Generalized convex sets and its applications

Paper is devoted to investigation of properties of generalized convex sets in the real Euclidean {\it n}-dimensional space $\mathbb{R}^{n}$ and in the {\it n}-dimensional complex and hypercomplex spaces $\mathbb{C}^{n}$ and $\mathbb{H}^{n}$ respectively.

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2017
Main Authors:	Stefanchyk, M. V., Стефанчук, М. В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут математики НАН України 2017
Online Access:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/154
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Download file:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552673824210944
author	Stefanchyk, M. V. Стефанчук, М. В.
author_facet	Stefanchyk, M. V. Стефанчук, М. В.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "М. В. Стефанчук", "institution": "Інститут математики НАН України" } ]
author_sort	Stefanchyk, M. V.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-02-13T13:58:16Z
description	Paper is devoted to investigation of properties of generalized convex sets in the real Euclidean {\it n}-dimensional space $\mathbb{R}^{n}$ and in the {\it n}-dimensional complex and hypercomplex spaces $\mathbb{C}^{n}$ and $\mathbb{H}^{n}$ respectively.
first_indexed	2026-08-04T01:03:11Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 249–261 УДК 514.17 + 517.55 М.В. Стефанчук (Iнститут математики НАН України, Київ) stefanmv43@gmail.com Узагальнено опуклi множини та їх застосування Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського Робота присвячена дослiдженню властивостей узагальнено опуклих множин у дiйсному евклiдовому n-вимiрному просторi Rn, n-вимiрних комплексному та гiперкомплексному просторах Cn, Hn. Paper is devoted to investigation of properties of generalized convex sets in the real Euclidean n-dimensional space Rn and in the n-dimensional complex and hypercomplex spaces Cn and Hn respectively. 1. Задача про “тiнь”. Поняття опуклостi є загальновiдомим та вiдiграє важливу роль у рiзних областях фундаментальної i при- кладної математики. Означення 1 ( [1] ). Множина X ∈ Rn називається опуклою, якщо разом з кожними двома точками x1, x2 ∈ Rn вона мiстить також весь вiдрiзок [x1, x2], який з’єднує цi точки. Означення 2. Множина E ∈ Cn називається лiнiйно опуклою, якщо для довiльної точки z0 /∈ E iснує комплексна гiперплощина, яка про- ходить через z0 i не перетинає Е. Лiнiйна опуклiсть множини є узагальненням поняття опуклостi. Тут узагальнюється зовнiшня властивiсть опуклих множин, яка по- лягає в iснуваннi гiперплощини, що не перетинає вихiдну множину. c© М.В. Стефанчук, 2017 250 М.В. Стефанчук Поняття лiнiйно опуклої множини у двовимiрному комплексному просторi C2 вперше було введене у 1935 роцi Г. Беенке та Е. Пешлем [2] i почало широко використовуватися завдяки роботам А. Мартiно [3] i Л. Айзенберга [4] з 60-х рокiв ХХ столiття. Лiнiйно опуклi множини дослiджувалися у роботах А. Мартiно, Л. Айзенберга, Б. Зiнов’єва, О. Южакова, В. Кривоколеска, В. Трутнє- ва, С. Знаменського, Ю. Зелiнського, Х. Кiсельмана, Л. Хермандера, М. Андерсона, М. Пассара, Р. Сiгурдсона, В. Мельник, М. Ткачука. Означення 3. Множина E ⊂ Cn називається сильно лiнiйно опу- клою, якщо для довiльної комплексної прямої γ множини γ ∩ E i γo \ γ ∩ E зв’язнi (γo = γ ∪ (∞)). В означеннi сильно лiнiйно опуклих множин узагальнюється вну- трiшня властивiсть опуклостi, а саме зв’язнiсть перетину множини з дiйсною прямою. Означення 4 ( [5] ). Множина E ⊂ Rn називається m-опуклою, m > 0, якщо для довiльної точки x ∈ Rn \ E знайдеться m-вимiрна площина L, яка проходить через цю точку, x ∈ L, i не перетинає дану множину, L ∩ E = ∅. Клас m-опуклих множин включає в себе лiнiйно опуклi множи- ни. Для лiнiйно опуклої множини E ⊂ Rn m-вимiрна площина, де m = n− 1, є гiперплощиною. Поняття m-опуклої множини в Rn, 0 ≤ m < n, дозволяє з єди- ної точки зору подивитися на деякi узагальнення опуклостi, в тому числi i на лiнiйну опуклiсть. В означеннi m-опуклої множини викори- стовується узагальнення поняття опуклої множини завдяки iснуванню m-вимiрної площини, яка не перетинає дану множину (зовнiшня вла- стивiсть опуклостi). З iншого боку, для узагальнення опуклостi можна, як i в означеннi опуклостi та сильної лiнiйної опуклостi, користуватися обмеженнями на перетини цiєї множини прямою (внутрiшня власти- вiсть). У цьому напрямку майже немає результатiв. Означення 5. m-опуклий перетин всiх m-опуклих множин, якi мi- стять задану множину E ⊂ Rn, називається m-опуклою оболонкою множини E. Ввiвши поняття m-опуклої оболонки множини Е, приходимо до на- ступної задачi: знайти критерiй того, що точка x ∈ Rn \ E належить Узагальнено опуклi множини та їх застосування 251 m-опуклiй оболонцi множини Е. Для випадку 1-опуклої оболонки мно- жини, яка є об’єднанням деякого набору куль, дана задача була сфор- мульована Г. Худайбергановим [6] та отримала назву задача про “тi- нь”: Яка найменша кiлькiсть попарно неперетинних замкнених (вiд- критих ) куль в просторi Rn з центрами на сферi Sn−1 та радiусами, меншими вiд радiуса сфери, достатня для того, щоб довiльна пряма, яка проходить через центр сфери, перетинала хоча б одну з цих куль. Iншими словами цю задачу можна переформулювати так: яка най- менша кiлькiсть попарно неперетинних замкнених (вiдкритих) куль в просторi Rn з центрами на сферi Sn−1 та радiусами, меншими вiд радiуса сфери, забезпечить належнiсть центра сфери 1-опуклiй обо- лонцi сiм’ї цих куль? Г. Худайберганов [6] довiв, що при n = 2 двох кругiв необхiдно i достатньо для створення “тiнi” в центрi кола. Теорема 1 ( [6] ). Iснують два неперетиннi замкненi (вiдкритi) кру- ги з центрами на одиничному колi та радiусами, меншими за одини- цю, якi забезпечують належнiсть центра кола 1-опуклiй оболонцi сiм’ї цих кругiв. У роботах [7, 8] повнiстю розв’язана задача про тiнь при n > 2. Справедлива наступна теорема. Теорема 2 ( [7, 8] ). 1-опуклiй оболонцi сiм’ї попарно неперетинних вiдкритих (замкнених ) куль з радiусами, величини яких не переви- щують (меншi) радiуса сфери, та з центрами на сферi, необхiдно i достатньо (n+ 1) куль. Дослiдимо дану задачу для бiльш загального класу множин. Означення 6. Множина E ⊂ Rn називається m-напiвопуклою, m > 0, якщо для довiльної точки x ∈ Rn \ E, знайдеться m-вимiрна пiвплощина L, яка проходить через цю точку, x ∈ L, i не перетинає дану множину, L ∩ E = ∅. Для довiльної множини E ⊂ Rn ми можемо розглядати мiнiмальну m-напiвопуклу множину, яка мiстить E. Означення 7. m-напiвопуклий перетин всiх m-напiвопуклих мно- жин, якi мiстять задану множину E ⊂ Rn, називається m-напiвопуклою оболонкою множини E. 252 М.В. Стефанчук Розглянемо аналог задачi про тiнь для напiвопуклостi, яка є частко- вим випадком належностi точки 1-напiвопуклiй оболонцi деякої сiм’ї куль. Яка мiнiмальна кiлькiсть попарно неперетинних замкнених (вiд- критих ) куль з центрами на сферi Sn−1 та радiусами, меншими (якi не перевищують) радiуса сфери, достатня для того, щоб довiльний промiнь, який виходить з центра сфери, перетинав хоча б одну з цих куль? У роботi [8] отримано повний розв’язок цiєї задачi у двовимiрному евклiдовому просторi. Теорема 3 ( [8] ). Для того, щоб центр кола S1 ⊂ R2 належав 1-напiвопуклiй оболонцi сiм’ї неперетинних вiдкритих (замкнених ) кругiв з радiусами, якi не перевищують (меншi) радiуса кола, та з центрами на цьому колi, необхiдно i достатньо трьох кругiв. Iз збiльшенням розмiрностi простору задача про “тiнь” для напiв- опуклостi ускладнюється. Наступна теорема дає достатнi умови нале- жностi центра сфери 1-напiвопуклiй оболонцi сiм’ї куль з центрами на цiй сферi. Теорема 4 ( [8] ). Для того, щоб центр двовимiрної сфери у триви- мiрному евклiдовому просторi належав 1-напiвопуклiй оболонцi сiм’ї попарно неперетинних вiдкритих (замкнених ) куль з радiусами, якi не перевищують (меншi) радiуса сфери, та з центрами на сферi, до- статньо десяти куль. Наступнi питання залишаються вiдкритими. Запитання 1. Яка мiнiмальна кiлькiсть куль у тривимiрно- му евклiдовому просторi забезпечить належнiсть центра сфери їх 1-напiвопуклiй оболонцi? У розмiрностях, вищих, нiж три, невiдомо навiть, чи iснує скiнченна кiлькiсть куль, достатня для створення “тiнi” у випадку напiвопукло- стi. Запитання 2. Чи iснує скiнченна кiлькiсть куль з перелiченими вище умовами в евклiдовому просторi Rn, n > 3, яка забезпечить на- лежнiсть центра сфери їх 1-напiвопуклiй оболонцi? Узагальнимо задачу про тiнь для довiльної точки внутрiшностi сфери: Яка найменша кiлькiсть попарно неперетинних вiдкритих (зам- кнених ) куль з центрами на сферi Sn−1 та радiусами, меншими (якi Узагальнено опуклi множини та їх застосування 253 не перевищують) радiуса сфери, забезпечить належнiсть внутрi- шностi сфери 1-опуклiй оболонцi сiм’ї куль? Для випадку n = 2 справедлива наступна теорема. Теорема 5 ( [9] ). Для того, щоб внутрiшнiсть кола належала 1-опуклiй оболонцi сiм’ї попарно неперетинних вiдкритих (замкне- них ) кругiв з центрами на колi та радiусами, меншими вiд радiуса кола, необхiдно i достатньо трьох кругiв. Зауваження 1. Для випадку n > 2 (n+1)-ї кулi недостатньо для ство- рення тiнi у довiльнiй точцi внутрiшностi сфери. При n = 3 впишемо у двовимiрну сферу правильний тривимiрний симплекс та розмiстимо у його вершинах чотири кулi з радiусами, рiвними половинi ребра сим- плекса. Тодi через кожну з точок, яка є серединою ребра симплекса, можна провести пряму, яка не буде перетинати жодної з цих куль. Зауваження 2. Вiдкритою залишається задача знаходження мiнi- мальної кiлькостi куль з центрами на двовимiрнiй сферi в тривимiрно- му евклiдовому просторi, для яких довiльна точка внутрiшностi сфери належить їх 1-опуклiй оболонцi. Зауваження 3. (n + 1)-ї кулi достатньо, щоб усi точки, якi мiстяться у кулi, обмеженiй сферою, належали до (n − 1)-опуклої оболонки си- стеми куль. Для правильного симплекса вiзьмемо кулi з центрами у його вершинах та радiусами, рiвними половинi висоти симплекса. Тодi опукла оболонка цiєї системи спiвпадає з її (n−1)-опуклою оболонкою та мiстить сферу. Зауваження 4. Узагальнимо дану задачу для напiвопуклостi. Яка найменша кiлькiсть попарно неперетинних вiдкритих (замкнених) куль з центрами на сферi Sn−1 та радiусами, меншими (якi не переви- щують) вiд радiуса сфери, забезпечить належнiсть внутрiшностi сфе- ри 1-напiвопуклiй оболонцi сiм’ї куль? При n > 1 не iснує скiнченної кiлькостi куль для створення тiнi у довiльнiй точцi внутрiшностi сфе- ри. Вiзьмемо двi кулi, центри яких найближчi. На вiдрiзку, що з’єднує центри цих куль, знайдеться точка, яка не належить їх об’єднанню, та iснує промiнь з початком у будь-якiй точцi внутрiшностi сфери, який проходить через дану точку, що не перетинає систему куль. Розглянемо ще одне узагальнення задачi про “тiнь”. Нехай в n-вимiрному евклiдовому просторi Rn, n ≥ 2, задана опу- кла множина з непорожньою внутрiшнiстю. Iз даної множини за до- 254 М.В. Стефанчук помогою групи геометричних перетворень отримана сiм’я попарно не- перетинних замкнених множин. Виникає запитання — яка найменша кiлькiсть елементiв цiєї сiм’ї достатня для того, щоб вибрана точка x ∈ Rn належала 1-опуклiй оболонцi цiєї сiм’ї (тобто для того, щоб довiльна пряма, яка проходить через точку х, перетинала принаймнi одну з цих множин)? У роботi Ю. Б. Зелiнського [10] було отримано розв’язок цiєї задачi для групи геометричних перетворень, яка склада- ється з рухiв та гомотетiй опуклої множини з непорожньою внутрiшнi- стю. Показано, що для цього необхiдно i достатньо n елементiв даної сiм’ї. У роботi [9] дана задача розв’язана для сiм’ї множин, отрима- них з опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю за допомогою паралельних перенесень та гомотетiй. Теорема 6 ( [9] ). Для того, щоб вибрана точка в n-вимiрному евклi- довому просторi Rn при n ≥ 2 належала 1-опуклiй оболонцi сiм’ї по- парно неперетинних замкнених множин, отриманих iз заданої опу- клої множини з непорожньою внутрiшнiстю за допомогою групи пе- ретворень, яка складається з паралельних перенесень та гомотетiй, необхiдно i достатньо n елементiв цiєї сiм’ї. Розглянемо аналог даної задачi для напiвопуклостi. Яка наймен- ша кiлькiсть попарно неперетинних замкнених (вiдкритих) множин, отриманих iз заданої опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю за допомогою деяких геометричних перетворень, достатня для того, щоб вибрана точка x ∈ Rn належала 1-напiвопуклiй оболонцi цiєї сiм’ї (тобто для того, щоб довiльний промiнь з початком в цiй точцi пере- тинав принаймнi одну з цих множин). У роботi Ю. Б. Зелiнського [10] було отримано розв’язок цiєї задачi для групи геометричних перетво- рень, яка складається з рухiв та гомотетiй опуклої множини з непо- рожньою внутрiшнiстю (показано, що для цього необхiдно i достатньо (n+ 1)-ї множини). У роботi [9] дана задача розв’язана для сiм’ї мно- жин, отриманих з опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю за допомогою паралельних перенесень та гомотетiй. Теорема 7 ( [9] ). Для того, щоб вибрана точка в n-вимiрному ев- клiдовому просторi Rn при n ≥ 2 належала 1-напiвопуклiй оболонцi сiм’ї попарно неперетинних замкнених множин, отриманих iз за- даної опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю за допомогою групи перетворень, яка складається з паралельних перенесень та го- мотетiй, необхiдно i достатньо 2n елементiв цiєї сiм’ї. Узагальнено опуклi множини та їх застосування 255 Розглянемо аналоги m-опуклих множин в комплексному та гiпер- комплексному просторах. Означення 8. Множина E ⊂ Cn (E ⊂ Hn) називається m-комплексно (m-гiперкомплексно) опуклою, m > 0, якщо для довiль- ної точки x ∈ Cn \ E (x ∈ Hn \ E), якщо знайдеться m-вимiрна ком- плексна (гiперкомплексна) площина L, яка проходить через цю точку, x ∈ L, i не перетинає дану множину, L ∩ E = ∅. Для довiльної множини E ⊂ Cn (E ⊂ Hn) можна розглядати мiнi- мальну m-комплексно (m-гiперкомплексно) опуклу множину, яка мi- стить Е. Означення 9. Перетин всiх m-комплексно (m-гiперкомплексно) опу- клих множин, якi мiстять задану множину E ⊂ Cn (E ⊂ Hn), нази- вається m-комплексною (m-гiперкомплексною) оболонкою множини E. Ю.Б. Зелiнським [10] була сформульована задача про “тiнь” в ком- плексному та гiперкомплексному просторах: Яка мiнiмальна кiлькiсть попарно неперетинних замкнених куль з центрами на сферi S2n−1 ⊂ Cn (S4n−1 ⊂ Hn) та радiусами, менши- ми вiд радiуса сфери, достатня для того, щоб довiльна комплексна (гiперкомплексна) пряма, яка проходить через центр сфери, перети- нала хоча б одну з цих куль (тобто для того, щоб центр сфери на- лежав 1-комплекснiй (1-гiперкомплекснiй) оболонцi цих куль)? Встановлено, що в комплексному (гiперкомплексному) просторi при n = 2 для створення “тiнi” в центрi сфери необхiдно i достатньо двох куль. Теорема 8 ( [10] ). Для того, щоб вибрана точка у 2-вимiрному комплексному (гiперкомплексному) просторi C2 (H2), належала 1-комплекснiй (1-гiперкомплекснiй) оболонцi сiм’ї попарно непере- тинних вiдкритих (замкнених ) куль, якi дану точку не мiстять, необхiдно i достатньо двох куль. Наступна теорема дає достатнi умови належностi центра сфери 1-комплекснiй (1-гiперкомплекснiй) оболонцi сiм’ї куль з центрами на цiй сферi у просторi Cn (Hn), n ≥ 3. 256 М.В. Стефанчук Теорема 9 ( [9] ). Для того, щоб центр сфери в n-вимiрному комплексному (гiперкомплексному) просторi Cn (Hn), n ≥ 3, нале- жав 1-комплекснiй (1-гiперкомплекснiй) оболонцi сiм’ї попарно не- перетинних вiдкритих (замкнених ) куль з центрами на сферi S2n−1 ⊂ Cn (S4n−1 ⊂ Hn) та з радiусами, меншими вiд радiуса сфери, достатньо 2n (4n− 2) куль. Наступнi запитання залишаються вiдкритими. Запитання 3. Яка мiнiмальна кiлькiсть куль в n-вимiрному комплексному (гiперкомплексному) просторi Cn (Hn) при n ≥ 3 забезпечить належнiсть початку координат 1-комплекснiй (1-гiперкомплекснiй) оболонцi цих куль? Запитання 4. Яка мiнiмальна кiлькiсть вiдкритих (замкнених) куль з центрами на фiксованiй сферi та з радiусами, якi не переви- щують (меншi) радiуса сфери в n-вимiрному комплексному (гiперком- плексному) просторi Cn (Hn) при n ≥ 3 забезпечить належнiсть центра сфери 1-комплекснiй (1-гiперкомплекснiй) оболонцi цих куль? 2. Множина мiри нуль, яка мiстить сфери довiль- них радiусiв. Нехай M = (Mi, i ∈ N) є сiм’єю множин в Rn. Будемо розглядати такi множини, якi пiсля застосування до них сiм’ї Т геоме- тричних перетворень Ti, (i ∈ N), по-перше, будуть належати множинi досить малої мiри i, по-друге, їх об’єднання матиме мiру нуль. Безiкович [11, 12] розглядав випадки, коли М є сiм’єю вiдрiзкiв скiнченної довжини та довiльних напрямкiв, а також сiм’єю прямих довiльних напрямкiв. Вiн побудував множини, що мiстять множину одиничних вiдрiзкiв довiльних напрямкiв та множину прямих довiль- них напрямкiв, n-вимiрнi лебеговi мiри яких дорiвнюють нулю. Теорема 10 ( [11] ). Для n ≥ 2 iснує множина F ⊂ Rn, n-вимiрна лебегова мiра якої дорiвнює нулю, яка мiстить одиничний лiнiйний вiдрiзок довiльного напрямку. Теорема 11 ( [12] ). Для n > 2 iснує множина F ⊂ Rn, n-вимiрна лебегова мiра якої дорiвнює нулю, що мiстить пряму довiльного на- прямку. Крiм цього, у роботi Безiкович i Радо [13] дослiджували дане пита- ння для сiм’ї кiл усiх скiнченних радiусiв. У результатi геометричних перетворень об’єднання цих сiмей можна було помiстити у замкнену множину плоскої мiри нуль. Узагальнено опуклi множини та їх застосування 257 Теорема 12 ( [13] ). Iснує плоска замкнена множина мiри нуль, яка мiстить кола довiльних радiусiв. У роботi [14] дана задача розв’язана для сiм’ї сфер усiх радiусiв в n-вимiрному евклiдовому просторi Rn. За допомогою сiм’ї геометри- чних перетворень побудовано множину, що є об’єднанням сфер довiль- них скiнченних радiусiв, n-вимiрна лебегова мiра якої дорiвнює нулю. Справедлива наступна теорема. Теорема 13 ( [14] ). В n-вимiрному евклiдовому просторi Rn iснує множина мiри нуль, яка мiстить сфери усiх радiусiв. 3. Екстремальнi елементи та квазiопуклi множини в гiперкомплексному просторi. Природним аналогом ком- плексного аналiзу є гiперкомплексний аналiз. Тому виникає потреба перенести ряд результатiв опуклого аналiзу, вiдомих в дiйсному та комплексному евклiдових просторах, на n-вимiрний гiперкомплексний простiр Hn, n ∈ N, який є прямим добутком n-копiй тiла кватернiо- нiв H. Над цими проблемами працював Г. Мкртчян (див. [15,16]). Вiн увiв поняття гiперкомплексно опуклої, сильно гiперкомплексно опу- клої множин та перенiс ряд результатiв лiнiйно опуклого аналiзу на гiперкомплексний простiр Hn. Цей напрямок продовжили розвивати Ю. Зелiнський та його учнi: М. Ткачук, Т. Осiпчук, Б. Клiщук. Нехай E ⊂ Hn — довiльна множина простору Hn, яка мiстить початок координат Θ = (0, 0, . . . , 0). Покладемо x = (x1, x2, . . . , xn), h = (h1, h2, . . . , hn), 〈x, h〉 = x1h1 + x2h2 + · · · + xnhn. Множина E∗ = {h\|〈x, h〉 6= 1 ∀x ∈ E} називається спряженою множиною до множини Е. Гiперплощиною називається множина L ⊂ Hn, що задовольняє одну з умов: 〈x, a〉 = w, 〈x − x0, a〉 = 0, де x — довiльна точка множини L, x0 — фiксований вектор, w — фiксований скаляр з H, a — фiксова- ний ковектор. Назвемо ковектор a нормаллю. Вiдповiдно, афiнними будемо називати лише функцiї виду: l(x) = 〈x, a〉+ b, b ∈ H. Означення 10. Множина E ⊂ Hn називається гiперкомплексно опу- клою, якщо для довiльної точки x0 ∈ Hn \E iснує гiперкомплексна гi- перплощина, яка проходить через точку x0 i не перетинає множину Е. Нагадаємо, що оскiльки в алгебрi кватернiонiв множення некому- тативне, то надалi розглядатимемо правi гiперплощини, тобто точку 258 М.В. Стефанчук iз змiнною координатою множимо на фiксовану точку справа. Означення 11. Множина E ⊂ Hn називається сильно гiперкомпле- ксно опуклою, якщо довiльний її перетин гiперкомплексною прямою γ ациклiчний, тобто H̃i(γ ∩E) = 0 ∀i ≥ 0, де H̃i(γ ∩E) — зведена гру- па когомологiй Александрова-Чеха множини γ ∩E з коефiцiєнтами в групi цiлих чисел. Нехай E ⊂ H — довiльна множина. Доповнення до об’єднання не- обмежених компонент множиниH\E називається h-комбiнацiєю точок множини Е та позначається [E]. Якщо Е — довiльна множина в про- сторi Hn, n > 1, то скажемо, що точка х належить h-комбiнацiї точок з Е, якщо iснує перетин множини Е гiперкомплексною прямою γ такий, що x ∈ [E ∩ γ]. Множину таких точок з Hn називають h-комбiнацiєю точок Е i позначають [E]; m-кратну h-комбiнацiю визначають за iн- дукцiєю [E]m = [[E]m−1]. Означення 12. h-оболонкою множини E ⊂ Hn називається мно- жина Ê = ⋂ π π−1[π(E)], де π : Hn −→ λ — усi можливi лiнiйнi прое- кцiї множини на гiперкомплекснi прямi, [π(E)] — h-комбiнацiя точок множини π(E), а π−1[π(E)] = {x ∈ Hn\| π(x) ∈ π(E)} — її повний про- образ. Наступна теорема стверджує, що для довiльної множини простору Hn множина точок її h-оболонки спiвпадає з h-комбiнацiєю точок цiєї множини. Теорема 14 ( [17] ). Якщо множина E ⊂ Hn є h-оболонкою, то E = [E]. Означення 13. h-iнтервалом з центром в точцi х радiуса r назива- ється перетин вiдкритої кулi радiуса r з центром в точцi х з гiпер- комплексною прямою, яка проходить через точку х. Означення 14. Точка x ∈ E ⊂ Hn називається h-екстремальною точкою множини Е, якщо в Е немає жодного h-iнтервалу, який мi- стить х. Означення 15. h-променем назвемо замкнену необмежену ациклi- чну пiдмножину гiперкомплексної прямої з непорожньою межею. Узагальнено опуклi множини та їх застосування 259 Означення 16. Екстремальним h-променем множини E ⊂ Hn назвемо h-промiнь H, який належить множинi Е, якщо множина E \ H гiперкомплексно опукла та кожна точка межi променя H буде h-екстремальною точкою для множини Е. (Це еквi- валентне тому, що жодна точка променя H не буде внутрiшньою для довiльного h-iнтервалу, який належить множинi Е та має хоча б одну точку за межами H). Для множини E ⊂ Hn позначимо: hext E — множину її h-екстремальних точок, rhext E — множину h-екстремальних проме- нiв, hconv E — h-оболонку Е. Наступна теорема є аналогом теореми Клi опуклого аналiзу в гi- перкомплексному просторi. Теорема 15 ( [17] ). Кожна замкнена сильно гiперкомплексно опу- кла множина E ⊂ Hn, яка не мiстить гiперкомплекної прямої, буде h-оболонкою своїх h-екстремальних точок та h-екстремальних про- менiв E = hconv(hextE ∪ rhextE). Клас сильно гiперкомплексно опуклих множин є незамкненим вiд- носно перетинiв. Тому для нього не виконується основна аксiома опу- клостi — перетин будь-якої кiлькостi опуклих множин повинен бути опуклим. Означимо клас множин, який включає в себе сильно гiпер- комплексно опуклi множини та є замкненим вiдносно перетинiв. Означення 17. Гiперкомплексно опукла множина E ⊂ Hn назива- ється H-квазiопуклою множиною, якщо її перетин довiльною гiпер- комплексною прямою γ не мiстить тривимiрного коциклу, тобто H3(γ ∩ E) = 0. Очевидно, що клас H-квазiопуклих множин включає в себе сильно гiперкомплексно опуклi областi та компакти. З наступної теореми випливає замкненiсть класу H-квазiопуклих множин в тому сенсi, що перетин довiльної сiм’ї компактних H-квазiопуклих множин буде H-квазiопуклою множиною. Теорема 16 ( [17] ). Перетин довiльної сiм’ї H-квазiопуклих компа- ктiв буде H-квазiопуклим компактом. Також встановлено, що компактний лiнiйний полiедр, всi гранi яко- го не мiстять тривимiрних циклiв, та ациклiчний у розмiрностi три гiперкомплексно опуклий компакт будуть H-квазiопуклими множина- ми [17]. 260 М.В. Стефанчук Теорема 17 ( [17] ). Компактний лiнiйний полiедр, всi гранi якого не мiстять тривимiрних циклiв, є H-квазiопуклою множиною. Перетин сильно гiперкомплексно опуклих компактiв буде H- квазiопуклою множиною. Кожен ациклiчний у розмiрностi три гiперкомплексно опуклий компакт Е буде H-квазiопуклим. Лiтература [1] Лейхтвейс К. Выпуклые множества — М.: Наука, 1985. — 336 с. [2] Behnke H.,Peschl E. Zur Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen Konvexität in bezug auf analytische Ebenen im kleinen und großen // Math. Ann. — 1935. — 111, № 2. — P. 158 – 177. [3] Martineau A. Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes convexité linéele // Math. Ann. — 1966. — 163, № 1. — P. 62 – 88. [4] Айзенберг Л.А. О разложении голоморфных функций многих компле- ксных переменных на простейшие дроби // Сиб. мат. журн. — 1967. — 8, № 5. — C. 1124 – 1142. [5] Зелинский Ю.Б. Выпуклость. Избранные главы // Працi Iн-ту мате- матики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН України, 2012. — 92. — 280 с. [6] Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объединения шаров // Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.02.1982 г. № 1772 — 85 Деп. [7] Зелинский Ю.Б., Выговская И.Ю., Стефанчук М.В. Задача о тени // Доповiдi НАН України. — 2015. — № 5. — С. 15 – 20. [8] Зелинский Ю.Б., Выговская И.Ю., Стефанчук М.В. Обобщенно выпу- клые множества и задача о тени // Укр. мат. журн. — 2015. — 67, № 12. — С. 1658 – 1666. [9] Зелинский Ю.Б., Стефанчук М.В. Узагальнення задачi про тiнь // Укр. мат. журн. — 2016. — 68, № 6. — С. 757 – 762. [10] Зелинский Ю.Б. Задача о тени для семейства множеств // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН України, 2015. — 12, № 4. — С. 197 – 204. [11] Besicovitch A. S. On Kakeya’s problem and a similar one // Math. Zeit. — 1928. — 27. — P. 312 – 320. [12] Besicovitch A. S. On fundamental geometric properties of plane line-sets // J. London Math. Soc. — 1964. — 39. — P. 441 – 448. Узагальнено опуклi множини та їх застосування 261 [13] Besicovitch A., Rado R. A plane set of measure zero containing ci- rcumferences of every radius // J. London Math. Soc. — 1968. — 43. — P. 717 – 719. [14] Стефанчук М.В.,Ткачук М.В. Множина мiри нуль, яка мiстить сфери довiльних радiусiв // Збiрник праць Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН України, 2015. — 12, № 4. — С. 285 – 289. [15] Мкртчян Г.А. О гиперкомплексно выпуклых множествах. — К.: ИМ АН УССР, 1987. — 17 с. — (Препринт / АН УССР, Ин-т матем.; 87.42) [16] Зелинский Ю.Б., Мкртчян Г.А. Об экстремальных точках и гиперком- плексно выпуклых областях // Докл. АН СССР. — 1990. — 311, № 6. — С. 1299 – 1302. [17] Стефанчук М. В. Екстремальнi елементи в гiперкомплексному просто- рi // Доповiдi НАН України. — 2016. — № 4. — С. 13 – 19.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-154
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:03:11Z
publishDate	2017
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/f8/76bb90be270ec9dc3b4efaa4c936e3f8.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-1542018-02-13T13:58:16Z Generalized convex sets and its applications Узагальнено опуклі множини та їх застосування Stefanchyk, M. V. Стефанчук, М. В. Paper is devoted to investigation of properties of generalized convex sets in the real Euclidean {\it n}-dimensional space $\mathbb{R}^{n}$ and in the {\it n}-dimensional complex and hypercomplex spaces $\mathbb{C}^{n}$ and $\mathbb{H}^{n}$ respectively. Робота присвячена дослідженню властивостей узагальнено опуклих множин у дійсному евклідовому $n$-вимірному просторі $\mathbb{R}^{n}$, $n$-вимірних комплексному та гіперкомлексному просторах $\mathbb{C}^{n}$, $\mathbb{H}^{n}$. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/154 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 249-261 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 249-261 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 249-261 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/154/125 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України
spellingShingle	Stefanchyk, M. V. Стефанчук, М. В. Generalized convex sets and its applications
title	Generalized convex sets and its applications
title_alt	Узагальнено опуклі множини та їх застосування
title_full	Generalized convex sets and its applications
title_fullStr	Generalized convex sets and its applications
title_full_unstemmed	Generalized convex sets and its applications
title_short	Generalized convex sets and its applications
title_sort	generalized convex sets and its applications
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/154
work_keys_str_mv	AT stefanchykmv generalizedconvexsetsanditsapplications AT stefančukmv generalizedconvexsetsanditsapplications AT stefanchykmv uzagalʹnenoopuklímnožinitaíhzastosuvannâ AT stefančukmv uzagalʹnenoopuklímnožinitaíhzastosuvannâ

Generalized convex sets and its applications

Institution

Similar Items