Topology of Morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody

We studied topological properties of polar Morse flows on 3-dimensional handlebody, all fixed points of which lie on the boundary and have no separatrices connecting the saddle. We built an analog of Heegaard decomposition and $m$-diagram, which is complete topological invariant of flow. Equivalence...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Prishlyak, O. O., Skochko, D. M., Пришляк, O. O., Скочко, Д. M.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2015
Online Zugang:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/148
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552668198600704
author	Prishlyak, O. O. Skochko, D. M. Пришляк, O. O. Скочко, Д. M.
author_facet	Prishlyak, O. O. Skochko, D. M. Пришляк, O. O. Скочко, Д. M.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "O. O. Пришляк", "institution": null }, { "author": "Д. M. Скочко", "institution": null } ]
author_sort	Prishlyak, O. O.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-01-23T11:58:55Z
description	We studied topological properties of polar Morse flows on 3-dimensional handlebody, all fixed points of which lie on the boundary and have no separatrices connecting the saddle. We built an analog of Heegaard decomposition and $m$-diagram, which is complete topological invariant of flow. Equivalence of m-diagrams and flow we check using the distinguishing graphs. We found all possible distinguishing graphs with no more than 5 vertex.
first_indexed	2026-08-04T01:03:05Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т.12, №6, 164-182 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка prishlyak@yahoo.com, geroyasf@gmail.com Топологiя потокiв Морса з нерухомими точками на межi повного кренделя We studied topological properties of polar Morse flows on 3-dimensional handlebody, all fixed points of which lie on the boundary and have no separatrices connecting the saddle. We built an analog of Heegaard de- composition and m-diagram, which is complete topological invariant of flow. Equivalence of m-diagrams and flow we check using the distinguish- ing graphs. We found all possible distinguishing graphs with no more than 5 vertex. 1. Вступ Теорiя Морса є потужним iнструментом для дослiдження властивостей многовидiв з межею, а тому вона широко вико- ристовувалась i розвивалась в багатьох роботах, таких, як [1], [2], [3], [4], [5] та iнших. При дослiдженнях топологiчних властивостей функцiй Мор- са на многовидах часто використовуються їх поля градiєнтiв, що в загальному випадку породжують потоки Морса-Смейла. Якщо на такому полi зафiксувати значення функцiї в осо- бливих точках, то по них (полю i цих значеннях) функцiя вiд- новлюється однозначно з точнiстю до топологiчної еквiвален- тностi. © О. О. Пришляк, Д. М. Скочко, 2015 Топологiя потокiв Морса . . . 165 На кожному компактному многовидi функцiя Морса з мiнi- мальним числом критичних точок має єдиний локальний мiнi- мум та єдиний локальний максимум [6]. Вiдповiдне поле гра- дiєнта має єдиний витiк i єдиний стiк. Такi поля називаються полярними. Якщо поле градiєнта на двовимiрнiй поверхнi є по- лем Морса-Смейла, тодi у нього немає спiльних сепаратрис сi- длових точок. Часто замiсть полiв градiєнта розглядають градiєнтноподi- бнi поля. Це поля, якi в регулярних точках трансверсальнi по- верхням рiвня, а особливi точки яких є критичними точками функцiї. З роботи С. Смейла [7] випливає, що такi поля для функцiй Морса топологiчно еквiвалентнi полям градiєнта в де- якiй рiмановiй метрицi. Для функцiй Морса, що мають кри- тичнi точки на межi многовиду, можна розглядати аналогiчнi конструкцiї, i мають мiсце аналогiчнi результати. На замкненому многовидi векторне поле завжди породжує потiк [8]. У випадку компактного многовиду з межею векторне поле буде породжувати потiк тодi i тiльки тодi, коли воно до- тикається до межi в кожнiй її точцi [9]. Саме такi поля градiєн- та i породженi ними потоки ми будемо розглядати. При цьому вважатимемо, що всi особливi точки лежать на межi тривимiр- ного многовиду. Крiм того, ми будемо розглядати поля, що не мають траєкторiй, якi починаються i закiнчуються в сiдлових точках. Якщо на поверхнi (межi тривимiрного многовиду) ця умова виконується в загальному положеннi, то на тривимiрно- му многовидi вона накладає певнi обмеження на многовид, так само, як i умова про єдинiсть витоку та стоку (витiк на поверх- нi може не бути витоком на тривимiрному многовидi — в нього може входити траєкторiя). Зокрема з цих умов випливає, що тривимiрний многовид з межею буде повним кренделем. Зауважимо, що поля, якi ми розглядаємо, є структурно стiй- кими. Нехай W компактний многовид з межею ∂W . Позначимо через X(W, ∂W ) простiр векторних Cr полiв на W дотичних 166 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко до ∂W оснащений звичайною Cr топологiєю. В цьому просто- рi можна визначити структурну стiйкiсть наступним чином: скажемо, що векторне поле X ∈ X(W, ∂W ) є Cr структурно стiйким, якщо воно має Cr окiл U, такий, що кожен Y ∈ U є топологiчно еквiвалентним до X, тобто iснує гомеоморфiзм h, що переводить орбiти X в орбiти Y та зберiгає їх орiєнтацiю. Для векторного поляX ∈ X∞(W, ∂W ) позначимо через Ω(X) множину неблукаючих точок поля X. Означення 1.1. Нехай �W ∈ C∞ замкнений многовид i Cr множина векторних полiв з Cr топологiєю, r ≥ 1, тодi ве- кторне поле X ∈ Xr(W ) називається полем Морса-Смей- ла, якщо виконуються такi умови: (1) ω(X) є простою, тобто вона має скiнченну кiлькiсть орбiт, усi з яких гiперболiчнi; (2) якщо σi,σj ∈ ω(X), то нестiйкий многовид WU (σi) трансверсальний до стiйкого многовиду W S(σj). Дослiдженню полiв Морса-Смейла присвячено багато робiт, зокрема [10], [11], [12]. Множина векторних полiв Морса-Смейла є вiдкритою непо- рожньою множиною в Xr(�W ), r ≥ 1 i кожен її елемент стру- ктурно стiйкий [13], [7]. Означення 1.2. Полем Морса на многовидi з межею на- зивається векторне поле X ∈ Xr(W ), що задовольняє такi умови: (1) ω(X) є скiнченою, тобто має скiнченне число точок, усi з яких є гiперболiчними особливими точками; (2) якщо σi,σj ∈ ω(X) i в точцi x ∈ WU (σi)∩WS(σj) стiй- кий та нестiйкий многовиди перетинаються нетранс- версально, то x ∈ ∂W ; (3) поле дотичне до межi i його обмеження на межу є полем Морса-Смейла. Потiк, породжений полем Морса, називається потоком Мор- са. Топологiя потокiв Морса . . . 167 Означення 1.3. Полярним потоком називається потiк, який має єдиний стiк та витiк, та обмеження якого на межу має також єдиний стiк та витiк. Означення 1.4. Потiк Морса називається простим, якщо у нього не iснує траєкторiй, що починаються i закiнчуються в сiдлових точках (сепаратрис, що з’єднують сiдла). Для полярного потоку Морса, з точнiстю до топологiчної еквiвалентностi, можливi чотири типи невироджених особли- вих точок на межi: (1) витiк, координати якого (x1, x2, x3) в локальних кооор- динатах x1,x2, x3 на многовидi; (2) стiк (−x1,−x2,−x3); (3) A-сiдло (x1,−x2,−x3); (4) B-сiдло (−x1, x2, x3). Тут межа многовиду задається рiвнянням x3 = 0, при цьому випадки точок (−x1,−x2, x3) та (x1, x2,−x3) нами не розгля- даються, оскiльки цi точки є точками стоку на межi, що не є стоком на многовидi, або витоку на межi, що не є витоком на многовидi, що неможливо для полярного потоку Морса. Надалi ми будемо розглядати потоки, у яких всi особливi точки лежать на межi i обмеження потоку на межу має єдиний стiк та витiк (полярнi потоки). Мета даної роботи: дослiдити топологiчнi властивостi про- стих полярних потокiв Морса на повному кренделi, всi неру- хомi точки яких лежать на межi; побудувати для них повний топологiчний iнварiант (дiаграму, а також розрiзнюючий граф, який зручно використовувати для пiдрахунку топологiчно не- еквiвалентних потокiв). 2. m-Дiаграма потоку Морса Надалi будемо розглядати рiманову метрику, яка має для кожного A-сiдла таку властивiсть: для двох рiзних траєкторiй, що виходять iз A-сiдла, їх довжини рiвнi та меншi за довжини 168 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко траєкторiй, що входять в цi сiдла, i аналогiчно для кожного B- сiдла: двi траєкторiї, що входять в нього, мають рiвнi довжини, меншi за довжини всiх iнших траєкторiй, що виходять з нього. Таку рiманову метрику легко побудувати з довiльної рiманової метрики, стискаючи до необхiдного околи дуг на зазначених вище траєкторiях. Для кожної траєкторiї потоку Морса на повному кренделi, крiм особливих точок, та тих, що лежать на не стiйких много- видах A-сiдел та стiйких многовидах B-сiдел, знайдемо її се- редину, i розглянемо множину F ⊂ W всiх таких середин тра- єкторiй. При цьому довжина кожної траєкторiї обчислюється вiд витоку до стоку, тобто для траєкторiй, що лежать на стiй- ких многовидах A-сiдел знаходиться середина їх об’єднання з одною з двох траєкторiй, якi виходять з цього сiдла (вони за побудовою мають рiвнi довжини, що меншi довжин траєкторiй стiйкого многовиду), i аналогiчно для нестiйких многовидiв B- сiдел. Зауваження 2.1. За побудовою, множина F є двовимiрним многовидом з межею ∂F ∈ ∂W . Локальна евклiдовiсть F доводиться за допомогою гомео- морфiзмiв околiв точок на межу ε-околу витоку або стоку для достатньо малого ε в канонiчнiй системi координат, де кожнiй точцi з F ставиться у вiдповiднiсть точка на цiй же самiй тра- єкторiї на межi околу. Аналогiчно доводиться, що коли F1 та F2 — двi поверхнi, побудованi за рiмановими метриками ρ1 та ρ2, вiдповiдно, то iснує гомеоморфiзм h : W → W такий, що (a) h(ω) = ω для кожної траєкторiї ω потоку, причому h зберiгає орiєнтацiю ω якщо dimω = 1; (b) h(F1) = F2. Таким чином, побудова поверхнi F з точнiстю до гомеоморфi- зму, що задовольняє умову (a), не залежить вiд вибору рiма- нової метрики. Топологiя потокiв Морса . . . 169 Зауваження 2.2. Нехай Σ— множина всiх особливих точок потоку, а S — множина всiх пар «коротких» сепаратрис, тобто сепаратрис, що виходять з A-сiдел та сепаратрис, що входять в B-сiдла. Тодi поверхня F перетинає кожну орбiту з множини W \ (Σ ∪ S) в єдинiй точцi, а тому F можна ототожнити з простором траєкторiй W \ (Σ ∪ S). Вiдмiтимо, що множина F розбиває многовид W на двi ком- поненти зв’язностi, а тому можна розглядати многовид W як склейку з деяких двох многовидiв M та N за деяким гомео- морфiзмом частин їх меж. Многовиди M та N вибираються так, що кожна траєкторiя в точках поверхнi F направлена з многовиду N в многовид M . Тодi, за побудовою, всi A-сiдла лежать в многовидi M , а B-сiдла лежать в многовидi N . Таке розбиття многовидуW є аналогом розбиття Хегора для замкнених многовидiв, а поверхня F є аналогом поверхнi Хе- гора. Означення 2.3. m-дiаграма простого полярного потоку Мор- са— це трiйка, що складається з: (1) поверхнi F з межею; (2) набору простих дуг I типу— перетин стiйких много- видiв A-сiдел з поверхнею F ; (3) набору простих дуг II типу— перетин нестiйких мно- говидiв B-сiдел з поверхнею F . Лема 2.4. У випадку розрiзання F вздовж дуг першого (дру- гого) типу, буде отримана однозв’язна область. Доведення. Розглянемо на многовидi F диски, що лежать на нестiйких двовимiрних многовидах та обмеженi цими кривими та двома траєкторiями на межi. Розрiжемо F за цими диска- ми. В утвореному многовидi F � послiдовно стягнемо кожний з отриманих при розрiзаннi дискiв в точку. Пiсля стягнення отримаємо многовид, гомеоморфний F �, та векторне поле на 170 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко ньому з однiєю особливою точкою - витоком. Отже, цей много- вид гомеоморфний пiвдиску D3 +, а поверхня F , пiсля розрiза- ння за кривими першого типу, гомеоморфна диску D2. � Далi пiд m-дiаграмою будемо розумiти довiльну поверхню з межею, на якiй видiлено два типи простих кривих, кiнцi яких з’єднують рiзнi компоненти межi i такi, що, розрiзавши поверх- ню за дугами одного типу, виходить однозв’язна поверхня. Отже, за кожним простим полярним потоком Морса на пов- ному кренделi побудовано m-дiаграму (поверхня F та дуги I та II типу— це перетин стiйких та нестiйких двовимiрних мно- говидiв з поверхнею F ). 3. Задання потоку Морса з допомогою m-дiаграми Покажемо, як за m-дiаграмою можна вiдновити тривимiр- ний многовид i потiк на ньому. Повний крендель можна скле- їти з двох многовидiв за допомогою такої послiдовностi дiй: до межi ∂(D2) = S1 приклеюються k смуг, що є 1-ручками hki = D1 ×D1 за вiдображенням ∂(D1 ×D1) → S1. Позначимо Lk = D2 ∪ h11 . . . ∪ h1k. Слiд зауважити, що приклеєнi ручки не перехрещуються. Далi вклеєнi смуги разом з диском потовщуються. Отриманий 3- многовид позначатимемо через LI k = L× I. Надалi будемо казати, що 3-многовид має LI k тип з основою Lk, якщо його можна побудувати вищезазначеним способом. НехайM та N мають LI k тип. Визначимо деякий гомеоморфiзм h : M → N , що склеює їхнi основи MLk та NLk , розглянутi як бордизми, а всi iншi точки лишає на мiсцi, див. рис. 3.1. Варто зазначити, що пiд дiєю цього гомеоморфiзму компоненти межi MLk довiльним чином вклеюються в компоненти межi NLk Таким чином пiсля склеювання M та N буде отримано мно- говид W , W ⊃ F = h(MLk ) = NLk . Тобто W розбивається на многовиди M та N . Топологiя потокiв Морса . . . 171 Рис. 3.1. Склейка многовидiв M та N , що ма- ють LI 1 тип. Розглянемо поверхню F , що є результатом склеювання осно- ви многовиду M з основою N за вiдображенням h та дуги пер- шого типу на нiй. Кожна така дуга є простим шляхом, що має кiнцi на рiзних компонентах межi поверхнi F . Для зручностi будемо вважати, що дуги першого типу на- лежать основi многовиду M , яку будемо позначати MLk , а ду- ги другого типу— основi многовиду N , яку позначатимемо як NLk . Приклад m-дiаграми потоку див. на рис. 3.2. Рис. 3.2. Приклад m-дiаграми потоку. Означення 3.1. Двi m-дiаграми називаються гомеоморфни- ми, якщо iснує гомеоморфiзм їх поверхонь, що вiдображає кривi першого типу на кривi першого типу, а другого— на дру- гого. 172 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко Означення 3.2. Векторнi поля (потоки) називаються то- пологiчно еквiвалентними, якщо iснує гомеоморфiзм мно- говиду, який вiдображає траєкторiї одного векторного поля (потоку) на траєкторiї iншого, зберiгаючи напрямок руху за траєкторiями, [9]. Теорема 3.3. Простi полярнi потоки Морса топологiчно еквi- валентнi тодi i тiльки тодi, коли їх m-дiаграми гомеоморфнi. Доведення. Припустимо, що iснує топологiчна еквiвалентнiсть h : W1 → W2 полярних потокiв Морса X1 та X2 на многовидах W1 та W2 вiдповiдно. Нехай Σi — множина нерухомих точок Xi, а Si — множина його сепаратрис, що виходять з A-сiдел, та сепаратрис, що входять в B-сiдла. Тодi h(Σ1) = Σ2 i h(S1) = S2, а тому h � W1 \ (Σ1 ∪ S1) � = W2 \ (Σ2 ∪ S2). Зокрема, h iндукує гомеоморфiзм мiж вiдповiдними простора- ми шарiв, тобто m-дiаграмами. Навпаки, припустимо, щоm-дiаграми гомеоморфнi. Тодi цей гомеоморфiзм задає бiєкцiю мiж траєкторiями векторних по- лiв, i для кожної точки з поверхнi F можемо продовжити її вiдображення на всю траєкторiю, що проходить через цю то- чку за гомеоморфiзмом, який зберiгає пропорцiю довжин дуг в заданiй метрицi. Таким чином отримаємо гомеоморфiзм пов- них кренделiв, що є топологiчною еквiвалентнiстю векторних полiв. � Означення 3.4. Родом g потоку Морса називається рiд по- верхнi F його дiаграми. Складнiстю c полярного потоку Мор- са називається число A-сiдел. Якщо поверхню F розглядати як диск з приклеєними стрi- чками (1-ручками Смейла), то складнiсть дорiвнює числу стрi- чок. Звiдси видно, що число B-сiдел дорiвнює числу A-сiдел для полярного потоку Морса. Зауваження 3.5. Для орiєнтованої поверхнi число компонент межi k = 1 + c− 2g, звiдки складнiсть c = k + 2g − 1. Топологiя потокiв Морса . . . 173 4. Розрiзняючий граф потоку Морса Дослiдимо, скiлькома рiзними способами можна склеїти мно- говиди M та N , що мають тип LI k. Для цього ототожнимо ком- поненти межi MLk з вершинами деякого графа GM , а кривi, що їх з’єднують, з його ребрами. Аналогiчно NLk з GN . Твердження 4.1. Для полярного потоку Морса роду нуль гра- фи GM та GN є деревами. Доведення. При побудовi графiв GM та GN , коли компоненти границi стягуються в точки, поверхня роду нуль переходить у сферу. Отже, цi графи, є графами вкладеними у сферу. Якщо один з цих графiв, нехай для визначеностi граф GM , не є дере- вом, то вiн мiстить цикл, який розбиває сферу на двi областi. За побудовою, кожнiй областi, на якi граф GM розбиває сфе- ру, вiдповiдає область, на яку кривi першого типу розбивають поверхню F , а такiй областi вiдповiдає витiк. Тодi потiк не є полярним. Отримане протирiччя доводить твердження. � Надалi будемо розглядати лише полярнi потоки роду нуль. Склеїмо граф GM з графом GN так, щоб вершини GM були попарно ототожненi з вершинамиGN i ребраGM не перетинали ребер GN . Отриманий об’єкт будемо називати розрiзнюючим графом потоку Морса i позначати G. Лема 4.2. Два розрiзнюючi графи iзоморфнi, якщо iснує iзо- морфiзм ребер та вершин одного в ребра та вершини iншого зi збереженням типу ребра та кiлькостi i довжин циклiв. З побудови розрiзнюючого графа випливає така теорема. Теорема 4.3. Двi дiаграми гомеоморфнi тодi i тiльки тодi, коли вiдповiднi їм графи iзоморфнi. Зауваження 4.4. Для потокiв роду 0 кожна дуга з’єднує рi- знi компоненти. Якби вона починалась i закiнчувалась в однiй компонентi межi, то розрiзання вздовж цiєї дуги зробило б по- верхню незв’язною, або зменшило б її рiд, що не можливо. 174 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко Далi знайдемо всi розрiзнюючi графи для потокiв роду 0 складностi менше 4. Для випадку склеювання двох многовидiв M та N , що мають LI 1 тип отримаємо графи GM та GN , якi будуть деревами на двох вершинах, а тому iснує лише один варiант для того, щоб їх склеїти (рис. 4.3). На рис. 4.3 i всiх подальших рисунках ребра графа GN бу- дуть зображатись прямими вiдрiзками, а графа GN — дугами. Рис. 4.3. Склейки дерев на двох вершинах. Для випадку склеювання двох многовидiвM таN , що мають LI 2 тип, отримаємо графи GM та GN , якi будуть деревами на трьох вершинах, всього iснує два варiанти їх склейки (рис. 4.4). Рис. 4.4. Склейки дерев на трьох вершинах. Якщо склеюються два многовиди M та N , що мають LI 3 тип, то графи GM та GN будуть деревами на чотирьох вершинах, а тому всього iснує 12 варiантiв склейок i вiдповiдних їм розрi- знюючих графiв (Рис. 4.5). Кожному iз отриманих розрiзнюючих графiв вiдповiдає свiй полярний потiк Морса-Смейла. Нехай Sn — кiлькiсть полярних потокiв Морса-Смейла для склейок многовидiв LI n типу. Тодi S1 = 1, S2 = 2, S3 = 12. Для розгляду випадкiв n >= 4 потрiбно розробити певний алгоритм та скористатись обчислювальною технiкою. Топологiя потокiв Морса . . . 175 Рис. 4.5. Склейки дерев на чотирьох вершинах. 5. Розрiзнюючi графи для потокiв Морса роду 0 складностi 4 Нехай многовиди M та N мають тип LI 4, i, як результат, графи GM та GN матимуть по 5 вершин. На 5 вершинах можна побудувати три неiзоморфнi дерева (рис. 5.6). Рис. 5.6. Дерева на п’яти вершинах. Таким чином кожному з многовидiв M та N може вiдповi- дати один з трьох графiв, а тому iснує 6 рiзних типiв склейок двох дерев на п’яти вершинах (рис. 5.7). 176 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко Розглянемо граф з точки зору властивостей кожної верши- ни, таких, як її степiнь i вiддаленiсть вiд кiнцiв (висячих вер- шин), враховуючи всi можливi симетрiї. Для дерева рис. 5.6(а) маємо три типи вершин: крайня, середня та вершина мiж край- ньою i середньою, аналогiчно для дерева рис. 5.6(б) матимемо 4 типи вершин, для рис. 5.6(в) — 2. Рис. 5.7. Всi можливi склейки двох дерев на п’яти вершинах. Опишемо процес вклеювання графа GM в GN на прикладi ва- рiанту з рис. 5.7(в). Для цього фiксується одна з точок графа GM i розглядаються всi можливi варiанти приклеювання до неї рiзних типiв точок графа GN . Нехай лiвий граф з рис. 5.7(в) буде графом GM , а правий GN . Зафiксуємо крайню лiву точку в GM i визначимо, скiльки рiзних типiв точок в GN . Отри- маємо чотири варiанти. Далi для кожного iз цих 4 варiантiв зафiксуємо наступну точку з GM i визначимо кiлькiсть варi- антiв точок з GN , iз тих, що лишились— їх по три варiанти. Таким перебором знаходимо всi варiанти m-дiаграм. Топологiя потокiв Морса . . . 177 Зауваження 5.1. В отриманiй множинi графи будуть повто- рюватись. Даний факт є наслiдком випадкiв склейок однакових типiв графiв, оскiльки при переборi не враховуються порядок перебору першого графа з порядком перебору iншого. Цю ситуацiю легко виправити, якщо дублювати отриману множину графiв i помiняти мiсцями в новому наборi кожен перший з кожним другим графом, а потiм порiвняти цi мно- жини. Таким чином можна сформулювати алгоритм для пошуку склейок графiв: (1) Виберемо з множини неiзоморфних дерев пару графiв GM та GN , що вiдповiдатиме парi многовидiв; (2) Фiксуємо довiльну вершину GM i знаходимо кiлькiсть вершин графа GN , якi до неї можна приклеїти; (3) Фiксуємо наступну точку GM i повторюємо попереднiй перебiр серед точок GN , що ще не були вибранi; (4) Повторюємо кроки 1-3, поки не будуть перебранi всi то- чки графа GM ; (5) Дублюємо множину графiв та мiняємо в копiї мiсцями усi GM з усiма GN ; (6) Порiвнюємо вхiдну множину пар графiв з модифiкова- ною, вiдкидаємо тi, що повторюються. На основi даного алгоритму створено вiдповiдну програму, за результатами, якої було визначено кiлькiсть розрiзнюючих графiв, ребра яких не перетинаються: Розглянувши випадок рис. 5.7(а) склейки двох дерев з двома листками, було отримано 23 розрiзнюючi графи рис. 5.8. Випадок рис. 5.7(б) iлюструє вклеювання дерева з трьома листками в дерево з чотирма. Склейок цього типу iснує 8, їм вiдповiдає 8 полярних потокiв Морса-Смейла рис. 5.9. Для випадку рис. 5.7(в) вклеювання дерева з двома листка- ми у дерево з трьома листками отримано найбiльшу кiлькiсть склейок— 30. Це спричинено тим, що один з графiв має 3 типи 178 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко Рис. 5.8. Склейки iзоморфних дерев з двома листком. Рис. 5.9. Склейки дерев з трьома та чотирма листками. вершин, а iнший 4. Таким чином для цього типу склейки iснує 30 полярних потокiв Морса-Смейла рис. 5.10. У випадку рис. 5.7(г), коли склеюються двi зiрки— графи з чотирма листками, було отримано лише 2 графи, якi вiдповi- дають двом полярним потокам Морса-Смейла рис. 5.11. Це Топологiя потокiв Морса . . . 179 Рис. 5.10. Склейки дерев з двома та трьома листками. найменша кiлькiсть серед 6 типiв склеювань, що зумовлено тим, що графи мають лише два типи вершин та симетрiї. Рис. 5.11. Склейки iзоморфних дерев з чотир- ма листками. Для вклеювання дерева з двома листками в дерево з чотир- ма листками рис. 5.7(д) iснує 5 варiантiв, а тому iснує 5 ва- рiантiв полярних потокiв Морса-Смейла рис. 5.12. У випадку двох iзоморфних дерев з трьома листками рис. 5.7(е) iснує 24 m-дiаграми Хегора, рис. 5.13. З вищесказаного випливає така теорема: 180 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко Рис. 5.12. Склейки дерев з двома та чотирма листками. Рис. 5.13. Склейки iзоморфних дерев з трьома листками. Теорема 5.2. Iснує 92 топологiчно не еквiвалентнi потоки Морса роду 0 складностi 4. Топологiя потокiв Морса . . . 181 6. Висновки У данiй роботi були дослiдженi топологiчнi властивостi по- лярних потокiв Морса на повному кренделi, всi нерухомi то- чки яких лежать на межi i не мають сепаратрис, що з’єднують сiдла. Для них побудовано аналог розбиття Хегора, а також m-дiаграму, що є їх повним топологiчним iнварiантом потоку. Еквiвалентнiсть m-дiаграм, а також потокiв, перевiряється за допомогою побудованих у роботi розрiзнюючих графiв. Зна- йденi всi можливi розрiзнюючi графи з не бiльш нiж 5 верши- нами. Кожному з графiв вiдповiдає свiй полярний потiк Морса i в результатi вiдкидання iзоморфних дiаграм було отримано 92 неiзоморфнi розрiзнюючi графи, якi були подiленi на шiсть ти- пiв, три з яких утворенi склеюванням iзоморфних дерев i три— не iзоморфних. Всi дiаграми подаються у виглядi iлюстрацiй i наведенi у роботi. Ця тема має перспективи для дослiджень, оскiльки многови- ди можуть мати складнiшу побудову, наприклад, вони можуть бути склеєнi з двох многовидiв, що мають тип LI k, k ≥ 5, а тому, в подальшому, наведенi вище дослiдження будуть стосуватись розгляду таких випадкiв. Крiм цього, цiкаво дослiдити випадок, коли ребра графiвGM та GN перетинаються. В такому випадку кiлькiсть многовидiв, якi можна утворити склеюванням двох многовидiв M та N , значно збiльшиться, а тому i кiлькiсть потокiв Морса також значно збiльшиться. Лiтература [1] Braess Dietrich. Morse-Theorie für berandete Mannigfaltigkei- ten // Math. Ann. — 1974. — 208. — P. 133–148. [2] Jankowski A., Rubinsztein R. Functions with non-degenerate critical points on manifolds with boundary // Comment. Math. Prace Mat. — 1972. — 16. — P. 99–112. [3] Hajduk B. Minimal m-functions // Fund. Math. — 1981. — 111, 3. — P. 179–200. 182 О. О. Пришляк, Д. М. Скочко [4] Bloom Jonathan M. The combinatorics of Morse theory with boundary // Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2012. — Int. Press, Somerville, MA, 2013. — P. 43– 88. [5] Laudenbach François. A Morse complex on manifolds with boundary // Geom. Dedicata. — 2011. — 153. — P. 47–57. [6] Matsumoto Yukio. An introduction to Morse theory. — Ameri- can Mathematical Society, Providence, RI, 2002. — 208 of Translations of Mathematical Monographs. — P. xiv+219. — ISBN: 0-8218-1022-7. — Translated from the 1997 Japanese ori- ginal by Kiki Hudson and Masahico Saito, Iwanami Series in Modern Mathematics. [7] Palis J., Smale S. Structural stability theorems // Global Analysis (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIV, Berkeley, Calif., 1968). — Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1970. — P. 223–231. [8] Borodzik M., Nemethi A., Ranicki A. Morse theory for mani- folds with boundary // arXiv:1207/3066. [9] Fleitas G. Classification of gradient-like flows on dimensi- ons two and three // Bol. Soc. Brasil. Mat. — 1975. — 6, 2. — P. 155–183. [10] Giryk O. A. Classification of polar Morse-Smale vector fi- elds on two-dimensional manifolds // Methods Funct. Anal. Topology. — 1996. — 2, 1. — P. 23–37. [11] Кадубовський О. Класифiкацiя векторних полiв Мор- са–Смейла на двовимiрних многовидах // Вiсник Київсько- го нацiонального унiверситету iм. Тараса Шевченка. Ма- тематика, механiка. Київ. — 2005. — 14. —С. 85–88. [12] Poltavec D. Equivalent polar Morse-Smale system on two di- mensional manifolds of genus 3 // Abstract of International Conference on Topology and its Applications, Kiev. — 1995. — P. 29. [13] Palis J. On Morse-Smale dynamical systems // Topology. — 1968. — 8. — P. 385–404.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-148
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:03:05Z
publishDate	2015
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/d3/aa6a9f7183544162f12f13dbe2ffafd3.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-1482018-01-23T11:58:55Z Topology of Morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody Топологiя потокiв Морса з нерухомими точками на межi повного кренделя Prishlyak, O. O. Skochko, D. M. Пришляк, O. O. Скочко, Д. M. We studied topological properties of polar Morse flows on 3-dimensional handlebody, all fixed points of which lie on the boundary and have no separatrices connecting the saddle. We built an analog of Heegaard decomposition and $m$-diagram, which is complete topological invariant of flow. Equivalence of m-diagrams and flow we check using the distinguishing graphs. We found all possible distinguishing graphs with no more than 5 vertex. We studied topological properties of polar Morse flows on 3-dimensional handlebody, all fixed points of which lie on the boundary and have no separatrices connecting the saddle. We built an analog of Heegaard decomposition and $m$-diagram, which is complete topological invariant of flow. Equivalence of m-diagrams and flow we check using the distinguishing&nbsp; graphs. We found all possible distinguishing graphs with no more than 5 vertex. Інститут математики НАН України 2015-12-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/148 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 6 (2015): Topology of maps on low-dimensional manifolds; 164-182 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 164-182 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 164-182 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/148/246 Авторське право (c) 2015 O. O. Пришляк, Д. M. Скочко
spellingShingle	Prishlyak, O. O. Skochko, D. M. Пришляк, O. O. Скочко, Д. M. Topology of Morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody
title	Topology of Morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody
title_alt	Топологiя потокiв Морса з нерухомими точками на межi повного кренделя
title_full	Topology of Morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody
title_fullStr	Topology of Morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody
title_full_unstemmed	Topology of Morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody
title_short	Topology of Morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody
title_sort	topology of morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/148
work_keys_str_mv	AT prishlyakoo topologyofmorseflowswithfixedpointsontheboundaryofcompletehandlebody AT skochkodm topologyofmorseflowswithfixedpointsontheboundaryofcompletehandlebody AT prišlâkoo topologyofmorseflowswithfixedpointsontheboundaryofcompletehandlebody AT skočkodm topologyofmorseflowswithfixedpointsontheboundaryofcompletehandlebody AT prishlyakoo topologiâpotokivmorsazneruhomimitočkaminamežipovnogokrendelâ AT skochkodm topologiâpotokivmorsazneruhomimitočkaminamežipovnogokrendelâ AT prišlâkoo topologiâpotokivmorsazneruhomimitočkaminamežipovnogokrendelâ AT skočkodm topologiâpotokivmorsazneruhomimitočkaminamežipovnogokrendelâ

Topology of Morse flows with fixed points on the boundary of complete handlebody

Institution

Ähnliche Einträge