.5],
0, x ∈ (−0.5, 0],
0.25, x ∈ (0, 1),
див. рис. 4.3.
�1 1
1
2
�1 �0.5 1
1
0.25
�1 1
1
a) f(x) (b) p(x) (с) fα(x)
Рис. 4.3
Таким чином, L = −1, R = 2, n = 2, t0 = −1, t1 = −0.5,
t2 = 0, t3 = 1, p0 = 1, p1 = 0, p2 = 0.25. Тодi
X2 = Lµ[−1, t2] +Rµ[t2, 1] = −1 · 0.5 + 2 · 0.25 = 0,
X1 = Lµ[−1, t1] +Rµ[t1, 1] = −1 · 0.5 + 2 · 0.25 = 0.
Отже X2 = X1 = 0 i умови теореми 4.1 не виконуються. З
iншого боку, згiдно з формулою (4.9), для
x ∈ [−αt2,−αt1] = [0, 0.5α]
маємо, що 1
α f �
α(x) = X2 +
x+ αt2
t3 − t2
(X1 − X2) = 0. Це означає,
що fα є постiйною на iнтервалi [0, 0.5α], а тому вона не може
бути топологiчно еквiвалентною до f , див. рис. 4.3(c). Таким
чином, умови теореми 4.1 є суттєвими.
Лiтература
[1] Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введе-
ние в статистическую радиофизику и оптику. —М.: Наука,
1977. —С. 290.
Топологiчна стiйкiсть функцiй 163
[2] Huang T. S. Two-Dimensional Digital Signal Processing I. Li-
near Filters. — N.Y.: Springer-Verlag, 1981. — 42. — P. xi+210.
[3] Crounse Kenneth R. Methods for Image Processing and
Pattern Formation in Cellular Neural Networks: A Tutorial //
IEEE Transactions on Circuits and Systems-1: Fundamental
Theory and Application. — 1995. — 42, 10. — P. 583–601.
[4] Milanfar Peyman. A tour of modern image filtering: new insi-
ghts and methods, both practical and theoretical // IEEE Si-
gnal Processing Magazine. — 2013. — 30, 1. — P. 106–128.
[5] Максименко С. I., Mарункевич О. В. Топологiчна стабiль-
нiсть функцiй вiдносно усереднень // Укр. мат. журн. —
2016. — прийнято до друку.
[6] Арнольд В. I. Исчисление змей и комбинаторика чисел Бер-
нулли, Эйлера и Спрингера групп Кокстера // УМН. —
1992. — 47, 1(283). —С. 3–45.
[7] Thom René. L’équivalence d’une fonction différentiable et d’un
polynome // Topology. — 1965. — 3, suppl. 2. — P. 297–307.
[8] Bandt C., Pompe B. Permutation entropy: A natural complexi-
ty measure for time series // Physical Review Letters. —
2002. — 88. — P. 174102.
[9] Antoniouk Alexandra, Keller Karsten, Maksymenko Sergiy.
Kolmogorov-Sinai entropy via separation properties of order-
generated σ-algebras // Discrete Contin. Dyn. Syst. — 2014. —
34, 5. — P. 1793–1809.
[10] Keller Karsten, Maksymenko Sergiy, Stolz Inga. Entropy
determination based on the ordinal structure of a dynami-
cal system // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. — 2015. —
20, 10. — P. 3507–3524.
[11] Голубицкий M., Гийемин В. Устойчивые отображения и их
особенности. —М.: Наука, 1981. —С. 640.
[12] Арнольд В. I., Варченко A. Н., Гусейн-Зaде С. M. Осо-
бенности дифференцируемых отображений, I. —М.: Наука,
1982. —С. 304.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-147 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:02Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/56/cd5cd94d183ce0acbb8506f72c99e056.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1472018-01-23T11:58:55Z Topological stability of averagings of functions with respect to probability measures with piecewise constant densities Топологiчна стiйкiсть функцiй вiдносно усереднень за мiрами з кусково постiйними щiльностями Maksymenko, S. I. Marunkevych, O. V. Максименко, С. І. Марункевич, О. В. We present sufficient conditions for a topological stability of averagigns of piece-wise differentiable functions $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ with finitely many local extremes with respect to probability measures with piecewise constant densities. В роботi отриманi достатнi умови для топологiчної стiйкостi усереднень кусково диференцiйовних функцiй $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ зi скiнченним числом екстремумiв вiдносно мiр з кусково постiйними щiльностями. Інститут математики НАН України 2015-12-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/147 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 6 (2015): Topology of maps on low-dimensional manifolds; 146-163 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 146-163 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 146-163 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/147/245 Авторське право (c) 2015 С. І. Максименко, О. В. Марункевич |
| spellingShingle | Maksymenko, S. I. Marunkevych, O. V. Максименко, С. І. Марункевич, О. В. Topological stability of averagings of functions with respect to probability measures with piecewise constant densities |
| title | Topological stability of averagings of functions with respect to probability measures with piecewise constant densities |
| title_alt | Топологiчна стiйкiсть функцiй вiдносно усереднень за мiрами з кусково постiйними щiльностями |
| title_full | Topological stability of averagings of functions with respect to probability measures with piecewise constant densities |
| title_fullStr | Topological stability of averagings of functions with respect to probability measures with piecewise constant densities |
| title_full_unstemmed | Topological stability of averagings of functions with respect to probability measures with piecewise constant densities |
| title_short | Topological stability of averagings of functions with respect to probability measures with piecewise constant densities |
| title_sort | topological stability of averagings of functions with respect to probability measures with piecewise constant densities |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/147 |
| work_keys_str_mv | AT maksymenkosi topologicalstabilityofaveragingsoffunctionswithrespecttoprobabilitymeasureswithpiecewiseconstantdensities AT marunkevychov topologicalstabilityofaveragingsoffunctionswithrespecttoprobabilitymeasureswithpiecewiseconstantdensities AT maksimenkosí topologicalstabilityofaveragingsoffunctionswithrespecttoprobabilitymeasureswithpiecewiseconstantdensities AT marunkevičov topologicalstabilityofaveragingsoffunctionswithrespecttoprobabilitymeasureswithpiecewiseconstantdensities AT maksymenkosi topologičnastijkistʹfunkcijvidnosnouserednenʹzamiramizkuskovopostijnimiŝilʹnostâmi AT marunkevychov topologičnastijkistʹfunkcijvidnosnouserednenʹzamiramizkuskovopostijnimiŝilʹnostâmi AT maksimenkosí topologičnastijkistʹfunkcijvidnosnouserednenʹzamiramizkuskovopostijnimiŝilʹnostâmi AT marunkevičov topologičnastijkistʹfunkcijvidnosnouserednenʹzamiramizkuskovopostijnimiŝilʹnostâmi |