$\pmb{\Sigma}$-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples
In this paper we introduce the notion of -function for a finite system of matrix representations of an algebra and consider an examples for completesystems of algebras with finite number of indecomposable representations.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/157 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552676835721216 |
|---|---|
| author | Bondarenko, V. M. Zubaruk, O. V. Бондаренко, В. М. Зубарук, О. В. |
| author_facet | Bondarenko, V. M. Zubaruk, O. V. Бондаренко, В. М. Зубарук, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Бондаренко",
"institution": null
},
{
"author": "О. В. Зубарук",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bondarenko, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | In this paper we introduce the notion of -function for a finite system of matrix representations of an algebra and consider an examples for completesystems of algebras with finite number of indecomposable representations. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 56–64
УДК 512.53 + 512.64
В.М. Бондаренко 1, О. В. Зубарук 2
1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
2 (Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка,
Київ)
1 vit-bond@imat.kiev.ua, 2 Sambrinka@ukr.net
ΣΣΣ-функцiя числа параметрiв для
системи матричних зображень:
початковi поняття та приклади
In this paper we introduce the notion of Σ -function for a finite system of
matrix representations of an algebra and consider an examples for complete
systems of algebras with finite number of indecomposable representations.
У статтi вводиться поняття Σ-функцiї для скiнченної системи матрич-
них зображень алгебри та розглядаються приклади для повних систем
алгебр зi скiнченним числом нерозкладних зображень.
1. Вступ. Згiдно означення матричних зображень алгебр, мат-
ричне зображення алгебри Λ над полем K — це довiльний гомоморфiзм
T : Λ −→ Mn(K), де Mn(K) алгебра всiх квадратних матриць порядку
n над K (n називається розмiрнiстю зображення T ).
Нехай T — матричне зображення скiнченно-породженої алгебри
Λ. Позначимо через p(T ) максимальне число незалежних параме-
трiв матрицi X, що задовольняє систему лiнiйних матричних рiвнянь
T (λ)X = XT (λ), де λ пробiгає алгебру Λ. Легко бачити, що цi рiвнян-
ня достатньо взяти лише для твiрних i тодi p(T ) дорiвнює корангу
по стовпцяx матрицi вiдповiдної системи лiнiйних скалярних рiвнянь
вiдносно елементiв матрицi X. Очевидно, що p(T ) не залежить вiд ви-
бору системи твiрних i не змiнюється при замiнi T на еквiвалентне
йому зображення.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Σ-функцiя числа параметрiв для системи матричних зображень... 57
Нехай тепер T = {T1, T2, . . . , Tm} — система матричних зображень
(скiнченно-породженої) алгебри Λ. Для s ∈ [1,m] =: {1, 2, . . . ,m} по-
кладемо
ps(T ) =
∑
i1<i2<...<is
p(Ti1 ⊕ Ti2 ⊕ . . .⊕ Tis).
Введемо (для системи T ) функцiю ΣT (s) : [1,m] −→ N, яка чи-
слу s ∈ [1,m] зiставляє натуральне число ps(T ); будемо називати її
Σ-функцiєю числа параметрiв для T або просто Σ-функцiєю системи
T . У випадку, коли Λ є алгеброю скiнченного зображувального типу
над полем K (тобто має скiнченне число класiв еквiвалентностi нероз-
кладних зображень), а T — повна система її нерозкладних попарно
нееквiвалентних матричних зображень, Σ-функцiю системи T нази-
ваємо Σ-функцiєю алгебри Λ; при цьому покладемо ps(Λ) = ps(T ) i
ΣΛ(s) = ΣT (s). У цьому випадку Σ-функцiя однозначно визначається
вiдповiдною алгеброю Ауслендера i, отже, є її функцiональною харак-
теристикою.
Зрозумiло, що подiбнi означення можна ввести для груп i напiвгруп
(вивчення зображень яких еквiвалентне вивченню зображень групових
та напiвгрупових алгебр). I взагалi вони узагальнюються на довiльнi
класифiкацiйнi матричнi задачi; роль матриць X в цих випадках (як,
мiж iншим, i у розглянутому) вiдiграють ендоморфiзми вiдповiдних
категорiй.
2. Приклади з однiєю матрицею. Через St(T ), де T —
матричне зображення алгебри Λ, будемо позначати множину всiх ма-
триць X таких, що T (λ)X = XT (λ) для довiльного λ ∈ Λ.
Приклад 1: A2 = AA2 = AA2 = A. Розглянемо алгебру Λ1
2, породжену одним
елементом a таким, що a2 = a. Її матричне зображення задається iдем-
потентною матрицею A. За її повну систему нерозкладних попарно не-
еквiвалентних матричних зображень природно взяти таку, що склада-
ється iз наступних двох зображень: 1) T1 : a −→ 0; 2) T2 : a −→ 1. Оче-
видно, p(T1) = p(T2) = 1, а оскiльки матриця X належить St(T1 ⊕ T2)
тодi i лише тодi, коли вона дiагональна, то p(T1⊕T2) = 2. Таким чином,
ΣΛ1
2
(s) ≡ 2.
Приклад 2: A2 = 0A2 = 0A2 = 0. Розглянемо алгебру Λ0
2, породжену одним еле-
ментом a таким, що a2 = 0. Її матричне зображення задається матри-
цею A, рiвною в квадратi нулю.
58 В. М. Бондаренко, О. В. Зубарук
За її повну систему нерозкладних попарно нееквiвалентних матрич-
них зображень природно взяти таку, що складається iз наступних двох
зображень:
1) T1 : a −→ 0;
2) T2 : a −→
(
0 1
0 0
)
.
Очевидно, що p(T1) = 1, а оскiльки матриця X ∈ St(T2) має вигляд
X =
(
x11 x12
0 x11
)
,
то p(T2) = 2. Отже, p1(Λ0
2) = p(T1) + p(T2) = 3.
Розглянемо тепер суму нерозкладних зображення
T = T1 ⊕ T2 =
0 0 0
0 0 1
0 0 0
.
Матриця X ∈ St(T ), як легко обчислити, має вигляд x11 0 x13
x21 x22 x23
0 0 x22
i значить p(T ) = 5.
Таким чином,
ΣΛ0
2
(s) =
{
3, якщо s = 1,
5, якщо s = 2.
3. Пари iдемпотентних матриць. Нехай Λ11
22, — алгебра,
породжена елементами a, b такими, що a2 = a, b2 = b. Її матричне
зображення задається парою iдемпотентних матриць A,B. Пiсля при-
ведення матрицi A до канонiчного вигляду
A =
(
E 0
0 0
)
, (1)
Σ-функцiя числа параметрiв для системи матричних зображень... 59
де E позначає, як звичайно, одиничну матрицю, маємо задачу про
подiбнiсть матриць
B =
(
B11 B12
B21 B22
)
, (2)
з розбиттям на блоки, узгодженим з розбиттям матрицi A, за допо-
могою блоково-дiагональних матриць (бо такi i лише такi матрицi не
змiнюють вигляд матрицi A при перетвореннях подiбностi). Остання
задача є ручною (дозволяє явний опис) i має, з точнiстю до подiбностi,
нескiнченну кiлькiсть нерозкладних пар матриць; див. [1].
Ми розглянемо для твiрних алгебри Λ11
22 додаткове спiввiдношення
ab = 0. Нову алгебру (яка iзоморфна фактор-алгебрi заданої) позначи-
мо через
−→
Λ 11
22. Її матричне зображення задається парою матриць A,B
iз наступними спiввiдношеннями:
A2 = A, B2 = B, AB = 0. (3)
Теорема 1. Нерозкладнi матричнi зображення
−→
Λ 11
22 над полем K ви-
черпуються, з точнiстю до еквiвалентностi, наступними (попарно
нееквiвалентними) зображеннями:
1) a → 0, b → 0;
2) a → 0, b → 1;
3) a → 1, b → 0;
4) a →
(
1 0
0 0
)
, b →
(
0 0
1 1
)
.
Доведення. Нехай маємо довiльне матричне зображення алгебри
−→
Λ 11
22,
що задається матрицями (1), (2) i спiввiдношеннями (3). Спочатку
скористаємося рiвнiстю AB = 0:(
E 0
0 0
)(
B11 B12
B21 B22
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Звiдси маємо B11 = 0, B12 = 0, тобто
B =
(
0 0
B21 B22
)
.
60 В. М. Бондаренко, О. В. Зубарук
Далi використаємо спiввiдношення B2 = B:(
0 0
B21 B22
)2
=
(
0 0
B22B21 B2
22
)
=
(
0 0
B21 B22
)
. (4)
Звiдси B2
22 = B22 i, значить, B22 подiбна матрицi вигляду(
E 0
0 0
)
,
а оскiльки подiбнiсть матрицi B22 пiднiмається до подiбностi пари мат-
риць A,B, то можна вважати, що
B =
0 0 0
B′
21 E 0
B′
31 0 0
, (5)
де (
B′
21
B′
31
)
= B21.
Iз рiвностi B22B21 = B21 (див. (4)) маємо, що B′
31 = 0. Що стосується
(єдиної ще неприведеної) матрицi B′
21, то iснують оборотнi матрицi C
i D такi, що
CB′
21D =
(
0 E
0 0
)
.
Оскiльки перетворення (C,D) пiднiмається до подiбностi пари мат-
риць A,B, то iз (1) i (5) випливає, що матрицi A i B, мають наступний
вигляд:
A =
E 0 0 0 0
0 E 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
, B =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 E E 0 0
0 0 0 E 0
0 0 0 0 0
.
Легко бачити, що отримана нами пара матриць розкладається в
пряму суму матричних зображень вигляду 1) – 4), вказаних в умовi
теореми.
Треба ще впевнитися в тому, що зображення 1) – 4) нерозкладнi i
попарно нееквiвалентнi.
Σ-функцiя числа параметрiв для системи матричних зображень... 61
Зображення 1) – 3) нерозкладнi як зображення розмiрностi 1. Як-
би зображення 4) було розкладним, то iз мiркування рiвностi рангiв
подiбних матриць воно було б еквiвалентним прямiй сумi зображень
2) i 3), а це неможливо, бо в одному випадку сума матриць, що вiдпо-
вiдають елементам a i b, дорiвнює одиничнiй матрицi, а в другому —
(нижнiй) клiтинi Жордана з власним числом одиниця. Попарна неек-
вiвалентнiсть зображень 1) – 4) очевидна.
Обчислимо Σ-функцiю числа параметрiв для системи нерозкладних
зображень T = {T1, T2, T3, T4}.
Очевидно, p(T1) = p(T2) = p(T3) = 1.
Розглянемо нерозкладне зображення T4 = {A4, B4}. Тодi
A4 =
(
1 0
0 0
)
, B4 =
(
0 0
1 1
)
.
Легко бачити, що якщо X ∈ St(T4), тобто A4X = XA4, B4X = XB4,
то
X =
(
x11 0
0 x11
)
.
Значить p(T4) = 1 i, отже, p1(T ) = p(T1) + p(T2) + p(T3) + p(T4) = 4.
Розглянемо зображення Tij = {Aij , Bij} = Ti ⊕ Tj , де i < j,
i, j ∈ {1, 2, 3}. Тодi матрицi Aij i Bij дiагональнi, причому хоча б одна
iз них має рiзнi числа на головнiй дiагоналi. Тодi матриця X належить
St(Tij) тодi i лише тодi, коли вона дiагональна, а значить p(Tij) = 2.
Отже, p(T1 ⊕ T2) = p(T1 ⊕ T3) = p(T2 ⊕ T3) = 2.
Розглянемо зображення T14 = {A14, B14} = T1 ⊕ T4. Тодi
A14 =
0 0 0
0 1 0
0 0 0
, B14 =
0 0 0
0 0 0
0 1 1
.
Легко обчислити, що якщо X ∈ St(T14), то
X =
x11 0 0
0 x22 0
0 0 x22
.
Значить p(T1 ⊕ T4) = 2.
62 В. М. Бондаренко, О. В. Зубарук
Розглянемо зображення T24 = {A24, B24} = T2 ⊕ T4. Тодi
A24 =
0 0 0
0 1 0
0 0 0
, B24 =
1 0 0
0 0 0
0 1 1
.
Легко обчислити, що якщо X ∈ St(T24), то
X =
x11 0 0
0 x22 0
x31 0 x22
.
Значить p(T2 ⊕ T4) = 3.
Розглянемо зображення T34 = {A34, B34} = T3 ⊕ T4. Тодi
A34 =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
, B34 =
0 0 0
0 0 0
0 1 1
.
Легко обчислити, що якщо X ∈ St(T34), то
X =
x11 x12 0
0 x22 0
0 0 x22
.
Значить p(T3 ⊕ T4) = 3.
Отже, p2(T ) = p(T1 ⊕ T2) + p(T1 ⊕ T3) + p(T2 ⊕ T3) + p(T1 ⊕ T4) +
p(T2 ⊕ T4) + p(T3 ⊕ T4) = 14.
Розглянемо зображення T123 = {A123, B123} = T1 ⊕ T2 ⊕ T3. Тодi
A123 =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
, B123 =
0 0 0
0 1 0
0 0 0
.
Легко обчислити, що якщо X ∈ St(T123), то
X =
x11 0 0
0 x22 0
0 0 x33
.
Значить p(T1 ⊕ T2 ⊕ T3) = 3.
Σ-функцiя числа параметрiв для системи матричних зображень... 63
Розглянемо зображення T124 = {A124, B124} = T1 ⊕ T2 ⊕ T4. Тодi
A124 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
, B124 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
.
Легко обчислити, що якщо X ∈ St(T124), то
X =
x11 0 0 0
0 x22 0 0
0 0 x33 0
0 x42 0 x33
.
Значить p(T1 ⊕ T2 ⊕ T4) = 4.
Розглянемо зображення T134 = {A134, B134} = T1 ⊕ T3 ⊕ T4. Тодi
A134 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
, B134 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
.
Легко обчислити, що якщо X ∈ St(T134), то
X =
x11 0 0 0
0 x22 x23 0
0 0 x33 0
0 0 0 x33
.
Значить p(T1 ⊕ T3 ⊕ T4) = 4.
Розглянемо зображення T234 = {A234, B234} = T2 ⊕ T3 ⊕ T4. Тодi
A234 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
, B234 =
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
.
Легко обчислити, що якщо X ∈ St(T234), то
X =
x11 0 0 0
0 x22 x23 0
0 0 x33 0
x41 0 0 x33
.
64 В. М. Бондаренко, О. В. Зубарук
Тобто, p(T2 ⊕ T3 ⊕ T4) = 5.
Отже, p3(T ) = p(T1 ⊕ T2 ⊕ T3) + p(T1 ⊕ T2 ⊕ T4)+
+p(T1 ⊕ T3 ⊕ T4) + p(T2 ⊕ T3 ⊕ T4) = 16.
Розглянемо зображення T1234 = {A1234, B1234} = T1 ⊕ T2 ⊕ T3 ⊕ T4.
Тодi
A1234 =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
, B1234 =
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
.
Легко обчислити, що якщо X ∈ St(T1234), то
X =
x11 0 0 0 0
0 x22 0 0 0
0 0 x33 x34 0
0 0 0 x44 0
0 x52 0 0 x44
.
Отже, p4(T ) = p(T1 ⊕ T2 ⊕ T3 ⊕ T4) = 6.
Таким чином, доведена наступна теорема.
Теорема 2.
Σ−→
Λ 11
22
(s) =
4, якщо s = 1,
14, якщо s = 2,
16, якщо s = 3,
6, якщо s = 4.
Лiтература
[1] Bondarenko V. M. Linear operators on vector spaces graded by posets wi-
th involution: tame and wild cases // Proc. of Institute of Math. of NAS
of Ukraine /Mathematics and its Applications/. — 63. — K.: Institute of
Mathematics of NAS of Ukraine, 2006.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-157 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:13Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a6/26e77425185fb3d84d95b0b681f2b5a6.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1572018-01-23T12:10:05Z $\pmb{\Sigma}$-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples $\pmb{\Sigma}$-функція числа параметрів для системи матричних зображень: початкові поняття та приклади Bondarenko, V. M. Zubaruk, O. V. Бондаренко, В. М. Зубарук, О. В. In this paper we introduce the notion of -function for a finite system of matrix representations of an algebra and consider an examples for completesystems of algebras with finite number of indecomposable representations. У статті вводиться поняття $\Sigma$-функції для скінченної системи матрич\-них зображень алгебри та розглядаються приклади для повних систем алгебр зі скінченним числом нерозкладних зображень. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/157 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 56–64 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 56–64 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 56–64 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/157/128 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Bondarenko, V. M. Zubaruk, O. V. Бондаренко, В. М. Зубарук, О. В. $\pmb{\Sigma}$-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples |
| title | $\pmb{\Sigma}$-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples |
| title_alt | $\pmb{\Sigma}$-функція числа параметрів для системи матричних зображень: початкові поняття та приклади |
| title_full | $\pmb{\Sigma}$-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples |
| title_fullStr | $\pmb{\Sigma}$-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples |
| title_full_unstemmed | $\pmb{\Sigma}$-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples |
| title_short | $\pmb{\Sigma}$-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples |
| title_sort | $\pmb{\sigma}$-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/157 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovm pmbsigmafunctionofnumberofparametersforasystemofmatrixrepresentationsinitialconceptsandexamples AT zubarukov pmbsigmafunctionofnumberofparametersforasystemofmatrixrepresentationsinitialconceptsandexamples AT bondarenkovm pmbsigmafunctionofnumberofparametersforasystemofmatrixrepresentationsinitialconceptsandexamples AT zubarukov pmbsigmafunctionofnumberofparametersforasystemofmatrixrepresentationsinitialconceptsandexamples AT bondarenkovm pmbsigmafunkcíâčislaparametrívdlâsistemimatričnihzobraženʹpočatkovíponâttâtaprikladi AT zubarukov pmbsigmafunkcíâčislaparametrívdlâsistemimatričnihzobraženʹpočatkovíponâttâtaprikladi AT bondarenkovm pmbsigmafunkcíâčislaparametrívdlâsistemimatričnihzobraženʹpočatkovíponâttâtaprikladi AT zubarukov pmbsigmafunkcíâčislaparametrívdlâsistemimatričnihzobraženʹpočatkovíponâttâtaprikladi |