Inequalities for internal radii of mutually non-overlapping domains
Extremal Problems of Geometric Function Theory associated with estimates for functionals, defined on systems of non-overlapping domains, are investigated.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Author Affiliations: | |
| Keywords: | keywords |
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/152 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552670672191488 |
|---|---|
| author | Bakhtin, A. K. Vjun, V. E. Targonskii, A. L. Бахтин, А. К. Вьюн, В. Е. Таргонский, А. Л. |
| author_facet | Bakhtin, A. K. Vjun, V. E. Targonskii, A. L. Бахтин, А. К. Вьюн, В. Е. Таргонский, А. Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bakhtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | Extremal Problems of Geometric Function Theory associated with estimates for functionals, defined on systems of non-overlapping domains, are investigated. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 38–46
УДК 517.54
A.К. Бахтин1, В. Е. Вьюн2,
А.Л. Таргонский3
1 , 2(Институт математики НАН Украины, Киев)
3 (Житомирский государственный университет имени Ивана
Франко, Житомир)
1 alexander.bahtin@yandex.ru, 2 vvikev@mail.ru,
3 targonsk@zu.edu.ua
Неравенства для внутренних
радиусов взаимно непересекающихся
областей
В работе исследуются экстремальные задачи геометрической теории
функций комплексного переменного, связанные с оценками функцио-
налов, заданных на системах непересекающихся областей.
Extremal Problems of Geometric Function Theory associated with
estimates for functionals, defined on systems of non-overlapping domains,
are investigated.
В 1994 году в работе [1] была сформулирована одна открытая экс-
тремальная проблема о неналегающих областях со свободными полю-
сами. Эта задача вызвала большой интерес и изучалась во многих
работах (см., например, [2 – 9]). В данный момент по этой пробле-
ме известны лишь частичные результаты, в целом же она не решена.
Данная работа посвящена изучению этой задачи.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Неравенства для внутренних радиусов . . . 39
Пусть N, R — множество натуральных и вещественных чисел, соот-
ветственно, C — комплексная плоскость, C = C
∪
{∞} — ее одноточеч-
ная компактификация, R+ = (0,∞). Пусть r(B, a) — внутренний ради-
ус области B ⊂ C, относительно точки a ∈ B (см., например, [1,4,12]).
Обозначим αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1, k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2.
В данной работе исследуется функционал следующего вида
Jn(γ) = rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (1)
где γ ∈ R+, An = {ak}nk=1 – система точек, расположенная на единич-
ной окружности, a0 = 0, {Bk}nk=0 – система неналегающих областей
(то есть Bp ∩Bj = Ø при p ̸= j) таких, что ak ∈ Bk при k = 0, n.
Теорема 1. Пусть n ∈ N, n > 8, γ ∈ (0, γn], γn = n0,42. Тогда для лю-
бой системы различных точек единичной окружности An = {ak}nk=1
и любого набора взаимно неналегающих областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C,
a0 = 0 ∈ B0, (k = 1, n), справедливо неравенство
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6 rγ (D0, 0)
n∏
k=1
r (Dk, dk) , (2)
где Dk, dk, k = 0, n, d0 = 0, — круговые области и полюсы квадратич-
ного дифференциала
Q(w)dw2 = − (n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай γ = n0,42. Задача об
изучении функционала (1) рассматривалась в [2,3,5,8]. Следуя методу
работы [4, с.255], имеем
Jn(γ) =
n∏
k=1
[r(B0, 0)r(Bk, ak)]
γ
n
[
n∏
k=1
r(Bk, ak)
]1− γ
n
.
Проводя рассуждения, как и в работах [4, с. 256], [7, 8], получаем
Jn(γ) 6
[
2nα0
(
2− α0
n− 1
)n−1
]1− γ
n
,
40 A.К. Бахтин, В.Е. Вьюн, А.Л. Таргонский
где α0 = max
k
αk, причем α0 > 2√
γ . С другой стороны, известно (см.
[3, 4]), что
J0
n(γ) =
(
4
n
)n
·
(
4γ
n2
) γ
n(
1− γ
n2
)n+ γ
n
·
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)2
√
γ
.
Рассмотрим величину On(γ) = Jn(γ)/J
0
n(γ) при α0
√
γ > 2. Выпол-
нив несложные преобразования, получаем
On(γ) 6
[n
4
]γ+1
·
[
1− 1
√
γ
]n−1−γ n−1
n
·
(
n
γ
) γ
n
·
(
1− γ
n2
)n+ γ
n ×
×
(
1 +
√
γ
n
1−
√
γ
n
)2
√
γ
·
(
4
√
γ
)1− γ
n
·
(
n
n− 1
)n−1−γ n−1
n
.
Оценку значения On(γ) проводим по схеме, изложенной в [4, с. 255–
259], [8]. Рассмотрим сначала величину On(γ) для значения γ = n0,42.
В этом случае получаем
On(n
0,42) 6
6∏
k=1
yk(n),
где
y1(n) =
(n
4
)n0,42+1 (
1− n−0,21
)n−1− n−1
n0,58 , y2(n) =
(
n0,58
)n−0,58
,
y3(n) =
(
1− n−1,58
)n+n−0,58
, y4(n) =
(
1 + n−0,79
1− n−0,79
)2n0,21
,
y5(n) =
(
4
n0,21
)1−n−0,58
, y6(n) =
(
n
n− 1
)n−1− n−1
n0,58
.
Оценим отдельно каждый из множителей yk(n), k = 1, 6. Для функции
y1(n) справедливо следующее соотношение
ln y1(n) = (n0,42 + 1) ln
(n
4
)
+
(
n− 1− n− 1
n0,58
)
ln
(
1− n−0,21
)
.
Неравенства для внутренних радиусов . . . 41
Так как ln
(
n
4
)
6 1, 05 4
√
n при n ∈ N, тогда
ln y1(n) 6
(
n0,42 + 1
)
1, 05 4
√
n+
(
n− 1− n− 1
n0,58
)
ln
(
1− n−0,21
)
.
При 0 < x < 1 справедливо неравенство
ln(1− x) = −x− x2
2
− x3
3
− · · · − xn
n
− · · · < −x− x2
2
− x3
3
.
Отсюда следует соотношение
ln y1(n) 6
(
n0,42 + 1
)
1, 05 4
√
n+
(
n− 1− n0,42 + n−0,58
)
×
×
(
−n−0,21 − n−0,42
2
− n−0,63
3
)
=
=
(
n0,42 + 1
)
1, 05 4
√
n− n0,79(1− n−1 − n−0,58 + n−1,58)×
×
(
1 +
n−0,21
2
+
n−0,42
3
)
,
Стандартными методами показываем, что функция
φ(x) =
(
x0,42 + 1
)
1, 05 4
√
x− x0,79
(
1− x−1 − x−0,58 + x−1,58
)
монотонно убывает на промежутке x ∈ [15,∞). Понятно, что функ-
ция ln y1(n) также будет убывать на промежутке n ∈ [15,∞). То есть,
справедливо соотношение y1(n) < y1(30) ≈ 0, 030797, n > 30.
Далее, аналогично рассматриваем функцию y2(x) =
(
x0,58
)x−0,58
.
Она убывает на промежутке x ∈ [8,∞) (см. рис. 1). Таким образом,
y2(x) < 1, 434855, x > 8. Отсюда y2(n) < 1, 434855, n > 8.
Очевидно, что y3(n) =
(
1− n−1,58
)n+n−0,58
< 1, n > 2 (см. рис. 2).
Рассмотрим функцию y4(n). Представим ее следующим образом
y4(n) =
(
1 + n−0,79
)n0,79n−0,792n0,21 (
1− n−0,79
)(−n0,79)(n−0,79)2n0,21
.
Поскольку
(
1 + n−0,79
)n0,79
< e при n ∈ N, а
(
1− n−0,79
)−n0,79
< 3 при
n > 10, тогда
y4(n) 6 (3e)2n
−0,58
∀n > 10.
42 A.К. Бахтин, В.Е. Вьюн, А.Л. Таргонский
Рис. 1: График функции y2(x)
Рис. 2: График функции y3(x)
Таким образом, y4(n) убывает на всей области определения и y4(n) <
y4(30) ≈ 1, 791240, n > 30. (см. рис. 3).
Исследуя функцию y5(x) =
(
4
x0,21
)1−x−0,58
по стандартной схеме
получаем, что она убывает на промежутке x ∈ [10,∞) (см. рис. 4).
Таким образом, y5(n) < y5(30) ≈ 1, 783494, n > 30.
Для функции y6(n) справедливо следующее соотношение
y6(n) =
(
n
n− 1
)n−1− n−1
n0,58
<
(
1 +
1
n− 1
)n−1
< e, n > 10
(см. рис. 5).
Неравенства для внутренних радиусов . . . 43
Рис. 3: График функции y4(x)
Рис. 4: График функции y5(x)
Тогда, суммируя все выше сказанное, имеем
On(n
0,42) 6
6∏
k=1
yk(n) < 0, 4 < 1 для n > 30.
Выполняя непосредственные вычисления On(γ), получаем, что
On
(
n0,42
)
< 1 при n = 8, 29 (см. таблицу ниже).
44 A.К. Бахтин, В.Е. Вьюн, А.Л. Таргонский
Рис. 5: График функции y6(x)
n On(n
0,42) n On(n
0,42) n On(n
0,42)
7 1,013228 15 0,232953 23 0,052353
8 0,848099 16 0,193299 24 0,043455
9 0,707643 17 0,160382 25 0,036073
10 0,589268 18 0,133067 26 0,029949
11 0,490055 19 0,110406 27 0,024868
12 0,407193 20 0,091607 28 0,020652
13 0,338146 21 0,076014 29 0,017153
14 0,280698 22 0,063081 30 0,014249
Пусть теперь γ ∈ (1;n0,42 ]. Аналогично работам [7, 8] показываем,
что Jn(γ) < J0
n(γ) при γ ∈ (1, n0,42 ], α0
√
γ > 2, n > 8. А это означает,
что при данных значениях параметров нет экстремальных конфигу-
раций. Остается исследовать случай α0
√
γ < 2. Следуя работам [2, 3],
введем функцию
S(x) = 2x
2+6 · xx2
· (2− x)−
1
2 (2−x)2 · (2 + x)−
1
2 (2+x)2 , x ∈ [0, 2],
и, используя результаты [4,5], имеем неравенство
Jn(γ) 6 γ−n
2
(
n∏
k=1
αk
√
γ
)[
n∏
k=1
S (αk
√
γ)
] 1
2
= γ−n
2
[
n∏
k=1
P (αk
√
γ)
] 1
2
,
где
P (x) = 2x
2+6 · xx2+2 · (2− x)−
1
2 (2−x)2 · (2 + x)−
1
2 (2+x)2 , x ∈ [0, 2].
Неравенства для внутренних радиусов . . . 45
Далее, применяя рассуждения работы [3], получаем утверждение тео-
ремы 1, то есть тот факт, что для экстремального набора
{
x
(0)
k
}n
k=1
возможен только случай x
(0)
k ∈ (0, x0], x0 ≈ 1, 324661, k = 1, n и
x
(0)
1 = · · · = x
(0)
n . Окончательно имеем соотношение
Jn(γ) 6 γ−n
2
[
P
(
2
n
√
γ
)]n/2
.
Используя конкретное выражение для P (x) и несложные преобразо-
вания, получаем неравенство (2). Реализация знака равенства прове-
ряется непосредственно. Теорема 1 доказана.
Список литературы
[1] Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функ-
ций комплексного переменного // Успехи мат. наук. — 1994. — 49, № 1
(295). — С. 3 – 76.
[2] Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экс-
тремальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. Ин-та
АН СССР. — 1988. — 168. — С. 48 – 66.
[3] Ковалев Л.В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными по-
люсами на окружности // Дальневост. мат. сб. — 1996. — 2. — С. 96 – 98.
[4] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-
алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном
анализе // Працi Iн-ту мат-ки НАН України. — 2008. — Т.73. — 308 с.
[5] Денега И.В. Квадратичные дифференциалы и разделяющее преобразо-
вание в экстремальных задачах о неналегающих областях // Доп. НАН
України. — 2012. — №4. — С. 15 – 19.
[6] Кузьмина Г.В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сфе-
ры // Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2001. — 276. — С. 253 – 275.
[7] Заболотний Я.В. Застосування роздiляючого перетворення в однiй за-
дачi про неперетиннi областi // Доп. НАН України. — 2011. — №9. —
С. 11 – 14.
[8] Бахтин А.К., Денега И.В. Об одной проблеме В.Н. Дубинина // Зб.
праць Iн-ту матем. НАН України. — 2013. — 10, №4-5. — C. 401 – 411.
[9] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Подвисоцкий Р.В. Неравенства для внут-
ренних радиусов неналегающих областей // Доп. НАН України. —
2009. — №9. — С. 7 – 11.
46 A.К. Бахтин, В.Е. Вьюн, А.Л. Таргонский
[10] Дубинин В.Н., Кириллова Д.А. Некоторые применения экстремальных
разбиений в геометрической теории функций // Дальневост. матем.
журн. — 2010. — 10. — №2. — С. 130 – 152.
[11] Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР. — 1934. — 5. — С. 159 – 245.
[12] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного перемен-
ного. — М: Наука, 1966. — 628 с.
[13] Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображе-
ния. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 256 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-152 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:08Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a2/e557f44f3b9efdc096b25fcc41592da2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1522018-01-23T12:10:05Z Inequalities for internal radii of mutually non-overlapping domains Неравенства для внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей Bakhtin, A. K. Vjun, V. E. Targonskii, A. L. Бахтин, А. К. Вьюн, В. Е. Таргонский, А. Л. Extremal Problems of Geometric Function Theory associated with estimates for functionals, defined on systems of non-overlapping domains, are investigated. В работе исследуются экстремальные задачи геометрической теории функций комплексного переменного, связанные с оценками функционалов, заданных на системах непересекающихся областей Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/152 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 38–46 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 38–46 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 38–46 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/152/122 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Bakhtin, A. K. Vjun, V. E. Targonskii, A. L. Бахтин, А. К. Вьюн, В. Е. Таргонский, А. Л. Inequalities for internal radii of mutually non-overlapping domains |
| title | Inequalities for internal radii of mutually non-overlapping domains |
| title_alt | Неравенства для внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей |
| title_full | Inequalities for internal radii of mutually non-overlapping domains |
| title_fullStr | Inequalities for internal radii of mutually non-overlapping domains |
| title_full_unstemmed | Inequalities for internal radii of mutually non-overlapping domains |
| title_short | Inequalities for internal radii of mutually non-overlapping domains |
| title_sort | inequalities for internal radii of mutually non-overlapping domains |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/152 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak inequalitiesforinternalradiiofmutuallynonoverlappingdomains AT vjunve inequalitiesforinternalradiiofmutuallynonoverlappingdomains AT targonskiial inequalitiesforinternalradiiofmutuallynonoverlappingdomains AT bahtinak inequalitiesforinternalradiiofmutuallynonoverlappingdomains AT vʹûnve inequalitiesforinternalradiiofmutuallynonoverlappingdomains AT targonskijal inequalitiesforinternalradiiofmutuallynonoverlappingdomains AT bakhtinak neravenstvadlâvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastej AT vjunve neravenstvadlâvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastej AT targonskiial neravenstvadlâvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastej AT bahtinak neravenstvadlâvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastej AT vʹûnve neravenstvadlâvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastej AT targonskijal neravenstvadlâvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastej |