Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree
Нехай $f:T^2\to \mathbb{R}$ -- функція Морса на $2$-торі $T^2$, $X$ -- замкнена (можливо порожня) підмножина в $T^2$і $\mathcal{S}(f,X),$ $\mathcal{O}(f,X)$ -- відповідно стабілізатор і орбіта функції $f$ відносно правої дії групи дифеоморфізмів $\mathcal{D}(T^2,X)$ нерухомих на $X.$ Нехай $\mathcal...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/150 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552666849083392 |
|---|---|
| author | Feshchenko, B. G. Фещенко, Б. Г. |
| author_facet | Feshchenko, B. G. Фещенко, Б. Г. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Б. Г. Фещенко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Feshchenko, B. G. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T11:58:55Z |
| description | Нехай $f:T^2\to \mathbb{R}$ -- функція Морса на $2$-торі $T^2$, $X$ -- замкнена (можливо порожня) підмножина в $T^2$і $\mathcal{S}(f,X),$ $\mathcal{O}(f,X)$ -- відповідно стабілізатор і орбіта функції $f$ відносно правої дії групи дифеоморфізмів $\mathcal{D}(T^2,X)$ нерухомих на $X.$ Нехай $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2,X)$ -- зв'язна компонента $\mathcal{D}(T^2,X)$, що містить $\mathrm{id}$ і $\mathcal{O}_f(f,X)$ -- зв'язна компонента $\mathcal{O}(f,X)$, що містить $f.$ Покладемо $\mathcal{S}'(f,X) = \mathcal{S}(f)\cap\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2,X).$ Припустимо що функція $f$ є такою, що її граф Кронрода--Ріба є деревом.Тоді існує множина $2$-дисків $\{D_i\}_{i = 0}^r\subset T^2$ та сталі$n,m\in\mathbb{N}$ такі, що має місце ізоморфізм$\pi_1\mathcal{O}_f(f)\cong \prod_{i = 0}^r \pi_0\mathcal{S}'(f|_{D_i},\partial D_i)\underset{\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_{nm}}{\wr}\mathbb{Z}^2,$де $A\underset{\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_{nm}}{\wr}\mathbb{Z}^2$ -- вінцевий добуток $A$ і $\mathbb{Z}^2$ над $\mathbb{Z}_n\times \mathbb{Z}_{nm}.$Цей результат має місце для більшого класу гладкий функцій $f:T^2\to \mathbb{R}$ які мають таку властивість:для кожної критичної точки $z$ функції $f$ паросток $f$ в $z$ є гладко еквівалентним однорідному многочлену $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ без кратних коренів. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2015, т.12, №6, 204-219
Б. Г. Фещенко
Iнститут математики НАН України, Київ
fb@imath.kiev.ua
Деформацiї гладких функцiй на 2-
торi, у яких граф Кронрода-Рiба є
деревом
Нехай f : T 2 → R— функцiя Морса на 2-торi T 2, X — замкнена (мо-
жливо порожня) пiдмножина в T 2 i S(f,X), O(f,X)— вiдповiдно ста-
бiлiзатор i орбiта функцiї f вiдносно правої дiї групи дифеоморфi-
змiв D(T 2, X) нерухомих на X. Нехай Did(T
2, X)— зв’язна компонен-
та D(T 2, X), що мiстить id i Of (f,X)— зв’язна компонента O(f,X),
що мiстить f. Покладемо S�(f,X) = S(f)∩Did(T
2, X). Припустимо що
функцiя f є такою, що її граф Кронрода–Рiба є деревом. Тодi iснує
множина 2-дискiв {Di}ri=0 ⊂ T 2 та сталi n,m ∈ N такi, що має мiсце
iзоморфiзм π1Of (f) ∼=
�r
i=0 π0S
�(f |Di , ∂Di) �
Zn×Znm
Z2, де A �
Zn×Znm
Z2 —
вiнцевий добуток A i Z2 над Zn × Znm. Цей результат має мiсце для
бiльшого класу гладкий функцiй f : T 2 → R якi мають таку власти-
вiсть: для кожної критичної точки z функцiї f паросток f в z є гладко
еквiвалентним однорiдному многочлену R2 → R без кратних коренiв.
1. Вступ
Нехай M — гладка компактна поверхня, X — замкнена (мо-
жливо порожня) пiдмножина в M , D(M,X)— група дифео-
морфiзмiвM , нерухомих на X. Тодi група D(M,X) дiє на про-
сторi гладких функцiй C∞(M,R) за таким правилом:
γ : C∞(M,R)×D(M,X) → C∞(M,R), γ(f, h) = f ◦ h. (1.1)
Нехай f ∈ C∞(M,R)— гладка функцiя на M . Множини
S(f,X) = {f ∈ D(M,X) | f ◦ h = f},
© Б. Г. Фещенко, 2015
Деформацiї гладких функцiй на 2-торi 205
O(f,X) = {f ◦ h | h ∈ D(M,X)}
називаються вiдповiдно стабiлiзатором i орбiтою функцiї f
вiдносно дiї (1.1).
Якщо X є порожньою множиною, то покладемо
D(M) = D(M,∅), S(f) = S(f,∅), O(f) = O(f,∅),
i так далi. Надiлимо простори D(M,X), C∞(M,R), S(f,X), i
O(f,X) вiдповiдними сильними C∞-топологiями Уiтнi.
Позначимо через Sid(f,X) i Did(M,X) вiдповiдно тотожнi
компоненти S(f,X) i D(M,X), а через Of (f,X)— компоненту
O(f,X), що мiстить f . Нехай також
S�(f,X) = S(f) ∩Did(M,X).
Нехай далi F(M) ⊂ C∞(M,R)— множина гладких функцiй,
що задовольняють такi двi умови:
(B) функцiя f приймає постiйне значення на кожнiй зв’язнiй
компонентi ∂M , i всi критичнi точки f належать до вну-
трiшностi M ;
(P) для кожної критичної точки z функцiї f паросток f в z
є гладко еквiвалентним до деякого однорiдного полiному
fz : R2 → R без кратних коренiв.
Нехай Morse(M)— множина функцiй Морса на M , тобто фун-
кцiй, що мають лише невиродженi критичнi точки. Множи-
на Morse(M) є вiдкритою i всюди щiльною пiдмножиною в
C∞(M,R). На пiдставi леми Морса кожна невироджена особли-
вiсть є гладко еквiвалентною однорiдному многочлену ±x2±y2
без кратних коренiв. Отже, Morse(M) ⊂ F(M).
Теорема 1.1. [1–3] Нехай f ∈ F(M)— функцiя i X — скiн-
ченне (можливо порожнє) об’єднання регулярних компонент
множин рiвня функцiї f . Тодi справедливi наступнi твердже-
ння.
(1) Вiдображення
p : D(M,X) → O(M,X), p(h) = f ◦ h
206 Б. Г. Фещенко
є розшаруванням Серра з шаром S(f,X), тобто вона має вла-
стивiсть пiдняття гомотопiї для CW-комплексiв.
(2) Обмеження розшарування p на Did(M,X)
p|Did(M,X) : Did(M,X) → Of (f,X)
також є розшаруванням Серра.
(3) Припустимо, що X = ∅ i, або f має критичну точку,
що не є невиродженим локальним екстремумом, або M є не-
орiєнтованою поверхнею. Тодi Sid(f) є стягуваним,
πnOf (f) = πnM, n ≥ 3, π2Of (f) = 0,
i для π1Of (f) ми маємо таку точну послiдовнiсть
1 −→ π1Did(M)
p−−→ π1Of (f)
∂−−→ π0S
�(f) −→ 1. (1.2)
(4) Припустимо, що χ(M) < 0 або X �= 0. Тодi Did(M,X) i
Sid(f,X) є стягуваними, πnOf (f,X) = 0 для n ≥ 2, а вiдобра-
ження
∂ : π1Of (f,X) → π0S
�(f,X) (1.3)
є iзоморфiзмом.
Нехай також ω : (Ik, ∂Ik, 0) → (Did(M,X), Sid(M,X), idM )—
неперервне вiдображення трiйок, k ≥ 0. Тодi з (2) теореми 1.1
випливає, що для будь-якого k ≥ 0 iснує iзоморфiзм
λk : πk(Did(M,X), Sid(f,X)) → πkOf (f,X), λk[ω] = [f ◦ ω],
див., наприклад, [4, § 4.1, теорема 4.1]. В подальшому текстi
роботи ми будемо ототожнювати π1Of (f) з π1(Did(T
2), S�(f)).
В серiї робiт [1–3, 5–8] Максименко описав гомотопiчнi типи
стабiлiзаторiв дiї (1.1). Автори у роботах [9,10] описали фунда-
ментальну групу орбiт π1Of (f) функцiй f з F(T 2) у випадку,
коли КР-граф функцiї f мiстить цикл. У випадку, коли КР-
граф f є деревом, автори [11] знайшли умови, за яких послi-
довнiсть (1.2) розщеплюється.Метою даної роботи є опис групи
π1Of (f) функцiй з F(T 2), граф Кронрода-Рiба яких є деревом,
див. теорему 2.5.
Деформацiї гладких функцiй на 2-торi 207
2. Попереднi вiдомостi
2.1. Вiнцевi добутки G �Zn×Zm Z2. Нехай G— група з одини-
цею 1 i n,m ≥ 1. Через Map(Zn × Zm, G) ми позначимо групу
всiх вiдображень з Zn×Zm в G з поточковим множенням, тобто
якщо α,β : Zn×Zm → G— два вiдображення зMap(Zn×Zm, G),
то (α · β)(i, j) = α(i, j) · β(i, j), де (i, j) ∈ Zn × Zm.
Група Z2 дiє справа на Map(Zn×Zm, G) за таким правилом:
якщо α ∈ Map(Zn × Zm, G) i (k, l) ∈ Z2, тодi результат цiєї дiї
αk,l задається формулою:
αk,l(i, j) = α(i+ k mod n, j + l mod m), (i, j) ∈ Z2.
Напiвпрямий добуток Map(Zn × Zm, G) � Z2, що вiдповiдає
цiй дiї, позначимо через
G �
Zn×Zm
Z2 := Map(Zn × Zm, G)� Z2
i будемо називати вiнцевим добутком G i Z2 над Zn × Zm.
Таким чином, G �
Zn×Zm
Z2 — це прямий добуток множин
Map(Zn × Zm, G)× Z2
з такою операцiєю
(α, (k1, k2))(β, (l1, l2)) = (αβk1,k2 , (k1 + l1, k2 + l2))
для всiх (α, (k1, k2)), (β, (l1, l2)) ∈ Map(Zn × Zm, G) × Z2. Крiм
того, ми маємо таку коротку точну послiдовнiсть:
1 −→ Map(Zn × Zm, G)
σ−−→ G �
Zn×Zm
Z2 p−−→ Z2 −→ 1,
де σ(α) = (α, (0, 0))— вкладення i p(α, (a1, a2)) = (a1, a2)— про-
екцiя.
2.2. Граф Кронрода-Рiба функцiї f . Нехай f ∈ F(M)—
гладка функцiя i c ∈ R— дiйсне число. Зв’язна компонента C
множини рiвня f−1(c) називається критичною, якщо C мiстить
щонайменше одну критичну точку f . В протилежному випадку
C називається регулярною.
208 Б. Г. Фещенко
Нехай Δ— розбиття M на зв’язнi компоненти множин рiвня
функцiї f . Добре вiдомо,що фактор-простiрM/Δ є 1-вимiрним
CW комплексом i M/Δ називається графом Кронрода-Рiба або,
простiше, KR-графом функцiї f . Ми будемо позначати його че-
рез Γf . Вершинами графу Γf є критичнi компоненти множин
рiвня функцiї f . Нехай pf : M → Γf — проекцiя M на фактор-
простiр Γf = M/Δ.
2.3. Дiя S�(f) на Γf . Нехай f ∈ F(M)— гладка функцiя. За-
значимо, що функцiя f може бути представлена як композицiя
таких вiдображень
f = φ ◦ pf : M
pf−−→ Γf
φ−−→ R.
Припустимо, що h ∈ S�(f). Тодi f ◦ h = f i ми отримуємо, що
h(f−1(c)) = f−1(c) для всiх c ∈ R. Отже, h переставляє зв’язнi
компоненти множин рiвня f , а тому h iндукує гомоморфiзм
ρ(h) KR-графу Γf такий, що дiаграма
M
pf
��
h
��
Γ(f)
φ
��
ρ(h)
��
R
M
pf
�� Γ(f)
φ
�� R
(2.4)
є комутативною. Iншими словами, ми отримуємо гомоморфiзм
ρ : S�(f) → Aut(Γf )
в групу автоморфiзмiв Γf . Нехай G = ρ(S�(f))— образ S�(f) в
Aut(Γf ) вiдносно вiдображення ρ.
Нехай v — вершина Γf i
Gv = {g ∈ G | g(v) = v}
— стабiлiзатор v вiдносно дiї G. Довiльний замкнений зв’язний
Gv-iнварiантний окiл v в Γf , що не мiстить iнших вершин Γf
is будемо називати зiркою вершини v i позначатимемо її через
st(v).
Деформацiї гладких функцiй на 2-торi 209
Множина
Gloc
v = {g|st(v) | g ∈ Gv}
є пiдгрупою в Aut(st(v)), що складається з обмежень елементiв
з Gv на st(v). Ми будемо називати Gloc
v локальним стабiлiза-
тором вершини v вiдносно дiї групи G. Зауважимо, що група
Gloc
v не залежить вiд вибору зiрки st(v). Зокрема, має мiсце
така комутативна дiаграма
S�(f)
ρ
��
pr
��
G �
�
��
r
��
Aut(Γf )
π0S
�(f)
�ρ0
��
ρ0
��
Gloc
v
� � �� Aut(st(v)),
(2.5)
де p— проекцiя, r — вiдображення обмеження на st(v), ρ0 є та-
ким, що ρ = ρ0 ◦ pr i �ρ = r ◦ ρ.
Для функцiй f ∈ F(T 2) на 2-торi T 2 має мiсце така лема.
Лема 2.4 (Утверждение 1, [11]). Нехай f ∈ F(T 2)— гладка
функцiя така, що її КР-граф Γ(f) є деревом. Тодi iснує єдина
вершина v графу Γ(f) така, що кожна компонента доповнення
T 2 \ p−1
f (v) є вiдкритим 2-диском.
Вершина v з леми 2.4 i критична компонента зв’язностi V =
p−1
f (v) рiвня f−1(φ(v)), що вiдповiдає v, будемо називати спе-
цiальними.
Головним результатом роботи є така теорема.
Теорема 2.5. Нехай f ∈ F(T 2)— гладка функцiя така, що Γf
є деревом, i v — спецiальна вершина Γf . Тодi
(1) Gloc
v
∼= Zn × Zmn для деяких m,n ∈ N;
(2) iснують замкненi 2-диски D1, D2, . . . , Dr ⊂ T 2 такi, що
f |Di ∈ F(Di), i = 1, . . . , r, i має мiсце iзоморфiзм
ξ : π1Of (f) ∼=
r�
i=0
π0S
�(f |Di , ∂Di) �
Zn×Zmn
Z2.
210 Б. Г. Фещенко
Зокрема, у випадку коли Gloc
v = 1, ми маємо iзоморфiзм
ξ : π1Of (f) ∼= π0S
�(f)× Z2,
що дає теорему 2 [11].
3. Доведення твердження (1) теореми 2.5
Нехай f ∈ F(T 2)— гладка функцiя така, що її КР-граф є де-
ревом, v — спецiальна вершина графу Γf i V = p−1
f (v)— вiдпо-
вiдна спецiальна критична компонента. Потрiбно довести, що
Gloc
v
∼= Zn × Zmn для деяких m,n ∈ N.
Вiдмiтимо, що з леми 2.4 випливає, що V задає клiткове роз-
биття T 2: 0- та 1-клiтини цього розбиття— це вiдповiдно вер-
шини (тобто критичнi точки f) та ребра V , а 2-клiтини— це
компоненти доповнення T 2 \ V .
З [1, теорема 7.1] випливає, що для кожного h ∈ ker(r ◦ ρ)
виконанi такi умови:
(1) h(e) = e для будь-якої клiтини e,
(2) вiдображення h : e �→ h(e) зберiгає орiєнтацiю клiтин e
розмiрностi dim e ≥ 1.
Нехай h ∈ S�(f)— дифеоморфiзм. Згiдно [2, твердження 5.4],
або всi клiтини є h-iнварiантними, або число iнварiантних клi-
тин автоморфiзму h дорiвнює числу Лефшеця L(h). Оскiль-
ки h— iзотопний тотожному вiдображенню дифеоморфiзм то-
ра T 2, то L(h) = χ(T 2) = 0. Таким чином, «комбiнаторна дiя»
h на множинi клiтин визначається його дiєю на якiй-небудь
фiксованiй 2-клiтинi, тобто дiєю ρ(h) на ребрi st(v).
Тому з результатiв роботи [12] слiдує, що iснує перерiз
s : Gloc
v → S�(f) (3.6)
вiдображення r ◦ ρ такий, що s(Gloc
v ) дiє на T 2 вiльно. Зокрема
фактор-вiдображення q : T 2 → T 2/Gloc
v є накриттям, а отже
T 2/Gloc
v є або тором, або пляшкою Клейна. Але так як Gloc
v -дiя
на T 2 є дiєю групи дифеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю,
Деформацiї гладких функцiй на 2-торi 211
то фактор-простiр T 2/Gloc
v є тором. Зокрема, ми маємо таку
коротку точну послiдовнiсть:
1 −→ π1T
2 q−−→ π1T
2/Gloc
v −→ Gloc
v −→ 1.
Так як q — мономорфiзм, то твердження (1) теореми 2.5 випли-
ває з такої леми:
Лема 3.1. напр. [13, Роздiл E, с. 31] Нехай A та B — вiльнi
абелевi групи рангу 2, i q : A → B — вкладення. Тодi iснують
L,M ∈ A та X,Y ∈ B такi, що A = �L,M�, B = �X,Y � i
q(L) = nX, q(M) = mnY
для деяких n,m ∈ N, зокрема B/A ∼= Zn × Zmn.
4. Доведення твердження (2) теореми 2.5
Крок 1. Вибiр спецiальних твiрних в π1T
2 та π1T
2/Gloc
v .
Зафiксуємо точку y ∈ T 2 i нехай z = q(y) ∈ T 2/Gloc
v . Тодi ми
маємо таку комутативну дiаграму
0 �� π1(T
2, y)
q
�� π1(T
2/Gloc
v , z)
∂ �� Gloc
v
�� 0
0 �� Z2 q
�� Z2 ∂ �� Zn × Zmn
�� 1
де q : Z2 → Z2 та ∂ : Z2 → Zn × Zmn визначаються за форму-
лами
q(λ, µ) = (nλ,mnµ), ∂(x, y) = (x mod n, y mod mn).
Нехай X̂, Ŷ : T 2/Gloc
v × [0, 1] → T 2/Gloc
v — iзотопiї, такi, що
X̂0 = X̂1 = Ŷ0 = Ŷ1 = idT 2/Gloc
v
,
X̂s ◦ Ŷt = Ŷt ◦ X̂s,
для всiх s, t ∈ [0, 1], причому петлi X̂z, Ŷz : I → T 2/Gloc
v , визна-
ченi за формулами X̂z(t) = X̂(z, t) та Ŷz(t) = Y (z, t), представ-
ляють елементи
[X̂z] = (1, 0), [Ŷz] = (0, 1) ∈ Z2 ≡ π1(T
2/Gloc
v , z).
212 Б. Г. Фещенко
Розширимо X̂ та Ŷ до вiдображень
X,Y : T 2/Gloc
v × R → T 2/Gloc
v
за формулами:
X(x, t) = X̂(x, t mod1), Y (x, t) = Ŷ (x, t mod 1).
Нехай L,M : T 2 × R → T 2 — єдинi пiдняття вiдповiдно X та
Y вiдносно q такi, що L та M комутують i L0 = M0 = idT 2 .
Тобто
Xt ◦ q = q ◦ Lt, Yt ◦ q = q ◦Mt.
Нехай s : Gloc
v = Zn × Zmn → S�(f)— перерiз r ◦ ρ, див. (3.6).
Тодi Lt ◦Mt� = Mt� ◦ Lt для всiх t, t� ∈ R i
Lk = s(k mod n, 0), Mk = s(0, k mod mn),
для всiх k ∈ Z. Зокрема,
Lkn = Mkmn = idT 2 , k ∈ Z,
а петлi
Lz : [0, n] → T 2, Mz : [0,mn] → T 2
представляють елементи
[Lz] = (1, 0), [Mz] = (0, 1) ∈ Z2 ≡ π1(T
2, y).
З того, що Gloc
v дiє вiльно на T 2 випливає, що компоненти
зв’язностi T 2 \N можна занумерувати трьома iндексами Dijk
такими, що i = 1, . . . r, j = 0, . . . , n − 1, k = 0, . . . , nm − 1.
Причому, якщо γ = (a, b) ∈ Zn × Zm = Gloc
v , то
γ(Dijk) = Di j+a k+b,
де другий iндекс береться modn, а третiй—modnm.
Покладемо Sijk = π0S
�(f |Dijk
, ∂Dijk) i
S =
r�
i=1
n−1�
j=0
nm−1�
k=0
Sijk.
Деформацiї гладких функцiй на 2-торi 213
Визначимо гомоморфiзм
τ : S → Map(Gloc
v ,
r�
i=1
Si00)
за такою формулою: якщо α = (hijk) ∈ S, то
τ(α) : Zn × Zmn →
r�
i=1
Si00
задається формулою:
τ(α)(a, b) =
�
M−1
k ◦ L−1
j ◦ hijk ◦ Lj ◦Mk, i = 1, . . . , r
�
, (4.7)
для (a, b) ∈ Zn × Zmn ≡ Gloc
v . Легко бачити, що τ є iзоморфi-
змом.
Крок 2. Епiморфiзм ψ : π1(Did(T
2), S�(f)) → π1T
2/Gloc
v . Не-
хай
h : I → Did(T
2)
— петля в Did(T
2) така, що h(0) = h(1) = idT 2 , тобто h є iзо-
топiєю h : T 2 × I → T 2 тора T 2. Нехай x ∈ T 2 — точка. Тодi
hx : {x} × I → T 2 — петля в T 2 з початком в x. Визначимо
вiдображення � : π1Did(T
2) → π1T
2 за формулою:
�([h]) = [hx] ∈ π1T
2.
Вiдомо, що вiдображення � є iзоморфiзмом, див. [14–16].
Лема 4.1. Iснує епiморфiзм ψ : π1(Did(T
2), S�(f)) → π1T
2/Gloc
v
такий, що наступна дiаграма є комутативною
1 �� π1Did(T
2) ��
� ∼=
��
π1(Did(T
2), S�(f)) ��
ψ
��
π0S
�(f) ��
�ρ0
��
1
1 �� π1T
2 q
�� π1T
2/Gloc
v
�� Gloc
v
�� 1
(4.8)
а її рядки — точними.
214 Б. Г. Фещенко
Доведення. Зафiксуємо довiльну вершину z ∈ V i визначимо
вiдображення:
ψ0 : Did(T
2) → T 2/Gloc
v , ψ0(h) = q(h(z)),
для h ∈ Did(T
2), де q : T 2 → T 2/Gloc
v — накриваюче вiдображе-
ння iндуковане вiльною дiєю Gloc
v на T 2. Очевидно, що ψ0 є не-
перервним. Оскiльки Gloc
v -дiя та S�(f)-дiя збiгаються на верши-
нах V , то ψ0(h) належить до Gloc
v -орбiти точки z для h ∈ S�(f).
Тодi вiдображення ψ0 iндукує вiдображення трiйок
ψ0 : (Did(T
2), S�(f), id) → (T 2/Gloc
v , z�, z�), ψ(�h) = q(�h(z)).
Зокрема, ψ0 iндукує гомоморфiзм
ψ : π1(Did(T
2), S�(f), id) → π1(T
2/Gloc
v , z�, z�).
Оскiльки рядки дiаграми (4.8) є точними послiдовностями, вiд-
ображення � є iзоморфiзмом, вiдображення �ρ0 є епiморфiзмом,
то, на пiдставi 5-леми, вiдображення ψ — епiморфiзм. �
Крок 3. Ядро ψ. Нехай f(V ) = c, � > 0 i N — зв’язна компо-
нента f−1([c− �, c+ �]), яка мiстить V . Назвемо N — f -регуляр-
ним околом V . Нагадаємо, що
S�(f,N) := {h ∈ S�(f) | h = idN}.
Наступна лема описує ядро вiдображення ψ.
Лема 4.2. Iснують iзоморфiзми мiж такими п’ятьма гру-
пами:
kerψ
ζ−−→ ker �ρ0 ι←−− π0S
�(f,N)
σ−−→ S
τ−−→ Map(Gloc
v ,
r�
i=1
Si00).
Деформацiї гладких функцiй на 2-торi 215
Доведення. 1) Побудуємо iзоморфiзм ζ : kerψ → ker �ρ0. Роз-
глянемо дiаграму, у якої рядки i стовпчики є точними:
1
��
1
��
π1Did(T
2)
�
∼=
��
��
π1T
2
��
1 �� kerψ ��
ζ ∼=
��
π1(Did(T
2), S�(f))
ψ
��
∂◦λ−1
1
��
π1T
2/Gloc
v
��
��
1
1 �� ker �ρ0 �� π0S
�(f)
�ρ0
��
��
Gloc
v
��
�� 1
1 1
(4.9)
Оскiльки вiдображення �— iзоморфiзм, то, на пiдставi 3 × 3-
леми, [17, Chapter II, Lemma 5.1], гомоморфiзм ζ = ∂ ◦λ−1
1 |kerψ
є iзоморфiзмом.
2) Вiдмiтимо, що має мiсце iзоморфiзм
σ : S�(f,N) ∼=
�
i,j,k
S�(f |Dijk
, ∂Dijk), σ(h) = (h|Dijk
)i,j,k,
який iндукує iзоморфiзм
σ : π0S
�(f,N) ∼=
r�
i=1
n−1�
j=0
nm−1�
k=0
Sijk = S.
3) Досить показати, що вкладення ι : S�(f,N) → ker(r ◦ ρ) є
гомотопiчною еквiвалентнiстю. Тодi воно iндукуватиме iзомор-
фiзм
ι : π0S
�(f,N) → π0 ker(r ◦ ρ) = ker �ρ0.
Покажемо, що iснує iзотопiя H : ker r ◦ ρ× I → ker(r ◦ ρ) така,
що виконуються наступнi умови:
216 Б. Г. Фещенко
(i) H0 = id,
(ii) Ht(S
�(f,N)) ⊂ S�(f,N) для всiх t ∈ I,
(iii) H1(ker(r ◦ ρ)) ⊂ S�(f,N).
Нехай F — гамiльтонове векторне поле функцiї f ∈ F(T 2),
F : T 2×R → T 2 — потiк поля F , i N , N � — f -регулярнi околи V
такi, що N ⊂ IntN �. Для кожної функцiї γ : T 2 → R визначимо
вiдображення Fγ : T 2 → T 2 за такою формулюю:
Fγ(x) = F(x, γ(x)).
З [2, Claim 1], випливає, що для кожного h ∈ ker(r ◦ ρ) iснує
єдина гладка функцiя βh ∈ C∞(N �,R) така, що h = Fβh
на N �,
тобто
h(x) = F(x, βh(x)), x ∈ N �,
причому вiдображення
�s : ker(r ◦ ρ) → C∞(N �,R), �s(h) = βh.
є неперервним вiдносно вiдповiдних C∞-топологiй. Бiльш того,
якщо h— нерухомий на N , то βh = 0 на N .
Продовжимо функцiю βh до гладкої функцiї αh ∈ C∞(T 2,R)
такої, що αh|N = βh i αh = 0 на T 2\N � наступним чином. Нехай
ε : T 2 → [0, 1]— гладка функцiя на T 2 така, що
(1) ε є постiйною на орбiтах F;
(2) ε = 1 на N ;
(3) ε = 0 на T 2 \N �.
Покладемо: αh = εβh на N � i αh = 0 на T 2 \ N �. Очевидно,
що тодi вiдповiднiсть h �→ αh є неперервним вiдображенням
α : ker(r ◦ ρ) → C∞(T 2,R). Бiльш того, з умови (1) на ε ви-
пливає, що вiдображення Ftαh
: T 2 → T 2, визначене за фор-
мулою Ftαh
(x) = F(x, tαh), є дифеоморфiзмом для всiх t ∈ I,
див. [1, Claim 4.14.1]. А з умов (2) та (3) слiдує, що
F(x,αh(x)) =
�
h(x), x ∈ N,
x, x ∈ T 2 \N �.
Деформацiї гладких функцiй на 2-торi 217
Визначимо iзотопiю H : ker(r ◦ρ)× I → ker(r ◦ρ) за формулою:
H(h, t) = h ◦ F−1
tαh
i покажемо, що H задовольняє умовам (i)-(iii).
(i) H0(h) = h ◦ F−1
0 = h, тобто H0 = id(ker(r ◦ ρ)).
(ii) Припустимо, що h ∈ S�(f,N). Тодi βh = tαh = 0 на N , а
отже Ftαh
|N = idN для всiх t ∈ I. Зокрема,
Ht(h)|N = h|N = idN .
(iii) H1(h)|N = h ◦ F−1
αh
|N = h ◦ h−1|N = idN .
Лему 4.2 доведено. �
Крок 4. Визначимо вiдображення
ξ : Map(Gloc
v ,
r�
i=1
Si00)� π1(T
2/Gloc
v ) → π1
�
Did(T
2), S�(f), idT 2
�
.
за такою формулою. Нехай α : Zn×Zmn ≡ Gloc
v −→ �r
i=1 Si00 —
довiльне вiдображення. Для кожної трiйки (i, j, k) виберемо
hijk ∈ S�(f |Di00 , ∂Di00) такий, щоб
α(i, j) =
�
[h1jk], [h2jk], . . . , [hrjk]
�
i нехай htijk : Di00 → Di00, t ∈ [0, 1], — довiльна iзотопiя мiж
h0ijk = idDi00 та h1ijk = hijk. Визначимо вiдображення
h : (I, 0, 1) →
�
Did(T
2), S�(f), idT 2
�
за формулою:
h(t)(x) =
�
Mk+at ◦ Lj+bt ◦ htijk ◦ L−1
j ◦M−1
k (x), x ∈ Dijk,
MatLbt(x), x ∈ N.
Легко бачити, що h визначено коректно. Покладемо
ξ(α, (a, b)) = [h] ∈ π1
�
Did(T
2), S�(f), idT 2
�
.
Також не важко перевiрити, що ξ є гомоморфiзмом. Бiльш то-
го, з леми 4.2 та формули (4.7) для τ випливає, що наступна
дiаграма є комутативною:
218 Б. Г. Фещенко
1
��
1
��
Map(Gloc
v ,
r�
i=1
Si00)
��
∼=
(τ◦σ◦ι−1◦ζ)−1
�� kerψ
��
Map(Gloc
v ,
r�
i=1
Si00)� π1(T
2/Gloc
v )
pr
��
ξ
�� π1(Did(T
2), S�(f))
ψ
��
π1(T
2/Gloc
v )
��
π1(T
2/Gloc
v )
��
1 1
Тому за 5-лемою ξ є iзоморфiзмом. Теорему 2.5 доведено.
Автор щиро вдячний С. I. Максименку за увагу та обгово-
рення складних питань, що виникали пiд час роботи.
Лiтература
[1] Maksymenko Sergiy. Homotopy types of stabilizers and orbits
of Morse functions on surfaces // Ann. Global Anal. Geom. —
2006. — 29, 3. — P. 241–285.
[2] Maksymenko Sergiy. Functions with isolated singularities on
surfaces // Geometry and topology of functions on manifolds.
Pr. Inst. Mat. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Zastos. — 2010. —
7, 4. — P. 7–66.
[3] Максименко С. И. Гомотопические свойства правых стаби-
лизаторов и орбит гладких функцый на поверхностях //
Укр. мат. журн. — 2012. — 64, 9. —С. 1186–1203.
[4] Hatcher Allen. Algebraic topology. — Cambridge : Cambridge
University Press, 2002.
Деформацiї гладких функцiй на 2-торi 219
[5] Maksymenko Sergiy. Functions on surfaces and incompressi-
ble subsurfaces // Methods Funct. Anal. Topology. — 2010. —
16, 2. — P. 167–182.
[6] Maksymenko Sergiy. Deformations of functions on surfaces by
isotopic to the identity diffeomorphisms // arXiv:1311.3347.
[7] Maksymenko Sergiy. Finiteness of homotopy types of right
orbits of Morse functions on surfaces // arXiv:1409.4319.
[8] Maksymenko Sergiy. Structure of fundamental groups of orbits
of smooth functions on surfaces // arXiv:1408.2612.
[9] Maksymenko Sergiy, Feshchenko Bogdan. Orbits of smooth
functions on 2-torus and their homotopy types //
Matematychni Studii. — 2015. — 44, 1. — P. 67–84.
[10] Maksymenko Sergiy, Feshchenko Bohdan. Smooth functions
on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph contains a cycle //
Methods Funct. Anal. Topology. — 2015. — 21, 1. — P. 22–40.
[11] Максименко С. И., Фещенко Б. Г. Гомотопические свой-
ства пространств гладких функций на 2-торе // Укр. мат.
журн. — 2014. — 66, 9. —С. 1205–1212.
[12] Feshchenko Bohdan. Free actions of finite groups and smooth
function on surfaces // to appear.
[13] Понтрягин Л. С. Непрерырвные группы. 3-е изд., испр. —
М.: Наука„ 1973. — P. 519.
[14] Earle C. J., Eells J. A fibre bundle description of Teichmüller
theory // J. Differential Geometry. — 1969. — 3. — P. 19–43.
[15] Earle C. J., Schatz A. Teichmüller theory for surfaces with
boundary // J. Differential Geometry. — 1970. — 4. — P. 169–
185.
[16] Gramain André. Le type d’homotopie du groupe des di-
fféomorphismes d’une surface compacte // Ann. Sci. École
Norm. Sup. (4). — 1973. — 6. — P. 53–66.
[17] Mac Lane Saunders. Homology. Classics in Mathematics. —
Springer-Verlag, Berlin, 1995. — P. x+422. — ISBN: 3-540-
58662-8. — Reprint of the 1975 edition.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-150 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:04Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e1/56370945f1b5de64282106a906e569e1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1502018-01-23T11:58:55Z Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree Деформацiї гладких функцiй на 2-торi, у яких граф Кронрода-Рiба є деревом Feshchenko, B. G. Фещенко, Б. Г. Нехай $f:T^2\to \mathbb{R}$ -- функція Морса на $2$-торі $T^2$, $X$ -- замкнена (можливо порожня) підмножина в $T^2$і $\mathcal{S}(f,X),$ $\mathcal{O}(f,X)$ -- відповідно стабілізатор і орбіта функції $f$ відносно правої дії групи дифеоморфізмів $\mathcal{D}(T^2,X)$ нерухомих на $X.$ Нехай $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2,X)$ -- зв'язна компонента $\mathcal{D}(T^2,X)$, що містить $\mathrm{id}$ і $\mathcal{O}_f(f,X)$ -- зв'язна компонента $\mathcal{O}(f,X)$, що містить $f.$ Покладемо $\mathcal{S}'(f,X) = \mathcal{S}(f)\cap\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2,X).$ Припустимо що функція $f$ є такою, що її граф Кронрода--Ріба є деревом.Тоді існує множина $2$-дисків $\{D_i\}_{i = 0}^r\subset T^2$ та сталі$n,m\in\mathbb{N}$ такі, що має місце ізоморфізм$\pi_1\mathcal{O}_f(f)\cong \prod_{i = 0}^r \pi_0\mathcal{S}'(f|_{D_i},\partial D_i)\underset{\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_{nm}}{\wr}\mathbb{Z}^2,$де $A\underset{\mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_{nm}}{\wr}\mathbb{Z}^2$ -- вінцевий добуток $A$ і $\mathbb{Z}^2$ над $\mathbb{Z}_n\times \mathbb{Z}_{nm}.$Цей результат має місце для більшого класу гладкий функцій $f:T^2\to \mathbb{R}$ які мають таку властивість:для кожної критичної точки $z$ функції $f$ паросток $f$ в $z$ є гладко еквівалентним однорідному многочлену $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ без кратних коренів. Інститут математики НАН України 2015-12-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/150 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 6 (2015): Topology of maps on low-dimensional manifolds; 204-219 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 204-219 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 204-219 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/150/248 Авторське право (c) 2015 Б. Г. Фещенко |
| spellingShingle | Feshchenko, B. G. Фещенко, Б. Г. Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree |
| title | Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree |
| title_alt | Деформацiї гладких функцiй на 2-торi, у яких граф Кронрода-Рiба є деревом |
| title_full | Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree |
| title_fullStr | Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree |
| title_full_unstemmed | Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree |
| title_short | Deformations of smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph is a tree |
| title_sort | deformations of smooth functions on 2-torus whose kronrod-reeb graph is a tree |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/150 |
| work_keys_str_mv | AT feshchenkobg deformationsofsmoothfunctionson2toruswhosekronrodreebgraphisatree AT feŝenkobg deformationsofsmoothfunctionson2toruswhosekronrodreebgraphisatree AT feshchenkobg deformaciígladkihfunkcijna2toriuâkihgrafkronrodaribaêderevom AT feŝenkobg deformaciígladkihfunkcijna2toriuâkihgrafkronrodaribaêderevom |