Problems of extremal decomposition for partially overlapping domains
Paper is devoted to extremal problems in Geometric Function Theory of complex variables associated with estimates of functionals defined on systems of partially overlapping domains. In particular, we focus on a generalization of some known results.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/153 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552673394294784 |
|---|---|
| author | Bakhtina, G. P. Vjun, V. E. Denega, I. V. Бахтина, Г. П. Вьюн, В. Е. Денега, И. В. |
| author_facet | Bakhtina, G. P. Vjun, V. E. Denega, I. V. Бахтина, Г. П. Вьюн, В. Е. Денега, И. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bakhtina, G. P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | Paper is devoted to extremal problems in Geometric Function Theory of complex variables associated with estimates of functionals defined on systems of partially overlapping domains. In particular, we focus on a generalization of some known results. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
пїЅпїЅiпїЅпїЅпїЅпїЅ пїЅпїЅпїЅпїЅпїЅ IпїЅ-пїЅпїЅ пїЅпїЅпїЅпїЅпїЅпїЅпїЅпїЅпїЅпїЅ пїЅпїЅпїЅ пїЅпїЅпїЅпїЅїпїЅпїЅ 2015, пїЅпїЅпїЅ 11, пїЅ 1, 1–??
УДК 517.54
Г.П. Бахтина, В.Е. Вьюн, И.В. Денега
(Национальный технический университет Украины "Киевский
политехнический институт", Киев)
(Институт математики НАН Украины, Киев)
bakhtina@ntu-kpi.kiev.ua
vvikev@mail.ru
iradenega@yandex.ru
Задачи об экстремальном разбиении
для частично налегающих областей
Работа посвящена исследованию экстремальних проблем геометриче-
ской теории функций комплексного переменного, связанных с оценка-
ми функционалов, заданных на системах частично налегающих обла-
стей. В частности, основное внимание уделяется обобщению некоторых
известных результатов.
Paper is devoted to extremal problems in Geometric Function Theory
of complex variables associated with estimates of functionals defined on
systems of partially overlapping domains. In particular, we focus on a
generalization of some known results.
1. Введение. Экстремальные задачи о неналегающих областях со-
ставляют известное классическое направление геометрической теории
функций комплексного переменного [1–14]. Многие задачи такого пла-
на сводятся к определению максимума произведения внутренних ради-
усов на системах попарно неналегающих областей, удовлетворяющих
определенным условиям. Следует отметить, что большое значение при
решении таких задач имеет теория квадратичных дифференциалов, в
частности результаты, описывающие локальную и глобальную струк-
туру их траекторий [3]. Подробнее с историей данного вопроса можно
c© Institute of Mathematics, 2015
2 Г.П. Бахтина, В.Е. Вьюн, И.В. Денега
ознакомиться в работах [1–14]. В нашей работе обобщены некоторые
результаты этой теории.
2. Обозначения и определения. Пусть N, R – множество на-
туральных и вещественных чисел соответственно, C – комплексная
плоскость, C = C
⋃
{∞} — ее одноточечная компактификация и
R+ = (0,∞). Пусть r(B, a) — внутренний радиус области B ⊂ C,
относительно точки a ∈ B [5, 9, 10]. Пусть n ∈ N. Систему то-
чек An :=
{
ak ∈ C : k = 1, n
}
, назовем n-лучевой , если |ak| ∈ R+
при k = 1, n, 0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π. Обозначим
при этом Pk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1}, an+1 := a1,
αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1, k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2.
Пусть D – открытое множество в C, содержащее лучевую систему
точек An = {ak}nk=1. Если a ∈ D, то будем говорить, что D(a) есть
связная компонента D, содержащая точку a; Dk(ap) – связная компо-
нента множества D(ap)∩Pk(An), содержащая точку ap, p ∈ {k, k− 1},
k = 1, n; Dk(0) – связная компонента множества D(0)∩Pk(An), содер-
жащая точку w = 0.
Внутренним радиусом r (D, ak) открытого множества D относи-
тельно точки a называется внутренный радиус связной компоненты
множества D, содержащей точку a.
Пусть открытое множество D содержит точку w = 0 и произволь-
ную n-лучевую систему точек An = {ak}nk=1, тогда будем говорить,
что такое множество удовлетворяет условию неналегания относитель-
но системы точек An, если множестваDk(ak),Dk(ak+1),Dk(0) попарно
не пересекаются для каждого k = 1, n.
Пусть {Bk}nk=1, B0 – произвольный набор областей таких, что
0 ∈ B0 ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n. Пусть D̃ =
n⋃
k=1
Bk ∪ B0. Будем го-
ворить, что система B0, {Bk}nk=1 удовлетворяет условию частичного
налегания относительно некоторой системы An, если открытое мно-
жество D̃ удовлетворяет условию неналегания относительно этой же
n-лучевой системы точек An. Из определения совершенно очевидно,
что произвольная система взаимно неналегающих областей (то есть
Bp ∩Bj = Ø при p 6= j) удовлетворяет условию частичного налегания.
3. Основные результаты. Целью данной работы является полу-
Задачи об экстремальном разбиении . . . 3
чение точных оценок сверху для функционала следующего вида:
Jn(γ) = rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (1)
где γ ∈ R+, An = {ak}nk=1 – n-лучевая система точек, B0, {Bk}nk=1 –
совокупность областей, удовлетворяющих условию частичного налега-
ния, ak ∈ Bk, k = 1, n, a0 = 0 ∈ B0.
Теорема 1. Пусть n ∈ N, γn = n при n > 4. Пусть 0 < γ 6 γn.
Тогда для любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1, |ak| = 1,
такой, что 0 < αk 6 2/
√
γ, k = 1, n, и любого набора областей Bk,
ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, удовлетворяющего условию
частичного налегания относительно лучевой системы An, справед-
ливо неравенство
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6
(
4
n
)n (
4γ
n2
) γ
n(
1− γ
n2
)n+ γ
n
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)2
√
γ
. (2)
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда ak и Bk, k =
0, n, являются, соответственно, полюсами и круговыми областями
квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = − (n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
Доказательство. Метод доказательства этой теоремы основан на
применении разделяющего преобразования [4, 6] и использовании идей
работ [8, 9, 10, 13, 14]. Рассмотрим открытое множество D̃ =
n⋃
k=0
Bk.
Очевидно, что r (Bk, ak) 6 r
(
D̃, ak
)
= r
(
D̃(ak), ak
)
. Отсюда
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6 rγ
(
D̃, 0
) n∏
k=1
r
(
D̃, ak
)
.
Аналогично работам [4, 5, 9], получаем неравенство
Jn(γ) 6
4 Г.П. Бахтина, В.Е. Вьюн, И.В. Денега
6
(
n∏
k=1
αk
)[
n∏
k=1
rα
2
kγ
(
G
(k)
0 , 0
)
· r
(
G
(k)
1 ,−i
)
· r
(
G
(k)
2 , i
)] 1
2
,
где G(k)
0 , G(k)
1 , G(k)
2 – круговые области квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 =
(4− α2
kγ)w2 − α2
kγ
w2(w2 + 1)2
dw2
(0 ∈ G
(k)
0 , −i ∈ G
(k)
1 , i ∈ G
(k)
2 ). Следуя работам [4, 8], переходим к
функции
P (x) = 2x
2+6 · xx
2+2 · (2− x)−
1
2 (2−x)
2
· (2 + x)−
1
2 (2+x)
2
, x ∈ [0, 2],
и, в результате, имеем неравенство
Jn(γ) 6 γ−
n
2
[
n∏
k=1
P (αk
√
γ)
] 1
2
.
Далее применяем метод, предложенный в [4, 8]. Рассмотрим экстре-
мальную задачу
n∏
k=1
P (xk) −→ max,
n∑
k=1
xk = 2
√
γ, xk = αk
√
γ, 0 < xk 6 2.
Пусть F (x) = ln (P (x)) и X(0) =
{
x
(0)
k
}n
k=1
— произвольная экстре-
мальная точка выше указанной задачи. Повторяя рассуждения рабо-
ты [8], получаем утверждение: если 0 < x
(0)
k < x
(0)
j < 2, k 6= j, тогда
имеет место следующее соотношение
F ′(x
(0)
k ) = F ′(x
(0)
j ), (3)
и если некоторое x(0)j = 2, тогда для произвольного x(0)k < 2,
F ′(x
(0)
k ) 6 F ′(x
(0)
j ) = F ′(2) = 1, (4)
где k, j = 1, n, k 6= j, F ′(x) = 2x ln 2x+ (2− x) ln(2− x)− (2 + x) ln(2 +
x)+ 2
x . Убедимся, что на основании соотношений (3) и (4) при условиях
теоремы 1 выполняется равенство
x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x(0)n .
Задачи об экстремальном разбиении . . . 5
Пусть для простоты x
(0)
1 6 x
(0)
2 6 . . . 6 x
(0)
n . Функция
F ′′(x) = ln
(
4x2
4− x2
)
− 2
x2
строго возрастает на (0, 2) и существует x0, x0 ≈ 1, 324661, такое, что
signF ′′(x) ≡ sign(x− x0).
Рассмотрим случай n = 4. Если x
(0)
4 6 x0, тогда в силу строгой
монотонности F ′(x) на [0, x0] из условия задачи получаем, что x(0)1 =
x
(0)
2 = x
(0)
3 = x
(0)
4 .
Пусть x0 6 x
(0)
4 < 1, 75. Тогда
x
(0)
1 6
1
3
·
3∑
k=1
x
(0)
k = (2
√
γ4 − x(0)4 )/3 6 (2
√
4− x0)/3 < 0, 891780.
В силу убывания F ′(x) на (0, x0), получаем
F ′(x
(0)
1 ) > F ′(0, 891780) = 0, 317868 > 0, 224369 = F ′(1, 75),
что противоречит соотношению (3). Таким образом, имеем проти-
воречие с экстремальностью набора {x(0)1 , x
(0)
2 , x
(0)
3 , x
(0)
4 }, если x
(0)
4 ∈
[x0; 1, 75).
Пусть 1, 75 6 x
(0)
4 < 1, 95. Тогда в силу возрастания F ′(x) на [x0, 2],
имеем F ′(x
(0)
4 ) 6 F ′(1, 95) = 0, 757486. Следовательно,
x
(0)
1 6
1
3
·
3∑
k=1
x
(0)
k = (2
√
γ4 − x(0)4 )/3 6 (2
√
4− 1, 75)/3 < 0, 75.
Таким образом,
F ′(x
(0)
1 ) > F ′(0, 75) = 0, 771891 > 0, 757486 = F ′(1, 95).
Аналогично предыдущему, получаем противоречие с экстремально-
стью набора {x(0)1 , x
(0)
2 , x
(0)
3 , x
(0)
4 }, если x
(0)
4 ∈ [x0; 1, 95).
Пусть 1, 95 6 x
(0)
4 6 2, тогда в силу возрастания F ′(x) на [x0, 2],
имеем F ′(x
(0)
4 ) 6 F ′(2) = 1. Аналогично предыдущему,
x
(0)
1 6
1
3
·
3∑
k=1
x
(0)
k = (2
√
γ4 − x(0)4 )/3 6 (2
√
4− 1, 95)/3 < 0, 683333.
6 Г.П. Бахтина, В.Е. Вьюн, И.В. Денега
То есть, получаем соотношение
F ′(x
(0)
1 ) > F ′(0, 683333) = 1, 067351 > 1 = F ′(2),
противоречащее условиям (3) и (4). Таким образом, для экстре-
мального набора {x(0)1 , x
(0)
2 , x
(0)
3 , x
(0)
4 } возможен только случай, когда
x
(0)
1 , x
(0)
2 , x
(0)
3 , x
(0)
4 ∈ (0, x0] и x
(0)
1 = x
(0)
2 = x
(0)
3 = x
(0)
4 . Для всех
γ < γ4 = 4 все предыдущие рассуждения сохраняются. Отсюда сле-
дует, что теорема 1 в случае n = 4 доказана. Метод доказательства
теоремы 1 для n > 5 почти дословно повторяет рассуждения работы
[8]. Окончательно, используя теорему 2 [13] (см. также теорему 1 [14]),
имеем соотношение
Jn(γ) 6 γ−
n
2
[
P
(
2
n
√
γ
)]n/2
.
Используя конкретное выражение для функции P (x) и несложные
преобразования, получаем неравенство (2). Реализация знака равен-
ства проверяется непосредственно. Теорема 1 доказана.
Список литературы
[1] Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений// Тр.
Физ.-мат. ин-та АН СССР. — 1934. — 5. — С. 159 — 245.
[2] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного пе-
ременного. — М: Наука, 1966. — 628 с.
[3] Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отобра-
жения. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 256 с.
[4] Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об
экстремальном разбиении// Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат.
ин-та АН СССР. — 1988. — 168. — С. 48 — 66.
[5] Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории
функций комплексного переменного// Успехи мат. наук. — 1994.
— 49, № 1(295). — С. 3 — 76.
[6] Дубинин В.Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсато-
ра и некоторые ее применения// Зап. науч. сем. ПОМИ. — 1997.
— 237. — С. 56 — 73.
Задачи об экстремальном разбиении . . . 7
[7] Колбина Л.И. Конформное отображение единичного круга на
неналегающие области// Вестник Ленинград. ун-та. — 1955. — 5.
— С. 37 — 43.
[8] Ковалев Л.В. К задаче об экстремальном разбиении со свободны-
ми полюсами на окружности// Дальневосточный матем. сборник.
— 1996. — 2. — С. 96 — 98.
[9] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-
алгебраические структуры и геометрические методы в комплекс-
ном анализе// Працi iн-ту мат-ки НАН України. — 2008. — 308
с.
[10] Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геомет-
рической теории функций комплексного переменного. // Влади-
восток "Дальнаука"ДВО РАН — 2009. — 390с.
[11] Денега И.В. Квадратичные дифференциалы и разделяющее пре-
образование в экстремальных задачах о неналегающих областях//
Доп. НАН України. — 2012. — №4. — С. 15 — 19.
[12] Бахтин A.К., Бахтина Г.П., Денега И.В. Оценки произведения
внутренних радиусов взаимно неналегающих областей в много-
мерных комплексных пространствах// arXiv:1207.4893 [math. CV]
20 Jul 2012.
[13] Bakhtin A.K., Denega I.V. Addendum to a theorem on extremal
decomposition of the complex plane// Bulletin de la société des
sciences et des lettres de Lódź, Recherches sur les déformations,2012.
— V. LXII, no.2, — P. 83 — 92.
[14] Бахтин A.К., Денега И.В. Метод разделяющего преобразования
в задачах о максимуме произведения степеней внутренних радиу-
сов неналегающих областей// Зб. праць Iн-ту матем. НАН Украї-
ни, 2012. — Т.9, №2. — C. 32 — 44.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-153 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:10Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ee/7e4e502ac611daca3f74bfbde8110eee.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1532018-01-23T12:10:05Z Problems of extremal decomposition for partially overlapping domains Задачи об экстремальном разбиении для частично налегающих областей Bakhtina, G. P. Vjun, V. E. Denega, I. V. Бахтина, Г. П. Вьюн, В. Е. Денега, И. В. Paper is devoted to extremal problems in Geometric Function Theory of complex variables associated with estimates of functionals defined on systems of partially overlapping domains. In particular, we focus on a generalization of some known results. Работа посвящена исследованию экстремальних проблем геометрической теории функций комплексного переменного,связанных с оценками функционалов, заданных на системах частично налегающих областей. В частности, основное внимание уделяетсяобобщению некоторых известных результатов. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/153 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 31-37 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 31-37 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 31-37 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/153/124 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Bakhtina, G. P. Vjun, V. E. Denega, I. V. Бахтина, Г. П. Вьюн, В. Е. Денега, И. В. Problems of extremal decomposition for partially overlapping domains |
| title | Problems of extremal decomposition for partially overlapping domains |
| title_alt | Задачи об экстремальном разбиении для частично налегающих областей |
| title_full | Problems of extremal decomposition for partially overlapping domains |
| title_fullStr | Problems of extremal decomposition for partially overlapping domains |
| title_full_unstemmed | Problems of extremal decomposition for partially overlapping domains |
| title_short | Problems of extremal decomposition for partially overlapping domains |
| title_sort | problems of extremal decomposition for partially overlapping domains |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/153 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinagp problemsofextremaldecompositionforpartiallyoverlappingdomains AT vjunve problemsofextremaldecompositionforpartiallyoverlappingdomains AT denegaiv problemsofextremaldecompositionforpartiallyoverlappingdomains AT bahtinagp problemsofextremaldecompositionforpartiallyoverlappingdomains AT vʹûnve problemsofextremaldecompositionforpartiallyoverlappingdomains AT denegaiv problemsofextremaldecompositionforpartiallyoverlappingdomains AT bakhtinagp zadačiobékstremalʹnomrazbieniidlâčastičnonalegaûŝihoblastej AT vjunve zadačiobékstremalʹnomrazbieniidlâčastičnonalegaûŝihoblastej AT denegaiv zadačiobékstremalʹnomrazbieniidlâčastičnonalegaûŝihoblastej AT bahtinagp zadačiobékstremalʹnomrazbieniidlâčastičnonalegaûŝihoblastej AT vʹûnve zadačiobékstremalʹnomrazbieniidlâčastičnonalegaûŝihoblastej AT denegaiv zadačiobékstremalʹnomrazbieniidlâčastičnonalegaûŝihoblastej |