Software for reducing a matrix to Arnold’s normal form by smooth similarity transformations
V.I.Arnold (1971) constructed a miniversal deformation of each Jordan matrix $J$; that is, a simple normal form to which all matrices $A$ close to $J$ can be reduced by similarity transformations that smoothly depend on the entries of $A$. We describe a software for reducing a matrix in an neighborh...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/151 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552672271269888 |
|---|---|
| author | Klymenko, O. M. Blazhko, I. O. Кублицький, Д. О. Skydan, D. O. Yashchuk, S. M. Клименко, О. М. Блажко, І. О. Кублицький, Д. О. Скидан, Д. О. Ящук, С. М. |
| author_facet | Klymenko, O. M. Blazhko, I. O. Кублицький, Д. О. Skydan, D. O. Yashchuk, S. M. Клименко, О. М. Блажко, І. О. Кублицький, Д. О. Скидан, Д. О. Ящук, С. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. М. Клименко",
"institution": null
},
{
"author": "І. О. Блажко",
"institution": null
},
{
"author": "Д. О. Кублицький",
"institution": null
},
{
"author": "Д. О. Скидан",
"institution": null
},
{
"author": "С. М. Ящук",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Klymenko, O. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T11:58:55Z |
| description | V.I.Arnold (1971) constructed a miniversal deformation of each Jordan matrix $J$; that is, a simple normal form to which all matrices $A$ close to $J$ can be reduced by similarity transformations that smoothly depend on the entries of $A$. We describe a software for reducing a matrix in an neighborhood of $J$ to Arnold's normal form by smooth similarity transformations and calculating the transforming matrix. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2015, т.12, №6, 220-223
О. М. Клименко, I. О. Блажко,
Д. О. Кублицький, Д. О. Скидан, С. М. Ящук
Нацiональний технiчний унiверситет України «КПI», Київ
e.n.klimenko@gmail.com, iob.veritas@gmail.com,
deniskublitskiy@gmail.com, skidan13@gmail.com,
serg.yaschuk@gmail.com
Програма для зведення матрицi
до нормальної форми Арнольда
вiдносно гладких перетворень
подiбностi
V. I. Arnold (1971) constructed a miniversal deformation of each Jordan
matrix J ; that is, a simple normal form to which all matrices A close to J
can be reduced by similarity transformations that smoothly depend on the
entries of A. We describe a software for reducing a matrix in an neighbor-
hood of J to Arnold’s normal form by smooth similarity transformations
and calculating the transforming matrix.
Нехай J = Jλ1 ⊕ · · ·⊕ Jλt —жорданова матриця, в якiй
Jλi
:= Jmi1(λi)⊕ · · ·⊕ Jmiri
(λi), mi1 ≥ mi2 ≥ · · · ≥ miri , (1)
Jmij (λi)— клiтка Жордана розмiру mij×mij з власним числом
λi та одиницями над дiагоналлю, λi �= λj якщо i �= j.
В. I. Арнольд [1] довiв, що всi матрицi J + X, що є доста-
тньо близькими до J , можуть бути одночасно зведенi деякими
перетвореннями
J +X �→ S(X)−1(J +X)S(X),
S(X) аналiтична
в 0 та S(0) = I,
(2)
© О. М. Клименко, I. О. Блажко,
Д. О. Кублицький, Д. О. Скидан, С. М. Ящук, 2015
Програма для зведення матрицi до нормальної форми . . . 221
до форми J +D :=
t�
i=1
Jmi1(λi) + 0↓ 0↓ . . . 0↓
0← Jmi2(λi) + 0↓ · · ·
...
... · · · · · · 0↓
0← . . . 0← Jmiri
(λi) + 0↓
, (3)
0← :=
∗ 0 . . . 0
...
...
...
∗ 0 . . . 0
та 0↓ :=
0 · · · 0
...
...
0 · · · 0
∗ · · · ∗
,
де зiрочки замiнюються комплексними числами, що залежать
аналiтично вiд елементiв X. Кiлькiсть зiрочок— мiнiмальна,
яка може бути отримана перетвореннями форми (2), вона до-
рiвнює корозмiрностi класу подiбностi матрицi J .
Матриця (3) з незалежними параметрами замiсть зiрочок
називається мiнiверсальною деформацiєю матрицi J .
О. М. Клименко та В. В. Сергейчук [2] побудували алгоритм,
який зводить сiм’ю матриць до нормальної форми Арнольда
вiдносно подiбностi i будує перетворюючу матрицю S(X). На-
ми було реалiзовано цей алгоритм за допомогою мови програ-
мування C++.
Наша комп’ютерна програма складається з двох пiдпрограм.
В першiй пiдпрограмi ми зводимо задачу до випадку матрицi
J з єдиним власним числом i в другiй пiдпрограмi розглядаємо
цей випадок. Ми опишемо тiльки першу пiдпрограму, бо вона
реалiзує алгоритм, який вiдрiзняється вiд алгоритму з [2].
1) Вхiдними даними пiдпрограми є:
• n— натуральне число;
• J = Jλ1⊕· · ·⊕Jλt (t ≥ 2, див. (1)) i X — матрицi розмiру
n× n;
222 О. М. Клименко та iн.
• ε— мале дiйсне число для контролю значень матрицi X,
елементи якої не можуть перевищувати ε;
• µ — мале дiйсне число, що задає точнiсть обчислень.
2) Перевiряємо, чи дiйсно елементи матрицi X не перевищу-
ють ε.
3) Зображуємо матрицю J +X у виглядi
J +X =
�
A1 C1
C2 A2
�
,
де A1 := Jλ1 +X1 (див. (1)).
4) Розв’язуємо рiвняння Сильвестра A1Z + ZA2 = C1 за до-
помогою MatLab. Нехай його рiшенням буде Z1. Будуємо ма-
трицю
S1 = In +
�
0 Z1
0 0
�
.
5) Знаходимо матрицю
J +X1 := S−1
1 (J +X)S1 =
�
A�
1 C �
1
C2 A�
2
�
.
Перевiряємо, чи будуть елементи матрицi C �
1 меншими за за-
дане µ. Якщо нi, то проводимо цi iтерацiї до тих пiр, поки не
досягнемо заданої точностi µ. В результатi отримаємо
J +X � =
�
B1 0
C2 B2
�
.
6) Розв’язуємо рiвняння Сильвестра B2Z+ZB1 = C2. Нехай
його рiшенням буде Z2. Будуємо матрицю
S2 = In +
�
0 0
Z2 0
�
.
7) Знаходимо матрицю
J +X �
1 := S−1
2 (J +X �)S2 =
�
B1 0
C �
2 B2
�
.
Програма для зведення матрицi до нормальної форми . . . 223
Перевiряємо, чи будуть елементи матрицi C �
2 меншими за за-
дане µ. Якщо нi, то проводимо цi iтерацiї до тих пiр поки не
досягнемо заданої точностi µ. В результатi отримаємо
J +X �� =
�
B1 0
0 B2
�
.
8) Якщо t ≥ 3, то таким же чином приводимо B2 i так далi,
поки не отримаємо блочно-дiагональну матрицю
J + Y = (Jλ1 + Y1)⊕ · · ·⊕ (Jλt + Yt).
Лiтература
[1] Арнольд В. И. О матрицах, зависящих от параметров //
Успехи матем. наук. — 1971. — 26, 2 (158). —С. 101–114.
[2] Klimenko L., Sergeichuk V. V. An informal introduction
to perturbations of matrices determined up to similarity or
congruence // São Paulo J. Math. Sci. — 2014. — 8. — P. 1–22.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-151 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:09Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/84/922d003f4b0bb55bf7c0524743f3a984.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1512018-01-23T11:58:55Z Software for reducing a matrix to Arnold’s normal form by smooth similarity transformations Програма для зведення матрицi до нормальної форми Арнольда вiдносно гладких перетворень подiбностi Klymenko, O. M. Blazhko, I. O. Кублицький, Д. О. Skydan, D. O. Yashchuk, S. M. Клименко, О. М. Блажко, І. О. Кублицький, Д. О. Скидан, Д. О. Ящук, С. М. V.I.Arnold (1971) constructed a miniversal deformation of each Jordan matrix $J$; that is, a simple normal form to which all matrices $A$ close to $J$ can be reduced by similarity transformations that smoothly depend on the entries of $A$. We describe a software for reducing a matrix in an neighborhood of $J$ to Arnold's normal form by smooth similarity transformations and calculating the transforming matrix. Інститут математики НАН України 2015-12-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/151 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 6 (2015): Topology of maps on low-dimensional manifolds; 220-223 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 220-223 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 220-223 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/151/249 Авторське право (c) 2015 О. М. Клименко, І. О. Блажко, Д. О. Кублицький, Д. О. Скидан, С. М. Ящук |
| spellingShingle | Klymenko, O. M. Blazhko, I. O. Кублицький, Д. О. Skydan, D. O. Yashchuk, S. M. Клименко, О. М. Блажко, І. О. Кублицький, Д. О. Скидан, Д. О. Ящук, С. М. Software for reducing a matrix to Arnold’s normal form by smooth similarity transformations |
| title | Software for reducing a matrix to Arnold’s normal form by smooth similarity transformations |
| title_alt | Програма для зведення матрицi до нормальної форми Арнольда вiдносно гладких перетворень подiбностi |
| title_full | Software for reducing a matrix to Arnold’s normal form by smooth similarity transformations |
| title_fullStr | Software for reducing a matrix to Arnold’s normal form by smooth similarity transformations |
| title_full_unstemmed | Software for reducing a matrix to Arnold’s normal form by smooth similarity transformations |
| title_short | Software for reducing a matrix to Arnold’s normal form by smooth similarity transformations |
| title_sort | software for reducing a matrix to arnold’s normal form by smooth similarity transformations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/151 |
| work_keys_str_mv | AT klymenkoom softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT blazhkoio softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT kublicʹkijdo softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT skydando softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT yashchuksm softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT klimenkoom softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT blažkoío softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT kublicʹkijdo softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT skidando softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT âŝuksm softwareforreducingamatrixtoarnoldsnormalformbysmoothsimilaritytransformations AT klymenkoom programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti AT blazhkoio programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti AT kublicʹkijdo programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti AT skydando programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti AT yashchuksm programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti AT klimenkoom programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti AT blažkoío programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti AT kublicʹkijdo programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti AT skidando programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti AT âŝuksm programadlâzvedennâmatricidonormalʹnoíformiarnolʹdavidnosnogladkihperetvorenʹpodibnosti |