On chain equivalence of projective crossed chain complexes
We obtain a necessary and sufficient condition for n-dimensional finitely generated projective crossed chain complexes to be stabilized by free groups and free modules to the chain equivalence.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/149 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552666465304576 |
|---|---|
| author | Khmelnitskiy, N. A. Хмельницкий, Н. А. Хмельницкий, Н. А. |
| author_facet | Khmelnitskiy, N. A. Хмельницкий, Н. А. Хмельницкий, Н. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. А. Хмельницкий",
"institution": "Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко"
}
] |
| author_sort | Khmelnitskiy, N. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T11:58:55Z |
| description | We obtain a necessary and sufficient condition for n-dimensional finitely generated projective crossed chain complexes to be stabilized by free groups and free modules to the chain equivalence. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2015, т.12, №6, 183-203
Н. А. Хмельницкий
Киевский национальный университет имени Тараса
Шевченко
khmelnit@meta.ua
О цепной эквивалентности проектив-
ных скрещенных цепных комплексов
We obtain a necessary and sufficient condition for n-dimensional finitely
generated projective crossed chain complexes to be stabilized by free
groups and free modules to the chain equivalence.
Отримано необхiдну та достатню умову того, коли n-вимiрнi скiнчен-
нопородженi проективнi схрещенi ланцюговi комплекси можна стабi-
лiзувати вiльними групами та вiльними модулями до ланцюгової еквi-
валентностi.
Получено необходимое и достаточное условие того, когда n-мерные ко-
нечнопорожденные проективные скрещенные цепные комплексы мож-
но стабилизировать свободными группами и свободными модулями до
цепной эквивалентности.
Светлой памяти
Владимира Васильевича Шарко
посвящается
1. Введение
Кокрофт и Свон [1] доказали, что гомотопически эквива-
лентные проективные (свободные) комплексы можно стабили-
зировать проективными (свободными) модулями до цепной эк-
вивалентности, и применили этот результат к изучению гомо-
топических типов неодносвязных двумерных CW-комплексов.
В монографии [2] Шарко доказал аналог теоремы Кокрофта-
Свона для свободных скрещенных цепных комплексов. Автор в
© Н. А. Хмельницкий, 2015
184 Н. А. Хмельницкий
работе [3] получил необходимые и достаточные условия, когда
n-мерные цепные комплексы, составленные из конечно порож-
денных проективных модулей, можно стабилизировать свобод-
ными модулями до цепной эквивалентности, а в работе [4] до-
казал аналог теоремы Кокрофта-Свона для проективных скре-
щенных цепных комплексов. В 2011 году вышла монография
Брауна, Хиггинса и Сиверы [5], в которой с энциклопедической
полнотой описываются современные достижения в неабелевой
алгебраической топологии, в частности рассматриваются ос-
новные понятия, используемые в данной статье. Цель данной
работы получить необходимое и достаточное условие того, ко-
гда n-мерные конечно порожденные проективные скрещенные
цепные комплексы можно стабилизировать свободными груп-
пами и свободными модулями до цепной эквивалентности.
2. Предварительные сведения
Пусть C — произвольная категория, а f : A0 → B0 и �f : A1 →
B1 — морфизмы в ней. Будем говорить, что морфизм �f сохра-
няет морфизм f , если существуют мономорфизм ι : A0 → A1
и эпиморфизм π : B1 → B0 такие, что диаграмма
A0
ι ��
f
��
A1
�f
��
B0 B1
π��
коммутативна, то есть f = π �f ι. Легко видеть, что отношение
«сохранять морфизм» является транзитивным, то есть если
морфизм h сохраняет морфизм g, а морфизм g сохраняет мор-
физм f , то h сохраняет f .
Далее, пусть C — категория с конечным копроизведениeм ⊕
и нулевым объектом 0. Утолщением морфизма f : A → B с
помощью объекта C называется морфизм �fC : A⊕C → B такой,
что �fC = f⊕0. Стабилизацией морфизма f : A → B с помощью
объекта C называется морфизм f st
C : A⊕C → B⊕C такой, что
О цепной эквивалентности . . . 185
f st
C = f ⊕ idC . Очевидно, что утолщение �fC и стабилизация
f st
C сохраняют морфизм f . Отметим, что в категории групп
копроизведение обозначается через ∗.
Пусть A— некоторая фиксированная группа. Обозначим че-
рез FA категорию, объектами которой являются свободные
произведения A ∗F группы A на свободные конечнопорожден-
ные группы F , а морфизмами— все гомоморфизмы
ϕ : A ∗ F1 → A ∗ F2,
действующие тождественно на A. Объекты категории FA бу-
дем называть конечносвободными A-группами, а морфизмы—
стабильными A-гомоморфизмами.
Пусть R— ассоциативное кольцо с единицей, а M — левый
R-модуль. Семейство элементов {mi ∈ M |i ∈ I}, порождаю-
щее модуль M , называется системой образующих модуля M .
Если же прямая сумма включений Rmi → M , i ∈ I, задает
изоморфизм
f : ⊕
i∈I
Rmi → M,
то семейство {mi ∈ M |i ∈ I} называется базисом модуля M , а
мощность множества I — базисным числом модуля M . Базис-
ное число, вообще говоря, зависит от выбора базиса, и поэтому
не может служить инвариантом свободного модуля F = Rn,
n ∈ N. Кольцо R такое, что базисное число любого свободного
модуля определено однозначно, называется IBN кольцом или
кольцом с инвариантным базисным числом. Известно [6, стр.
168], что IBN кольцами являются все нетеровые кольца, ком-
мутативные кольца и кольца, имеющие нетривиальный гомо-
морфизм в IBN -кольцо. В частности, все целочисленные груп-
повые кольца Z[H ] будут IBN кольцами, поскольку аугмента-
ция является нетривиальным гомоморфизмом в IBN кольцо
Z.
186 Н. А. Хмельницкий
3. Скрещенные модули
Скрещенным модулем (или G-скрещенным модулем C) на-
зывается тройка (C,G, d), где C — аддитивная (не обязательно
абелевая), а G— мультипликативная группы, d : C → G— го-
моморфизм, G действует на C слева автоморфизмами (то есть
зафиксирован гомоморфизм G → AutC), при этом гомомор-
физм d удовлетворяет следующим условиям:
1) c� + c− c� = d(c�) c,
2) d(gc) = g d(c) g−1, где c, c� ∈ C, g ∈ G.
Все скрещенные модули образуют категорию×M (напр. [5]).
Морфизмом скрещенных модулей (C,G, d) и (C �, G�, d�) в кате-
гории ×M является пара (ϕ,ψ) гомоморфизмов ϕ : C → C � и
ψ : G → G� такая, что диаграмма
C
d ��
ϕ
��
G
ψ
��
C � d� �� G�
коммутативна и ϕ(gc) = ψ(g) ϕ(c). При этом G-морфизмом G-
скрещенных модулей называется гомоморфизм ϕ : C → C � та-
кой, что (ϕ, idG)— морфизм скрещенных модулей. Все G-скре-
щенные модули и G-морфизмы образуют подкатегорию ×MG
категории ×M .
Пусть (C,G, d)— скрещенный модуль, {ci | i ∈ I}— некото-
рое множество фиксированных элементов из C. Тогда (C,G, d)
называется свободным скрещенным модулем с базисом {ci | i ∈
I}, если для каждого скрещенного модуля (C �, G�, d�) и произ-
вольных множества элементов {c�i | i ∈ I} из C � и гомомор-
физма ψ : G → G� такого, что ψd(ci) = d�(c�i), существует един-
ственный гомоморфизм ϕ : C → C �, для которого ϕ(ci) = c�i
и (ϕ,ψ)— гомоморфизм скрещенных модулей. Уайтхед [7] до-
казал существование свободных скрещенных модулей (C,G, d)
для произвольной группы G, в частности, если G конечно сво-
бодная A-группа.
О цепной эквивалентности . . . 187
Пусть (C,G, d)— скрещенный модуль иM —Z[H]-модуль, где
H = G/dC. На модуль M можно смотреть как на Z[G]-модуль
с тривиальным действием dC. Группа C⊕M является, очевид-
но, G-скрещенным модулем с диагональным действием группы
G и граничным гомоморфизмом d⊕ 0: C ⊕M → G, заданным
соотношением d ⊕ 0(c,m) = dc и называется M -утолщением
скрещенного модуля (C,G, d).
Напомним (см. например [8]), что две группы G и H с од-
ной и той же областью операторов Σ называются операторно
изоморфными, если существует такой изоморфизм f : G → H,
что f(σg) = σf(g) для произвольных g ∈ G и σ ∈ Σ. При этом
говорят, что (аддитивная) группа G операторно раскладывает-
ся в прямую сумму своих подгрупп A и B, если G = A ⊕ B и
σA ⊂ A и σB ⊂ B для произвольного σ ∈ Σ.
Лемма 3.1. Пусть (C,G, d)— скрещенный модуль иM — Z[H]-
модуль, где H = G/dC. Скрещенный модуль (D,G, ∂) являет-
ся M -утолщением G-скрещенного модуля C тогда и только
тогда, когда
1) группа D операторно раскладывается в прямую сумму сво-
их подгрупп C � и M �, операторно изоморфных C и M со-
ответственно;
2) если f : C → C � — операторный изоморфизм, то ∂(fc) = dc
для произвольного c ∈ C;
3) M � ⊂ ker ∂.
Доказательство. Необходимость очевидна.
Достаточность. Пусть g : M → M � — операторный изомор-
физм. Тогда отображение ϕ : C ⊕M → D = C � ⊕M �, задавае-
мое формулой ϕ(c,m) = (fc, gm), является G-изоморфизмом
G-скрещенных модулей D и C ⊕M . �
Заметим, что если {ci | i ∈ I}— система образующих G-скре-
щенного модуля C, а {mj | j ∈ J}— система образующих мо-
дуля M , то {(ci, 0) | i ∈ I} ∪ {(0,mj) | j ∈ J}— система образу-
ющих скрещенного модуля (C ⊕ M,G, d ⊕ 0), в частности, G-
188 Н. А. Хмельницкий
скрещенный модуль C ⊕ M конечнопорожден тогда и только
тогда, когда конечнопорожденными являются скрещенный мо-
дуль (C,G, d) и Z[H]-модуль M .
Лемма 3.2. Пусть (C,G, d)— скрещенный модуль, H = G/dC,
аM — Z[H]-модуль. Если (C,G, d)— свободный скрещенный мо-
дуль, M — свободный Z[H]-модуль, то M -утолщение
(C ⊕M,G, d⊕ 0)
скрещенного модуля (C,G, d) будет свободным скрещенным мо-
дулем.
Доказательство. Каждый свободный Z[H]-модуль является,
очевидно, и свободным G-скрещенным модулем. Поскольку
(c,m) = (c, 0) + (0,m)
для произвольного (c,m) ∈ C ⊕ M , то, как легко видеть, G-
скрещенный модуль C ⊕ M является свободным по определе-
нию. �
В дальнейшем понадобится следующее утверждение про сво-
бодные конечнопорожденные скрещенные модули [4, лемма 5].
Напомним, что абелианизацией группы M называется группа
Mab = M/[M,M ], где [M,M ]— коммутант группы M .
Предложение 3.3. Пусть (D,G, ∂) и (D�, G, ∂�)— свободные
конечнопорожденные скрещенные модули,
H = G/∂D = G/∂�D�,
и пусть имеет место коммутативная диаграмма
1 H�� G�� D
∂��
f
��
C
d��
ϕ
��
ker d��
ϕ∗
��
0��
1 H�� G�� D�∂�
�� C �d��� ker d��� 0,��
О цепной эквивалентности . . . 189
в которой C и C � — свободные конечнопорожденные Z[H]-мо-
дули. Тогда имеет место коммутативная диаграмма
1 H�� G�� D ⊕D� ab∂⊕0
��
�f
��
C ⊕D� abd⊕id
��
�ϕ
��
ker(d⊕ id)��
�ϕ∗
��
0��
1 H�� G�� D� ⊕D ab∂�⊕0
�� C � ⊕D abd�⊕id
�� ker(d� ⊕ id)�� 0,��
в которой �f —G-изоморфизм, сохраняющий отображение f ,
�ϕ сохраняет ϕ, ker(d⊕ id) = ker d и ker(d� ⊕ id) = ker d�.
Зафиксируем группу G. Рассмотрим еще один важный класс
скрещенных модулей—G-проективные скрещенные модули, ко-
торые были введены в обиход Рэтклайфом [9]. Скрещенный
модуль (C,G, d) называется G-проективным, если он проек-
тивный в категории ×MG. Рэтклайф [9] доказал следующее
утверждение.
Предложение 3.4. Скрещенный модуль (C,G, d) является
G-проективным тогда и только тогда, когда существуют про-
ективный Z[H]-модуль P , где H = G/dC, и свободный G-скре-
щенный модуль B такие, что C ⊕ P и B являются изоморф-
ными в категории ×MG.
Далее без явных ссылок будем использовать следующее ут-
верждение.
Следствие 3.5. Предположим, что (C,G, d) конечнопорож-
денный G-проективный скрещенный модуль. Тогда существу-
ет конечнопорожденный проективный Z[H ]-модуль P такой,
что G-скрещенный модуль B, изоморфный C ⊕ P , свободен и
конечнопорожден.
Доказательство. Действительно, если {ci | i ∈ I}— система
образующих G-скрещенного модуля C, то G-скрещенный мо-
дуль B, описанный в предложении 3.4, строится как свободный
скрещенный модуль (B,G, ∂) с базисом {bi | i ∈ I} таким, что
∂bi = dci. Так как G-скрещенный модуль B свободен, то суще-
ствует G-морфизм η : B → C такой, что ηbi = ci для каждого
190 Н. А. Хмельницкий
i ∈ I. Поскольку {ci | i ∈ I}— система образующих G-скре-
щенного модуля C, то η является эпиморфизмом. Ядро эпи-
морфизма η и является описанным в предложении 3.4 проек-
тивным Z[H]-модуль P таким, что B � C⊕P . Но тогда, если G-
скрещенный модуль C конечнопорожден, то свободный Z[H]-
модуль B ab � C ab⊕P также является конечнопорожденным,
а следовательно, конечнопорожденным будет и проективный
Z[H]-модуль P . �
Лемма 3.6. Пусть (C,G, d)— скрещенный модуль, H = G/dC,
а M — Z[H]-модуль. M -утолщение (C ⊕M,G, d⊕ 0) скрещен-
ного модуля (C,G, d) будет G-проективным скрещенным мо-
дулем тогда и только тогда, когда (C,G, d) будет G-проек-
тивным скрещенным модулем, а M — проективным Z[H]-мо-
дулем.
Доказательство. Необходимость. Пусть (C ⊕M,G, d ⊕ 0)—
G-проективный скрещенный модуль. Тогда существует проек-
тивный Z[H]-модуль P такой, что C ⊕M ⊕ P — свободный G-
скрещенный модуль. Абелианизация
(C ⊕M ⊕ P ) ab = C ab⊕M ⊕ P
является свободным Z[H]-модулем, откуда следует проектив-
ность Z[H]-модуля M . Из проективности Z[H]-модуля M ⊕ P
следует G-проективность скрещенного модуля (C,G, d).
Достаточность.Предположим теперь, что (C,G, d)—G-про-
ективный скрещенный модуль, M — проективный Z[H]-модуль,
а P и Q— проективные Z[H]-модули, дополняющие (C,G, d) и
M до свободного G-скрещенного модуля и свободного Z[H]-мо-
дуля соответственно. Тогда по лемме 3.2 G-скрещенный модуль
(C ⊕M)⊕ (P ⊕Q) � (C ⊕ P )⊕ (M ⊕Q)
является свободным, а следовательно, (C ⊕ M,G, d ⊕ 0)—G-
проективный скрещенный модуль. �
О цепной эквивалентности . . . 191
Пусть (C,G, d)— скрещенный модуль и ρ : E → G— гомо-
морфизм групп. Рассмотрим диаграмму коамальгаммы гомо-
морфизмов d и ρ
D
∂ ��
�ρ
��
E
ρ
��
C
d �� G,
где D = {(c, e) ∈ C × E | d(c) = ρ(e)}. Определив действие E
на D соотношением e1(c, e) = (ρ(e1) c, e1e e
−1
1 ), и граничный го-
моморфизм ∂ : D → E соотношением ∂(c, e) = e, получим, что
(D,E, ∂)— скрещенный модуль, а (�ρ, ρ), где �ρ : D → C задается
соотношением �ρ(c, e) = c, — морфизм скрещенных модулей.
Пусть F — свободная группа и ρ : G ∗ F → G— утолщение
тождественного гомоморфизма idG с помощью группы F . Ста-
билизацией скрещенного модуля (C,G, d) с помощью свободной
группы F (или F -стабилизацией) называется скрещенный мо-
дуль (D,G∗F, ∂), обозначающийся также ( �C,G∗F, �d), который
является коамальгамой гомоморфизмов d и ρ. Будем считать,
что коммутативная диаграмма
�C �d ��
�ρ
��
G∗F
ρ
��
C
d �� G
(3.1)
задает F -стабилизацию ( �C,G∗F, �d) скрещенного модуля (C,G, d).
Имеет место следующее утверждение [4, лемма 2].
Предложение 3.7. Пусть задана коммутативная диаграм-
ма (3.1). Тогда
1) существует морфизм (�ι, ι) скрещенных модулей (C,G, d)
и ( �C,G ∗ F, �d) такой, что (�ρ, ρ)(�ι, ι) = (idC , idG);
2) ρ(�d �C) = dC и отображение ρ индуцирует изоморфизм
ρ∗ : G ∗ F/�d �C � G/dC;
192 Н. А. Хмельницкий
3) отображения �ρ и �ι индуцируют взаимно обратные изо-
морфизмы �ρ ∗ : ker �d � ker d и �ι ∗ : ker d � ker �d.
Следующее утверждение доказано в [10, лемма 1.2].
Предложение 3.8. Пусть ( �C,G∗F, �d)— F -стабилизация сво-
бодного (G-проективного) скрещенного модуля (C,G, d). Тогда
( �C,G ∗ F, �d) является свободным (G ∗ F -проективным) скре-
щенным модулем и �C ab � C ab⊕Rn, где R = Z[H], а n— ранг
свободной группы F . Более того, если {ci | i ∈ I}— базис сво-
бодного скрещенного модуля (C,G, d), а {xj | j ∈ J}— базис
группы F , то {(ci, ιd ci) | i ∈ I} ∪ {(0, xj) | j ∈ J}— базис F -
стабилизации скрещенного модуля (C,G, d), где ι : G → G∗F —
естественное вложение.
Лемма 3.9. Пусть (C,G, d)— скрещенный модуль, H = G/dC,
M — Z[H]-модуль, а F — свободная группа. Тогда M -утолще-
ние ( �C ⊕ M,G ∗ F, �d ⊕ 0) F -стабилизации скрещенного мо-
дуля (C,G, d) изоморфно его F -стабилизации M -утолщения
( �C ⊕M,G ∗ F, �d⊕ 0).
Доказательство. Обозначим через g ∗ f и g� ∗ f � произволь-
ные элементы группы G ∗ F , а через g и g� — их образы при
гомоморфизме ρ : G ∗ F → G, являющемся утолщением тож-
дественного гомоморфизма idG с помощью группы F . Тогда
G ∗ F -скрещенные модули �C ⊕M и �C ⊕M можно задать как
множества
�C ⊕M = {(c, g ∗ f,m) | c ∈ C, g ∗ f ∈ G ∗ F, m ∈ M, dc = ρ(g ∗ f) = g},
�C ⊕M = {(c,m, g ∗ f) | c ∈ C, m ∈ M, g ∗ f ∈ G ∗ F, d⊕ 0(c,m) = dc = ρ(g ∗ f) = g}
с граничными гомоморфизмами
�d⊕ 0(c, g ∗ f,m) = �d(c, g ∗ f) = g ∗ f, �d⊕ 0(c,m, g ∗ f) = g ∗ f
и действиями группы G ∗ F
(g� ∗ f �)(c, g ∗ f,m) = (g�c, (g� ∗ f �)(g ∗ f)(g� ∗ f �)−1, (g� ∗ f �)m)
О цепной эквивалентности . . . 193
(g� ∗ f �)(c,m, g ∗ f) = (g�c, g�m, (g� ∗ f �)(g ∗ f)(g� ∗ f �)−1)
= (g�c, (g� ∗ f �)m, (g� ∗ f �)(g ∗ f)(g� ∗ f �)−1)
соответственно. Последнее равенство в последней формуле и
вообще возможность построения множеств �C⊕M и �C ⊕M сле-
дует из пункта 2) предложения 3.7.
В множестве �C ⊕M рассмотрим подмножества
C � = {(c, 0, g ∗ f)}, M � = {(0,m, 1)}.
Очевидно, что условия 1)–3) леммы 3.1 выполнены, следова-
тельно, G ∗ F -скрещенные модули �C ⊕ M и �C ⊕M изоморф-
ны. �
В дальнейшем понадобится также следующее утверждение
[4, лемма 3].
Предложение 3.10. Пусть G = A∗F и G� = A∗F � — конечно
свободные A-группы, ϕ : G → G� — их стабильный A-гомомор-
физм, и пусть задана коммутативная диаграмма групп
1 H��
ϕ∗
��
G
π��
ϕ
��
C
d��
f
��
ker d��
f∗
��
0��
1 H ��� G�π�
�� C �d��� ker d��� 0,��
где (f,ϕ)—морфизм конечнопорожденных свободных скрещен-
ных модулей (C,G, d) и (C �, G�, d�), а ϕ∗ — изоморфизм. Тогда
если ( �C,G∗F �, �d) и (�C �, G� ∗F, �d�)— F �- и F -стабилизации сво-
бодных скрещенных модулей (C,G, d) и (C �, G�, d�) соответ-
ственно, то имеет место коммутативная диаграмма
1 H��
ϕ∗
��
G ∗ F �π∗0��
�ϕ
��
�C�d��
�f
��
ker �d��
�f ∗
��
0��
1 H ��� G� ∗ Fπ�∗0�� �C ��d��� ker �d��� 0,��
194 Н. А. Хмельницкий
в которой ( �f, �ϕ)—морфизм скрещенных модулей ( �C,G ∗F �, �d)
и (�C �, G� ∗F, �d�), отображения �ϕ и �f сохраняют отображения
ϕ и f соответственно, причем �ϕ— изоморфизм.
4. Стабильно изоморфные скрещенные модули
Пусть G = A ∗ F и G� = A ∗ F � — конечно свободные A-
группы, (C,G, d) и (C �, G�, d�)— конечнопорожденные G- и G�-
проективные скрещенные модули соответственно, причем
H = G/dC = G�/d�C �.
Будем говорить, что скрещенные модули (C,G, d) и (C �, G�, d�)
стабильно изоморфны, если стабильно изоморфными будут про-
ективные Z[H]-модули C ab и C � ab. Напомним, что дваR-модуля
P и P � называются стабильно изоморфными, если существуют
два натуральных числа m и n такие, что P ⊕ Rm � P � ⊕ Rn.
Очевидно, что отношение «быть стабильно изоморфными» яв-
ляется отношением эквивалентности. Для удобства ссылок на
необходимые результаты сформулируем следующее утвержде-
ние, первая часть которого очевидна, а вторая доказана в [3,
лемма 1].
Предложение 4.1. 1) Если R-модуль A стабильно изоморфен
R-модулю A�, а R-модуль B стабильно изоморфен R-модулю
B�, то R-модуль A⊕B стабильно изоморфен R-модулю A�⊕B�.
2) Если P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных
R-модуля, а Q1 и Q2 — их дополнения до свободных модулей,
то Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Лемма 4.2. Пусть G,G� ∈ FA, (C,G, d) и (C �, G�, d�)— ко-
нечнопорожденные G- и G�-проективные скрещенные модули
соответственно, причем H = G/dC = G�/d�C �, а P и P � —
произвольные стабильно изоморфные проективные Z[H]-моду-
ли. Скрещенные модули (C,G, d) и (C �, G�, d�) будут стабильно
изоморфными тогда и только тогда, когда соответствующие
P - и P �-утолщения (C⊕P,G, d⊕0) и (C �⊕P �, G�, d�⊕0) будут
стабильно изоморфными.
О цепной эквивалентности . . . 195
Доказательство. Необходимость следует из определения ста-
бильной изоморфности проективных скрещенных модулей и
первой части предложения 4.1.
Достаточность. Пусть проективные R-модули P и P �, где
R = Z[H], и P - и P �-утолщения (C ⊕ P,G, d ⊕ 0) и (C � ⊕
P �, G�, d� ⊕ 0) скрещенных модулей (C,G, d) и (C �, G�, d�)— ста-
бильно изоморфны. По второй части предложения 4.1 стабиль-
но изоморфными будут и R-модули Q и Q�, дополняющие P и
P � до свободных модулей. Из необходимости следует, что скре-
щенные модули (C⊕P⊕Q,G, d⊕0⊕0) и (C �⊕P �⊕Q�, G�, d�⊕0⊕0)
будут стабильно изоморфными. Так как P ⊕Q и P �⊕Q� — сво-
бодные модули, то скрещенные модули (C,G, d) и (C �, G�, d�)
также будут стабильно изоморфными, что и требовалось дока-
зать. �
Лемма 4.3. Пусть G,G� ∈ FA, (C,G, d) и (C �, G�, d�)— конеч-
нопорожденные G- и G�-проективные скрещенные модули со-
ответственно, причем H = G/dC = G�/d�C �, а F и F � — про-
извольные конечнопорожденные свободные группы. Скрещен-
ные модули (C,G, d) и (C �, G�, d�) будут стабильно изоморф-
ными тогда и только тогда, когда соответствующие F - и
F �-стабилизации ( �C,G ∗F, �d) и (�C �, G� ∗F �, �d�) будут стабиль-
но изоморфными.
Доказательство. Утверждение леммы следует из транзитив-
ности отношения «быть стабильно изоморфными» и предложе-
ния 3.8. �
5. Основные результаты
Традиционно (см. например, [5], [7]), скрещенным цепным
комплексом (Ci, G, di) называется последовательность групп и
гомоморфизмов
1 H�� G
d1�� C2
d2�� C3
d3�� . . .
d4�� Cn
dn�� . . .
dn+1
��
со следующими свойствами:
196 Н. А. Хмельницкий
1) (C2, G, d2)— свободный скрещенный модуль иH = coker d2;
2) для i � 3 Ci — свободный Z[H]-модуль, di — гомоморфизм
Z[H]-модулей, d3(C3)—Z[H]-модуль;
3) di ◦ di+1 = 0.
Морфизмом f : (Ci, G, di) → (C �
i, G
�, d�i) скрещенных цепных
комплексов (Ci, G, di) и (C �
i, G
�, d�i) называется такая совокуп-
ность гомоморфизмов f1 : G → G�, fi : Ci → C �
i, i � 2, кото-
рая сохраняет структуры на G и Ci, i � 2, и возникающие
диаграммы гомоморфизмов будут коммутативными. Если при
этом каждый из гомоморфизмов fi является изоморфизмом,
то гомотопические системы (Ci, G, di) и (C �
i, G
�, d�i) называются
изоморфными, а морфизм f = {fi}— изоморфизмом.
Скрещенный цепной комплекс (Ci, G, di) назовем проектив-
ным, если
1) (C2, G, d2)—G-проективный скрещенный модуль;
2) для i � 3 Ci — проективный Z[H]-модуль, гдеH = coker d2.
Скрещенный цепной комплекс (Ci, G, di) назовем конечнопо-
рожденным, если (C2, G, d2)— конечнопорожденный скрещен-
ный модуль и Z[H]-модули Ci конечно порождены для всех
i � 3.
Доказательство основного результата данной статьи опира-
ется на следующую теорему автора [3].
Предложение 5.1. Пусть f : P → P� — цепное отображение
n-мерных цепных комплексов конечнопорожденных проектив-
ных модулей, индуцирующее изоморфизм модулей гомологий.
Для того, чтобы существовали ацикличные свободные цепные
комплексы F и F� такие, что цепные комплексы P⊕F и P�⊕F�
цепно изоморфные, необходимо и достаточно, чтобы для каж-
дого i = 0, n модули Pi и P �
i были стабильно изоморфными.
Теорема 5.2. Пусть G,G� ∈ FA, f : (Ci, G, di) → (C �
i, G
�, d�i)—
морфизм n-мерных конечнопорожденных проективных скре-
щенных цепных комплексов (Ci, G, di) и (C �
i, G
�, d�i), индуциру-
ющий изоморфизм групп и модулей гомологий, и такой, что
О цепной эквивалентности . . . 197
f1 : G → G� — является стабильным A-гомоморфизмом. То-
гда для того, чтобы существовали стабилизации граничных
гомоморфизмов di и d�i с помощью свободных групп и свобод-
ных модулей такие, что полученные скрещенные цепные ком-
плексы будут изоморфными, необходимо и достаточно, чтобы
скрещенные модули (C2, G, d2) и (C �
2, G
�, d�2), а также Z[H]-мо-
дули Ci и C �
i для каждого i � 3 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть существуют стаби-
лизации граничных гомоморфизмов di и d�i с помощью свобод-
ных групп и свободных модулей такие, что полученные скре-
щенные цепные комплексы будут изоморфными. Тогда по лем-
мам 4.2 и 4.3 скрещенные модули (C2, G, d2) и (C �
2, G
�, d�2) бу-
дут стабильно изоморфными, а по определению стабильно изо-
морфными будут и модули Ci и C �
i для каждого i = 3, n.
Достаточность. Пусть
1 H�� G
d1��
f1
��
C2
d2��
f2
��
C3
d3��
f3
��
. . .
d4�� Cn
dn��
fn
��
1 H�� G�d�1�� C �
2
d�2�� C �
3
d�3�� . . .
d�4�� C �
n
d�n��
(5.2)
— диаграмма морфизма f : (Ci, G, di) → (C �
i, G
�, d�i) n-мерных
конечнопорожденных проективных скрещенных цепных ком-
плексов (Ci, G, di) и (C �
i, G
�, d�i), индуцирующего изоморфизм
групп и модулей гомологий. Предположим также, что скрещен-
ные модули (C2, G, d2) и (C �
2, G
�, d�2), а также Z[H]-модули Ci и
C �
i для каждого i � 3 являются стабильно изоморфными. По
предложению 3.4 существуют конечнопорожденные Z[H]-моду-
ли P и P � такие, что (C2⊕P,G, d2⊕0) и (C �
2⊕P �, G�, d�2⊕0)— сво-
бодные скрещенные модули. Так как (C2⊕P ) ab и (C �
2⊕P �) ab —
свободные Z[H ]-модули, а C2
ab и C �
2
ab — стабильно изоморф-
ные Z[H]-модули, то по второй части предложения 4.1 ста-
бильно изоморфными будут и Z[H]-модули P и P �. Пусть Q =
P ⊕ Rm � P � ⊕ Rn, где R = Z[H]. По лемме 3.2 скрещенные
198 Н. А. Хмельницкий
модули (C2⊕Q,G, d2⊕0) и (C �
2⊕Q,G�, d�2⊕0) являются свобод-
ными. Утолщая морфизмы d2 и d�2 и стабилизируя морфизмы
f2, f3, d3 и d�3 с помощью модуля Q получим коммутативную
диаграмму
1 H�� G
d1��
f1
��
C2 ⊕Q
d2⊕0
��
f2⊕id
��
C3 ⊕Q
d3⊕id
��
f3⊕id
��
. . .
d4�� Cn
dn��
fn
��
1 H�� G�d�1�� C �
2 ⊕Q
d�2⊕0
�� C �
3 ⊕Q
d�3⊕id
�� . . .
d�4�� C �
n,
d�n��
начальный отрезок которой
1 H�� G
d1��
f1
��
C2 ⊕Q
d2⊕0
��
f2⊕id
��
ker(d2 ⊕ 0)��
(f2⊕id)∗
��
0��
1 H�� G�d�1�� C �
2 ⊕Q
d�2⊕0
�� ker(d�2 ⊕ 0)�� 0��
удовлетворяет условиям предложения 3.10. Так как G,G� ∈
FA, то G = A ∗ F и G� = A ∗ F �, где F и F � — свободные
конечнопорожденные группы. Пусть ( �C2 ⊕Q,G ∗ F �, �d2 ⊕ 0) и
( �C �
2 ⊕Q,G� ∗F, �d�2 ⊕ 0)— F �- и F -стабилизации свободных скре-
щенных модулей (C2 ⊕Q,G, d2 ⊕ 0) и (C �
2 ⊕Q,G�, d�2 ⊕ 0) соот-
ветственно. Тогда по предложению 3.10 имеет место коммута-
тивная диаграмма
1 H�� G ∗ F �d1∗0��
�f1
��
�C2 ⊕Q
�d2⊕0
��
�f2⊕id
��
ker �d2 ⊕ 0��
�f2⊕id
∗
��
0��
1 H�� G� ∗ Fd�1∗0�� �C �
2 ⊕Q
�d�2⊕0
�� ker �d�2 ⊕ 0�� 0,��
в которой ( �f2 ⊕ id, �f1)— морфизм скрещенных модулей
( �C2 ⊕Q,G ∗ F �, �d2 ⊕ 0) и ( �C �
2 ⊕Q,G� ∗ F, �d�2 ⊕ 0),
О цепной эквивалентности . . . 199
сохраняющий отображения f2 и f1, причем �f1 — изоморфизм,
и ker �d2 ⊕ 0 = ker(d2⊕ 0) и ker �d�2 ⊕ 0 = ker(d�2⊕ 0). Таким обра-
зом, диаграмму (5.2) можно представить в виде коммутативной
диаграммы
1 H�� G ∗ F �d1∗0��
�f1
��
�C2 ⊕Q
�d2⊕0
��
�f2⊕id
��
C3 ⊕Q
d3⊕id
��
f3⊕id
��
C4
d4��
f4
��
. . .
d5�� Cn
dn��
fn
��
1 H�� G� ∗ Fd�1∗0�� �C �
2 ⊕Q
�d�2⊕0
�� C �
3 ⊕Q
d�3⊕id
�� C �
4
d�4�� . . .
d�5�� C �
n.
d�n��
В силу изоморфности �f1 отождествим группы
G ∗ F � = G� ∗ F = G.
Пусть S и S� — проективные модули, дополняющие проектив-
ные модули C3 ⊕ Q и C �
3 ⊕ Q до свободных модулей C и C �
соответственно. Тогда, утолщая морфизмы f3 ⊕ id и f4 с помо-
щью модуля S и стабилизируя морфизмы d4 и d�4 с помощью
модулей S и S� соответственно, получаем коммутативную диа-
грамму
1 H�� G�� D
∂��
�f2
��
C
d��
�f3
��
C4 ⊕ S
�d4��
�f4
��
. . .
d5�� Cn
dn��
fn
��
1 H�� G�� D�∂�
�� C �d��� C �
4 ⊕ S�
�d�4�� . . .
d�5�� C �
n,
d�n��
где
D = �C2 ⊕Q, D� = �C �
2 ⊕Q,
C = C3 ⊕Q⊕ S, C � = C �
3 ⊕Q⊕ S�,
∂ = �d2 ⊕ 0, ∂� = �d�2 ⊕ 0,
d = d3 ⊕ id⊕0, d� = d�3 ⊕ id⊕0,
�d4 = d4 ⊕ id, �d�4 = d�4 ⊕ id,
�f2 = �f2 ⊕ id, �f3 = f3 ⊕ id⊕0, �f4 = f4 ⊕ 0.
200 Н. А. Хмельницкий
Начальный отрезок этой диаграммы
1 H�� G�� D
∂��
�f2
��
C
d��
�f3
��
ker d��
�f3
∗
��
0��
1 H�� G�� D�∂�
�� C �d��� ker d��� 0��
удовлетворяет условиям предложения 3.3, а поэтому диаграм-
му (5.2) можно представить в виде коммутативной диаграммы
1 H�� G�� D ⊕D� ab∂⊕0
��
�f2
��
C ⊕D� abd⊕id
��
�f3
��
C4 ⊕ S
�d4��
�f4
��
. . .
d5�� Cn
dn��
fn
��
1 H�� G�� D� ⊕D ab∂�⊕0
�� C � ⊕D abd�⊕id
�� C �
4 ⊕ S�
�d�4�� . . .
d�5�� C �
n,
d�n��
где �f2 и �f3 сохраняют отображения f2 и f3 соответственно, при-
чем �f2 — изоморфизм. Утолщая морфизмы ∂⊕ 0 и ∂ �⊕ 0 и ста-
билизируя морфизмы �f2, �f3, d⊕ id и d� ⊕ id с помощью модуля
C2
ab, получим коммутативную диаграмму
1 H�� G�� D
∂��
f2
��
�C�d��
�f3
�
��
C4 ⊕ S
�d4��
�f4
��
. . .
d5�� Cn
dn��
fn
��
1 H�� G�� D�∂�
�� �C ��d��� C �
4 ⊕ S�
�d�4�� . . .
d�5�� C �
n,
d�n��
в которой
D = D ⊕D� ab⊕C2
ab, D� = D� ⊕D ab⊕C2
ab,
�C = C ⊕D� ab⊕C2
ab, �C � = C � ⊕D ab⊕C2
ab,
∂ = ∂ ⊕ 0⊕ 0, ∂� = ∂� ⊕ 0⊕ 0,
�d = d⊕ id⊕ id, �d� = d� ⊕ id⊕ id,
отображения f2 = �f2 ⊕ id и �f3
�
= �f3 ⊕ id сохраняют отображе-
ния f2 и f3 соответственно, причем f2 — изоморфизм. Утолщая
морфизмы �d, �f3
�
и �f4 с помощью модуля Q⊕C3, а морфизм �d� —
с помощью модуля Q ⊕ C �
3, и стабилизируя морфизмы �d4 и �d�4
О цепной эквивалентности . . . 201
с помощью модулей Q⊕C3 и Q⊕C �
3 соответственно, получаем
коммутативную диаграмму
1 H�� G�� D
∂��
f2
��
C
d��
f3
��
C4
d4��
f4
��
. . .
d5�� Cn
dn��
fn
��
1 H�� G�� D�∂�
�� C �d��� C �
4
d�4�� . . .
d�5�� C �
n,
d�n��
где
C = �C ⊕ (Q⊕ C3), C � = �C � ⊕ (Q⊕ C �
3),
C4 = (C4 ⊕ S)⊕ (Q⊕ C3), C �
4 = (C �
4 ⊕ S�)⊕ (Q⊕ C �
3),
d = �d⊕ 0, d� = �d� ⊕ 0,
d4 = �d4 ⊕ id, d�4 =
�d�4 ⊕ id,
отображения f3 = �f3
�⊕ 0 и f4 = �f4⊕ 0 сохраняют отображения
f3 и f4 соответственно. Учитывая лемму 3.9, можно записать,
что
D � �C2 ⊕K2, D� � �C �
2 ⊕K �
2,
где
K2 � ( �C �
2 ⊕Q) ab⊕(C2
ab⊕Q), K �
2 � ( �C2 ⊕Q) ab⊕(C2
ab⊕Q)
— свободные Z[H]-модули. Кроме того, очевидно, что
C = C3 ⊕K3, C � = C �
3 ⊕K �
3,
C4 = C4 ⊕K4, C �
4 = C �
4 ⊕K �
4,
где
K3 � (C3 ⊕Q⊕ S)⊕D� ab⊕(C2
ab⊕Q),
K �
3 � (C �
3 ⊕Q⊕ S�)⊕D ab⊕(C2
ab⊕Q),
K4 � C3 ⊕Q⊕ S, K �
4 � C �
3 ⊕Q⊕ S�
— свободные модули.
202 Н. А. Хмельницкий
Таким образом, стабилизировав отображения d2, d�2, d3, d�3,
d4, d�4 с помощью свободных групп и свободных модулей, диа-
грамму (5.2) можно представить в виде коммутативной диа-
граммы
1 H�� G ∗ F �d1∗0��
�f1
��
�C2 ⊕K2
∂��
f2
��
C3 ⊕K3
d��
f3
��
C4 ⊕K4
d4��
f4
��
. . .
d5�� Cn
dn��
fn
��
1 H�� G� ∗ Fd�1∗0�� �C �
2 ⊕K �
2
∂�
�� C �
3 ⊕K �
3
d��� C �
4 ⊕K �
4
d�4�� . . .
d�5�� C �
n,
d�n��
в которой �f1 и f2 — изоморфизмы.
Так как ядра граничных гомоморфизмов скрещенных моду-
лей являются модулями (см., например, [5]) и отображение f3
индуцирует изоморфизм f3∗ : H3 → H �
3 модулей гомологий, то
можно построить диаграмму
0 H3
��
f3∗
��
C3 ⊕K3
d��
f3
��
C4 ⊕K4
d4��
f4
��
C5
d5��
f5
��
. . .
d6�� Cn
dn��
fn
��
0 H �
3
�� C �
3 ⊕K �
3
d��� C �
4 ⊕K �
4
d�4�� C �
5
d�5�� . . .
d�6�� C �
n
d�n��
(5.3)
гомоморфизма (n − 2)-мерных цепных комплексов конечнопо-
рожденных проективных модулей, который индуцирует изо-
морфизм модулей гомологий. Поскольку проективные модули
Ci и C �
i для i = 3, n являются стабильно изоморфными, то для
диаграммы (5.3) справедливо предложение 5.1, из которого и
следует справедливость достаточности данной теоремы. �
Список литературы
[1] Cockcroft W. H., Swan R. G. On the homotopy type of certain
two-dimensional complexes // Proc. London Math. Soc. (3). —
1961. — 11. — P. 194–202.
[2] Шарко В. В. Функции на многообразиях (алгебраические
и топологические аспекты). —К.: Наукова думка, 1990. —
С. 196.
О цепной эквивалентности . . . 203
[3] Хмельницкий Н. А. О цепной эквивалентности проектив-
ных цепных комплексов // Укр. мат. журн. — 2012. —
11, 6. —С. 826–835.
[4] Хмельницкий Н. А. Теорема Кокрофта-Свона для про-
ективных скрещенных цепных комплексов // Укр. мат.
журн. — 2014. — 66, 12. —С. 1694–1704.
[5] Brown R., Higgins P. J., Sivera R. Nonabelian algebraic
topology. — Zürich: European Mathematical Society, 2011. —
P. 668.
[6] Фейс К. Алгебра: кольца, модули, категории: В 2-х т. 1. —
М.: Мир, 1977. —С. 668.
[7] C. Whitehead J. H. Combinatorial homotopy // Bull. Amer.
Math. Soc. — 1949. — 11, N 4. — P. 453–496.
[8] Курош А. Г. Теория групп. —М.: Наука, 1967. —С. 648.
[9] Ratcliffe John G. Free and projective crossed modules // J.
London Math. Soc. (2). — 1980. — 22, 1. — P. 66–74.
[10] Ratcliffe John G. On complexes dominated by a two-
complex // Combinatorial group theory and topology
(Alta, Utah, 1984). — Princeton Univ. Press, Princeton, NJ,
1987. — 111 of Ann. of Math. Stud. — P. 221–254.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-149 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:04Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/45/70fed178d0f226234a34f71c70a8c345.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1492018-01-23T11:58:55Z On chain equivalence of projective crossed chain complexes О цепной эквивалентности проективных скрещенных цепных комплексов Khmelnitskiy, N. A. Хмельницкий, Н. А. Хмельницкий, Н. А. We obtain a necessary and sufficient condition for n-dimensional finitely generated projective crossed chain complexes to be stabilized by free groups and free modules to the chain equivalence. Получено необходимое и достаточное условие того, когда $n$-мерные конечнопорожденные проективные скрещенные цепные комплексы можно стабилизировать свободными группами и свободными модулями до цепной эквивалентности. Отримано необхiдну та достатню умову того, коли $n$-вимiрнi скiнченнопородженi проективнi схрещенi ланцюговi комплекси можна стабiлiзувати вiльними групами та вiльними модулями до ланцюгової еквiвалентностi. Інститут математики НАН України 2015-12-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/149 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 6 (2015): Topology of maps on low-dimensional manifolds; 183-203 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 183-203 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 183-203 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/149/247 Авторське право (c) 2015 Н. А. Хмельницкий |
| spellingShingle | Khmelnitskiy, N. A. Хмельницкий, Н. А. Хмельницкий, Н. А. On chain equivalence of projective crossed chain complexes |
| title | On chain equivalence of projective crossed chain complexes |
| title_alt | О цепной эквивалентности проективных скрещенных цепных комплексов |
| title_full | On chain equivalence of projective crossed chain complexes |
| title_fullStr | On chain equivalence of projective crossed chain complexes |
| title_full_unstemmed | On chain equivalence of projective crossed chain complexes |
| title_short | On chain equivalence of projective crossed chain complexes |
| title_sort | on chain equivalence of projective crossed chain complexes |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/149 |
| work_keys_str_mv | AT khmelnitskiyna onchainequivalenceofprojectivecrossedchaincomplexes AT hmelʹnickijna onchainequivalenceofprojectivecrossedchaincomplexes AT hmelʹnickijna onchainequivalenceofprojectivecrossedchaincomplexes AT khmelnitskiyna ocepnojékvivalentnostiproektivnyhskreŝennyhcepnyhkompleksov AT hmelʹnickijna ocepnojékvivalentnostiproektivnyhskreŝennyhcepnyhkompleksov AT hmelʹnickijna ocepnojékvivalentnostiproektivnyhskreŝennyhcepnyhkompleksov |