On mappings which preserves hypercomplex convexity
We obtained for the case of the space $\mathbb{H}^n$ an analogical proposition to the theorem about homeomorphic transformation of the space $\mathbb{C}^n$ that is strictly invariant on linear convex compact sets. It was formulated the fundamental theorem of affine geometry in $\mathbb{H}^n$
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/159 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552679621787648 |
|---|---|
| author | Klishchuk, B. A. Клищук, Б. А. |
| author_facet | Klishchuk, B. A. Клищук, Б. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Б. А. Клищук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Klishchuk, B. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | We obtained for the case of the space $\mathbb{H}^n$ an analogical proposition to the theorem about homeomorphic transformation of the space $\mathbb{C}^n$ that is strictly invariant on linear convex compact sets. It was formulated the fundamental theorem of affine geometry in $\mathbb{H}^n$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 133�139
ÓÄÊ 517.5
Á.À. Êëèùóê (Ií�ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â)
ÎÁ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈßÕ, ÑÎÕÐÀÍßÞÙÈÕ ÃÈÏÅÐÊÎÌ-
ÏËÅÊÑÍÓÞ ÂÛÏÓÊËÎÑÒÜ
We obtained for the case of the space Hn an analogical proposition to the
theorem about homeomorphic transformation of the space Cn that is strictly
invariant on linear convex compact sets. It was formulated the fundamental
theorem of a�ne geometry in Hn.
Äëÿ ñëó÷àÿ ãèïåðêîìïëåêñíîãî ïðîñòðàíñòâà Hn ïîëó÷åíî àíàëîã òåî-
ðåìû î ãîìåîìîðôíîì ïðåîáðàçîâàíèè êîìïëåêñíîãî ïðîñòðàíñòâà Cn,
ñòðîãî èíâàðèàíòíîãî íà ëèíåéíî âûïóêëûõ êîìïàêòàõ. Ñôîðìóëèðîâà-
íà îñíîâíàÿ òåîðåìà àôôèííîé ãåîìåòðèè â Hn.
Ïîíÿòèå ãèïåðêîìïëåêñíîé âûïóêëîñòè èãðàåò äîñòàòî÷íî âàæ-
íóþ ðîëü â êâàòåðíèîííîì àíàëèçå. Íà÷àëî ðàçâèòèÿ êâàòåðíèîí-
íîãî àíàëèçà ñâÿçûâàþò ñ èìåíàìè Ó.Ã. Ãàìèëüòîíà, êîòîðûé ââåë
ïîíÿòèå êâàòåðíèîíîâ òà Ð. Ôþòåðà, êîòîðûé ñóùåñòâåííî ðàçâèë
êâàòåðíèîííûé àíàëèç.
Êâàòåðíèîíû è êâàòåðíèîííûå ôóíêöèè èìåþò äîñòàòî÷íî øè-
ðîêîå ïðèìåíåíèå.  ÷àñòíîñòè, èõ èñïîëüçóþò äëÿ îïèñàíèÿ ýëåê-
òðîìàãíèòíûõ ïîëåé, â çàäà÷àõ ôèçèêè è ñåéñìîðàçâåäêè, â òåîðèè
ôðàêòàëîâ è ò.ä. Ïîýòîìó èíòåðåñ ê êâàòåðíèîííîìó àíàëèçó ïðî-
äîëæàåò ðàñòè. Â íàøå âðåìÿ åãî ðàçâèâàþò òàêèå ìàòåìàòèêè êàê
Î.Ô. Ãåðóñ, Â.Â. Êðàâ÷åíêî, Ì. Øàïèðî, À. Ñàäáåðè, Ê. üðëåáåê,
Â. Øïð¼ññèê è äðóãèå.
Ïîíÿòèå ãèïåðêîìïëåêñíîé âûïóêëîñòè, àíàëîãè÷íîå ïîíÿòèþ
ëèíåéíîé âûïóêëîñòè À. Ìàðòèíî, ââåë ó 1985 ãîäó Ã.À. Ìêðò÷ÿí.
 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîñòðàíñòâî Hn � n-ìåðíîå
ãèïåðêîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàä òåëîì êâàòåðíèîíîâ
H, ãäå n � ïðîèçâîëüíîå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Òî÷êè ïðî-
ñòðàíñòâa Hn áóäåì îáîçíà÷àòü ìàëûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè, íà-
ïðèìåð x ∈ Hn, x = (x1, x2, . . . , xn), ãäå xi, i = 1, 2, . . . , n, � êîîðäè-
íàòû òî÷êè x.
c© Á.À. Êëèùóê, 2013
134 Á.À. Êëèùóê
Hn ñîäåðæèò íà÷àëî êîîðäèíàò Θ = (0, 0, . . . , 0). Ïîëîæèì
< x, y >= x1y1 + x2y2 + ... + xnyn, ãäå y = (y1, y2, ...yn).
Öåëüþ äàíîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ïðåîáðàçîâàíèé ïðî-
ñòðàíñòâà Hn èíâàðèàíòíûõ íà ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûõ ìíîæå-
ñòâàõ.
Íåêîòîðûå êðèòåðèè êîìïëåêñíîé ïîëóàôôèííîñòè îòîáðàæåíèé
ïðîñòðàíñòâà Cn èíâàðèàíòíûõ(ñòðîãî èíâàðèàíòíûõ) íà ëèíåéíî
âûïóêëûõ ìíîæåñòâàõ áûëà èçó÷åíà Þ.Á. Çåëèíñêèì [1, 2].
Ïóñòü E � íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî Hn. Ìíîæåñòâî
E∗ = {y| < x, y > 6= 1 äëÿ âñåõ x ∈ E} íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì,
ñîïðÿæåííûì ê E. Ïîä ïðÿìîé, m-ïëîñêîñòüþ è ãèïåðïëîñêîñòüþ
ìû áóäåì ïîíèìàòü ãèïåðêîìïëåêñíî àôôèííîå ïîäìíîãîîáðà-
çèå Hn ãèïåðêîìïëåêñíîé ðàçìåðíîñòè 1, m è n − 1 ñîîòâåò-
ñòâåííî(âåùåñòâåííàÿ æå èõ ðàçìåðíîñòü áóäåò 4, 4m è 4n − 4
ñîîòâåòñòâåííî).
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè êàæäîé òî÷êå y ∈ E∗ ïîñòàâèòü â ñîîòâåò-
ñòâèå ãèïåðïëîñêîñòü {x| < x, y >= 1}, òî ñîïðÿæåííîå ìíîæåñòâî
E∗ ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ìíîæåñòâî ãèïåðïëîñêîñòåé, íå ïå-
ðåñåêàþùèõ ìíîæåñòâî E.
Îïðåäåëåíèå 1.Ìíîæåñòâî E ⊂ Hn íàçûâàåòñÿ ãèïåðêîìïëåêñ-
íî âûïóêëûì, åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Hn \ E
ñóùåñòâóåò ãèïåðïëîñêîñòü
{z = (z1, z2, . . . , zn) ∈ Hn|
n∑
j=1
(zj − xj)cj = 0, cj ∈ H},
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç x è íå ïåðåñåêàþùàÿ E.
Ýòî ïîíÿòèå ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ëèíåéíîé âûïóêëîñòè â Cn. Íà-
ïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî E, ëåæàùåå â n-ìåðíîì êîìïëåêñíîì ïðî-
ñòðàíñòâå Cn, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî âûïóêëûì, åñëè äëÿ êàæäîé òî÷-
êè z0 ∈ Cn \ E ñóùåñòâóåò (n − 1)-ìåðíàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü,
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç z0 è íå ïåðåñåêàþùàÿ E.
Çàìå÷àíèå 2. Èçâåñòíî, ÷òî óìíîæåíèå â àëãåáðå êâàòåðíèî-
íîâ íåêîììóòàòèâíî. Â ñâÿçè ñ ýòèì â äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàò-
ðèâàòü ïðàâûå ãèïåðïëîñêîñòè â èñõîäíîì ïðîñòðàíñòâå, ò.å. òî÷êó
ñ ïåðåìåííîé êîîðäèíàòîé z = (z1, z2, . . . , zn) óìíîæàåì íà ôèêñèðî-
âàííóþ òî÷êó c = (c1, c2, . . . , cn) ñïðàâà, à ëåâûå ãèïåðïëîñêîñòè ðàñ-
Îá îòîáðàæåíèÿõ, ñîõðàíÿþùèõ ãèïåðêîìïëåêñíóþ . . . 135
ñìàòðèâàþòñÿ â ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðè ýòîì, êîìïëåêñíàÿ
ðàçìåðíîñòü ãèïåðïëîñêîñòè ðàâíà n, à åå âåùåñòâåííàÿ ðàçìåðíîñòü
ðàâíà 4n− 4.
Êàæäîå âûïóêëîå è ëèíåéíî âûïóêëîå ìíîæåñòâî áóäåò ãèïåð-
êîìïëåêñíî âûïóêëûì, íî îáðàòíîå íåâåðíî: êëàññû âûïóêëûõ è ëè-
íåéíî âûïóêëûõ ìíîæåñòâ óæå êëàññà ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûõ
ìíîæåñòâ. Ýòî ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð.
Ï ð è ì å ð. Åñëè n = 1, òî Hn = H.  ýòîì ñëó÷àå ãèïåðïëîñ-
êîñòüþ ÿâëÿåòñÿ òî÷êà, è ñëåäîâàòåëüíî, êàæäîå ìíîæåñòâî E ⊂ H
ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëî.
 ÷àñòíîñòè, ñôåðà S3 ⊂ H áóäåò ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûì
ìíîæåñòâîì. Íî ïîñêîëüêó ýòà ñôåðà ðàçáèâàåò âåùåñòâåííîå ÷åòû-
ðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî R4n ≈ H, òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ íè âûïóêëûì,
íè ëèíåéíî âûïóêëûì ìíîæåñòâîì.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà Hn â (íà) ñåáÿ.
Îïðåäåëåíèå 2. Îòîáðàæåíèå f : Hn → Hn íàçûâàåòñÿ ãè-
ïåðêîìïëåêñíî ïîëóàôôèííûì, åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò âûáèðàåòñÿ
òàê, ÷òî
f(αu + βv) = δ(α)f(u) + δ(β)f(v),
ãäå δ : H → H � àâòîìîðôèçì òåëà H.
Ïóñòü X è Y � äâà òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâà.
Ñêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå f : X → Y ýòèõ ïðîñòðàíñòâ èíâà-
ðèàíòíî (ñòðîãî èíâàðèàíòíî) íà ñåìåéñòâå B ïîäìíîæåñòâ òîïî-
ëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, åñëè f îòîáðàæàåò ëþáîå ïîäìíîæåñòâî
A ∈ B â (íà) ïîäìíîæåñòâî B.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ãèïåðêîìïëåêñíûì âàðèàíòîì îñ-
íîâíîé òåîðåìû àôôèííîé ãåîìåòðèè [3]. Àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà
ñïðàâåäëèâà è â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà Cn [1, 2].
Òåîðåìà 1 (îñíîâíàÿ òåîðåìà àôôèííîé ãåîìåòðèè).
Ïóñòü f : Hn → Hn � áèåêöèÿ, ñòðîãî èíâàðèàíòíàÿ íà ìíîæå-
ñòâå ïðÿìûõ. Òîãäà f � ãèïåðêîìïëåêñíî ïîëóàôôèííîå îòîáðàæå-
íèå.
Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè â [3].
Òåïåðü ðàññìîòðèì íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ãèïåðêîìïëåêñíî-
ãî ïðîñòðàíñòâà Hn.
136 Á.À. Êëèùóê
Ïðåäëîæåíèå 1. Ïóñòü f : Hn → Hn(n ≥ 2) � ãîìåîìîðôèçì,
ñòðîãî èíâàðèàíòíûé íà m-ïëîñêîñòÿõ, 1 ≤ m ≤ n − 1. Òîãäà f �
ãèïåðêîìïëåêñíî ïîëóàôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì ìàòåìàòè÷åñêóþ èíäóêöèþ ïî
ðàçìåðíîñòè. Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî ïðè m > 1 ãîìåîìîðôèçì f
ñòðîãî èíâàðèàíòåí íà (m− 1)-ïëîñêîñòÿõ. Ïóñòü L � ïðîèçâîëüíàÿ
(m − 1)-ïëîñêîñòü è L1 ⊃ L, L2 ⊃ L � äâå ðàçíûå m-ïëîñêîñòè.
Ïîñêîëüêó f ñòðîãî èíâàðèàíòíî íà m-ïëîñêîñòÿõ, òî f(L1) è f(L2)
� òîæå äâå ðàçíûå m-ïëîñêîñòè. Ïëîñêîñòè f(L1) è f(L2) ïåðåñåêà-
þòñÿ ïî ãèïåðêîìïëåêñíî (m − 1)-ìåðíîìó ìíîæåñòâó f(L) â ñèëó
ãîìåîìîðôíîñòè f . Òîãäà îáðàç f(L) åñòü (m− 1)-ïëîñêîñòü. Ïîòîì
àíàëîãè÷íûìè ðàññóæäåíèÿìè ïîêàæåì, ÷òî f ñòðîãî èíâàðèàíòíî
íà (m−2)-ïëîñêîñòÿõ è ò.ä. Íà (m−1)-øàãå ïîëó÷èì, ÷òî ãîìåîìîð-
ôèçì f ñòðîãî èíâàðèàíòåí íà ïðÿìûõ è òîãäà â ñèëó òåîðåìû 1 f
� ãèïåðêîìïëåêñíî ïîëóàôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå.
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ôîðìóëèðîâêå îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà ýòîé
ñòàòüè ñôîðìóëèðóåì íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé, êî-
òîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì ïðè äîêàçàòåëüñòâå ãëàâíîé òåîðåìû.
Îïðåäåëåíèå 3. Îòîáðàæåíèå Φ : X → Y íàçûâàåòñÿ ìíîãî-
çíà÷íûì, åñëè îáðàçîì òî÷êè x ∈ X áóäåò ìíîæåñòâî Φ(x) ⊂ Y .
Ïóñòü
o
Hn � ïðîñòðàíñòâî Hn, ïîïîëíåííîå áåñêîíå÷íî óäàëåí-
íîé òî÷êîé( ò. å. Hn êîìïàêòèôèöèðîâàíî îäíîé òî÷êîé èëè, äðó-
ãèìè ñëîâàìè, îòîæäåñòâëÿþòñÿ âñå òî÷êè (x1, x2, . . . , xn), äëÿ êîòî-
ðûõ õîòÿ áû îäíà êîîðäèíàòà ðàâíà ∞) ñ òîïîëîãèåé âåùåñòâåííîé
4n-ìåðíîé ñôåðû S4n. Ïóñòü F : Hn →
o
Hn � ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå, çàäàííîå ïî çàêîíó
F (x) = {y|(〈x, y〉 = 1) ∪ (y = ∞)}.
Îòîáðàæåíèå F èíòåðåñíî òåì, ÷òî, êàê î÷åâèäíî,
E∗ =
o
Hn\F (E), ïîýòîìó èçó÷åíèå ñîïðÿæåííîãî ìíîæåñòâà E∗
ìîæíî çàìåíèòü èçó÷åíèåì åãî äîïîëíåíèÿ F (E).
Ïðåäëîæåíèå 2. Åñëè E1 ⊂ E, òî E∗1 ⊃ E∗, E∗∗1 ⊂ E∗∗.
Èç E1 ⊂ E ñëåäóåò F (E1) ⊂ F (E). Òîãäà
E∗1 =
o
Hn\F (E1) ⊃
o
Hn\F (E) = E∗.
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî E∗∗1 ⊂ E∗∗.
Îá îòîáðàæåíèÿõ, ñîõðàíÿþùèõ ãèïåðêîìïëåêñíóþ . . . 137
Ïóñòü Ir � îòêðûòûé øàð â Cn ðàäèóñà r. Âîçíèêàåò âîïðîñ:
êàêîå ìíîæåñòâî áóäåò ñîïðÿæåííûì äëÿ ýòîãî øàðà? Îòâåò íà íåãî
äàåò ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.
Ïðåäëîæåíèå 3. Äëÿ îòêðûòîãî øàðà Ir = {x|xx̄ < r2}
ñîïðÿæåííûì ìíîæåñòâîì ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûé øàð
I∗r = Ī1/r = {y| yȳ ≤ 1/r2}.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà
øàðà Ī1/r ëåæèò â I∗r . Ýòî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Êîøè � Áóíÿ-
êîâñêîãî |〈x, y〉| ≤ |x||y|. Äåéñòâèòåëüíî, |〈x, y〉| ≤ |x||y| < r · 1
r = 1.
Òåïåðü åñëè âîçüìåì òî÷êó y /∈ Ī1/r, ò.å. òàêóþ, ÷òî |y| = a > 1
r ,
òîãäà òî÷êà x = 1
y = ȳ
yȳ ëåæèò â øàðå Ir , òàê êàê óäîâëåòâîðÿåò
íåðàâåíñòâó xx̄ =
ȳy
(yȳ)2
=
1
yȳ
=
1
a2
< r2 è 〈x, y〉 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî,
y 6∈ I∗r .
Ñëåäóþùèå ïðåäëîæåíèÿ ìû ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ïî-
ñêîëüêó îíè äîêàçàíû Ã.À. Ìêðò÷ÿíîì [4].
Ïðåäëîæåíèå 4. Åñëè E îòêðûòî è Θ ∈ E, òî E∗ � êîìïàêò.
Ïðåäëîæåíèå 5. (∪
α
Eα)∗ = ∩
α
E∗α, ãäå Eα � ïðîèçâîëüíûå ìíî-
æåñòâà èç Hn.
Ïðåäëîæåíèå 6. Ïóñòü Ei ⊂ Hn, i = 1, 2, ..., � ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü êîìïàêòîâ, òàêîâà, ÷òî Ei+1 ⊂ Ei è E = ∩
i
Ei. Òîãäà
E∗ = ∪
i
E∗i .
Òåîðåìà 2. Äëÿ ãèïåðêîìïëåêñíîé âûïóêëîñòè ìíîæåñòâà E,
Θ ∈ E, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû E∗∗ = E.
Ïóñòü int E � âíóòðåííîñòü ìíîæåñòâà E ⊂ Hn. Ñïðàâåäëèâî
ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ïðåäëîæåíèå 7. Åñëè E ⊂ Hn � ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëîå
ìíîæåñòâî, òî è âíóòðåííîñòü åãî int E � ãèïåðêîìïëåêñíî âû-
ïóêëîå ìíîæåñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî Θ ∈ int E. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè
x0 ∈ Hn \ int E ñóùåñòâóåò ãèïåðïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ ýòó òî÷-
êó x0 è íå ïåðåñåêàþùàÿ int E. Ïîñêîëüêó E � ãèïåðêîìïëåêñíî
âûïóêëîå ìíîæåñòâî, òî ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ òî÷åê
èç Hn\(int E). Îñòàëîñü äîêàçàòü ýòî æå äëÿ òî÷åê, ïðèíàäëåæà-
138 Á.À. Êëèùóê
ùèõ ãðàíèöå ∂E. Ðàññìîòðèì (int E)∗ � ìíîæåñòâî, ñîïðÿæåííîå
ê int E. Ïîñêîëüêó int E � îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ñëåäîâàòåëüíî
(int E)∗ � êîìïàêò (ïðåäëîæåíèå 4). Ðàññìîòðèì {xk} � ñõîäÿùó-
þñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê â Hn\E, lim
k→∞
xk = x0. Äëÿ êàæäîé
òî÷êè xk ñóùåñòâóåò ãèïåðïëîñêîñòü Lk ñîäåðæàùàÿ xk è íå ïåðå-
ñåêàþùàÿ E. Êàæäóþ ãèïåðïëîñêîñòü Lk ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèåì
Lk = {x|〈x, yk〉 = 1}. Ïîñêîëüêó (int E) ⊂ E, òî ñîãëàñíî ïðåäëî-
æåíèþ 2 (int E)∗ ⊃ E∗. Âûáåðåì èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yk} ñõî-
äÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïóñòü lim
k→∞
yk = y0. Âñëåäñòâèå
òîãî, ÷òî (int E)∗ � êîìïàêò y0 ∈ (int E)∗. Òîãäà ãèïåðïëîñêîñòü
L = {x|〈x, y0〉 = 1} íå ïåðåñåêàåò int E è ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó x0,
òàê êàê 〈x0, y0〉 = 〈 lim
k→∞
xk, lim
k→∞
yk〉 = lim
k→∞
〈xk, yk〉 = 1, ÷òî è òðåáî-
âàëîñü äîêàçàòü.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ñîîòâåòñòâóþùåãî óòâåð-
æäåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ ëèíåéíî âûïóêëûõ êîìïàêòîâ â ïðîñòðàíñòâå
Cn. Îíà è ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ýòîé ñòàòüè.
Òåîðåìà 3. Ãîìåîìîðôíîå ïðåîáðàçîâàíèå f : Hn → Hn
(n ≥ 2) ñòðîãî èíâàðèàíòíîå íà ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûõ êîì-
ïàêòàõ ÿâëÿåòñÿ ãèïåðêîìïëåêñíî ïîëóàôôèííûì ïðåîáðàçîâàíè-
åì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî f íå ÿâëÿåòñÿ ãèïåðêîì-
ïëåêñíî ïîëóàôôèííûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Òîãäà ñîãëàñíî ïðåäëî-
æåíèþ 1 íàéäåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòü T , òàêàÿ, ÷òî å¼ îáðàç f(T )
íå áóäåò ãèïåðïëîñêîñòüþ. Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì, ÷òî
T = {x|xn = 0}. Ïîñòðîèì ðàñøèðÿþùóþñÿ ñèñòåìó êîìïàêòíûõ öè-
ëèíäðîâ Sm = Am ×Bn−1
m â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè T , ãäå
Am =
{
x1
∣∣∣ 1
m
≤ |x1| ≤ 1− 1
m
}
⊂ H,
Bn−1
m = {x′ = (x2, . . . , xn)||x′| ≤ m} ⊂ Hn−1.
Î÷åâèäíî, ÷òî âñå Sm áóäóò ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûìè êîì-
ïàêòàìè. Ìíîæåñòâî C =
∞
∪
m=1
Sm =
∞
∪
m=1
int Sm òîæå áóäåò
ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûì ìíîæåñòâîì. ×åðåç íà÷àëî êîîð-
äèíàò ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ãèïåðïëîñêîñòü T , êîòîðàÿ íå
Îá îòîáðàæåíèÿõ, ñîõðàíÿþùèõ ãèïåðêîìïëåêñíóþ . . . 139
ïåðåñåêàåò C. Âñå f(Sm) áóäóò ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûìè
êîìïàêòàìè, ïîñêîëüêó f ñîõðàíÿåò ãèïåðêîìïëåêñíóþ âûïóê-
ëîñòü êîìïàêòîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî f(Sm) ⊂ f(Sm+1), ïîýòîìó
f(Sm) ⊂ int f(Sm+1). Òàêæå ñïðàâåäëèâûìè áóäóò ñëåäóþùèå
ñîîòíîøåíèÿ ∪∞
m=1
f(Sm) = ∪∞
m=1
int f(Sm), int f(Sm) ⊂ int f(Sm+1).
Îòñþäà ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2 (int f(Sm))∗ ⊃ (int f(Sm+1))∗.
Òàê êàê intf(Sm) � îòêðûòîå ìíîæåñòâî, òî (int f(Sm))∗
� êîìïàêò. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 7 intf(Sm) � ãè-
ïåðêîìïëåêñíî âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Òîãäà, èñïîëü-
çóÿ ïðåäëîæåíèÿ 5 è 6, (∪
m
f(Sm))∗∗ = (∪
m
int f(Sm))∗∗ =
= (∩
m
(int f(Sm))∗)∗ = ∪
m
int f(Sm) = ∪
m
f(Sm). Ïîýòîìó
f(C) = ∪
m
f(Sm) � ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëîå ìíîæåñòâî âñëåä-
ñòâèå ãîìåîìîðôíîñòè f è òåîðåìû 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ òî÷êè
f(0) ñóùåñòâóåò ãèïåðïëîñêîñòü T1 ⊃ f(0) íå ïåðåñåêàþùàÿ f(C).
Ìíîæåñòâî f(C) ðàçáèâàåò ïðîñòðàíñòâî Hn. Îòñþäà òî÷êà f(0), à
ñëåäîâàòåëüíî, è ãèïåðïëîñêîñòü T1 äîëæíû ëåæàòü â ìíîæåñòâå
f(T ), ãîìåîìîðôíîì êâàòåðíèîííîé ãèïåðïëîñêîñòè. Ìíîæåñòâî
f(T ) � âåùåñòâåííî (4n − 4)-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå. Ñîáñòâåííîå
âêëþ÷åíèå T1 ⊂ f(T ) íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó f(T ) íå ìîæåò
ñîäåðæàòü êàê ñîáñòâåííîå ïîäìíîæåñòâî ìíîãîîáðàçèå òîé æå
ðàçìåðíîñòè. Îòñþäà f(T ) = T1. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî
f(T ) íå ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ. Òåîðåìà äîêàçàíà.
 ñâÿçè ñ ýòèìè ðåçóëüòàòàìè ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ðÿä
ñâîéñòâ, ñïðàâåäëèâûõ äëÿ ëèíåéíî âûïóêëûõ ìíîæåñòâ â Cn, ìîæ-
íî ðàñïðîñòðàíèòü íà ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûå ìíîæåñòâà â Hn.
1. Çåëèíñêèé Þ.Á. Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ â àíàëèçå. � Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1993. � 264 ñ.
2. Çåëèíñêèé Þ.Á. Âûïóêëîñòü. Èçáðàííûå ãëàâû // Ïðàöi Ií-òó ìàòåìàòè-
êè ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2012. � 92. � 280 ñ.
3. Áåðæå Ì. Ãåîìåòðèÿ. Â 2-õ ò. � Ì.: Ìèð, 1984. � 1. � 560 ñ; 2. � 368 ñ.
4. Ìêðò÷ÿí Ã.À. Î ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûõ ìíîæåñòâàõ. � Êèåâ. � 1987.
� 17 ñ. � (Ïðåïðèíò / ÀÍ ÓÑÑÐ. Èí-ò ìàòåìàòèêè; 87.42).
5. Ìêðò÷ÿí Ã.À. Ãèïåðêîìïëåêñíî âûïóêëûå îáëàñòè ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé //
Äîêë. ÀÍ ÓÑÑÐ. Ñåð. À. � 1986. � � 3. � Ñ. 14 � 17.
6. Ìêðò÷ÿí Ã.À. Î ñèëüíîé ãèïåðêîìïëåêñíîé âûïóêëîñòè // Óêð. ìàò.
æóðí. � 1990. � 42, � 2. � Ñ. 182 � 187.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-159 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:16Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/92/1c33f0391db39bfa44303e8bf1b55092.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1592018-01-29T14:44:27Z On mappings which preserves hypercomplex convexity Об отображениях сохраняющих гиперкомплексную выпуклость Об отображениях сохраняющих гиперкомплексную выпуклость Klishchuk, B. A. Клищук, Б. А. We obtained for the case of the space $\mathbb{H}^n$ an analogical proposition to the theorem about homeomorphic transformation of the space $\mathbb{C}^n$ that is strictly invariant on linear convex compact sets. It was formulated the fundamental theorem of affine geometry in $\mathbb{H}^n$ Для случая гиперкомплексного пространства $\mathbb{H}^n$&nbsp;получено аналог теоремы о гомеоморфном преобразовании комплексного пространства $\mathbb{C}^n$, строго инвариантного на линейно выпуклых компактах. Сформулирована основная теорема аффинной геометрии в $\mathbb{H}^n Для случая гиперкомплексного пространства $\mathbb{H}^n$ получено аналог теоремы о гомеоморфном преобразовании комплексного пространства $\mathbb{C}^n$, строго инвариантного на линейно выпуклых компактах. Сформулирована основная теорема аффинной геометрии в $\mathbb{H}^n Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/159 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 133-139 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 133-139 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 133-139 3083-7529 1815-2910 ru uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/159/130 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Klishchuk, B. A. Клищук, Б. А. On mappings which preserves hypercomplex convexity |
| title | On mappings which preserves hypercomplex convexity |
| title_alt | Об отображениях сохраняющих гиперкомплексную выпуклость Об отображениях сохраняющих гиперкомплексную выпуклость |
| title_full | On mappings which preserves hypercomplex convexity |
| title_fullStr | On mappings which preserves hypercomplex convexity |
| title_full_unstemmed | On mappings which preserves hypercomplex convexity |
| title_short | On mappings which preserves hypercomplex convexity |
| title_sort | on mappings which preserves hypercomplex convexity |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/159 |
| work_keys_str_mv | AT klishchukba onmappingswhichpreserveshypercomplexconvexity AT kliŝukba onmappingswhichpreserveshypercomplexconvexity AT klishchukba obotobraženiâhsohranâûŝihgiperkompleksnuûvypuklostʹ AT kliŝukba obotobraženiâhsohranâûŝihgiperkompleksnuûvypuklostʹ |