Estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space Lq
It have been obtained exact order estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ in the space $L_q$ for some values of $p$ and $q$.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/158 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552680203747328 |
|---|---|
| author | Vlasyk, G. M. Власик, Г. М. |
| author_facet | Vlasyk, G. M. Власик, Г. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. М. Власик",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Vlasyk, G. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | It have been obtained exact order estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ in the space $L_q$ for some values of $p$ and $q$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 65–77
УДК 517.5
Г. М. Власик
(Iнститут математики НАН України, Київ)
annawlasik@gmail.com
Оцiнки ортопроекцiйних
поперечникiв класiв Lψβ,p перiодичних
функцiй у просторi Lq
It have been obtained exact order estimates of orthoprojective widths of
the classes Lψβ,p in the space Lq for some values of p and q.
Отримано точнi за порядком оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв
класiв Lψβ,p у просторi Lq для деяких спiввiдношень мiж параметра-
ми p i q.
1. Вступ. У роботi встановлюються точнi за порядком оцiнки
ортопроекцiйних поперечникiв класiв Lψβ,p перiодичних функцiй однiєї
змiнної у просторi Lq для певних спiввiдношень мiж параметрами p
та q. Паралельно дослiджено наближення класiв Lψβ,p в метрицi Lq
лiнiйними операторами, якi пiдпорядковуються деяким умовам. Бiльш
детально про цi величини мова буде йти пiзнiше, а спочатку наведемо
необхiднi позначення та означення.
Нехай Lq — простiр 2π-перiодичних i сумовних у степенi q,
1 ≤ q <∞, (вiдповiдно суттєво обмежених при q = ∞) на вiдрiзку
[−π, π] функцiй f . Норма в цьому просторi визначається таким чином:
∥f∥Lq = ∥f∥q =
(
1
2π
π∫
−π
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 ≤ q <∞,
ess sup
x∈[−π,π]
|f(x)| , q = ∞.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
66 Г. М. Власик
Для функцiї f ∈ L1 розглянемо її ряд Фур’є∑
k∈Z
f̂(k)eikx,
де f̂(k) = 1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Скрiзь нижче будемо вважати, що для f ∈ L1 виконується умова
π∫
−π
f(t)dt = 0.
Далi нехай ψ ̸= 0 — довiльна функцiя натурального аргументу, β —
довiльне фiксоване дiйсне число. Якщо ряд∑
k∈Z\{0}
ei
π
2 βsignk
ψ(|k|)
f̂(k)eikx
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи О.I. Степанця
[1, с. 25] (див. також [2, Т. 1, с. 132]), назвемо (ψ, β)-похiдною функцiї
f i позначимо fψβ . Множину функцiй f , що задовольняють таку умову,
позначатимемо Lψβ . Надалi будемо вважати, що функцiя f належить
класу Lψβ,p, якщо
f ∈ Lψβ i f
ψ
β ∈ Up = {φ : φ ∈ Lp, ∥φ∥p ≤ 1}, 1 ≤ p ≤ ∞.
Зауважимо, що при ψ(|k|) = |k|−r, r > 0, k ∈ Z \ {0}, класи Lψβ,p
спiвпадають з класами Вейля-Надя W r
p,β (див., наприклад, [1, с. 25]).
Позначимо через Ψ множину функцiй ψ, що задовольняють умови:
1) ψ — додатнi i незростаючi;
2) iснує стала C > 0 така, що
ψ(t)
ψ(2t)
≤ C, ∀t ∈ N.
Зазначимо, що до множини Ψ належать, наприклад, функцiї
1
tr , r > 0; lnγ(t+1)
tr , γ ∈ R, r > 0 та iн.
Надалi для величин A i B запис A ≍ B означає, що iснують дода-
тнi сталi C1 та C2 такi, що C1A ≤ B ≤ C2A. Якщо тiльки B ≤ C2A
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв Lψβ,p . . . 67
(B ≥ C1A), то пишемо B ≪ A (B ≫ A). Всi константи Ci, i = 1, 2, ...,
якi будуть зустрiчатися у роботi, можуть залежати лише вiд тих пара-
метрiв, що входять в означення класу та метрики, у якiй вимiрюється
похибка наближення.
Тепер перейдемо до означення дослiджуваних апроксимативних ха-
рактеристик.
Нехай {uj}mj=1 — ортонормована система функцiй uj ∈ L∞, j = 1,m.
Кожнiй функцiї f ∈ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, поставимо у вiдповiднiсть апарат
наближення вигляду
m∑
j=1
(f, uj)uj(x),
де
(f, uj) =
1
2π
π∫
−π
f(x)uj(x)dx,
а uj — функцiї комплексно-спряженi до uj .
Якщо F ⊂ Lq — деякий функцiональний клас, то величина
d⊥m(F,Lq) = inf
{uj}mj=1
sup
f∈F
∥∥∥∥f −
m∑
j=1
(f, uj)uj
∥∥∥∥
q
(1)
називається ортопроекцiйним поперечником цього класу в просторi Lq.
Ортопроекцiйний поперечник був введений В.М. Темляковим [3].
Паралельно з поперечниками d⊥m(F,Lq) будемо розглядати величи-
ни dBm(F,Lq), також введенi В.М. Темляковим (див., наприклад, [4]),
якi для функцiонального класу F ⊂ Lq означаються за формулою
dBm(F,Lq) = inf
G∈Lm(B)q
sup
f∈F∩D(G)
∥∥∥∥f −Gf
∥∥∥∥
q
. (2)
Тут через Lm(B)q позначено множину лiнiйних операторiв G, якi
задовольняють умови:
а) область визначення D(G) цих операторiв мiстить всi тригоно-
метричнi полiноми, а їх область значення мiститься в пiдпросторi Lq
розмiрностi m;
б) число B ≥ 1 i для всiх k виконується нерiвнiсть ||Geikx||2 ≤ B.
Зауважимо, що до Lm(1)2 належать зокрема оператори ортогональ-
ного проектування на пiдпростори розмiрностi m, а також оператори,
68 Г. М. Власик
якi задаються по ортонормованiй системi функцiй за допомогою муль-
типлiкатора, котрий означається послiдовнiстю {λl} такою, що |λl| ≤ 1
для всiх l.
Iз означення величин d⊥m(F,Lq) i dBm(F,Lq) слiдує, що вони пов’язанi
мiж собою нерiвнiстю
dBm(F,Lq) ≤ d⊥m(F,Lq). (3)
Iз нерiвностi (3) видно, що оцiнки знизу величин dBm(F,Lq) мо-
жуть слугувати оцiнками знизу для ортопроекцiйних поперечникiв
d⊥m(F,Lq) i, навпаки, оцiнки зверху для поперечникiв d⊥m(F,Lq) можна
використовувати для оцiнок зверху величини dBm(F,Lq). Ця обставина
буде врахована при доведеннi вiдповiдних тверджень. Вiдмiтимо та-
кож, що при доведеннi оцiнок знизу величини dBm(F,Lq) будемо вико-
ристовувати метод, який застосовував В.М. Темляков при встановлен-
нi оцiнок цих величин для деяких функцiональних класiв [3–5]. Суть
цього методу полягає в побудовi функцiй з класiв Lψβ,p, якi "погано"
наближаються за допомогою операторiв G.
Детальнiшу iнформацiю стосовно дослiдження величин (1) i (2) мо-
жна знайти в роботах [3], [5–12], а також у монографiях [4, 13].
2. Допомiжнi твердження. У цьому пунктi сформулюємо
декiлька вiдомих тверджень, якi нами будуть використовуватися при
доведеннi отриманих результатiв.
Нехай Lψβ,p ⊂ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, тодi через En(Lψβ,p)q, будемо позначати
величини
En(Lψβ,p)q = sup
f∈Lψβ,p
∥∥∥∥f(x)− n∑
k=−n
f̂(k)eikx
∥∥∥∥
q
.
Зазначимо, що величини d⊥m(Lψβ,p, Lq) i En(Lψβ,p)q, де m = 2n + 1,
пов’язанi мiж собою нерiвнiстю
d⊥m(Lψβ,p, Lq) ≤ En(Lψβ,p)q. (4)
Теорема A [14]. Нехай 1 < p, q < ∞, ψ ∈ Ψ, β ∈ R, i, крiм того,
ψ(τ)τα не зростає. Тодi
Em(Lψβ,p)q ≍ ψ(m)mα,
де α = (1/p− 1/q)+, a+ = max{0; a}.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв Lψβ,p . . . 69
Лема A [5]. Нехай A — лiнiйний оператор, такий, що для довiльно-
го k
Aeikx =
m∑
l=1
akl ψl(x), (5)
де {ψl(x)}ml=1 — ортонормована система функцiй. Тодi для довiльного
тригонометричного полiнома t виконується нерiвнiсть
min
y=x
ReAt(x− y) ≤
(
m
m∑
l=1
∑
k
| ˆakl t(k)|
2
)1/2
. (6)
Нехай f ∈ Lq, 1 < q <∞. Для s ∈ N розглянемо множину
ρ(s) =
{
k : 2s−1 ≤ |k| < 2s
}
i покладемо
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)eikx.
Теорема Б (Лiттлвуда-Пелi) (див., наприклад, [13, с. 17]). Нехай за-
дано 1 < q < ∞. Тодi iснують додатнi сталi C3, C4 такi, що для
кожної функцiї f ∈ Lq має мiсце оцiнка
C3∥f∥q ≤
∥∥∥∥∥
(∑
s
|δs(f, ·)|2
)1/2 ∥∥∥∥∥
q
≤ C4∥f∥q.
Нехай
Tm =
{
t : t(x) =
m∑
k=−m
cke
ikx
}
.
Тодi справедливе наступне твердження.
Теорема В (див., наприклад, [15, с. 159]). Нехай t ∈ Tm,m > 0. Тодi
при 1 ≤ q < p <∞ виконується нерiвнiсть
∥t∥p ≪ m1/q−1/p∥t∥q. (7)
Це спiввiдношення є частковим випадком нерiвностi, яка була дове-
дена Нiкольським С.М. i вiдома як "нерiвнiсть рiзних метрик". Заува-
жимо також, що у випадку d = 1 i p = ∞ вiдповiдну нерiвнiсть довiв
Джексон [16].
70 Г. М. Власик
Теорема Г [17]. Нехай ψ ∈ Ψ, β ∈ R, 1 < p < ∞. Тодi для t ∈ Tm
справедлива оцiнка
∥tψβ ∥p ≪ ψ−1(m)∥t∥p.
Теорема Д [18]. Нехай 1 < q ≤ ∞, β ∈ R, ψ ∈ Ψ ∩ Ψq′ , 1
q +
1
q′ = 1,
де Ψq′ — множина монотонно незростаючих функцiй ψ(τ), для яких
iснує стала α > 1
q′ така, що функцiя ψ(τ)τα майже спадає, i викону-
ється одна з умов
∆2
(
1
ψ(k)
)
≥ 0, k ∈ N, (8)
або
∆2
(
1
ψ(k)
)
≤ 0, k ∈ N, (9)
де
∆2
(
1
ψ(k)
)
=
1
ψ(k)
− 2
ψ(k + 1)
+
1
ψ(k + 2)
.
Тодi справедливе наступне спiввiдношення
Em(Lψβ,1)q ≍ ψ(m)m
1
q′ .
Твердження А [2, Т.II, с. 119]. Нехай ψ(τ) — довiльна незростаюча
послiдовнiсть невiд’ємних чисел, для яких виконується одна з умов
( 8) або ( 9) i, крiм того,∣∣∣∣ sin βπ2
∣∣∣∣m−1∑
k=1
ψ(m)(kψ(k))−1 = O(1), (10)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по m. Тодi для довiльного
тригонометричного полiнома t ∈ Tm виконується нерiвнiсть
∥tψβ ∥1 ≤ O(1)|ψ(m)|−1∥t∥1,
в якiй величина O(1) — рiвномiрно обмежена по m i t.
3. Основнi результати. Має мiсце таке тведження.
Теорема 1. Нехай 1 < p < q < ∞, ψ ∈ Ψ, β ∈ R i, крiм того, iснує
таке ε > 0, що ψ(τ)τ1/p−1/q+ε не зростає, τ ∈ N. Тодi
dBm(Lψβ,p, Lq) ≍ d⊥m(Lψβ,p, Lq) ≍ ψ(m)m1/p−1/q. (11)
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв Lψβ,p . . . 71
Доведення. Оцiнки зверху в (11) одержуються з оцiнок наближення
функцiй з класiв Lψβ,p сумами Фур’є у метрицi простору Lq. Для цього
достатньо скористатися теоремою А та нерiвностями (3) i (4)
dBm(Lψβ,p, Lq) ≤ d⊥m(Lψβ,p, Lq) ≪ Em(Lψβ,p)q ≍ ψ(m)m1/p−1/q.
Тепер перейдемо до встановлення в (11) оцiнок знизу, зробивши
попередньо деякi зауваження.
При оцiнцi знизу величин dBm(Lψβ,p, Lq) будемо вважати, що опера-
тори G належать Lm(B)2. Для зручностi наведемо вiдповiднi мiрку-
вання Темлякова В.М. (див., наприклад, [5]), якi пiдтверджують, що
таке припущення не є додатковим обмеженням на оператор G.
У випадку q ≥ 2 умова G ∈ Lm(B)2 є безпосереднiм наслiдком умо-
ви G ∈ Lm(B)q. Покажемо тепер, що якщо G ∈ Lm(B)q при 1 ≤ q < 2,
то також можна вважати, що G ∈ Lm(B)2.
Дiйсно, нехай m ∈ N, x ∈ R i
Vm(x) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kx+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kx
— ядро Валле-Пуссена. Позначимо через Vm оператор, що дiє на фун-
кцiю f ∈ Lq наступним чином
Vmf = f ∗ Vm,
де ∗ — операцiя згортки.
Вiдомо, що для довiльної функцiї f ∈ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, виконується
спiввiдношення
∥Vmf∥q ≤ 3∥f∥q,
i, крiм цього, для t ∈ Tm
Vmt = t.
Нехай G ∈ Lm(B)q. Розглянемо оператор A = VmG. Тодi
A ∈ Lm(B)2 i для t ∈ Tm можемо записати
∥f −Af∥q = ∥Vm(f −Af)∥q ≤ 3∥f −Gf∥q.
Iз цiєї нерiвностi випливає, що при отриманнi порядкових оцiнок знизу
величин dBm(Lψβ,p, Lq) можна вважати, що G ∈ Lm(B)2.
72 Г. М. Власик
Отже, нехай оператор G ∈ Lm(B)2 i для довiльного k
Geikx =
m∑
l=1
akl ψl(x),
де {ψl}ml=1 — ортонормована система функцiй. Зазначимо, що для до-
вiльного m i k
m∑
l=1
|akl |2 ≤ B2,
а для довiльного l ∑
k
|ψ̂l(k)|2 ≤ 1. (12)
Тепер перейдемо безпосередньо до отримання оцiнки знизу величин
dBm(Lψβ,p, Lq).
Розглянемо функцiю
φn(x) = K2n−1(x),
де
Kl−1(t) =
l−1∑
k=−(l−1)
(
1− |k|
l
)
eikx
— ядро Фейєра порядку l, Kl−1(t) ≡ 1 при l ≤ 1.
Нехай задано оператор G ∈ Lm(B)q i 2n+1 > m, 2n ≍ m. Розглянемо
оператор
A = S2nG ∈ Lm(B)q,
де S2n — оператор Фур’є, який спiвставляє кожнiй функцiї f ∈ L1 її
частинну суму виду
S2n(f, x) =
2n∑
k=−2n
f̂(k)eikx.
Зазначимо, що згiдно з наслiдком з теореми Б
∥S2n∥q→q ≤ C5, 1 < q <∞, l ∈ N ∪ {0},
i тому для f ∈ Tm, можемо записати
∥f −Af∥q = ∥S2n(f −Gf)∥q ≪ ∥f −Gf∥q. (13)
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв Lψβ,p . . . 73
Iз спiввiдношення (13) випливає, що оцiнку знизу достатньо встанови-
ти для класу Lψβ,p ∩ Tm i операторiв A ∈ Lm(B)q з областю значень
в Tm. Тодi для оператора A i класу функцiй Lψβ,p можемо записати
спiввiдношення, яке є наслiдком (13),
inf
A∈Lm(B)q
sup
f∈Lψβ,p∩Tm
∥f −Af∥q ≪ dBm(Lψβ,p, Lq). (14)
Для встановлення оцiнки знизу для величин в лiвiй частинi спiв-
вiдношення (14) розглянемо величину
I = sup
y
∥φn(x− y)−Aφn(x− y)∥∞,
Легко бачити, що
I ≥ φn(0)−min
y=x
Re Aφn(x− y). (15)
Оцiнимо кожний даданок правої частини (15). Згiдно з означенням
функцiї φn можемо записати
φn(0) ≥ C6N, C6 > 0. (16)
Далi, нехай {ψl}ml=1 — ортонормована система функцiй i
Aeikx =
m∑
l=1
akl ψl(x).
Тодi ( m∑
l=1
|akl |2
)1/2
≤ B, (17)
i, згiдно з лемою А та нерiвностями (12) i (17), маємо
min
y=x
ReAφn(x− y) ≤
(
m
m∑
l=1
∑
k
|akl φ̂n(k)|2
)1/2
≤
≤
(
m
m∑
l=1
∑
k
|akl |2
)1/2
=
(
m
∑
k
m∑
l=1
|akl |2
)1/2
≤ B(m2n+1)1/2. (18)
74 Г. М. Власик
Виберемо n ∈ N так, щоб виконувалось спiввiдношення m ≍ 2n,
2n > 2B(m2n+1)1/2.
Тодi, використовуючи оцiнки (15) – (18), отримуємо
I = sup
y
∥φn(x− y)−Aφn(x− y)∥∞ ≫ 2n.
Вiдповiдно, знайдеться y∗ такий, що
∥φn(x− y∗)−Aφn(x− y∗)∥∞ ≫ 2n. (19)
Далi, згiдно з "нерiвнiстю рiзних метрик" (7) для полiнома t ∈ T2n
можемо записати
∥t∥∞ ≪ 2n/q∥t∥q,
i вiдповiдно
∥t∥q ≫ 2−n/q∥t∥∞.
Таким чином, скориставшись (19), отримаємо
∥φn(x− y∗)−Aφn(x− y∗)∥q ≫
≫ 2−n/q∥φn(x− y∗)−Aφn(x− y∗)∥∞ ≫
≫ 2−n/q2n = 2n(1−1/q). (20)
Для завершення доведення оцiнки знизу величин dBm(Lψβ,p, Lq) роз-
глянемо функцiю
g(x) = C7ψ(2
n)2−n(1−1/p)φn(x), C7 > 0.
Використовуючи властивiсть ядра Фейєра (див., наприклад, [13,
с. 27]),
∥K2n−1∥p ≍ 2n(1−1/p), 1 ≤ p ≤ ∞, (21)
згiдно з теоремою Г, легко переконатися, що g ∈ Lψβ,p, 1 < p <∞:
∥gψβ ∥p ≪ ψ−1(2n)∥g∥p ≪
≪ 2−n(1−1/p)ψ−1(2n)ψ(2n)∥φn∥q ≪
≪ 2−n(1−1/p)2n(1−1/p) = 1.
Звiдси слiдує, що при певному виборi сталої C7 > 0 функцiя g ∈ Lψβ,p.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв Lψβ,p . . . 75
Таким чином, скориставшись оцiнкою (20), на пiдставi (14), будемо
мати
dBm(Lψβ,p, Lq) ≫ ∥g(x− y∗)−Ag(x− y∗)∥q ≫
≫ ψ(2n)2−n(1−1/p)∥φn(x− y∗)−Aφn(x− y∗)∥q ≫
≫ ψ(2n)2−n(1−1/p)2n(1−1/q) = ψ(2n)2n(1/p−1/q) ≍ ψ(m)m1/p−1/q. (22)
Оцiнка знизу, а разом з нею i теорема 1 доведенi.
Теорема 2. Нехай 1 < q <∞, ψ ∈ Ψ, β ∈ R, виконується одна з умов
( 8) або ( 9) i, крiм того, iснує таке ε > 0, що ψ(τ)τ1−1/q+ε, τ ∈ N, не
зростає. Тодi
dBm(Lψβ,1, Lq) ≍ d⊥m(Lψβ,1, Lq) ≍ ψ(m)m1−1/q. (23)
Доведення. Оцiнки зверху в (23) випливають iз теореми Д та нерiв-
ностей (3) i (4)
dBm(Lψβ,1, Lq) ≤ d⊥m(Lψβ,1, Lq) ≪ Em(Lψβ,1)q ≍ ψ(m)m1−1/q.
Для встановлення оцiнки знизу величин dBm(Lψβ,1, Lq) розглянемо
функцiю
g1(x) = C8ψ(2
n)φn(x), C8 > 0.
Покажемо, що при певному виборi сталої C8 функцiя g1 належить
класу Lψβ,1. Для цього достатньо пересвiдчитися, що ∥(g1)ψβ ∥ ≪ 1. Iз
цiєю метою скористаємося твердженням А.
Зауважимо, що умова (10) виконується, оскiльки iснує таке число
α > 1− 1/q, що послiдовнiсть η(m) = ψ(m)mα не зростає, а
m−1∑
k=1
ψ(m)
kψ(k)
=
m−1∑
k=1
η(m)kα
mαη(k)k
≤ 1
mα
m−1∑
k=1
kα
k
≤ 1.
Отже, на пiдставi твердження А i спввiдношення (21) одержимо,
що
∥(g1)ψβ ∥1 ≪ ψ−1(2n)∥g1∥1 ≪ ψ−1(2n)ψ(2n) = 1,
звiдки слiдує, що g1 належить класу Lψβ,1.
Таким чином, скориставшись оцiнкою (20), згiдно з (14), будемо
мати
dBm(Lψβ,1, Lq) ≫ ∥g1(x− y∗)−Ag1(x− y∗)∥q ≫
76 Г. М. Власик
≫ ψ(2n)∥φn(x− y∗)−Aφn(x− y∗)∥q ≫
≫ ψ(2n)2n(1−1/q) ≍ ψ(m)m1−1/q.
Оцiнка знизу, а разом з нею i теорема 2 доведенi.
Зауваження 1. Якщо ψ(|k|) = |k|−r, r > 1/p− 1/q, 1 ≤ p < q ≤ ∞, то
вiдповiднi твердження до теореми 1 i 2 встановлено В.М. Темляковим
(див., наприклад, [13, с. 54 – 56]).
Лiтература
[1] Степанец А.И. Классификация и приближение периодических фун-
кций. — К.: Наук. думка, 1987. — 268 с.
[2] Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 т. — К.: Ин-т мате-
матики НАН Украины, 2002. — 40 — Т.I. — 427 с.; Т.II. — 468 с.
[3] Темляков В.Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких
переменных // Докл. АН СССР. — 1982. — 267, №2. — С. 314 – 317.
[4] Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной прои-
зводной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178, №2. — С. 3 – 113.
[5] Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов фун-
кций с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр.
Мат. ин-та АН СССР. — 1989. — 189. — С. 138 – 168.
[6] Романюк А.С. Оценки аппроксимативных характеристик классов Бе-
сова Brp,θ периодических функций многих переменных в пространстве
Lq. I // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, №9. — С. 1224 – 1231.
[7] Романюк А.С. Оценки аппроксимативных характеристик классов Бе-
сова Brp,θ периодических функций многих переменных в пространстве
Lq. II // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, №10. — С. 1402 – 1408.
[8] Федуник О.В. Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ пе-
рiодичних функцiй багатьох змiнних в просторi Lq // Проблеми теорiї
наближення функцiй та сумiжнi питання: Збiрник праць Iн–ту матема-
тики НАН України. — 2005. — 2, №2. — С. 268 – 294.
[9] Стасюк С.А., Федуник О.В. Апроксимативнi характеристики класiв
BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнни // Укр. мат. журн. — 2006.
— 58, №5. — С. 692 –704.
[10] Романюк С.А., Романюк В.С. Тригонометрические и ортопроекцион-
ные поперечники классов периодических функций многих переменных
// Укр. мат. журн. — 2009. — 61, №10. — С. 1348 – 1366.
Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв Lψβ,p . . . 77
[11] Дерев’янко Н.В. Ортопроекцiйнi поперечники класiв перiодичних фун-
кцiй багатьох змiнних // Аналiз i застосування: Збiрник праць Iн-ту
математики НАН України. — 2012. — 9, №2. — С. 146 – 156.
[12] Дерев’янко Н.В. Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ пе-
рiодичних функцiй багатьох змiнних в просторi Lq // Теорiя наближен-
ня функцiй та сумiжнi питання: Збiрник праць Iн–ту математики НАН
України. — 2013. — 10, №1. — С. 95 – 109.
[13] Temlyakov V.N. Approximation of periodic functions. — New York: Nova
Sci. Publ. Inc., 1993. — 272 p.
[14] Степанец А.И, Кушпель А.К. Скорость сходимости рядов Фурье и наи-
лучшие приближения в пространстве Lp // Укр. мат. журн. — 1987. —
39, № 4. — С. 483 – 492.
[15] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоре-
мы вложения. — М.: Наука, 1989. — 480 с.
[16] Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1933. — 39, № 12. — P. 889 – 906.
[17] Романюк А.С. Неравенства для Lp-норм (ψ, β)-производных и попере-
чников по Колмогорову классов функций многих переменных Lψβ,p //
Исследования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. — К.:
Ин-т математики АН УССР. — 1987. — С. 92 – 105.
[18] Грабова У.З., Сердюк А.С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i
наближень сумами Фур’є класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй. //
Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 9. — С. 1186 – 1197.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-158 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:17Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/91/690f88b8ac793ad1aa3cf5793c394691.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1582018-01-23T12:10:05Z Estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space Lq Оцінки ортопроекційних поперечників класів $L_{\beta, p}^\psi$ періодичних функцій у просторі $L_q$ Vlasyk, G. M. Власик, Г. М. It have been obtained exact order estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ in the space $L_q$ for some values of $p$ and $q$. Отримано точні за порядком оцінки ортопроекційних поперечників класів $L_{\beta, p}^\psi$ у просторі $L_q$ для деяких співвідношень між параметрами $p$ і $q$. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/158 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 65–77 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 65–77 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 65–77 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/158/129 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Vlasyk, G. M. Власик, Г. М. Estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space Lq |
| title | Estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space Lq |
| title_alt | Оцінки ортопроекційних поперечників класів $L_{\beta, p}^\psi$ періодичних функцій у просторі $L_q$ |
| title_full | Estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space Lq |
| title_fullStr | Estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space Lq |
| title_full_unstemmed | Estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space Lq |
| title_short | Estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space Lq |
| title_sort | estimates of orthoprojective widths of the classes $l_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space lq |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/158 |
| work_keys_str_mv | AT vlasykgm estimatesoforthoprojectivewidthsoftheclasseslbetappsiofperiodicfunctionsinthespacelq AT vlasikgm estimatesoforthoprojectivewidthsoftheclasseslbetappsiofperiodicfunctionsinthespacelq AT vlasykgm ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívlbetappsiperíodičnihfunkcíjuprostorílq AT vlasikgm ocínkiortoproekcíjnihpoperečnikívklasívlbetappsiperíodičnihfunkcíjuprostorílq |