Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree

• Date: 2015
• Author Affiliations: Б. Г. Фещенко — Інститут математики НАН України
• Keywords: keywords
• Main Authors: Feshchenko, B. G., Фещенко, Б. Г.
• Format: Article
• Language: Ukrainian
• Published: Інститут математики НАН України 2015
• Online Access: https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/150
• Journal Title: Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

Нехай $f:T^2\to \mathbb{R}$ -- функція Морса на $2$-торі $T^2$, $X$ -- замкнена (можливо порожня) підмножина в $T^2$і $\mathcal{S}(f,X),$ $\mathcal{O}(f,X)$ -- відповідно стабілізатор і орбіта функції $f$ відносно правої дії групи дифеоморфізмів $\mathcal{D}(T^2,X)$ нерухомих на $X.$ Нехай $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2,X)$ -- зв'язна компонента $\mathcal{D}(T^2,X)$, що містить $\mathrm{id}$ і $\mathcal{O}_f(f,X)$ -- зв'язна компонента $\mathcal{O}(f,X)$, що містить $f.$ Покладемо $\mathcal{S}'(f,X) = \mathcal{S}(f)\cap\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2,X).$ Припустимо що функція $f$ є такою, що її граф Кронрода--Ріба є деревом.Тоді існує множина $2$-дисків $\{D_i\}_{i = 0}^r\subset T^2$ та сталі$n,m\in\mathbb{N}$ такі, що має місце ізоморфізм$\pi_1\mathcal{O}_f(f)\cong \prod_{i = 0}^r \pi_0\mathcal{S}'(f|_{D_i},\partial D_i)\underset{\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_{nm}}{\wr}\mathbb{Z}^2,$де $A\underset{\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_{nm}}{\wr}\mathbb{Z}^2$ -- вінцевий добуток $A$ і $\mathbb{Z}^2$ над $\mathbb{Z}_n\times \mathbb{Z}_{nm}.$Цей результат має місце для більшого класу гладкий функцій $f:T^2\to \mathbb{R}$ які мають таку властивість:для кожної критичної точки $z$ функції $f$ паросток $f$ в $z$ є гладко еквівалентним однорідному многочлену $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ без кратних коренів.