Lower bounds for Kolmogorov widths in classes of convolutions with Neumann kernel
We obtain exact lower bounds for Kolmogorov $n$-widths in spaces $C$ and $L$ of classes of convolutions with Neumann kernel $N_{q,\beta}(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{q^k}{k}\cos\left(kt-\dfrac{\beta\pi}{2}\right)$, ${q\in(0,1)}$, ${\beta\in\mathbb{R}}$, for all natural $n$ greater some number...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/15 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552539431370752 |
|---|---|
| author | Bodenchuk, V. V. Боденчук, В. В. |
| author_facet | Bodenchuk, V. V. Боденчук, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. В. Боденчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Bodenchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:04Z |
| description | We obtain exact lower bounds for Kolmogorov $n$-widths in spaces $C$ and $L$ of classes of convolutions with Neumann kernel $N_{q,\beta}(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{q^k}{k}\cos\left(kt-\dfrac{\beta\pi}{2}\right)$, ${q\in(0,1)}$, ${\beta\in\mathbb{R}}$, for all natural $n$ greater some number which depends only on $q$. The obtained estimates coincided with the best uniform approximations by trigonometric polynomials of mentioned classes. It allows us obtain exact values for widths of these classes. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2014, Т. 11, № 3, 7–34
УДК 517.51
В. В. Боденчук (Iн–т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ ЗНИЗУ КОЛМОГОРОВСЬКИХ
ПОПЕРЕЧНИКIВ КЛАСIВ ЗГОРТОК
З ЯДРОМ НЕЙМАНА
We obtain exact lower bounds for Kolmogorov n-widths in spaces C and L of
classes of convolutions with Neumann kernel Nq,β(t) =
∞∑
k=1
qk
k
cos
(
kt− βπ
2
)
,
q ∈ (0, 1), β ∈ R, for all natural n greater some number which depends only
on q. The obtained estimates coincided with the best uniform approximations
by trigonometric polynomials of mentioned classes. It allows us obtain exact
values for widths of these classes.
Встановлено точнi оцiнки знизу колмогоровських n-поперечникiв
в просторах C i L класiв згорток з ядром Неймана
Nq,β(t) =
∞∑
k=1
qk
k
cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, для усiх натураль-
них n, бiльших деякого номера, залежного лише вiд q. Отриманi оцiнки
спiвпали з найкращими рiвномiрними наближеннями зазначених класiв
тригонометричними полiномами, що дозволило знайти точнi значення
поперечникiв цих класiв.
1. Постановка задачi. Через L = L1 позначимо простiр 2π-
перiодичних сумовних функцiй f з нормою ‖f‖1 =
π∫
−π
|f(t)|dt, че-
рез L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених
функцiй з нормою ‖f‖∞ = ess sup
t∈R
|f(t)|, а через C — простiр 2π-
перiодичних неперервних функцiй f , у якому норма задається рiв-
нiстю ‖f‖C = max
t∈R
|f(t)|.
Позначимо через Cψβ,p, p = 1,∞, клас 2π-перiодичних функцiй f ,
що зображуються у виглядi згортки
c© В. В. Боденчук, 2014
8 В.В. Боденчук
f(x) = A+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt = A+ (Ψβ ∗ ϕ) (x), A ∈ R, (1)
де
Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, ψ(k) > 0,
∞∑
k=1
ψ(k) <∞, β ∈ R, (2)
та
‖ϕ‖p 6 1, ϕ ⊥ 1.
Функцiю ϕ в рiвностi (1) називають (ψ, β)-похiдною функцiї f i по-
значають через fψβ . Поняття (ψ, β)-похiдної введене О. I. Степанцем
(див., наприклад, [1], § 7 – 8).
Якщо ψ(k) =
qk
kr
, q ∈ (0, 1), r ∈ N, то класи Cψβ,p, p = 1,∞,
позначають через Cq,rβ,p. При r = 1 класи Cq,rβ,p є класами згорток з
ядром Неймана
Nq,β(t) =
∞∑
k=1
qk
k
cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R.
Нехай N — центрально-симетрична пiдмножина банахового про-
стору X. m-вимiрним поперечником за Колмогоровим множини N в
просторi X називається величина вигляду
dm(N, X) = inf
Fm⊂X
sup
f∈N
inf
g∈Fm
‖f − g‖X , (3)
де зовнiшнiй inf береться по всiх m-вимiрних лiнiйних пiдпросторах
Fm iз X.
Розв’язанням задачi про знаходження оцiнок колмогоровських
поперечникiв функцiональних класiв займались багато математикiв,
iз результатами яких можна ознайомитись, наприклад, в моногра-
фiях [2 – 4].
У данiй роботi розв’язується задача знаходження точних значень
поперечникiв d2n(Cq,1β,∞, C), d2n−1(Cq,1β,∞, C) та d2n−1(Cq,1β,1, L) для усiх
q ∈ (0, 1), β ∈ R, та натуральних n, бiльших деякого номера, залеж-
ного лише вiд q.
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 9
Для отримання оцiнок поперечникiв зверху достатньо розглянути
величину найкращого наближення класiв Cψβ,p, де p = 1 або p = ∞,
в метриках просторiв X = L або X = C вiдповiдно пiдпростором
T2n−1 тригонометричних полiномiв tn−1 порядку n − 1, тобто вели-
чини вигляду
En(Cψβ,p)X = sup
f∈Cψβ,p
inf
tn−1∈T2n−1
‖f − tn−1‖X . (4)
Очевидно, що для величин вигляду (3) i (4) мають мiсце нерiвностi
d2n−1(Cψβ,1, L) 6 En(Cψβ,1)L, (5)
d2n−1(Cψβ,∞, C) 6 En(Cψβ,∞)C . (6)
Як випливає з [5], для ψ(k) =
qk
k
при довiльних q ∈ (0, 1), β ∈ R
i n ∈ N мають мiсце рiвностi
En(Cq,1β,∞)C = En(Cq,1β,1)L = ‖Nq,β ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣ ∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
n(2ν + 1)2
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
) ∣∣∣∣, (7)
де
ϕn(t) = sign sinnt, (8)
а θn = θn(q, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння
∞∑
ν=0
q2νn
2ν + 1
cos
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)
= 0 (9)
(при β ∈ Z рiвностi (7) випливають з [6, 7]).
Згiдно з (5) – (7) задача про знаходження точних значень попе-
речникiв d2n(Cq,1β,∞, C), d2n−1(Cq,1β,∞, C) та d2n−1(Cq,1β,1, L) зводиться до
встановлення справедливостi оцiнок знизу
d2n(Cq,1β,∞, C) > ‖Nq,β ∗ ϕn‖C , (10)
d2n−1(Cq,1β,1, L) > ‖Nq,β ∗ ϕn‖C . (11)
10 В.В. Боденчук
При q ∈ (0, 1/7], β ∈ Z, нерiвностi (10) та (11) випливають з
результатiв О.К. Кушпеля [8] та [9], а при q ∈ (0, 0,2], β ∈ Z i
q ∈ (0, 0,193864], β ∈ R \ Z — з роботи О. I. Степанця та А.С. Сер-
дюка [10]. У вказаних випадках нерiвностi (10) та (11) доведено для
усiх n ∈ N.
2. Основнi результати. Для кожного фiксованого q ∈ (0, 1) по-
значимо через nq найменший з номерiв n > 2, для яких виконуються
нерiвностi
qn
1− q2n
6 min
{2q
√
n
15n2
,
8
3n2
(
2n− 1
7(n− 1)2
− π2
8n2
)}
, (12)
24
5(1− q)
q
√
n +
160
63
2
√
n− 1
n(
√
n− 1)
q
(1− q)2
6
6
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
) 4
1−q2
. (13)
У прийнятих позначеннях має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай q ∈ (0, 1). Тодi для довiльного β ∈ R i всiх
номерiв n > nq виконуються нерiвностi (10) i (11).
Як було вiдмiчено вище, з роботи О. I. Степанця та А.С. Сер-
дюка [10] випливає, що при q ∈ (0, 0,2], β ∈ Z i q ∈ (0, 0,193864],
β ∈ R \ Z, нерiвностi (10) i (11) вiрнi для усiх n ∈ N. Тодi, позначив-
ши
nq,β=
{
1, якщо q ∈ (0, 0,2] i β ∈ Z або q ∈ (0, 0,193864] i β ∈ R \ Z,
nq, якщо q ∈ (0,2, 1) i β ∈ Z або q ∈ (0,193864, 1) i β ∈ R \ Z,
одержимо iстиннiсть нерiвностей (10) i (11) для усiх номерiв n > nq,β .
Об’єднавши нерiвностi (5), (6), (10), (11) з рiвностями (7), отримуємо
наступне твердження.
Теорема 2. Нехай q ∈ (0, 1) i β ∈ R. Тодi для довiльного β ∈ R
та усiх номерiв n > nq,β мають мiсце рiвностi
d2n(Cq,1β,∞, C) = d2n−1(Cq,1β,∞, C) = d2n−1(Cq,1β,1, L) =
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 11
= En(Cq,1β,∞)C = En(Cq,1β,1)L = ‖Nq,β ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
n(2ν + 1)2
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)∣∣∣∣∣ , (14)
де θn = θn(q, β) — єдиний на [0, 1) корiнь рiвняння (9).
Теорема 2 дозволяє оцiнити асимптотичну при n→∞ поведiнку
поперечникiв d2n(Cq,1β,∞, C), d2n−1(Cq,1β,∞, C) та d2n−1(Cq,1β,1, L).
Теорема 3. Нехай q ∈ (0, 1) та β ∈ R. Тодi при n > nq,β
d2n(Cq,1β,∞, C) = d2n−1(Cq,1β,∞, C) = d2n−1(Cq,1β,1, L) = En(Cq,1β,∞)C =
= En(Cq,1β,1)L =
qn
n
(
4
π
+ γn
q2n
1− q2n
)
, (15)
де |γn| 6
16
9π
.
Дiйсно, знайдемо двостороннi оцiнки правої частини формули
(14). З (9) отримуємо∣∣∣∣ cos
(
θnπ −
βπ
2
) ∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ ∞∑
ν=1
q2νn
2ν + 1
cos
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
) ∣∣∣∣ 6
6
1
3
∞∑
ν=1
q2νn =
q2n
3(1− q2n)
. (16)
З (16) випливає, що
0 6 1−
∣∣∣∣ sin(θnπ − βπ
2
) ∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣ cos
(
θnπ −
βπ
2
) ∣∣∣∣ 6 q2n
3(1− q2n)
. (17)
Оскiльки,∣∣∣∣ ∞∑
ν=1
q(2ν+1)n
n(2ν + 1)2
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
) ∣∣∣∣ 6
6
∞∑
ν=1
q(2ν+1)n
n(2ν + 1)2
6
1
9n
q3n
1− q2n
, n ∈ N,
12 В.В. Боденчук
то, враховуючи (17), одержуємо для довiльних n ∈ N, q ∈ (0, 1) i
β ∈ R ∣∣∣∣ ∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
n(2ν + 1)2
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
) ∣∣∣∣ >
>
qn
n
− qn
n
(
1−
∣∣∣∣ sin(θnπ − βπ
2
) ∣∣∣∣)−
−
∣∣∣∣ ∞∑
ν=1
q(2ν+1)n
n(2ν + 1)2
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
) ∣∣∣∣ >
>
qn
n
(
1− 4
9
q2n
1− q2n
)
, (18)∣∣∣∣ ∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
n(2ν + 1)2
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
) ∣∣∣∣ 6
6
qn
n
+
qn
n
(
1−
∣∣∣∣ sin(θnπ − βπ
2
) ∣∣∣∣)+
+
∣∣∣∣ ∞∑
ν=1
q(2ν+1)n
n(2ν + 1)2
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
) ∣∣∣∣ 6
6
qn
n
(
1 +
4
9
q2n
1− q2n
)
. (19)
З теореми 2 та оцiнок (18) i (19) випливає, що при n > nq,β вико-
нується (15).
Зазначимо, що оцiнки (10) i (11) для довiльних q ∈ (0, 1) немож-
ливо встановити, використовуючи методи знаходження оцiнок зни-
зу для колмогоровських поперечникiв класiв згорток iз ядрами, що
не збiльшують осциляцiї розробленi А. Пiнкусом [11], оскiльки ядра
Неймана Nq,β(t) можуть збiльшувати осциляцiю. Проiлюструємо це
на прикладi ядер Неймана Nq,0(t) та Nq,1(t) при q = 0,21.
Означення 1. 2π-перiодичну функцiю K(·) називають CVD2n-
ядром (ядром, що не збiльшує осциляцiї) i позначають K ∈ CVD2n,
якщо для довiльної функцiї f ∈ C такої, що ν(f) 6 2n, виконується
нерiвнiсть
ν(K ∗ f) 6 ν(f),
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 13
де ν(g)— число змiн знаку функцiї g ∈ C на [0, 2π).
Для встановлення факту, чи деяке ядро φ(x) є CVD2n-ядром
зручно користуватись наступним твердженням, що належить Мерх-
юберу, Шонбергу та Вiльямсону [12] (див. також [2, с. 67]).
Нехай φ(x) ∈ C та φ(x) має ранг не менший за 2n+ 2, тоб-
то iснує розбиття ti, i = 1, 2n+ 2, промiжку [0, 2π) таке, що
0 6 t1 < · · · < t2n+2 < 2π i для якого dim(span{φ(x − ti)}2n+2
i=1 ) =
= 2n+ 2. Тодi φ(x) ∈ CVD2n тодi i тiльки тодi, коли
D2l+1(x,y) = det(εφ(xi − yj))2l+1
i,j=1 > 0,
0 6 x1 < · · · < x2l+1 < 2π, 0 6 y1 < · · · < y2l+1 < 2π, l = 0, 1, . . . , n,
для деякого фiксованого ε = ±1.
Як випливає iз леми 1.3 роботи [13], система
функцiй {Nq,β(x− yi)}2n+2
i=1 лiнiйно незалежна i, отже,
dim(span{Nq,β(x− yi)}2n+2
i=1 ) = 2n+ 2. Тому, щоб довести, що
ядра Неймана Nq,β(t) при q = 0,21 i β = 0 або β = 1 не є CVD2n-
ядрами нi при яких n ∈ N, достатньо показати, що знайдуться
вектори x = (x1, x2, x3), 0 6 x1 < x2 < x3 < 2π, та y = (y1, y2, y3),
0 6 y1 < y2 < y3 < 2π, для яких детермiнант D3(x,y) змiнює знак.
Виберемо вектори x(k) = (x
(k)
1 , x
(k)
2 , x
(k)
3 ) та y(k) = (y
(k)
1 , y
(k)
2 , y
(k)
3 ),
k = 1, 2, наступним чином:
x
(1)
1 =
π
18
, x
(1)
2 =
π
9
, x
(1)
3 =
π
6
, y
(1)
1 =
13π
36
, y
(1)
2 =
11π
30
, y
(1)
3 =
67π
180
,
x
(2)
1 =
π
18
, x
(2)
2 =
π
9
, x
(2)
3 =
π
6
, y
(2)
1 =
13π
30
, y
(2)
2 =
10π
9
, y
(2)
3 =
7π
6
.
Обчислення показують, що для ядра Nq,0
D3(x(1),y(1)) < −2,74 · 10−10, D3(x(2),y(2)) > 1,09 · 10−6,
а для ядра Nq,1
D3(x(1),y(1)) < −2,26 · 10−8, D3(x(2),y(2)) > 2,09 · 10−6.
Отже, для будь-яких n ∈ N при q = 0,21 маємо Nq,0(t) 6∈ CVD2n i
Nq,1(t) 6∈ CVD2n.
14 В.В. Боденчук
3. Означення i допомiжнi твердження. Для отримання оцi-
нок (10) та (11) при довiльних β ∈ R i q ∈ (0, 1) в данiй роботi буде
використовуватись започаткований О.К. Кушпелем [8] метод оцiнки
знизу поперечникiв класiв згорток iз твiрними ядрами Ψβ , що задо-
вольняють так звану умову Cy,2n. Наведемо необхiднi означення та
допомiжнi твердження.
Нехай ∆2n =
{
0 = x0 < x1 < · · · < x2n = 2π
}
, xk = kπ/n —
розбиття промiжку [0, 2π]. Розглянемо функцiю
Ψβ,1(t) = (Ψβ ∗B1)(t) =
∞∑
k=1
ψ(k)
k
cos
(
kt− (β + 1)π
2
)
,
де B1(t) =
∞∑
k=1
k−1 sin kt — ядро Бернуллi. Через SΨβ,1(∆2n) познача-
тимемо простiр SK-сплайнiв SΨβ,1(·) за розбиттям ∆2n, тобто мно-
жину функцiй вигляду
SΨβ,1(·) = α0 +
2n∑
k=1
αkΨβ,1(· − xk),
2n∑
k=1
αk = 0, (20)
αk ∈ R, k = 0, 1, . . . , 2n.
Фундаментальним SK-сплайном називають функцiю
SΨβ,1(·) = SΨβ,1(y, ·) вигляду (20), що задовольняє спiввiдношення
SΨβ,1(y, yk) = δ0,k =
{
0, k = 1, 2n− 1,
1, k = 0,
де yk = xk+y, xk = kπ/n, y ∈
[
0,
π
n
)
. Оскiльки серед (ψ, β)-похiдних
будь-якого сплайна вигляду (20) iснує функцiя, яка є сталою на кож-
ному iнтервалi (xk, xk+1), то надалi саме таку функцiю будемо розу-
мiти пiд записом (SΨβ,1(·))ψβ .
Означення 2. Будемо казати, що для деякого дiйсного числа y
i розбиття ∆2n ядро Ψβ(·) вигляду (2) задовольняє умову Cy,2n (i
записувати Ψβ ∈ Cy,2n), якщо для цього ядра iснує єдиний фунда-
ментальний сплайн SΨβ,1(y, ·) i для нього виконуються рiвностi
sign(SΨβ,1(y, tk))ψβ = (−1)kεek, k = 0, 2n− 1,
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 15
де tk = (xk +xk+1)/2, ek дорiвнює або 0, або 1, а ε приймає значення
±1 i не залежить вiд k.
Наступна теорема дозволяє знаходити оцiнки знизу колмого-
ровських поперечникiв класiв згорток, породжених ядрами, що за-
довольняють умову Cy,2n.
Теорема 4 (О.К. Кушпель [8, 9]). Нехай при деякому n ∈ N
функцiя Ψβ вигляду (2), що породжує класи Cψβ,p, p = 1,∞, задо-
вольняє умову Cy,2n, коли y — точка, в якiй функцiя |(Ψβ ∗ ϕn)(t)|,
ϕn(t) = sign sinnt, приймає максимальне значення. Тодi
d2n(Cψβ,∞, C) > ‖Ψβ ∗ ϕn‖C ,
d2n−1(Cψβ,1, L) > ‖Ψβ ∗ ϕn‖C .
У роботах [5, 8, 10, 14] були встановленi достатнi умови включен-
ня Ψβ ∈ Cy,2n для ядер вигляду (2). Це дозволило авторам зазначе-
них робiт застосувати теорему 4 i одержати в рядi нових випадкiв
точнi оцiнки поперечникiв dm(Cψβ,∞, C) та dm(Cψβ,1, L).
Лема 1. Нехай β ∈ R,
∞∑
k=1
ψ(k) <∞ i
|λl(y)| 6= 0, l = 1, n, (21)
де
λl(y) =
1
n
2n∑
ν=1
eilνπ/nΨβ,1
(
y − νπ
n
)
. (22)
Тодi для довiльного t ∈
(
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
, k = 1, 2n, виконується рiв-
нiсть
(SΨβ,1(y, t))ψβ = (−1)k+1 π
4nψ(n)
×
×
1
2
+2
ψ(n)
n
n−1∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny− βπ
2
)
+γ1(y) +γ2(y)
,
(23)
16 В.В. Боденчук
в якiй tk =
kπ
n
− π
2n
, а
γ1(y) = γ1(ψ, β, k, y) =
=
ψ(n)
n
z0(y)
|λn(y)|2
+ 2
n−1∑
j=1
zj(y)
|λn−j(y)|2 cos
jπ
2n
, (24)
γ2(y) = γ2(ψ, β, y) = −
R0(y)
n
ψ(n)
2
(
2 +R0(y)
n
ψ(n)
) sign sin
(
ny − βπ
2
)
, (25)
zj(y) = zj(ψ, β, k, y) = |rj(y)| cos(j(tk − y) + arg(rj(y)))−
−Rj(y) cos(j(tk − y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
, j = 0, n− 1, (26)
Rj(y) = Rj(ψ, β, y) = |λn−j(y)| − ψ(n− j)
n− j
− ψ(n+ j)
n+ j
, j = 0, n− 1,
(27)
rj(y) =
3∑
ν=1
r
(ν)
j (y), j = 0, n− 1, (28)
r
(1)
j (y) = r
(1)
j (ψ, β, y) =
ψ(3n− j)ei(3ny−
(β+1)π
2 )
3n− j
+
+
∞∑
m=2
(
ψ((2m+ 1)n− j)ei((2m+1)ny− (β+1)π
2 )
(2m+ 1)n− j
+
+
ψ((2m− 1)n+ j)e−i((2m−1)ny−
(β+1)π
2 )
(2m− 1)n+ j
)
, (29)
r
(2)
j (y) = r
(2)
j (ψ, β, y) = i
(
ψ(n+ j)
n+ j
− ψ(n− j)
n− j
)
cos
(
ny − βπ
2
)
,
(30)
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 17
r
(3)
j (y) = r
(3)
j (ψ, β, y) =
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
×
×
(∣∣∣∣ sin(ny − βπ
2
) ∣∣∣∣− 1
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
. (31)
Доведення. Будемо виходити iз отриманого у роботi [10] зоб-
раження функцiї (SΨβ,1(y, t))ψβ , згiдно з яким за умови |λj(y)| 6= 0,
j = 1, n, для довiльного t ∈ (xk−1, xk) виконується рiвнiсть
(SΨβ,1(y, t))ψβ =
=
π
4n2
2
n−1∑
j=1
sin jtk · ρj(y)− cos jtk · σj(y)
|λj(y)|2 sin
jπ
2n
+
(−1)k+1ρn(y)
|λn(y)|2
, (32)
де
λj(·) =
1
n
2n∑
ν=1
eijνπ/nΨβ,1
(
· − νπ
n
)
,
i — уявна одиниця, ρj(·) = Re(λj(·)), σj(·) = Im(λj(·)), tk =
kπ
n
− π
2n
.
Змiнивши порядок пiдсумовування доданкiв у сумi в правiй ча-
стинi рiвностi (32), маємо
n−1∑
j=1
sin jtk · ρj(y)− cos jtk · σj(y)
|λj(y)|2 sin
jπ
2n
=
=
n−1∑
j=1
sin(n− j)tk · ρn−j(y)− cos(n− j)tk · σn−j(y)
|λn−j(y)|2 sin
(n− j)π
2n
=
= (−1)k+1
n−1∑
j=1
cos jtk · ρn−j(y)− sin jtk · σn−j(y)
|λn−j(y)|2 cos
jπ
2n
. (33)
З урахуванням (32) i (33) для фундаментального SK-сплайна
SΨβ,1(y, t), за умови |λj(y)| 6= 0, j = 1, n, одержуємо зображення
(SΨβ,1(y, t))ψβ =
18 В.В. Боденчук
=
(−1)k+1π
4n2
2
n−1∑
j=1
cos jtk · ρn−j(y)− sin jtk · σn−j(y)
|λn−j(y)|2 cos
jπ
2n
+
ρn(y)
|λn(y)|2
.
(34)
Покажемо, що величини λn−j(y) виду (22) при j = 0, n− 1, можна
виразити наступним чином:
λn−j(y) = e−ijy
((
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ rj(y)
)
,
(35)
де величини rj(y) задаються рiвностями (28).
Перепишемо ядро Ψβ,1 у комплекснiй формi
Ψβ,1(t) = (Ψβ∗B1)(t) =
∞∑
k=1
ψ(k)
k
cos
(
kt− (β + 1)π
2
)
=
1
2
∞∑′
k=−∞
cke
ikt,
де
ck =
ψ(k)
k
e−i
(β+1)π
2 , c−k =
ψ(k)
k
ei
(β+1)π
2 , k ∈ N, (36)
а штрих бiля знака суми означає, що при пiдсумовуваннi вiдсутнiй
доданок з нульовим номером.
Пiдставивши у (22) замiсть ядра Ψβ,1 його розклад у комплексний
ряд Фур’є, одержимо
λl(y) =
1
n
2n∑
ν=1
eilνπ/n
1
2
∞∑′
k=−∞
cke
ik(y−νπ/n) =
=
1
2n
2n∑
ν=1
∞∑′
k=−∞
cke
i(ky+(l−k)νπ/n) =
=
1
2n
∞∑′
k=−∞
cke
iky
2n∑
ν=1
ei((l−k)νπ/n). (37)
Неважко переконатися, що
2n∑
ν=1
ei((l−k)νπ/n) =
{
0, якщо k 6= l − 2mn,m ∈ Z;
2n, якщо k = l − 2mn,m ∈ Z.
(38)
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 19
З (37) та (38) при l = 1, n випливає наступне представлення:
λl(y) =
+∞∑
m=−∞
cl−2mne
i(l−2mn)y =
+∞∑
m=−∞
c2mn+le
i(2mn+l)y.
Звiдси при l = n− j , j = 0, n− 1, отримуємо
λn−j(y) =
+∞∑
m=−∞
c(2m+1)n−je
i((2m+1)n−j)y =
= e−ijy
(
cn−je
iny + c−(n+j)e
−iny + r
(1)
j (y)
)
. (39)
З урахуванням (36) перетворимо першi два доданки в (39) на-
ступним чином:
cn−je
iny + c−(n+j)e
−iny =
=
ψ(n− j)
n− j
ei(ny−
(β+1)π
2 ) +
ψ(n+ j)
n+ j
e−i(ny−
(β+1)π
2 ) =
=
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
cos
(
ny − (β + 1)π
2
)
+
+i
(
ψ(n− j)
n− j
− ψ(n+ j)
n+ j
)
sin
(
ny − (β + 1)π
2
)
=
=
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
sin
(
ny − βπ
2
)
+ r
(2)
j (y). (40)
Записавши sin
(
ny − βπ
2
)
у виглядi
sin
(
ny − βπ
2
)
=
∣∣∣∣ sin(ny − βπ
2
) ∣∣∣∣ sign sin
(
ny − βπ
2
)
,
з (40) маємо
cn−je
iny+c−(n+j)e
−iny =
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+
20 В.В. Боденчук
+
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)(∣∣∣∣ sin(ny − βπ
2
)∣∣∣∣− 1
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+
+r
(2)
j (y) =
=
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+r
(2)
j (y)+r
(3)
j (y). (41)
Рiвностi (39) та (41) доводять формулу (35).
Перетворимо чисельник кожного доданка в правiй частинi рiвно-
стi (34). Для цього, з урахуванням (35), запишемо
ρn−j(y) = Re(λn−j(y)) =
=
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
cos jy sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ Re(e−ijyrj(y));
(42)
σn−j(y) = Im(λn−j(y)) =
= −
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
sin jy sign sin
(
ny − βπ
2
)
+Im(e−ijyrj(y)).
(43)
Застосовуючи (42) та (43), отримуємо
cos jtk · ρn−j(y)− sin jtk · σn−j(y) =
=
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
)
cos(j(tk − y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
+
+ cos jtk · Re(e−ijyrj(y))− sin jtk · Im(e−ijyrj(y)) =
=
(
ψ(n− j)
n− j
+
ψ(n+ j)
n+ j
+Rj(y)
)
cos(j(tk− y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
+
+zj(y) = |λn−j(y)| cos(j(tk − y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ zj(y), (44)
де
zj(y) = cos jtk · Re(e−ijyrj(y))− sin jtk · Im(e−ijyrj(y))−
−Rj(y) cos(j(tk − y)) sign sin
(
ny − βπ
2
)
,
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 21
а Rj(y) означенi у (27).
Внаслiдок очевидної рiвностi
e−ijyrj(y) = |rj(y)|
(
cos(arg(rj(y))− jy) + i sin(arg(rj(y))− jy)
)
величину zj(y) можна зобразити у виглядi (26).
При j = 0 формула (35) перетворюється в наступну рiвнiсть:
λn(y) = 2
ψ(n)
n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ r0(y), (45)
де r0(y) визначається формулою (28), у якiй
r
(1)
0 (y) = 2
∞∑
m=2
ψ((2m− 1)n)
(2m− 1)n
cos
(
(2m− 1)ny − (β + 1)π
2
)
, (46)
r
(2)
0 (y) = 0, (47)
r
(3)
0 (y) = 2
ψ(n)
n
(∣∣∣∣ sin(ny − βπ
2
) ∣∣∣∣− 1
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
. (48)
З (45) – (48) випливає, що σn(y) = 0 i тому
ρn(y) = λn(y) = 2
ψ(n)
n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ r0(y).
Звiдси, враховуючи (26) та (27), можна записати
ρn(y) =
(
2
ψ(n)
n
+R0(y)
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ z0(y) =
= |λn(y)| sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ z0(y), (49)
де
z0(y) = r0(y)−R0(y) sign sin
(
ny − βπ
2
)
.
Iз зображення (34) i рiвностей (44) та (49), отримуємо
(SΨβ,1(y, t))ψβ =
(−1)k+1π
4nψ(n)
×
22 В.В. Боденчук
×
sign sin
(
ny − βπ
2
)2
ψ(n)
n
n−1∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
+
ψ(n)
n|λn(y)|
+
+2
ψ(n)
n
n−1∑
j=1
zj(y)
|λn−j(y)|2 cos
jπ
2n
+
ψ(n)z0(y)
n|λn(y)|2
=
=
(−1)k+1π
4nψ(n)
(
sign sin
(
ny − βπ
2
)
×
×
(
2
ψ(n)
n
[
√
n]∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
+
ψ(n)
n|λn(y)|
)
+ γ1(y)
)
. (50)
На пiдставi (27) маємо
ψ(n) sign sin
(
ny − βπ
2
)
n|λn(y)|
=
sign sin
(
ny − βπ
2
)
2 +R0(y)
n
ψ(n)
=
=
1
2
−
R0(y)
n
ψ(n)
2
(
2 +R0(y)
n
ψ(n)
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
=
1
2
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ γ2(y). (51)
Iз (50) та (51) отримуємо (23). Лему доведено.
Лема 2. Нехай коефiцiєнти ψ(k) > 0 ядра Ψβ задовольняють
умову
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q, q ∈ (0, 1),
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 23
та β ∈ R. Тодi при виконаннi умови (21) для довiльного
t ∈
(
(k − 1)π
n
,
kπ
n
)
, k = 1, 2n, справедлива рiвнiсть
(SΨβ,1(y, t))ψβ =
= (−1)k+1 π
4nψ(n)
(
Pq(tk − y) sign sin
(
ny − βπ
2
)
+
5∑
m=1
γm(y)
)
,
(52)
в якiй tk =
kπ
n
− π
2n
, Pq(t) — ядро аналiтично продовжуваних в
смугу функцiй,
Pq(t) =
1
2
+ 2
∞∑
j=1
cos jt
qj + q−j
,
величини γ1(y) та γ2(y) заданi рiвностями (24) i (25) вiдповiдно, а
γ3(y) = γ3(ψ, β, k, y) =
= 2
n−1∑
j=[
√
n]+1
cos j(tk − y)
n
ψ(n)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin(ny − βπ
2
), (53)
γ4(y) = γ4(ψ, β, k, y) = −2
[
√
n]∑
j=1
δj(y) cos j(tk − y)
n
ψ(n)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
,
(54)
γ5(y) = γ5(q, β, k, y) = −2
∞∑
j=[
√
n]+1
cos j(tk − y)
qj + q−j
sign sin
(
ny − βπ
2
)
,
(55)
δj(y) = δj(ψ, y) =
n|λn−j(y)| cos
jπ
2n
(q−j + qj)ψ(n)
− 1, j = 1, [
√
n], (56)
[a] — цiла частина числа a.
24 В.В. Боденчук
Доведення. Згiдно з (53)
2
ψ(n)
n
n−1∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
= 2
ψ(n)
n
[
√
n]∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ γ3(y). (57)
Далi, внаслiдок формул (54) – (56), можна записати рiвностi
2
ψ(n)
n
[
√
n]∑
j=1
cos j(tk − y)
|λn−j(y)| cos
jπ
2n
sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
= 2
[
√
n]∑
j=1
cos j(tk − y)
(qj + q−j)(1 + δj(y))
sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
=
2
[
√
n]∑
j=1
cos j(tk − y)
qj + q−j
− 2
[
√
n]∑
j=1
δj(y) cos j(tk − y)
(qj + q−j)(1 + δj(y))
×
× sign sin
(
ny − βπ
2
)
=
=
(
Pq(tk − y)− 1
2
)
sign sin
(
ny − βπ
2
)
+ γ4(y) + γ5(y), (58)
Iз (23), (57) та (58) отримуємо (52). Лему доведено.
4. Доведення теореми 1. Вiдповiдно до теореми 4 для дове-
дення (10) i (11) достатньо показати, що для довiльних q ∈ (0, 1),
β ∈ R i всiх номерiв n > nq ядра Неймана Nq,β(t) задовольня-
ють умову Cy0,2n, де y0 — точка, в якiй функцiя |Φq,β,n(·)|, де
Φq,β,n(·) = (Nq,β ∗ ϕn)(·), а ϕn(·) задана рiвнiстю (8), досягає най-
бiльшого значення, тобто
|Φq,β,n(y0)| = |(Nq,β ∗ ϕn)(y0)| = ‖Nq,β ∗ ϕn‖C .
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 25
Функцiя
Φq,β,n(t) = (Nq,β ∗ ϕn)(t) =
4
π
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
n(2ν + 1)2
sin
(
(2ν + 1)nt− βπ
2
)
,
перiодична з перiодом 2π/n i така, що Φq,β,n
(
t+
π
n
)
= −Φq,β,n(t).
Тому максимальне значення π/n-перiодичної функцiї |Φq,β,n(·)| на[
0,
π
n
)
досягається у точцi y0 = y0(n, q, β) =
θnπ
n
, де θn — корiнь
рiвняння (9), θn ∈ [0, 1). Зауважимо, що цей корiнь єдиний на [0, 1).
Дiйсно, розглянемо функцiї
Gq(x) =
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
(2ν + 1)n
cos(2ν + 1)x =
1
4
ln
1 + 2qn cosx+ q2n
1− 2qn cosx+ q2n
, (59)
Hq(x) =
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
(2ν + 1)n
sin(2ν + 1)x =
1
2
arctg
2qn sinx
1− q2n
. (60)
З (59) випливає, що функцiя Gq(x) спадає на (0, π), зростає на
(π, 2π) та
Gq(x) > 0, x ∈
(
0,
π
2
)
∪
(
3π
2
, 2π
)
,
Gq(x) < 0, x ∈
(
π
2
,
3π
2
)
.
На пiдставi (60) функцiя Hq(x) додатна на (0, π) i вiд’ємна на (π, 2π).
Оскiльки
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
(2ν + 1)n
cos
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)
=
= Gq(θnπ) cos
βπ
2
+Hq(θnπ) sin
βπ
2
,
то, враховуючи зазначенi вище властивостi функцiй Gq(x) та Hq(x)
та рiвнiсть (9), отримуємо єдинiсть кореня θn на [0, 1) та наступнi
включення:
ny0 ∈
[π
2
, π
)
при β ∈ [0, 1) ∪ [2, 3), (61)
26 В.В. Боденчук
ny0 ∈
[
0,
π
2
)
при β ∈ [1, 2) ∪ [3, 4). (62)
Згiдно з (61), (62), рiвнiстю (19) роботи [15] i лемою 2 з [15] для
ядер Ψβ(t) = Nq,β(t) виконується умова |λj(y0)| 6= 0, j = 1, n. Тому
для фундаментального SK-сплайна SΨβ,1(y, t) = SNq,β,1(y, t), по-
родженого ядром НейманаNq,β(t), має мiсце представлення (52). На-
ступне твердження мiстить оцiнку зверху суми
5∑
l=1
|γl(y0)| для ядер
Nq,β(t).
Лема 3. Нехай величини γl(y0), l = 1, 5, задаються рiвностями
(24), (25), (53) – (55), в яких ψ(n) =
qn
n
, q ∈ (0, 1), β ∈ R. Тодi при
n > 2 та виконаннi умов (12), справедлива оцiнка
5∑
l=1
|γl(y0)| 6 24
5(1− q)
q
√
n +
160
63
2
√
n− 1
n(
√
n− 1)
q
(1− q)2
.
Доведення. Для оцiнки кожного з доданкiв |γl(y0)|, l = 1, 5,
нам будуть потрiбнi оцiнки зверху величин |rj(y0)| та |Rj(y0)| при
j = 0, n− 1. Знайдемо їх. З (29) маємо
|r(1)j (y0)| 6 q3n−j
(3n− j)2
+
∞∑
m=2
(
q(2m+1)n−j
((2m+ 1)n− j)2
+
q(2m−1)n+j
((2m− 1)n+ j)2
)
=
=
∞∑
m=1
(
q(2m+1)n−j
((2m+ 1)n− j)2
+
q(2m+1)n+j
((2m+ 1)n+ j)2
)
. (63)
Оскiльки послiдовнiсть
qk
k2
опукла, то виконується нерiвнiсть
qk−j
(k − j)2
+
qk+j
(k + j)2
<
qk−n
(k − n)2
+
qk+n
(k + n)2
, k > n, j = 0, n− 1. Тому з
(63) знаходимо
|r(1)j (y0)| 6
∞∑
m=1
(
q2mn
(2mn)2
+
q2(m+1)n
(2(m+ 1)n)2
)
=
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 27
=
q2n
4n2
+
∞∑
m=2
q2mn
2m2n2
6
1
4n2
∞∑
m=1
q2mn =
q2n
4n2(1− q2n)
. (64)
Враховуючи (16) та (30), маємо
|r(2)j (y0)| 6
∣∣∣∣ cos
(
ny0 −
βπ
2
) ∣∣∣∣ ( qn−j
(n− j)2
− qn+j
(n+ j)2
)
6
6
q2n
3(1− q2n)
(
q − q2n−1
(2n− 1)2
)
. (65)
Iз (17) та (31) знаходимо
|r(3)j (y0)| 6 q2n
3(1− q2n)
(
q +
q2n−1
(2n− 1)2
)
. (66)
Об’єднавши (64) – (66), для величини rj(y0) отримуємо оцiнку
|rj(y0)| 6
∣∣∣∣ 3∑
ν=1
r
(ν)
j (y0)
∣∣∣∣ 6 q2n
1− q2n
(
2q
3
+
1
4n2
)
6
6
3
4
q2n
1− q2n
, j = 0, n− 1. (67)
При j = 0 оцiнку (67) можна покращити. Дiйсно, на пiдставi (46)
маємо
|r(1)0 (y0)| 6 2
∞∑
m=2
q(2m−1)n
((2m− 1)n)2
6
2
9n2
∞∑
m=2
q(2m−1)n =
2
9n2
q3n
1− q2n
,
а з (48) та (17) ∣∣∣r(3)0 (y0)
∣∣∣ 6 2
3n2
q3n
1− q2n
.
Тодi, враховуючи (47),
|r0(y0)| 6 |r(1)0 (y0) + r
(3)
0 (y0)| 6 8
9n2
q3n
1− q2n
. (68)
28 В.В. Боденчук
Iз (35) для величини |λn−j(y0)| отримуємо зображення
|λn−j(y0)| =
∣∣∣∣sign sin
(
ny − βπ
2
)(
qn−j
(n− j)2
+
qn+j
(n+ j)2
)
+ rj(y0)
∣∣∣∣ ,
з якого безпосередньо випливає оцiнка
|λn−j(y0)| 6 qn−j
(n− j)2
+
qn+j
(n+ j)2
+ |rj(y0)|. (69)
Оскiльки внаслiдок (61) i (62)
sin
(
ny0 −
βπ
2
)
= sinny0 cos
βπ
2
− cosny0 sin
βπ
2
6= 0, (70)
то отримуємо також оцiнку
|λn−j(y0)| > qn−j
(n− j)2
+
qn+j
(n+ j)2
− |rj(y0)|. (71)
На пiдставi (27), (69) та (71)
|Rj(y0)| 6 |rj(y0)|, j = 0, n− 1. (72)
Перейдемо до оцiнки величини |γ1(y0)|. Беручи до уваги оцiнки
(71) та (67), маємо
|λn−j(y0)| >
>
qn−j
(n− j)2
+
qn+j
(n+ j)2
− 3
4
q2n
1− q2n
=
=
qn
(n− j)2
(
q−j +
(n− j)2
(n+ j)2
qj − 3(n− j)2
4
qn
1− q2n
)
. (73)
Оскiльки при j = 0, n− 1
2
15(n− j)2
q−j >
2
15n2
>
2q
√
n
15n2
, то з
умови (12) випливає нерiвнiсть
2
15(n− j)2
q−j >
qn
1− q2n
,
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 29
яка еквiвалентна наступнiй нерiвностi:
q−j
10
>
3(n− j)2
4
qn
1− q2n
, j = 0, n− 1. (74)
На основi (74) виконуються оцiнки
q−j +
(n− j)2
(n+ j)2
qj − 3(n− j)2
4
qn
1− q2n
=
=
9q−j
10
+
q−j
10
+
(n− j)2
(n+ j)2
qj − 3(n− j)2
4
qn
1− q2n
>
>
9q−j
10
, j = 0, n− 1. (75)
Об’єднуючи (73) та (75), маємо
|λn−j(y0)| > 9qn−j
10(n− j)2
. (76)
Враховуючи, що для x ∈
[
0,
π
2
)
справджується нерiвнiсть
cosx > 1− 2x
π
> 0, отримуємо
cos
jπ
2n
> 1− j
n
=
n− j
n
, j = 0, n− 1. (77)
З (76) та (77) маємо
n2
qn
|λn−j(y0)|2 cos
jπ
2n
>
81n
100(n− j)3
qn−2j . (78)
З (26) i (72) випливає, що |zj(y0)| 6 2|rj(y0)|. Тому, враховуючи
(67), (78) та умову (12), з (24) одержуємо
|γ1(y0)| 6 400
81
max
06j6n−1
|rj(y0)| 1
qn
n−1∑
j=0
(n− j)3
n
q2j <
30 В.В. Боденчук
<
100n2qn
27(1− q2n)
∞∑
j=0
q2j 6
40
81
q
√
n 1
1− q2
. (79)
Оцiнимо |γ2(y0)|. З умови (12) при n > 2 випливає нерiвнiсть
q2n ≤ 1
900
.
Тодi з (25), (72), (68) i (12) отримуємо
|γ2(y0)| 6
8q2n
9(1− q2n)
2
∣∣∣∣2− 8q2n
9(1− q2n)
∣∣∣∣ =
2q2n
9− 13q2n
=
1− q2n
9− 13q2n
2q2n
1− q2n
=
=
(
1
13
+
4
13(9− 13q2n)
)
2q2n
1− q2n
<
<
3
26
2q2n
1− q2n
<
2qn+
√
n
65n2
. (80)
Оцiнимо величину |γ3(y0)|. Беручи до уваги оцiнки (67), (71), (77)
та (75), маємо
n2
qn
|λn−j(y0)| cos
jπ
2n
>
n2
qn
(
qn−j
(n− j)2
+
qn+j
(n+ j)2
− 3
4
q2n
1− q2n
)
n− j
n
=
=
nq−j
n− j
+
n(n− j)
(n+ j)2
qj − 3n(n− j)
4
qn
1− q2n
>
9nq−j
10(n− j)
. (81)
Тому, беручи до уваги (81), з (53) знаходимо
|γ3(y0)| < 20
9
n−1∑
j=[
√
n]+1
n− j
n
qj <
<
20
9
n−1∑
j=[
√
n]+1
qj =
20
(
q[
√
n]+1 − qn−1
)
9(1− q)
6
20q
√
n
9(1− q)
. (82)
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 31
Щоб оцiнити величину |γ4(y0)| спочатку оцiнимо зверху величину
|δj(y0)| вигляду (56). На пiдставi(27)
n2
qn
|λn−j(y0)| cos
jπ
2n
=
=
(
n2
(n− j)2
qn−j
qn
+
n2
(n+ j)2
qn+j
qn
+Rj(y0)
n2
qn
)
cos
jπ
2n
=
=
((
1 +
j(2n− j)
(n− j)2
)
q−j +
(
1− j(2n+ j)
(n+ j)2
)
qj +Rj(y0)
n2
qn
)
cos
jπ
2n
=
= (q−j + qj)
(
1− 2 sin2 jπ
4n
)
+
+
(
j(2n− j)
(n− j)2
q−j − j(2n+ j)
(n+ j)2
qj +Rj(y0)
n2
qn
)
cos
jπ
2n
. (83)
З (56), (67), (72), (83) iз врахуванням опуклостi послiдовностi qk
для величин |δj(y0)| випливають нерiвностi
|δj(y0)| 6
6 2 sin2 jπ
4n
+
1
q−j + qj
(
j(2n− j)
(n− j)2
q−j +
j(2n− j)
(n− j)2
qj + |Rj(y0)|n
2
qn
)
6
6 2
(
jπ
4n
)2
+
j(2n− j)
(n− j)2
+
n2|rj(y0)|
qn−j + qn+j
6
6
j2π2
8n2
+
j(2n− j)
(n− j)2
+
3n2
8
qn
1− q2n
=
=
8j(2n− j)
7(n− j)2
+
(
j2π2
8n2
+
3n2
8
qn
1− q2n
− j(2n− j)
7(n− j)2
)
. (84)
При кожному фiксованому n функцiя fn(j) =
j(2n− j)
7(n− j)2
− j2π2
8n2
зростає. Дiйсно
d
dj
(
j(2n− j)
7(n− j)2
− j2π2
8n2
)
=
2n2
7(n− j)3
− jπ2
4n2
=
32 В.В. Боденчук
=
8n4 − 7jπ2(n− j)3
28n2(n− j)3
> 0
(оскiльки функцiя gn(x) = 8n4−7xπ2(n−x)3 в точцi мiнiмуму x = 1
4n
набуває додатне значення). Тому, з врахуванням (12), при j = 1, [
√
n]
та n > 2 отримуємо
j(2n− j)
7(n− j)2
− j2π2
8n2
>
2n− 1
7(n− 1)2
− π2
8n2
>
3n2
8
qn
1− q2n
.
Отже, вираз у дужках в правiй частинi (84) вiд’ємний. Тодi з (84)
випливає, що
|δj(y0)| 6 8j(2n− j)
7(n− j)2
. (85)
Формули (54), (81) та (85) дозволяють одержати при n > 2 на-
ступну оцiнку величини γ4(y0):
|γ4(y0)| 6 2
[
√
n]∑
j=1
8j(2n− j)
7(n− j)2
9nq−j
10(n− j)
=
160
63n
[
√
n]∑
j=1
j(2n− j)
n− j
qj 6
6
160
63
2n−
√
n
n(n−
√
n)
[
√
n]∑
j=1
jqj <
160
63
2
√
n− 1
n(
√
n− 1)
∞∑
j=1
jqj <
<
160
63
2
√
n− 1
n(
√
n− 1)
q
(1− q)2
. (86)
Внаслiдок (55) для величини |γ5(y0)| маємо
|γ5(y0)| 6 2
∞∑
j=[
√
n]+1
qj = 2
q[
√
n]+1
1− q
< 2
q
√
n
1− q
. (87)
Об’єднавши оцiнки (79), (80), (82), (86) та (87), при n > 2 одер-
жимо
5∑
k=1
|γk(y0)| <
Оцiнки знизу колмогоровських поперечникiв . . . 33
<
40
81
q
√
n 1
1− q2
+
2qn+
√
n
65n2
+
20q
√
n
9(1− q)
+
+
160
63
2
√
n− 1
n(
√
n− 1)
q
(1− q)2
+
2q
√
n
1− q
<
<
q
√
n
1− q
(0,494 + 0,008 + 2,223 + 2) +
160
63
2
√
n− 1
n(
√
n− 1)
q
(1− q)2
<
<
24
5(1− q)
q
√
n +
160
63
2
√
n− 1
n(
√
n− 1)
q
(1− q)2
.
Лему доведено.
Згiдно з лемою 2 [16] для довiльного x ∈ R i довiльного q ∈ (0, 1)
Pq(x) >
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
) 4
1−q2
. (88)
Тому з леми 3 та нерiвностi (88) випливає, що при n > 2 за умов (13)
та (12)
Pq(tk − y0) +
5∑
m=1
γm(y0) sign sin
(
ny0 −
βπ
2
)
> 0. (89)
На пiдставi зображення (52), а також (70) i нерiвностi (89) робимо
висновок, що при n > 2 за умов (13) та (12) справедливе включення
Nq,β(t) ∈ Cy0,2n. Теорему доведено.
1. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН України. — 2002. — 40. — Ч. 1. — 427 c.
2. Pinkus A. n-widths in approximation theory. — Springer-Verlag. — 1985. —
291 p.
3. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. — М.: Изд-во
МГУ, 1976. — 304 c.
4. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. — М.: Наука,
1987. — 424 с.
5. Сердюк А.С. Поперечники та найкращi наближення класiв згорток перiо-
дичних функцiй // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 5. — С. 674 – 687.
34 В.В. Боденчук
6. Nagy B. Uber gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen
Entwicklungen, I, Periodischer Fall, Berichte der Math.-Phys. Kl. Akad. der
Wiss. zu Leipzig. — 1938. — 90. — P. 103 – 134.
7. Никольский С.М. Приближения функций тригонометрическими полино-
мами в среднем // Изв. АН СССР. Cер. мат. — 1946. — 10. — С. 207 – 256.
8. Кушпель А.К. Точные оценки поперечников классов сверток // Изв. АН
СССР. Сер. мат. — 1988. — 52, № 6. — С. 1305 – 1322.
9. Кушпель А.К. Оценки поперечников классов сверток в пространствах C
и L // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 8. — С. 1070 – 1076.
10. Степанец А.И., Сердюк А.С. Оценки снизу поперечников классов свер-
ток периодических функций в метриках C и L // Укр. мат. журн. —
1995. — 47, № 8. — С. 1112 – 1121.
11. Pinkus A. On n-widths of periodic functions // J. Analyse Math. — 1979. —
35. — P. 209 – 235.
12. Mairhuber J. C., Shoenberg I. J., Williamson R.E. On variation diminising
transformations on the circle // Rend. Circ. Mathem. Palermo. — 1959. — 8,
№ 2. — P. 241 – 270.
13. Кушпель А.К. SK-сплайны и точные оценки поперечников функциональ-
ных классов в пространстве C2π . — К.: Ин-т математики АН УССР,
1985. — 47 с. — (Препринт / АН УССР, Ин-т математики ; 85.51).
14. Сердюк А.С. Оцiнки поперечникiв та найкращих наближень класiв згор-
ток перiодичних функцiй // Ряди Фур’є: теорiя i застосування / Працi
Iн-ту математики НАН України. — 1998. — 20. — С. 286 – 299.
15. Степанец А.И., Сердюк А.С. О существовании интерполяционных SK-
сплайнов // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 11. — С. 1546 – 1554.
16. Serdyuk A. S., Bodenchuk V.V. Exact values of Kolmogorov widths of classes
of Poisson integrals // J. of Approx. Theory. — 2013. — 173. — P. 89 – 109.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-15 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:02Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/8a/1aeacc6f4e75c62a70a55367f5875c8a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-152018-01-29T14:44:04Z Lower bounds for Kolmogorov widths in classes of convolutions with Neumann kernel Оцінки знизу колмогоровських поперечників класів згорток з ядром Неймана Bodenchuk, V. V. Боденчук, В. В. We obtain exact lower bounds for Kolmogorov $n$-widths in spaces $C$ and $L$ of classes of convolutions with Neumann kernel $N_{q,\beta}(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{q^k}{k}\cos\left(kt-\dfrac{\beta\pi}{2}\right)$, ${q\in(0,1)}$, ${\beta\in\mathbb{R}}$, for all natural $n$ greater some number which depends only on $q$. The obtained estimates coincided with the best uniform approximations by trigonometric polynomials of mentioned classes. It allows us obtain exact values for widths of these classes. Встановлено точні оцінки знизу колмогоровських $n$-поперечників в просторах $C$ і $L$ класів згорток з ядром Неймана ${N_{q,\beta}(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{q^k}{k}\cos\left(kt-\dfrac{\beta\pi}{2}\right)}$, ${q\in(0,1)}$, ${\beta\in\mathbb{R}}$, для усіх натуральних $n$, більших деякого номера, залежного лише від $q$. Отримані оцінки співпали з найкращими рівномірними наближеннями зазначених класів тригонометричними поліномами, що дозволило знайти точні значення поперечників цих класів. Інститут математики НАН України 2014-06-24 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/15 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 11 No. 3 (2014): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 7-34 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 7-34 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 11 № 3 (2014): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 7-34 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/15/13 Авторське право (c) 2014 Боденчук В.В. |
| spellingShingle | Bodenchuk, V. V. Боденчук, В. В. Lower bounds for Kolmogorov widths in classes of convolutions with Neumann kernel |
| title | Lower bounds for Kolmogorov widths in classes of convolutions with Neumann kernel |
| title_alt | Оцінки знизу колмогоровських поперечників класів згорток з ядром Неймана |
| title_full | Lower bounds for Kolmogorov widths in classes of convolutions with Neumann kernel |
| title_fullStr | Lower bounds for Kolmogorov widths in classes of convolutions with Neumann kernel |
| title_full_unstemmed | Lower bounds for Kolmogorov widths in classes of convolutions with Neumann kernel |
| title_short | Lower bounds for Kolmogorov widths in classes of convolutions with Neumann kernel |
| title_sort | lower bounds for kolmogorov widths in classes of convolutions with neumann kernel |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/15 |
| work_keys_str_mv | AT bodenchukvv lowerboundsforkolmogorovwidthsinclassesofconvolutionswithneumannkernel AT bodenčukvv lowerboundsforkolmogorovwidthsinclassesofconvolutionswithneumannkernel AT bodenchukvv ocínkiznizukolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívzgortokzâdromnejmana AT bodenčukvv ocínkiznizukolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívzgortokzâdromnejmana |